chap3习题课

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a a (ξ 在 与 之间） 之间） n n+1
n2 a = lim n→∞ n(n + 1) 1 + ξ 2
=a
习题课、 习题课、中值定理及导数的应用
解法2 解法2 利用罗必塔法则
arctan a − arctan b x x 原式 = lim 1 x→∞ x2 nbt = lim t →0 t2
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例1. 设函数 证明 在
在 内有界. 内有界
内可导, 内可导 且
∈ 证: 取点 x0 ∈(a , b), 再取异于 x0 的点 x∈(a , b), 对
在以 x0 , x 为端点的区间上用拉氏中值定理 得 为端点的区间上用拉氏中值定理,
f ( x) − f ( x0 ) = f ′(ξ )( x − x0 )
f (0)+ f (1)+ f (2) f (c) = f (0) += 1 ) + f (2) f (1 3 分析: 分析: 所给条件可写为 = 1, f (3) = 1 3 Q f (c) = f (3) = 1, 且 f ( x)在[c, 3] 上连续,f在(c, 3) 内可导, f (0) + (1) + f (2) f (c) = 想到找一点 c , 使∈(c, 3) ⊂ (0, 3), 使 f ′(ξ ) = 0. 3 由罗尔定理知, 由罗尔定理知 必存在 ξ
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例5.设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续 在(0, 3) 内可导 且 上连续, 内可导, f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1,试证必存在 ξ ∈(0, 3), 使 f ′(ξ ) = 0. (03考研) (03考研 考研) 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续 所以在 2]上连续 且在 上连续, 上连续, 上连续 所以在[0, 上连续 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 上有最大值 f (0) + f (1) + f (2) m≤ ≤M m ≤ f (0), f (1), f (2) ≤ M 3 由介值定理, 由介值定理 至少存在一点 c ∈[0, 2] , 使
f ′′(ξ ) 2 f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x 2! = −2ξ e2ξ x2 < 0 (0 < ξ < x < 1)
故原不等式成立. 故原不等式成立
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例13. 求 解法1 解法1 利用中值定理求极限
1 a a 原式 = lim n ( − ) 2 n→∞ 1+ ξ n n + 1
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例12. 证: 只要证
设 f ( x) = (1 − x)e
2x
− 1 − x,
则 f (0) = 0
f ′(0) = 0
f ′( x) = (1 − 2x)e2 x − 1,
f ′′( x) = −4x e2 x < 0 (0 < x < 1)
利用一阶泰勒公式, 利用一阶泰勒公式 得
=L
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x1 o
x2 x
f (x)
x1 o
x2 x
例7. 证明
在
上单调增加. 上单调增加
证: ln f ( x) = xln(1 + 1 ) x = x [ ln(1 + x) − ln x ]
令 F(t ) = lnt , 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理 得 上利用拉氏中值定理, 上利用拉氏中值定理 1 ln(1 + x) − ln x = (0 < x < ξ < x + 1)
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一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
一、 微分中值定理及其应用
1.微分中值定理及其相互关系 1.微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 f ′(ξ ) = 0
f (a) = f (b)
f (a) = f (b)
拉格朗日中值定理
y F( x) = x y = f (x)
f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b)
①
又因 f ( x)及x2 在[a, b]上满足柯西定理条件 , 故有
②
a+b f ′(η), ξ , η ∈(a , b) 代入② 将①代入② , 化简得 f ′(ξ ) = 2η
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则 故
ϕ′( x) = e x[ f ( x) + f ′( x)]> 0
在 上连续单调递增, 从而至多只有 上连续单调递增
一个零点 . 至多只有一个零点. 又因 e x > 0, 因此 f (x) 也至多只有一个零点 思考: 思考: 若题中 其它不变时, 如何设辅助函数? 其它不变时 如何设辅助函数
例2. 设
在
上连续, 上连续 在
内可导, 且 内可导 使
证明至少存在一点
证: 问题转化为证 ξ f ′(ξ ) + 2 f (ξ ) = 0. 设辅助函数 显然
ϕ( x) = x2 f ( x)
上满足罗尔定理条件, 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件 故至 使 少存在一点
ϕ′(ξ ) = 2ξ f (ξ ) + ξ 2 f ′(ξ ) = 0
ξ
1 1 1 x) − 故当 x > 0 f ′(,x) = [ln(1 +从而 ln x]+ x [ 时 在 ] 上单调增. −上单调增 f ( x) 1+ x x
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例8. 设
在
上可导, 且 上可导
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .
x 证: 设ϕ( x) = e f ( x)
x1 o
x2 x
f (x)
x=0
.
的连续性及导函数
的示意图. 的正负作 f (x) 的示意图
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x1 o x2
x
(2) 设函数
上可导， 在 ( −∞ ,+∞ ) 上可导，
y
f ′′(x)
的图形如图所示, 的图形如图所示 则函数 f (x) 的图 上是凹弧; 形在区间 ( x1, 0), ( x2, + ∞)上是凹弧 在区间 (−∞, x1), (0, x2 ) 上是凸弧 ; 拐点为 ( x1, f ( x1)) , ( x2, f ( x2 )), (0, f (0)) . 提示: 提示: 的示意图. 的正负作 f (x) 的示意图
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改为 f ( x) − f ′( x) < 0,
ϕ( x) = e− x f ( x)
例9. 求数列 证: 设 f ( x) =
1 xx
的最大项. 的最大项
( x ≥ 1), 用对数求导法得
令 极大值
f ′( x) =
1 −2 x x (1 − ln x )
得 列表判别: 列表判别 因为 处 又因 中的最大项. 中的最大项
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例6. 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 其导数图形如图所示 单调减区间为 (−∞, x1), (0, x2 ) ; 单调增区间为 ( x1, 0), ( x2, + ∞) ; x1, x2 ; 极小值点为 极大值点为 提示: 提示:
y
f ′(x)
oaξ b x 柯西中值定理
f (b) − f (a) f ′(ξ ) = F(b) − F(a) F′(ξ )
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f (b) − f (a) f ′(ξ ) = b−a F( x) = x n=0 y = f (x) y 泰勒中值定理
f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) o a ξ b x +L+ 1 f (n)( x0 )( x − x0 )n n! + 1 f (n+1)(ξ )( x − x0 )n+1 (n + 1)!
即有
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例3. 试证存在
且
f ′(ξ ) f ′(η) f ′(ξ )(b − a) f ′(η) , 即要证 . = = 证: 欲证 2 2 a+b 2η 2η b −a 上满足拉氏中值定理条件, 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件 故有
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例11. 设
且在
上 有
存在 , 且
递减, 单调 递减 证明对一切
证: 设ϕ( x) = f (a + x) − f (a) − f ( x), 则
ϕ′( x) = f ′(a + x) − f ′( x)
所以当 令 x = b, 得 即所证不等式成立. 即所证不等式成立
满足下述等式 a1 an a0 + +L+ =0 2 n+1 在 ( 0 , 1) 内至少有一 证明方程 例4.设实数 4.设实数 个实根. 个实根 证: 令F′( x) = a0 + a1x +L+ anxn, 则可设 a1 2 an n+1 F( x) = a0 x + x +L+ x 2 n+1 且 F(0) = F(1) = 0,由罗尔定理知存在一点 ξ ∈(0,1), 使 即 a0 + a1x +L+ an xn = 0 在 0， 内至少有一个实根ξ . （ 1 ）