2018届中考数学《第四部分第四讲第4课时操作探究型问题》同步练习

第4课时 操作探究型问题(60分)1．(15分)[2017·北京]如图4－4－1，P 是AB ︵所对弦AB 上一动点，过点P 作PM ⊥AB 交AB︵于点M ，连结MB ，过点P 作PN ⊥MB 于点N .已知AB ＝6 cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，N 两点间的距离为y cm(当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)． 小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：图4－4－1(1)通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)x /cm 0 1 2 3 4 5 6 y /cm2.02.32.11.60.9(2)建立平面直角坐标系，描出己补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；第1题答图(3)结合画出的函数图象，解决问题：当△P AN 为等腰三角形时，AP 的长度约为__2.2(答案不唯一)__cm.【解析】 (3)如答图，作y ＝x 与函数图象交点即为所求．则AP ≈2.2(答案不唯一)． 2．(15分)[2017·襄阳]如图4－4－2，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是中线，AC ＝BC .一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC ，BC 的延长线相交，交点分别为点E ，F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N.图4－4－2(1)如图①，若CE ＝CF ，求证：DE ＝DF ； (2)如图②，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段AB ，CE ，CF 之间的数量关系，并说明理由； ②若CE ＝4，CF ＝2，求DN 的长．解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ， ∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°. ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°.又∵CE ＝CF ，CD ＝CD ，∴△DCE ≌△DCF . ∴DE ＝DF ；(2)①∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°， ∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°. 又∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE . ∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CFCD ，即CD 2＝CE ·CF . ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ，∴CD ＝12AB . ∴AB 2＝4CE ·CF .②如答图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，则∠DGN ＝∠ECN ＝90°，CG ＝DG . 当CE ＝4，CF ＝2时，由CD 2＝CE ·CF ，得CD ＝2 2. ∴在Rt △DCG 中，CG ＝DG ＝CD ·sin ∠DCG ＝22×sin45°＝2. ∵∠ECN ＝∠DGN ，∠ENC ＝∠DNG ，∴△CEN ∽△GDN.第2题答图∴ CN GN ＝CE DG ＝2，∴GN ＝13CG ＝23. ∴DN ＝GN 2＋DG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22＝2103. 3．(15分)(1)问题发现与探究：如图4－4－3①，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM ⊥AE 于点M ，连结BD ，则：①线段AE ，BD 之间的大小关系是__AE ＝BD __，∠ADB ＝__90°__，并说明理由． ②求证：AD ＝2CM ＋BD ； (2)问题拓展与应用：如图②、图③，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，过点A 作直线，在直线上取点D ，∠ADC ＝45°，连结BD ，BD ＝1，AC ＝2，则点C 到直线的距离是__3－12__或__3＋12__，写出计算过程．图4－4－3解：(1)①∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACE ＋∠ECB ＝∠BCD ＋∠ECB ，∴∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 与△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS )，∴AE ＝BD ，∠AEC ＝∠BDC ，∵∠CED ＝∠CDE ＝45°，∴∠AEC ＝135°，∴∠BDC ＝135°， ∴∠ADB ＝90°；②证明：在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高， ∴CM ＝DM ＝ME ，∴DE ＝2CM .∴AD ＝DE ＋AE ＝2CM ＋BD ；(2)如答图①，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，CE ⊥CD 交AD 于点E ，则△CDE 是等腰直角三角形，由(1)知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AB＝2AC＝2，∴AD＝AB2－BD2＝3，∴DE＝AD－AE＝3－1，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CH＝12DE＝3－12；如答图②，过点C作CH⊥AD于点H，CE⊥CD交AD于点E，则△CDE是等腰直角三角形，由(1)知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AB＝2AC＝2，∴AD＝AB2－BD2＝3，∴DE＝AE＋AD＝1＋3，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CH＝12DE＝3＋12.综上，点C到直线的距离是3－12或3＋12.第3题答图4．(15分)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图4－4－4①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；(2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE＋CF＝12AB；(3)如图③，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝3(BE－CF)．图4－4－4解：(1)∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4. ∵点D 是线段BC 的中点， ∴BD ＝DC ＝12BC ＝2.∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，∴∠AED ＝360°－60°－90°－120°＝90°， ∴∠BED ＝90°，∴BE ＝BD ·cos B ＝2×12＝1；(2)证明：如答图①，过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°.∵∠A ＝60°，∴∠MDN ＝360°－60°－90°－90°＝120°. ∵∠EDF ＝120°， ∴∠MDE ＝∠NDF . 在△MBD 和△NCD 中，⎩⎨⎧∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△MBD ≌△NCD ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN . 在△EMD 和△FND 中，⎩⎨⎧∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ，∴△EMD ≌△FND ，∴EM ＝FN ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋CF ＝BM ＋FN ＋CF ＝BM ＋CN ＝2BM ＝2BD ·cos60°＝BD ＝12BC ＝12AB ；(3)如答图②，过点D 作DM ⊥AB 于M ， 同(1)可得∠B ＝∠ACD ＝60°.同(2)可得BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN . ∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋CF ＝CN ＋DM ＋CF ＝NF ＋DM ＝2DM ，BE －CF ＝BM ＋EM －CF ＝BM ＋NF －CF ＝BM ＋NC ＝2BM.第4题答图①第4题答图②在Rt △BMD 中，DM ＝BM ·tan B ＝3BM ， ∴BE ＋CF ＝ 3(BE －CF )．(20分)5．(20分)[2017·天门]在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 与点B 在AC 同侧，∠DAC＞∠BAC ，且DA ＝DC ，过点B 作BE ∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连结MD ，ME .(1)如图4－4－5①，当∠ADC ＝90°时，线段MD 与ME 的数量关系是__MD ＝ME ；__；图4－4－5(2)如图②，当∠ADC ＝60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③，当∠ADC ＝α时，求MEMD 的值． 解：(2)MD ＝ 3 ME .证明：如答图①，延长EM 交DA 于点F ， ∵BE ∥DA ，∴∠F AM ＝∠EBM ， 又∵AM ＝BM ，∠AMF ＝∠BMF ，∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME ， ∵DA ＝DC ，∠ADC ＝60°，∴∠BED ＝∠ADC ＝60°，∠ACD ＝60°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝30°，∴∠EBC ＝30°，∴CE ＝BE ，∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MDE ＝30°.在Rt △MDE 中，tan ∠MDE ＝ME MD ＝33. ∴MD ＝ 3ME ；第5题答图(3)如答图②，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠F AM＝EBM，又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC＝∠DAC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC＝α，∴∠MDE＝α2，∴在Rt△MDE中，MEMD＝tan∠MDE＝tan α2.(20分)6．(20分)[2017·衡阳]如图4－4－6，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转得到CF，连结DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD延长线于点N.(1)证明：点A，D，F在同一条直线上；(2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)连结EF，MN，当MN∥EF时，求AE的长．【解析】(1)证明三点共线，一般是证明中间点与另两点连线的夹角等于180°.由旋转不改变图形的形状和大小，可证△CBE≌△CDF，得到∠CDF＝∠CBE＝90°，所以可证∠ADF＝180°，问题得证．(2)求AE的最值，需要建立适当的函数模型，考虑AE，AH是同一个直角三角形的边，图4－4－6所以设AH ＝y ，AE ＝x ，由图直观看出△CBE ∽△EAH ，利用对应边成比例，可以得出y 与x 的函数关系式，从而最值问题可解．(3)连结CG ，根据正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，EF ∥MN ，所以NG ＝GM ，所以CN ＝CM ，从而可推出∠EFD ＝∠ECA ＝∠1＝∠3，所以Rt △CBE ∽Rt △F AE ，所以BC AF ＝BEAE ，因此AE 可求．第6题答图解：(1)证明：如答图①，由旋转的性质知，CF ＝CE ， 又∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3， 又∵ CD ＝CB ，∴△CBE ≌△CDF ， ∴∠CDF ＝∠CBE ＝90°，∴∠ADF ＝180°. 故点A ，D ，F 三点共线；(2)设DH ＝y ，AH ＝1－y ，AE ＝x ，在Rt △CBE 和Rt △EAH 中，∠4＋∠5＝90°， ∴Rt △CBE ∽Rt △EAH ， ∴CB AE ＝BE AH ，即1x ＝1－x 1－y ，∴y ＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，即当点E 是AB 的中点时，DH 最小，最小值为34；(3)如答图②，连结CG .∵矩形∠FGE 是正方形，对角线CG 所在的直线是其对称轴， 又∵FG ＝GE ，EF ∥MN ，∴GN ＝GM ， ∴CN ＝CM ，又∵∠CNM ＝45°＋∠3，∠NMC ＝45°＋∠ECM ， 又∵∠ECM ＝∠EFH ，∴∠3＝∠EFH ＝∠1， ∴Rt △CBE ∽Rt △F AE ，∴BC AF ＝BEAE ，BC ＝1，BE ＝1－AE ，AF ＝1＋1－AE ＝2－AE ，即有12－AE ＝1－AE AE ，∴AE 2－4AE ＋2＝0，解得AE ＝2＋ 2>1(不合题意，舍去)，AE ＝2－ 2.。