现代密码学第6章公钥密码学精品PPT课件

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整数互素
整数 a, b 互素是指 它们没有除1之外的其 它因子
8 与15 互素 8的因子1,2,4,8 15的因子 1,3,5,15 1 是唯一的公因子
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素数与不可约多项式
素数: 只有因子 1 和自身 1 是一个平凡素数 例 2,3,5,7 是素数, 4,6,8,9,10 不是 素多项式或不可约多项式irreducible: 不可写成其他因式的乘积 x2+x = x × x+1 是非不可约多项式;
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1.1 素数和互素数
整数具有以下性质： ① a|1，那么a=±1。 ② a|b且b|a，则a=±b。 ③ 对任一b (b≠0)，b|0。 ④ b|g，b|h，则对任意整数m、n有 b|(mg+nh)。
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1.1 素数和互素数
这里只给出④的证明，其他3个性质的证 明都很简单。 性质④的证明：
由b|g，b|h知，存在整数g1、h1，使得 g=bg1,h=bh1所以mg+nh=mbg1+nbh1 =b(mg1+nh1),因此b|(mg+nh)。
用a
mod
n表示余数r，则 a
a n
n a mod。n
如果(a mod n)=(b mod n)，则称两整数a和b
模n同余，记为a≡b mod n。称与a模n同余的数的
全体为a的同余类，记为[a]，称a为这个同余类的
表示元素。
注意： 如果a≡0(mod n)，则n|a。
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1.2 模运算
同余有以下性质： ① 若n|(a-b)，则a≡b mod n。 ② (a mod n)≡(b mod n)，则a≡b mod n。 ③ a≡b mod n,则b≡a mod n。 ④ a≡b mod n,b≡c mod n,则a≡c mod n。
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素数分解
把整数n写成素数的成绩 分解整数要比乘法困难 整数 n的素数分解是把它写素数的乘积 eg.
91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 × 32 × 52
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1.2 模运算
设n是一正整数，a是整数，如果用n除a，得商
为q，余数为r，则
a=qn+r,0≤r<n,
q
a
n
其中x为小于或等于x的最大整数。
两数相乘等价于对应的指数相加，即由k=mn 可 得：对每一素数p,kp=mp+np。而由a|b可得： 对每 一素数p,ap≤bp。这是因为pk只能被pj(j≤k)整除。
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1.1 素数和互素数
3. 互素数 称c是两个整数a、b的最大公因子，如果
① c是a的因子也是b 的因子，即c是a、b的 公因子。 ② a和b的任一公因子，也是c的因子。 表示为c=gcd(a, b)。
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1.1 素数和互素数
由于要求最大公因子为正，所以 gcd(a,b)=gcd(a,-b)=gcd(-a,b)=gcd(-a,-b)。 一般gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)。由任一非0整数 能整除0，可得gcd(a,0)=|a|。如果将a，b都 表示为素数的乘积，则gcd(a, b)极易确定。 例如：300=22×31×52 ； 18=21×32
从以上性质易知，同余类中的每一元素 都可作为这个同余类的表示元素。
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1.2 模运算
求余数运算（简称求余运算）a mod n将 整数a映射到集合{0,1, …,n-1}，称求余运算 在这个集合上的算术运算为模运算，模运算有 以下性质：
这一性质称为整数分解的惟一性，也可如下 陈述：设P是所有素数集合，则任意整数a (a>1)都
能惟一地写成以下形式： a pap pP 其中ap≥0,等号右边的乘积项取所有的素数，
然而大多指数项ap为0。相应地，任一正整数也可 由非0指数列表表示。例如： 11011可表示为 {a7=1,a11=2,a13=1}。
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数论介绍
数论概念: 研究“离散数字集合” 运算是“+” ,“×” 例: 整数: 5 + 9 = 14; 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15 多项式: x2+1 + x = x2+x+1; x × x2+1 =
x3+x
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运算概念
运算: 模数运算 模多项式运算 进一步运算: 指数运算,逆运算
x3+x+1 是不可约多项式
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一些素数
200 以内的素数: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
gcd(18,300)=21×31×50=6 一般由c=gcd(a,b)可得： 对每一素数p， cp=min(ap,bp)。
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1.1 素数和互素数
由于确定大数的素因子不很容易，所以 这种方法不能直接用于求两个大数的最大公 因子，如何求两个大数的最大公因子在下面 介绍。
如果gcd(a,b)=1，则称a和b互素。
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1.1 素数和互素数
2. 素数
称整数p(p>1)是素数，如果p的因子只 有±1，±p。
任一整数a(a>1)都能惟一地分解为以下
形式：aΒιβλιοθήκη p 1 1p 2 2
p t t
其中p1>p2>…pt是素数，ai>0(i=1,…,t)。 例如91=7×11，11011=7×112×13
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1.1 素数和互素数
理解公钥算法的基础
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整除
对整数 b!=0 及 a , 如果存在整数 m 使得 a=mb,称 b 整除 a, 也称b是a的因子
记作 b|a 例 1,2,3,4,6,8,12,24 整除 24
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1.1 素数和互素数
1. 因子 设a，b(b≠0)是两个整数，如果存在另
一整数m，使得a=mb，则称b整除a，记为 b|a，且称b是a的因子。
《现代密码学》第6章
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本章主要内容
1、数论简介 2、公钥密码体制的基本概念 3、RSA算法 4、背包密码体制 5、Rabin密码体制 6、椭圆曲线密码体制 习题
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1. 数论简介
数论是密码学特别是公钥密码学的基本 工具，本章首先介绍密码学中常用的一些数 论知识，然后介绍公钥密码体制的基本概念 和几种重要算法。