高三六调理数答案

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河北省高三上学期六调数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则复数z=（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i2．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（）A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log234．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．5．如图，若n=4时，则输出的结果为（）A．B．C．D．6．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．8．已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣29．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）A．B．C． D．10．若数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n=a n+n+1，则+1等于（）A．B．C．D．11．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand （），b=rand （）；②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为．（保留小数点后三位）14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为．15．已知{a n}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=．16．已知三棱锥O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[110，130）中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率；②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线C的切线l交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠PFD=60°．（1）判断△PFQ的形状，并求抛物线C的方程；（2）若A，B两点在抛物线C上，且满足，其中点M（2，2），若抛物线C上存在异于A、B的点H，使得经过A、B、H三点的圆和抛物线在点H处有相同的切线，求点H的坐标．21．（12分）设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A，B，C．（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则复数z=（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴=（1+i）（2+i）=1+3i．则复数z=1﹣3i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】命题的否定．【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．3．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（）A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log23【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的图象．【分析】由f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），可知f（4+x）=f（x），于是f（）=f（4）=﹣f（2）=log23﹣2，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；∴f（）=f（4）；又f（2﹣x）=f（x），∴f（﹣2）=f（4）=f（）；又当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2，∴f（）=log23﹣2．故选C．【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，求得f（）=﹣f（2）是关键，也是难点，考查综合分析与转化的能力，属于中档题．4．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心为（2，3），半径等于2，圆心到直线y=kx+3的距离等于d=由弦长公式得MN=2≥2，∴≤1，解得，故选B．【点评】利用直线与圆的位置关系，研究参数的值，同样应把握好代数法与几何法．5．如图，若n=4时，则输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入n=4，i=1，s=0，s=，i=2≤4，s=+，i=3≤4，s=++，i=4≤4，s=+++，i=5＞4，输出s=（1﹣）=，故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论．【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，∴该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，∴该几何体的侧视图可能是C，故选：C．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．8．已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z=2x﹣3y变形为y=x﹣，当此直线经过图中B（1，2）时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为2×1﹣3×2=﹣4；故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是常规方法．9．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2•=5，解得•=0．|+2|2=||2+4||2﹣4•=1+16=17．|+2|=．故选：C．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．=a n+n+1，则10．若数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1等于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由所给的式子得a n﹣a n=n+1，给n具体值列出n﹣1个式子，再他们加+1起来，求出a n ，再用裂项法求出，然后代入进行求值的值，【解答】由a n +1=a n +n +1得，a n +1﹣a n =n +1，则a 2﹣a 1=1+1， a 3﹣a 2=2+1， a 4﹣a 3=3+1 …a n ﹣a n ﹣1=（n ﹣1）+1，以上等式相加，得a n ﹣a 1=1+2+3+…+（n ﹣1）+n ﹣1，把a 1=1代入上式得，a n =1+2+3+…+（n ﹣1）+n==2（）则=2[（1﹣）+（）+…+（）=2（1﹣）=，故答案选：C ．【点评】本题主要考察数列的求和、利用累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n 项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握，属于中档题．11．如图是函数f （x ）=x 2+ax +b 的部分图象，则函数g （x ）=lnx +f′（x ）的零点所在的区间是（）A ．（）B ．（1，2）C ．（，1）D ．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由二次函数图象的对称轴确定a 的范围，据g （x ）的表达式计算g （）和g （1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：化简可得f（x）=，当x＞0时，f（x）≥0，f′（x）===，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，故当x=时，函数f（x）有极大值f（）====；当x＜0时，f′（x）==＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）对应的图象如图：∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）=；设t=f（x），当t＞时，方程t=f（x）有1个解，当t=时，方程t=f（x）有2个解，当0＜t＜时，方程t=f（x）有3个解，当t=0时，方程t=f（x）有1个解，当t＜0时，方程m=f（x）有0个解，则方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0等价为t2﹣mt+m﹣1=0，等价为方程t2﹣mt+m﹣1=（t﹣1）[t﹣（m﹣1）]=0有两个不同的根t=1，或t=m ﹣1，当t=1时，方程t=f（x）有1个解，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则t=m﹣1∈（0，），即0＜m﹣1＜，解得1＜m＜+1，则m的取值范围是（1， +1）故选：A【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand （），b=rand （）；②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为 1.328．（保留小数点后三位）【考点】几何概型．【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件的点（x，y）的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．【解答】解：根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是，矩形的面积为4，设阴影部分的面积为s则有=，∴S=1.328．故答案为：1.328．【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想．14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为+﹣9π．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2），从而可求误差．【解答】解：扇形半径r=3扇形面积等于=9π（m2）弧田面积=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．故答案为： +﹣9π．【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．15．已知{a n}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=．【考点】类比推理．【分析】先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n﹣4n a n的表达式，即可求出．【解答】解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×++…+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n．故=，故答案为．【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．16．已知三棱锥O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为14π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据∠BOC=90°且OA⊥平面BOC，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积．【解答】解：∵∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，∴球的直径是，∴球的半径是∴球的表面积是=14π，故答案为：14π【点评】本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成，本题非常值得一做．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．【考点】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC的面积的最大值．（2）设∠ACD=θ，由已知及三角形面积公式可求sinθ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，利用余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求BC 的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴由余弦定理，得AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=，∴，当且仅当AB=BC时，取等号，∴，∴△ABC的面积的最大值为；（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，∴，∴，∴，由余弦定理，得，∴AD=4．由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴，∴BC的长为4．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2016秋•普宁市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB∴四边形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，，0），C（﹣2，，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题．19．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[110，130）中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率；②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算本次月考数学学科的平均分即可；（2）由表知成绩落在[110，130）中的概率，①利用相互独立事件的概率计算“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中”的概率值；②由题意ξ的可能取值为0，1，2，3；计算对应的概率值，写出ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）本次月考数学学科的平均分为=；（2）由表知，成绩落在[110，130）中的概率为P=，①设A表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中”，则，所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率为；②ξ的可能取值为0，1，2，3；且，，，；∴ξ的分布列为数学期望为．（或，则．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是基础题．20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线C的切线l交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠PFD=60°．（1）判断△PFQ的形状，并求抛物线C的方程；（2）若A，B两点在抛物线C上，且满足，其中点M（2，2），若抛物线C上存在异于A、B的点H，使得经过A、B、H三点的圆和抛物线在点H处有相同的切线，求点H的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设P（x1，y1），求出切线l的方程，求解三角形的顶点坐标，排除边长关系，然后判断三角形的形状，然后求解抛物线方程．（2）求出A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），设H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），求出AB的中垂线方程，AH的中垂线方程，解得圆心坐标，由，求解H点坐标即可．【解答】解：（1）设P（x1，y1），则切线l的方程为，且，所以，，所以|FQ|=|FP|，所以△PFQ为等腰三角形，且D为PQ的中点，所以DF⊥PQ，因为|DF|=2，∠PFD=60°，所以∠QFD=60°，所以，得p=2，所以抛物线方程为x2=4y；（2）由已知，得A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），设H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），AB的中垂线方程为y=﹣x+4，①AH的中垂线方程为，②联立①②，解得圆心坐标为：，k NH==，由，得，因为x0≠0，x0≠4，所以x0=﹣2，所以H点坐标为（﹣2，1）．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2015•盐城三模）设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x 恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x 恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•桃城区校级月考）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A，B，C．（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）依题意|OA|=4sinφ，，利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为，命题得证．（2）当时，B，C两点的极坐标分别为，再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为，由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．【解答】（1）证明：依题意|OA|=4sinφ，，则=；（2）解：当时，B，C两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，曲线C2是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线，又因为经过点B，C的直线方程为，所以．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•中山市二模）已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．【点评】本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．。

河北省衡水中学2019届高三下学期六调数学(理)试题(含解析)

2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．4+4i C．﹣4D．2i2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A⊊B D．∁R A＝B3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）A．B．C．1D．24．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．85．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．29．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）A．12B．10C．9D．610．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1D．12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；③f（x）＝cos x；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤•≤1，0≤•≤1，则W＝•的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为．16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则．（写出所有正确结论的编号）①四面体ABCD每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sin A sin C＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），当•取最小值时，判断△ABC的形状．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且•＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]22．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．4+4i C．﹣4D．2i【分析】利用复数相等的性质求出x，y，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．【解答】解：∵x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，∴，解得x＝3，y＝1，∴（1+i）x+y＝（1+i）4＝（2i）2＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A⊊B D．∁R A＝B【分析】由x2﹣5x+6≥0，解得x≥3，x≤2，【解答】解：由x2﹣5x+6≥0，化为（x﹣2）（x﹣3）≥0，解得x≥3，x≤2，∴B ＝{x|x≥3，x≤2}，∴A⊊B，故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）A．B．C．1D．2【分析】画出△ABC，通过足，＝2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意可知，P为AC的中点，＝2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC＝＝2．所以S△APQ＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．8【分析】由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．【解答】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：，所以几何体的表面积为：＝4．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．5．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可．【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成，则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形，则对应概率P＝，故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键．6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】由题表达函数f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）；向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；利用新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．【解答】解：定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝化为：f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）再向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；又因为新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x＝0时函数值为最大或最小值，即：sin（﹣）＝1；或sin（﹣）＝﹣1；所以：﹣＝kπ+，k∈Z；即m＝2kπ+，k∈Z；又m＞0，所以m的最小值是：故选：C．【点评】本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象及性质．7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】由，，＝，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【解答】解：，，＝，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．2【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a 的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c＝1，又由已知得|AF2|＝|F1F2|＝2，而抛物线准线为x＝﹣1，根据抛物线的定义A点到准线的距离＝|AF2|＝2，因此A点坐标为（1，2），由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝＝+1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）A．12B．10C．9D．6【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【解答】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′＝A′B′•B′C′•sin45°＝由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S＝AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T＝（m﹣1）＝2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）A．B．C．D．【分析】先观察图形再结合归纳推理可得解．【解答】解：a3＝12，a4＝20，a5＝30，猜想a n＝n（n+1）（n≥3，n∈N+），所以＝＝，所以+…＝（））+（）+…+（）＝＝，故选：A．【点评】本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1D．【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B 为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S＝＝×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ＝1时，△POQ面积取最小值．【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；③f（x）＝cos x；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B （x2，y2由），使得、共线，即存在点A、B与点O共线，判断满足条件即可．【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1＝kx2，y1＝ky2取等号），又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线；设AB的方程为y＝kx，对于①，由于y＝kx（x＞0）与f（x）＝x+只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y＝kx与f（x）＝lnx（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A（﹣1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B．【点评】本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n}的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝••，令3﹣＝0，求得r＝2，故展开式的常数项为•＝．等比数列{a n}的第5项a5＝，可得a3a7＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤•≤1，0≤•≤1，则W＝•的最大值为4．【分析】利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P的坐标满足的不等式，将的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．【解答】解：由题得：，＝（x，y），＝（0，1），＝（2，3）．∵0≤≤1，0≤≤1．∴⇒∵＝2x+3y＝（2x+y）+2y；∴∈[0，4]．∴所求最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为4．【分析】利用及等比数列的通项公式即可得出a n，利用等比数列的前n项和公式即可得出，再化简即可得出答案．【解答】解：当n＝1时，a1+1＝2a1，解得a1＝1．当n≥2时，∵S n+1＝2a n，S n﹣1+1＝2a n﹣1，∴a n＝2（a n﹣a n﹣1），∴．∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴，∴．∴＝1+4+42+…+4n﹣1＝＝．∴．∴2n（2n﹣30）＜1，可知使得此不等式成立的n的最大值为4．【点评】熟练掌握及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则①③④．（写出所有正确结论的编号）①四面体ABCD每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【解答】解：由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确；由AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC，可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD的三边长，则④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，是基础题．三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sin A sin C＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），当•取最小值时，判断△ABC的形状．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b2＝ac．由正弦定理得sin2B＝sin A sin C．又sin A sin C＝，所以sin2B＝．因为sin B＞0，则sin B＝．因为B∈（0，π），所以B＝或．又b2＝ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B＝．（Ⅱ）因为向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），所以•＝﹣cos A+cos2A＝﹣cos A+2cos2A﹣1＝2（cos A﹣）2﹣，所以当cos A＝时，•取的最小值﹣．因为cos A＝，所以．因为B＝，所以A+B．从而△ABC为锐角三角形．【点评】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，求出AD＝CD，即可求AF的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG∥平面PAD，∵直线EF∥平面PAD，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG∥平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD＝CD．∵∠ADC＝120°，AB＝4，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，AD＝CD＝，∵∠DGF＝60°，DG＝，∴AF＝1（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C（2，2，0），D（0，，0），P（0，0，4）．＝（4，﹣，0）为平面PAC的法向量．设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则∵＝（2，2，﹣4），＝（4，0，﹣4），∴，令z＝3，得x＝3，y＝，则平面PBC的一个法向量为＝（3，，3），设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则cosθ＝＝．∴二面角A﹣PC﹣B余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．（3）分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．【解答】解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332．将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，所以中位数为×（647+687）＝667；（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，即S10＝10×8+＝4130；（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意可知x i＝8×7＝56，＝8×4＝32，y i＝16，＝2×1＝2，故样本平均数为＝×（x i+y i）＝×（56+16）＝7.2；样本方差为s2＝×[+]＝×{+}＝×[﹣0.4（x i﹣7）+8×0.22++1.6（y i﹣8）+2×0.82]＝×（32﹣0+0.32+2+0+1.28）＝3.56；所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【点评】本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且•＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的标准方程为+＝1．（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，则原点O到直线AB的距离为d＝，联立方程，化简得，（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，由△＞0得4k2﹣n2+3＞0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+n）（kx2+n）＝（k2+1）x1x2+kn（x1+x2）+n2＝t即（7d2﹣12﹣4t）k2+7d2﹣12﹣3t＝0对任意的k∈R恒成立，则，解得t＝0，d＝，当直线AB斜率不存在时，也成立．故当t＝0时，O点到直线AB的距离为定值d＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．【分析】（1）当a＝2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）先求得g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a的范围；（3）h′（αx1+βx2）＜0．理由：由题意可得，f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，化简可得m＝﹣（x1+x2），可得h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），由条件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）＝2lnx﹣x2，可得，函数f（x）在[，1]是增函数，在[1，2]是减函数，所以f（1）取得最大值，且为﹣1；（2）因为g（x）＝alnx﹣x2+ax，所以g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，即有a≥在（0，3）的最大值，由y＝的导数为y′＝＞0，则函数y＝在（0，3）递增，可得y＜，则a≥；（3）由题意可得，h′（x）＝﹣2x﹣m，又f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，∴2lnx1﹣x12﹣mx1＝0，2lnx2﹣x22﹣mx2＝0，两式相减，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）＝m（x1﹣x2），∴m＝﹣（x1+x2），于是h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣m＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．可得h′（αx1+βx2）＜0．要证：h′（αx1+βx2）＜0，只需证：﹣＜0，只需证：﹣ln＞0．（*）令＝t∈（0，1），∴（*）化为+lnt＜0，只证u（t）＝+lnt即可．∵u′（t）＝+＝﹣＝，又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，故有u（t）＜u（1）＝0，∴+lnt＜0，即﹣ln＞0．∴h′（αx1+βx2）＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]22．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．【分析】（1）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，【解答】解（1）∵P点的极坐标为，∴＝3，＝．∴点P的直角坐标把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x ﹣2y﹣7＝0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）化简f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≤x+10的解集．（Ⅱ）由题意可得f（x）在x∈[﹣1，5]上的最小值大于或等于g（x）的最大值．。

2021-2022年高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题含答案

2021年高三下学期第六次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，） 1．集合，，则（）A 、B 、C 、D 、 2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A ． B ．C ．D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 4．已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（） A. B. C. D. 5．数列的前n 项和为，若，则( ) A. B. C.D.6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为 A ．B ．或C ．D ．或8．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，则｜a －b ｜＝A ．5B ．C ．2D ．6 9．二项式展开式中的系数是( )A ．-14B ．14C ．-28D ．28 10．在△ABC 中，若,，则b=（） A ．3 B ．4 C.5 D .611．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数的零点的个数为开始否 n ＝3n +1n 为偶数k ＝k ＋1 结束n ＝5，k ＝0 是输出k n 否是A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( ) A ． B ． C D二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)． 13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___．14．若整数．．满足0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则的最大值为． 15．向平面区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x .内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率等于_______．16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数18．（本小题满分12分） A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 1 5％ 10％ P0.80.2X 2 2％ 8％ 12％ P0.20.50.3（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将万元投资A 项目，万元投资B 项目，表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指C 1B 1A 1出x 为何值时，取到最小值．（注：）19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 20．（本小题满分12分）已知两定点，和定直线l ：，动点在直线上的射影为，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程并画草图；（Ⅱ）是否存在过点的直线，使得直线与曲线相交于，两点，且△的面积等于？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 21．（本小题满分12分）已知函数，且.（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一．．．题．作答，如果多做，按所做第1题计分。

高三数学六调考试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021～2021第二学期高三年级六调考试理科数学试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1.，，为虚数单位，且，那么的值是〔〕A.4B.C.-4D.【答案】C【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，应选C考点：此题考察了复数的运算点评：纯熟掌握复数的概念及运算法那么是解决此类问题的关键，属根底题2.集合，，那么以下结论中正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.【此处有视频，请去附件查看】3.的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，那么的面积为〔〕A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】画出△ABC，通过，2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．应选：B．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考察转化思想与计算才能．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的外表积为〔〕A. B. C.8 D.4【答案】D【解析】试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的外表积为：，应选D．考点：1、三视图；2、多面体的外表积．【此处有视频，请去附件查看】5.七巧板是我国古代劳动人民的创造之一，被誉为“模板〞，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形一共七块板组成的.如下列图的是一个用七巧板拼成的正方形，假设在此正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进展挪动，可得黑色局部面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为那么①处面积和右下角黑色区域面积一样故黑色局部可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色局部面积为：那么所求概率为：此题正确选项：【点睛】此题考察几何概型中的面积类问题，属于根底题.6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，那么的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，将函数化为再向左平移〔〕个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或者最小值,即或者,所以,即,又,所以的最小值是.考点：对定义的理解才能,三角函数恒等变性,三角函数图象及性质.7.，，，那么以下选项正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，，那么a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f 〔x〕，那么f′〔x〕，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【详解】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f〔x〕，那么f′〔x〕，当x＝e时，f′〔x〕＝0，当x＞e时，f′〔x〕＞0，当0＜x＜e时，f′〔x〕＜0∴f〔x〕在〔e，+∞〕上，f〔x〕单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，应选：D．【点睛】此题考察了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，假设是以为底边的等腰三角形，那么双曲线的离心率为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，那么，即，∴．考点：抛物线的HY方程及几何性质．9.如图①，利用斜二侧画法得到程度放置的的直观图，其中轴，，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，那么输出的值A.12B.10C.9D.6【答案】A【解析】【分析】由斜二侧画法的画图法那么，结合可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法那么，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9那么由S＝kS′得k＝2，那么T＝T〔m﹣1〕＝T2〔m﹣1〕故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进展循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进展循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进展循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进展循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进展循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12应选：A．【点睛】根据流程图〔或者伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图〔或者伪代码〕，从流程图〔或者伪代码〕中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据〔假设参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进展分析管理〕⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.边形“扩展〞而来的多边形的边数为，那么〔〕A.；B.；C.；D.【答案】A【解析】，猜想,,,应选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，那么的面积的最小值为〔〕A. B. C.1 D.【答案】B【解析】试题分析：：∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，那么∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合12.假设函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，那么称为“柯西函数〞，那么以下函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数〞的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点一共线，结合“柯西函数〞定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点一共线.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点一共线，结合“柯西函数〞定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点一共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像假设f(x)与直线y=kx有两个交点，那么必有k≥2，此时，，所以〔x＞0〕，此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又〔e,1〕不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O一共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.应选：B【点睛】此题主要考察柯西不等式，考察学生对新概念的理解和应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.二、填空题〔每一小题5分，一共20分.把答案填在答题纸的横线上〕13.假设等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，那么________【答案】【解析】，那么其常数项为，所以，那么14.在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，那么的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目的函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴考点：线性规划.15.数列的前项和为，且，那么使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适宜上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.考点：1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.16.假设四面体的三组对棱分别相等，即，，，那么________.〔写出所有正确结论的编号〕①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱互相垂直③连接四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如下列图；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，那么正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，那么错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互相垂直平分，那么正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，那么正确．故答案为：．【点睛】三、解答题〔本大题一一共6小题，一共62分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，写在答题纸的相应位置〕17.设的三内角、、的对边长分别为、、，、、成等比数列，且.〔I〕求角的大小；〔Ⅱ〕设向量，，当取最小值时，判断的形状.【答案】〔I〕；〔Ⅱ〕为锐角三角形.【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；〔Ⅱ〕根据向量的数量积公式进展计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．【详解】〔I〕因为、、成等比数列，那么.由正弦定理得.又，所以·因为，那么.因为，所以或者.又，那么，当且仅当a=c等号成立，即故.〔Ⅱ〕因为，所以.所以当时，，于是.又，从而为锐角三角形.【点睛】此题主要考察三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决此题的关键，考察学生的运算才能．18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.〔1〕求证：；〔2〕设为的中点，点在线段上，假设直线平面，求的长；〔3〕求二面角的余弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕1；〔3〕.【解析】【分析】〔1〕利用线面垂直的断定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；〔2〕取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF的长；〔3〕建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【详解】〔1〕∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.〔2〕取中点，连接，那么平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，那么三角形AMF为直角三角形，又，故〔3〕分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，那么，即，令，得，，那么平面的一个法向量为，设二面角的大小为，那么.所以二面角余弦值为.【点睛】此题考察线面垂直的断定定理与性质，考察二面角，考察学生分析解决问题的才能，考察向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道总分值是10分的选做题，学生可以从，〔1〕假设采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；〔2〕假设采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：〔3〕假设采用分层轴样，按照学生选择题目或者题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中【答案】【解析】【分析】〔1〕由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数〔2〕按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和。

2023年河北省衡水中学高考数学六调试卷+答案解析(附后)

2023年河北省衡水中学高考数学六调试卷1. 某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为( )A. 40B. 36C. 34D. 322. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则k ，c 的值分别是( )A. ，eB.C. D. 2，e4.设向量与的夹角为，定义已知向量为单位向量，，，则( )A. B.C.D.5. 的展开式中的系数为( )A. 5B. C. 15 D.6. 用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方法种数为( )A. 6B. 10C. 16D. 207. 为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为( )A. B. C. D.8. 已知实数a ，b ，c 满足，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.B.C.D.9. 某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生都参加且每人只参加其中一个社团，校团委从全校学生中随机选取一部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，则( )A. 选取的这部分学生的总人数为500B. 合唱社团的人数占样本总量的C. 选取的学生中参加机器人社团的人数为75D. 选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍10. 在二项式的展开式中( )A. 常数项是第4项B. 所有项的系数和为1C. 第5项的二项式系数最大D. 第4项的系数最小11. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是( )A. A与B相互独立B. A与D互为对立C. B与C互斥D. B与D相互独立12. 已知数列的前n项和为，且或的概率均为…，，设能被3整除的概率为，则( )A. B.C. D. 当时，13. 有一组样本数据，，，，该样本的平均数和方差均为在该组数据中加入1个数m，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________.14.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是合格品的概率为______.15. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出，令，记是的前n项和，则______ .16. 在三棱锥中，若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______ .17. 从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间单位：，数据如表所示：路线一44586650344250386256路线二62566862586161526159将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和，经计算可得求；假设路线一的全程时间X服从正态分布，路线二的全程时间Y服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲、乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人的要求，司机送甲、乙去机场应该分别选哪条路线？18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求A；若D为线段BC延长线上的一点，且，，求19. 某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．在试产初期，该款芯片的批次M生产前三道工序的次品率分别为，，①求批次M芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次M的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；该企业改进生产工艺后生产了批次N的芯片．某手机生产厂商获得批次M与批次N的芯片，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，安装批次M有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N有60部，其中对开机速度满意的有58人．依据的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关？附：20. 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值其中：，得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m或等级A级B级根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在的零件的件数为，求的分布列和数学期望；该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.21. 如图，直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E ，F分别为AC，BC，的中点，，G为线段DE上一动点.证明：；求平面与平面夹角的余弦值的最大值.22. 汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码12345销量万辆1012172026统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；为了解购车车主的性别与购车种类分为新能源汽车与传统燃油汽油车的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当w为何值时，最大．附：为回归方程，答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据分层抽样的定义可得此样本中女生人数为人．故选：根据分层抽样的定义建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】解：因为，所以令，解得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：化简z，求出，由求得a的取值范围，由充分必要条件的定义即可得解．本题主要考查充分必要条件的判断，复数的运算，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意得，由题意可知，，则又经验回归方程为，，，即故选：由，得，结合，即可求解．本题考查线性回归方程的运用，是中档题．4.【答案】C【解析】解：已知向量为单位向量，则，又，解得，又，，，故选：先阅读题意，然后结合平面向量数量积的运算及平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．5.【答案】C【解析】解：可看作5个相乘，展开式中可由2种情况获得：①在这5个因式中，取2个式子提供，3个式子提供，则可得到；②在这5个因式中，取1个式子提供，4个式子提供，则可得到，所以的展开式中的系数为故选：利用二项式定理，分类讨论即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：按从左到右数，当第一个是白色时，数到第一个格子时，黑色的格子数为0，白色的格子数为1，不满足黑色格子不少于白色格⼦，同理数到其余格子时也一样，所以不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方案的树状图如下：满足题意的染色方法种数为故选：根据题意画出树状图即可得解．本题考查利用树状图列举事件是情况，属基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查古典概型及其计算，以及排列组合问题，属于中档题．先利用均匀分组和不均匀分组求出6名同学选3种课程的所有可能，再求出恰好有2名同学选传统体育的所有可能，再结合古典概型公式求解．【解答】解：6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一位同学选修，共有种，恰有2名同学选修传统体育的情况：种，则恰有2名同学选修传统体育的概率为故选8.【答案】C【解析】解：由题意知，，，由，得，，，设，则，当时，，单调递增，因，当且仅当时取等号，故，又，所以，故，，则，即有，故故选：通过形式构造函数，通过的性质判断大小关系．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数的大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：A选项，由题意可得，参加演讲社团的人数为50人，占选取的学生总人数的，所以选取的学生的总人数为人，故A正确；B选项，合唱社团的人数为200，则合唱社团的人数占样本总量的，故B错误；C选项，选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的，所以选取的学生中参加机器人社团的人数为人，故C正确；D选项，选取的学生中参加合唱社团的人数为200人，参加机器人社团的人数为75人，故D错误．故选：根据图条形和饼形图逐项求解即可．本题考查统计图的应用，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，对于A，令，得，故常数项是第5项，故A错误；对于B，令，可得所有项的系数和是，故B正确；对于C，由可得，展开式共9项，则第5项的二项式系数最大，故C正确；对于D，因为二项式的展开式的通项公式为，假设第项的系数的绝对值最大，则解得又，所以或，当时，；当时，，所以第4项的系数最小，故D正确．故选：利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共个基本事件，事件A共4个基本事件，事件B共6个基本事件，事件C共6个基本事件，事件D共8个基本事件，A.由于，，，故成立，所以A与B相互独立，故A正确；B.由于Ø，，故A与D是对立事件，故B正确；C.由于Ø，故B与C不互斥，故C不正确；D.由于，，，故成立，所以B 与D相互独立，故D正确．故选：根据事件相互独立、互斥、对立的概念，逐一判断可得选项．本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．12.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，利用递推关系求出，逐项分析可得答案．本题考查等比数列的性质与概率的求法，是中档题．【解答】解：由题可知，被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2，能被3整除的概率为，被3整除的余数分别为1，2的概率为，，，且，为首项为，公比为的等比数列，，即，，A错误；，B正确；，C正确；当，且n为偶数时，，D错误．故选：13.【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的定义计算即可．本题考查了平均数和方差的计算问题，是基础题．【解答】解：样本数据，，，，该样本的平均数和方差均为m，在该组数据中加入1个数m，则新样本数据的平均数为，方差为故答案为：14.【答案】【解析】解：从混合产品中任取1件．取到这件产品是合格品包含以下两种情况，①从第一批抽取，取到这件产品是合格品的概率为，②从第二批抽取，取到这件产品是合格品的概率为，则取到这件产品是合格品的概率为，故答案为：先分为两种情况，再利用全概率公式求解．本题考查全概率公式的应用，属于中档题．15.【答案】【解析】解：依题意，由，可得，当时，则有，，，故答案为：本题由题干已知条件可得，再将代入可得，进一步推导可得，然后代入的表达式并运用裂项相消法进行化简整理可得，最后在求和时运用分组求和法和裂项相消法即可推导出的表达式．本题主要考查数列与组合的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，裂项相消法，组合的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16.【答案】【解析】解：由三棱锥中，；可得，所以，且，所以在中，由余弦定理得，所以，所以又，PA，平面PAC，所以平面PAC，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示，则直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球．设外接圆圆心为，的外接圆圆心为，则直三棱柱的外接球球心为的中点O，连接OA，则OA即为外接球的半径．在中，根据正弦定理可得，所以，所以，所以该外接球的表面积为故答案为：根据已知推得平面PAC，可将三棱锥补为直三棱柱，转化为求直三棱柱的外接球半径即可求解结论．本题考查球的表面积，考查转化的思想和计算能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以，；由知，，由知，，因为，且，所以，因为，，，所以，所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二．【解析】根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．根据已知条件，结合正态曲线的对称性，即可求解．本题主要考查正态曲线的对称性，以及平均数和方差公式，属于中档题．18.【答案】解：由已知得，由正弦定理，得，则，即，所以舍去或，故，所以设，在中，由正弦定理，得①，在中，由正弦定理，得②，所以，所以，解得，又，所以，即【解析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得，可得，利用三角形内角和定理即可求解A的值．设，在，中，由正弦定理，得，利用三角函数恒等变换的应用可求的值，进而可求的值．本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：①批次M芯片的次品率为②设批次M的芯片智能自功检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，则，所以工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，零假设为：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联，列联表如下：单位：人M N合计不满意 10 2 12满意 30 58 88合计 40 60100，依据的独立性检验，我们推断此推断不成立，认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于【解析】①根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．②根据已知条件，求出，，再结合条件概率公式，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：由频率分布直方图可知，质量指标值在250以下的产品所占比例为，在300以下的产品所占比例为，所以分位数一定位于区间内，所以，即估计该产品的质量指标值的分位数为；由频率分布直方图可知，样本的B级零件个数为个，质量指标值在的零件为5个，所以的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123P故的期望；设每箱零件中A级零件有X个，每箱零件的利润为Y元，则B级零件有个，则，由频率分布直方图可知，每箱零件中B级零件的概率为，所以A级零件的概率为，故，所以，所以元即每箱零件的利润是4750元．【解析】根据百分位数在频率分布直方图表示的意义计算即可；先计算出零件为B级的个数，然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望；设每箱零件中A级零件有X个，每箱零件的利润为Y元，运用期望知识求解利润．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列与期望，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：证明：在直三棱柱中，侧面为正方形，，，又，，平面，又，平面，又平面，，，BC，BB所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建系如图，则，，，，，，，设，则，，，，，即；由可知：，设平面的法向量为，则，即，取，设平面的法向量为，则，即，取，设平面与平面的夹角为，则，令，则，，又函数在上单调递增，时，取最小值，即，时，取得最大值为，故平面与平面夹角的余弦值的最大值为【解析】根据线面垂直的判定定理先证明，再建系，根据向量法即可证明；建系，根据向量法，引入变量，构建函数模型，通过函数思想即可求解．本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质，向量法求解面面角问题，函数思想，属难题．22.【答案】解：由题意得，，，则，关于x的线性回归方程为，则当时，即，解得，故x的最小整数值为12，年份，故该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆；①由题意得该地区200位购车车主中女性有名，则其中购置新能源汽车的女性车主有名，购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，由得当，即时，万辆，该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人；②由题意得，其中，则，则，则，由得或，由得，由得，在上单调递减，在单调递增，当，即，此时时，取得极大值也是最大值，，故当为30名时，最大为【解析】由题意得，，利用公式，即可得出答案；①求出购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，由得该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，即可得出答案；②由题意得，其中，则，则，利用导数研究的单调性，即可得出答案．本题考查线性回归方程和用样本数据估计总体，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

2018衡水中学高三六调理科数学试题及答案

2017—2018学年度上学期高三年级六调考试数学(理科)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．已知数集«Skip Record If...»，设函数f（x）是从A到B的函数，则函数f（x）的值域的可能情况的个数为A．1 B．3 C．7 D．82．已知i为虚数单位，且«Skip Record If...»A．1 B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．2 3．已知等差数列«Skip Record If...»的前n项和为«Skip Record If...»A．18 B．36 C．54 D．724．已知«Skip Record If...»为第二象限角，«Skip Record If...»A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»5．已知双曲线«Skip Record If...»轴交于A，B两点，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的面积的最大值为A．1 B．2 C．4 D．86．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A．120种B．156种C．188种D．240种7．在等比数列«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»为A．64 B．81 C．128 D．2438．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为72，27，则输出的«Skip Record If...»A．18 B．9 C．6 D．39．已知点M在抛物线«Skip Record If...»上，N为抛物线的准线l上一点，F为该抛物线的焦点，若«Skip Record If...»，则直线MN的斜率为A．±«Skip Record If...»B．±l C．±2 D．±«Skip Record If...»10．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．经随机模拟实验产生了如下20组随机数：据此估计，该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»11．已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，«Skip Record If...»平面BCD，且«Skip Record If...»，则球O的表面积为A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»12．若对任意的实数t，函数«Skip Record If...»在R上是增函数，则实数a的取值范围是A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．曲线«Skip Record If...»和直线«Skip Record If...»所围成的图形的面积是_________．14．若«Skip Record If...»的值为_________．15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积为_________．16．已知函数«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»为等比数列，«Skip Record If...»«Skip Record If...»____________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)如图，在«Skip Record If...»的平分线BD交AC于点D，设«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是直线«Skip Record If...»的倾斜角．(1)求sin A；(2)若«Skip Record If...»，求AB的长．18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱«Skip Record If...»«Skip Record If...»分别为«Skip Record If...»的中点．(1)在平面ABC内过点A作AM∥平面«Skip Record If...»交BC于点M，并写出作图步骤。

2020年高三6月调研测试(三诊)理数试题及参考答案

12 2
12 2
2
第 10 题解析： f (x) sin 2x cos sin cos 2x sin(2x ) ，由题知 f (x) 的图象关于直线 x 5 对称， 12
故 2 5 k （ k Z ），即 k ，故选 A．
12
2
3
第 11 题解析：由题知 A 在第一象限， B 在第四象限，由 AB 3BP 知 xA 4xB ，则 yA 2 yB ，
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0) ，将其左右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为 4 的正方形．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l：y
kx
m
(k
0，m
0)
与椭圆
C
交于
P，Q
两点（均不在
y
轴上），点
A(0，
m 2
)
，若
直线 AP，PQ，AQ 的斜率成等比数列，且 OPQ 的面积为
6 2
（
一、选择题
1～6 BADDAC 7～12 DDBACB
第5
题解析： a2
a7
a9
3a6
27
a6
9 ， S8
S9
a9
0 ， d
a9
a6 3
3 ，选
A．
第 6 题解析： 110， 10 ，故 P( X 130) P( X 2 ) 1 0.9544 0.0228 ，估计学生人数为 2
（1）求 {an } 的通项公式；
（2）若数列{bn}满足 b1
0 ， bn1
bn
1 ，设 cn
abnn，，
n n
为奇数为偶数
，求数列{cn}的前 2n 项和．

河北省衡水中学2019届高三数学六调考试试题理(含解析)

2018～2019学年度第二学期高三年级六调考试理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C 考点：本题考查了复数的运算点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.【此处有视频，请去附件查看】3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】画出△ABC，通过，2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．考点：1、三视图；2、多面体的表面积．【此处有视频，请去附件查看】5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考点：对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【详解】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m ＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】试题分析：：∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴考点：线性规划.15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.考点：1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且. （I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.【答案】（I）；（Ⅱ）为锐角三角形.【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．【详解】（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故. （Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.【点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【详解】（1）∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.【答案】（1）667（2）4130（3）平均数为7.2，方差为3.56 【解析】【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和。

贵州省六校2023届高三下学期适应性考试(三)数学(理)试题及答案

理科数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1A x x =，集合{}ln B x y x ==，则A B ⋂=（）A.(]1,0-B.[)1,0-C.[]0,1D.(]0,12.设13i 1iz +=+，则在复平面内z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.高三某班级体温检测员对甲、乙两名同学1至7日的体温进行了统计，其结果如图1所示，则下列结论不正确的是（）A.甲同学的体温的极差为0.5℃B.甲同学的体温的众数为36.3℃C.乙同学的体温比甲同学的体温稳定开始D.乙同学的体温的中位数与平均数不相等4.若某程序框图如图2所示，已知该程序运行后输出S 的值是511，则判断框的条件可能是（）A.9kB.10k >C.11k > D .12k >5.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图3甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.已知半球的半径为R ，酒杯内壁表面积为26R π，则圆柱的高和球的半径之比为（）甲乙A.2:3B.2:1C.3:1D.3:26.已知数列{}n a 中，2123n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=+，则2462n a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A.222n n +B.23n n +C.262n n -D.222n +7.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，将函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到的函数图象经过原点，则ϕ的最小值为（） A.12πB.6π C.4π D.2π 8.一个楼梯共有11级台阶，甲同学正好站在第11级台阶上，现在他每步可迈1级、2级或3级台阶，甲从第11级台阶走到第6级台阶（只能向前走），一共有多少种不同的走法？（） A.11种 B.12种 C.13种 D.14种 9.已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++在x a =处取得极小值，则实数a 的取值范围为（） A.[)1,+∞B.()1,+∞C.(]0,1D.()0,110.已知实数x ，y 满足22242x xy y -+=，则2x y +的最大值为（）A.2B.2C.22D.411.已知双曲线E 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过1F 的直线1l 与E 的左支相交于A ，B 两点，过2F 的直线2l 与E 的右支相交于C ，D 两点，若四边形ABCD 为平行四边形，以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则E 的方程为（）A.22221x y -= B.223312y x -= C.224413y x -= D.2255123x y -=12.已知函数()23,0,4,0x x f x x a a x ⎧-+<⎪=⎨-->⎪⎩的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数a 的取值范围是（）A.61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .171,12⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ C.1317,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D.67,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知单位向量1e 和2e ，满足()1222e e e -⊥则1e 和2e 的夹角θ等于______.14.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足：44a =，则828387log log log a a a ++的值为______. 15.已知动点M 到点()0,0O 和点()4,0A 的距离之比为1:3，若至少存在3个点M 到直线l ：0kx y k --=的距离为12，则k 的取值范围为______.16.如图4，若正方体的棱长为2，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 上的一个动点（含边界），E ，F 分别是棱BC ，1DD 上的中点，有以下结论： ①PAE △在平面11CDD C 上的投影图形的面积为定值； ②平面AEF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ③PE PF +的最小值是14；④若保持22EP =，则点P 在上底面内运动路径的长度为23π其中正确的是______.（填写所有正确结论的序号）三、解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）为了检测甲、乙两名工人生产的产品是否合格，一共抽取了40件产品进行测量，其中甲产品20件，乙产品20件，分别称量产品的重量（单位：克），记重量不低于66克的产品为“合格”，作出茎叶图如图5：（1）分别估计甲、乙两名工人生产的产品重量不低于80克的概率；（2）根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关？甲乙合计合格不合格合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.84118.（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6a =，5b =，且sin sin 20A B -= （1）求cos C 的值；（2）若点M ，N 分别在边AB 和AC 上，且AMN △与ABC △的面积之比为13，求MN 的最小值19.（本小题满分12分）如图6甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，且满足AB CD EF ∥∥，244AB EF CD ===，AB BC ⊥，45A ∠=︒，将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得C ，D 分别到1C ，1D 的位置，并且13BC （1）求证：11ED BC ⊥；（2）求平面1AD E 与平面1BC F 所成的二面角的余弦值甲乙20.（本小题满分12分）已知抛物线C ：()220x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 在直线l ：3y =-上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当MN 最小时，求ABMN的值. 21.（本小题满分12分）已知函数()e xf x =（1）求曲线()f x 在0x =处的切线l 的方程，并证明除了切点以外，曲线()f x 都在直线l 的上方；（2）若不等式21e cos 02xx mx x ---对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点在x 轴上，中心为原点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，D 为上顶点，12sin 3OF D ∠=，焦距为25O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为cos 2sin 100ρθρθ+-= （1）写出直线1l 的直角坐标方程和C 的一个参数方程；（2）已知不过第四象限的直线2l ；20x y z --=与C 有公共点，求z 的最大值与最小值 23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()225f x x x =---（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若()2f x x a ≤-，求实数a 的取值范围理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1.由{}11A x x =-，{}0B x x =>得{}{}{}11001A B x x x x x x ⋂=-⋂>=<，故选D.考查目标：本题主要考查集合的交集运算，考查学生数学运算的核心素养.2.21i 1iz ===-+，故1i z =+，故选A. 考查目标：本题主要考查复数的四则运算和几何意义，考查学生数学运算的核心素养.3.对于A ：甲同学的体温的极差为36.636.10.5-=℃，故A 选项正确；对于B ：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B 选项正确；对于C ：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故C 选项正确；对于D ：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，D 选项错误，故选D.考查目标：本题主要考查统计图形中的样本数字特征，考查学生逻辑推理和数据分析的核心素养. 4.假设先执行若干次循环：0S =，1k =；113S =⨯，3k =；111335S =+⨯⨯，5k =，…，111113355779S =+++⨯⨯⨯⨯，9k =；111111115113911233591111S ⎛⎫=+⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅-= ⎪⨯⨯⎝⎭，11k =；结束循环，再分析选项，只有符合题意，故选B.考查目标：本题主要考查程序框图与数列裂项求和，考查学生数学运算的核心素养.5.设圆柱的高为h ，因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱侧面的表面积之和，即2214262R R h R πππ⨯+⋅=，解得2h R =，所以圆柱的高和球的半径的比为2:1，故选B.考查目标：本题主要考查空间立体几何圆柱与球，考查学生数学抽象与数学运算的核心素养. 6.当1n =时，12a =，当2n 时，∵2123n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=+①，∵()22123111n a a a a n n n n -+++⋅⋅⋅+=-+-=-②，①−②得：2n a n =，当1n =时也成立，故2a ，4a ，6a ，…，2n a 构成首项是24a =，公差4d =的等差数列，所以()22462144222n n n a a a a n n n -+++⋅⋅⋅+=+⨯=+，故选A. 考查目标：本题主要考查等差数列基本量的运算，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养. 7.∵函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，∴2323πωπ==，将函数()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到的图象对应的解析式为()sin 34y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦.因为其图象经过原点，所以sin 304πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以34k πϕπ+=，k ∈Z ，解得312k ππϕ=-，k ∈Z .又0ϕ>，所以ϕ的最小值为3124πππ-=，故选C. 考查目标：本题主要考查三角函数图象的变换，考查学生逻辑推理、数学运算的核心素养. 8.从10级台阶至6级台阶分别用1n =至5n =表示，n a 表示甲走到第n 级台阶时，所有可能不同的走法，则①从第11级台阶迈步到第10级台阶需要1步，即当1n =时，11a =；②从第11级台阶迈步到第9级台阶可以一步一级跨，也可以一步跨2级台阶，即当2n =时，22a =；③从第11级台阶迈步到第8级台阶可以一步一级跨，也可以一步跨3级台阶，还可以第一步跨1级台阶，第二步跨2级或第一步跨2级，第二步跨1级，即当3n =时，34a =；当4n =时，分三种情况讨论，如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有34a =（种）跨法.如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有22a =（种）跨法.如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有11a =（种）跨法.根据加法原理，有41237a a a a =++=，类推，当5n =时，甲只能从2，3，4跨到5，则523424713a a a a =++=++=，故选C.考查目标：本题主要考查计数原理与排列组合，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养. 9.()()()()11x a x a f x x a x x--'=-++=，要使函数()f x 在x a =处取得极小值，则1a >，故选B.考查目标：本题主要考查导数与极值，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养.10.22242x xy y -+=可变形为()2226x y xy +-=，因为2263232x y xy x y +⎛⎫=⋅⋅⨯ ⎪⎝⎭，所以()2222232x y x y +⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭，解得22222x y -+，当且仅当2x y =即2x =，22y =时，2x y +取到最大值22，故选C.考查目标：本题主要考查不等式的性质，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养.11.设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有12CF x a =+，2222DC DF CF x a =+=-，由于1F 在以AD 为直径的圆周上，∴11DF AF ⊥，∵ABCD 为平行四边形，AB CD ∥，∴1DF DC ⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得3x a =，13DF a =，2DF a =；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，又因为1c =，225a =，235b =，双曲线的方程为2255123x y -=，故选D.考查目标：本题主要考查双曲线的性质和方程，考查学生逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养.12.问题转化为方程：243x a a x --=-有三个大于0的根，即等价于()4s x x a a =--与()23g x x =-在0x >上有三个交点，如图1所示，显然，当0a 时，不符合题意.当0a >时，()43,0,445,,x a x a s x x a a x a x a -+<⎧=--=⎨->⎩只需满足()()s a g a <且方程：()2453x a x x a -=->有两根，即可（需验算两根均大于a ，验算根符合条件的过程略）.()()223,131725Δ44530a a a a ⎧-<--⎪⇒<<⎨=--->⎪⎩，故选C.考查目标：本题主要考查函数的性质综合，考查学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13.依题意有()12220e e e -⋅=，122220e e e e ⋅-⋅=，解得1cos 2θ=，故3πθ=. 考查目标：本题主要考查平面向量，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养. 14.∵3414a a q ==，则()()338283878237818log log log log log log 642a a a a a a a q++=⋅⋅===.考查目标：本题主要考查等比数列和指、对数运算，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养.15.设点M 的坐标为(),xy ，有()2222194x y x y +=-+，整理得221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以M为圆上的点，直线l ：0kx yk --=过定点()1,0，点()1,0在圆上，设d 为圆心1,02⎛⎫-⎪⎝⎭到直线l 的距离，令1d =，解得2555k -，故55k ⎡∈-⎢⎣⎦. 考查目标：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养. 16.①PAE △在平面11CDD C 上的投影图形为底为2高为2的三角形，故投影图形的面积为定值2，故①正确；②如图2，取1CC 的四等分点M ，则EM AF ∥，平面AEF 截该正方体所得的截面图形是AEMF ，为四边形，故②错误；③如图2，延长1FD ，使得11FD D N =，连接EN 交上底面1111A B C D 于点P ，则PE PF PE PN EN +=+=，当E ，P ，N 三点共线时，其和最小为EN ，且ED =3ND =， ∴EN =PE PF +④如图2，建立空间直角坐标系，则()1,2,0E ，(),,2P x y ，∵22EP =，即()()()222212222x y -+-+=，化简得圆O ：()()22124x y -+-=，如图3，点P 在上底面内运动路径的长度为劣弧HI ，记为l ，∵2HI OH OI === ∴3HOI π∠=，2233l R ππθ=⋅=⨯=故④正确. 【评分标准】有错选不得分，漏选给2分，全对给5分.考查目标：本题主要考查立体几何综合问题，考查学生数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）解：（1）设工人甲生产的产品重量不低于80克的概率为 P 甲，则 51204P ==甲，工人乙生产的产品重量不低于80克的概率为 P 乙，则 920P =乙（2）根据茎叶图得列联表如下：甲乙合计合格 12 17 29 不合格 8 3 11 合计202040()2240123178 3.135 2.706,20201129K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故判断有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关.考查目标：本题主要考查茎叶图与独立性检验，考查学生逻辑推理、数学运算与数据分析的核心素养.18.（本小题满分12分）解：（1）∵sin 3sin sin 20sin 2sin cos cos 2sin 25A a AB A B B B B b -=⇒=⇒===，又∵0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4sin 5B =，∴24sin 2sin cos 25A B B ==，又∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴27cos 1sin 25A A =-= ∴()732443cos cos cos cos sin sin 2552555C A B A B A B =-+=-+=-⨯+⨯= （2）设AM m =，AN n =，由（1）知3cos cos 5B C ==，∴5c b ==，又∵:1:3AMN ABC S S =△△，∴111125sin sin 32323AMN ABC S S mn A bc A mn =⇒=⋅⇒=△△∴222142cos 21225MN m n mn A mn mn =+--=，所以MN 的最小值为23.考查目标：本题主要考查正余弦定理与最值问题，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养. 19.（本小题满分12分）（1）证明：∵在图甲中，AB CD EF ∥∥，244AB EF CD ===，AB BC ⊥， ∴在图乙中有，1EF FC ⊥，EF BF ⊥，又∵1FC 与BF 是平面1BC F 内的交线， ∴EF⊥平面1BC F ，∴1EF BC ⊥，如图4，分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，易知111MF C D ==，∴1EM=，又145FED BAE ∠∠==︒，∴111C F D M EM ===，同理2BF EN AN ===，又1BC = ∴22211C F BC BF +=，∴11BC C F ⊥，又EF 与1C F 是平面11C D EF 内的交线， ∴1BC ⊥平面11C D EF ，∴11BC ED ⊥（2）解：由（1）易知，可以1C 为原点，分别以射线1C F ，1C B ，11C D 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，相应各点的坐标如下：()10,0,1?D，()A ，()1,0,2E ，()11,0,1D E =，()1D A = 设平面1AD E 的一个法向量为()1,,1n x y =由1111111110,1,,0,300x x D E n D E n y D A n D A n ⎧⎧⎧+==-⎧⊥⋅=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨+==⊥⋅=⎪⎩⎪⎪⎩⎩ ∴()11,n =-，平面1BC F 的一个法向量为()20,0,1n =，121212cos ,1n n n n n n ⋅===+⋅， ∴平面1AD E 与平面1BC F 考查目标：本题主要考查异面直线垂直的判定、二面角的余弦值，考查学生逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养. 20.（本小题满分12分）解：（1）因为点()02,y 在抛物线C ：()220x py p =>上，所以02y p=，由抛物线的性质得：222pp +=，解得2p =，即抛物线C 的方程为24x y = （2）由题意可设(),3D t -，0t ≠，()11,A x y ，因为214y x =，所以12y x '=，即112AD k x =，故111312y x x t +=-，整理得11260tx y -+=，设点()22,B x y ，同理可得22260tx y -+=，则直线AB 方程为：260tx y -+=，令3y =-得12x t =-，即点12,3M t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为直线NF 与直线AB 垂直，所以直线NF 方程为：21y x t=-+ 令3y =-得2x t =，即点()2,3N t -， ∴12246MN t t=+，当且仅当122t t=时，26t =时上式等号成立，联立2260,4,tx y x y -+=⎧⎨=⎩得22120x tx --=， ∴122x x t +=，21212,Δ4480x x t ⋅=-=+>AB ===∴4AB MN =考查目标：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的综合问题，考查学生数学运算的核心素养.21.（本小题满分12分）解：（1）()e x f x '=，()01f =，即切点为()0,1，该点处的斜率()01k f ='=，故切线l ：1y x =+，证明除了切点以外()f x 都在l 的上方，即证e1xx +恒成立，当且仅当0x =时取等号，令()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，当0x 时，()0h x '，()h x 单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，()()()min 00h x h x h ==，故e1xx +，当且仅当0x =时取等号，∴除了切点以外()f x 都在l 的上方. （2）令21()e cos 2xs x x mx x =---，()e sin x s x x m x =--+'，∵()00s =，（i ）当1m >时，()010s m =-<'，故存在0x 使得在[)00,x ，()s x 单调递减，()()000s x s <=与题意矛盾；（ii ）当1m 时，要证21e cos 02xx mx x ---，即证21e cos 02xx x x --- 即证()21e 11cos 02xx x x ⎛⎫---+- ⎪⎝⎭，令()21e 12xm x x x =---，()1cos t x x =- ()e 1x m x x =--'，由（1）可知，()e 10x m x x =--'故()21e 12xm x x x =---在区间[)0,+∞上单调递增，∴()()()min 00m x m x m ==，∴()0m x ，显然()1cos 0t x x =-，即()()0m x t x +在0x =时取等号成立. 综上，实数m 的取值范围是(],1-∞考查目标：本题主要考查利用导数求切线方程与证明、求参数的取值范围，考查学生数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.22.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）直线1l 的直角坐标方程为2100x y +-=，由题可知5c =因为12sin 3OF D ∠= 所以123OD b DF a ==，又222a b c =+，解得3,2,a b =⎧⎨=⎩∴22194x y +=，则椭圆C 的一个参数方程为3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.【答案不唯一，酌情给分】（2）已知直线2l ：20x y z --=，得2z x y =-，因为直线2l 与椭圆C 有公共点，设()3cos ,2sin M ϕϕ是椭圆C 上的点，则()33cos 4sin 5sin tan 4z ϕϕϕθθ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，因为()1sin 1ϕθ--，所以[]5,5z ∈-，又因为直线2l 不经过第四象限，所以z 的最大值为0，最小值为5-.考查目标：本题主要考查椭圆的参数方程、直线与椭圆的综合问题，考查学生直观想象与数学运算的核心素养.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）由题得，()8,2,225312,25,?8,5,x x f x x x x x x x -<⎧⎪=---=-⎨⎪->⎩则()y f x =的图象如图5，令3121x -=，解得133x =；令81x -=，解得7x =，由图可知，不等式()1f x >的解集为13,73⎛⎫⎪⎝⎭. （2）如图6，在同一坐标系中画出()y f x =与2y x a =-的图象，当点()5,3A 在2y x a =-的图象上时，代入点()5,3A 可得325a =⨯-，解得72a =或132（舍去），当点()8,0B 在2y x a =-的图象上时，可得028a =⨯-，解得8a =，数形结合可得72a或8a ，即实数a 的取值范围是[)7,8,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦.考查目标：本题主要考查双绝对值不等式求解和函数图象的应用，考查学生直观想象与数学运算的核心素养.。

高考专题高三六调理数答案.docx

2014-2015学年度第二学期六调考试高三数学答案（理科）一、选择题 DCCCD DADDB AA二、填空题 13. 0 14.-1 15.2116. 3三、解答题17.所以1a 的取值范围为()()+∞-,33,9Y19.解：（1）如图以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CA =，(0)CB t t =>，PE CB μ=u u u r u u u r ，则(0,0,0)C ， (1,0,0)A ，(0,,0)B t ，13(,0,)2P ，13(,,)2E t μ，由AM ANAE APλ==，得 13(1,,)2M t λλμλ-，13(1,0,)2N λλ-，(0,,0)MN t λμ=-u u u u r ，0(0,0,1)n =u u r是平面ABC 的一个法向量，且00n MN ⋅=u u r u u u u r ，故0n MN ⊥u u r u u u u r，又∵MN ⊄平面ABC ，即知//MN 平面ABC ，又∵B ，C ，M ，N 四点共面，∴////MN BC PE ；（2）(0,,0)MN t λμ=-u u u u r，13(1,,)2CM t λλμλ=-u u u u r ，设平面CMN 的法向量1111(,,)n x y z =u u r ，则10n MN ⋅=u u r u u u u r ，10n CM ⋅=u u r u u u u r，可取1(1,0,)3n λ=u u r ，又∵0(0,0,1)n =u u r 是平面ABC 的一个法向量，由0101|||cos |||||n n n n θ⋅=⋅u u r u u r u u r u u r ，以及45θ=o 可得22||232(2)13λλλ=-+，即22440λλ+-=，解得31λ=-（负值舍去），故31λ=-.20.解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4||23EF >=，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，223c a b =-=，则1b =， 3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=． 4分(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k 6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km 由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k8分此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而(2,0)(0,2)m ∈-U ．故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+=||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-= 10分又22221212144x x y y +=+= 则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值． 12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立．综上：S S S 21+⋅+∞∈),45[π14分21. （Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，∵1()ln x f x x ax-=-， ∴22211(1)11()()x ax a x axa f x ax x ax x-⨯---'=-==-，若0a <，因0x >，所以10x a->，故()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；若0a >，当1(0,)x a∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．综上，若0a <，函数()f x 的单调减区间为(0,)+∞；若0a >，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，单调减区间为1(,)a+∞．（Ⅱ）1a =时，11()ln 1ln x f x x x x x-=-=--，由（Ⅰ）可知，1()1ln f x x x=--在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故在1[,1]2上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以函数()f x 在1[,2]2上的最大值为1(1)1ln101f =--=；而11()12ln1ln 222f =--=-+；11(2)1ln 2ln 222f =--=-， 113(2)()ln 2(1ln 2)2ln 2 1.520.70.10222f f -=---+=->-⨯=>，所以1(2)()2f f >，故函数()f x 在1[,2]2上的最小值为1()1ln 22f =-+．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数1()1ln f x x x=--在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故函数()f x 在(0,)+∞上的最大值为(1)11ln10f =--=，即()0f x ≤．故有11ln 0x x --≤恒成立，所以11ln x x -≤，故12ln 1x x-≤+，即21ln e x x x+≤． 23. 解：（1）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得11333344x t x y y t-⎧=⎪--⎪⇒=⎨-⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为：4350x y -+=，………………………2分由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒= 又222,cos x y x ρρθ=+=所以，圆C 的标准方程为222()x a y a -+=，………………………5分（2）因为直线l 与圆C 恒有公共点，所以22454(3)a a +≤+-，…………7分两边平方得2940250,(95)(5)0a a a a --≥∴+-≥所以a 的取值范围是559a a ≤-≥或.……………………………………………10分。

河北省衡水中学2023届高三(上)六调数学试卷(理科)(解析版)

1、目前临床上应用的GnRH激动剂均为注射的缓释剂，一般每28天重复注射一次，最长不要超过33天。

由于GnRH-a 注射后开始1～2周内可以短暂地升高雌激素水平，以后才出现雌激素的受抑减低，所以在用药后两周左右可有疼痛加重以及阴道出血的现象，称为“点火效应（flare-up）”一般维持的时间不会太长，如果症状较重，可以对症处理。

一般建议第一针GnRH-a在月经周期的第1～5天开始注射,以后每28天一次。

如果能除外妊娠的可能，最好在黄体中期（月经周期21天）注射，这样“点火效应”的时间与月经期一致，可以减少一次阴道出血。

手术后可以立即用药，如果正处于月经的前半阶段，用第一针GnRH-a时，可以加上孕激素如安宫黄体酮，每天6mg，共用10天，停孕激素后相当于来一次正常的月经，避免了阴道不规则出血或者出血过多。

一般情况下，用药第一个月无明显反应，第二个月开始出现绝经期症状，其严重程度有较大的个体差异。

个别情况下注射GnRH-a可出现一过性血压降低或皮疹等过敏症状，因此第一次注射一定要在医院内进行，最好不要在家中自行用药。

GnRH-a对肝肾功能的影响很小，其与低雌激素血症相关的副反应，可以用反加雌激素来对抗，因此GnRH-a是目前唯一副作用可以控制的治疗子宫内膜异位症的药物，在发达国家已经成为治疗子宫内膜异位症的一线用药。

2、这个话题比较有意思，我想起刚上班的时候在外科轮转，因为定的是妇产科，当时外科一老师就问我，你说血HCG值阴性的话为啥化验结果不是0而是一个范围，比如0-25。

我当时只想着是试剂本身的误差了。

HCG即人绒毛膜促性腺激素，是英文human chorionic gonadotrophin三个英文的首字字母缩写，是由胎盘的滋养层细胞分泌的一种糖蛋白，它是由α和β二聚体的糖蛋白组成。

HCG检测试纸为使用最广泛的检测人绒毛膜促性腺激素的检测工具。

1）. 但α-亚单位为垂体前叶激素所共有。

2）. β-亚单位是HCG所特异的。

2022-2023学年重庆市2023届高三模拟调研(六)数学试题+答案解析

2022-2023学年重庆市2023届高三模拟调研(六)数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则()A. B.C. D.2.已知复数z与在复平面内对应的点关于实轴对称，则()A. B. C. D.3.命题，的否定是()A.，B.，C.，D.，4.某同学经过研究发现实际是一条双曲线，则该双曲线的焦距为()A. B.2 C. D.45.在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达A，，则的取值范围是()A. B. C. D.6.式子化简的结果为()A. B.1 C. D.27.函数的部分图象是()A. B.C. D.8.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与双曲线交右支于A，B 两点，满足，，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在展开式中()A.展开式中不存在含的项B.展开式所有项系数和为243C.展开式中含项的系数为30D.展开式共21项10.已知数列是等差数列，p，q，s，t是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，，，，则下列选项成立的有()A. B.C.直线AB与直线CD的斜率相等D.直线AC与直线BD的斜率不相等11.已知某正方体的体积为64，它的内切球的球面上有四个不同点A，B，C，D，且，则下列说法正确的是()A.若，则直线AB与CD可能异面B.若，则直线AB与CD可能平行C.若，则平行直线AC与BD间距离的取值范围是D.若直线AC与BD相交，则四边形ABCD面积的取值范围是12.已知函数，，则()A.与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素B.在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反C.的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点D.函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。