数学组卷圆锥椭圆抛物线
2024数学高考前冲刺题《圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)》含答案
黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。
2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。
3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。
4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。
5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。
6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。
7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。
重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。
2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。
3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。
4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(五)含答案人教版新高考分类汇编辅导班专用
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 （ ）A ．24B ．12C ．22 D ．322．2 ．（汇编年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．3 ．（汇编四川文）已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM = （ ）A ．22B ．23C ．4D ．25[答案]B[解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为(0,2p ),准线方程为x=2p -, 32)22(2||22,222,132p 22p -22202202=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，4．（汇编江西理7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ）A 。
(0,1) B ．1(0,]2C ．2(0,)2D ．2[,1)2 5．（汇编全国卷3)已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53C ．233D ．36．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17．若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是第一象限内双曲线上的点。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(六)含答案人教版新高考分类汇编艺考生专用
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 （ ）A ．23B ．2C ．3D ．12．(汇编年高考四川文)直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 （A ）36 （B ）48 （C ）56 （D ）643．(汇编山东理)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)44．(汇编辽宁理)直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)45．（汇编全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）26．（汇编陕西文9）已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（ ） A ．a B ．bC ．abD ．22b a +7．（汇编浙江理）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．108．（汇编）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) A ． 2B ． 3C ． 4D ． 59．若21,F F 分别为双曲线1279:22=-y x C 的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则2AF 的值为 （ ） （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）2710．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ） A ．43 B ．554 C ．358 D ．334（汇编京皖春，9）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．在区间[]1,5和[]2,4上分别取一个数，记为m 和n ，则方程22221y x m n+=，表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是 ▲ .12． 过双曲线x 2－122=y 的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，且4=AB ，则这样的直线有___________条.13．椭圆7x 2＋16y 2＝112的焦点坐标是________________.(3,0)±14．已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x =0的圆心重合， 且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．15．过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影为右焦点F ,若1132k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ．16．设双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过点(,0),(0,)a b 。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)(解析版)
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)保持做题的“手感”。
临近高考，考生仍要保持做数学题的手感，勤于动笔，勤于练习。
考前很多考生心态波动较大，比如看到考试成绩下降，就会非常焦虑。
实际上成绩有波动很正常，因为试卷的难度不一样，考生的发挥也不一样，试卷考查的知识点和考生掌握的情况也不一样。
考生不要因为一次考试而让自己过于焦虑，要辩证地去看待考试成绩。
在考试过程中，如果遇到新题或难题，一定要稳住心态。
考生要想到的是：我觉得难，别人也一样。
当然我们也不能因为题目简单就疏忽大意，要把自己的水平发挥出来，保证自己会做的题都不出错，难题尽可能多拿分。
圆锥曲线解题技巧尽量做出第一问，第二问多套模板拿步骤分1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解2.若直线l :y =kx +b 与圆雉曲线相交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到Ax 2+Bx +C =0(Δ>0)则：x 1+x 2=-B A ,x 1x 2=CA则：弦长AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=x 1-x 2 2+kx 1-kx 2 2=1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-B A 2-4C A=1+k 2B 2-4ACA 2=1+k 2⋅ΔA或|AB |=1+1k2⋅y 1-y 22=1+1k2⋅y 1-y 2一、解答题1(2024·浙江温州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左右顶点分别是A -2,0 ，B 2,0 ，椭圆的离心率是22.点P 是直线x =32上的点，直线PA 与PB 分别交椭圆C 于另外两点M ，N .(1)求椭圆的方程.(2)若k AM =λk BN ，求出λ的值.(3)试证明：直线MN 过定点.【答案】(1)x 22+y ²=1(2)12(3)证明见解析【分析】(1)由题意结合a 2=b 2+c 2计算即可得；(2)设出点P 坐标，借助斜率公式计算即可得；(3)设出直线MN 方程，联立曲线方程，借助韦达定理与(2)中所得λ计算即可得.【详解】(1)由题意可得a =2，c a =22，即a 2=2c 2=b 2+c 2=2，所以b =c =1，则椭圆C :x22+y 2=1；(2)设P 32,n ，由于k AM =λk BN ，则λ=k PA k PB =n32+2n 32-2=2242=12；(3)显然MN 斜率不为0，设l MN ：x =ty +m ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立方程x =ty +mx 22+y 2=1，则有t 2+2 y 2+2tmy +m 2-2=0，Δ=4t 2m 2-4t 2+2 m 2-2 =8t 2-m 2+2 >0，则有y 1+y 2=-2tm t 2+2，y 1y 2=m 2-2t 2+2，由于k AM =λk BN ，则λ=kMA k BN =y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1x 2-2 x 2+2 y 2x 1+2 x 2+2 =y 1x 22-2y 2x 1+2 x 2+2，因为x 222+y 22=1，故λ=-2y 1y 2x 1+2 x 2+2 =-2y 1y 2ty 1+m +2 ty 2+m +2 =4-2m 22m 2+42m +4=12，即3m 2+22m =2，解得m =-2或m =23，当m =-2时，2m 2+42m +4=0，故舍去，即m =23，适合题意，故MN :x =ty +23，则直线MN 过定点23,0.2(2024·辽宁·模拟预测)在直角坐标系xOy 中，点P 到点(0，1)距离与点P 到直线y =-2距离的差为-1，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)设点P 的横坐标为x 0(x 0<0).(i )求W 在点P 处的切线的斜率(用x 0表示)；(ii )直线l 与W 分别交于点A ，B ．若PA =PB ，求直线l 的斜率的取值范围(用x 0表示).【答案】(1)x 2=4y(2)(i )x 02，(ii )答案见解析【分析】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，利用距离公式列式化简求解即可；(2)(i )利用导数的几何意义求得切线斜率；(ii )分析直线l 斜率存在设为y =kx +m ，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB 中点M 的坐标，利用斜率关系得x 024=-1k x 0-x M +y M ，从而m =x 204+x 0k-2k 2-2，根据Δ>0，得k k -x 02 k 2+x02k +2 <0，分类讨论解不等式即可.【详解】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，由题意得(x -0)2+(y -1)2-|y -(-2)|=-1，即x 2+(y -1)2=|y +2|-1，所以y +2≥0,x 2+(y -1)2=y +1. 或y +2<0,x 2+(y -1)2=-y -3.整理得y +2≥0,x 2=4y .或y +2<0,x 2=8y +8.故W 的方程为x 2=4y .(2)(i )因为W 为y =x 24，所以y =x2．所以W 在点P 处的切线的斜率为：x 02；(ii )设直线l 为y =kx +m ，点M 为线段AB 的中点，当k =0时，不合题意，所以k ≠0；因为点A ，B 满足x 2=4y ,y =kx +m . 所以x A ,x B 满足x 2-4kx -4m =0，从而Δ=16k 2+16m >0,x M =x A +xB 2=2k ,y M =kx M +m =2k 2+m .因为直线PM 的方程为y =-1k x -x M +y M ，所以x 024=-1kx 0-x M +y M ，即x 204=-1k x 0-2k +2k 2+m ，从而m =x 204+x 0k -2k 2-2.因为Δ=16k 2+16m >0，所以k 2+x 204+x0k -2k 2-2>0，即k -x 02 k 2+x 02k +2k<0，等价于k k -x 02 k 2+x02k +2 <0(其中x 0<0).①当x 204-8<0时，即x 0∈(-42,0)时，有k 2+x 02k +2>0，此时x 02<k <0，②当x 204-8=0时，即x 0=-42时，有k k -x 02 k +x 04 2<0，此时x 02<k <0，③当x 024-8>0时，即x 0∈(-∞,-42)时，有k k -x 02 k --x 0-x 20-324 k --x 0+x 20-324<0，其中x 02<0<-x 0-x 20-324<-x 0+x 20-324，所以k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.综上，当x 0∈[-42,0)时，k ∈x02,0 ；当x 0∈(-∞,-42)时，k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.3(2024·山西太原·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 与B ，点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2 .(1)求双曲线C 的方程;(2)过点P 3,0 的直线与C 交于M ,N 两点(均异于点A ,B )，直线MA 与直线x =1交于点Q ，求证:B ,N ,Q 三点共线.【答案】(1)x 23-y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)由题意点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2，建立方程组求解即可；(2)B ,N ,Q 三点共线，即证BN ⎳BQ，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出M ,N 的坐标，由坐标判断BN ⎳BQ，证明即可.【详解】(1)由题意得A -a ,0 ,B a ,0 ，且9a 2-2b2=123+a +23-a=2∴a 2=3b 2=1∴x 23-y 2=1(2)由(1)得A -3,0 ,B 3,0 ，设直线MN 的方程为x =ty +3t ≠±3 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则BN=x 2-3,y 2 ，由x =ty +3x23-y 2=1 得t 2-3y 2+6ty +6=0,∴y 1+y 2=-6t t 2-3,y 1y 2=6t 2-3，直线AM 的方程为y =y 1x 1+3x +3 ，令x =1，则y =y 1x 1+31+3 ，∴Q 1,1+3 y 1x 1+3 ,∴BQ =1-3,1+3 y 1x 1+3，∵x 2-3 ⋅1+3 y 1x 1+3-1-3 y 2=1x 1+3x 2-3 ⋅1+3 y 1-1-3 x 1+3 y 2=1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1-1-3 ty 1+3+3 y 2 =1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1+3-1 ty 1+3+3 y 2 =23x 1+3ty 1y 2+y 1+y 2 =23x 1+36t t 2-3-6tt 2-3=0,∴BN ⎳BQ, 所以B ,N ,Q 三点共线.4(2024·重庆·模拟预测)如图，DM ⊥x 轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且|DP ||DM |=12．(1)点M 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记(1)中所求点P 的轨迹为Γ,A (0,1)，过点0,12作一条直线与Γ相交于B ,C 两点，与直线y =2交于点Q ．记AB ,AC ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，证明：k 1+k2k 3是定值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，则有M x ,2y ，根据M 在圆x 2+y 2=4上运动，即可求解x 、y 的关系式即为点P 的轨迹方程；(2)设出直线方程，直曲联立利用韦达定理求出x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，求出k 1+k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得Q 32k ,2，求出k 3=2k3，即可求出k 1+k 2k 3是定值.【详解】(1)设P x ,y ，根据题意有M x ,2y ，又因为M 在圆x 2+y 2=4上运动，所以x 2+2y 2=4，即x 24+y 2=1，所以点P 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据已知条件可知，若直线BC 的斜率不存在，不合题意，若直线BC 斜率为0，直线BC 与直线y =2平行无交点也不合题意，所以直线BC 的斜率存在设为k ，直线BC 的方程为y =kx +12，联立x 24+y 2=1y =kx +12，则有1+4k 2x 2+4kx -3=0，且Δ>0，设B x 1,y 1 ，C x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，k 1=y 1-1x 1，k 2=y 2-1x 2，所以k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1-12 +x 1kx 2-12x 1x 2=2kx 1x 2-12x 1+x 2x 1x 2=2k -31+4k2-12-4k1+4k 2-31+4k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得x Q =32k ，所以Q 32k,2 ，所以k 3=2-132k=2k 3，所以k 1+k 2k 3=4k332k=2为定值.5(2024·湖北武汉·模拟预测)己知圆E :(x +6)2+y 2=32，动圆C 与圆E 相内切，且经过定点F 6，0(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若直线l :y =x +t 与(1)中轨迹交于不同的两点A ,B ，记△OAB 外接圆的圆心为M (O 为坐标原点)，平面上是否存在两定点C ，D ，使得MC -MD 为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 22=1(2)存在定点C -465，0 ，D 465，0 ，使得MC -MD =853(定值)【分析】(1)根据椭圆的定义得到动圆圆心的轨迹焦点在x 轴上的椭圆，进而求得椭圆的方程；(2)联立l :y =x +t 与椭圆方程，根据韦达定理得x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，进而得出OA 和OB 的中垂线方程，联立方程求出交点即为圆心坐标的关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853，方法二，设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立直线和与圆的方程，利用韦达定理和参数方程消去参数得圆心的坐标关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853【详解】(1)设圆E 的半径为r ，圆E 与动圆C 内切于点Q ．∵点F 在圆E 内部，∴点C 在圆E 内部．∴CE +CF =CE +CQ =r =42>EF =26，∴点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 28+y 22=1．(2)(方法一)联立l :y =x +t 与椭圆方程，消y 得5x 2+8tx +4t 2-8=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，OA 的中垂线方程为：y -y 12=-x 1y 1x -x 12 ，即y =-x 1y 1x +x 212y 1+y 12①OB 的中垂线方程为：y =-x 2y2x +x 222y 2+y 22②由①②两式可得-x 1y 1x +x 212y 1+y 12=-x 2y 2x +x 222y 2+y 22，∴△OAB 外接圆圆心M 的横坐标x M =x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 22x 2y 1-x 1y 2 ，其中x 2y 1-x 1y 2=x 2x 1+t -x 1x 2+t =t x 2-x 1x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 2=x 22x 1+t -x 21x 2+t +x 2-x 1 x 1+t x 2+t =x 22x 1-x 12x 2 +t x 22-x 12 +x 2-x 1 x 1+t x 2+t=x 2-x 1 x 1x 2+t x 2+x 1 +x 1+t x 2+t =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 2 ∴x M =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t x 2-x 1=2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t =x 1x 2t +x 2+x 1+t 2=-3t 10-85t，又∵AB 的中垂线方程为y -y 1+y 22=-x -x 1+x 22 ，即y =-x -3t5，∴圆心M 的纵坐标为y M =--3t 10-85t -35t =-3t 10+85t，∴x M 2-y M 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，(方法二)设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立l :y =x +t 与圆的方程，消y 得2x 2+2t +d +e x +t 2+et =0，则x 1+x 2=-2t +d +e 2=-8t 5,x 1x 2=t 2+et 2=4t 2-85∴2t +d +e =16t 5,t 2+et =8t 2-165，解得d =3t 5+165t ,e =3t 5-165t，设圆心坐标为M x ,y ，则x =-d 2=-3t 10-85t ,y =-3t 10+85t，∴x 2-y 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，6(2024·山西·三模)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点F 到准线的距离为2，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)已知点T t ,0 ，若E 上存在一点P ，使得PO ⋅PT=-1，求t 的取值范围；(3)过M -4,0 的直线交E 于A ，B 两点，过N -4,43 的直线交E 于A ，C 两点，B ，C 位于x 轴的同侧，证明：∠BOC 为定值.【答案】(1)y 2=4x (2)6,+∞ (3)证明见详解【分析】(1)根据题意可知焦点F 到准线的距离为p =2，即可得方程；(2)设P x ,y ，利用平面向量数量积可得t -4=x +1x，结合基本不等式运算求解；(3)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2 ,C y 234,y 3，求直线AB ,AC 的方程，结合题意可得-16+y 1y 2=0-16-43y 1+y 3 +y 1y 3=0 ，结合夹角公式分析求解.【详解】(1)由题意可知：焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)设P x ,y ，可知y 2=4x ,x ≥0，则PO =-x ,-y ,PT =t -x ,-y ，可得PO ⋅PT=-x t -x +y 2=x 2-tx +4x =x 2+4-t x =-1，显然x =0不满足上式，则x >0，可得t -4=x +1x，又因为x +1x ≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时，等号成立，则t -4≥2，即t ≥6，所以t 的取值范围为6,+∞.(3)设Ay214,y1,B y224,y2,C y234,y3，则直线AB的斜率k AB=y1-y2y214-y224=4y1+y2，可得直线AB的方程y-y1=4y1+y2x-y214，整理得4x-y1+y2y+y1y2=0，同理可得：直线AC的方程4x-y1+y3y+y1y3=0，由题意可得：-16+y1y2=0-16-43y1+y3+y1y3=0，整理得y1=16y24y3-y2=3y1y3+16，又因为直线OB,OC的斜率分别为k OB=y2y224=4y2,k OC=y3y234=4y3，显然∠BOC为锐角，则tan∠BOC=k OB-k OC1+k OB⋅k OC=4y2-4y31+4y2⋅4y3=4y2-y3y2⋅y3+16=3y2⋅y3+16y2⋅y3+16=3，所以∠BOC=π3为定值.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．7(2024·湖北·模拟预测)平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2 =22，点P的轨迹为C，过点F(2,0)作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)求△OAB面积的取值范围；(3)若直线l与直线x=1交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：|SF||FT|为定值．【答案】(1)x22-y22=1(x≥2)(2)S△OAB∈[22,+∞)(3)证明见解析【分析】(1)根据双曲线的定义求解即可；(2)设直线l的方程为：x=my+2，与双曲线联立，利用面积分割法计算出S△OAB，在利用复合函数单调性求出S△OAB的范围；(3)首先计算出M,N的坐标，再计算出S,T的坐标即可证明|SF||FT|为定值。
期末专题07 圆锥曲线小题综合(椭圆、双曲线、抛物线)(附加)(40题)(解析版)-备战期末高二数学
期末专题07圆锥曲线小题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（附加）（精选40题）一、单选题1．（22-23高二下·江苏镇江·期末）抛物线2y x =的焦点坐标为（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,0【答案】A【分析】由抛物线方程求出p 的值，从而可求出其焦点坐标.【详解】由于抛物线的方程为2y x =，所以21p =，12p =，则124p =所以抛物线2y x =的焦点坐标是10,4⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A.2．（22-23高二下·河北·期末）已知双曲线221259x y -=与双曲线()22109259x y k k k-=<<+-，则两双曲线的（）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D【分析】通过k 的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可．【详解】221259x y -=的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，实数k 满足09k <<，曲线221259x y k k-=+-是双曲线，显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A 、B 均不正确；焦距为：，焦距相等，所以D 正确；C 不正确．故选：D ．3．（22-23高二下·湖北荆门·期末）过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为()0k k >直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ．若B 为AC 的中点，则k =（）A．2BC ．2D．【答案】D【分析】求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，结合已知点的关系求出交点横坐标作答.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为=1x -，直线l 的方程为(1)y k x =-，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：22222(2)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212242,1x x x x k +=+=，而点C 的横坐标为1-，又B 是AC 的中点，则有1221x x =+，由1212121x x x x =⎧⎨=+⎩，20x >，解得1212,2x x ==，因此241222k +=+，又0k >，解得k =所以k =故选：D4．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知抛物线21Γ4y x =：的焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于点,A B ，分别在点,A B 处作Γ的两条切线，两条切线交于点P ，则2211PAPB+的取值范围是（）A ．(]0,1B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设直线l 的方程为1y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线联立可得12124,4x x k x x +==-，再利用求曲线上一点的切线方程得过,A B 与Γ相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得()2,1P k -，再利用两点间的距离公式计算得结论.【详解】显然直线l的斜率存在，因此设直线的方程为1y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，因此()2241616160k k ∆=-+=+>，故12124,4x x k x x +==-.因为2x y '=，所以过,A B 与Γ相切的直线方程分别为：21124x x x y =-、22224x x x y =-，因此由2112222424x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得12122,214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即()2,1P k -，所以()()()()222222112211112222x k kx x k kx PAPB+=+-++-++()()()()222212111414kx kx =+++++()()()2212222128144x x k x x ++=+++()()()21212222221212281416x x x x k x x x x +-+=⎡⎤++++⎣⎦()()22221616141641k k k +==++.因为k ∈R ，所以()2414k +≥，因此()2110441k <≤+，所以2211PAPB +的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦.故选:C.5．（22-23高二下·广东·期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D，且2DF =，则C 的离心率为（）AB ．2CD ．5【答案】C【分析】利用点到直线的距离公式求出1DF ，利用勾股定理求出OD ，由锐角三角函数得出1cos aDOF c∠=，在2DOF 利用余弦定理可得出a 、b 、c 的齐次方程，可解出双曲线C 离心率e 的值．【详解】如下图所示，双曲线C 的右焦点()1,0F c -，渐近线1l 的方程为0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得1bcDF b c==，由勾股定理得OD a ===，在1Rt DOF △中，1π2ODF ∠=，11cos OD a DOF OF c ∴∠==，在2DOF 中，OD a =，2DF =，2OF c =，()211cos cos πcos a DOF DOF DOF c∠=-∠=-∠=-，由余弦定理得22222222228cos 22OD OF DF a c a a DOF OD OF ac c+-+-∠===-⋅，化简得，225c a =，即c =，因此，双曲线C 的离心率为ce a==故选：C ．【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出a 、c ，可计算出离心率；②构造a 、c 的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．6．（22-23高二下·福建福州·期末）设点1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点M 、N在C 上（M 位于第一象限）且点M 、N 关于原点对称，若12MN F F =，223NF MF =，则C 的离心率为（）AB ．4C ．58D ．8【答案】B【分析】分析可知，四边形12MF NF 为矩形，设2MF t =，则()130MF t t =>，利用椭圆定义可得出2a 与t 的等量关系，利用勾股定理可得出2c 与t 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，O 为12F F 、MN 的中点，则四边形12MF NF 为平行四边形，则1223MF NF MF ==，又因为12MN F F =，则四边形12MF NF 为矩形，设2MF t =，则()130MF t t =>，所以，1224a MF MF t =+=，由勾股定理可得122c F F ====，所以，该椭圆的离心率为2244c e a t ===.故选：B.7．（22-23高二下·广西河池·期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，以线段12F F 为直径的圆在第一象限交双曲线C 于点121,sin 4A AF F ∠-=，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =【答案】B【分析】先根据圆的直径得出垂直关系，再根据正弦值得出边长，结合双曲线定义可得2a ，计算渐近线即可.【详解】因为线段12F F 为直径的圆在第一象限交双曲线C 于点,A所以)21212211,sin ,242c AF AF AF AF F AF c ⊥∠===，则)1121,2.2c b AF AF AF c a a +=-==∴∴渐近线方程为y =．故选:B ．8．（22-23高二下·广东韶关·期末）已知点1F ，2F 是双曲线22:13yC x -=的左、右焦点，点P 是双曲线C 右支上一点，过点2F 向12F PF ∠的角平分线作垂线，垂足为点Q ，则点(A 和点Q 距离的最大值为（）A ．2BC ．3D ．4【答案】C【分析】延长2F Q ，交1PF 于点T ，则可得2||||PT PF =，再结合双曲线的定义得1||2FT =，连接OQ ，则11||||12OQ FT ==，而AO 为定值，所以由图可知QA OQ AO ≤+，从而可求得结果.【详解】如图所示，延长2F Q ，交1PF 于点T ，则因为PQ 平分12F PF ∠，2PQ F Q ⊥，所以2||||PT PF =，2TQ F Q =，因为P 在双曲线2213y x -=上，所以12||||2PF PF -=，所以1||2FT =，连接OQ ，则11||||12OQ FT ==，因为2AO =，所以213QA OQ AO ≤+=+=，当,,A O Q 三点共线时取等号，即点(A 和点Q 距离的最大值为3，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质的应用，解题的关键是利用已知条件结合双曲线的性质可得||1OQ =，QA OQ AO ≤+，考查数形结合的思想，属于中档题.9．（22-23高二下·广东广州·期末）已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，设点P 为C 右支上一点，P 点到直线12x =的距离为d ，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支有两个交点，则下列说法正确的是（）A ．1d PF +的最小值为2B．2PF d=C ．直线l的斜率的取值范围是)+∞D ．12PF F △的内切圆圆心到y 轴的距离为1【答案】D 【分析】根据题意作图，结合双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程，可得答案.【详解】由题意，1a =，2c =，可作图如下：对于A ，由题意以及图象可知：当P 与右顶点重合时，1d PF +取得最小值为1 3.52a a c ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，令(),P x y 且12x ≥，则2212111222PF x dx x x -====---，故B 错误；对于C，由渐近线方程为y =，过2F 的直线与双曲线C 的右支有两个交点，结合图象可知：直线l的斜率的取值范围为(),∞∞-⋃+，故C 错误；对于D ，若内切圆与12PF F △三边相切于,,D E F ，如图象所示，则PD PE =，11F D F F =，22F E F F =，又1222PF PF a -==，即121222F D PD F E PE F F F F a +--=-==，由13F F a c =+=，21F F c a =-=，即F 与右顶点重合，易知12PF F △的内切圆圆心到y 轴的距离为1，故D 正确.故选：D.10．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为12PF F △的内心．直线PI 交x 轴于A 点，14OA c = ，且212116PF PF a ⋅= ，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B．2C ．34D【答案】B1253F A AF ==，设15PF t =，则23PF t =，根据椭圆定义得到4at =，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解.【详解】不妨设点P位于第一象限，如图所示，因为I 为12PF F △的内心，所以PA 为12F PF ∠的角平分线，所以1122PF F APF AF =，因为14OA c = ，所以112253PF F A PF AF ==，设15PF t =，则23PF t =，由椭圆的定义可知，1282PF PF t a +==，可得4a t =，所以154a PF =，234a PF =，又因为11221122253cos c 41o 1s 46F P P a F PF PF PF F a F a F P ∠=⨯⋅∠=⋅=⋅ ，所以121cos 15F PF ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得，222212121221217418cos 152158a c PF PF F F PF F a PF PF -+-∠===，所以222a c =，则2e =，故选：B.11．（22-23高二下·江苏南京·期末）直线l 过圆()22:51M x y -+=的圆心，且与圆相交于A ，B 两点，P 为双曲线221916x y -=右支上一个动点，则PA PB ⋅ 的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】求出圆的圆心()5,0M ，根据题意可得MB MA =-、PM c a ≥- ，利用平面向量的线性运算可得21PA PB PM ⋅=- ，即可求解.【详解】圆()2251x y -+=，圆心()5,0M ，半径1r =，因为直线l 过圆()2251x y -+=的圆心，且与圆相交于A ，B 两点，所以MB MA =- ，又双曲线221916x y -=，则3a =，5c =，右焦点为()5,0，所以()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()()2221PM MA PM MA PM MA PM =+⋅-=-=- ，又PM c a ≥- ，即2PM ≥ ，所以213PM -≥ ，当点P 在右顶点时取等号，即3PA PB ⋅≥，所以PA PB ⋅的最小值为3，故选：D.12．（22-23高二下·广东深圳·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于,A B 两点，若AF BF ⊥，且3AF BF =，则C 的离心率为（）A ．4B ．5C ．25D ．13【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为1F ，由椭圆的对称性可得四边形1AFBF 为矩形，再根据椭圆的定义求出1,AF AF ，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.【详解】如图，设椭圆的左焦点为1F ，由椭圆的对称性可得11,AF BF BF AF ==，所以四边形1AFBF 为平行四边形，又AF BF ⊥，所以四边形1AFBF 为矩形，所以1⊥AF AF ，由3AF BF =，得13AF AF =，又12AF AF a +=，所以13,22a aAF AF ==，在1Rt AFF 中，由22211AF AF FF +=，得2229444a a c +=，即22542a c =，所以4c a =，即C 的离心率为4.故选：A.13．（22-23高二下·广东汕头·期末）已知椭圆方程221,43x y F +=是其左焦点，点()1,1A 是椭圆内一点，点P 是椭圆上任意一点，若PA PF +的最大值为max D ，最小值为min D ，那么max min D D +=（）A ．B ．4C ．8D ．【答案】C 【分析】利用椭圆的定义转化为PA PF '-的最值问题，数形结合即可求解.【详解】由题意，设椭圆的右焦点为(1,0)F '，连接PF '，则()()44PA PF PA PF PA PF +=+='--'+，如图：当点P 在位置M 时，PA PF '-取到最大值AF '，当点P 在位置N 时，PA PF '-取到最小值AF -'，所以PA PF '-的取值范围是,AF ⎦''⎡⎤-⎣，即[1,1]-，所以||||PA PF +的最大值max D =5，||||PA PF +最小值min D =3，所以max min 8D D +=.故选：C.14．（22-23高二下·湖南·期末）如图，已知12,F F 是双曲线22:221x y C a b-=的左､右焦点，,P Q 为双曲线C 上两点，满足12F P F Q ∥，且2213F Q F P F P ==，则双曲线C 的离心率为（）A ．5BC ．3D ．2【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得t a =，进而可得11290F P Q F PF ∠∠==' ，结合勾股定理运算求解.【详解】延长2QF 与双曲线交于点P '，因为12F P F P '∥，根据对称性可知12F P F P ='，设21F P F P t ='=，则223F P F Q t ==，可得2122F P F P t a -==，即t a =，所以44P Q t a ='=，则1225QF QF a a =+=，123F P F P a =='，即22211P Q F P QF ''+=，可知11290P Q F PF ∠∠==' ，在12P F F ' 中，由勾股定理得2222121F P F P F F ''+=，即()22234a a c =+，解得c e a ==.故选：D.【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b用a ，c 代换，求c e a=的值；2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．15．（22-23高二下·浙江·期末）双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>右焦点为F ，离心率为e ，,(1)PO k FO k => ，以P 为圆心，||PF 长为半径的圆与双曲线有公共点，则8k e -最小值为（）A ．9-B ．7-C ．5-D ．3-【答案】A【分析】先求出圆的方程，联立方程组，由0∆≥得出k 的范围，从而得解.【详解】由题意，右焦点(),0F c ，又,(1)PO k FO k => ，则(),0P kc ，()||1PF k c =-，以P 为圆心，||PF 为半径的圆的方程为，()()22221x kc y k c -+=-，联立方程组()()2222222211x kc y k c x y a b ⎧-+=-⎪⎨-=⎪⎩，得()2222222220c x kca x a kc c b -+--=，由圆与双曲线有公共点，所以0∆≥，即()224222224420k c a c a kc c b ---³，结合222b c a =-，化简为()()221120k k a c 轾-+-³犏臌，由方程()()221120k k a c 轾-+-=犏臌两根为：11k =，221221211c k e a=-=->，所以不等式的解为1k ≤，或221k e ³-，由已知，得221k e ³-所以()222182289k e e e e -≥=----，当2e =时，取得最小值9-.故选：A【点睛】解决本题关键是曲线与曲线的位置关系，用联立方程组的方法，其中化简是个难点.二、多选题16．（22-23高二下·江苏南通·期末）双曲线2221y x a -=的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为（）．A．4BC ．32D ．2【答案】AC【分析】设出切线方程，与双曲线方程联立，根据过点能作该双曲线的两条切线，求得a 的取值范围，即可求得双曲线的离心率的取值范围，从而可得答案.【详解】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是(22)y k x -=-，由22212(2)y x a y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩得22222()4(1)4(1)0a k x k k x k a -+----=，显然220a k -=时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k a ≠±，由Δ0=得22222216(1)4()[4(1)]0k k a k a -+--+=，整理为223840k k a -++=，由题意此方程有两不等实根，所以216412(4)0a ∆=-+>，243a <，则2271(3c a c =+<为双曲线的半焦距)，13c e c ==<，即13e <<，k a =±代入方程223840k k a -++=，得1a =±，此时e =综上，e的范围是(.3⋃⎭故选：AC17．（22-23高二下·湖北咸宁·期末）已知1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（）A ．椭圆的离心率为14B ．12MF MF ⋅的最大值为4C ．12MF MF ⋅ 的最大值为3D ．12F MF ∠的最大值为60 【答案】BCD【分析】由椭圆方程求出离心率可判断A ；由基本不等式可判断B ；由向量数量积的坐标运算可判断C ；当点M 为短轴的端点时，12F MF ∠取得最大值，求出12F MF ∠可判断D.【详解】由椭圆方程得2a =，b =1c ∴=，因此()11,0F -，()21,0F ，选项A 中，2a =，1c =，故12e =，A 错误；选项B 中，2121242MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12MF MF =时取等号，B 正确；选项C 中，令(),M x y ，则()()2221211,1,1333MF MF x y x y x y y ⋅=-⋅+=+-=-≤ ，故C 正确；选项D 中，当点M 为短轴的端点时，12F MF ∠取得最大值，此时(M ，则12tan 2F MF ∠=12302∠∴= F MF ，12F MF ∴∠的最大值为60 ，D 正确.故选：BCD.18．（22-23高二下·重庆渝中·期末）已知过点()2,0的直线l 交抛物线2:4C y x =于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，P 点是线段AB 的中点，则下列说法正确的有（）A ．12y y 为定值－8B ．OAB S 的最小值为4C ．OA OB k k +的最小值为D ．P 点的轨迹方程为224y x =-【答案】ACD 【分析】设直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，再一一判断即可．【详解】由题意可得直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2x my =+，显然A ，B 两点在x 轴的两侧，设20y <，且1>0x ，20x >，联立224x my y x=+⎧⎨=⎩，整理可得2480y my --=，显然0∆>，124y y m +=，128y y =-，21212()416y y x x ==，21212()444x x m y y m +=++=+，所以A 正确；所以1212||2OAB S y y =⨯⨯-≥ ，当且仅当0m =时取等号，所以B 不正确；因为11OA y k x =，22OB y k x =，所以12122112121212||||||||||||OA OB y y y y x y x y k k x x x x x x -+=+=-=21121212(2)(2)2my y my y y y x x +-+-===0m =时取等号，所以C 正确；由题意可得AB 的中点()222,2P m m +，设(,)P x y ，则2222x m y m ⎧=+⎨=⎩，消参可得2122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理可得224y x =-，所以D 正确．故选：ACD ．19．（22-23高二下·广东深圳·期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（）A ．当AM AF =时，AM l⊥B ．当AM AF MF ==时，2AF BF=C ．当MA MB ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D ．当MA MB ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥【答案】ACD【分析】由抛物线的定义可判断A 项，联立直线AB 方程与抛物线方程求得1y 、2y ，进而可求得12AF y BF y =可判断B 项，由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C 项，设出点M 坐标，计算可得1MF AB k k ⨯=-，可得MF AB ⊥，运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D 项.【详解】对于选项A：如图所示，由抛物线定义可知，若AM AF =，则AM l ⊥，故选项A 正确；对于选项B：如图所示，当AM AF MF ==时，AMF 为正三角形，所以直线AB 的倾斜角为π3，设直线AB的方程为()()1122,,,,2p y x A x y B x y ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得220y y p -=，12,3y y ==-，所以123AF y BF y ==，故选项B 错误；对于选项C ：过点,A B 作直线垂直于l ，垂足分别为,A B ''，作AB 的中点N，如图所示，由选项B 可知12,,,22p p A y B y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，又因为MA MB ⊥，所以12MN AB =，由抛物线定义可知AB AF BF AA BB '=++'=，所以()12MN AA BB =+''，所以M 为A B ''的中点，所以,,A M B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D：如图所示，设0,2p M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MF 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，则00122y y k p p p ==---，由B 项可知1212222121212222y y y y p k y y x x y y p p --===-+-，由选项C 可知1202y y y +=，所以21202p p k y y y ==+，所以01201y p k k p y =-⋅=-，所以MF AB ⊥，又因为MA MB ⊥，所以AM BM MF AB ⋅=⋅，且2||MF AF BF =⋅，由基本不等式可得()2AM BM MF AB AF BF AF BF ⋅=⋅=+⋅⋅，当且仅当||||AF BF =时等号成立.故选项D 正确.故选：ACD.20．（22-23高二下·湖北·期末）“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q 点处变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则以下说法正确的是（）A ．椭圆轨道Ⅱ的焦距为R r-B ．椭圆轨道ⅡC ．若r 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R 的增大而增大D ．若R 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r 的增大而增大【答案】AC【分析】根据图中几何关系列方程组求出a ，c ，然后可得b ，可判断AB ；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD.【详解】在椭圆中，由图可知2PQ a R r a c QF r==+⎧⎨-==⎩，解得,22R r R r a c +-==，所以b2,2c R r b =-=A 正确，B 错误；21c R r r e a R r R r -===-++，当r 不变时，由反比例函数的性质可知，函数2()1r f R R r=-+在(0,)+∞上单调递增，C 正确；21c R r R e a R r R r -===-+++，当R 不变时，由反比例函数的性质可知，函数2()1R f r R r =-++在(0,)+∞上单调递减，D 错误.故选：AC21．（22-23高二下·广东江门·期末）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），则（）A ．111AF BF +=B ．弦AB 的长度最小值为lC ．以AF 为直径的圆与y 轴相切D ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ACD【分析】由弦长公式计算可得选项A 、B ；C 、D 选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.【详解】由题，焦点()1,0F ，设直线()()112212:1,,,,,0,0l x ty A x y B x y y y =+><,联立2221440,Δ161604x ty y ty t y x=+⎧⇒--==+>⎨=⎩，12124,4y y t y y +==-，1||||AF y ===同理可得，2||||BF y =)()12212||||11||||||||1||y y AF BF AF BF AF BF t y y +++==⋅+1====，故A选项正确；))1212||||||||||AB AF BF y y y y =+=+=-()2414t ==+≥，故弦AB 的长度最小值为4，B 选项错误；记AF 中点111,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 到y 轴的距离为1111||22x x d ++==，由抛物线的性质，11||1,||2AF x d AF =+=，所以以AF 为直径的圆与y 轴相切，故C 选项正确；12||||||2AB AF BF x x =+=++，记AB 中点1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭，则点N 到抛物线的准线的距离12122||1222x x x x AB d +++'=+==，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：抛物线的焦点弦常见结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)221212,.4p x x y y p ==-(2)弦长1222||sin pAB x x p α==++=(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p ，通径是过焦点最短的弦．(5)112AF BF p+=（定值）.(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.22．（22-23高二下·山西长治·期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 作直线l 垂直于双曲线C 的一条渐近线，直线l 交双曲线C 于点M ，若123MF MF =，则双曲线C 的渐近线方程可能为（）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y x=±【答案】AB【分析】当点M 在第一象限时，由余弦定理化简得2220c a ab --=，求得y =，当点M 在第四象限时，由余弦定理化简得2220c a ab -+=，求得12y x -=±，即可求解.【详解】因为12122,3MF MF a MF MF -==，所以21,3MF a MF a ==，根据双曲线的对称性，不妨设直线l 的斜率小于零，如图（1）所示，当点M 在第一象限时，21cos b MF F c∠=，由余弦定理可得222(3)(2)22b a a c a c c=+-⋅⋅，化简得2220c a ab --=，解得b a =b a =，此时双曲线C 的渐近线方程为y =，如图（2）所示，当点M 在第四象限时，21cos bMF F c∠=-，由余弦定理可得222(3)(2)22b a a c a c c=++⋅⋅，化简得2220c a ab -+=，解得12b a -+=（12b a -=舍去），此时双曲线C 的渐近线方程为y x =.故选：AB.23．（22-23高二下·广东茂名·期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为抛物线上任意一点，点P 为A 在l 上的射影，线段PF 交y 轴于点,E Q 为线段AF 的中点，则（）A ．AE PF⊥B ．直线AE 与抛物线C 相切C ．点Q 的轨迹方程为221y x =-D ．QEF ∠可以是直角【答案】ABC【分析】分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行求解.【详解】对于A 选项，设准线与x 轴交于点M ，由抛物线知原点O 为FM 的中点，l y 轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知AP AF =，所以AE PF ⊥，故A 正确；对于B 选项，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设()111,,0A x y x ≠，则10,2y E ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AE 的方程：()1112y y x x x =+，与抛物线方程24y x =联立可得：211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2114y x =代入左式整理得：221120y y y y -+=，所以1221Δ440y y =-=，所以直线AE 与抛物线相切，故B 正确；对于C 选项，设点(),Q x y ，则点)21,2A x y -，而A 是抛物线C 上任意一点，于是得()2(2)421y x =-，即221y x =-，所以点Q 的轨迹方程为221y x =-，故C 正确；对于D 选项，因点Q 的轨迹方程为221y x =-，则设21,2t Q t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令()0,E m ，有()211,,,2t EF m EQ t m ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，2222111102242t EF EQ m tm m t t +⎛⎫⋅=-+=-++> ⎪⎝⎭ ，于是得QEF ∠为锐角，故D 错误.故选：ABC.24．（22-23高二下·湖南·期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为1，P 为C 上一点，下列说法正确的是（）A ．C的离心率为2B ．2PF的最小值为2C ．若A ，B 为C 的左、右顶点，P 与A ，B 不重合，则直线PA ，PB 的斜率之积为12D ．设C 的左焦点为1F ，若12PF F △的面积为3，则122π3F PF ∠=【答案】ACD【分析】根据题意列关于,,a b c 的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，2PF 的最小值，结合动点P满足的方程220012x y -=，列式计算PA PB k k ⋅，在焦点三角形12PF F △中，由双曲线的定义，余弦定理以及三角形面积公式列式即可计算出12F PF ∠.【详解】由已知可得c =1b ==，所以a 则C 的方程为2212x y -=2=，A 正确；因为2PF的最小值为c a -=B 错误；设()00,P x y ，则220012x y -=，()A，)B 20202200112222PA PB x y k k x x -⋅====--，所以C 正确；设12F PF θ∠=，由12122221212121222cos 1sin 2PF F PF PF a F F PF PF PF PF S PF PF θθ⎧-=⎪⎪=+-⎨⎪⎪=⎩可得1221tantan22=PF F S b θθ==tan 2θ则122π3F PF ∠=，所以D 正确．故选：ACD25．（22-23高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左､右焦点分别是12,F F ，P 为双曲线C右支上的动点，124F F =，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C的离心率e =B ．双曲线C 与双曲线2213y x -=共渐近线C ．若点P 的横坐标为3，则直线1PF 的斜率与直线2PF 的斜率之积为25D ．若12π3F PF ∠=，则12PF F △的内切圆半径为3【答案】AC【分析】根据题意，求得双曲线的方程为22:13x C y -=，其中1,2a b c ===，结合双曲线的定义和几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得1224c F F ==，所以2c =，则2213a c =-=，所以双曲线22:13x C y -=，其中1,2a b c ===，对于A 中，由双曲线C的离心率3c e a ===，所以A 正确；对于B 中，由双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为y x =，又由双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，故B 错误；对于C 中，由点P 的横坐标为3，不妨记P在第一象限，则(P ，因为()()122,0,2,0F F -，可得1225PF PF k k ⋅=，所以C 正确；对于D 中，设2PF x =，则122PF a PF x =+=+，在12PF F △中，由余弦定理得222121212π2cos 3F F PF PF PF PF =+-⋅⋅，即240x +-=，解得x =或x =，所以12PF F △的周长为12124PF PF F F ++=，又由12PF F △的面积为121sin602PF PF ⋅⋅= ，所以12PF F △的内切圆半径为12121223PF F S F F PF PF -=++ ，所以D 错误.故选：AC.26．（22-23高二下·安徽宣城·期末）已知抛物线2:4C y x =，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AD l ⊥，垂足为D ，设()0,1E ，则（）A ．过E 点与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线恰有2条B ．已知曲线C 上的两点,M N 到点F 的距离之和为10，则线段MN 的中点的横坐标是4C ．AE AD +D ．AB 的最小值为4【答案】BCD【分析】由点E 在抛物线外从而判断A ；由抛物线的定义结合中点坐标公式判断B ；由抛物线的定义结合图像判断C ；联立直线和抛物线方程，由韦达定理结合基本不等式得出AB 的最小值.【详解】对于A ，因为()0,1E 在抛物线C 外，显然过()0,1E 与抛物线C 相切的直线有2条，当此直线与x 轴平行时，与抛物线C 也是仅有一个公共点，所以过点()0,1E 且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有3条，故A 错误；对于B ，设()()1122,,,M x y N x y ，则()()121110x x +++=，即128x x +=，则线段MN 的中点的横坐标为842=，故B 正确；对于C，||||||||AD AE AE AF EF +=+≥=，（当点A 在线段EF 上时，取等号），故C 正确；对于D ，设()()3344,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，易得216160t ∆=+>，则()23434116y y x x ==，34224AB x x =++≥+=，（当且仅当341x x ==时，等号成立），故D 正确；故选：BCD.27．（22-23高二下·浙江·期末）双曲线22:145x y C -=，点(1,2)P ，则（）A ．该双曲线渐近线为y x =B ．过点(3,0)的直线与双曲线C 交于A B 、两点，若5AB =，则满足的直线有1条C ．与双曲线C 两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1D ．过点P 能作4条仅与双曲线有一个交点的直线【答案】ACD【分析】由双曲线渐近线的定义可求出渐近线方程，判断A 选项；再由直线与双曲线的位置关系依次判断选项B 、C 、D.【详解】由题意，双曲线2,a b ==，则双曲线渐近线为y =，选项A 正确；依题意，当过点(3,0)的直线直线与双曲线的右支交于A B 、两点时，通径最短，为222552b a ´==，当直线与双曲线的两支交于A B 、两点时，AB 的最小值为24a =，所以，若5AB =，则满足条件的直线有3条，故选项B 错误；由于双曲线渐近线为2y x =，与双曲线C 两支各有一个交点的直线斜率k ⎛∈ ⎝⎭，而1.1,22骣琪琪Î-琪琪桫，选项C 正确；过点(1,2)P 能作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线C 只有一个交点，故满足条件的直线有4条，选项D 正确.故选：ACD28．（22-23高二下·浙江·期末）已知()1,0F c -，()()2,00F c c >是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>共同的焦点，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，点M 是它们的一个交点，则以下判断正确的有（）A ．12F MF △面积为12b b B ．若12F MF θ∠=，则1sin ,12e θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．若122π3F MF ∠=，则12e e 的取值范围为,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．若122π3F MF ∠=，则2212e e +的取值范围为()2,+∞【答案】ABD 【分析】由椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式可判断A ；由12m n a +=和2121cos b mn θ=+结合基本不等式可判断B ；由条件可得2212314e e +=，结合函数的性质可判断C 、D.【详解】设1MF m =，2MF n =，12F MF θ∠=，不妨设点M 是1C ，2C 在第一象限内的交点，则m n >，12m n a +=，22m n a -=，所以12m a a =+，12n a a =-，在12F MF △中，由余弦定理可得：2221212122cos F F MF MF MF MF θ=+-，即22242cos c m n mn θ=+-，一方面22222142cos ()2(1cos )42(1cos )c m n mn m n mn a mn θθθ=+-=+-+=-+，所以222112221cos 1cos a c b mn θθ-==++，此时12F MF △面积为22211122sincos1sin 22sin tan 21cos 22cos2S mn b b b θθθθθθθ==⋅=⋅=+；另一方面，22222242cos ()2(1cos )42(1cos )c m n mn m n mn a mn θθθ=+-=-+-=+-，所以222222221cos 1cos c a b mn θθ-==--，此时12F MF △面积为22222222sin cos 1sin 22sin 21cos 2sin tan22b S mn b b θθθθθθθ==⋅=⋅=-，对于A ，因为22222112tan ()2tan 2b S b b b θθ=⋅=，所以12S b b =，故A 正确；对于B ，因为m n >且12m n a +=，所以222112(1cos 2b m n mn a θ+=<=+，所以22222111221122()221cos 2cos 2b ac e a a θθ-==-<+=，所以22211cossin 22e θθ>-=，所以1sin2e θ>，又11e <，所以1sin ,12e θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；当122π3F MF θ∠==时，由22242cos c m n mn θ=+-得222121212124()()()()c a a a a a a a a =++-++-，即2221234a a c +=，所以2212314e e +=，所以211413e <<，2221134e e =-，对于C ，令211413t e <=<，则2222221211111324(4)343()(0,1)33t t t e e e e ⋅=-=-+=--+∈，所以212)()(1,e e ∈+∞，12(1,)e e ∈+∞，故C 错误；对于D ，2221122221222222122131311()()1()44e e e e e e e e e e ++=+=++，记22211e m e =>，则2221111(3)4e e m m=+++，函数13y m m=+是对勾函数，在(1,)+∞上单调递增，所以22121111(3)1(31)244e e m m =++>+⨯++=，即2212e e +的取值范围为()2,+∞，故D 正确.故选：ABD29．（22-23高二下·湖南岳阳·期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，A ，B 为C 上两个相异的动点，分别在点A ，B 处作抛物线C l ，2l ，1l 与2l 交于点P ，则（）A ．若直线AB 过焦点F ，则点P 一定在抛物线C 的准线上B ．若点P 在直线40x y ++=上，则直线AB 过定点()4,2-C ．若直线AB 过焦点F ，则ABP 面积的最小值为1D ．若4AB =，则ABP 面积的最大值为1【答案】AB【分析】设2114y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2224y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，，()00P x y ，，与抛物线C 相切的切线方程为()0x my b b =+≠，与抛物线方程联立，求出直线AB 的方程结合韦达定理可得002x b y m =-=，，根据直线AB 过焦点可判断A ；根据点P 在直线40x y ++=上，把004x y =--，代入直线AB 的方程可判断B ；根据直线AB 过焦点，求出AB ，求出点P 到直线AB 的距离，求出ABP 面积由基本不等式可判断C ；由弦长公式求出AB ，可得点()2P b m -，到直线0x my b --=的距离，再由基本不等式可得面积最大值可判断D.【详解】设2114y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2224y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，，()00P x y ，，与抛物线C 相切的切线方程为()0x my b b =+≠，则24y x x my b ⎧=⎨=+⎩，，化简得2440y my b --=，由Δ0=，可得2b m =-，将A 点坐标代入方程2x my m =-，可得221104y m my -+=，12y m =，所以过A 的切线方程为21124y y x y =-，同理，过B 的切线方程为22224y y x y =-，所以直线AB 的方程为002yx y x =-，又2110024y y x y =-，①2220024y y x y =-，②联立①②可得12120042y y y y x y +==，因为A B ，在抛物线24y x =上，所以121244y y m y y b +==-，，所以002x b y m =-=，，对于A ，若直线AB 过焦点()10F ，，则1b =，故01x b =-=-，所以点P 一定在抛物线C 的准线上，故A 正确；对于B ，若点P 在直线40x y ++=上，则004x y =--，代入直线AB 的方程得0042y y y x --=-，解得4x =，=2y -，所以直线AB 过定点()42-，，故B 正确；对于C ，若直线AB 过焦点()10F ，，则()12P m -，，直线AB 的方程为1my x -=-，即10x my --=，()2221212122112444y y y y y y AB +-=+++=+221682444m m +=+=+，点P 到直线AB=所以ABP 面积为()()32221444142=⨯+⨯=+≥S m m ，当且仅当0m =时等号成立，故C 错误；对于D，12AB y y =⋅-=4==，可得2211b m m =-+，点()2P b m -，到直线0x my b --=2=22=≤，当且仅当0m =时等号成立，所以ABP 面积的最大值为14242⨯⨯=，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：利用与抛物线C 相切的切线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得到2b m =-，在直线与圆锥曲线的位置关系中，常常利用韦达定理解决相关问题.30．（22-23高二下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy 中，()11,1F --，()21,1F ，动点P 满足124PF PF +=，则（）A ．P 的轨迹方程为22142x y +=B ．P 的轨迹关于直线y x =对称C ．12PF F △的面积的最大值为2D．P的横坐标的取值范围为⎡⎣【答案】BCD【分析】由动点满足的条件可求轨迹方程，由椭圆定义知轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，利用椭圆的性质求对称轴，求焦点三角形的最大面积，通过联立方程组利用判别式求P 的横坐标的取值范围.【详解】对于A ，设(,)P x y ，4=，得到2233280x y xy +--=，故A 错误.对于B ，由椭圆定义知P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，故12,F F 所在直线是椭圆的对称轴，故B 正确.对于C ，因为长半轴2a =，半焦距c =b =当点P 在短轴顶点上，1290F PF ︒∠=，此时12F PF △的面积最大，最大值为2，故C 正确.对于D ，联立方程2233280x y xy x m⎧+--=⎨=⎩，得2232380y my m -+-=，由28240m ∆=-+≥，得m ≤，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：由已知和椭圆定义可知，P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，充分利用椭圆的性质，可以更快找到解题思路，减少运算量.三、填空题31．（22-23高二下·湖南·期末）已知抛物线2:16C x y =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为6，则||AB 的最大值为．【答案】20【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可．【详解】由题意知()0,4F ，抛物线C 的准线方程为4y =-．设AB 的中点为M ，分别过点A ，B ，M 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，N ．因为M 到x 轴的距离为6，所以6410MN =+=．由抛物线的定义知,AC AF BD BF ==，所以220MN AC BD AF BF =+=+=．。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(六)附答案人教版高中数学新高考指导辅导班专用
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得分 一、选择题
1．(汇编年高考四川文)直线3y x =-与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为
（A ）36 （B ）48 （C ）56 （D ）64
2．(汇编四川理)直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为
（A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）72 3．1 ．（汇编湖南文）已知双曲线C :22x a -2
2y b
=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为 （ ）
A ．220x -2
5y =1 B ．25x -220y =1 C ．280x -220y =1 D ．220x -280y =1。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(二)附答案新教材高中数学
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得分 一、选择题
1．1 ．（汇编上海春）已知椭圆2222
12:1,:1,124168
x y x y C C +=+=则 （ ）D A ．1C 与2C 顶点相同.
B ．1
C 与2C 长轴长相同. C ．1C 与2C 短轴长相同.
D ．1C 与2C 焦距相等.
2．（汇编湖南文5） 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ． 4
B ． 6
C ． 8
D ． 12
3．（1994山东理8) 设F 1和F 2为双曲线4
2
x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是 ( )。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(六)带答案人教版高中数学高考真题汇编辅导班专用
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编江西文）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 （ ） A ．14B ．55C ．12D ．5-22．(汇编全国1理)双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = A ．14- B ．4- C ．4 D ．143．（汇编湖北文9）若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[122-,122+]B.[12-,3]C.[-1,122+]D.[122-,3]4．（1993山东理11)一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2－8x +12=0都外切，则动圆圆心轨迹为( )A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线的一支D ． 抛物线5．（汇编山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x += 的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．（汇编全国2文11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A ．13B ．33C ．12D ．327．（汇编重庆文）已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ）A .23B .62C .72D .248．已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)459．在抛物线25(0)y x ax a==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( )（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- (汇编年高考四川卷理科10)10．中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ） A ．3422y x +＝1B ．4322y x +＝1 C ．42x ＋y 2＝1D ．x 2＋42y＝1（汇编全国文，9）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，D C ,是椭圆上关于x轴对称的两点，直线BD AC ,的斜率分别为12,k k ，且12120,||||k k k k ≠+若的最小值为3，则椭圆的离心 率为 .12．已知倾斜角α≠0的直线l 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且交椭圆于A 、B 两点，P 为右准线上任意一点，则∠APB 为________(从“钝角、直角、锐角、都有可能”中选择填空).13．已知点P 是椭圆2212516x y +=上位于第一象限内的任一点，过点P 作圆2216x y +=的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，直线AB 分别交x 轴，y 轴于,M N两点，则MON ∆面积的最小值是 ▲ .14．设圆C 的圆心与双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线:30l x y -=被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为__ ____。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(四)带答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为 （ ）A ．2B ．22C ．23D ．42．(汇编天津文)椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -相应于焦点F 的准线方程为7.2x =-则这个椭圆的方程是（A ）222(1)21213x y -+= （B ）222(1)21213x y ++=（C ）22(1)15x y -+= （D ）22(1)15x y ++= 3．2 ．（汇编湖南文）已知双曲线 C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在 C的渐近线上,则C 的方程为（ ）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =14．（汇编全国1文8）设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]5．（汇编山东理8）双曲线3x 2－y 2=3的渐近线方程是 ( ) (A) y =±3x (B) y =±31x (C) y =±3x (D) y =±336．(汇编全国I 理（汇编）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为（ ） A ．32B ．62C ．3D ．67．（汇编山东理）(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 38．（汇编北京文10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x ＝±y 215B ．y ＝±x 215C ．x ＝±y 43 D ．y ＝±x 439．（汇编江苏理3）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．3D ．2 10．（汇编四川卷理）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A.2B.3C.115 D.3716【解析1】直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点)0,1(F 的距离，故本题化为在抛物线24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为)0,1(F 到直线1:4360l x y -+=的距离，即25|604|min =+-=d ，故选择A 。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(一)含答案人教版高中数学考点大全
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为 （ ）A ．2B ．22C ．23D ．42．(汇编年高考北京理)若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．（汇编四川文数）（10）椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A ）（0，22] （B ）（0，12] （C ）[21-，1） （D ）[12，1）4．（汇编） 曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的（ ）(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同5．（汇编陕西文）9.已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（ ） （A ）a (B)b(C)ab(D)22b a +6．（汇编重庆文）已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ）A .23B .62C .72D .247．（汇编天津文7）设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( ) A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 【解析】将方程221mx ny +=转化为 22111x y m n+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足110,0,m n >>所以11n m>. 8．（汇编四川卷文、理）已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )A. －12B. －2C. 0D. 49．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =110．设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）（1994全国，8） A ．1 B ．25 C ．2 D ．5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，两焦点为21,F F ，过2F 作x 轴的垂线交双曲线于B A ,两点，且1ABF ∆内切圆的半径为a ，则此双曲线的离心率为 ▲ .12．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ☆13．如图，过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(三)含答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编安徽理）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为 （ ）A ．22B ．2C ．322D ．222．1 ．（汇编江西文）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 （ ） A ．14B ．55C ．12D ．5-23．(汇编重庆理)已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( ) A43 B 53 C 2 D 734．（汇编）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ） A ．14-B ．4-C ．4D ．145．（汇编全国卷Ⅱ文）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若FB FA 2=,则k = ( )Ａ.31 Ｂ.32 Ｃ.32 Ｄ.322【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由2FA FB =及第二定义知)2(22+=+B A x x 联立方程用根与系数关系可求k=223.6．给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x+y －5=0仅有一个交点的曲线是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④（汇编北京理6）7．(汇编湖北文)双曲线)0(122≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．388．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =(汇编年高考陕西卷理科2)9．中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ） A ．3422y x +＝1B ．4322y x +＝1 C ．42x ＋y 2＝1D ．x 2＋42y ＝1（汇编全国文，9）10．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x ＝±y 215 B ．y ＝±x 215 C ．x ＝±y 43 D ．y ＝±x 43（汇编北京文，10）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．已知椭圆的焦点在x 轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为____________．12．设过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点1F 且交双曲线于同一支的弦为AB ，另一焦点为2F ，若2ABF ∆的周长为m a 24+，则AB=____________.13．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0，3)．点P 在抛物线上且满足→AP ＝12→PF ，则P 到该抛物线准线的距离为 ．14．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是34， (江苏省宿豫中学汇编年3月高考第二次模拟考试)15．若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是 ▲ ．(江苏省苏北四市汇编届高三第一次调研)16．已知双曲线的两条渐近线方程为043=±y x ，则双曲线方程为 ▲ ．只知渐近线不知焦点，故分两种情况（共轭双曲线）．得191622±=-y x 评卷人得分三、解答题17． 已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为55x =，离心率5e =．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）点A 的坐标为(5,0)-，B 是圆22(5)1x y +-=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标w.w.k.s.5.u.c.o.m .5.u.c.o.m18．设上的两点，已知向量，,若m ·n =0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ， 直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(Ⅰ)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点Q 作直线QR ∥1AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .① 求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.关键字：求椭圆的标准方程；求外接圆；求圆心；恒过定点问题20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的3个顶点12(0,),(0,),(,0)B b B b A a -，焦点(,0)(0)F c c >，且12B F AB ⊥，求椭圆的离心率。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(一)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 （ ）A ．14B ．13C ．12D ．102．（汇编安徽理）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为 （ ）A ．22B ．2C ．322D ．223．2 ．（汇编新课标理）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,43AB =;则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．84．(汇编辽宁文)方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ A ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率5．（汇编京春文9理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）6．（汇编江西理7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ）A 。
(0,1) B ．1(0,]2C ．2(0,)2D ．2[,1)2 7．（汇编年高考辽宁卷）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是（ ） A ．26 B ．23 C ．3D ．28．（1994全国8）设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25C ．2D ．59．椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =110．已知抛物线x y 42=的准线与双曲线1222=-y ax )0(>a 相交于B A ,两点，且F是抛物线的焦点，若FAB ∆是直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．6C ．2D ．3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．已知对称轴为坐标轴且焦点在x 轴上的双曲线，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为 ▲ ．12．已知双曲线过点(3,2)-，且与椭圆224936x y +=有相同焦点，则双曲线的标准方程为 ．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点P 的个数为 6 .提示：点P 在以1AC 为焦点的椭圆上，P 分别在AB 、AD 、1AA 、11C B 、11C D 、1C C 上. 或者，若P 在AB 上，设AP x =,有2211(1)(2)2,2PA PC x x x +=+-+=∴=. 故AB 上有一点P （AB 的中点）满足条件.同理在AD 、1AA 、11C B 、11C D 、1C C 上各有一点满足条件. 又若点P 在1BB 上上，则2211112PA PC BP B P +=+++>. 故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理1DD 上不存在满足条件的点P .14． 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ．15．中心在原点,长轴长为8,准线方程为8x =±的椭圆标准方程为 ▲ ．16．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是_________ 评卷人得分三、解答题17． (本小题满分16分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右准线95:5l x =，离心率53e =，A ，B 是椭圆上的两动点，动点P 满足OP OA OB λ=+，（其中λ为常数）． （1）求椭圆标准方程；（2）当1λ=且直线AB 与OP 斜率均存在时，求||||AB OP k k +的最小值；（3）若G 是线段AB 的中点，且OA OB OG AB k k k k ⋅=⋅，问是否存在常数λ和平面内两定点M ，N ，使得动点P 满足18PM PN +=，若存在,求出λ的值和定点M ，N ;若不存在，请说明理由．18． (本小题满分16分)已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，经过两点).55,2(),552,1(-B A 圆C 以点（2，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(五)含答案人教版高中数学
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编全国2理)已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（A ）365（B ）566（C ）65（D ）562．（汇编江西、山西、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ．B 两点，则OB OA ⋅等于（ ）A ．43 B ．－43C ．3D ．－3 3．（汇编宁夏理6）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·4．（汇编湖南理）如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是（ ） A ．513 B ．13 C ．5 D ．135 5．(汇编全国2理)已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 ( )（A ）23 （B ）6 （C ）43 （D ）12解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC ∆的周长为4a=43,所以选C6．（1994全国2）如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，＋∞）B ．（0，2）C ．（1，＋∞）D ．（0，1）7．（汇编宁夏海南卷理）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( )A.23B.2C.3D.1【解析】双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线3y x =的距离为340232d ⨯-==,8．（汇编山东卷文)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =±B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =9．(汇编湖北理)已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．779 D ．4910．若21,F F 分别为双曲线1279:22=-y x C 的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则2AF 的值为 （ ） （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）27第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值 分析：设P （2cos θ,sin θ），(0)2πθ <<,点P 到直线AB ：x+2y=2的距离|22sin()2||2cos 2sin 2|2224555d πθθθ+-+--==≤∴所求面积的最大值为2（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）12．已知椭圆E ：2214x y +=，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ▲ ．（第14题图）13．双曲线1322=-x y 的离心率为 ．14．已知1F ，2F 为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠321π=PF F ，则=⋅||||21PF PF ▲ .15．双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是▲ ．16．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是___________评卷人得分三、解答题17．已知椭圆中心在原点，上顶点为(0,1)A ，右焦点为(1,0)F ，右准线为l ，l 与x 轴交于P 点，直线AF 交椭圆与点B ． （1）求椭圆的方程；（2）求证：PF 是APB ∠的平分线；（3）在l 上任意取一点Q ，求证：直线,,AQ FQ BQ 的斜率成等差数列．xyOABFP l第19题图O xyAF P D E GH18．（汇编年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.19．（本题满分18分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），⊙O ：x 2＋y 2＝b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点. ⑴若P(－1，3)，PA 是⊙O 的切线，求椭圆C 的方程； ⑵若PAPF 是一个常数，求椭圆C 的离心率；⑶当b ＝1时，过原点且斜率为k 的直线交椭圆C 于D 、E 两点，其中点D 在第一象限，它在x 轴上的射影为点G ，直线EG 交椭圆C 于另一点H ，是否存实数a ，使得对任意的k ＞0，都有DE ⊥DH ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.20．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率是_________。
期末专题08 圆锥曲线大题综合(椭圆、双曲线、抛物线)(附加)(30题)(解析版)-备战期末高二数学
期末专题08圆锥曲线大题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（附加）（精选30题）1．（22-23高二下·河北邢台·期末）椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为()12,0F -，()22,0F，且椭圆过点(M .(1)求椭圆的方程；(2)O 是坐标原点，,A B 是椭圆上两点，OAMB 是平行四边形，求以AB 为直径的圆的方程.【答案】(1)2211612x y +=(2)(223924x y ⎛++= ⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点坐标求得椭圆的方程；（2）根据点差法求出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出弦长AB 得到圆的直径，以OM 的中点Q 为圆心，得出圆的方程.【详解】（1）122a MF MF =+=448=-+，则216a =，又24c =，所以212b =，故椭圆的方程为2211612x y +=.（2）OM的中点为Q ⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则221111612x y +=，222211612x y +=，两式相减整理得12121212304y y y y x x x x -++⋅=-+，其中1212AB y y k x x -=-，122Q y y y +==122Q x x x +==故31042AB k ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，则32AB k =.故AB的方程为(322y x +=-，即32y x =-代入椭圆方程整理得2120x -=得10x =，2x =12AB x =-=故所求圆的方程为(223924x y ⎛++= ⎝⎭.2．（22-23高二下·湖南·期末）已知平面上动点E 到点()1,0A 与到圆22:2150B x y x ++-=的圆心B 的距离之和等于该圆的半径.(1)求点E 的轨迹方程；(2)已知,M N 两点的坐标分别为()()2,0,2,0-，过点A 的直线与（1）中点E 的轨迹交于,C D 两点（,C D 与,M N 不重合）.证明：直线MC 与ND 的交点的横坐标是定值.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的定义求标准方程；（2）利用韦达定理以及直线的点斜式方程和直线的交点坐标的求解方法证明.【详解】（1）依题意，()1,0B -，圆B 的半径为4.于是4EA EB +=，且24=<AB ，故点E 的轨迹为椭圆.22224,22,3a c b a c ==∴=-= .所以点E 的轨迹方程为：22143x y +=.（2）依题意直线CD 的斜率不为0，设直线CD 的方程为：()()11221,,,,x my C x y D x y =+代入椭圆方程223412x y +=得：()2243690my my ++-=.所以122643m y y m +=-+①，122943y y m -=+②又直线MC 的方程为：()1122y y x x =++，直线ND 的方程为：()2222y y x x =--联立上述两直线方程得：()()12122222y y x x x x +=-+-，即()()()()212112212121212332221y x y my my y y x x y x y my my y y ++++===----，将①②代入上式得：2212212122293324339624343m y my y y x m m m x my y y y m m -++++===---++++,即232x x +=-，解得4x =.所以直线MC 与ND 的交点的横坐标是定值4.3．（22-23高二下·湖北·期末）已知抛物线()2:20C x py p =>，点()(),40P m m <在抛物线C 上，且点P 到抛物线C 的焦点的距离为174.(1)求p ；(2)设圆()22:21M x y +-=，点Q 是圆M 上的动点，过点P 作圆M 的两条切线，分别交抛物线C 于,A B 两点，求ABQ 的面积S 的最大值.【答案】(1)12p =【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求解.（2）根据已知直线方程，和抛物线联立方程，结合韦达定理，求出点,A B 的坐标，从而求出直线AB 的方程，根据弦长公式，求得AB ，结合圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，从而求出ABQ 的面积S 的最大值.【详解】（1）由题知准线方程为2py =-，则17424p +=，得12p =.（2）抛物线的方程为2x y =，把点P 代入到抛物线方程，24m =，又0m <，所以2m =-，则点P 的坐标为()2,4-，依题知过点P 的直线斜率必存在，设过点P 的直线方程为()42y k x -=+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()22:21M x y +-=的圆心为(0,2)M ，半径1r =，1=，解得1k =243k -=，联立()242x y y k x ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，消y 得，2240x kx k ---=，则1P x x k +=，又2P x =-，不妨设1122x k =++，同理2222x k =+==，故21139A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，211,39B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得11114993AB k +--==，所以直线AB：1142933y x ⎛++-=- ⎝⎭，即4310x y -+=，12AB x =-539=（定值），要使ABQ 的面积S 最大，则ABQ 中AB 边上的高最大即可，又因为圆心M 到直线的距离为6115d -+==，则圆上一点到直线的距离的最大值为112d r +=+=，即ABQ 中AB 边上的高的最大值为2,所以max 12299S =⨯⨯=.4．（22-23高二下·湖南长沙·期末）已知抛物线22x py =，点(2,8)P 在抛物线上，直线2y kx =+交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．(1)求点P 到抛物线焦点的距离；(2)是否存在实数k 使0NA NB ⋅= ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)658(2)存在；2k =±【分析】（1）点(2,8)P 代入抛物线中求得抛物线方程，从而找到点P 到抛物线焦点的距离.（2）可利用直角三角形的性质，斜边中线的长度等于斜边的一半，转换为圆锥曲线的弦长问题；【详解】（1）将点(2,8)P 代入抛物线方程，则1,4p =212x y =，抛物线焦点10,8F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离165||888PF =+=．（2）存在，证明如下：如图，设()211,2A x x ，()222,2B x x ．把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，2160k ∆=+>，由根与系数的关系得122k x x +=，121x x =-．1224N M x x k x x +∴===，N ∴点的坐标为2,48k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭．假设存在实数k ，使0NA NB ⋅= ，则NA NB ⊥．又M 是AB 的中点，12MN AB ∴=．由（1）知，()()()22121212111122442222224M k k y y y kx kx k x x ⎛⎫⎡⎤=+=+++=++=+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭．MN x ⊥ 轴，222162488M N k k k MN y y +∴=-=+-=，又12||AB x x -==2168k +∴=⇒=，两边同时平方得：()221641k k +=+，解得2k =±，即存在2k =±，使0NA NB = ．5．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>.四个点()()()123433,1,2,3,2,3,,22P P P P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭中恰有三点在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+与双曲线C 交于,M N 两点，且OM ON ⊥，求原点O 到直线l 的距离.【答案】(1)2213y x -=(2)2.【分析】（1）由双曲线性质可知，23,P P 关于原点对称，可得23,P P 一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象判断点1P 不在双曲线上，即234,P P P ､在双曲线上，进而可得答案.（2）联立直线与双曲线方程消去y ，由12120x x y y +=，结合韦达定理可得22233m k =+，再利用点到直线距离公式，化简即可得答案.【详解】（1）由双曲线性质可知，23,P P 关于原点对称，所以23,P P 一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象而()13,1P 和()22,3P 坐标的数中，32>，但13<，所以点1P 不在双曲线上，即234,P P P ､在双曲线上.2222491915144a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得1,a b ==∴双曲线C 的方程为2213y x -=（2）直线MN 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，由2233y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2223230,k x kmx m ----=所以()22221212222330,Δ1230,,33km m k m k x x x x k k ---≠=-+>+=⋅=--.由OM ON ⊥，可得0OM ON ⋅= ，即12120x x y y +=所以()()12120x x kx m kx m +++=，可化为()()22121210k x x km x x m ++++=即()22222321033m km k km m k k --+⋅+⋅+=--则22222222233230m k m k k m m k m ----++-=即22233m k =+O ∴到l的距离2d ====.6．（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为)F ，过F 且斜率为1的直线与E 的渐近线分别交于A ，B 两点（A 在第一象限），O 为坐标原点，||3||OA OB =．(1)求E 的方程；(2)过点(4,0)且倾斜角不为0的直线与E 交于C ，D 两点，与E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，证明：||||CP DQ =．【答案】(1)2214x y -=(2)证明见解析【分析】（1）由已知得AB l：y x =-A y ，B y ，结合已知条件得2a b =，进而求得,a b ，得到E 的方程；（2）要证明||||CP DQ =，只需证明CD 的中点与PQ 的中点重合．设直线CD ：4x my =+，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出CD 的中点为M 的坐标，由直线CD 与渐近线方程联立，求出,P Q 的坐标，进而得PQ 的中点为N 的坐标，即可得出结论．【详解】（1）由已知得AB l：y x =，联立,y x b y x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得A y =，同理可得B y =∵||3||OA OB ==2a b =．又225a b +=，∴24a =，21b =，∴E 的方程为2214x y -=．（2）要证明||||CP DQ =，只需证明CD 的中点与PQ 的中点重合．设CD 的中点为M ，直线CD ：4x my =+，联立224,440,x my x y =+⎧⎨--=⎩得()2248120m y my -++=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则12284m y y m +=-，122424M y y m y m +==-，22416444M m x m m m ⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭，即22164,44m M m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，双曲线E ：2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，由4,1,2x my y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得8,24,2x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩可得84,22P m m ⎛⎫- ++⎝⎭，由4,1,2x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得8,24,2x m y m ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩可得84,22Q m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∴PQ 的中点为22164,44m N m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∴点M 与点N 重合，∴||||CP DQ =．7．（22-23高二下·湖北武汉·期末）平面内与两定点()1,0A a -，()()2,00A a a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A ，2A 两点所成的曲线记为曲线C .(1)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；(2)若1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的()()1,00,m ∈-+∞ ，对应的曲线为2C .设1F ，2F 是2C 的两个焦点，试问：在1C 上是否存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =，并证明你的结论.【答案】(1)222mx y ma -=；答案见解析(2)存在；证明见解析【分析】（1）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，根据题意可得y y m x a x a⋅=-+，整理可得曲线C 的方程为222mx y ma -=，再把方程化为标准方程即可判断曲线的类型；（2）对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a =的充要条件为2220020122x y a m a ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩，从而求得102m ≤<或102m <≤，进而解决问题.【详解】（1）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12MA MA y y k k m x a x a⋅=⋅=-+，即222()mx y ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222mx y ma -=.所以曲线C 的方程为222mx y ma -=.当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆；当1m =-时，曲线C 的方程为222,x y a C +=是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma-=是焦点在x 轴上的双曲线.（2）在1C 上存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =，证明如下：由（1）知，当1m =-时，曲线1C 的方程为222x y a +=，当(1,0)(0,)m ∈-+∞ 时，2C的焦点分别为()12(F F -，对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a =的充要条件为2220020(1)12(2)2x y a m a ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩由(1)得00||y a <≤，由(2)得0||y =，所以0a <≤，解得102m ≤<或102m <≤，满足(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，所以存在点N 使得2S m a =.【点睛】关键点睛：第二问的关键是确定对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a =的充要条件为2220020122x y a m a ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩，从而求得102m ≤<或102m <≤，进而解决问题.8．（22-23高二下·广东茂名·期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的右焦点F 到其渐近线的距离为1.(1)求该双曲线C 的方程；(2)过点()4,0S 的动直线l （存在斜率）与双曲线C 的右支交于A B ､两点，x 轴上是否存在一个异于点S 的定点T ，使得SA TB SB TA ⋅=⋅成立．若存在，请写出点T 的坐标，若不存在请说明理由.【答案】(1)2214x y -=(2)存在定点()1,0T 【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程组求解即可；（2）假设存在定点T 满足已知条件，故设(),0T m ，结合正弦定理得ATS BTS ∠∠=，则0AT BT k k +=，当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为4,0x ny n =+≠，与双曲线联立，由直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，求得2n 范围，然后结合韦达定理及0AT BT k k +=求解即可.【详解】（1） 双曲线C 的渐近线为by x a=±，点(c,0)F 到渐近线的距离为1，2221c e a a b c =⎪⎪∴==⎨⎪+=⎪⎪⎪⎩，解得2,1a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=.（2）假设存在定点T 满足已知条件，故设(),0T m ，SA TB SB TA ⋅=⋅ ，SA SB TATB∴=，在ATS 和BTS 中，由正弦定理得sin sin SA TA ATS AST ∠∠=，及sin sin SB TBBTS BST∠∠=，sin sin SA ATSTAAST ∠∠∴=，及sin sin SB BTS TB BST∠∠=，π,sin sin AST BST AST BST ∠∠∠∠=-= ，又,sin sin SA SB ATS BTS TATB∠∠=∴=，ATS BTS ∠∠∴=，∴直线AT 与直线BT 的倾斜角互补，0AT BT k k +=，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为4,0x ny n =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，联立22414x ny x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2248120n y ny -++=，所以121222812,44n y y y y n n +=-=--，又因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，1212200Δ040x x x x n >⎧⎪+>⎪∴⎨>⎪⎪-≠⎩，即()()()()12122244080161204ny ny n y y n n ⎧++>⎪++>⎪⎨+>⎪⎪≠⎩，()()()212121222416080161204n y y n y y n y y n n ⎧+++>⎪++>⎪⎨+>⎪⎪≠⎩，则()()22222416043204161204n n n n n ⎧-+⎪>-⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪+>⎪≠⎪⎩，解得204n <<，12120,0AT BT y yk k x m x m+=∴+=-- ，又11x ny =224,4x ny +=+，1212044y y ny m ny m∴+=+-+-，即122ny y +()()1240m y y -+=，()2212824044n n m n n ⎛⎫∴⋅+--= ⎪--⎝⎭，即()810n m -=，解得1m =，∴存在定点()1,0T ，使得SA TB SB TA ⋅=⋅成立.9．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知O 为坐标原点，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线:4l x =的距离之比等于12，记P 的轨迹为Γ．点,A B 在Γ上，,,F A B 三点共线，M 为线段AB 的中点．(1)证明：直线OM 与直线AB 的斜率之积为定值；(2)直线OM 与l 相交于点N ，试问以MN 为直径的圆是否过定点，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)定点()1,0F ，理由见解析【分析】（1）先设(),P x y ，再根据距离比计算轨迹，最后计算斜率积即可；（2）先设(),0T m ，再根据MN 为直径的圆过定点(),0T m ，计算0MT NT ⋅=uuu r uuu r可得.【详解】（1）设(),P x y12=，整理得22143x y +=；设()11,A x y ,()22,B x y ，()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y yy +=，由1221222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减：()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+=，整理得()()12012032420x x x y y y -⋅+-⋅=，012120340y y y x x x -+⋅=-，01212034y y y x x x -⋅=--，即直线OM 与直线AB 的斜率之积为定值34-．（2）显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 方程为1x ty =+，联立方程组2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得：()2234690t y ty ++-=，所以122634ty y t +=-+，1223234M y y t y t +==-+，223413434M t x t t t -=⋅+=++，2243,3434t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，直线3:4t OM y x =-，从而点()4,3N t -，根据椭圆的对称性可知，若以MN 为直径的圆过定点，则该定点在x 轴上，可设为(),0T m ，以MN 为直径的圆过定点(),0T m ，则0MT NT ⋅=uuu r uuu r，又2243,3434t MT m t t ⎛⎫=-⎪++⎝⎭，()4,3NT m t =- ，从而()22249403434t m m t t ⎛⎫--+= ⎪++⎝⎭，整理得222(3129)420160t m m m m -++-+=，故2231290420160m m m m ⎧-+=⎨-+=⎩，解方程组可得1m =，即以MN 为直径的圆过定点()1,0F ．10．（22-23高二下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点)G ，直线L：x =动点H到点G 的距离与直线L的距离之比为2.(1)求动点H 的轨迹E 的方程；(2)设曲线E 与x 轴交于A 、B 两点，过x 轴上点()4,0M -作一直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点（异于A ，B ），若直线AP 与BQ 的交点为N ，记直线MN 与AP 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k .【答案】(1)22142x y +=；(2)13.【分析】（1）设,()H x y ，根据给定条件列出方程，再化简即可作答.（2）设出直线PQ 的方程，与轨迹E 的方程联立，利用韦达定理、斜率坐标公式推理计算作答.【详解】（1）设,()H x y=22142x y +=，所以动点H 的轨迹E 是椭圆，其方程为22142x y +=.（2）由（1）知，不妨令(2,0),(2,0)A B -，设()()1122(,),,,,N x y P x y Q x y ，显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程：4x my =-，由224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理得22(2)8120m y my +-+=，有226448(2)0m m ∆=-+>，即26m >，于是121222812,22m y y y y m m +==++，即有12123()2my y y y =+，由P ,N ,A 和Q ,N ,B 三点共线，得11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩，即()()12212222y x x y x x --=++，而11224,4x my x my =-=-，从而()()121121221211223(62(6)2332(2)22)()y y y y x y my y x y my y y y+---===-+-+-，因此232x x -=-+，解得=1x -，而12,42y yk k x x ==++，所以122143k x k x +==+.11．（22-23高二下·湖北恩施·期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．(1)求C 的方程；(2)已知直线1l ：1y x =+与椭圆C 相交于两点M ，N ，求线段MN 的长度；(3)经过点112P ⎛⎫⎪⎝⎭，作直线2l ，交椭圆于A 、B 两点．如果P 恰好是线段AB 的中点，求直线2l 的方程．【答案】(1)2214x y +=(2)5(3)112y x =-+【分析】（1）由题意可得2a ，2b 的值，即求出a ，b 的值，可得椭圆的方程；（2）联立直线1l 的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，代入弦长公式，可得MN 的大小；（3）设A ，B 的坐标代入椭圆的方程，作差整理可得直线2l 的斜率，代入点斜式方程求出直线2l 的方程．【详解】（1）由题意可得241222a b a =⎧⎪⎨=⋅⎪⎩，可得2a =，1b =，所以椭圆的C 的方程为：2214x y +=；（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，联立22441x y y x ⎧+=⎨=+⎩，整理可得2580x x +=，可得2185+=-x x ，120x x =，所以855MN =⋅=；（3）设()33A x y ，，()44B x y ，，由题意可得342x x +=，341y y +=，将A ，B 的坐标代入可得：223322441414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差整理可得：3434343411214412y y x x x x y y -+=-⋅=-⋅=--+，即直线AB 的斜率为12-，所以直线2l 的方程为()11122y x -=--，即112y x =-+．12．（2023·山东济南·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22:1M x y +=与x 轴的交点恰为C 的焦点，且C 上的点到焦点距离的最大值为2b .(1)求C 的标准方程；(2)不过原点的动直线l 与C 交于,A B 两点，平面上一点D 满足OA AD =，连接BD 交C 于点E （点E 在线段BD 上且不与端点重合），若25EAB DAB S S = ，试判断直线l 与圆M 的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)相离，理由见解析【分析】（1）根据题意求得1c =和2a c b +=，结合222a b c =+，求得,a b 的值，即可求解；（2）设直线:(0)l y kx m m =+≠，联立方程组得到21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，且0∆>，由OA AD = 和25EAB DAB S S = ，求得E 点坐标，代入椭圆22143x y +=，化简得到121234x x y y =-，结合点O 到直线l 的距离312d r ≥>=，得到直线l 与圆M 相离；当直线l 的斜率不存在时，求得12x =l 与圆M 相离，即可求解.【详解】（1）解：由题意，圆22:1M x y +=与x 轴的交点为()1,0±，可得1c =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为2a c b +=，又因为222a b c =+，可得2,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解：如图所示，设1122(,),(,)A x y B x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线:(0)l y kx m m =+≠，联立方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222()4384120k x kmx m +++-=，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，且222(8)4(43)(412)0km k m ∆=-+->，可得2222121112122312()()()43m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，由OA AD =可得点A 为OD 中点，可得11(2,2)D x y ，且有25EAB DAB S S = ，可得25EB BD =，所以1212234343(,)555555OE OD OB x x y y =+=++ ，即E 点坐标为12124343,5555x x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，将点E 代入椭圆22143x y +=，可得121222143143((45535)5)1x x y y ++=+，整理得222211221212169241254325432543x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅++⋅++⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由点,A B 分别满足222211221,14343x y x y +=+=，代入上式可得1212043x x y y+=，即121234x x y y =-，代入韦达定理，可得代入韦达定理可得22243m k =+，满足0∆>，点O 到直线l的距离d ====，因为20k ≥，可得22(1)2k +≥，所以21102(1)2k <≤+≤<所以1d r ≥>=，所以直线l 与圆M 相离，当直线l 的斜率不存在时，此时有1212,x x y y ==-，代入121234x x y y =-，可得2211340x y -=，又因为2211143x y +=，可得1x =所以直线l的方程为1x =l 与圆M 相离，综上可得，直线l 与圆M 相离.【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.13．（22-23高二下·江苏镇江·期末）如图，在ABC 中，4BC AB AC =+=，若以BC 所在直线为x轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.设动顶点(),A x y .(1)求顶点A 的轨迹方程；(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为M ，设()()122,0,2,0D D -，过点()1,0作动直线l 与曲线M 交于,P Q 两点（点P 在x 轴下方）.求证：直线1D P 与直线2D Q 的交点E 在一条定直线上.【答案】(1)()22104x y y +=≠(2)证明见详解【分析】（1）根据椭圆的定义，求得椭圆的,,a b c 的值，可得答案；（2）根据联立直线PQ 与椭圆M 写出的韦达定理，表示出直线12,QD PD 的直线方程，联立整理方程，可得答案.【详解】（1）由4AB AC +=，则A 的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆，且24a =，2a =；由BC =2c =c =1b ==，故A 的轨迹方程为()22104x y y +=≠.（2）直线l 方程可设为1x my =+，联立可得22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得：()224230m y my ++-=，()2241240m m ∆=++>显然成立，设()()1122,,,Q x y P x y ，则12122223,44m y y y y m m +=-=-++，即()121223my y y y =+，设()121:22y QD y x x =--，()212:22y PD y x x =++，联立上述两方程，消去y 可得()()12122222y yx x x x -=+-+，12121212222222y y y y x x x x x x -=+-+-+，()()()()12211221222222y x y x x y x y x +--=++-⎡⎤⎣⎦，()()()()12211221312321y my y my x y my y my +--=++-⎡⎤⎣⎦，()1212123462y y x my y y y +=+-，由()121246my y y y =+，则()()1212123662y y x y y y y +=++-，()1212123124,30y y x y y y y +=++≠，解得4x =；综上所述，动点E 4x =.【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y kx t =＋，由题设条件将t 用k 表示为t mk n =+，得()y k x m n =+＋，故动直线过定点(),m n -；（2）动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．14．（22-23高二下·江西南昌·期末）C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（，椭圆上有四个动点A B C D ，，，，//CD AB ，AD 与BC 交于P 点.如图所示.(1)求曲线C 的方程；(2)当,A B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(3)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.【答案】(1)221164x y +=(2)是定值，定值为14(3)13-【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点即可联立方程求解,,a b c ，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式化简即可求解，（3）根据向量共线满足的坐标运算，代入椭圆方程中，即可化简求解.【详解】（1）由题意可知2222224314,2,c e a a b c a b c b a ⎧==⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪+=⎪⎪⎩所以曲线C 方程为221164x y +=（2）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得t -<<2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BCx t x t y y k kx x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x t x x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（3）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=（0λ≠），得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩，所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ=，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.15．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个端点为()0,1B ，且离心率为2，过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点M ，与y 轴正半轴交于点N ，过原点O 且与直线l 平行的直线l '交椭圆于点P ，Q ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：AM ANOP OQ⋅⋅为定值．【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求出,a b ，得到椭圆的标准方程；（2）应用弦长公式分别求出,,,AM AN OP 计算化简可得定值.【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1B -，所以21b =，又椭圆的离心率为2，则2e ==所以2a =，故椭圆方程为2214x y +=（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，()0,2N k所以AN =，设()11,M x y ，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +++-=，则21216214k x k --+=+，212164214k x k --=+所以AM ===设直线OP 的方程为y kx =，由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221440k x +-=，设()00,P x y ，则202414x k =+，则2202414k y k =+，所以22220244||14k OP x y k+=+=+，故2221424414AM AN AM AMk k OP OQ k ⋅⋅+===+⋅+，因此AM ANOP OQ⋅⋅为定值.【点睛】关键点点睛：定值取得的关键是对弦长公式的应用及结合图形的对称性得出OP OQ =.16．（22-23高二下·广东广州·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为121,,2A A 分别为椭圆C 的左右顶点，12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，B 是椭圆C 的上顶点，且11BA F (1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点（,P Q 在x 轴的两侧），记直线1221,,,A P A P A Q AQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ．（i ）求12k k ⋅的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，则求2F PQ △的面积的取值范围．【答案】(1)2211612x y +=(2)（i ）34-；（ii ）(0,2【分析】（1）根据已知求出,a c 的关系，可推得1||A B =，结合11BA F 的外接圆半径，利用正弦定理求得c ，即可求得,a b ，即得答案；（2）设l 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数关系，（i ）化简整理可得12k k ⋅以及34k k ⋅的值；（ii ）利用（i ）的结论推出23920k k =-，结合根与系数的关系式化简可求得m 的值，继而求得2F PQ △的面积的表达式，结合函数的单调性即可求得答案.【详解】（1）由于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，故12c a =，故11||22||BF a c OF ===，则1111306012,,0F BO BF O BF A ︒︒︒∠=∠=∠=，又22223b a c c =-=，则1||A B =，又11BA F111||2sin sin1203A B BF A ︒==⨯∠，解得2c =，故4,a b ==，故椭圆方程为2211612x y +=；（2）（i ）设l 与x 轴的交点为D ，由于直线l 交椭圆C 于,P Q 两点（,P Q 在x 轴的两侧），故直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x ty m =+，联立2211612x ty mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2223463480t y mty m +++-=，需满足2248(1216)0t m ∆=-+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则212122263483434,mt m y y y y t t --+==++，又()()120,,40,4A A -，故122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ⋅=⋅=⋅===-+---，同理可得123434QA QA k k k k ⋅=⋅=-；（ii ）因为()142353k k k k +=+，则()2323232323335354434)3k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+，又直线l 与x 轴不垂直可得230k k +≠，则23920k k =-，即22920PA QA k k ⋅=-，所以121294420y y x x ⋅=---，即()121220944)0(y y ty m ty m ++-+-=，即()()()()22121292094940t y y t m y y m ++-++-=，即()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++，整理得2340m m --=，解得1m =-或4m =，因为,P Q 在x 轴的两侧，故2122348034m y y t -=<+，则44m -<<，故1m =-，此时直线l 为1x ty =-，过定点(0,1)-，与椭圆C 交于不同两点；此时1212224,645343t y y y y t t -+==++，22121||||2F PQ S F D y y =⋅-=234t =+，λ=，由于l 与x 轴不垂直，故0t≠，所以λ>，故2272721313F PQ S λλλλ==++ ，设211()3,()3g g λλλλλ'=+=-，λ>时，()0g λ'>，即()gλ在)+∞上单调递增，即()g g λ>故72(0,)123λλ∈+，即2F PQ△的面积的取值范围为(0,2.【点睛】难点点睛：解答此类直线和椭圆位置关系中的范围问题，解答的思路并不困难，一般是联立方程，得到根与系数的关系，进而化简，难点在于计算的过程比较复杂且计算量较大，因此对于含有字母的复杂计算要十分细心.17．（22-23高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点F 为椭圆C 的左焦点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)平行于y 轴的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,P Q ，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为M ，证明：直线QM 过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆中的基本量关系，再代入31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭求解即可；（2）设直线()()()1122:1,,,,PF y k x P x y M x y =+，则()11,Q x y -，再联立PF 与椭圆方程，得出韦达定理，化简可得()21214y y y x x x +=+-，进而求出定点.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，椭圆C 过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22222191,41,2,a b c a b c a ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）证明：由题可知，直线PF 的斜率存在.设直线()()()1122:1,,,,PF y k x P x y M x y =+，则()11,Q x y -.联立直线与椭圆方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +++-=，则()()()4222Δ6443441214410k k k k =-+-=+>，221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，所以()212221:QM y y l y y x x x x +-=--，整理得2112212112y y x y x y y x x x y y ⎛⎫++=- ⎪-+⎝⎭.又()()()()()12211212122112121211222kx x kx x kx x k x x x y x y y y k x x k k x x k++++++==+++++()2222222412834344,8234k k k k k k k k kk --+⨯++==--⨯++所以直线QM 的方程为()21214y y y x x x +=+-.故直线QM 过定点()4,0-.18．（22-23高二下·安徽芜湖·期末）已知以()2,3E -为焦点的椭圆过()()2,0,2,0A B -，记椭圆的另一个焦点F 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 是曲线C 的切线，且l与直线y =和y =分别交于点,M N ，与x 轴交于点Q ，求证：2||QM QN OQ +为定值.【答案】(1)221(0)3y x x -=>(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在分别讨论，结合韦达定理代入计算，即可得到证明；【详解】（1）由题意得AE AF BE BF +=+，即24AF BF AB -=<=，所以F 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线的右支，方程为221(0)3yx x -=>（2）当切线l 的斜率存在时，设切线l 为()0y kx m k =+≠，则,0m Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得：()2223230k x kmx m ----=，则()()2222Δ44330k m k m =----=，即223m k =-，设()()1122,,,M x y N x y，直线y =和y =是曲线C 的渐近线，联立2203y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得：()222320k x kmx m ---=，则1222122233km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()()()222121212223113m m m m QM QN kx x k x x x x k k k k k ⎛⎫⎛⎫=+++=++++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22223||1m OQ k k==-，所以2||4QM QN OQ +=.当切线l 的斜率不存在时，易知2||4QM QN OQ +=.【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，难度较难，解答本题的关键在于分直线的斜率存在与不存在讨论，然后联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算.19．（22-23高二下·福建厦门·期末）已知点N 在曲线:C 22186x y +=上，O 为坐标原点，若点M满足O N M=，记动点M 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)已知点P 在曲线C 上，点A ，B 在曲线Γ上，若四边形OAPB 为平行四边形，则其面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由【答案】(1)22143x y +=(2)为定值【分析】（1）设(),M x y ，(),N N N x y，依题意可得N N x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再由点N 在曲线C ，代入方程即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，依题意可得OP OA OB =+，根据点在曲线上得到()2121212x y y x -=，表示出直线OA ，求出点B 到直线OA 的距离d ，根据2OAPB AOB S S OA d == 计算可得.【详解】（1）设(),M x y ，(),N N N x y ，因为点N 在曲线:C 22186x y +=上，所以22186N Nx y +=，因为O N M=，所以N Nx y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入22186N Nx y +=可得()()22186+=，即22143x y +=，即Γ的方程为22143x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，因为点P 在曲线C 上，所以2200186x y +=，因为四边形OAPB 为平行四边形，所以OP OA OB =+，所以()()001212,,x y x x y y =++，所以()()221212186xx yy +++=，又2211143x y +=、2222143x y +=，所以1212043x x y y +=，因为222222112212121434343x y x y x x y y ++骣骣骣骣琪琪琪=++=琪琪琪桫桫桫，所以()2121212x y y x -=，直线OA ：110y x x y -=，点B 到直线OA的距离d =所以平行四边形OAPB的面积12122OAPB AOB S S OA d x y y x ====-=【点睛】思路点睛：本题第二问采用设而不求，利用整体思想得到()2121212x y y x -=是解决问题的关键，方法比较新颖.20．（22-23高二下·安徽黄山·期末）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点()7,3,P PF =，且点P 到抛物线准线的距离不大于10，过点P 作斜率存在的直线与抛物线E 交于,A B 两点（A 在第一象限），过点A 作斜率为23的直线与抛物线的另一个交点为点C ．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)求证：直线BC 过定点．【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由PF =p 值；（2）过点()7,3P ，则可设AB 的方程为3(7)y k x -=-，并与抛物线24y x =联立可得()2412280,0,ky y k k -+-=≠，若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则可知12124,2128y y y y k k+==-，消k 得()1212283y y y y +=+，由AC 斜率为23可得136y y +=，代入()1212283y y y y +=+消1y 可得()2323301y y y y -+=将他代入BC 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即可求得必过点.【详解】（1） 焦点,0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭()7,3,P PF =，∴||FP =又∵0p >，且点P 到抛物线E 准线的距离不大于10，即7102p+≤∴2p =∴抛物线E 的标准方程为24y x =；（2）依题意直线AB 斜率存在且过点()7,3P ，则可设AB 的方程为3(7)y k x -=-，由23(7)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩，化简得：()2412280,0,ky y k k -+-=≠，()2167310k k ∆=-+>设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则由韦达定理可知12124,2128y y y y k k+==-，消去k 得：()1212283y y y y +=+①又11223311333142344AC y y y y k y y x x y y --====-+-，则136y y +=②由①②得()()323262836y y y y -+=-+，∴()2323301y y y y -+=③由于232322322323444BC y y y y k y y x x y y --===-+-（ⅰ）若直线BC 没有斜率，则230y y +=，又()2323301y y y y -+=，∴2310y =-（舍去）（ⅱ）若直线BC 有斜率，直线BC 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()232340x y y y y y -++=，将③代入得()()232343100x y y y y y -++++=，∴()235(3)4()02y y y x +-++=，故直线BC 有斜率时过点5(,3)2-．【点睛】方法点睛：我们在处理直线与抛物线相交问题时，通常使用联立方程设而不求韦达定理处理，最终利用横（纵）坐标的和与积的转换来处理；抛物线上两点斜率一般可用抛物线方程转化为坐标之和来表示，如22(0)y px p =>上两点()()1122A x y B x y ,,,的斜率121222121212222y y y y py y x x y y p p--==-+-.21．（22-23高二下·广东韶关·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是12，且过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，且P ，Q 为椭圆C 上异于1A ，2A 的点，若直线PQ 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，是否存在实数λ，使得12A P A Q k k λ=恒成立．若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在实数35λ=，满足题设条件【分析】（1）将点3(1,)2M 代入椭圆可得221914a b +=，结合12c e a ==，222+=a b c 可求得,a b ：（2）设直线PQ 的直线方程并与椭圆方程联立，令11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则可得12x x +、12x x ，或者12y y +，12y y 代入12A P A Q k k λ=即可求解；【详解】（1）由题意，12c e a ==，222+=a b c ，解得：2234b a =①．∵点3(1,)2M 在椭圆C 上，∴221914a b +=②联立①、②，解得24a =，23b =故所求椭圆C 的标准方程是22143x y +=（2）解法一：由（1）知1(2,0)A -，2(2,0)A ．当直线PQ 斜率不存在时，1:2PQ l x =．与椭圆联立可得1(2P，1(,2Q ，则1A P k =，2A Q k =故而1235A P A Q k k =，可得35λ=；得当直线PQ 斜率存在且不为0时，设1:()2PQ l y k x =-，令11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1112A P y k x =+，2222A Q y k x =-．联立223412012x y y k x ⎧+-=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩消去y 并整理，得2222(43)4120k x k x k +-+-=，则由韦达定理得，212221224431243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩假设存在实数λ，使得12A P A Q k k λ=，则121222y yx x λ=+-，即122111()(2)()(22x x x x λ--=-+，整理得12121(1)(2)(2)1022x x x x λλλλ-+--+++=，变形为()1212221(1)(2)()(2)1022x x x x x x λλλλ-+-+--+++=，则2222221241(1)(2)()(2)10432432k k x x k k λλλλ--+---+++=++，即22235(35)(3)(0243k x k λλ--+-=+，即222352(3)()0243k x k λ⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦即3502λ-=或2222(3)043k x k +-=+，得35λ=或2222(3)43k x k +=+．当2222(3)43k x k +=+时，222112222242626()434343k k k x x x x k k k +-=+-=-=+++．。
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数学组卷圆锥椭圆抛物线一．解答题（共30小题）1．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．2．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．3．已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q 的纵坐标t的值．5．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．6．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点A（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．7．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．8．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．9．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣，0），F2（，0），直线x+y=0与椭圆C的一个交点为（﹣，1），点A是椭圆C上的任意一点，延长AF交椭圆C于点B，连接BF2，AF2（1）求椭圆C的方程；（2）求△ABF2的内切圆的最大周长．10．已知椭圆C的左、右焦点分别为（﹣）、（），且经过点（）．（I）求椭圆C的方程：（II）直线y=kx（k∈R，k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D点为椭圆C上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB的方程：若不存在，说明理由．11．已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．12．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．13．已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F2，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得•=﹣恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知右焦点为F（c，0）的椭圆M：=1（a＞0）关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆M的方程；（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．16．已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．17．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．18．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧，直线PA，PB与直线x=4交于M，N两点，若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设圆T：（x﹣2）2+y2=，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF 的斜率．21．已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：（a＞b＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．22．如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的最小值；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|是定值．23．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x=与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．24．已知直线是椭圆的右准线，若椭圆的离心率为，右准线方程为x=2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知一直线AB过右焦点F（c，0），交椭圆Γ于A，B两点，P为椭圆Γ的左顶点，PA，PB与右准线交于点M（x M，y M），N（x N，y N），问y M•y N是否为定值，若是，求出该定值，否则说明理由．25．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．26．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过点，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．27．已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．28．已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．29．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过原点的直线l1与椭圆C交于P，Q两点，且在直线l2：x﹣y+2=0上存在点M，使得△MPQ 为等边三角形，求直线l1的方程．30．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．数学组卷圆锥椭圆抛物线参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•衡阳二模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=y，则椭圆E变为圆E′：x′2+y′2=6，设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′，如图所示；则==，==，两式相比，得：=，由圆幂定理得，|P′T′|2=|P′A′|•|P′B′|，所以=，即λ=，原命题成立．【解法二】设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代入椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．2．（2017•河南模拟）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则由；由得，即．所以c=1又因为．因此所求椭圆的方程为：．（2）动直线l的方程为：，由得．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则．====由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1．因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）3．（2017•包头模拟）已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）因为椭圆方程为，知a=2，b=1，，可得，，设P（x，y）（x＞0，y＞0），则，又，联立，解得，即为；（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．，．又∠AOB为锐角，即为，即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，又，可得k2＜4．又，即为，解得．4．（2017•枣阳市校级一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q 的纵坐标t的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．5．（2017•河北二模）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【解答】解：（1）由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；（2）证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，（t≠0）代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，（t≠0）x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，则k1+k2=+=，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4=x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．6．（2017•惠州模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点A（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以2a=|AF1|+|AF2|=+=2，因此a=，b2=a2﹣c2=1，故椭圆C的方程为+y2=1；方法二：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以c=1，a2﹣b2=c2，+=1，解得a=，b=c=1，故椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由消去x，得9y2﹣2ty+t2﹣8=0，所以y1+y2=，且△=4t2﹣36（t2﹣8）＞0故y0==且﹣3＜t＜3，由=，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，所以y0==，可得y4=，又﹣3＜t＜3，可得﹣＜y4＜﹣1，因此点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l．7．（2017•本溪模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2±，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞4=综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．8．（2017•河南一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}9．（2017•淮南一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣，0），F2（，0），直线x+y=0与椭圆C的一个交点为（﹣，1），点A是椭圆C上的任意一点，延长AF交椭圆C于点B，连接BF2，AF2（1）求椭圆C的方程；（2）求△ABF2的内切圆的最大周长．【解答】解：（1）由题意得，c=，由点（﹣，1）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，得，①又a2=b2+c2，∴a2=b2+2，②联立①②解得：a2=4，b2=2．∴椭圆方程为：；（2）如图，设AB所在直线方程为x=ty﹣，联立，消去x得：．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，====．当且仅当，即t=0时上式等号成立．∴当AB所在直线方程为x=﹣时，△ABF2的面积最大，内切圆得半径最大，设内切圆得圆心为（m，0），AF2所在直线方程为，整理得．由，解得m=﹣．∴△ABF2的内切圆的最大半径为，则△ABF2的内切圆的最大周长为2π•．10．（2017•全国模拟）已知椭圆C的左、右焦点分别为（﹣）、（），且经过点（）．（I）求椭圆C的方程：（II）直线y=kx（k∈R，k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D点为椭圆C上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB的方程：若不存在，说明理由．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），则c=，b2=a2﹣c2=3，将点（）代入椭圆方程：，即，解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程：…（4分）（II）D在AB的垂直平分线上，∴OD：．…（5分）由，可得（1+4k2）x2=4，|AB|=2|OA|=2=4，…（6分）同理可得|OD|=2，…（7分）=2S△OAD=|OA|×|OD|=．…（8分）则S△ABD由于，…（10分）∴S=2S△OAD≥，△ABD当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时取等号．∴△ABD的面积取最小值，直线AB的方程为y=±x．…（12分）11．（2017•晋中二模）已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．【解答】解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为，∴2a=6，a=3，，c=1；b2=a2﹣c2=8，（4分）（II）△PF2Q的周长是定值，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，（7分）在圆中，M是切点，∴，（11分）∴，同理|QF2|+|QM|=3，（13分）∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．…（14分）12．（2017•钦州二模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．∴丨PF1丨=a=3|PF2|，则=3，化简得：c2﹣5c+6=0，由c＜a＜3，∴c=2，则丨PF1丨=3=a，则a=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，x2），B（x2，y2），①当直线l⊥x轴，直线l的方程x=m，（m≠0），且﹣2＜m＜2，则x1=m，y1=，x2=m，y2=﹣，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣）=0，解得：m=±，故直线l的方程为x=±，∴原点O到直线l的距离d=，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．13．（2017•福建模拟）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F2，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得•=﹣恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，即2a=4c，∴a=．∴，解得．∴椭圆方程为．（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立．①当直线l的斜率为0时，A（﹣，0），B（，0）．∴=（﹣﹣m，0），=（﹣m，0）．∴=m2﹣2=﹣，解得或m=﹣．②若直线l斜率不为0，设直线AB的方程为x=ty+1．联立方程组，消元得：（t2+2）y2+2ty﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣．∴x1+x2=t（y1+y2）+2=，x1x2=（ty1+1）（ty2+1）=t2y1y2+t（y1+y2）+1=．∵=（x1﹣m，y1），=（x2﹣m，y2）．∴=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2=﹣+m2﹣==﹣．∴，解得m=．综上，Q点坐标为（，0）．14．（2017•邵阳二模）已知右焦点为F（c，0）的椭圆M：=1（a＞0）关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆M的方程；（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．【解答】（1）解：由题意可得：a=2c，又a2=3+c2，解得a2=4．∴椭圆M的方程为：=1．（2）证明：设直线PQ的方程为：y=k（x﹣4）（k≠0），代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得k∈．设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x2，﹣y2），∴x1+x2=，x1，•x2=，则直线PE的方程为：y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=﹣y1+x1====1，∴直线PE与x轴的交点为F（1，0）．15．（2017•中卫一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为，∴=c，=，∴a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）假设直线y=2上存在点Q满足题意，设Q（m，2），当m=±2时，从Q点所引的两条切线不垂直．当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣m）+2，代入椭圆方程，消去y，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（mk﹣2）x+2（mk﹣2）2﹣4=0，∵△=16k2（mk﹣2）2﹣4（1+2k2）[2（mk﹣2）2﹣4]=0，∴（m2﹣4）k2﹣4mk+2=0，*设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程（m2﹣4）k2﹣4mk+2=0的两个根，∴k1k2==﹣1，解得m=±，点Q坐标为（，2），或（﹣，2）．∴直线y=2上两点（，2），（﹣，2）满足题意．16．（2017•广西模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．【解答】解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，2c=2，即c=1，，又b＞1，解得：a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣，∵P为线段AB的中点，则可得点P（，﹣），又直线PD的斜率为﹣，直线PD的方程为y+=﹣（x﹣），令y=0得，x=，又∵点D（，0），∴丨PD丨===，化简得17k4+k2﹣18=0，解得：k2=1，故k=1或k=﹣1，k的值±1．17．（2017•乐山二模）已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．18．（2017•红桥区一模）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，e==，a2﹣b2=c2，∵点在椭圆上，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k=0时，x1=﹣x2，y1=y2，=•2|x1|•|y1|=|x1|•∴S△AOB=≤•=1，当且仅当x12=4﹣x12，取得等号，）max=1；∴时，（S△AOB当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得4k2+1＞m2①，x1+x2=﹣，x1x2=，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2=﹣6m②由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0，又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为，，=，∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，．由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得；）max=1；即时，（S△AOB）max=1．综上：（S△AOB19．（2017•天津一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧，直线PA，PB与直线x=4交于M，N两点，若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，，得，解得a2=4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y=0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1=4+，x2=4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．20．（2017•蚌埠一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设圆T：（x﹣2）2+y2=，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，e===，可知a=4b，c=b，∵△PF1F2的周长是8+2，∴2a+2c=8+2，∴a=4，b=1，∴所求椭圆方程为+y2=1 …（4分）（Ⅱ）椭圆的上顶点为M（0，1），由题知过点M与圆T相切的直线有斜率，则设其方程为l：y=kx+1，由直线y=kx+1与圆T相切可知=，即32k2+36k+5=0，∴k1+k2=﹣，k1k2=，…（6分）由得（1+16k12）x2+32k1x=0，∴x E=﹣．同理x F=﹣…（9分）k EF====故直线EF的斜率为．…（12分）21．（2017•漳州模拟）已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：（a＞b＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b=1，又∵线段PQ长度的最大值为3，∴a+1=3，即a=2，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由题意可设切线MN的方程为y=kx+t，即kx﹣y+t=0，则，得k2=t2﹣1．①联立得方程组，消去y整理得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0．其中△=（2kt）2﹣4（k2+4）（t2﹣4）=﹣16t2+16k2+64=48＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，则．②将①代入②得，∴，而，等号成立当且仅当，即．综上可知：（S）max=1．△OMN22．（2017•西安一模）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T 为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的最小值；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|是定值．【解答】（1）解：由题意可知：T（﹣2，0），∴a=2．又，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=，b=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）解：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0）．把点M的坐标代入椭圆方程可得：=1﹣．•=﹣=﹣=﹣，∵﹣2＜x0＜2，∴当且仅当x0=﹣时，•取得最小值﹣．（3）证明：设P（x1，y1），直线MP的方程为：y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x R=，同理可得：x S=，∵点M，P都在椭圆上，∴=4，=4，∴：|OR|•|OS|=x R x S===4是定值．23．【解答】（1）解：∵直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，∴=b，化为b=1．∵离心率e==，b2=a2﹣c2=1，联立解得a=2，c=．∴椭圆C的方程为=1；（2）解：把x=代入椭圆方程可得：，解得y=±．∴⊙D的方程为：．令x=0，解得y=±，∴|AB|=，∴S===．△ABD（3）证明：由（1）知：A1（﹣2，0），A2（2，0），B2（0，1），∴直线A1B2的方程为，由题意，直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，由，解得．设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴2x1=，∴x1=，y1=k（x1﹣2）=．∴．设F（x 2，0），则由P，B2，F三点共线得，．即=，∴x2=，∴F．∴EF的斜率m==．∴2m﹣k=﹣k=为定值．24．（2017•湖北模拟）已知直线是椭圆的右准线，若椭圆的离心率为，右准线方程为x=2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知一直线AB过右焦点F（c，0），交椭圆Γ于A，B两点，P为椭圆Γ的左顶点，PA，PB与右准线交于点M（x M，y M），N（x N，y N），问y M•y N是否为定值，若是，求出该定值，否则说明理由．【解答】解：（1）依题意：椭圆的离心率e==，=2，则a=，b=1，c=1，故椭圆Γ方程为；…（4分）（2）设AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，△=（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，由韦达定理得：y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，…（6分）直线PA：y=（x+），令x=2，得y M=（2+），同理：y N=（2+），…（8分）∴y M•y N==，=，=，=，===﹣1，y M•y N=﹣1，y M•y N是定值，定值为﹣1．…（12分）25．（2017•大理州一模）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，…（2分）解得：，…（3分）故椭圆的标准方程为；…（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），…（6分）由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理可知：，…（8分）又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R．则，…（10分）令，则t≥1，则，令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，因此有，所以，即当t=1，即m=0时，最大，最大值为3．…（12分）26．（2017•淮北一模）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过点，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=4，b=2，故；（Ⅱ）联立，化简得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，△＞0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，得，∴，把l2：y=kx代入，得，∴，∴==，当，λ取最小值．27．（2017•和平区校级模拟）已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：设P（x0，y0），则．所以直线PA与PB的斜率乘积为．…（4分）（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．①当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，由得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=36k2m2﹣4（3k2+2）（3m2﹣6）＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…（13分）28．（2017•南充模拟）已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．【解答】解：（Ⅰ）解：椭圆焦点在x轴上，由题意可得2c=4，．则a=4，c=2．由b2=a2﹣c2=12，∴椭圆标准方程为：．…（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为（4，0），由题意得，可设过（4，0）的直线方程为：x=my+4．…（7分）由，消去x得：y2﹣4my﹣16=0．。