沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件(共22张PPT)
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沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件(共14张PPT)
11.3（2） 两条直线的夹角
一、复习引入
（1）相交
（2）重合
二、学习新课
当两条直线相交时，必然会产生夹角，共有几个角？它们有什么关系？ 怎样定义两条直线的夹角呢？ 请大家画一画夹角 和 3 的两组直线.
44
夹公式推导
夹角公式
例题分析
解：设l1与l2 的夹角为 ，则由两条直线的夹角公式得
例
2：若直线
l1
：
y
a 3
x
1 3
与
l2
：
2x
(a
1)
y
1
0
互相垂直，
求实数 a 的值.（补充）
巩固练习
思考题：
1.光线沿直线l 1：2x y 2 0 照射到直线l 2： x 2y 2 0上后反射， 求反射线所在直线l3 的方程. 提示：先求反射点
课堂小结
作业布置
导学 11.3（2） 第 12 题不做.
生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 再高深的学问也是从字母学起的。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。 人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。 我不去想是否能够成功，既然选了远方，便只顾风雨兼程。 忍是一种眼光，忍是一种胸怀，忍是一种领悟，忍是一种人生的技巧，忍是一种规则的智慧。 站在巨人的肩上是为了超过巨人。 假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。 拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。 崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 人生如棋，走一步看一步是庸者，走一步算三步是常者，走一步定十步是智者。 生活远没有咖啡那么苦涩，关键是喝它的人怎么品味！每个人都喜欢和向往随心所欲的生活，殊不知随心所欲根本不是生活。 眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 如果上帝没有帮助你那他一定相信你可以。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 现实很近又很冷，梦想很远却很温暖。 你不能左右天气，但你能转变你的心情。 没有遇到挫折，永远不会懂得自己的力量有多大。 不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。
一、复习引入
（1）相交
（2）重合
二、学习新课
当两条直线相交时，必然会产生夹角，共有几个角？它们有什么关系？ 怎样定义两条直线的夹角呢？ 请大家画一画夹角 和 3 的两组直线.
44
夹公式推导
夹角公式
例题分析
解：设l1与l2 的夹角为 ，则由两条直线的夹角公式得
例
2：若直线
l1
：
y
a 3
x
1 3
与
l2
：
2x
(a
1)
y
1
0
互相垂直，
求实数 a 的值.（补充）
巩固练习
思考题：
1.光线沿直线l 1：2x y 2 0 照射到直线l 2： x 2y 2 0上后反射， 求反射线所在直线l3 的方程. 提示：先求反射点
课堂小结
作业布置
导学 11.3（2） 第 12 题不做.
生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 再高深的学问也是从字母学起的。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。 人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。 我不去想是否能够成功，既然选了远方，便只顾风雨兼程。 忍是一种眼光，忍是一种胸怀，忍是一种领悟，忍是一种人生的技巧，忍是一种规则的智慧。 站在巨人的肩上是为了超过巨人。 假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。 拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。 崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 人生如棋，走一步看一步是庸者，走一步算三步是常者，走一步定十步是智者。 生活远没有咖啡那么苦涩，关键是喝它的人怎么品味！每个人都喜欢和向往随心所欲的生活，殊不知随心所欲根本不是生活。 眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 如果上帝没有帮助你那他一定相信你可以。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 现实很近又很冷，梦想很远却很温暖。 你不能左右天气，但你能转变你的心情。 没有遇到挫折，永远不会懂得自己的力量有多大。 不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。
高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥 知马力，日久见人心！
身体健康，学习进步！ 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 书都读得来的人，还怕有什么做不来的。 能说不能做，不是真智慧。 一分耕耘，一分收获。孩子们，你想明天收获幸福吗？那今天就努力学习吧。——刘玉春
小结
本节课学习了哪பைடு நூலகம்内容？
萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 小时候画在手上的表没有动，却带走了我们最好的时光。 你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况 我的财富并不是因为我拥有很多，而是我要求的很少。 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 时间总会过去的，让时间流走你的烦恼吧！ 这个是世界上没有天才，所谓的天才只是比普通人多了百分之一的天赋。如果这个天赋运用不好，那么他就可能变成百分之十的累赘。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 世上的事，不如己意者，那是当然的。 生命假如给予你的是一颗柠檬，不要抱怨，下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。
高中数学沪教版高二下册：11.3《两条直线的位置关系》课件
x
1. 在解等腰三角形的有关问题时，常用到两直线 的夹角公式。
2. 利用夹角公式时要注意根据图像选择符合要求 的直线。
1. 必做题：练习册11.3A组/5,6,12, B组/4 2. 思考题：在利用夹角公式解等腰三角形的相
关问题时，如何判断解的个数？ 3. 选做题：设平行四边形ABCD的三顶点A、B、
C的坐标分别为(5，12)，(0，0)，(3，4)直 线l与直线BA、BC分别交于E、F，△BEF是 以EF为底边的等腰三角形，如果直线l平分
平行四边形ABCD的面积，试求直线l的方程。
2| 2
|ab| 2 a2 b2 l2
y
l3
2a2 5ab 2b2 0 a 2b或2a b.
l1
2
当2a=b时，l3与l1平行， 故舍去。
2
1
O
x
直线l3方程为2xy+4=0.
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC在直线 x+2y1=0上，且顶点A(5,3)，B(m,0)(m>5)， 求顶点B，C，D的坐标。 解：设AB直线方程为a(x+5)+b(y3)=0,
•C(5,5)
A arccos 16 17 . 85
A(•2,1)
O
B(•6,2)
x
例2 已知等腰直角三角形的直角顶点是C(4,1)， 斜边所在直线方程是3xy=0，求两直角边所 在直线方程。
分析：两腰所在直线与斜边所在直线夹角为450。
解：设两腰所在直线方程为a(x4)+b(y+1)=0. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴腰所在直线与底边所在直线夹角为450.
1. 等腰三角形的一腰所在直线l1方程为x2y1=0，底 边所在直线方程是l2:x+y1=0，点(2,0)在另一腰上， 求这条腰所在直线l3的方程。
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件
2. 求过P 5, 3点的直线方程,使它与直线 x 2 y 3 0
的夹角为arctan 2.
解：
k
1 2
2
1
k
1 2
2k 1 4 2k
k 3 4
l : 3x 4 y 27 0 或 x 5
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l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
的必要条件.
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
条腰所在直线 l3 的方程.
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
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练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
的夹角为arctan 2.
解：
k
1 2
2
1
k
1 2
2k 1 4 2k
k 3 4
l : 3x 4 y 27 0 或 x 5
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l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
的必要条件.
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
条腰所在直线 l3 的方程.
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
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练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
两条直线的位置关系ppt
两条直线的位置关系
目录 CONTENT
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指它们在同一平 面内，且不相交。
02
平行线是直线间的一种位置关系 ，而不是指两条直线的方向或斜 率相同。
判定方法
同位角相等
同旁内角互补
如果两条直线被第三条直线所截，且 同位角相等，则这两条直线平行。
在平面几何中，两条重合的直线可以视为一条直线的两种不 同表达方式，它们具有相同的长度和方向。
04
两条直线的斜率关系
斜率相等
总结词
当两条直线的斜率相等时，它们是平 行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果两条直线的斜率 相等，那么这两条直线将平行不相交。 例如，直线$y = x$和直线$y = x + 1$ 的斜率都为1，因此它们是平行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果一条直线垂直于x轴 ，那么它的斜率不存在。这是因为垂直于x 轴的直线的y坐标是常数，而x坐标可以取任 意值，所以斜率无法定义。例如，直线$x = 1$就是一条垂直于x轴的直线，其斜率不存 在。
感谢您的观看
THANKS
图像法
在平面直角坐标系中，我们可以直接观察两条直线的图像， 找到它们的交点。这种方法需要一定的几何直觉和观察力。
性质
唯一性
两条相交的直线在平面内 只有一个交点。
不平行性
两条相交的直线不会平行， 因为平行线在平面内没有 交点。
对称性
如果两条直线关于某一直 线对称，那么这两条直线 一定相交于该对称轴上的 一点。
两条直线相交
定义
01
目录 CONTENT
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指它们在同一平 面内，且不相交。
02
平行线是直线间的一种位置关系 ，而不是指两条直线的方向或斜 率相同。
判定方法
同位角相等
同旁内角互补
如果两条直线被第三条直线所截，且 同位角相等，则这两条直线平行。
在平面几何中，两条重合的直线可以视为一条直线的两种不 同表达方式，它们具有相同的长度和方向。
04
两条直线的斜率关系
斜率相等
总结词
当两条直线的斜率相等时，它们是平 行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果两条直线的斜率 相等，那么这两条直线将平行不相交。 例如，直线$y = x$和直线$y = x + 1$ 的斜率都为1，因此它们是平行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果一条直线垂直于x轴 ，那么它的斜率不存在。这是因为垂直于x 轴的直线的y坐标是常数，而x坐标可以取任 意值，所以斜率无法定义。例如，直线$x = 1$就是一条垂直于x轴的直线，其斜率不存 在。
感谢您的观看
THANKS
图像法
在平面直角坐标系中，我们可以直接观察两条直线的图像， 找到它们的交点。这种方法需要一定的几何直觉和观察力。
性质
唯一性
两条相交的直线在平面内 只有一个交点。
不平行性
两条相交的直线不会平行， 因为平行线在平面内没有 交点。
对称性
如果两条直线关于某一直 线对称，那么这两条直线 一定相交于该对称轴上的 一点。
两条直线相交
定义
01
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件 (共14张PPT)
(1) 平行 垂直
(2) 平行 垂直
首 页
(3) 平行 垂直 不平行也不垂直
上
页 第2题：求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：
下 (1)平行于直线2x+y－5=0；
页 (2)垂直于直线x－y－2=0；
小 结
答案：（1）2x+y－7=0
结
（2）x+y－5=0
束
四、本节小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；
11.3 两条直线的位置关系
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
一、引入 平面内两直线的位置关系如何？
平行
相交
重合
动
画
首
y l1 l2
l2 y
l1
y l1 l2
页
o
o
o
上
x
x
x
页
下 页
小
两直线平行的充要条件是什么？
结
结 束
垂直呢？
二、新课教授
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
2.两条直线垂直的情形
若l1 l2的斜率存在且分别是k1，k2， 则l1的方向向量 a =(1,k1)
l2的方向向量是 b =(1,k2)
X1x2+y1y2=0
∴l1⊥l2
a ·b =0
首
1×1＋k1k2=0
页
上
k1k2=－1
页
下 页
故如果两条直线的斜率为k1k2，那么，这两条直线垂直
小 结
的充要条件是k1k2=－1
下 页
可设所求直线方程为2x+3y+m=0
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
3
93.再冷的石头，坐上三年也会暖。 52.时间用来努力上，不管成败都比你空虚的耗日子强的多。 28.向每个人学习，但不要模仿任何人。 93.优点一天比一天多，缺点一天比一天少。 85.不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。
小结
本节课学习了哪些内容？
84.与其讨好别人，不如武装自己；与其逃避现实，不如笑对人生；与其听风听雨，不如昂首出击。 63.没有灯的小路一样可以行走，只要心还在。 95.如果有天我们湮没在人潮之中，庸碌一生，那是因为我们没有努力要活得丰盛。 90.再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 56.跑得越快，遇到风的阻力越大。阻力与成就相伴随。 78.成功的秘诀在于永不改变既定的目标，成功的秘密在于始终如一地忠于目标。 96.如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。 85.只有奋斗才会有结果。 88.当朋友不开心的时候，你只需要静静地坐在他身边，默默陪伴。即使什么也不说，他也会感觉好很多很多。 17.忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 86.卑鄙的朋友，远比正直的敌人更可怕的多。 52.眼睛为你下着雨，心却为你撑着伞。 32.如果圆规的两只脚都动，永远也画不出一个圆。 33.任何一个想提升人生质量的人，最重要的一点就是要具备积极的态度。你的态度在很大程度上决定了你会如何度过人生，决定了你的人生 道路能走多远。
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
3
93.再冷的石头，坐上三年也会暖。 52.时间用来努力上，不管成败都比你空虚的耗日子强的多。 28.向每个人学习，但不要模仿任何人。 93.优点一天比一天多，缺点一天比一天少。 85.不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。
小结
本节课学习了哪些内容？
84.与其讨好别人，不如武装自己；与其逃避现实，不如笑对人生；与其听风听雨，不如昂首出击。 63.没有灯的小路一样可以行走，只要心还在。 95.如果有天我们湮没在人潮之中，庸碌一生，那是因为我们没有努力要活得丰盛。 90.再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 56.跑得越快，遇到风的阻力越大。阻力与成就相伴随。 78.成功的秘诀在于永不改变既定的目标，成功的秘密在于始终如一地忠于目标。 96.如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。 85.只有奋斗才会有结果。 88.当朋友不开心的时候，你只需要静静地坐在他身边，默默陪伴。即使什么也不说，他也会感觉好很多很多。 17.忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 86.卑鄙的朋友，远比正直的敌人更可怕的多。 52.眼睛为你下着雨，心却为你撑着伞。 32.如果圆规的两只脚都动，永远也画不出一个圆。 33.任何一个想提升人生质量的人，最重要的一点就是要具备积极的态度。你的态度在很大程度上决定了你会如何度过人生，决定了你的人生 道路能走多远。
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两条直线的位置关系
回顾 在同一平面内，两直线的位置关系有几种情形？ 划分不同情形的依据是什么？
二元一次方程组
aa12xx
b1 y c1 0 b2 y c2 0
的解有几种情况？
一、两条直线位置关系的系数判别法 (充要条件)
已知两条直线方程为
l1 : a1x b1 y c1 0
记 D a1
l1
:
2x
6
y
4
0,
l2
:
y
2 3
1 3
x
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
解：整理得
x
m2
y
6
(m 2)x 3my 2m
1 m2
D
m(m 1)(m 3)
m 2 3m
6 m2
Dx 2m
解：设所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
根据夹角公式 cos 60o | a 1 b ( 3) | a2 b2 4
两边平方后化简得：b2 3ab
当 b 0 时，所求直线为 x 0
当b 3a 时，所求直线为 x 3y 0
因此所求直线方程为 x 0 或 x 3y 0
当 m 0, 1,3 时，直线 l1, l2 相交； 当 m 3 时，直线 l1, l2 重合； 当 m 1, 0 时，直线 l1, l2平行.
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系. (2) l1 : y 1 k1(x 3),l2 : y 1 k2 (x 3)
二、两条直线位置关系的系数判别法 (充分条件) 已知两条直线方程为
课堂练习 1.利用夹角公式，求下列各组直线的夹角.
(1) l1 : y 3x 7,l2 : y 2x 2 (2) l1 : x y 5,l2 : x 2 y 3 0
(3) l1 : 2x y 1 0, l2 : y 2 2.求过原点且与直线 x y 1 0夹角为30o 的
2m(m 3)(m 3) 3m
1 6
Dy m 2
4(m 3) 2m
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
续解：D m(m 1)(m 3) Dx 2m(m 3)(m 3), Dy 4(m 3)
l1 : a1x b1 y c1 0
l2 : a2x b2 y c2 0 当 a1 b1 时，两直线相交；
a2 b2 当 a1 b1 c1 时，两直线重合；
a2 b2 c2 当 a1 b1 c1 时，两直线平行.
a2 b2 c2
课堂练习 1.判断下列各组直线的位置关系，如果相交，那么 求交点的坐标.
(1) l1 : x y 0,l2 : 3x 3y 10 0 (2) l1 : 3x y 4 0,l2 : 6x 2 y 1 0 (3) l1 : 3x 4 y 5 0,l2 : 6x 8y 10 0
2.是否存在实数 k ，使下面两条直线平行？ l1 : 3x (k 2) y 6 0, l2 : kx (2k 3) y 2 0
cos 30o | a 1 b (1) | a2 4ab b2 0 a2 b2 2
解得：a (2 3)b 或 a (2 3)b
因此所求直线方程为：
(2 3)x y 0 或 (2 3)x y 0
课堂练习答案
3. 解：所求直线方程为 a(x 2) by 0
两条腰所在直线与底边所在直线的夹角相等：
课堂练习
3.已知 li : y ki x bi (i 1, 2) ，完成下列表格：
位置关系
系数关系
相交
平行
重合
课堂练习答案
1.(1)相交，交于点(5 , 5) ；(2)平行；(3)重合. 33
2. k 9
3. 位置关系
相交 平行 重合
系数关系
k1 k2 k1 k2 , b1 b2 k1 k2 , b1 b2
| a 1 b 1| |11 (2) 1|
a2 b2 2
5 2
化简得 2a2 5ab 2b2 0 解得：a 2b 或 b 2a 两条腰所在直线不平行，因此 a 2b
所求直线为 2x y 4 0
一、两条直线的夹角
相交直线的夹角
l1
规定：两条相交直线构成的
l2
四个角中的锐角或直角.
(即较小的角!)
l1
l1
90
l2
平行或重合直线的夹角
规定：夹角为0.
l2
两条直线的夹角的范围是[0, ]
2
二、直线的夹角与直线方向向量的夹角
记直线 l1, lu2ur的u夹ur 角为 ，
方向向量 d1du,urd1 2的夹l角1 为
[0,
2
]
，因此这样的角
是唯一的.
四、两条直线垂直
当两条直线的夹角为直角时
l1 90
l2
两条直线垂直.
直线 l1 : a1x b1 y c1 0 (a12 b12 0) l2 : a2 x b2 y c2 0 (a22 b22 0)
垂直的充要条件是：
a1a2 b1b2 0
ur uur 上式的几何意义就是 n1 n2
uur
d2
l2
uur d2
l1
uur d1
l2
0
2
2
三、两条直线的夹角公式
直线 l1 : a1x b1 y c1 0 (a12 b12 0) l2 : a2 x b2 y c2 0 (a22 b22 0)
两条直线的夹角公式：
cos | a1a2 b1b2 |
a12 b12 a22 b22
直线的一般式方程.
3.等腰三角形一腰所在直线方程是 x 2 y 2 0 底边所在直线方程是 x y 1 0 ，点(2, 0)
在另一腰所在直线上，求这条直线的方程.
课堂练习答案
1.(1)
(2) arccos 10 (3) arccos 5
4
10
5
2.解：所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
a2
l2 : a2x b2 y c2 0
b1 b2
, Dx
c1 a2
c1 c2
当 D 0时，两直线相交于点 ( Dx , Dy ) ；
DD
当 D Dx Dy 0时，两直线重合；
当 D 0, Dx 0 或 Dy 0 时，两直线平行.
例题讲解
例1.判断下列直线的位置关系，如果相交，求交点.
四、两条直线垂直
直线 l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2
垂直的充要条件是：
k1k2 1
l1 90
l2
例题讲解
例1.已知直线 l1 : 3x y 2 0,l2 : 2x y 3 0
求这两条直线夹角 .
例2.利用直线的夹角公式，求过原点且与直线
l : x 3y 2 0 的夹角为 60o的直线方程.
回顾 在同一平面内，两直线的位置关系有几种情形？ 划分不同情形的依据是什么？
二元一次方程组
aa12xx
b1 y c1 0 b2 y c2 0
的解有几种情况？
一、两条直线位置关系的系数判别法 (充要条件)
已知两条直线方程为
l1 : a1x b1 y c1 0
记 D a1
l1
:
2x
6
y
4
0,
l2
:
y
2 3
1 3
x
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
解：整理得
x
m2
y
6
(m 2)x 3my 2m
1 m2
D
m(m 1)(m 3)
m 2 3m
6 m2
Dx 2m
解：设所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
根据夹角公式 cos 60o | a 1 b ( 3) | a2 b2 4
两边平方后化简得：b2 3ab
当 b 0 时，所求直线为 x 0
当b 3a 时，所求直线为 x 3y 0
因此所求直线方程为 x 0 或 x 3y 0
当 m 0, 1,3 时，直线 l1, l2 相交； 当 m 3 时，直线 l1, l2 重合； 当 m 1, 0 时，直线 l1, l2平行.
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系. (2) l1 : y 1 k1(x 3),l2 : y 1 k2 (x 3)
二、两条直线位置关系的系数判别法 (充分条件) 已知两条直线方程为
课堂练习 1.利用夹角公式，求下列各组直线的夹角.
(1) l1 : y 3x 7,l2 : y 2x 2 (2) l1 : x y 5,l2 : x 2 y 3 0
(3) l1 : 2x y 1 0, l2 : y 2 2.求过原点且与直线 x y 1 0夹角为30o 的
2m(m 3)(m 3) 3m
1 6
Dy m 2
4(m 3) 2m
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
续解：D m(m 1)(m 3) Dx 2m(m 3)(m 3), Dy 4(m 3)
l1 : a1x b1 y c1 0
l2 : a2x b2 y c2 0 当 a1 b1 时，两直线相交；
a2 b2 当 a1 b1 c1 时，两直线重合；
a2 b2 c2 当 a1 b1 c1 时，两直线平行.
a2 b2 c2
课堂练习 1.判断下列各组直线的位置关系，如果相交，那么 求交点的坐标.
(1) l1 : x y 0,l2 : 3x 3y 10 0 (2) l1 : 3x y 4 0,l2 : 6x 2 y 1 0 (3) l1 : 3x 4 y 5 0,l2 : 6x 8y 10 0
2.是否存在实数 k ，使下面两条直线平行？ l1 : 3x (k 2) y 6 0, l2 : kx (2k 3) y 2 0
cos 30o | a 1 b (1) | a2 4ab b2 0 a2 b2 2
解得：a (2 3)b 或 a (2 3)b
因此所求直线方程为：
(2 3)x y 0 或 (2 3)x y 0
课堂练习答案
3. 解：所求直线方程为 a(x 2) by 0
两条腰所在直线与底边所在直线的夹角相等：
课堂练习
3.已知 li : y ki x bi (i 1, 2) ，完成下列表格：
位置关系
系数关系
相交
平行
重合
课堂练习答案
1.(1)相交，交于点(5 , 5) ；(2)平行；(3)重合. 33
2. k 9
3. 位置关系
相交 平行 重合
系数关系
k1 k2 k1 k2 , b1 b2 k1 k2 , b1 b2
| a 1 b 1| |11 (2) 1|
a2 b2 2
5 2
化简得 2a2 5ab 2b2 0 解得：a 2b 或 b 2a 两条腰所在直线不平行，因此 a 2b
所求直线为 2x y 4 0
一、两条直线的夹角
相交直线的夹角
l1
规定：两条相交直线构成的
l2
四个角中的锐角或直角.
(即较小的角!)
l1
l1
90
l2
平行或重合直线的夹角
规定：夹角为0.
l2
两条直线的夹角的范围是[0, ]
2
二、直线的夹角与直线方向向量的夹角
记直线 l1, lu2ur的u夹ur 角为 ，
方向向量 d1du,urd1 2的夹l角1 为
[0,
2
]
，因此这样的角
是唯一的.
四、两条直线垂直
当两条直线的夹角为直角时
l1 90
l2
两条直线垂直.
直线 l1 : a1x b1 y c1 0 (a12 b12 0) l2 : a2 x b2 y c2 0 (a22 b22 0)
垂直的充要条件是：
a1a2 b1b2 0
ur uur 上式的几何意义就是 n1 n2
uur
d2
l2
uur d2
l1
uur d1
l2
0
2
2
三、两条直线的夹角公式
直线 l1 : a1x b1 y c1 0 (a12 b12 0) l2 : a2 x b2 y c2 0 (a22 b22 0)
两条直线的夹角公式：
cos | a1a2 b1b2 |
a12 b12 a22 b22
直线的一般式方程.
3.等腰三角形一腰所在直线方程是 x 2 y 2 0 底边所在直线方程是 x y 1 0 ，点(2, 0)
在另一腰所在直线上，求这条直线的方程.
课堂练习答案
1.(1)
(2) arccos 10 (3) arccos 5
4
10
5
2.解：所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
a2
l2 : a2x b2 y c2 0
b1 b2
, Dx
c1 a2
c1 c2
当 D 0时，两直线相交于点 ( Dx , Dy ) ；
DD
当 D Dx Dy 0时，两直线重合；
当 D 0, Dx 0 或 Dy 0 时，两直线平行.
例题讲解
例1.判断下列直线的位置关系，如果相交，求交点.
四、两条直线垂直
直线 l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2
垂直的充要条件是：
k1k2 1
l1 90
l2
例题讲解
例1.已知直线 l1 : 3x y 2 0,l2 : 2x y 3 0
求这两条直线夹角 .
例2.利用直线的夹角公式，求过原点且与直线
l : x 3y 2 0 的夹角为 60o的直线方程.