天水一中2008级2010—2011学年第一学期第二阶段考试

天水一中2008级2010—2011学年第一学期第二阶段考试数学（理科）命题人：林永强 审核人：蔡恒录本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1、“sin α=21”是“212cos =α”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、数列}{n a 满足),2,1()2(,3,1121 =-===+n a n a a a n n λ，则3a 等于 （ ）A ．15B ．10C ．9D ．53、已知函数()sin()f x x ωϕ=+，(0,||)ωϕπ><部分图像如图所示.，求函数的解析式 ( )A 、)2+sin(=)(πx x f B 、)2sin()(π+-=x x fC 、 )2+2sin(=)(πx x f D 、 )22sin()(π+-=x x f4、在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈与21()x x g x x ++=在同一点取得相同的最小值,那么()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．4B ．134C ．8D ．545、设,a b 是夹角为60的单位向量，若c 是单位向量，则()()a c b c -⋅+的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．⎡⎣C ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6、已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为 （ ）A ．3或3-B ．3或-2C ．3D ．-27、已知函数,lg )(x x f =若b a <<0，且)()(b f a f =,则b a 2+的范围是 （ ）A ．（+∞,22）B ．[)+∞,22 C ．[)+∞,3D ．（3，∞+）8、等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S nn }的前11项和为 ( )A.－45B.－50C.－55D.－669、若向量,,a b c 两两的夹角相等，且满足1,2,4===a b c ，则=a +b +c （ ） A ．7 B ．7或7 C ．7 D ． 7510、在,cos cos ABC A B A B ∆><中是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 11、若数列*1611{}(),2010,n n n a a a n n N a a +=+∈=满足且则= （ ）A ．1670B ．240C ．180D ．17512、函数()ln x f x x=的单调递减区间是 （ ）A ．),(e -∞B ．),0(eC ．),(+∞eD ．)1,0(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________；14、已知向量,,a b c满足0a b c ++= ，且a b 与的夹角为135°，b c 与的夹角为120°，2c = ，则b =_____________；15、若函数()x x x f -=331在()210,aa -上有最小值，实数a 的取值范围为___________；16、若实数a 满足0322<--a a ，则13lim3n nnnn aa+→∞-=+____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<< （I ）若,a b ⊥ 求;θ（II ）求a b +的最大值。

18．（ 12分）在A B C ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin25A =，且A B C∆的面积为2．⑴求b c 的值；⑵若6b c +=，求a 的值．19、（12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 12b =，且2232,b S = 33120b S =．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。

20、（12分）已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在0=x 处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；[来源:学科网] （Ⅱ）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间[]2,0上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．21、（12分）已知数列}{n a 中，n S 是它的前n 项和，并且241+=+n n a S ，11=a . （Ⅰ）设n n n a a b 21-=+，求证}{n b 是等比数列（Ⅱ）设nn n a C 2=，求证}{n C 是等差数列；（Ⅲ）求数列}{n a 的通项公式. 22、（12分）设函数x a xa x x f ln 1)(---=)(R a ∈．[来源:学科网ZXXK] （I ）若1=x 是函数)(x f 的极大值点，求a 的取值范围； （II ）当),1[]11,(+∞++-∞∈e e a 时，若在],1[e ex ∈上至少存在一点0x ，使1)(0->e x f 成立，求a 的取值范围．[来源:学科网]天水一中2008级2010—2011学年第二阶段考试试题数学答案（理科）一、选择题13、8； 14、31+ 15、12-<≤a 16、3三、解答题 17.214π-18、⑴∵5sin 25A =0πA <<．∴25cos25A =∴4sin 2sincos225A A A ==．∵1sin 22ABC S bc A ∆==，∴5bc =．⑵∵5sin25A =∴23cos 12sin25A A =-=．∵5bc =，6b c +=，∴2222c o s a b c b c A=+-2()2(1c o s )b c b c A=+-+20= ∴5a =19、（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，12n n b q-=依题意有23322(93)2120(6)232S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩，即2(93)60(6)16d q d q ⎧+=⎨+=⎩，解得⎩⎨⎧==22q d 或65103d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），故32(1)21,2nn n a n n b =+-=+=。

（4分/（2）(21)2nn n a b n =+⋅。

213252(21)2(21)2n nn T n n -=⋅+⋅++-⋅++⋅ ，23123252(21)2(21)2nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅ ，两式相减得23132222222(21)2n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+23112112222(21)222(21)2(12)22n n n n n n n n +++++=++++-+=--+=-- ，所以1(21)22n n T n +=-⋅+。

（8分） 20、解：（Ⅰ）121)(--+='x ax x f ．…………………………………2分∵0=x 时，)(x f 取得极值，∴0)0(='f ．…………………………3分故010201=-⨯-+a，解得1=a ．经检验1=a 符合题意，∴1=a ． (4)分（Ⅱ）由1=a 知x x x x f --+=2)1ln()(，由b x x f +-=25)(，得 023)1ln(2=-+-+b x x x ，令b x x x x -+-+=23)1ln()(2ϕ，则b x x f +-=25)(在[]2,0上恰有两个不同的实数根等价于0)(=x ϕ在[]2,0上恰有两个不同实数根．)1(2)1)(54(23211)(+-+-=+-+='x x x x x x ϕ．…………………………6分当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，于是)(x ϕ在)1,0(上单调递增；…………7分当)2,1(∈x 时，0)(<'x ϕ，于是)(x ϕ在)2,1(上单调递减．…………8分依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+=>-+-+=≤-=034)21ln()2(0231)11ln()1(0)0(b b b ϕϕϕ，…………………………11分解得1ln 31ln 22b -≤<+，∴实数b 的取值范围是212ln 13ln +<≤-b ．…12分21、解：（1）111124+-++++=+=n n n n n a a a S S ∴ 112424+-++=+n n n a a a∴ )2(2211-+-=-n n n n a a a a 即：)2(222111≥=--=-+-n a a a a b b n n n n n n 且32121=-=a a b ∴ }{n b 是等比数列（2）}{n b 的通项11123--⋅=⋅=n n n q b b∴ )(4322222*111111N n b a a a a C C n n n nn nn n n n n ∈==-=-=-++++++又21211==a C ∴ }{n C 为等差数列--------------------------------8分（3）∵ d n C C n ⋅-+=)1(1 ∴ 43)1(212⋅-+=n a nn∴ )(2)13(*2N n n a n n ∈⋅-=-22)13(22)13(42421+⋅-=+⋅-⋅=+⋅=-+nn n n n n a S∴ )(22)43(*1N n n S n n ∈+-=-----------------------------12分 22、解:22221(1)(1)[(1)]'()1(0)a a x ax a x x a f x x xxxx--+----=+-==>……1分10a -≤时，当011a <-<时，当当11a -=时，1时，综上所x(0,1 1(1,)+∞ '()f x -0 +()f x递减[来源:学。

科。

网]极小值递增x述，当11a ->，即2a >时，1=x 是函数)(x f 的极大值点．………………6分 （2）问题等价于当],1[e e x ∈时,m ax ()1f x e >-．………………7分由（1）知，①当11a e≤+，即11a e-≤时，函数)(x f 在1[,1]e上递减，在[1,]e 上递增，m ax1()m a x {(),()}f x f f e e ∴=．由11()(1)1f a e a e e e=--+>-，解得21e a e e+<-．由1()1a f e e a e e -=-->-，解得1a <211e e e+<- ，1a ∴<；………………9分②当1a e ≥+，即1a e -≥时，函数)(x f 在1[,1]e上递增，在[1,]e 上递减，max ()(1)211f x f a e e ==-≤-<-．………………11分综上所述，当1a <时，在],1[e ex ∈上至少存在一点0x ，使1)(0->e x f 成立． (12)分。