部编版2020高中数学第1章计数原理 1.2 排列教学案苏教版选修2-3

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2020高中数学第1章计数原理 1.3 组合教学案苏教版选修2-3

1.3 组合第1课时组合与组合数公式从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1，3，5，7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．问题3：一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动．所抽出的这5人与顺序有关吗？提示：无关．问题4：你能举个这样的示例吗？提示：从班里选7名同学组成班委会．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个不同元素的一个组合.从1，3，5，7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A24＝4×3＝12种．问题2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为C24，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有A22种排法．问题3：你能得出C24的结果吗？提示：因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22＝6.问题4：试用列举法求得从1，3，5，7中任取两个元素的组合数？提示：1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7共6种．组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法用符号C m n表示组合数公式乘积形式C m n＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！阶乘形式C m n＝n！m！（n－m）！性质C m n＝C n－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n备注①n，m∈N*且m≤n.②规定C0n＝11．组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．2．组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．3．相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．[例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？[精解详析] (1)①是排列问题，共通了A211＝110封信；②是组合问题，共握手C211＝55次．(2)①是排列问题，共有A210＝90种选法；②是组合问题，共有C210＝45种选法．[一点通] 区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起．而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．下列问题：①铁路线有5个车站，要准备多少车票？②铁路线有5个车站，有多少种票价？③有4个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？④从a，b，c，d 4名学生中选出2名学生，有多少种不同选法？⑤从a，b，c，d 4名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法？其中是组合问题的是________．(将正确的序号填在横线上)解析：来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序；而来往的票价是相同的，没有方向性；单循环是无序的，但冠亚军却有明显的顺序；从4名学生中选出2名学生无顺序；而2名学生完成两件不同的工作是有序的．答案：②④2．求出问题1中组合问题的组合数．解：②铁路线有5个车站，有C25＝10种不同的票价．④从a，b，c，d 4 名学生中选出2名学生，有C24＝6种不同的选法.[例2] (1)计算：C 410－C 37·A 33；(2)解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4.[思路点拨] (1)直接利用公式计算； (2)由计算公式化为关于x 的方程． [精解详析] (1)原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·（x －3）！（x －7）！4！＝5·（x －4）！（x －6）！，则3（x －3）4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6) ＝40. 所以，x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2. 经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根．所以，方程的根为x ＝11.[一点通] 组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式阶乘形式的主要作用有： (1)计算m ，n 较大时的组合数；(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．特别地，当m >n2时计算C m n ，用性质C m n ＝C n －mn 转化，减少计算量．3．计算C 36＋C 38＝________．解析：C 36＋C 38＝6×5×43×2×1＋8×7×63×2×1＝20＋56＝76.答案：764．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200；(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69.解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(2)原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210. 5．(1)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (2)求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345中的n 值．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212，∴192≤n ≤212.∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466. (2)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝345，C 5n －1＝145C 3n －3，即（n －1）（n －2）（n －3）（n －4）（n －5）5！＝145·（n －3）（n －4）（n －5）3！，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，故n ＝9为所求.[例3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断，然后利用组合数公式解决．[精解详析] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其组合数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．6．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种．解析：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24C 15种．根据分类计数原理可得总的取法有C14C25＋C24C15＝40＋30＝70(种)．答案：707．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)由于与顺序、位置无关，是组合问题，由组合定义知有C38＝8×7×63×2×1＝56(种)．(2)是组合问题，只需从7个白球中取2个即可，所以有C27＝21(种)．(3)是组合问题，只需从7个白球中取3个即可，所以有C37＝35(种)．1．区分一个问题是排列问题，还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．判断它是否有顺序的方法：将元素取出来，看交换元素的顺序后对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题.2．同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.课下能力提升(五)一、填空题1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________．(1)从1，2，3，4中选出2个构成的集合；(2)由1，2，3组成两位数的不同方法；(3)由1，2，3组成无重复数字的两位数．解析：由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题．答案：(1)2．已知C 2n ＝10，则n ＝________．解析：C 2n ＝n （n －1）2×1＝10，解之得n ＝5.答案：53．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．答案：2或34．若C x 28＝C 3x －828，则x ＝________．解析：∵C x28＝C 3x －828，∴x ＝3x －8或x ＋(3x －8)＝28，即x ＝4或x ＝9. 答案：4或95．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________．解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12.答案：12二、解答题6．列出从5个元素A ，B ，C ，D ，E 中取出2个元素的所有组合．解：从5个元素A ，B ，C ，D ，E 中取出2个元素的所有组合有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10个．7．计算：A 23＋A 24＋A 25＋…＋A 2100.解：原式＝C 23A 22＋C 24A 22＋C 25·A 22＋…＋C 2100·A 22 ＝(C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2100)·A 22 ＝(C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22 ＝(C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22 ＝(C 35＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22 …＝(C3101－C33)·A22＝2C3101－2＝333 298.8．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C210＝10×92×1＝45种选法．(2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C26种方法；第二类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C26种选法；再从4名女教师中任选2名，有C24种选法；根据分步计数原理，所以共有C26·C24＝90种不同的选法．第2课时组合的应用[例1] 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[思路点拨] 特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．[精解详析] (1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用间接法共有C513－C511＝825种．[一点通] 解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有C38－C36＝56－20＝36(种)选法．答案：362．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种．答案：753．设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A 中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法.[例2] 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行．[精解详析] 法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31条．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80个．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105个．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31条．(2)可确定三角形C39－C34＝80个．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105个．[一点通] 解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．4．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．解析：C37－3＝32.答案：325．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．解析：第一步，从m条中任选2条，C2m；第二步，从n条中任选2条C2n.由分步计数原理，得C2m·C2n.答案：C2m·C2n6．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．所以所作的不同平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．所以最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面α∥β，所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．课下能力提升(六)一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C 12C 24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C 34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C 12C 24＋C 34＝16(种)．答案：163．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C 420＝20×19×18×174×3×2×1＝4 845个．答案：4 8454. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P ABC 与正三棱柱ABC A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C 13×C 12×C 11×C 12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．解析：先在编号为2，3的盒内放入1，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C 216＝120种方法．答案：120 二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C 59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C 47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C 12种取法．所以，共有C 12·C 47＝70种取法．7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)。

2020版高中数学第一章计数原理 1.3 第2课时组合的应用学案苏教版选修2-3

第2课时组合的应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点思考组合的特征有哪些？梳理(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．跟踪训练1 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为________．类型三分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成三组，每组都是2本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．反思与感悟分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种①完全均匀分组，每组的元素个数均相等．②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！.③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题．分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．跟踪训练3 某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法有________种．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种．1．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．3．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有________种．4．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．5．要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选，则有________种不同选法．1．无限制条件的组合应用题的解题步骤(1)判断．(2)转化．(3)求值．(4)作答．2．有限制条件的组合应用题的分类(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．答案精析问题导学知识点思考组合取出的元素是无序的．题型探究例1 解(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法；第二步：选2名女运动员，有C24种选法，故共有C36·C24＝120(种)选法．(2)方法一(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理知共有C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246(种)选法．方法二(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种，故“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，故不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．跟踪训练1 解(1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126(种)不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13种选法，再从另外9人中选4人，有C49种选法，共有C13C49＝378(种)不同的选法．例2 解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．跟踪训练2 205解析方法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总个数为C05C45＋C15C35＋C25C25＋C35C15＝205.方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C410－C45＝205.例3 解(1)分三步：先选一本有C16种选法，再从余下的5本中选两本有C25种选法，最后余下的三本全选有C33种选法．由分步计数原理知，分配方式共有C16·C25·C33＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C16·C25·C33·A33＝360(种)．(3)先分三组，有C 26C 24C 22种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一组取了A ，B ，第二组取了C ，D ，第三组取了E ，F ，则该种方法记为(AB ，CD ，EF )，但C 26C 24C 22种分法中还有(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，CD ，AB )，(EF ，AB ，CD )，共A 33种情况，而这A 33种情况只能作为一种分法，故分配方式有C 26·C 24·C 22A 33＝15(种)． (4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式C 26·C 24·C 22A 33·A 33＝90(种)．跟踪训练3 114解析 5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种．当为(3,1,1)时，有C 35A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)．当为(2,2,1)时，有C 25C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 13C 23A 22＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类计数原理共有42＋72＝114(种)．例4 解 (1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C 35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C 25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C 14种插法，故共有C 25·C 14＝40(种)． (3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C 15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C 23种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C 13种插法．故共有C 15·(C 23＋C 13)＝30(种)．跟踪训练4 10解析第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C 14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C 24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C 14＋C 24＝4＋6＝10(种)．当堂训练1．96 2.120 3.210 4.225 5.756。

高中数学第一章计数原理教案 1.2.2组合选修2-3

1．2．2组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． m n C7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dcacda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cbabca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =. 三、讲解范例：例2．用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ；（2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例4．求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C ．证明：∵)!(!!m n m n C m n -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n m n C mn m C 例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例6．一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）. 例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 2101094512C ⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 31001009998123C ⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）. (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

高中数学第一章计数原理章末复习课学案苏教版选修2_3word格式

第一章计数原理学习目标 1.归纳整理本章的知识要点.2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题．1．分类计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝____________________________种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(a＋b)n＝______________________________________________________________.(2)通项公式：T k＋1＝Ck n a n－k b k，k∈{0,1,2，…，n}．(3)二项式系数的性质：①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n 2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．③C0n ＋C1n ＋C2n ＋…＋Cn n ＝2n；C0n ＋C2n ＋…＝C1n ＋C3n ＋…＝2n －1.类型一数学思想方法在求解计数问题中的应用命题角度1 分类讨论思想例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？反思与感悟解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)．(2)总数要完备(保证不遗漏)．跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)命题角度2 “正难则反”思想例2 设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1<a2<a3，a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为________．反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．类型二排列与组合的综合应用例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？反思与感悟排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．跟踪训练3 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为___________________________．类型三二项式定理及其应用命题角度1 二项展开式的特定项问题例4 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求n ＋9C2n ＋81C3n ＋…＋9n －1Cn n 的值．反思与感悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．跟踪训练 4 已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍． (1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有x 的有理项．命题角度2 二项展开式的“赋值”问题例5 若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2.反思与感悟与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．跟踪训练5 若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．1．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有________种．2．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．4．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.5．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)1．排列与组合(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．2．二项式定理(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是T r＋1＝Cr n a n－r b r(r＝0,1，…，n)，其中二项式n，这是一个极易错点．系数是Cr n，而不是Cr＋1(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．答案精析知识梳理1．m1＋m2＋…＋m n2．m1×m2×…×m n3．(n－m＋1) 错误!错误!错误!错误! 1 C错误!C错误!4．(1)C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋Ck n a n－k b k＋…＋Cn n b n (n∈N*)题型探究例1 解方法一设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有C45C44＝5(种)，A，B都在内且当钳工的选派方法有C22C25C44＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有C22C45C24＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有A22C35C34＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C12C35C44＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有C12C45C34＝40(种)，所以共有C45C44＋C22C25C44＋C22C45C24＋A22C35C34＋C12C35C44＋C12C45C34＝185(种)．方法二5名男钳工有4名被选上的方法有C45C44＋C45C34C12＋C45C24C22＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有C35C12C44＋C35C34A22＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有C25C22C44＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)．方法三4名女车工都被选上的方法有C44C45＋C44C35C12＋C44C25C22＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有C34C12C45＋C34C35A22＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有C24C22C45＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)．跟踪训练1 60解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类：①没有数字1和3时，有A34个；②只有1和3中的一个时，有2A24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C14·C 13个．所以满足条件的三位数共有 A34＋2A24＋C14·C 13＝60(个)．例2 83解析若从正面考虑，需分当a 3＝9时，a 2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a 3＝8时，a 2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a 3－a 2>6包含的情况较少，当a 3＝9时，a 2取2，a 1取1一种情况，利用正难则反思想解决．集合S 的含有三个元素的子集的个数为C39＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a 1<a 2<a 3且a 3－a 2>6的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A 的个数为84－1＝83.跟踪训练2 30解析从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有C24A33＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A33种结果， ∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种)．例3 解 (1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A77＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A44＝24(种)方法．根据分步计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A66＝720(种)方法． ×□×□×□×□×□×□×第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝840(种)方法．根据分步计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132(种)排列．跟踪训练3 130解析由“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设集合M ＝{0}，N ＝{－1,1}．当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有2个取值为0时，另外3个从N 中取，共有C25×23种方法；当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有3个取值为0时，另外2个从N 中取，共有C35×22种方法；当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个取值为0时，另外1个从N 中取，共有C45×2种方法．故总共有C25×23＋C35×22＋C45×2＝130(种)方法，即满足题意的元素个数为130.例4 解 (1)由C4n (－2)4∶C2n (－2)2＝56∶3，解得n ＝10，因为通项T r ＋1＝Cr 10(x)10－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23x r ＝(－2)rCr 10556rx－，r ＝0,1,2， (10)当5－5r6为整数时，r 可取0,6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440. (2)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧Cr 102r≥C r －1102r －1，Cr 102r≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r≤223，r≥193，又因为r ∈{1,2,3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 36056x －，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5，当r ＝10时，T 11＝(－2)10103x－＝1 024103x－，所以系数的绝对值最大的项为T 8＝－15 36056x －.(3)原式＝10＋9C210＋81C310＋…＋910－1C1010＝9C110＋92C210＋93C310＋…＋910C10109＝C010＋9C110＋92C210＋93C310＋…＋910C1010－19＝错误!＝错误!.跟踪训练4 解 (1)令x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和为(5－1)n ＝4n，各项二项式系数之和为2n，由题意，得4n ＝16·2n ，所以2n＝16，n ＝4. (2)通项T r ＋1＝Cr 4(5x )4－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r Cr 454－r ·342,r x －展开式中二项式系数最大的项是第3项T 3＝(－1)2C2452x ＝150x .(3)由(2)，得4－32r ∈Z (r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4，所以展开式中所有x 的有理项为 T 1＝(－1)0C0454x 4＝625x 4，T 3＝(－1)2C2452x ＝150x ，T 5＝(－1)4C4450x －2＝x －2.例5 解 (1)(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5， a 2是展开式中x 2的系数，∴a 2＝C55(－1)5C35(－2)3＋C45(－1)4·C 45(－2)4＋C35(－1)3·C 5(－2)5＝800.(2)令x ＝1，代入已知式，可得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，而令x ＝0，得a 0＝32，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(3)令x ＝－1，可得(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝65，再由(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＋(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝0，把这两个等式相乘可得，(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2＝65×0＝0.跟踪训练5 5解析令x ＝2，得a 0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x ＝3，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.当堂训练1．60 2.2 3.216 4.364 5.300。

【2020】最新高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-1第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3(1)

[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A ＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
3．解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )
A．6B．8
C．9D．12
C[由A ＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A ＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A ＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A ＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．]
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
A．36B．120
C．720D．Leabharlann 40C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A ＝720.]
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种B．360种
C．480种D．720种
C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A ＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]

高中数学第一章计数原理1.2第2课时排列的应用学案苏教版选修2_320181031381

第2课时排列的应用学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．知识点排列及其应用1．排列数公式A m n＝________________________________________________________________________(n，m∈N*，m≤n)＝____________.A n n＝________________＝______(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝______.2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤类型一无限制条件的排列问题例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？反思与感悟典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．跟踪训练1 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？类型二排队问题命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法．(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？命题角度2 定序问题例3 7人站成一排．(1)甲必须在乙的左边(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？反思与感悟这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有A n n种排法，m个不同元素的全排列有A m m种排法．因此A n n种排法中，关于m个元素的不同分法有A m m类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个元素顺序确定时，共有A n nA m m种排法．跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？命题角度3 特殊元素与特殊位置问题例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？类型三数字排列问题例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项．1．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．2．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有________种．3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．4．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共________个．求解排列问题的主要方法答案精析知识梳理知识点1．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) n ！(n －m )！n (n －1)(n －2)…2·1 n ！ 1题型探究例1 解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A 37＝7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．跟踪训练1 解 (1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A 35＝5×4×3＝60(种)． (2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法．例2 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A 33种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A 44种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有A 22种排法，由分步计数原理知共有A 33·A 44·A 22＝288(种)排法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A 33·A 55＝720(种)不同的排法．(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A 44种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A 35种排法，故有A 44·A 35＝1 440(种)不同的排法．(4)先排男生有A 33种排法．让女生插空，有A 33A 44＝144(种)不同的排法．跟踪训练2 解 (1)先排歌唱节目有A 55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A 46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A 55·A 46＝43 200(种)方法．(2)先排舞蹈节目有A 44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A 44·A 55＝2 880(种)方法．例3 解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有A 77A 22＝2 520(种)不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的1A 33.故有A 77A 33＝840(种)不同的排法．跟踪训练3 解 7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法，所以共有2·A 77A 44＝420(种)不同的站法．例4 解 (1)方法一把同学作为研究对象．第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A 56种．第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A 46种排法．根据分步计数原理，含有甲时共有4×A 46种排法．由分类计数原理，共有A 56＋4×A 46＝2 160(种)排法．方法二把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A 16种方法．第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A 46种方法．由分步计数原理，可得共有A 16·A 46＝2 160(种)排法．方法三 (间接法)即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A 57种；甲在首位的情况有A 46种，所以符合要求的排法有A 57－A 46＝2 160(种)．(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A 26种方法．第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A 35种方法．根据分步计数原理，有A 26·A 35＝1 800(种)方法． (3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A 25种方法．第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A 35种方法．根据分步计数原理，共有A 25·A 35＝1 200(种)方法． (4)用间接法．总的可能情况是A 57种，减去甲在首位的A 46种，再减去乙在末位的A 46种．注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A 35种，所以共有A 57－2A 46＋A 35＝1 860(种)排法．跟踪训练4 解 6门课总的排法是A 66，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A 55种排法；数学排在最后一节，有A 55种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A44种排法．因此符合条件的排法有A66－2A55＋A44＝504(种)．例5 解(1)第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有A14种排法；第三步，排其他位，有A44种排法．故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．(2)方法一(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个；第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个．故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)．方法二(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．(3)分三种情况，具体如下：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如4 0×2,4 2×0的各有A13个；形如4 1××的有A12A13个；形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．跟踪训练5 解(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A45个；个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数．(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A55个和A14A44个．故能被3整除的五位数有A55＋A14A44＝216(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A44个数，∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．当堂训练1．480 2.144 3.72 4.240 5.240精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第一章计数原理章末复习课学案苏教版选修2_320181031

第一章计数原理学习目标 1.归纳整理本章的知识要点.2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题．1．分类计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝____________________________种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(a＋b)n＝______________________________________________________________.(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，k∈{0,1,2，…，n}．(3)二项式系数的性质：①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．③C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1.类型一数学思想方法在求解计数问题中的应用命题角度1 分类讨论思想例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？反思与感悟解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)．(2)总数要完备(保证不遗漏)．跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答) 命题角度2 “正难则反”思想例2 设集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}是S 的子集，且a 1，a 2，a 3满足a 1<a 2<a 3，a 3－a 2≤6，那么满足条件的集合A 的个数为________．反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．类型二排列与组合的综合应用例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？反思与感悟排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．跟踪训练3 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为___________________________．类型三二项式定理及其应用命题角度1 二项展开式的特定项问题例4 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求n ＋9C 2n ＋81C 3n ＋…＋9n －1C nn的值．反思与感悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．跟踪训练4 已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍．(1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有x 的有理项．命题角度2 二项展开式的“赋值”问题例5 若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2.反思与感悟与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．跟踪训练5 若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．1．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有________种．2．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．4．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.5．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)1．排列与组合(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素． ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．2．二项式定理(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是T r＋1＝C r n a n－r b r(r＝0,1，…，n)，其中二项式系数是C r n，而不是C r＋1n，这是一个极易错点．(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．答案精析知识梳理1．m1＋m2＋…＋m n2．m1×m2×…×m n3．(n－m＋1)n！(n－m)！A m nA m mn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！1 C n－mn Cmn＋14．(1)C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n (n∈N*)题型探究例1 解方法一设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有C45C44＝5(种)，A，B都在内且当钳工的选派方法有C22C25C44＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有C22C45C24＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有A22C35C34＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C12C35C44＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有C12C45C34＝40(种)，所以共有C45C44＋C22C25C44＋C22C45C24＋A22C35C34＋C12C35C44＋C12C45C34＝185(种)．方法二5名男钳工有4名被选上的方法有C45C44＋C45C34C12＋C45C24C22＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有C35C12C44＋C35C34A22＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有C25C22C44＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)．方法三4名女车工都被选上的方法有C44C45＋C44C35C12＋C44C25C22＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有C34C12C45＋C34C35A22＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有C24C22C45＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)．跟踪训练1 60解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类：①没有数字1和3时，有A34个；②只有1和3中的一个时，有2A24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C14·C13个．所以满足条件的三位数共有A34＋2A24＋C14·C13＝60(个)．例2 83解析若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1一种情况，利用正难则反思想解决．集合S的含有三个元素的子集的个数为C39＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a1<a2<a3且a3－a2>6的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.跟踪训练2 30解析从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有C24A33＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种)．例3 解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A77＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A44＝24(种)方法．根据分步计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A66＝720(种)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝840(种)方法．根据分步计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132(种)排列．跟踪训练3 130解析由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1,1}．当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C25×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C35×22种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C45×2种方法．故总共有C25×23＋C35×22＋C45×2＝130(种)方法，即满足题意的元素个数为130.例4 解(1)由C4n(－2)4∶C2n(－2)2＝56∶3，解得n＝10，因为通项T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r＝(－2)r C r10556rx－，r ＝0,1,2， (10)当5－5r6为整数时，r 可取0,6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440. (2)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r102r≥C r －1102r －1，C r 102r≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤223，r ≥193，又因为r ∈{1,2,3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 36056x －，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5，当r ＝10时，T 11＝(－2)10103x－＝1 024103x－，所以系数的绝对值最大的项为T 8＝－15 36056x －.(3)原式＝10＋9C 210＋81C 310＋…＋910－1C 1010＝9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 10109＝C 010＋9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 1010－19＝(1＋9)10－19＝1010－19.跟踪训练4 解 (1)令x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和为(5－1)n ＝4n，各项二项式系数之和为2n，由题意，得4n ＝16·2n ，所以2n＝16，n ＝4. (2)通项T r ＋1＝C r4(5x )4－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 454－r·342,rx－展开式中二项式系数最大的项是第3项T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x .(3)由(2)，得4－32r ∈Z (r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4，所以展开式中所有x 的有理项为 T 1＝(－1)0C 0454x 4＝625x 4，T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x ，T 5＝(－1)4C 4450x －2＝x－2. 例5 解 (1)(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5， a 2是展开式中x 2的系数，∴a 2＝C 55(－1)5C 35(－2)3＋C 45(－1)4·C 45(－2)4＋C 35(－1)3·C 55(－2)5＝800.(2)令x ＝1，代入已知式，可得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，而令x ＝0，得a 0＝32，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(3)令x ＝－1，可得(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝65，再由(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＋(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝0，把这两个等式相乘可得，(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2＝65×0＝0.跟踪训练5 5解析令x ＝2，得a 0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x ＝3，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.当堂训练1．60 2.2 3.216 4.364 5.300 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列学案新人教B版选修2_320181226336

1.2.1 排列课时目标1.了解排列与排列数的意义，能根据具体问题，写出符合要求的排列.2.能利用树形图写出简单问题中的所有排列.3.掌握排列数公式，并能利用它计算排列数．(这是本节的重点，要掌握好．)4.掌握解决排列应用题的基本思路和常用方法．1．排列(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)相同排列：若两个排列相同，则两个排列的________完全相同，并且元素的____________也相同．2．排列数(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．(2)排列数公式：A m n＝________________________＝n！(n－m)！；特别地，A n n＝n×(n－1)×…×3×2×1＝n！，(m，n∈N＋，且m≤n)，0！＝1.一、选择题1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人参加某项活动；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④B．①②C．③④D．①③④2．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )A．180种B．360种C．15种D．30种3．A 、B 、C 三地之间有直达的火车，需要准备的车票种数是( ) A ．6B ．3C ．2D ．14．5名同学排成一排照相，不同排法的种数是( ) A ．1B ．5C ．20D ．1205．给出下列四个关系式： ①n ！＝(n ＋1)！n ＋1②A m n ＝n A m －1n －1③A mn ＝n ！(n －m )！④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是( )A ．24B ．22C ．20D ．12二、填空题7．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．8．从1～9的9个数字中任取5个数组成没有重复数字的五位数，且个位、百位、万位上必须是奇数的五位数的个数为________．9．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有________种．三、解答题10．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．11．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．能力提升12．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是( ) A．36 B．32 C．28 D．2413．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实数根的方程又有多少个？1．排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．2．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再“松绑”，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．1．2 排列与组合1．2.1 排列答案知识梳理1．(1)一定的顺序(2)元素排列顺序2．(1)所有排列的个数A m n(2)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)作业设计1．A2．B [选派方案种数为6选4的排列数，即A46＝360.]3．A4．D5．C [式子①②③正确，④错误．]6．D [分两步排课：体育有两种排法；其他科目有A33种排法，∴共有2×A33＝12(种)排课方案．]7．72解析先排另外3人，有A33种排法，甲、乙插空，有A24种排法．∴不同的排法共有A33·A24＝6×12＝72(种)．8．1 800解析先排个位、百位、万位数字有A35种，另两位有A26种排法，∴共有A35·A26＝1 800(个)．9．960解析排5名志愿者有A55种不同排法，由于2位老人相邻但不排在两端，所以在这5名志愿者的4个空档中插入2位老人(捆绑为1个元素)有A14·A22种排法．所以共有A55·A14·A22＝960(种)不同的排法．10．解(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．(2)方法一先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种填法，其余四个位置四个数字共有A 44种，故共有A 14·A 44＝96(个)．方法二先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A 14种方法，其余四个数字全排有A 44种方法，故共有A 14·A 44＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类： ①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A 12种方法，其余全排有A 22种方法，故有2A 12·A 22＝8(种)方法．②不取0，则只能取3，从1或4中任取一个，再取2，然后进行全排列为2A 33＝12(种)方法，所以共有8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A 12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A 13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A 33，故共有A 12·A 13·A 33＝36(个)．11．解 (1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一个元素与其余5人全排列，有A 66种排法，所以有不同站法A 22·A 66＝1 440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法有A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420(种)．(4)中间和两端是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两端之一，另一端由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法；②两端全由男生站，老师站除两端和正中的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法，所以共有不同站法A 12·A 14·A 55＋A 24·A 14·A 44＝960＋1 152＝2 112(种)．12．A [如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A 23A 22＝24(种)；如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，排法有3×A 22A 22＝12(种)，故可组成符合要求的五位数的个数为24＋12＝36.]13．解要确定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，分2步完成：第1步：确定a ，只能从1,3,5,7中取一个，有A 14种取法；第2步：确定b ，c ，可从剩下的4个数字中任取2个，有A 24种取法．由分步乘法计数原理，可组成A 14·A 24＝48(个)不同的一元二次方程．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)要有实数根必须满足b 2－4ac ≥0，分2类：第1类：当c ＝0时，a ，b 可以从1,3,5,7中任取2个数字，有A 24种取法；第2类：当c ≠0时，由b 2－4ac ≥0知，b 只能取5或7，当b 取5时，a ，c 只能取1,3这两个数，有A 22种取法；当b 取7时，a ，c 可取1,3这两个数或1,5这两个数，有2A 22种取法．因此c ≠0时，有A 22＋2A 22(种)取法．由分类加法计数原理，有实数根的一元二次方程有A24＋A22＋2A22＝18(个)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2020高中数学第1章计数原理 1.2 排列教学案苏教版选修2-3

1.2 排列第1课时排列与排列数公式1．甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动，另外一名参加下午的活动．问题1：甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？提示：不是．问题2：有几种不同的排法？提示：两种．甲上午，乙下午；甲下午，乙上午．2．若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题3：让你去安排这项活动，需要几步？提示：分两步．问题4：它们是什么？提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．问题5：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因分步完成共3×2＝6种．问题6：这些排法相同吗？提示：不相同，它们是有顺序的．3．从a、b、c中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列．问题7：共有多少种不同的排列方法？提示：3×2＝6种．问题8：试写出它们的排列．提示：ab，ac，ba，bc，ca，cb.排列的定义一般地，从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.已知数字1，2，3，4，5，6.问题1：从1，2，3，4，5，6中选出两个数字，能构成多少个没有重复数字的两位数？提示：有6×5＝30(个)．问题2：从1，2，3，4，5，6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数字的三位数？提示：有6×5×4＝120(个)．问题3：从1，2，3，4，5，6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数？提示：有6×5×4×3＝360(个)．问题4：若从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，有多少种不同的排法？提示：有n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(个)．1．判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n 个元素中取出m 个元素后，在安排m 个元素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是排列．2．排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数．[例1] 下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中抽2名学生开会；(2)从2，3，5，7，11中任取两个数相乘；(3)以圆上的10个点为端点作弦；(4)10个车站，站与站间的车票．[思路点拨] 利用排列的定义去判断，关键是看取出的元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)2名学生开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通] 判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置，看结果有无变化，若有变化，则与元素的顺序有关，是排列问题；否则，为非排列问题．1．更改例题的各条件如下，请重新判断是不是排列问题：(1)抽2名学生当正、副班长；(2)取两个数相除；(3)以圆上10个点为端点作有向线段；(4)10个车站间站与站的票价．解：(1)2名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题．(2)两个数有除数和被除数之分，有顺序，是排列问题．(3)有向线段有起点和终点之分，有顺序，是排列问题．(4)两车站间来回的票价一样，故与顺序无关，不是排列问题．2．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如，甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题.[例2] A，B，C，D四名同学站成一排照相，写出A不站在两端的所有可能站法．[思路点拨] 解决本题可通过树形图法，画出依题意的形状，便可写出不同的站法．[精解详析] 如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．[一点通] “树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时．在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列．3．A，B，C三个同学站成一排照相留念，写出所有排列．解：由题意作树形图如图所示：故所有的排列为：ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA .4．A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，列出树形图如图：位置编号换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .[例3] 计算：(1)2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)A m －1n －1·An －m n －mA n －1n －1.[思路点拨] 利用公式A mn ＝n ！（n －m ）！化简变形．[精解详析] (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1. (2)原式＝（n －1）！[（n －1）－（m －1）]！·(n －m )！·1（n －1）！＝（n －1）！（n －m ）！·(n －m )！·1（n －1）！＝1. [一点通] 应用排列数公式应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确． (2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性，如：n ！＝n (n －1)！；n ·n ！＝(n ＋1)！－n ！；n －1n ！＝1（n －1）！－1n ！等．5．如果A mn ＝15×14×13×12×11×10，那么n ＝________，m ＝________．解析：∵15×14×13×12×11×10＝A 615，∴n ＝15，m ＝6. 答案：15 6 6.A 812A 811＝________．解析：原式＝12×11×10×……×6×511×10×…×5×4＝124＝3.答案：3 7．解下列方程： (1)3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ； (2)5A x 4＝6A x －15.解：(1)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)． ∵x ≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0.解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.(2)由5A x 4＝6A x －15，得5×4！（4－x ）！＝6×5！（6－x ）！化简得x 2－11x ＋24＝0，解得x 1＝3，x 2＝8， ∵x ≤4，且x －1≤5，∴原方程式的解为x ＝3.1．排列数公式的特点 (1)第一个因数是n ；(2)每个因数都比它前面的因数少1； (3)最后一个因数是n －m ＋1； (4)一共有m 个连续的自然数相乘． 2．应用排列数公式应注意的问题(1)排列数的第一个公式A mn ＝n (n －1)…(n －m ＋1)适用于具体计算以及解当m 较小时的含有排列数的方程和不等式．(2)排列数的第二个公式A m n ＝n ！（n －m ）！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m ≤n 且n ∈N *， m ∈N *”的运用．课下能力提升(三)一、填空题1．下列问题中：①10本不同的书分给10名同学，每人一本；②10位同学互通一次电话；③10位同学互通一封信；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．其中属于排列问题的是________．(将正确序号填上)解析：①和③中两个元素交换顺序，结果发生变化，所以①和③是排列问题．答案：①③2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．解析：这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．答案：③3．已知A2n＝132，则n＝________．解析：A2n＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，又因为n∈N*，所以n＝12.答案：124．从5个人中选出3人站成一排，则不同的排法有________种．解析：从5个人中选出3人站成一排，共有A35＝5×4×3＝60种不同的排法．答案：605．记S＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S的个位数字是________．解析：1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！，…，99！＝99×98×…×6×5！，所以从5! 开始到99！，个位数字均为0，所以S 的个位数字为3. 答案：3 二、解答题6．计算：(1)2A 47－4A 56； (2)A 316－A 56A 35.解：(1)原式＝2×7×6×5×4－4×6×5×4×3×2 ＝6×5×4(2×7－4×6)＝120(14－24)＝－1 200. (2)原式＝16×15×14－6×5×4×3×25×4×3＝4×14－12＝44.7．解方程A 42x ＋1＝140A 3x .解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，∴x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x－1)·(x －2)，x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0. 解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，故应舍去)．所以x ＝3.8．用1，2，3，4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n }． (1)写出这个数列的前11项； (2)求这个数列共有多少项．解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一位都有4种排法，则根据分步计数原理共有4×4×4＝64项．第2课时排列的应用[例1] (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？[思路点拨] (1)选出3个课题进行排列；(2)每个学习小组都选一个课题．[精解详析] (1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法有A35＝5×4×3＝60种．(2)由题意知，3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事．由分步计数原理得，共有5×5×5＝125种报名方法.[一点通] 没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和位置即可．1．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目最多1项，则该外商不同的投资方案有________种．解析：不同的投资方案有A34＝4×3×2＝24种．答案：242．有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科的科代表，共有A57＝2 520种不同的选法．答案：2 5203．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种.[例2] 7位同学站成一排．(1)其中甲站在最左端的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种？[思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．[精解详析] (1)先考虑甲站在最左端有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共A66种排法．(2)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A25种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共有A25·A55种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A25种，中间5个位置有A55种，共有A25·A55种排法．(3)法一：分两类：乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有A66种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种，中间5个位置选1个安排乙的方法有5种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，故共有A66＋5×5A55种排法．法二：考虑间接法，总排法为A77，不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为A66种，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有A77－2A66＋A55种排法．[一点通] 解决这种有限制条件的排队问题，关键是搞清元素是什么，位置是什么，根据给出的限制条件，按特殊元素(位置)恰当合理地分类或分步来解决．4．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．(用数字作答) 解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A33种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24(种)．答案：245．6个人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．解：(1)第一步，先从甲以外的5个人中任选两人站在左、右两端，有A25种不同的站法；第二步，再让剩下的4个人站在中间的4个位置，有A44种不同的站法，由分步计数原理有A25·A44＝480种不同的站法．(2)让甲、乙先站两端，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种不同的站法，由分步计数原理有A22·A44＝48种不同的站法．(3)以元素甲的位置进行考虑，可分两类：甲站右端有A55种不同的站法；甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有4×4×A44种不同的站法，故共有A55＋4×4×A44＝504种不同的站法.[例3] 用0，1，2，3，4这五个数字，组成五位数，(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？[思路点拨] 该题目中的特殊元素为0，它不能放在首位．(1)数字可以重复；(2)只需限制首位(即万位)不为0；(3)限制末位是奇数，首位不是0.[精解详析] (1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得，共可组成五位数4×5×5×5×5＝2 500个．(2)法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从1，2，3，4中任取一个有A14种方法，其余四个位置排四个数字共有A44种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有A14A44＝96个．法二：(优先考虑特殊元素)先排0，除首位之外的其他四个数位均可，有A14种方法，其余四个数字全排列，有A44种方法．故组成的无重复数字的五位数共有A14A44＝96个．(3)(优先考虑特殊位置)先排个位，1和3均可，有A12种方法．然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位，有A13种方法，最后将剩下的3个数排在其他三个数位上，有A33种方法．故组成的无重复数字的五位奇数共有A12A13 A33＝36个．[一点通] 组数问题中常用的知识：(1)能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数．(2)能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数．(3)能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数．(4)能被5整除的数的特征：末位数是0或5；能被25整除的数的特征：末两位数是25的正整数倍．(5)能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数．6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？解：(1)先排首位，有A15种排法，再排个位、十位和百位，有A35种排法，故共有A15A35＝300个不同的四位数．(2)当个位数字是0时，有A35种；当个位数字不是0时，有A12A24A14种．所以，共有A35＋A12A24A14＝156个，即可组成156个四位偶数．7．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有多少个？解：依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是奇数，从1，3，5三个数中选三个数排列，有A33种方法；(2)3个数字中有一个是奇数，分两步进行，选一个奇数，有3种选法，这个奇数与两个偶数全排列，故有3A33种方法．由分类计数原理，共有A33＋3A33＝24个满足条件的三位数．1．解决排列问题时通常从以下三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，如组数问题中的首位，如果所给数字中有0，应先考虑首位不为0；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数，然后去掉不符合要求的排列．2．解决组数问题应注意的几点(1)首位数字不为0；(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；(3)若排列的数是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类．课下能力提升(四)一、填空题1．由1，2，3，4，5，6，7，8八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为________．(用数字作答)解析：A28＝8×7＝56个．答案：562．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)解析：先排甲、乙之外的3人，有A33种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A24种排法，故共有A33·A24＝72(种)排法．答案：723．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有________种．解析：根据题目的条件可知，A，B必须相邻且B在A的右边，所以先将A，B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故不同的排法有A44＝4×3×2×1＝24(种)．答案：244．由数字1，2，3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是________．解析：符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有A33A22＝12种．答案：125．将数字1，2，3，4，5，6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i(i＝1，2，3)表示第i行中最大的数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．(用数字作答) 解析：由题意知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A13A25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A12A12＝4，由分步计数原理知满足条件的排列个数是240.答案：240二、解答题6．7名同学排队照相，(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？解：(1)分两步，先排前排，有A37种排法，再排后排，有A44种排法，符合要求的排法共有A37·A44＝5 040种；(2)第一步安排甲，有A13种排法；第二步安排乙，有A14种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A55种排法．由分步计数原理得，符合要求的排法共有A13·A14·A55＝1 440种．7．从－3，－2，－1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y轴对称的有多少个？解：(1)法一：(直接法——优先考虑特殊位置)∵a≠0，∴确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A27种，∴共有7A27＝294个不同的二次函数．法二：(直接法——优先考虑特殊元素)a，b，c中不含0时，有A37个，a，b，c中含有0时，有2A27个，故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数．法三：(间接法)共可构成A38个函数，其中a＝0时有A27个均不符合要求，从而共有A38－A27＝294个不同的二次函数．(2)(直接法)依题意b＝0，所以共有A27＝42个符合条件的二次函数．8．用0，1，2，3，4，5这六个数字，(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个比1 325大的四位数？解：(1)五位数中为5的倍数的数可分两类：第1类：个位上是0的五位数有A45个；第2类：个位上是5的五位数有A14A34个．所以满足条件的五位数有A45＋A14A34＝216(个)．(2)比1 325大的四位数可分三类：第1类：千位上是2，3，4，5时，共有A14A35个；第2类：千位上是1，百位上是4，5时，共有A12A24个；第3类：千位上是1，百位上是3，十位上是4，5时，共有A12A13个．由分类计数原理得，比1 325大的四位数共有A14A35＋A12A24＋A12A13＝270(个)．。

2020版高中数学第一章计数原理 1.2 第2课时排列的应用学案苏教版选修2-3

第2课时排列的应用学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．知识点排列及其应用1．排列数公式A m n＝________________________________________________________________________(n，m∈N*，m≤n)＝____________.A n n＝________________＝______(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝______.2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤类型一无限制条件的排列问题例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？反思与感悟典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？类型二排队问题命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法．(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？命题角度2 定序问题例3 7人站成一排．(1)甲必须在乙的左边(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？反思与感悟这类问题的解法是采用分类法．n 个不同元素的全排列有A nn 种排法，m 个不同元素的全排列有A mm 种排法．因此A nn 种排法中，关于m 个元素的不同分法有A mm 类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m 个元素顺序确定时，共有A nnA m m种排法．跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？命题角度3 特殊元素与特殊位置问题例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？类型三数字排列问题例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项．1．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．2．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有________种．3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．4．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共________个．求解排列问题的主要方法答案精析知识梳理知识点1．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) n ！(n －m )！n (n －1)(n －2)…2·1 n ！ 1题型探究例1 解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A 37＝7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．跟踪训练1 解 (1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A 35＝5×4×3＝60(种)．(2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法．例2 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A 33种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A 44种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有A 22种排法，由分步计数原理知共有A 33·A 44·A 22＝288(种)排法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A 33·A 55＝720(种)不同的排法．(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A 44种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A 35种排法，故有A 44·A 35＝1 440(种)不同的排法．(4)先排男生有A 33种排法．让女生插空，有A 33A 44＝144(种)不同的排法．跟踪训练2 解 (1)先排歌唱节目有A 55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A 46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A 55·A 46＝43 200(种)方法．(2)先排舞蹈节目有A 44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A 44·A 55＝2 880(种)方法．例3 解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有A 77A 22＝2 520(种)不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的1A 33.故有A 77A 33＝840(种)不同的排法．不同的站法，所以共有2·A77A44＝420(种)不同的站法．例4 解(1)方法一把同学作为研究对象．第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A56种．第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A46种排法．根据分步计数原理，含有甲时共有4×A46种排法．由分类计数原理，共有A56＋4×A46＝2 160(种)排法．方法二把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A16种方法．第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A46种方法．由分步计数原理，可得共有A16·A46＝2 160(种)排法．方法三(间接法)即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A57种；甲在首位的情况有A46种，所以符合要求的排法有A57－A46＝2 160(种)．(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A26种方法．第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A35种方法．根据分步计数原理，有A26·A35＝1 800(种)方法．(3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A25种方法．第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A35种方法．根据分步计数原理，共有A25·A35＝1 200(种)方法．(4)用间接法．总的可能情况是A57种，减去甲在首位的A46种，再减去乙在末位的A46种．注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A35种，所以共有A57－2A46＋A35＝1 860(种)排法．跟踪训练4 解6门课总的排法是A66，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A55种排法；数学排在最后一节，有A55种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A44种排法．因此符合条件的排法有A66－2A55＋A44＝504(种)．例5 解(1)第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有A14种排法；第三步，排其他位，有A44种排法．故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．(2)方法一(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个；故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)．方法二(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．(3)分三种情况，具体如下：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如4 0×2,4 2×0的各有A13个；形如4 1××的有A12A13个；形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．跟踪训练5 解(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A45个；个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数．(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A55个和A14A44个．故能被3整除的五位数有A55＋A14A44＝216(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A44个数，∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．当堂训练1．480 2.144 3.72 4.240 5.240。

2020版高中数学第一章计数原理 1.1 第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用学案苏教版选修2-3

第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用学习目标巩固分类计数原理和分步计数原理，并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题．知识点一两个计数原理的区别与联系知识点二两个计数原理的综合应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点：(1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．类型一排数问题例1 用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？反思与感悟对于组数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．跟踪训练1 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)类型二抽取(分配)问题例2 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为________．反思与感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类计数原理或分步计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．跟踪训练2 有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？类型三涂色与种植问题命题角度1 涂色问题引申探究若本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？例3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？反思与感悟涂色问题的四个解答策略理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步计数原理计算．(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类计数原理计算．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．跟踪训练3 如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．命题角度2 种植问题例4 将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种．反思与感悟按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都能完成这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．跟踪训练4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．1．用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有________个．2．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为________．3．有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天．已知同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的安排方案共有________种．4．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．5．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种．1．分类计数原理与分步计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．2．应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．4．若正面分类的种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些．答案精析题型探究例1 解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．引申探究解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有三个，可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步计数原理知共有2×3×3×2＝36(个)．跟踪训练1 14解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个)．例2 18解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径条数为6×3＝18.跟踪训练2 解(1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步．而每位学生均有3个不同选择，所以用分步计数原理可得3×3×3×3＝34＝81(种)不同结果．(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位．要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计算原理可得4×4×4＝43＝64(种)不同结果．例3 解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．(1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．(2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．解依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色．第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成．第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．于是由分步计数原理可得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种)．第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成．第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法．于是由分步计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种)．综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种)．跟踪训练3 解由题意，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．由分类计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法．由分步计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种)．例4 42解析分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4((2)若第三块田放a：第四块有b或c2种方法，①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．跟踪训练4 解方法一(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．方法二(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故不同的种植方法共有24－6＝18(种)．当堂训练1．8 2.10 3.24 4.13 5.108。

高中数学第一章计数原理1_2排列课堂导学苏教版选修23

高中数学第一章计数原理排列课堂导学苏教版选修2-3 三点剖析一、一般的排列问题【例1】从1～9的九个数字中,取出5个数作排列,并把五个位置自右至左编号,则奇数数字只在奇数位上的排列有多少个?解法一:1,2,…,9中只有四个偶数数字,故排列中至少有一个奇数数字,一奇四偶的排列可按下列程序得到:从五个奇数数字中选取一个放在三个奇数位置中的一个上,再把四个偶数数字排在剩下的四个位置上,因此一奇四偶的排列有25C ×23C ×22A ,类似地,二奇三偶的排列有25C ×23C ×22A ×34C 种,三奇二偶的排列有35A ×24A 种,因此适合题意的排列个数有243534222325441315A A A A C C A C C ++=2 520(个).解法二:(转换思维角度,将本题解释为“偶数位置上的数字必是偶数”)由题意知只有两个偶数位置,应从四个偶数中选取两个排列在这两个偶数位置上,有24A 种排列,再从剩下七个数字中选取三个排列在其余三个位置上,有24A 种排法,故适合题意的排列个数是24A ·37A =2 520(个). 一定要认真审题,弄清题目所蕴含的含义,否则就会出现漏解或重解的情况.不同情形的分类要考虑周密,做到不重不漏,另外在解决数字排列问题时还必须熟悉自然数的性质,同时数字0的安排要特别引起重视.二、有限制条件的排列问题【例2】六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端.思路分析:本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力.解:(1)要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有14A 种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55A 种站法,根据分步计数原理,共有站法5514A A •=480(种). (2)先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,有22A 种站法,再对甲、乙进行全排列,有25A 种站法,根据分步计数原理,共有2255A A •=240种站法.(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有44A 种;第二步再将甲、乙插入4人形成的5个空当(含两端)中,有25A 种,故共有站法2544A A •=480(种).(4)先将甲、乙以外的4个人作全排列,有44A 种,然后将甲、乙按条件插入站队,有223A 种,故共有)3(2244A A •=144种站法.(5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有22A 种,再让其他4人在中间位置作全排列,有44A 种,根据分步计数原理,共有4422A A •=48种站法.(6)甲在左端的站法有55A 种,乙在右端的站法有55A 种,且甲在左端而乙在右端的站法有44A 种,所以甲不站左端,乙不站右端共有4455662A A A +-=504种站法. 三、用排列数公式证明【例3】求证:.m n m n m n A mA A 11+-=+ 证明:)!1(!)!(!1+-+-=+-m n n m m n n mA A m n m n =)!1(!)1(!+-•++-m n m n m n n =)!1()1(!+-++-m n m m n n =m n A m n n 1]!)1[()!1(+=-++, 所以m n m n m n A mA A 11+-=+.各个击破类题演练1用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中有多少个偶数?若将这些偶数从小到大排列,3 402是第几个数?思路分析:由偶数定义,求四位偶数时,优先考虑个位,只能为0,2,4之一,但由于0不能排首位,因此可按个位是否为0进行分类.求3 402是第几个数,即求不大于3 402的四位偶数的个数,可考虑先排千位,再排个位和其他位置.解:(1)按个位情形分类:①个位为0的有35A =60个;②个位不为0的,先排个位接着排首位,再排中间两位有241412A A A =96个,故所求的四位偶数共有60+96=156个.(2)按千位进行分类:①千位为1时,先排个位,再排中间两位有2413A A 个;②千位为2时有2412A A 个;③千位为3时,百位为0或2的有2×213A 个,百位为1的有313A 个,百位为4的仅1个.总共有134131324122413++++A A A A A A =82个,即所得偶数从小到大排列,3 402是第82个数.变式提升1某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以挂一面、两面或三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?解析:表示信号这件事,可分为三类:第一类:挂一面旗表示信号,是从3个不同元素中任取1个元素的排列,共有13A 种不同的方法;第二类:挂两面旗表示信号,是从3个不同元素中任取2个元素的排列,共有23A 种方法; 第三类:挂三面旗表示信号,是3个元素的全排列,共有33A 种方法.由分类加法计数原理,可以表示信号共有332313A A A +=3+3×2+3×2×1=3+6+6=15(种). 类题演练2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?解析:(1)先排歌唱节目有55A 种,歌唱节目之间以及两端共有6个空位,从中选4个安排舞蹈节目,共有46A 种方法,所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有4655A A •=43 200种方法. (2)先排舞蹈节目有44A 种方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有5544A A •=2 880种方法. 变式提升2星期一共排六节不同的课,若第一节排数学或第六节排体育,问有多少种不同的课程排法? 解析:数学排在第一节的课程排法有55A 种,体育排在第六节的排法也有55A 种,由分类计数原理共有5555A A +=240种排法. 在数学排在第一节的55A 种排法中,有体育排在第六节的排法,而在体育排在第六节的排法中,也存在着数学排在第一节的情形,因此, 5555A A +中,将数学排在第一节,同时体育排在第六节的排法计算了两次,发生了重复.∴第一节排数学或第六节排体育的排法共有445555A A A -+=216种.类题演练3（1）计算:;!5!6A 2A 6657+- （2）已知,140A 3412n n A =+求n.解析:(1)原式=.736!5)16(!5)667(!5!6!6!7!5!6!6!2!72=⨯+⨯-⨯=+-=+-•(2)原等式可化为(2n +1)·2n ·(2n -1)·(2n -2)=140·n ·(n -1)·(n -2), ∵n ≥3,∴n (n -1)≠0.∴(2n +1)(2n -1)=35(n -2).解得n =3或423=n . ∵n ∈N *,∴n =3.变式提升3计算：49594858A A A A -+ 解析:原式=36254554494849494848==-+A A A A A A .。

2020学年高中数学第1章计数原理章末复习课讲义苏教版选修2-3(2021-2022学年)

第１章计数原理【例1】（1)椭圆错误!未定义书签。

+＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3，4,5}，ｎn∈{1，2，3，4，５，6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?（1)20 ［因为焦点在y轴上,所以0〈m<n，考虑m依次取1,2，3,4,5时，符合条件的ｎ值分别有6，5，4,3,2个，由分类加法计数原理知,满足题意的椭圆的个数为６+5+4＋3＋２=２0个．] (2）解：用1,２,３,4，5,６表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法.第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有３×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式．第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是１,4,6,分6步完成这件事，共有３×３×２×2×1×1＝３6种不同的播放方式.第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3,6,同样分6步完成这件事,共有３×３×2×2×１×1＝３６种不同的播放方式.由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有３6+36＋36＝1０8种．１．使用两个原理解决问题的思路（１)选择使用两个原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式而定,确定是分类还是分步,要抓住两个原理的本质．(2)分类加法计数原理的关键是“类”,分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.(３)分步乘法计数原理的关键是“步＂,分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这ｎ个步骤后，这件事才算完成,只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理．２.使用两个原理解决问题时应注意的问题对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.1.某外语组有１0人,每人至少会英语、法语中的一门．其中7人会英语，5人会法语．从中选择会英语和法语的各一人派往两地参加会议,有多少种不同的方法？[解]由集合知识可知，既会英语又会法语的有７＋5-10＝2（人)，仅会英语的有７－２=5(人），仅会法语的有5-２=3（人)．易知此题的任务是派遣适合条件的两人.法一:按仅会英语的5人的派遣情况分成两类.第１类：仅会英语的5人中有1人选中，则有5种方法,而会法语的则有５种方法.从而由分步乘法计数原理知，有5×5＝2５种方法;第２类:仅会英语的5人中没有人被选中，则会英语的必须从既会英语又会法语的２人中选，从而有2种选法.而会法语的只能从两种语言均会的剩余1人或仅会法语的3人中选，共有1+３＝4种.由分步乘法计数原理得，此时共有2×4=8种方法．由分类加法计数原理得,共有２5+８＝3３种方法.法二:按既会英语又会法语的２人的选派情况分成3类.ﻬ第１类:２人均未被选派，则有3×５＝15种方法;第2类：２人均被选派，则有2种方法;第3类：2人中恰有1人被选派,则又分为两类：若另一人只会英语，则有2×5＝１0种方法，若另一人只会法语,则有２×3=６种方法,由分类加法计数原理得，共有１5+2＋10＋6=33种方法．【例２】在1,３,可组成多少个不同的五位偶数？［解]共分两类,第一类,五位数中不含数字零．第一步,选出５个数字，有C错误!Ｃ错误!种选法.第二步,排成偶数——先排末位数，有A错误!种排法，再排其他四位数字，有Ａ错误!种排法．∴N1=C错误!·C错误!·A错误!未定义书签。

2020学年高中数学第1章计数原理1.3组合讲义苏教版选修2-3(2021-2022学年)

1。

3 组合1.组合与组合数的概念 (1)组合一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2）组合数从ｎ个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从ｎ个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号Ｃ错误!未定义书签。

表示．思考1:组合与组合数有何区别？[提示］从n 个不同元素中任意取出ｍ（ｍ≤n ）个元素并成一组即为一个组合，一个组合就是完成事情的一种方法，而组合数是指所有组合的个数；组合可以是由任何元素组成的,而组合数是一个数字,是所有组合的个数.2．组合数公式及性质(1)组合数公式:C 错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

. (2)组合数的性质:①Ｃ错误!未定义书签。

=C 错误!未定义书签。

；②C 错误!=C 错误!＋C 错误!未定义书签。

思考2：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么?[提示]关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.１.下列问题是组合问题的有( ）①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流;②一个小组有7名学生,现抽调５人参加劳动;③从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流.A．①② B.①③ Ｃ.②③ D．①②③A[①②与顺序无关是组合问题，③与顺序有关是排列问题.]２.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等,则车票票价的种数是_＿_＿＿___种．3［甲、乙、丙三地之间的距离不等,故票价不同，同距离两地票价相同,故该问题为组合问题，不同票价的种数为C错误!=错误!=３.］３．Ｃ错误!＝＿___＿___，C错误!＝＿＿_＿____。

15 1８［Ｃ错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

=１５,Ｃ错误!未定义书签。

=C错误!未定义书签。

=１8．]4．方程C错误!未定义书签。

＝C错误!未定义书签。

【新人教版】2019-2020版高中数学第一章计数原理 1.2 第2课时排列的应用学案苏教版选修2-3

第2课时排列的应用学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．知识点排列及其应用1．排列数公式A m n＝________________________________________________________________________(n，m∈N*，m≤n)＝____________.A n n＝________________＝______(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝______.2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤类型一无限制条件的排列问题例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？反思与感悟典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？类型二排队问题命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法．(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？命题角度2 定序问题例3 7人站成一排．(1)甲必须在乙的左边(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？反思与感悟这类问题的解法是采用分类法．n 个不同元素的全排列有A nn 种排法，m 个不同元素的全排列有A mm 种排法．因此A nn 种排法中，关于m 个元素的不同分法有A mm 类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m 个元素顺序确定时，共有A n nA m m种排法．跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？命题角度3 特殊元素与特殊位置问题例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？类型三数字排列问题例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项．1．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．2．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有________种．3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．4．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共________个．求解排列问题的主要方法答案精析知识梳理知识点1．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) n ！(n －m )！n (n －1)(n －2)…2·1 n ！ 1题型探究例1 解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A 37＝7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．跟踪训练1 解 (1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A 35＝5×4×3＝60(种)．(2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法．例2 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A 33种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A 44种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有A 22种排法，由分步计数原理知共有A 33·A 44·A 22＝288(种)排法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A 33·A 55＝720(种)不同的排法．(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A 44种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A 35种排法，故有A 44·A 35＝1 440(种)不同的排法．(4)先排男生有A 33种排法．让女生插空，有A 33A 44＝144(种)不同的排法．跟踪训练2 解 (1)先排歌唱节目有A 55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A 46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A 55·A 46＝43 200(种)方法．(2)先排舞蹈节目有A 44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A 44·A 55＝2 880(种)方法．例3 解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有A 77A 22＝2 520(种)不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的1A 33.故有A 77A 33＝840(种)不同的排法．同的站法，所以共有2·A77A 44＝420(种)不同的站法．例4 解 (1)方法一把同学作为研究对象．第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A 56种．第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A 46种排法．根据分步计数原理，含有甲时共有4×A 46种排法．由分类计数原理，共有A 56＋4×A 46＝2 160(种)排法．方法二把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A 16种方法．第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A 46种方法．由分步计数原理，可得共有A 16·A 46＝2 160(种)排法．方法三 (间接法)即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A 57种；甲在首位的情况有A 46种，所以符合要求的排法有A 57－A 46＝2 160(种)． (2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A 26种方法．第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A 35种方法．根据分步计数原理，有A 26·A 35＝1 800(种)方法． (3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A 25种方法．第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A 35种方法．根据分步计数原理，共有A 25·A 35＝1 200(种)方法． (4)用间接法．总的可能情况是A 57种，减去甲在首位的A 46种，再减去乙在末位的A 46种．注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A 35种，所以共有A 57－2A 46＋A 35＝1 860(种)排法．跟踪训练4 解 6门课总的排法是A 66，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A 55种排法；数学排在最后一节，有A 55种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A 44种排法．因此符合条件的排法有A 66－2A 55＋A 44＝504(种)．例5 解 (1)第一步，排个位，有A 13种排法；第二步，排十万位，有A 14种排法；第三步，排其他位，有A 44种排法．故共有A 13A 14A 44＝288(个)六位奇数． (2)方法一 (直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A 55个；第二类，当个位不排0时，有A 14A 14A 44个．方法二(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．(3)分三种情况，具体如下：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如4 0×2,4 2×0的各有A13个；形如4 1××的有A12A13个；形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．跟踪训练5 解(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A45个；个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数．(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A55个和A14A44个．故能被3整除的五位数有A55＋A14A44＝216(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A44个数，∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．当堂训练1．480 2.144 3.72 4.240 5.240。

高中数学第1章计数原理1.2排列讲义苏教版选修2_3

1.2 排列1．排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数与排列数公式[提示] 由于北京—上海，上海—北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列．思考2：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？[提示] “排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．1．下列问题属于排列问题的是( )①从10名学生中抽2名学生开会；②从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表；③从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算．A．①B．②C．③D．②③D[①中无顺序；②中6人担任课代表有顺序；③中幂分底数和指数，存在顺序．] 2．9×10×11×…×20可表示为( )A．A1020B．A1120C．A1220D．A1320C[A1220＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.]3．A345！＝________.1 5[A345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.]4．由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是________．123,132,213,231,312,321 [用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．]【例1】(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[思路探究] 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[解] (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．1．判断下列问题是否是排列问题．(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？[解] (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两名去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．【例2】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[思路探究] (1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．[解] (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法？(1)12 (2)14 [(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．][1．两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？[提示] 从这4个数字中选出2个能构成A24＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A34＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．2．由探究1知A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n的意义和A2n的值？[提示] A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，a n中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A2n＝n(n－1)．3．你能写出A m n的值吗？有什么特征？若m＝n呢？[提示] A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m＋1，共有m个因数；(2)全排列：当m ＝n 时，即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A nn ＝n (n －1)(n －2)·…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！＝A nnA n －m n －m.【例3】 (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)证明：A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .[思路探究] 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A mn ＝n ！(n －m )！进行变形推导．[解] (1)法一：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝5＋150－10＝320. 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320. (2)[证明] ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n ， ∴A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．3．求3A x8＝4A x －19中的x .[解] 原方程3A x 8＝4A x －19可化为3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！，即3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －1≤9，解得x ≤8.所以原方程的解为x ＝6.1．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用．难点是排列数公式的计算与证明问题．2．本节课的易错点是利用排列数公式A mn 解决问题时，易忽视条件m ≤n ，且m ∈N *，n ∈N *. 3．在画树状图时，先以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中，再按余下元素在前面元素不变的情况下确定第二位并按序分类，依次进行直到完成一个排列，最后把所有的排列列举出来．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( )(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( ) (5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( ) [解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同． (2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．(4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同、结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．(5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√2．从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有给法( ) A ．5种B ．10种C．20种D．60种C[由排列数定义知，共有A25＝5×4＝20种．]3．A66－6A55＋5A44＝________.120 [原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.]4．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．[解] 按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法．故共有3×2×1＝6种不同的分法．列出这6种分法，如下：。

部编版2020高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列教学案 苏教版选修2-3

2020高中数学 第1章 计数原理 1.3 组合教学案 苏教版选修2-3

2020版高中数学 第一章 计数原理 1.3 第2课时 组合的应用学案 苏教版选修2-3

高中数学第一章 计数原理教案 1.2.2组合选修2-3