北师大版八年级数学下册《第一章 三角形的证明》每日一题(含答案)

《第一章三角形的证明》每日一题1.已知在△ABC中，AB=AC．（1）若△ABC的一边长为3，周长为12，则AB=________；（2）如图①，若点D在BC的延长线上，∠ACD=110∘，则∠BAC=________；（3）如图②，若点D在BC的延长线上，AC=DC，∠BAC=40∘，则∠D=________；（4）如图③，若D是AC上一点，且AD=BD=BC，求∠A的度数；（5）如图④，若E是AC上一点，且BE是△ABC的中线，BE把△ABC的周长分为12和15两部分，求△ABC 的三边长；（6）如图⑤，若AD是△ABC的角平分线，且△ABC周长为20，AD=6，求△ACD的周长．【答案】(1)92(2)40∘(3)35∘(4)∠A=36∘；(5)分为两种情况：①AB=AC=8,BC=11；②AB=AC=10,BC=7；(6)△ACD的周长为16.2.如图，在等边△ABC中，F为BC的中点，D为BC上的动点，以AD为边作等边△ADE，过点F作AB的平行线FG，交AE于点G．（1）特例发现如图①，当点D与点F重合时，直线CE和AB的位置关系是________；DG与AE的位置关系是________．（2）类比探究如图②，当点D移动到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，AB=AC=BC，∠ADB=60∘，过点A作AE⊥BD于点E，过点E作EF//CD交AC于点F，若AD=5，CD=3，请直接写出线段EF的长度．2【答案】（1）CE//AB,DG⊥AE（2）结论仍然成立．证明如下：∵△ABC和△DAE均为等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60∘，AB=AC，AD=AE，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD△ACE，∴∠ACE=∠ABF=60∘，∴∠ACE=∠BAC，∴AB//CE．∵FG//AB，∴AB//FG//CE，∵点F是BC的中点，∴点G是AE的中点，∵△ADE为等边三角形，∴DG⊥AE．（3）线段EF的长为7．44.在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0∘<α<180∘)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．(1)如图，当α=60∘时，延长BE交AD于点F．①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF=DF；③请直接写出BE的长.(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．【答案】解：(1)①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60∘得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=60∘，∴△ABD是等边三角形；②由①得△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60∘得到△ADE，∴AC=AE，BC=DE，又∵AC=BC，∴EA=ED，∴点B、E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF=DF；③由②知BF⊥AD，AF=DF，∴AF=DF=3，∵AE=AC=5，∴EF=4，AB)2=3√3，∵在等边三角形ABD中，BF=√AB2−AF2=√AB2−(12∴BE=BF−EF=3√3−4.(2)如图所示，∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180∘，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180∘，∴∠BAE=∠ABC，∵AC=BC=AE，∴∠BAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC，CE，∴AB⊥CE，且CH=HE=12∵AC=BC，AB=3，∴AH=BH=12则CE=2CH=8，BE=5，∴BE+CE=13．4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连结AD，CD．（1）求证：△ADE≅△CDB；（2）若BC=√3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30∘，E为AB边的中点，∴BC=EA，∠ABC=60∘．∵△DEB为等边三角形，∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60∘，∴∠DEA=120∘，∠DBC=120∘，∴∠DEA=∠DBC，∴△ADE≅△CDB(SAS)．（2）解：如解图，作点E关于直线AC对称点E′，连结BE′交AC于点H．则点H即为符合条件的点，连结AE′．由作图可知：EH+BH=BE′，AE′=AE，∠E′AC=∠BAC=30∘．∴∠EAE′=60∘，∴△EAE′为等边三角形，AB，∴EE′=EA=12∴∠AE′B=90∘，在Rt△ABC中，∠BAC=30∘，BC=√3，∴AB=2√3，AE′=AE=√3，∴在Rt△ABE′中，由勾股定理得BE′=√AB2−AE′2=3，∴BH+EH的最小值为3．5.现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．如图①，若点O与点A重合，容易得到线段OM与ON的关系．(1)观察猜想如图②，若点O 在正方形的中心（即两条对角线的交点），OM 与ON 的数量关系是________；(2)探究证明如图③，若点O 在正方形的内部（含边界），且OM =ON ，请判断三角板移动过程中所有满足条件的点O 可组成什么图形，并说明理由；(3)拓展延伸若点O 在正方形的外部，且OM =ON ，请你在图④中画出满足条件的一种情况，并就“三角形在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O 所组成的图形”，写出正确的结论．（不必说明理由）【答案】OM =ON解：（2）三角板移动过程中所有满足条件的点O 可组成线段AC （对角线AC ）．理由如下：如解图①，过点O 分别作OE ⊥BC ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，则∠OEM =∠OFN =90∘．又∵∠C =90∘，∴∠EOF =∠MON =90∘，∴∠MOE =∠NOF ，在△MOE 和△NOF 中，∵{∠OEM =∠OFN∠MOE =∠NOF OM =ON，∴△MOE ≅△NOF(AAS)，∴OE =OF ．又∵OE ⊥BC ，OF ⊥CD ，∴点O 在∠C 的平分线上，∴三角板在移动过程中所有满足条件的点O 可组成线段AC （对角线AC ）．（3）画图如解图②，三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC或过点C且与AC垂直的直线．6.如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AC边上的一点，过点E作DE // AB交BC于点D，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）点E满足________时，点D是线段BF的三等分点；并计算此时△CEF的面积．【答案】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60∘，∵DE // AB，∴∠EDC＝∠B＝60∘，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90∘，∴∠F＝30∘，∵∠ACB是△CEF的外角，∴∠CEF＝60∘−30∘＝30∘，∴∠CEF＝∠F，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形；E是AC的中点7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90∘,DB=DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．(1)求证：AE=EF；(2)当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之间的数量关系式．【答案】(1)证明：∵∠DAB=90∘，点E是BD的中点，∴AE=12 BD,∵点E、F分别是DB、BC的中点，∴EF=12CD,又∵DB=DC，∴AE=EF；(2)解：∵AE=DE，∴∠EAD=∠ADE=α，∴∠AEB=2α，∴EF//CD，∴∠BEF=∠BDC=β，∵AF=AE,AE=EF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60∘，∴∠AEB+∠BEF=2α+β=60∘，即α，β之间的数量关系式是2α+β=60∘．8.如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．（1）求证：AE＝CD；（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．【答案】证明：∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，∴AB＝CB，BE＝BD，∴∠ABC＝∠DBE＝60∘，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，{AB=CB∠ABE=∠CBD BE=BD，∴△ABE≅△CBD(SAS)，∴AE＝CD．△PBQ 是等边三角形．证明如下：由（1）证明可知：△ABE ≅△CBD ，∴AE ＝CD ，∠EAB ＝∠DCB ，∵点P 、Q 分别是AE 、CD 的中点，∴AP =12AE ，CQ =12CD ，∴AP ＝CQ ，在△ABP 和△CBQ 中，{AB =CB∠EAB =∠DCB AP =CQ，∴△ABP ≅△CBQ(SAS)，∴∠PBA ＝∠QBC ，PB ＝QB ，∴∠QBP ＝∠PBC +∠QBC ＝∠PBC +∠PBA ＝∠ABC ＝60∘，∴△PBQ 是等边三角形．9.如图（1），在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连结BE ，CD ，点M ，N ，P 分别是BE ，CD ，BC 的中点，连结DE ，PM ，PN ，MN ．（1）观察猜想图（1）中△PMN 是________（填特殊三角形的名称）．（2）探究证明如图（2），△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，则△PMN 的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD=1，AB=3，请直接写出△PMN的周长的最大值．【答案】（1）等边三角形解：（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形．理由如下：连结BD，CE．由旋转可得∠BAD=∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60，又∵AD=AE，∴△ABD≅△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM=12CE，且PM//CE．同理可证PN=12BD且PN//BD，∴PM=PN，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，∴∠MPB+∠NPC=∠ECB+∠DBC=(∠ACB+∠ACE)+(∠ABC−∠ABD)=∠ACB+∠ABC=120，∴∠MPN=60，∴△PMN是等边三角形．（3）△PMN的周长的最大值为6．解法提示：易证在△ADE的旋转的过程中，△PMN恒为等边三角形．如图，当点E，A，C在同一线上，且点A在EC上时，△PMN的周长最大，易知此时点D，A，B在同一直线上．∵点M，P分布为BE，BC的中点，∴MP=12EC=12(1+3)=2，故△PMN周长的最大值为2×3=6．10.如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．(1)若∠DCE=35∘，∠ACB=________；若∠ACB=140∘20′，则∠DCE=________；(2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；(3)若保持三角尺BCE（其中∠B=45∘）不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD（其中∠D=30∘）绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD=α(0∘<α<90∘)，∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．【答案】145∘,39∘40′(2)互补.理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=180．∵∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB，∴∠ACB+∠DCE=180∘，即∠ACB与∠DCE互补．(3)当∠ACB是∠DCE的4倍，∴设∠ACB=4x，∠DCE=x，∵∠ACB+∠DCE=180∘，∴4x +x =180∘解得：x =36∘，∴α=90∘−36∘=54∘．11.如图，边长为4cm 的等边△ABC 中，点P ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（端点除外），点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，连接AQ ，CP 交于点M ，在点P ，Q 运动的过程中．(1)求证：△ABQ ≅△CAP ；(2)∠QMC 的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC 的度数；若有变化，请说明理由；(3)连接PQ ，当点P ，Q 运动多少秒时，△PBQ 是直角三角形？【答案】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABQ =∠CAP =60∘，AB =CA .∵点P ，Q 的速度相同，∴AP =BQ .在△ABQ 和△CAP 中，{AB =CA,∠ABQ =∠CAP,AP =BQ,∴△ABQ ≅△CAP .(2)解：∠QMC 的大小不发生变化，∵△ABQ ≅△CAP ，∴∠BAQ =∠ACP .∴∠QMC =∠QAC +∠ACP=∠QAC +∠BAQ =60∘.(3)解：设点P ，Q 运动x 秒时，△PBQ 是直角三角形，则AP =BQ =x ，PB =(4−x)，当∠PQB =90∘时，∵∠B =60∘，∴BP =2BQ ，即4−x =2x .解得，x =43.当∠BPQ =90∘时，∵∠B =60∘，∴BQ =2BP ，即2(4−x)=x .解得，x =83.∴当点P ，Q 运动43秒或83秒时，△PBQ 是直角三角形．12.如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，（1）连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ 是直角三角形？（3）如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【答案】解：(1)∠CMQ =60∘不变．∵等边三角形中，AB =AC ，∠B =∠CAP =60∘又由条件得AP =BQ ，∴△ABQ ≅△CAP(SAS)，∴∠BAQ =∠ACP ，∴∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60∘．（2）设时间为t ，则AP =BQ =t ，PB =4−t①当∠PQB =90∘时，∵∠B =60∘，∴PB =2BQ ，得4−t =2t ，t =43；②当∠BPQ =90∘时，∵∠B =60∘，∴BQ =2BP ，得t =2(4−t)，t =83；∴当第43秒或第83秒时，△PBQ 为直角三角形．（3）∠CMQ =120∘不变．∵在等边三角形中，BC =AC ，∠B =∠CAP =60∘∴∠PBC =∠ACQ =120∘，又由条件得BP =CQ ，∴△PBC ≅△QCA(SAS)∴∠BPC =∠MQC又∵∠PCB =∠MCQ ，∴∠CMQ =∠PBC =180∘−60∘=120∘13.我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA =PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，已知PA =PB 且PD =12AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC =5，AB =3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．【答案】解：应用：因为PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ，∴∠APD =45∘，故∠APB =90∘；探究：∵BC =5，AB =3，∴AC =√BC 2−AB 2=√52−32=4，①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2，∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能成立．故PA =2或78．14.如图(1)，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100∘，D是BC的中点．小明对图(1)进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80∘，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图(2)所示：①∠BEP=________；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是________；(2)请在图(3)中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．(3)当点P在线段AD上运动时，AE的最小值为________（直接写出答案）.【答案】50∘,EC // AB(2)如图(3)中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB=PC，∠BPE=40∘，∴∠BCE=12∵∠ABC=40∘，∴AB // EC．(3)如图(4)中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3．15.已知点D是∠BAC的平分线上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F在AF上有一点C，在AE的延长线上有一点B，使得CF＝BE．（1）过点D作DG⊥BC，连结CD、BD，求证：DG垂直平分BC；（2）当BC⊥AF时，若AE＝5，AC＝3，求BC的长．【答案】证明：如图1，连接CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝∠BED＝90∘在△BDE和△CDF中，{DE=DF∠BED=∠AFD BE=CF∴△BDE≅△CDF(SAS)∴BD＝CD∵DG⊥BC，∴BG＝CG∴DG垂直平分BC；如图2，由（1）知：DE＝DF∵AD＝AD∴Rt△ADE≅Rt△ADF(HL)∴AE＝AF＝5∵AC＝3，∴BE＝CF＝AF−AC＝5−3＝2∴AB＝AE+BE＝5+2＝7在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘∴BC=√AB2−AC2=√72−32=2√1016.四边形AOBC中，BC//OA，OB⊥OA，点E为线段OA延长线上一点，D为线段OB上一动点.(1)如图1，当AD⊥AC时，∠ODA的平分线DP与∠CAE的平分线AF的反向延长线交于点P.①求证：∠ADO=∠CAE；②求∠APD的度数.(2)如图2，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交CB于点M，∠BMD的平分线MN与∠DAO的平分线AN交于点N，当点D在运动的过程中，∠N的大小会发生变化吗？如果不变，请写出∠N的值.【答案】解：(1)如图1，∵OB⊥OA,AD⊥AC∴∠DAO+∠ADO=90∘,∠CAE+∠DAO=90∘，∴∠ADO=∠CAE；∵AD⊥AC,∴∠CAF+∠DAP=90∘.∵∠ODA的平分线DP与∠CAE的平分线AF的反向延长线交于点P，∠ADO=∠CAE，∴∠CAF=12∠CAE=12∠ADO=∠ADP∴∠ADP+∠DAP=90∘∴∠APD=90∘.(2)不变，∠ANM=45∘.理由：如图2，∵∠AOD=90∘,∴∠ADO+∠DAO=90∘∵DM⊥AD,∴∠ADO+∠BDM=90∘,∴∠DAO=∠BDM，又∵Rt△BDM中，∠BMD+∠BDM=90∘，∴∠DAO+∠BMD=90∘，又因为∠BMD的平分线MN与∠DAO的平分线AN交于N，∴∠BMN=12∠BMD,∠OAN=12∠DAO，∴∠BMN+∠OAN=12(∠DAO+∠BMD)=45∘.如图，过点N作NF//BC，则NF//AO，∴∠BMN=∠MNF,∠OAN=∠ANF，∴∠ANM=∠MNF+∠ANF=∠BMN+∠OAN=45∘.∴点D在运动过程中，∠ANM的大小不变，其值为45∘.17.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．(1)如图1，设点P的运动时间为t(s)，那么t=________(s)时，△PBC是直角三角形；(2)如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？(4)如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P，Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【答案】(1)32BQ，(2)当∠BPQ=90∘时，BP=12即3−t=0.5t，解得t=2；当∠BQP=90∘时，BP=2BQ，即3−t=2t，解得t=1.故t=1s或2s.(3)∵∠DCQ=120∘，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30∘，又∵∠A=60∘，∴AD=2AP，故有2t+t=3，解得t=1s；(4)△PCD与△QCD的面积相等.如图所示：作PE⊥AD于E，QG⊥AD延长线于G，则PE // QG，则易知∠CGQ=∠AEP，∠A=∠ACB=∠QCG=60∘，在△EAP和△GCQ中，因为{∠CGQ =∠AEP,∠GCQ =∠A =60∘,AP =CQ,∴△EAP ≅△GCQ(AAS)， ∴PE =QG ，∴△PCD 和△QCD 同底等高， ∴△PCD 与△QCD 的面积相等．。