运算方法和运算器

参数 字宽（位数） 单精度 32 双精度 64
指数宽（位数）
指数偏移 指数范围 数的范围 有效数宽
8
127 -126 ～ 127 10-38 ～ 1038 23
11
1023 -1022 ～ 1023 10-308 ～ 10308 52
2.1 数据与文字的表示方法
3) 十进制数串的表示方法： ①字符串形式——一个字节存放一个十进制的数位或符号位； ②压缩的十进制数串形式——一个字节存放两个十进制的数位。 2.1.2 数的机器码表示： 为了区别一般书写表示的数和机器中编码表示的数（如原码、 补码、反码、移码），通常将前者称为真值，后者称为机器数或 机器码。 机器数——称符号数字化(0/1对应+/-号)的数称为机器数；
例5—[X]补=01011，X=+1011；[X]补=11011，X=-0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ01
△ 表示数的个数—[X]补比X多1个
补码 真值 10„00 -2n 10„01 -(2n-1) 11„11 -1 00„00 0 00„01 +1 01„11 +(2n-1)
2.1 数据与文字的表示方法
*真值补码与真值负数补码的关系： 设纯整数[X]补=xn-1xn-2„x0，xi=0或1，则 当X≣0时，X = [X]补，其中xn-1=0， [-X]补 = 1xn-2„x0 +1 = xn-1xn-2„x0 +1 当X＜0时，[X]补 = 2n -|X|，其中xn-1=1， [-X]补 =|X|= 2n -[X]补 =11„1-[X]补+1 = xn-1xn-2…x0 +1 △ [X]补→[-X]补— [X]补的各位(含符号位)取反、末位加1； [-X]补→[X]补— [-X]补的各位(含符号位)取反、末位加1。 例6--[X]补=10110，[-X]补=01001+1=01010 练习3—若X=-01001，[X]补=？ 若[X]补=101010，X=？[-X]补=？
X
1-X=1+|X|
0≢X＜1
-1＜X≢0
原码表示法的特性：
①X与[X]原关系— ·[X]原用数字0/1替换X的符号，其余部分不变， ·[+0]原≠[-0]原， ·[X]原与X表示值的范围相同； ②运算方法—符号与数值分开运算(与手工运算一致)； ③适合的运算—适合于乘除法，加减法较复杂。
2.1 数据与文字的表示方法
尾数:是纯小数，给出有效数字的位数，决定了浮点数的精度。
指数:也称阶码，是整数定点表示，决定了浮点数的表示范围。
早期表示形式：
1
m
1
n
格式— Es
阶符
E
阶码
Ms
数符
M
尾数
2.1 数据与文字的表示方法
浮点格式在数轴上的特征： 表示范围——假设尾数及阶的基均为2。
负上溢区 负数区
+∞
下溢区 机器零
绝对零
例1—[+1101]原=01101；[-1101]原=11101 例2—设[X]原=1101，则X=-101 例3—设[+X]原=0000，则[-X]原=1000；
即[+0]原≠[-0]原
练习1—若X=-01000，[X]原=？ 若[X]原=101010，X=？ 例4—[+0.1001]原=0.1001；[-0.1001]原=1.1001 例5—[X]原=1.01，则X=-0.01
2.1 数据与文字的表示方法
3）反码表示法
*目的：作为真值求补码的一种过渡手段。
*纯整数反码定义： 设X=±xn-2„x0，xi=0或1，取模=2n-1，则 X 0≢X＜2n-1 [X]反 = (2n-1)+X (mod 2n-1) = (2n-1)+X -2n-1＜X≢0 *纯小数反码定义： 设X=±0.x-1„x-(n-1)，xi=0或1，模=2-2-(n-1)，则 [X]反 = (2-2-(n-1)) + X (mod 2-2-(n-1)) X 0≢X＜1 = (2-2-(n-1))+X -1＜X≢0 例1—[+0.1101]反=0.1101，[-0.1101]反=1.0010 *反码与补码关系：
真
值——把用+/-表示符号的数称为真值。
2.1 数据与文字的表示方法
1) 原码表示法：
设X=±xn-1„x0，xi=0或1，则[X]原=xnxn-1„x0，
X X原 n 2 X 2n X 2n X 0 0 X 2n
①正数——在数值位前加符号位0；
2.1 数据与文字的表示方法
2) 补码表示法： *目的：实现符号与数值一起运算。 (1)有模运算与补数 举例—将时针从10点拨向7点，有两种拨法： ①倒拨—10-3=7；②顺拨—10+9=7+12=7。 *有模运算：在“模”的范围内的运算。
模—有模运算中被自动丢失的数值，即结果计量范围； 运算特征—只计量小于模的部分，其余部分被丢弃； 同余—若A、B、M满足A=B+kM (k为有符号整数)， 则记 A≡B (mod M)，称B和A为模M的同余。 *补数：若a、b、M满足a+b=M，称a、b互为模M的补数。( 即a为b模M的补数，b为a模M的补数)
E e 127（单精度） E e 1023（双精度）
2.1 数据与文字的表示方法
浮点数的规格化： 当尾数的值不为0时，尾数域的最高有效位应为1。否则以修 改阶码的同时左右移小数点位置的办法，使其变成规格化数的形 式。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是1，故这一位经常 不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。
IEEE754标准的浮点格式： 有32位单精度、64位双精度两种格式和长度。
1
8
32
23
1
11
64
52
数符S
阶码E
尾数M
数符S
阶码E
尾数M
单精度浮点表示格式
双精度浮点表示格式
编码方式： ①数制—M和E均采用二进制方式(RM=RE=2)； ②码制—M为定点纯小数表示(做了改进)； E为定点纯整数移码表示(做了改进)； 移码方法： 浮点数的指数真值e变成阶码E时，需要将e加上一个固定的偏移值。
X 原 =0x n-1 x1x 0
②负数——在数值位前加符号位1；
X 原 =1x n-1 x1x 0
③ 零 ——零的原码有“+0”，“-0”之分；
+0原 =00000 - 0原 =10000
2.1 数据与文字的表示方法
纯小数原码定义： 设X=±0.x-1„x-(n-1)，则[X]原=x0.x-1„x-(n-1) [X]原 =
正上溢区 正数区
+∞
总长度不变时，如何提高浮点表示的范围？
方法1—增加阶的长度；方法2—增加尾数的基。
表示精度——①离数轴绝对零越近，精度越高； ②离数轴±∞越近，精度越低。 如何提高浮点表示的精度？
方法1—多种尾数长度(如单精度、双精度表示) 方法2—尾数规格化(使尾数的有效信息最大化)
2.1 数据与文字的表示方法
计算机组成原理
汪 沛
Email: wangpei_zuoye@
2013年
北京林业大学理学院
计算机组成原理
第2章 运算方法和运算器
计算机组成原理
本章结构
1
2 3 4 5 6 数据与文字的表示方法
定点加法、减法运算
定点乘法运算 定点除法运算 定点运算器的组成 浮点运算方法和浮点运算器
2.1 数据与文字的表示方法
2.1 数据与文字的表示方法
△ X→[X]补— 若X为正数，改符号位为0，其余各位不变； 若X为负数，改符号位为1，其余各位取反、末位加1 (即原码除符号位外，其余各位取反、末位加1) 例4—X=+0101，[X]补=00101；X=-0101，[X]补=11011 △ [X]补→X— 若最高位为0，改其为正号，其余各位不变； 若最高位为1，改其为负号，其余各位取反、末位加1
1
数据类型
2
存储和处理 的硬件代价
4
如何表示数据？
数值范围
数值精度
3
2.1 数据与文字的表示方法
2.1.1 数据格式： ①定点格式——数值范围有限，所需处理硬件较简单 ②浮点格式——数值范围很大，所需处理硬件较复杂 1) 定点格式： 约定机器中所有数据的小数点位置固定不变。 ①纯小数——小数点位于符号位和最高数值位之间 ②纯整数——小数点位于最低数值位的右边
Xn Xn-1
符号位
„
数值
X0
Xn Xn-1
符号位
„
数值
X0
纯小数
纯整数(有符号)
范围：
0≢|x| ≢1-2-n 定点数表示的运算
0≤|x| ≤2n-1
→
整数运算
2.1 数据与文字的表示方法
2) 浮点格式： 数的范围和精度分别表示，即小数点位置随比例因子的不同 而在一定范围内可以自由浮动。
十进制 N 10 E M M 尾数 R 基数 任意进制 N R EM E 指数
※正数补码最高位(符号位)为0，负数最高位为1 [+0000]补=[-0000]补=00000 ※数0的补码惟一
练习2—若X=-01000，[X]补=？
2.1 数据与文字的表示方法
例2—n=5、X≣0时，最大[X]补=01111，Xmax=24-1=+15 X＜0时，最小[X]补=10000，Xmin=-24 =-16 ※补码表示数的个数比原码多1个
X n+X (mod 2n) = [X]补 = 2 2n + X=2n -|X| 0≢X＜2n-1 -2n-1≢X＜0
说明—因X的计量范围为-2n-1-1～2n-1-1，故模为2n。 例1—[+0001]补=00001，[-0001]补=10 0000-0001=11111 [+1111]补=01111，[-1111]补=10 0000-1111=10001