高中数学2.3变量间的相关关系导学案新人教A版必修3

《2.3变量间的相关关系》
【学习目标】
1．了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义．
2．会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题． 【学习重点】变量间的相关性与回归直线方程 课前预习案 【知识链接】
问题1：在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?
好 中 差 你的数学成绩 你的物理成绩
问题2： 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？ 【知识梳理】 1．相关关系
(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的______性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．
(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关． 2．线性相关
(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做__________．
(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋a ^
时，使得样本数据的点到它的______________最小的方法叫做最小二乘法，其中a ^，b ^
的值由以下公式给出： 其中，b ^是回归方程的____________，a ^
是回归方程在y 轴上的______．
小结：
线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用． 自主小测
1、下列图形中具有相关关系的两个变量是( )
2、某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温/℃
18
13
10
－1
用电量/千瓦时
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^中b ^≈－2，则a ^
≈__________.
课 上 导 学 案 教师点拨1：
两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系． 教师点拨2：①相关关系与函数关系的异同 相同点：两者均是指两个变量的关系．
不同点：函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．
函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系． ②线性回归直线方程的性质
(1)回归直线过样本数据的中心．
所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(xn ，yn)为样本数据而言，(x ，y )为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心．
(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性．
如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b ＞0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b ＜0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关． 【例题讲解】
【例题1】 设对变量x ，y 有如下观察的数据： x 151 152 153 154
156
157
158
159 160 162 163 164 y
40
41
41
41.5 42
42.5 43
44
45
45
46
45.5
(1)画出散点图．
(2)判断变量x ，y 是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？ 【例题2】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x 3 4 5 6 y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^
； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
【例题3】 下列变量之间的关系属于相关关系的是( ) A ．圆的周长和它的半径之间的关系
B ．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系
C ．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势
D ．正方形面积和它的边长之间的关系
【当堂检测】
1．已知x
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( )
A ．3.25
B ．2.6
C ．2.2
D ．0
2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为__________千元．
3
则x ＝________，y ＝________，6
2
1
i
i x
=∑＝__________，
6
1
i
i
i x
y
=∑＝__________，回归直线
方程为__________．
4(1)线性回归方程y ＝bx a +的回归系数b 与a ； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【问题与收获】
基础知识答案：1．(1)随机 (2)左下 右上 左上 右下
2．(1)直线 回归直线 (2)距离的平方和 y －b ^
x 斜率 截距
自主小测答案：
1、 C A 项中显然任给一个x 都有唯一确定的y 和它对应，是一种函数关系；B 项也是一种函数关系；C 项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D 项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．
2、60 x ＝
18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋64
4
＝40，
则a ^＝y －b ^
x ≈40＋2×10＝60.
例题答案：
【例题1】 解：(1)画出散点图．
(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x 的值由小变大时，另一个变量y 的值也由小变大，所以它们具有正相关关系． 【例题2】 解：(1)散点图，如图所示．
(2)由题意，得∑4
i ＝1xiyi ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x ＝3＋4＋5＋6
4＝4.5， y ＝
2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3.5，
∑4i ＝1x2
i ＝32＋42＋52＋62＝86， 则b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，
a ^＝y －
b ^
x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^
＝0.7x ＋0.35.
(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，
故消耗能源减少了90－70.35＝19.65(吨)．
【例题3】 正解：因选项A ，B ，D 中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C 中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C 中的关系才是相关关系．故选C ．
当堂检测答案：1．B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(x ，y )，由取值表可计
算x ＝01344+++＝2，y ＝2.2 4.3 4.8 6.74+++＝9
2，知回归方程为y ＝0.95x ＋a ，又经过点(2，9
2)，代入得a ＝2.6.
2．7.502 当x ＝9千元时，y ＝0.66×9＋1.562＝7.502.
3．6.5 8 327 396 y ＝1.14x ＋0.59 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，
x ＝6.5，y ＝8，6
2
1
i
i x
=∑＝327，
6
1
i i
i x y
=∑＝396，回归直线方程为y ＝1.14x ＋0.59.。