高中数学 第三章 不等式章末复习课学案 苏教版必修5

第三章 不等式学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练运用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次________图象及与x 轴的交点；②相应的一元二次________的实根；③一元二次____________的解集端点．解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化．知识点二 规划问题1．规划问题的求解步骤如下： (1)把问题要求转化为约束条件； (2)根据约束条件作出可行域； (3)对目标函数变形并解释其几何意义； (4)移动目标函数寻找最优解； (5)解相关方程组求出最优解． 2．关注非线性：(1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域． (2)常见的非线性目标函数有①y －bx －a，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；②x －a2＋y －b 2，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )的距离．知识点三 基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x 1<x 2≤4，要是用求根公式来解就相当麻烦，用⎩⎪⎨⎪⎧f 且f ，1＜a ＜4且Δ>0则可化归为简单的一元一次不等式组．(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．跟踪训练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.类型二 规划问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z 越大还是越小．跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．类型三利用基本不等式求最值命题角度1 无附加条件型例3 设f(x)＝50xx2＋1.(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解． 跟踪训练3 已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．命题角度2 有附加条件的最值问题 例4 函数y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值． 跟踪训练4 设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值．1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为________．2．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为{x |－2<x <－14}，则a ＋b ＝________.3．设a>b>0，则a2＋1ab ＋1a a －b的最小值是________．4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．1．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．2．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．3．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．4．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．答案精析知识梳理 知识点一函数 方程 不等式 题型探究例1 解 M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M ＝∅，此时Δ<0；其二是M ≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2， 对方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)．①当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1,4]，满足题意； ②当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，M ＝{－1}[1,4]，不满足题意； 当a ＝2时，M ＝{2}⊆[1,4]，满足题意． ③当Δ>0时，a <－1或a >2. 设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2， 且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧f且f ，1＜a ＜4且Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，1＜a ＜4，a ＜－1或a >2，解得2<a ≤187，综上可知，当M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是(－1，187]．跟踪训练1 2解析 因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )， 所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >1，1＋m ＝6a，1·m ＝a⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2.例2 解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．设l 0：2x ＋y ＝0，l ：2x ＋y ＝z ，则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y 轴上的截距越大，即z 越大；当直线越往下移动，对应在y 轴上的截距越小，即z 越小．上下平移直线l 0，可得当l 0过点A (5,2)时，z max ＝2×5＋2＝12；当l 0过点B (1,1)时，z min ＝2×1＋1＝3.跟踪训练2 解 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y≥0，x ，y ∈N .所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示． 在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中， 经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A (2,1)， 即最优解为(2,1)．所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．例3 解 (1)当x >0时，有x ＋1x≥2，∴f (x )＝50x x 2＋1＝50x ＋1x≤25. 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)∵函数y ＝x ＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，∴f (x )＝50x ＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f (2)＝20.∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为20. 跟踪训练3 1解析 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.例4 4 解析 y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn≥1m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取等号．跟踪训练4 解 ∵1x ＋2y＝3，∴13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝1. ∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1 ＝(2x ＋y )×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝13⎝⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2 y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x＝4xy，即y ＝2x 时，取等号．又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.当堂训练1．10 2.－13 3.44．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a －2－a －－，解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为(－2,2]．。