合并法换元法解元次方程组
换元法解题方法
换元法解题方法我折腾了好久换元法解题这事儿，总算找到点门道。
说实话，换元法一开始我真的是瞎摸索。
我就知道这肯定是一种能把复杂问题变简单的方法，可到底怎么用呢，心里没底。
我最开始的尝试就是看到类似的式子就随便设个元。
比如说有一道题是关于分式的，式子特别长又很复杂，我就想那就设个元试试吧。
我把其中一部分设成了t，但是设完之后我发现，我还是不会做，而且还更乱了。
这才知道不能这么盲目地设元。
后来我又做了好多题目去总结经验。
我发现换元之前，一定要先仔细观察式子的结构。
就像是看一个迷宫一样，先要找到那些看起来比较规律的部分。
打个比方，如果是一个多项式，像那种多项式中多次出现同样的组合式子，这个组合式子就很可能是我们要设为元的部分。
比如说在一个多项式里，x²+ 3x一直重复出现，那我就试着设t = x²+ 3x。
还有一次我遇到一个方程，根号里面是一个二次函数，外面也是乱七八糟的和这个二次函数有关的式子。
我一开始没管那么多就换元，结果越换越乱。
后来我就知道了，像这种有根式的，要尽量把根式整体设为元，这样能把根号去掉，让式子看起来清爽很多。
再就是换元后，一定要记得把原来关于未知数的条件转化为关于所设元的条件。
比如说原来x有个取值范围是1到2，设t = x²+ 3x之后，你得算出这个t在x取1到2的时候t的取值范围是多少。
有时候设元可以不止设一个。
我之前做题就很害怕设多个元，觉得那样肯定更复杂。
结果有一道题，我被逼得没办法了，尝试设了两个元，发现真的把那道超级复杂的题给解出来了。
这就像你本来手里抓了一把乱线，你把它分成几小股去整理，反而更有条理了。
反正换元法这个东西呀，就得不断去实践，每次做错了就回头看看自己哪儿错了，是设元设错了，还是后面计算错了。
做错不可怕，多做几次就慢慢找到感觉了。
二元一次方程组的解法,知识要点和典型例题
二元一次方程组的解法，知识要点和典型例题【知识要点】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．要点三、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组【例1】用代入法解方程组：.【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：将①代入②得：③去括号，移项，合并，系数化1得：④把④代入①得：∴ 原方程组的解为：【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝____，y＝____.【答案】3，﹣2.【例2】用代入法解二元一次方程组：【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x的系数为1，所以把方程②中的x用y来表示，再代入①中即可.【答案与解析】解：由②得x＝5-y ③将③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2所以原方程组的解为．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式1】与方程组有完全相同的解的是（）A．x+y－2=0B．x+2y=0C．(x+y－2)(x+2y)=0D．【答案】D【变式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，则 x= ，y= .【答案】3,2类型二、由解确定方程组中的相关量【例3】方程组的解的值相等，则的值是 .【思路点拨】将代入上式，可得的值，再代入下面的方程可得值.【答案】1【解析】解：将代入②得，再代入①得.【总结升华】一般地，先将k看作常数，解关于x，y 的二元一次方程组再令x=m或y=m，得到关于m的方程，解方程即可．举一反三：【变式】若方程组的解x与y相等，求k.【答案】将代入上式得，再代入下式得.【例4】若方程组的解为，试求的值.【答案与解析】解：将代入得，即，解得.【总结升华】将已知解代入原方程组得关于的方程组，再解关于方程组得的值.类型三、加减法解二元一次方程组【例5】直接加减：(芜湖)解方程组【思路点拨】注意到方程组中y的系数互为相反数，可将两个方程直接相加即可消元．【答案与解析】解：①+②，得6x＝18，解得x＝3．将x＝3代入②，得4×3-3y＝11，解得．所以原方程组的解为．【总结升华】如果两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，可将两个方程直接相加或相减，即可消去这个未知数．【例6】先变系数后加减：【思路点拨】注意到方程组中x的系数成2倍关系，可将方程①的两边同乘2，使两个方程中x的系数相等，然后再相减消元．【答案与解析】解：②－①×2，得13y＝65．解得y＝5．将y＝5代入①，得2x-5×5＝-21，解得x＝2．所以原方程组的解为．【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等．举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：(1)×3：6x+15y=21 (3)(2)×2：6x+4y=10 (4)(3)－(4)：11y=11y=1代入(1)：2x+5=72x=2x=1∴【例7】建立新方程组后巧加减：解方程组【思路点拨】注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组．【答案与解析】解：①+②，得7x+7y＝7，整理得x+y＝1．③②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5．④解由③、④组成的方程组得原方程组的解为【总结升华】解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解．【例8】先化简再加减：解方程组【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元．【答案与解析】解：①×10，②×6，得③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．将y＝3代入③，解得x＝4．所以原方程组的解为【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解．。
专题06 一元二次方程特殊解的两种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
∴ y 2 y 3 0 ，
∴ y20或y30， ∴ y 3 或 y= 2 （舍去），
∴ x1 3，x2 3 ； （2）解：∵实数 m，n 满足： m2 7m 2 0，n2 7n 2 0 ， ∴实数 m，n 是方程 x2 7x 2 0 的两个实数根， ∴ m n 7，mn 2 ，
0
令t
y x
，则 4t2
3t 1 0
因式分解得： (4t 1)(t 1) 0 ，解得 t 1 或 t 1，即 y 的值是 1 或 1
4
x
4
故答案为： 1 或 1． 4
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
【变式训练 3】若 x y 1 x y 3 5 ，则 x y
∴ n m mn
m2 n2 mn
m n2 2mn
mn
72 2 2 2
45 ； 2
（3）解：设
2 x2
a，
y2
b，
∵
4 x4
2 x2
3,
y4
y2
3，
∴ a2 a 3，b2 b 3 ，∴ a2 a b2 b ，
∴ a2 b2 a b 0，∴ a ba b a b 0 ，
x
x 1
y
，那么原方程可化为（
）
A． y2 3y 1 0
B． y2 3 y 1 0
C． y2 y 3 0
D． y2 y 3 0 ．
【答案】A
【分析】设
x
x 1
y
，原方程中用
1 y
代替
x
1 x
，这样原方程转化为：
y
1 y
3
0
，然后把方程两边乘以
合并法换元法解元次方程组
合并法换元法解元次方程组GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-合并法、换元法解二元一次方程组（一）知识教学点1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤．2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组．（二）能力训练点1．培养学生的观察分析能力;2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．（三）德育渗透点消元，化未知为已知的数学思想．（四）美育渗透点通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．二、学法引导1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法．2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．三、重点、难点、疑点及解决办法（－）重点使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组．（二）难点灵活运用合并法、换元法的技巧．（三）疑点如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．四、课时安排一课时．五、教具学具准备电脑投影仪．六、教学过程一导运用导学案自主学习（一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组.（二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组（略）设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。
（三）总结二研 合作学习 研究探讨（一）例题解析 （1） ⎩⎨⎧-=+=+②10y 65x ① 1056y x （2） ⎩⎨⎧=+-=-+-②72009)-7(2010y 9)4(2x ① 3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧（二）练习题 （1）⎩⎨⎧=+=+② 79y 137x ① 61713y x （2）⎩⎨⎧=+=+②74y 1911x ① 1061119y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化三验 课堂小测验（略）设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。
浅议函数解析式的几种求法
浅议函数解析式的几种求法作者：常严凌来源：《散文百家·下旬刊》2015年第12期函数是高中数学教学的基础和重点，而函数解析式是函数的三种表示方法中最重要、最常见的一种，它体现了自变量与函数的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁。
有许多函数问题，能否顺利解决，往往取决于解析式能否顺利求解，同时，求解函数解析式也是高考中最常见的题型之一，这类题常常与其它知识融合在一起，以填空题、选择题、和解答题的形式出现。
尤其是在与函数有关的综合题中，求出函数解析式是解答其它问题的前提和基础。
因此，它在解决某些函数问题上起着至关重要的作用。
下面本人就结合自己的教学实践，将求解函数解析式常见的几种方法总结如下。
一、拼凑法定义法是求解析式的根本方法，也称“配凑法”，对形如f[h（x）]=g（x），求f（x）的问题，先用h（x）表示g（x），然后用x代替h（x）即可得f（x）得解析式。
例1、设f（x+1）=x2-3x+2，求函数f（x）解析式。
解：f（x+1）=x2-3x+2=（x+1）2-5（x+1）+6∴f（x）=x2-5x+6例2、已知：f（x-）=x2+-1，求f（x）的解析式。
解：f（x-）=（x-）2+2-1=（x-）2+1∴f（x）=x2+1二、换元法换元法是数学中重要的一种思想方法，在求解析式中也有充分体现。
形如f[h（x）]=g （x），求f（x）的问题，往往可设h（x）=t，从中解出x，带入g（x）换元来解。
例3、已知f（2x+1）=x2+1.求函数f（x）的解析式。
解：设t=2x+1，则x=t-1/2∴f（t）=（t-1/2）2+1即f（x）=（x-1/2）2+1三、待定系数法如题目中给出所求函数的特征，如一次函数可设f（x）=kx+b（k≠0），二次函数可设f （x）=ax2+bx+c（a≠0），反比例函数可设f（x）=k/x（k≠0），根据题目条件，列出方程或方程组，解出待定系数即可。
初中换元法解题技巧和方法总结
初中换元法解题技巧和方法总结嘿，同学们！今天咱就来讲讲初中数学里超有用的换元法解题技巧和方法。
咱先想想啊，有时候数学题就像一团乱麻，直接去解那可真是让人头疼。
但换元法呢，就像是一把神奇的剪刀，咔嚓一下，把这团乱麻剪成一段段好处理的小线头。
比如说，遇到那种式子特别长、特别复杂的方程或者代数式，换元法就派上大用场啦！咱可以把其中的一部分看成一个整体，给它换个“新名字”，这样不就简单多了嘛。
就好比你有个特别难记的朋友名字，你给他起个好记的外号，那下次提起他不就容易多了嘛。
举个例子哈，看到一个式子，里面有个部分一直重复出现，那咱就把它设成一个字母，比如设成 t。
然后呢，原来复杂的式子瞬间就变得清晰明了啦！换元法还能帮我们化繁为简呢！有些题目看上去超级复杂，各种式子纠缠在一起，让人摸不着头脑。
但用了换元法，把复杂的部分一替换，哇，就像拨开云雾见青天一样。
咱再想想，这换元法是不是就像给题目做了一次整容手术呀，把那些难看的、复杂的部分整得漂漂亮亮、简简单单的。
还有啊，换元法也能让我们的解题思路更加清晰。
就好像走在迷宫里，突然找到了一条明确的路。
同学们可别小瞧了这换元法哦，它能解决好多难题呢！有时候你苦思冥想半天都没头绪的题，用换元法一试，说不定就迎刃而解啦！那怎么用好换元法呢？这可得细心啦！首先得找对可以换元的部分，这就需要我们有一双敏锐的眼睛，能从复杂的式子中发现那个关键的部分。
然后呢，换元之后要记得把新的式子整理清楚，可别换了之后更乱啦！最后，解出答案后，还要记得把换的元换回来哦，不然可就闹笑话啦！总之呢，换元法是我们初中数学的一个好帮手，大家一定要好好掌握它呀！它能让我们在数学的海洋里畅游得更轻松、更愉快！相信大家只要多练习，多尝试，一定能把换元法用得炉火纯青，到时候什么难题都不怕啦！加油吧，同学们！。
高中数学解题的21个典型方法与技巧
中学数学解题的21个典型方法与技巧1、解决肯定值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把肯定值的问题转化为不含肯定值的问题。
详细转化方法有：①分类探讨法：依据肯定值符号中的数或表达式的正、零、负分状况去掉肯定值。
①零点分段探讨法：适用于含一个字母的多个肯定值的状况。
①两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
①几何意义法：适用于有明显几何意义的状况。
2、依据项数选择方法和依据一般步骤是顺当进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。
3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要依据有：①()2222a ab b a b ±+=± ①()2222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ ①()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦ ①222222224224244b b b b b b ac ax bx c a x x c a x x c a x a a a a a a ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫++=++=+⋅⋅++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、解某些困难的特型方程要用到换元法。
换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。
5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其步骤是：①设①列①解①写6、困难代数等式条件的运用技巧：右边化为零，左边变形。
①因式分解型：()()0---⋅---=，两种状况为或型。
①配成平方型：()()220---+---=，两种状况为且型。
7、数学中两个最宏大的解题思路：①求值的思路−−−−−→方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 ①求取值范围的思路−−−−−−→不等式思想与方法欲求范围字母的不等式或不等式组8的基本思路：把m 化成完全平方式。
高中数学21种解题方法
高中数学21种解题方法1.解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2.因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3.配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4.换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5.待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是： ①设②列③解 ④写6.复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型： (-----)(----)=0 两种情况为或型②配成平方型： (----)2+(----)2=0 两种情况为且型7.数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组 (2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8.化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9.观察法10.代数式求值方法有：(1)直接代入法 (2)化简代入法 (3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11.解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其他字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论 (3)分类写出结论12.恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
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合并法、换元法解二元一次方程组
（一）知识教学点
1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤．
2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组．
（二）能力训练点
1．培养学生的观察分析能力;
2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的数学思想．
（四）美育渗透点
通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法．
2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组．
（二）难点
灵活运用合并法、换元法的技巧．
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
电脑 投影仪．
六、教学过程
一导 运用导学案 自主学习
（一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组.
（二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组
（略）
设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。
（三）总结
二研 合作学习 研究探讨
（一）例题解析 （1） ⎩⎨⎧-=+=+② 10y 65x ①
1056y x
（2） ⎩⎨⎧=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ①
3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧
（二）练习题 （1）⎩⎨⎧=+=+② 79y 137x ①
61713y x （2）⎩⎨⎧=+=+② 74y 1911x ①
1061119y x
（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化
三验 课堂小测验（略）
设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。
并对学生的解题情况进行总体的评价，要本着激励的原则，使学生有成就感。