二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如

(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下 n+m.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2 ，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为 x1=,x2=

（2）解：9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为 x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

先将常数c移到方程右边： ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

当b^2-4ac≥0时，x+=±

∴x=(这就是求根公式 )

例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0( 注：X^2是X的平方）

解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为 x1=,x2=.

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△ =b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c 的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac ≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式： 2x2-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5

b^2-4ac=(-8)2-4 ×2×5=64-40=24>0

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解为 x1=,x2=.

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式

的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程

所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0

(3)6x2+5x-50=0( 选学）(4)x2-2(+)x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0( 方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0( 方程左边分解因式 )

∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0( 用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0( 十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,x2=-是原方程的解。

(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2)=0

∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为

万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在

用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握

的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，

待定系数法）。

二元一次方程练习题

一、判断

1、是方程组的解,,,, （）

2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）

3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（）

4、方程组，可以转化为（）

5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0 是二元一次方程，则a的值为±1（）

6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2,,,, （）

7、方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5,,,, （）

8、方程组有无数多个解,,,, （）

9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组,,,, （）

10、方程组的解是方程 x+5y=3的解，反过来方程 x+5y=3的解也是方程组的解,,, （）

11、若|a+5|=5，a+b=1则,,, （）