用换元法解二元一次方程组
上海弘文学校七年级数学下册第八单元《二元一次方程组》经典练习题(含解析)
一、选择题1．如果方程组54356x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解中的x 与y 互为相反数，则k 的值为（ ） A ． 1B ．1或1-C ．27-D ．5- C解析：C【分析】根据x 与y 互为相反数，得到y=-x ，代入方程组求出k 的值即可．【详解】解：由题意得：y=-x ， 代入方程组得：926x k x ⎧⎨-⎩＝＝， ∴x=-3解得：k=-27．故选：C ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．2．下列方程中是二元一次方程的是（ ）A ．(2)(3)0x y +-=B ．-1x y =C ．132x y=+ D ．5xy = B 解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．【详解】解：(2)(3)0x y +-=化简得3260xy x y -+-=，最高次是2次，故A 选项错误； -1x y =是二元一次方程，故B 选项正确；132x y=+不是整式方程，故C 选项错误； 5xy =最高次是2次，故D 选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，正确的掌握二元一次方程的概念是解题的关键． 3．如图，长方形ABCD 被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD 的周长为l ，若图中3个正方形和2个长方形的周长之和为94l ，则标号为①正方形的边长为（ ）A ．112l B ．116l C ．516l D ．118l B 解析：B 【分析】 设两个大正方形边长为x ，小正方形的边长为y ，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可．【详解】 解：长方形ABCD 被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴两个大正方形相同、2个长方形相同．设小正方形边长为x ，大正方形的边长为y ，∴小长方形的边长分别为()y x -、()x y +，大长方形边长为()2y z -、()2y x +．长方形周长l =，即：()()222y x y x l -++⎤⎣⎦=⎡， 8y l ∴=，18y l ∴=． 3个正方形和2个长方形的周长和为94l ， ()()9244224y x x y y x l ∴⨯++⨯⨯+⎤⎣⎦=⎡+-，91644y x l ∴+=， 116x l ∴=． ∴标号为①的正方形的边长116l ． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系． 4．方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，…“则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒斛，则可列方程组正确的是（）A．5253x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩C．5352x yx y+=⎧⎨=+⎩D．5=+352x yx y⎧⎨+=⎩B解析：B【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．【详解】设一个大桶盛酒 x 斛，一个小桶盛酒 y 斛，根据题意得：5352x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选B.【点睛】根据文字转化出方程条件是解答本题的关键.5．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有()A．1种B．2种C．3种D．4种B解析：B【分析】首先设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解.【详解】解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：3x+5y=35，y=7-35 x，∵x、y都是正整数，∴x=5时，y=4；x=10时，y=1；∴购买方案有2种．故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.6．由方程组71x my m+⎧⎨-⎩＝＝可得出x与y的关系式是（）A．x+y=8 B．x+y=1 C．x+y=-1 D．x+y=-8A 解析：A【分析】将第二个方程代入第一个方程消去m即可得．【详解】71x m y m +⎧⎨-⎩＝①＝②，将②代入①，得：x+y-1=7，则x+y=8，故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．已知x ，y 满足方程组4,5,x m y m +=⎧⎨-=⎩则无论m 取何值，x ，y 恒有的关系式是（ ） A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．9x y +=D ．9x y -=- C 解析：C【分析】由方程组消去m ，得到一个关于x ，y 的方程，化简这个方程即可．【详解】解：将5m y =-代入4x m +=，得54x y +-=，所以9x y +=.故选C.【点睛】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．8．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．253x y x y-=+ B ．x+y=1 C ．2115x y =+ D ．3x+1=2xy B解析：B【解析】 根据二元一次方程的定义对四个选项进行逐一分析．解：A 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；B 、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，故本选项正确；C 、D 、含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故本选项错误． 故选B ．9．已知1,2x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-C解析：C【分析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值．【详解】 把1,2x y =⎧⎨=⎩代入方程24x ay +=，得224a +=， 解得1a =.故选C.【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10．已知方程组2325x y x y +=⎧⎨-=⎩，则39x y +的值为（ ） A ．2-B ．2C ．6-D ．6C解析：C【分析】方程组两方程相减求出x+3y 的值，进而即可求得3x+9y 的值．【详解】 2325x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①-②得：32x y +=-，∴()39336x y x y +=+=-，故选：C ．【点睛】本题考查了求代数式的值以及解二元一次方程组，解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．灵活运用整体代入法是解题的关键．二、填空题11．如果方程组43123392x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩与方程y ＝kx －1有公共解，则k ＝______．【分析】先解方程组得再将代入y ＝kx －1得3k-1=0解方程即可【详解】解方程组得将代入y ＝kx －1得3k-1=0解得k=故答案为：【点睛】此题考查同解方程问题解二元一次方程组解一元一次方程熟练掌握 解析：13【分析】 先解方程组43123392x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得30x y =⎧⎨=⎩，再将30x y =⎧⎨=⎩代入y ＝kx －1，得3k-1=0，解方程即可．【详解】 解方程组43123392x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得30x y =⎧⎨=⎩， 将30x y =⎧⎨=⎩代入y ＝kx －1，得3k-1=0，解得k=13，故答案为：13． 【点睛】 此题考查同解方程问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．12．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知()8,5B -，则点A 的坐标为__________．（-36）【分析】设长方形纸片的长为a 宽为b 由B 点坐标可以得到关于ab 的二元一次方程组解方程组可以得到a 和b 再根据纸片的摆放可以得到A 点坐标【详解】解：设长方形纸片的长为a 宽为b 由B 点坐标可以得到：解析：（-3，6）【分析】设长方形纸片的长为a ，宽为b ，由B 点坐标可以得到关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组可以得到a 和b ，再根据纸片的摆放可以得到A 点坐标．【详解】解：设长方形纸片的长为a ，宽为b ，由B 点坐标可以得到：285a a b -=-⎧⎨+=⎩，解之可得： 41a b =⎧⎨=⎩， ∴根据A 点位置可得其坐标为：()326x a b y a b ⎧=--=-⎨=+=⎩，故答案为（-3，6）．【点睛】本题考查点的坐标表示与长方形的综合运用，根据点的坐标及长方形的摆放位置求出长方形的长和宽后再根据长方形的摆放位置求出新的点坐标 ．13．若12x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程23ax y -=的解，则a 的值为________．【分析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值【详解】把代入方程得：解得：故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程的解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值解析：1-【分析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值．【详解】把12x y =⎧⎨=-⎩代入方程得：()223a -⨯-=， 解得：1a =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 14．某超市促销活动，将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒，分别是蒸蒸日上礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山竹三种水果成本之和，盒子成本忽略不计，蒸蒸日上每盒分别装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果8千克，4千克，3千克；独占鳌头每盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果3千克，8千克，6千克；蒸蒸日上每盒的总成本是每千克车厘子水果成本的14倍，每盒蒸蒸日上的销售利润是60%，每盒独占鳌头的售价是成本的43倍，每盒吉祥如意在成本上提高60%标价后打八折出售，获利为每千克车厘子水果成本的2.8倍，当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5:2:5，则销售的总利润率为______．44【分析】分别设每千克车厘子菠萝蜜山竹三种水果的成本价分别为xyz 再由题意分别求出每一种礼盒的成本利润则可求解【详解】设设每千克车厘子菠萝蜜山竹三种水果的成本价分别为xyz 由题意可得：∴蒸蒸日上的 解析：44%【分析】分别设每千克车厘子、菠萝蜜、山竹三种水果的成本价分别为x 、y 、z ，再由题意分别求出每一种礼盒的成本、利润则可求解．【详解】设设每千克车厘子、菠萝蜜、山竹三种水果的成本价分别为x 、y 、z ，由题意可得：84314x y z x ++=∴436y z x +=蒸蒸日上的总成本为：84314x y z x ++=，每盒的利润是：342(843)55x y z x ++=； 独占鳌头的总成本为：38632615x y z x x x ++=+⨯=， 每盒的售价是：4(386)3x y z ++， 每盒的利润是：()()41(386)386386533x y z x y z x y z x ++-++=++= 每盒吉祥如意的销售利润是2.8x ，则成本为：()2.810160%80%1x x =+⨯-， 当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5:2:5，总成本是：51425510150x x x x ⨯+⨯+⨯=， 总利润是：425255 2.8665x x x x ⨯+⨯+⨯= ∴总利润是6644%150x x= 故答案为：44%【点睛】本题考查了三元一次方程的应用；理解题意，能够通过所给的量之间的关系列出正确的方程是解题的关键．15．为减轻“新冠”带来的影响，西城天街商场决定在国庆期间开展促销活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、20元．商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的3倍，摸到白球次数为上午的2倍，摸到红球次数为上午的4倍；晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的4倍，摸到红球次数为上午的2倍，三个时间段返现总金额共为5020元，晚上返现金额比上午多840元，则下午返现金额为_______元．【分析】根据题意表示出上午下午晚上摸到黑白红的次数列数返现的金额式子确定出abc 的值代入计算即可；【详解】设上午黑白红摸到的次数分别是abc 则下午摸到黑白红的次数是3a2b4c 晚上摸到黑白红的次数是解析：2460【分析】根据题意表示出上午、下午、晚上摸到黑、白、红的次数，列数返现的金额式子，确定出a ，b ，c 的值代入计算即可；【详解】设上午黑、白、红摸到的次数分别是a ，b ，c ，则下午摸到黑、白、红的次数是3a ，2b ，4c ，晚上摸到黑、白、红的次数是a ，4b ，2c ，晚上返现金额比上午多840，∴36020840b c ⨯+⨯=，∴18020840b c +=，总返现为：5004201405020a b c ++=，根据题意：a ，b ，c 是大于零的正整数，当4b =时满足条件a ，b ，c 为正整数，∴4b =，6c =，5a =，即下午返现的金额为1510086024202460⨯+⨯+⨯=元；故答案是2460．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，准确分析计算是解题的关键．16．若关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为46x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222435435a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为______．【分析】利用换元法解二元一次方程组即可得【详解】方程组可变形为令则方程组可化为由题意得：此方程组的解为因此有解得即所求方程组的解为故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法观察两个方程组正解析：510x y =⎧⎨=⎩【分析】利用换元法解二元一次方程组即可得．【详解】方程组111222435435a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可变形为11122243554355a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令43,55m x n y ==， 则方程组可化为111222a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩， 由题意得：此方程组的解为46m n =⎧⎨=⎩， 因此有445365x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得510x y =⎧⎨=⎩， 即所求方程组的解为510x y =⎧⎨=⎩， 故答案为：510x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，观察两个方程组，正确换元是解题关键． 17．单项式-x 2m-n y 3与单项式3m+n 2x y 3可以合并，则多项式4m-2n+（-m-n ）2-2（n-2m ）2的值是______．-3【分析】根据两个单项式可以合并求出mn 的值再化简多项式代入即可【详解】解：单项式-x2m-ny3与单项式可以合并∴2m-n=33=m+n 组成方程组解得：m=2n=1当m=2n=1时故答案为：【点解析：-3【分析】根据两个单项式可以合并，求出m 、n 的值，再化简多项式代入即可．【详解】解：单项式-x 2m-n y 3与单项式3m+n 2x y 3可以合并 ∴2m-n=3，3=m+n组成方程组解得：m=2，n=1当m=2，n=1时 ()()224222m n m n n m -+---- 82918=-+-3=-故答案为：3-．【点睛】本题考查同类项定义，以及代入多项式求值，值得注意的是本题代入求值时，可以直接代入，化简后代入反而繁缛了．18．若方程组1122a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222a x y a c a x y a c +=-⎧⎨+=-⎩的解是x ＝_____，y ＝_____．-1-3【分析】把代入方程组可求出c1﹣c2＝2（a1﹣a2）c1﹣2a1＝3再根据方程组即可求出xy 的值【详解】解：把代入方程组得所以c1﹣c2＝2（a1﹣a2）c1﹣2a1＝3方程组①﹣②得（a解析：-1 -3【分析】把23x y =⎧⎨=⎩代入方程组1122a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩可求出c 1﹣c 2＝2（a 1﹣a 2），c 1﹣2a 1＝3，再根据方程组111222a x y a c a x y a c +=-⎧⎨+=-⎩①②，即可求出x 、y 的值． 【详解】解：把23x y =⎧⎨=⎩代入方程组1122a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩得， 11222323a c a c +=⎧⎨+=⎩， 所以c 1﹣c 2＝2（a 1﹣a 2），c 1﹣2a 1＝3，方程组111222a x y a c a x y a c +=-⎧⎨+=-⎩①②，①﹣②得，（a 1﹣a 2）x ＝a 1﹣a 2﹣（c 1﹣c 2）， 所以（a 1﹣a 2）x ＝﹣（a 1﹣a 2），因此x ＝﹣1，把x ＝﹣1代入方程组111222a x y a c a x y a c +=-⎧⎨+=-⎩①②中的方程①得，﹣a 1+y ＝a 1﹣c 1，所以y ＝2a 1﹣c 1＝﹣（c 1﹣2a 1）＝﹣3，故答案为：﹣1，﹣3．【点睛】本题考查二元一次方程组及其解法，掌握方程组的解法是解决问题的关键，解二元一次方程组的基本思想是消元．19．如果()2x 2y 1x y 50-+++-=，那么 x =______，y =____2【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性列出关于xy 的二元一次方程组然后利用加减消元法求解即可【详解】解：根据题意得：②-①得：3y ﹣6=0解得：y=2将y=2代入②中得：x+2﹣5=0解得：x解析：2【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，列出关于x 、y 的二元一次方程组，然后利用加减消元法求解即可．【详解】解：根据题意得：21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩①②， ②-①得：3y ﹣6=0，解得：y=2，将y=2代入②中，得：x+2﹣5=0，解得：x=3，所以，方程组的解是32x y =⎧⎨=⎩， 故答案为：3；2．【点睛】本题考查绝对值和偶次方的非负性、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法，能根据两个非负性的和为零，则这两个数为零列出方程组是解答的关键．20．若x a y b =⎧⎨=⎩是方程组2155x y x y -=⎧⎨-+=⎩的解，则a+4b ＝_____．6【分析】方程组两方程相加求出x+4y 的值将x 与y 的值代入即可求出值【详解】解：①+②得：x+4y ＝6把代入方程得：a+4b ＝6故答案为6【点睛】此题考查了二元一次方程组的解熟练掌握运算法则是解本题解析：6【分析】方程组两方程相加求出x+4y 的值，将x 与y 的值代入即可求出值．【详解】解：2155x y x y -=⎧⎨-+=⎩①②， ①+②得：x+4y ＝6，把x a y b=⎧⎨=⎩代入方程得：a+4b ＝6， 故答案为6【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题21．解方程（组）（1）21332x x x -+-= （2）3450529x y x y -+=⎧⎨+=⎩解析：（1）x ＝－7；（2）12x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）方程整理后，利用加减消元法解方程即可．【详解】解：（1）去分母得 ()()622133x x x --=+去括号得 64239x x x -+=+移项得 64392x x x --=-合并同类项得 7x -=系数化为1得 7x =-（2）方程组整理得345529x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②②×2+①得1313x =解得1x =把1x =代入②得529y +=解得2y =∴方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程组．解二元一次方程组的思想是消元思想，常用方法是代入法和加减法．22．已知多项式21231365m x y xy x +-+-+是六次多项式，单项式3x 2n y 5－m 的次数也是六，求：（1）m ，n 的值；（2）[2()]m n m m n ---+的值．解析：（1）m =3，n =2；（2）4m ，12【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；（2）先去括号，再合并同类项，代入求值即可．【详解】 （1）由题意得：126526m m n =⎧⎨=⎩＋＋－＋ 解得：32m n =⎧⎨=⎩答：m ，n 的值分别为3，2．（3）原式=m －（n －2m －m －n ）=m －n ＋2m ＋m ＋n=4m当m =3，n =2时，原式=4×3=12【点睛】本题考查了多项式和单项式的次数概念，掌握相关概念列出方程组是解题的关键． 23．通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为300g ；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．（1）设其中蛋白质含量是(g)x ，脂肪含量是(g)y ，请用含x 或y 的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量．（2）求每份营养午餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量．解析：（1）碳水化合物：255-x ；矿物质：2y ；（2）蛋白质质量为135g ，碳水化合物质量为120g ，脂肪质量为15g ，矿物质质量为30g【分析】（1）根据“矿物质的含量是脂肪含量的2倍，蛋白质和碳水化合物含量占85%”解答； （2）由题意得等量关系：蛋白质的质量+脂肪的质量=300×50%，四种成分含量之和=300，列出方程组，再解即可．【详解】解：（1）由题可知，矿物质的质量为2y （g ）．碳水化合物的质量为300×85%-x=255-x （g ）．（2）由题意可得：30050%2552300x y x y x y +=⨯⎧⎨-+++=⎩，解得13515x y =⎧⎨=⎩， ∴蛋白质质量为135g ，碳水化合物质量为255-135=120g ，脂肪质量为15g ，矿物质质量为2×15=30g ．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，表示出碳水化合物的质量，矿物质的质量，脂肪的含量，蛋白质的质量，再列方程． 24．为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．（1）求医用口罩和洗手液的单价；（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N 95口罩．若需购买医用口罩和N 95口罩共1200个，其中N 95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，．解析：（1）医用口罩的单价为2.5 元/个，洗手液的单价为30元/瓶；（2）有三种购买方案【分析】（1）设医用口罩的单价为x 元/个，洗手液的单价为y 元/瓶，根据题意得出方程组，解方程组即可；（2）设增加购买N95口罩a 个，洗手液b 瓶，则医用口罩（1200−a ）个，根据题意得6a ＋2.5（1200−a ）＋30b ＝5400，解得b ＝80−760a ，可得a 为60的倍数，且a≤200，进而得出结论．【详解】（1）设医用口罩的单价为x 元/个，洗手液的单价为y 元/瓶，根据题意得：80012054002001200805400x y x y ++⎧⎨+⎩＝＝ 解得： 2.530x y ⎧⎨⎩＝＝， 答：医用口罩的单价为2.5 元/个，洗手液的单价为30元/瓶；（2）设增加购买N95口罩a 个，洗手液b 瓶，则医用口罩（1200−a ）个，根据题意得：6a ＋2.5（1200−a ）＋30b ＝5400，化简，得：7a ＋60b ＝4800，∴b ＝80−760a ， ∵a ，b 都为正整数，∴a 为60的倍数，且a≤200，∴6073a b ⎧⎨⎩＝＝ ，12066a b ⎧⎨⎩＝＝ ，18059a b ⎧⎨⎩＝＝ ， ∴有三种购买方案．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用；由题意列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．25．2019年12月3日，140余件从明末清初延续至民国时期的民间晋绣在山西省太原美术馆展出，这是山西首次将这一传承百年的工艺品进行系统梳理．某校组织学生前去参观，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，其余客车恰好坐满．问这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？解析：学生人数为240人，原计划租用45座客车5辆【分析】此题注意总人数是不变的，设原计划租用45座客车x 辆，学生人数为y 人．根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，其余客车恰好坐满”列出方程组并解答．【详解】解：设原计划租用45座客车x 辆，学生人数为y 人．根据题意，得154560(1)y x x y -=⎧⎨-=⎩． 解，得5240x y =⎧⎨=⎩． 答：学生人数为240人，原计划租用45座客车5辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．此题要抓住不变量，可以有不同的解法，本题关键是找到等量关系．26．（1）解方程组：21035x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）解不等式组：2(1)35423xxx+-<⎧⎪-⎨-≥⎪⎩．解析：(1)81xy=⎧⎨=⎩；(2) 13x≤<.【分析】（1）利用加减消元法，先消去x，求得y，后代入求得x，从而得到方程组的解；（2）分别求得不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分即可．【详解】（1）由21035x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①-②，得5y=5，解得y=1；把y=1代入①，解得x=8，所以原方程组的解为=81 xy⎧⎨=⎩.（2）由2(1)35423xxx+-<⎧⎪⎨--≥⎪⎩①②，解不等式①得 x＜3；解不等式②得x≥1；所以原不等式组的解集为1≤x＜3．【点睛】（1）考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键；（2）考查了一元一次不等式组的解法，熟练求解，利用数形结合思想，灵活确定解集是解题的关键．27．解方程组：4511 22x yx y+=⎧⎨-=⎩．解析：321 xy⎧=⎪⎨⎪=⎩【分析】根据方程组特点，先给②×5得③，即可利用加减消元法求得x的值，再将x值代入②，便可求解y 值，则此方程组得解．【详解】解：451122x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ②×5，得10510x y -=③，①+③，得1421x =，32x =， 把32x =代入②，得3222y ⨯-=． 解得1y =， ∴原方程组的解为321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解题思路并能运用“消元法”准确求解是解题的关键．28．用指定的方法解下列方程组：（1）34194x y x y +=⎧⎨-=⎩（代入法）； （2）2353212x y x y +=-⎧⎨-=⎩（加减法）． 解析：（1）51x y =⎧⎨=⎩；（2）23x y =⎧⎨=-⎩ 【分析】（1）由②得出x ＝4+y ③，把③代入①得出3（4+y ）+4y ＝19，求出y ，把y ＝1代入③求出x 即可；（2）①×2+②×3得出13x ＝26，求出x ，把x ＝2代入①求出y 即可．【详解】解：（1）3419?4?x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， 由②得：x ＝4+y③，把③代入①得：3（4+y ）+4y ＝19，解得：y ＝1，把y ＝1代入③得：x ＝4+1＝5，所以方程组的解是51x y =⎧⎨=⎩；（2）235? 3212?x yx y+=-⎧⎨-=⎩①②，①×2+②×3得：13x＝26，解得：x＝2，把x＝2代入①得：4+3y＝﹣5，解得：y＝﹣3，所以方程组的解23 xy=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．。
二元一次方程组,掌握下面四种方法,类似题目解答无困难.doc
二元一次方程组，掌握下面四种方法，类似题目解答无困难二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况，下面就为大家说说：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
下面为大家介绍二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 或y 值；④将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7，y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
换元法在解二元一次方程组中的妙用讲课稿
解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组.
一、单参数换元
例1解方程组
解：由①，得 .
设 ，则 ， ，
代入②，得 .
∴ .
∴ ， .
∴原方程组的解是
二、双参数换元
例2解方程组
解：设 ， .
原方程组可化为 解得
∴ 即 解得
∴原方程组的解为
例3解方程组
解：设，.
原方程组可化为解得
∴，解得
三、均值换元法
例4解方程组解：由①可设源自， ，即 ， ，代入②，得
∴ .
∴
∴原方程组的解为
说明：本题若按常规设法，可设 ， ，此时 ， ﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设 ， ，此时 ， ，没有出现分类，使运算变得简捷.
换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。
用换元法解二元一次方程组课件
换元法适用于难以直接消元或代 入的二元一次方程组，尤其在方 程组系数复杂或无线性关系时更
具优势。
优点
简化计算过程，降低计算的复杂度 ，有时可以化难为易，快速找到答 案。
缺点
需要一定的技巧来选择合适的换元 方式，且对于初学者可能较难理解 和掌握。
06 练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
例题1
解方程组$left{ begin{array}{l} x + y = 7 xy = 10 end{array} right.$
例题2
解方程组$left{ begin{array}{l} x - y = 3 x^{2} - y^{2} = 9 end{ar意事项
在二元一次方程组中，换元法通常用 于消去一个变量，将方程组转化为一 个一元一次方程，从而求解。
换元法的应用场景
当二元一次方程组中存在两个未知数，且其中一个未知数的系数相同或互为相反 数时，可以使用换元法简化求解过程。
当二元一次方程组中存在一个未知数的系数相同或互为相反数时，也可以使用换 元法简化求解过程。
01
02
03
04
技巧1
选择新变量时要考虑消元的效 果，尽量选择系数较大的变量
作为新变量。
技巧2
在代回原方程求解时，要注意 验证解的合理性，避免出现不
符合原方程的解。
注意事项1
换元法适用于系数较为简单的 方程组，对于系数复杂或无解 的情况，需要采用其他方法。
注意事项2
在解题过程中要细心，避免计 算错误导致解不正确。
解方程组$left{ begin{array}{l} x + y = 7 xy = 10 end{array} right.$
专题 解二元一次方程组(计算题50题)(原卷版)
七年级下册数学《第八章二元一次方程组》专题解二元一次方程组（计算题50题）1．用代入法解下列方程组：（1）x−y=4，3x+y=16；（2）x−y=2，3x+5y=14．2．用代入法解下列方程组：（1）2x−y=33x+2y=8；（2）u+v=103u−2v=5．3．用代入法解下列方程组：（1）3x−y=2，9x+8y=17；（2）3x−4y=10x+3y=12.4．用代入法解下列方程组．（1）x+2y=4y=2x−3；（2）x−y=44x+2y=−2．5．用代入法解下列方程组：（1）5x+4y=−1.52x−3y=4（2）4x−3y−10=03x−2y=06．用代入法解下列方程组：（1）x−y=42x+y=5；（2）3x−y=29x+8y=17；（3）3x+2y=−8 6x−3y=−9．7．用代入法解下列方程组：（1）3x+2y=11，①x=y+3，②（2）4x−3y=36，①y+5x=7，②（3）2x−3y=1，①3x+2y=8，②8．用代入法解下列方程组：（1）5x+2y=15①8x+3y=−1②；（2）3(y−2)=x−172(x−1)=5y−8．9．用代入法解下列方程组：（1）x=6−5y3x−6y=4（2）5x+2y=15x+y=6（3）3x+4y=22x−y=5（4）2x+3y=73x−5y=110．用代入法解下列方程组：（1）2x+y=3x+2y=−6；（2）x+5y=43x−6y=5；（3）2x−y=63x+2y=2；（4）5x+2y=113y−x=−9；1．用加减法解下列方程组：（1）4x−y =143x +y =7 （2x−2y =7x−3y =−82．用加减法解下列方程组：（1）2m +7n =53m +n =−2（2）2u−5v =124u +3v =−2（3y 7=12+y 7=133．用加减法解下列方程组：（1）x−y =52x +y =4；（2）x−2y =33x +4y =−1．4．用加减法解下列方程组：（1）4x−3y =11，2x +y =13；（2）x−y =3，2y +3(x−y)=115．用加减法解下列方程组：（1）3μ+2t =76μ−2t =11 （2）2a +b =33a +b =4．6．（2023•市北区校级开学）用加减法解下列方程组：（1）3y−4x =04x +y =8； （2+y =3x−32y =−1．7．（2022秋•陕西期末）用加减法解下列方程组：（1）x−y =33x−8y =14； （2+2y =10=1+y 13．8．用加减法解下列方程组：（1）x +3=y ，2(x +1)−y =6； （2）x +y =2800，96%x +64%y =2800×92%．9．用加减法解下列方程组：（1）x−y =5，①2x +y =4；②（2）x−2y =1，①x +3y =6；②（3）2x−y =5，①x−1=12(2y−1)．②10．用加减法解下列方程组：（1）x +3y =62x−3y =3 （2）7x +8y =−57x−y =4（3）y−1=3(x−2)y+4=2(x+1)（4+y4=1−y3=−1．1．（2022春•新田县期中）用指定的方法解下列方程组：（1）2x−5y=14①y=−x②（代入法）；（2）2x+3y=9①3x+5y=16②（加减法）．2．（2022春•安岳县校级月考）解下列方程组：（1）3x−y=75x+2y=8（用代入法）；（2+n3=10−n4=5（用加减法）．3．（2022春•大连期中）用指定的方法解下列方程组：（1）x−3y=42x+y=13（代入法）；（2）5x+2y=4x+4y=−6（加减法）．4．（2022春•宁远县月考）请用指定的方法解下列方程组（1）5a−b=113a+b=7（代入消元法）；（2）2x−5y=245x+2y=31（加减消元法）．5．（2021秋•蒲城县期末）请用指定的方法解下列方程组：（1）2x+3y=11①x=y+3②（代入消元法）；（2）3x−2y=2①4x+y=10②（加减消元法）．6．（2022秋•历下区期中）请用指定的方法解下列方程组：（1）m−n2=22m+3n=12（代入法）；（2）6s−5t=36s+t=−15（加减法）．7．（2022春•泰安期中）用指定的方法解下列方程组（1）3x+4y=19x−y=4（代入消元法）；（2）2x+3y=−53x−2y=12（加减消元法）；（35(x−9)=6(y−2)−y13=2．8．（2021秋•历下区期中）请用指定的方法解下列方程组：（1）3x+2y=14x=y+3；（代入法）（2）2x+3y=123x+4y=17．（加减法）9．（2021春•沙河口区期末）用指定的方法解下列方程组：（1）y=2x−33x+2y=8（代入法）；（2）3x+4y=165x−6y=33（加减法）．10．用指定的方法解下列方程组：（1）3x+4y=19x−y=4（代入法）；（2）2x+3y=−53x−2y=12（加减法）．1．（2022•苏州模拟）用适当的方法解下列方程组．（1）x+2y=9y−3x=1；（2x−34y=1=4．2．（2022秋•锦江区校级期末）用适当的方法解下列方程组．（1）x=2y−14x+3y=7；（2）3x+2y=22x+3y=28，．3．用适当的方法解下列方程组：（1）x+2y=0，3x+4y=6；（2=2y1)−y=11（3）x+0.4y=40，0.5x+0.7y=35；（4+n−m4=−14，5(n1)12=2．4．（2022•天津模拟）用适当的方法解下列方程组：（1）x +y =52x−y =4； （2=y 24−y−33=112．5．（2021•越城区校级开学）用适当的方法解下列方程组：（1）2x−3y =7x−3y =7． （2）0.3p +0.4q =40.2p +2=0.9q ．6．（2022春•东城区校级月考）用适当的方法解下列方程组（1）x +y =52x +y =8； （2）2x +3y =73x−2y =4．7．（2021春•哈尔滨期末）用适当的方法解下列方程组（1）x +2y =93x−2y =−1 （2）2x−y =53x +4y =28．（2022春•椒江区校级期中）用适当的方法解下列方程组：（1）2x +3y =16①x +4y =13②； （2）2s t 3=3s−2t 8=3．9．（2022春•诸暨市期中）用适当的方法解下列方程组：（1）y=2x−1x+2y=−7（2+y3=7+y2=810．（2021春•南湖区校级期中）用适当的方法解下列方程组：（1）3x+2y=9x−y=8；（2=x y2=7．1．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组x+y=4①3(x+y)+y=14②在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以x=2 y=2这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②．2．（2021秋•乐平市期末）解方程组3x−2y=8⋯⋯⋯①3(3x−2y)+4y=20⋯．②时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=2y=−1这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组2x−3y=123(2x−3y)+5y=26．3．先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1．③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=0y=−1这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：=0=2y+1．4．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1，③然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=0①y=−1②这种方法被称为“整体代入法”，+2y=9．5．先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：2x−3y−2=03(2x−3y)+y=7．1．用换元法解下列方程组+2y=12−1y=342．用换元法解下列方程组：（1）3(x+y)+2(x−y)=36(x+y)−4(x−y)=−16（2+x5y3=2−(x+5y)=5．3．（2022春•云阳县期中）阅读探索：解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为x+2y=62x+y=6，解得x=2y=2，即：a−1=2b+2=2∴a=3b=0，此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组(a4−1)+2(b5+2)=102(a4−1)+(b5+2)=11；（2）能力运用已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=6y=7，求关于m、n的方程组a1(m−2)+b1(n+3)=c1a2(m−2)+b2(n+3)=c2的解．4+x−y10=3①−x−y10=−1②，你会解这个方程组吗？小明、小刚、小芳争论了一会儿，他们分别写出了一种方法：小明：把原方程组整理得8x+2y=90③2x+8y=−30④④×4﹣③得30y＝﹣210，所以y＝﹣7把y＝﹣7代入③得8x＝104，所以x＝13，即x=13y=−7小刚：设x y6=m，x−y10=n，则m+n=3③m−n=−1④③+④得m＝1，③﹣④得m＝2，=1=2，所以x+y=6x−y=20，所以x=13y=−7．小芳：①+②得2(x y)6=2，即x+y＝6．③①﹣②得2(x−y)10=4，即x﹣y＝20．④③④组成方程组得x＝13③﹣④得y ＝﹣7，即x =13y =−7．老师看过后，非常高兴，特别是小刚的方法独特，像小刚的这种方法叫做换元法，你能用换元法解下列方程组吗？+2x 3y 7=1−2x 3y 7=5．5．（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索（1）知识积累解方程组(a−1)+2(b +2)=62(a−1)+(b +2)=6．解：设a ﹣1＝x ，b +2＝y ．原方程组可变为x +2y =62x +y =6，解这个方程组得x =2y =2，即a−1=2b +2=2，所以a =3b =0，这种解方程组的方法叫换元法．（2）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(m 3−1)+2(n 5+2)=43(m 3−1)−(n 5+2)=5．（3）能力运用已知关于x ，y 的方程组a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解为x =3y =4，请直接写出关于m 、n 的方程组a 1(m +2)−b 1n =c 1a 2(m +2)−b 2n =c 2的解是 ．。
数学七年级下册二元一次方程组性质
数学七年级下册二元一次方程组性质数学七年级下册二元一次方程组性质导语：书是人类进步的阶梯，这句话说得真不错，我总是爱看书。
因为我从书本里明白了很多很多的道理。
下面是小编为大家整理的，数学知识，想要知更多的资讯，请多多留意CNFLA学习网!第一章二元一次方程组一、二元一次方程组 1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数(即次数)都是1的方程，叫二元一次方程。
②二元一次方程组：两个二元一次方程(或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程;或两个都是一元一次方程;但未知数个数仍为两个)合在一起，就组成了二元一次方程组。
2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等(即等式成立)的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。
注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组(对)数，用大括号联立;②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组;③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解(即无公共解)。
二元一次方程组的解的讨论：a1x + b1y = c1 已知二元一次方程组a2x + b2y = c2①、②、③、当a1/a2 ≠ b1/b2 时，有唯一解; 当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时，无解; 当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时，有无数解。
x + y = 4 2x + 2y = 8x + y = 4 x + y = 3 例如：对应方程组：①、②、③、 3x - 5y = 9 2x + 2y = 5例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：a +b = 2 ②、x = 4 ③、3t + 2s = 5 ④、x = 11 ①、b +c = 3 y = 5 ts + 6 = 0 2x + 3y = 03、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数;用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。
合并法、换元法解二元一次方程组doc资料
合并法、换元法解二元一次方程组（一）知识教学点1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤．2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组．（二）能力训练点1．培养学生的观察分析能力;2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．（三）德育渗透点消元，化未知为已知的数学思想．（四）美育渗透点通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．二、学法引导1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法．2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．三、重点、难点、疑点及解决办法（－）重点使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组．（二）难点灵活运用合并法、换元法的技巧．（三）疑点如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．四、课时安排一课时．五、教具学具准备电脑 投影仪．六、教学过程一导 运用导学案 自主学习（一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组.（二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组（略）设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。
（三）总结二研 合作学习 研究探讨（一）例题解析 （1） ⎩⎨⎧-=+=+② 10y 65x ①1056y x（2） ⎩⎨⎧=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ①3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧（二）练习题 （1）⎩⎨⎧=+=+② 79y 137x ①61713y x （2）⎩⎨⎧=+=+② 74y 1911x ①1061119y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化三验 课堂小测验（略）设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。
换元法解二元一次方程组
换元法解二元一次方程组1、观察方程，选择适当的方法解方程组32522(32)28x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩2、()()⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++254622y x y x y x y x3、若方程组 2313,3530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩ 的解是 8.3,1.2,a b =⎧⎨=⎩ 则方程组2(2)3(1)13,3(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ）（A ） 6.3,2.2x y =⎧⎨=⎩ （B ）8.3,1.2x y =⎧⎨=⎩（C ）10.3,2.2x y =⎧⎨=⎩（D ）10.3,0.2x y =⎧⎨=⎩ 4、三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解。
”提出各自的想法。
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”。
参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 。
5、探究题: 某同学 解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=--+6174)(36111y x y x y x y x 如下： 解：设A y x =+1, B y x =-1 则原方程组变化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-6174361B A B A 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121B A ∴⎩⎨⎧=-=+32y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x 经检验⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x 是原方程组的解 (1)你认为他的解答对吗？运用了_ ______思想方法。
(2)请你模仿他的解题方法，解方程组。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++6523232y x y x y x y x 二元一次方程组的解法1、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n m y x m y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．22、如果关于x 的方程2324+=-x m x 和m x x 32-=的解相同，则m = 。
专训4 二元一次方程组的五种特殊解法
2.
解方程组：ìïïíïïî
2 2
015 016
x＋2 x＋2
016 017
y＝2 y＝2
017，① 018.②
解：②－①，得x＋y＝1.③
由③，得x＝1－y.④
把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y＝2 017.
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入方程③，得x＝－1.
所以原方程组的解为
- 24 y2 6
=
-
44 y2
=
. 11
本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其 中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知 数的式子去表示另外两个未知数．
1. 用代入法解方程组：
ìïïïíïïïî
x ＋ y ＝0，① 34 （2 x＋y）－（3 2
y－x）＝62.②
解：由①，得 x = 3
y 4.
设 x = - y ＝k，则x＝3k，y＝－4k. 34
将x＝3k，y＝－4k代入方程②，
得2(3k－4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62.
解这个方程，得k＝2.所以x＝6，y＝－8.
ìïïíïïî
x＝-1， y＝2.
观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如 果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大， 而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未 知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再 用代入法或加减法求解，更为简便．
类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3.
解方程组：ìïïíïïî
018的值．
解：依题意有(1)
ìïïíïïî
3 x－y＝5， 4x－7 y＝1，(2)
ìïïíïïî
ax－by＝4， ax＋by＝16.
二元一次方程公式
二元一次方程公式小编寄语：对于二元一次方程公式，同学们知道多少呢。
下面小编为大家整理了二元一次方程的公式，供大家参考。
设ax+by=c，dx+ey=f，x=（ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。
消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
如:｛5x+6y=72x+3y=4,变为｛5x+6y=74x+6y=8 消元的方法代入消元法。
加减消元法。
顺序消元法。
（这种方法不常用）消元法的例子（1)x-y=3（2)3x-8y=4（3)x=y+3代入得（2）3（y+3)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（3）另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1要想掌握好这些二元一次方程公式，那么就要通过大量的练习，同学们现在就动手吧。
专题07 二元一次方程组(归纳与讲解)(原卷版)
专题07 二元一次方程组【专题目录】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【题型】一、二元一次方程组的有关概念 【题型】二、用代入法解二元一次方程组 【题型】三、用加减法解二元一次方程组 【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组 【题型】五、同解方程组 【题型】六、列二元一次方程组 【考纲要求】1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．【注意】1.解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式① 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值① 答:写出答案（2）加减消元法① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,① 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值2.解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法 【技巧归纳】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法 【类型】一、引入参数法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 5＋y 6＝0，①3（x －y ）－4（3y ＋x ）＝85.①【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组 题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.①题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②【类型】三、利用换元法解二元一次方程组 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4－x －y 2＝0.【类型】四、同解交换法解二元一次方程组5．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1的解相同，求(a －b)2 018的值． 【类型】五、运用主元法解二元一次方程组6．已知⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yzx 2＋y 2－z 2的值．技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 【类型】一、整体思想 1．先阅读，然后解方程组．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，①4（x －y ）－y ＝5②时，由①，得x －y ＝1，③然后再将③代入②，得4×1－y ＝5，解得y ＝－1，从而进一步求得x ＝0.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －2＝0，2x －3y ＋57＋2y ＝9. 2．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，求x ＋y ＋z 的值． 【类型】二、化繁为简思想3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋18y ＝17，①17x ＋16y ＝15②时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．解：①－②，得2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③ ③×16，得16x ＋16y ＝16，④②－④，得x ＝－1，将x ＝－1代入③，得y ＝2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.请用上述方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2 018x ＋2 017y ＝2 016，2 016x ＋2 015y ＝2 014.【类型】三、方程思想4．已知(5x －2y －3)2＋|2x －3y ＋1|＝0，求x ＋y 的值． 5．若3x 2m＋5n ＋9＋4y 4m－2n －7＝2是二元一次方程，求(n ＋1)m＋2 018的值．【类型】四、换元思想6．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，4（x ＋y ）－5（x －y ）＝2.【类型】五、数形结合思想7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？【类型】六、分类组合思想8．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝9，3ax －4by ＝18有公共解，求a ，b 的值．技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值1．若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则|m －n|的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．22．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程2ax －by ＝2的两组解，求a ，b 的值．【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值3．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解也是方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值．【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值4．已知m ，n 互为相反数，关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝60，3x －y ＝8的解也互为相反数，求m ，n 的值．【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值5．关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－6，ax －by ＝－4与⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝16，bx ＋ay ＝－8有相同的解，求(2a ＋b)2 018的值．【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值6．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋y ＝5，2x －by ＝13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－2；乙看错了方程组中的b ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7.(1)甲把a 错看成了什么？乙把b 错看成了什么？ (2)求出原方程组的正解． 【题型讲解】【题型】一、二元一次方程组的有关概念例1、若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD【题型】二、用代入法解二元一次方程组例2、二元一次方程组224x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是()A．2xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．11xy=⎧⎨=⎩【题型】三、用加减法解二元一次方程组例3、由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组例4、若方程组237351m nm n-=⎧⎨+=⎩的解是21mn=⎧⎨=-⎩，则方程组()()()()2132731521x yx y⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A．11xy=⎧⎨=⎩B．11xy=⎧⎨=-⎩C．31xy=⎧⎨=⎩D．33xy=⎧⎨=-⎩【题型】五、同解方程组例5、已知关于x①y的方程组2342x yax by-=⎧⎨+=⎩，与3564x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩，有相同的解，则a①b的值为① ①A．21ab=-⎧⎨=⎩B．12ab=⎧⎨=-⎩C．12ab=⎧⎨=⎩D．12ab=-⎧⎨=-⎩【题型】六、列二元一次方程组例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩二元一次方程组（达标训练）一、单选题1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x 元，每棵柏树y 元，则列出的方程组正确的是（ ）A ．23120220x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．23120220x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．23120220x y y x +=⎧⎨-=⎩D ．32120220x y x y +=⎧⎨+=⎩2．（2022·天津河北·一模）方程组282x y x y+=⎧⎨=⎩的解是( )A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．（2022·天津红桥·三模）方程组21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩的解是（ ）．A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ） A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+= 5．（2022·山东威海·一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．3-二、填空题6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为______．三、解答题8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得x ﹣y ＝1①将①代入①得：4×1﹣y ＝5，即y ＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝0，①方程组的解为1 xy=⎧⎨=-⎩请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程232235297x yx yy-=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩．二元一次方程组（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a则a、b的值分别是（）A．2和1B．1和2C．2和2D．1和12．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知12xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组{mx−ny=8nx+my=1的解，则43m n+的立方根为（）A．±1BC．±D．1-3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组233345x yx y-=⎧⎨-=⎩的解是31xy=⎧⎨=⎩．现给出另一个二元一次方程组2(21)3(31)33(21)4(31)5x yx y+--=⎧⎨+--=⎩，它的解是（）A．123xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩B．123xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩C．123xy=⎧⎪⎨=⎪⎩D．123xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（）A．2932y xy x=+⎧⎨=-⎩B．293(2)y xy x=+⎧⎨=-⎩C．2932y xy x=-⎧⎨=-⎩D．()2932y xy x=-⎧⎨=-⎩5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x，y的方程组436626x yx my-=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m的值为（）A ．4，4-，5-，13B ．4，4-，5-，13-C ．4，4-，5，13D ．4-，5，5-，13二、填空题6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x 人，库绢有y 匹，则可列方程组为______．三、解答题7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组： (1)1223334m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；(2)6234()5()2x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩； (3)0.10.3 1.3123x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩； (4)23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩． 8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元． (1)求排球和篮球的单价．(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的23，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？。
(2021年整理)二元一次方程组知识点整理(2)
二元一次方程组知识点整理(2)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二元一次方程组知识点整理(2)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第五章 二元一次方程组 知识点整理知识点1:二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意:1、(1)方程中的元指的是未知数,即二元一次方程有且只有两个未知数.(2)含有未知数的项的次数都是1。
（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式. (三个条件完全满足的就是二元一次方程)2.含有未知数的项的系数不等于零,且两未知数的次数为1。
即若ax m +by n=c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1，n=1例1:已知（a －2)x －by ｜a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____． 例2:下列方程为二元一次方程的有_________①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22=-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是( ）A ．3x-y 2=0B ．2x +1y =1C ．3x -52y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A 、228423119 (23754624)x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 【巩固练习】1，已知下列方程组：（1)32x y y =⎧⎨=-⎩，（2)324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩， 其中属于二元一次方程组的个数为（ ）A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 41、 若753313=+--m n m y x 是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。
专题01运算能力之解二元一次方程组专练(原卷版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：①当1a =时，方程组的解也是21x y a +=+的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 都为自然数的解有4对．正确的有几个（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：①当a ＝1时，方程组的解也是x +y ＝2a +1的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 的自然数解有3对；④若2x +y ＝8，则a ＝2．正确的结论有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．43．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y （单位：km ）与慢车行驶时间t （单位：h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A ．5h 3B ．3h 2C ．7h 5D ．4h 34．一次函数y ＝kx +b 的部分自变量与相应的函数值如表：xm 2﹣m y n p若满足m ＜1，n +p ＝b 2+4b +3，则n 与p 的大小关系为（）二、解答题5．在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：323538303336x y x y +=⎧⎨+=⎩①②的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x ，y 的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：①﹣②得2x +2y ＝2，所以x +y ＝1③．③×35﹣①得3x ＝﹣3．解得x ＝﹣1，从而y ＝2．所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩．请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：201620182020201920212023x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．6．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x +3y ）看成一个整体，把（2x ﹣3y ）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m ＝2x +3y ，n ＝2x ﹣3y ．原方程组化为743832m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解的6024m n =⎧⎨=-⎩，把6024m n =⎧⎨=-⎩代入m ＝2x +3y ，n ＝2x ﹣3y ，得23602324x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得914x y =⎧⎨=⎩所以，原方程组的解为914x y =⎧⎨=⎩．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）36101610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩；（2）3213x y⎪⎨⎪-=⎪⎩．7．已知12xy=⎧⎨=⎩是关于,x y的方程组14ax bybx ay-=-⎧⎨-=-⎩的一个解，求代数式()23a b a--的值．8．基本运算：计算：（1）2|1(2)+--（2；解方程组或不等式（组）：（3）233511x yx y-=⎧⎨+=⎩；（4）325153x x+-<-．（5）82213(1)x xx x-⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩，并把解集表示再数轴上．（6）已知二元一次方程x+3y＝10．①直接写出它所有的正整数解；②请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为24xy=-⎧⎨=⎩．9．阅读下列材料，完成相应任务．下表是2019－2020赛季CBA职业联赛积分榜（部分球队）球队比赛场数胜场负场积分广东东莞银行3028258新疆伊力特2922751辽宁本钢30201050山东西王30191149山西汾酒30181248福建豹发力30131743小明的思路是：设胜一场积x 分，则根据“广东东莞银行”胜负场数与积分的关系可以用含x 的式子表示负一场的积分为_______________________，再根据“新疆伊力特”胜负场与积分的关系可列一元一次方程_______________________．小亮的解法是：设胜一场积x 分，负一场积y 分，………………………第一步可得二元一次方程组201050191149x y x y +=⎧⎨+=⎩①②………………………第二步由①，得52y x =-③………………………第三步将③代入②，得()19115249x x +-=………………………第四步解这个方程，得2x =………………………第五步将2x =代入③中，得1y =………………………第六步解得21x y =⎧⎨=⎩………………………第七步答：胜一场积2分，负一积1分．………………………第八步任务1：将小明的思路中的空格处填起来；任务2：（1）小亮的解法中，列方程①②根据的等量关系分别是：方程①___________________________；方程②：__________________________________；（2）小亮解二元一次方程组的方法叫_______________________________；（3）小亮的解法中，第四步主要体现的数学思想是__________（选正确选项的代码）A ．转化思想B ．一般到特殊思想C ．分类思想D ．数形结合思想任务3：设胜一场积x 分，负一场积y 分，请你选择与小明和小亮不同的等量关系，列二元一次方程组______________________．（只列不解）10．计算：（1）22(1)-+-（2）计算1-（3）解方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩①②.（4）解方程组31328x y x y +=-⎧⎨-=⎩①，②．（5）解不等式组()1318x x ⎨⎪--<-⎩②11．规定一种运算*x y ax by =+（a ，b 为常数）（1）若**123,112==，求a ，b ；（2）在（1）的条件下，试比较()**1x y y x -+与*2 y y y -的大小；（3）无论y 取何值，都有*12y y =，若m 为正整数，且关于x 的不等式*mx z x b m ->-的解集为1x <-，求m 的值．12．（数学问题）解方程组3531x y x x y +=⎧⎨-+=⎩，①（）．②（思路分析）榕观察后发现方程①的左边是x +y ，而方程②的括号里也是x +y ，她想到可以把x +y 视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．（1）（完成解答）请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．解：把①代入②，得（2）（迁移运用）请你按照上述方法，解方程组523161a b a c a b c +=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩，①，②．③13．周日，小明一家从家里出发去40公里的郊外野炊，小明和妹妹小红早上8：00骑自行车先走．爸爸和妈妈开车10：00出发，半小时追上小明和小红，随即小明和小红乘坐爸妈的车一起前往目的地．设小明和小红所用的时间为x （小时），小明和小红所走的路程为1y （公里），爸妈所走的路程为2y （公里），图中OCB 表示1y 与x 之间的函数关系，线段AB 表示2y 与x 之间的函数关系．（1）爸妈开车的速度是每小时多少公里？（2）求1y 、2y 与x 的函数表达式．（3）如果小明和小红中途不乘坐爸妈的车，继续骑车前往，12：00能到达目的地吗？说明理由．14．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象．例如32xy=⎧⎨=⎩是方程x﹣y＝1的一个解，用一个点（3，2）来表示，以方程x﹣y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝1的图象，方程x﹣y＝1的图象是图中的直线l1（1）二元一次方程x＋y＝3的图象是直线l2，在同一坐标系中画出这个方程的图象；（2）写出直线l1与直线l2的交点M的坐标；（3）过点P（﹣1，0）且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为A，B，直接写出三角形MAB的面积．15．学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程3126x x a++-=，去分母时-1项忘记乘以6，得该方程的解为3x=-，乙同学在解方程组235323x byx by-=⎧⎨+=⎩时，看错了第一个方程，得该方程组的解为23xy=⎧⎨=⎩，试求a b+的值．16．小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午9：00，小聪从塔林出发，沿景区公路（如图1）步行15分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为36km/h．小慧也于上午9：00从古刹出发，骑自行车前往飞瀑．两人离古刹的路程y（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．已知古刹与塔林的路程为1500m．（2）求小聪乘坐景区班车的时间．（3）若小慧比小聪早到2分钟，求两人几时几分相遇．17．先阅读，再解方程组．解方程组723134x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩解：设m ＝x +y ，n ＝x ﹣y ，则原方程组化为723134m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩．解得612m n =⎧⎨=⎩，∴原方程组的解为93x y =⎧⎨=-⎩．这种解方程组的方法叫做“换元法”．（1）已知方程组7325ax by x by +=⎧⎨-=⎩的解是63x y =⎧⎨=-⎩，求方程组2()()76()2()5a x y b x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=⎩的解．（2）用换元法解方程组2133410x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩（其中|x |≠|y |）．18．如图，平面直角坐标系中，已知点A （a ，0），B （0，b ），其中a ，b满足23390a b --=．将点B 向右平移24个单位长度得到点C ．点D ，E 分别为线段BC ，OA 上一动点，点D 从点C 以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，同时点E 从点O 以3个单位长度/秒的速度向点A 运动，在D ，E 运动的过程中，DE 交四边形BOAC 的对角线OC 于点F ．设运动的时间为t 秒（0＜t ＜10），四边形BOED 的面积记为S 四边形BOED （以下面积的表示方式相同）．（1）求点A 和点C的坐标；（3）求证：在D ，E 运动的过程中，S △OEF ＞S △DCF 总成立．19．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组11122120x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设m ＝1x ，n ＝1y ，则原方程组可化为12220m n m n +=⎧⎨+=⎩，解之得84m n =⎧⎨=⎩，即18,1 4.x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1814x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．运用以上知识解决下列问题：（1）求值：11111111111111(1)()(1)()1113171113171911131719111317+++⨯+++-++++⨯++＝．（2）方程组635921x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩的解为．（3）分解因式：（x 2+4x +3）（x 2+4x +5）+1＝．（4）解方程组21132311122386x y x y +++⎧⨯-=⎨+⨯=⎩（5）已知关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，求关于x 、y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩的解．20．已知点1A ，2A ，…，n A 在射线OA 上，11OA =，122A A =，…，1n n A A n -=，且12.n OA OA OA <<⋅⋅⋅<．若2021i j A A =，其中i j <，求i 与j 的值．。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，它的一般形式可以表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f都是已知的实数，而x和y则是未知数。
求解二元一次方程的目标是确定x和y的值，使得方程组中的每个方程都成立。
求解二元一次方程的方法多种多样，下面将介绍几种常用的解法。
1. 替换法替换法是一种直观且易于理解的方法。
首先从其中一个方程开始，将其中一个未知数表示成另一个未知数的式子，然后代入另一个方程中，化简得到只包含一个未知数的一元方程，继而求解。
例如，考虑以下二元一次方程组：2x + 3y = 7 (1)5x - 2y = 8 (2)我们可以从方程(1)中解出x：2x = 7 - 3yx = (7 - 3y)/2将得到的表达式代入方程(2)中：5((7 - 3y)/2) - 2y = 87 - 3y - 2y = 8-5y = 1y = -1/5将y的值代入x的表达式中：x = (7 - 3(-1/5))/2x = 3/2因此，该二元一次方程组的解为x = 3/2，y = -1/5。
2. 消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它的基本思路是通过消去一个未知数，将方程组化简为只含一个未知数的一元方程，然后求解该方程得到一个未知数的值，再代入原方程组中求解另一个未知数。
考虑以下二元一次方程组：3x + 2y = 10 (3)2x - 5y = -8 (4)我们可以通过将方程(3)的两倍加到方程(4)上来消去x：(6x + 4y) + (2x - 5y) = 20 - 88x - y = 12 (5)然后，将方程(5)代入方程(3)中消去y：3x + 2(-8 + 5x) = 103x - 16 + 10x = 1013x = 26x = 2将x的值代入方程(3)或(4)中求解y：3(2) + 2y = 106 + 2y = 102y = 4y = 2因此，该二元一次方程组的解为x = 2，y = 2。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解的情况：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
三、二元一次方程的解法：1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1、代入消元法2、加减消元法3、教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例：13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例3：x:y=1:45x+6y=29令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=2929t=29t=1 所以x=1,y=4四、列方程（组）解应用题（一）、其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
用换元法解二元一次方程组
“把水倒掉”,这就是化归,这就 是数学家常用的方法. 换元法是初中数学的一种重要解题方 法,是化归思想在数学中的一种体现. 通过换元, 可把复杂问题简单化, 把 未知转化为已知或可知. 下面我们举例说明换元法在解方程组 中的应用.
复习方程组的解法：
一、找两位同学解下列方程组
5m n 16 (1) 3m 5n 14 5a b 16 (2) 3a 5b 14
x 1 3 x 8 1 ，解得 1 y 1 2 y 1
即为原方程组的解.
C
ax by c x 3 思考题2.已知方程组 的解为 . y 4 m x ny p
3ax 2by c 1解方程组 . 3m x 2ny p a( x 1) 2by c 2解方程组 . m( x 1) 2ny p 3ax 2by 5c 3解方程组 . 3m x 2ny 5 p
a ( x 1) b 2 y c 解：原方程组可化为 . m ( x 1) n 2 y p
x 1 3 x 4 由已知得 , 解得 2y 4 y 2
3ax 2by 5c 3解方程组 . 3m x 2ny 5 p
两式相加得：11a=22,a=2. 将a=2代入方程1得:b=1.
a 2 ∴原方程组的解是 . b 1
5( x 2) (3 y ) 16 练习 1.解方程组 3( x 2) 5(3 y ) 14
解：设x-2=m,3-y=n.则原方程组可化为
5m n 16 m 3 ，解得 . n 1 3m 5n 14 x 2 3 x 5 ，解得 y 2 3 y 1
二元一次方程公式
二元一次方程公式二元一次方程公式小编寄语：对于二元一次方程公式，同学们知道多少呢。
下面小编为大家整理了二元一次方程的公式，供大家参考。
设ax+by=c，dx+ey=f，x=（ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。
消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
如:｛5x+6y=72x+3y=4,变为｛5x+6y=74x+6y=8 消元的方法代入消元法。
加减消元法。
顺序消元法。
（这种方法不常用）消元法的例子（1)x-y=3（2)3x-8y=4特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（3）另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1要想掌握好这些二元一次方程公式，那么就要通过大量的练习，同学们现在就动手吧。
二元一次方程公式
二元一次方程公式下面为大家整理了二元一次方程的公式，供大家参考。
设ax+by=c，dx+ey=f，x=（ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。
消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
如:｛5x+6y=72x+3y=4,变为｛5x+6y=74x+6y=8消元的方法代入消元法。
加减消元法。
顺序消元法。
（这种方法不常用）消元法的例子（1)x-y=3（2)3x-8y=4（3)x=y+3代入得（2）3×（y+3)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（3）另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4要想掌握好这些二元一次方程公式，那么就要通过大量的练习，同学们现在就动手吧。
为庆祝元宵节，某市用灯饰美化街道，需采用A、B两种不同类型的灯笼200个，且B灯笼的个数是A灯笼的三分之二。
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下面我们举例说明换元法在解方程组 中的应用. 欧姆龙贸易（上海）有限公司
Hale Waihona Puke 习方程组的解法一、找两位：同学解下列方程组
(1)35mm5nn1164
(2)35aa5bb1164
另解：原方程组可化为
3a 2b 8 8a 2b 14
两式相加得：11a=22,a=2. 将a=2代入方程1得:b=1.
∴原方程组的解是ab
2 . 1
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练习1.解方程组35((xx22))5((33yy))1164
解：设x-2=m,3-y=n.则原方程组可化为
5m n 16 3m 5n 14
解方程组5 3
x 1 1 16 2y 1
x 1 5 14 2y 1
解：设 x 1 m, 1 n，则原方程组可化为 2y 1
5m n 16 3m 5n 14
，解得mn
3 . 1
2
x 1 1
y 1
3 ，解得
1
x y
8 1
欧姆龙贸易即（上为海）原有限方公程司 组的解.
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例1.解方程组35((aabb))5((aabb))1164
解：设a+b=m,a-b=n.则原方程组可化为
5m n 16 3m 5n 14
，解得
m
n
3 . 1
a
a
b b
3 1
，解得ab
2 1
即为原方程组的解.
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例1.解方程组35((aabb))5((aabb))1164
y y
c p
.
由已知得
x 1 3 ,
2y 4
解得
x y
4 2
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3解方程组33maxx
2by 2ny
5c 5p
.
解：原方程组可化为
a
m
3
5 3
x x
b n
2
5 2
y y
c p
.
5
5
由已知得
3
5 2
x y
3 ,
4
解得
x5 y 10
5
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用换元法解 二元方程组
王忠 郑州市第二十六中学
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曾经有人对物理学家和数学家提出了这样一个 问题：“假设在你面前有煤气灶,水龙头、水壶和 火柴,你想烧开水，应当怎样去做？”对此二者都 回答说:“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放在煤气 灶上.”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道: “如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有
C
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思考题2.已知方程组maxx
by ny
cp的解为
x y
3 4
.
1解方程组33maxx
2by 2ny
c p
.
2解方程组ma(( xx
1) 1)
2by 2ny
c p
.
3解方程组33maxx
2by 2ny
5c 5p
.
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1解方程组33maxx
2by 2ny
c p
.
解：原方程组可化为ma
3x 3x
b n
2 2
y y
c p
.
由已知得
3x 2 y
3 ,
4
解得
x y
1 2
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2解方程组ma(( xx
1) 1)
2by 2ny
c p
.
解：原方程组可化为ma
(x (x
1) 1)
b n
2 2
二、哪位同学能快速地说出答案？
(3)方程组35xx5yy1164 的解为
.
(4)若35((aabb))5((ccdd))1164 ,则a b c d 4 .
三、通过上面的观察，你发现了什么？
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二元一次方程组的解只 与方程组的系数有关， 与所选用的未知数(古称
元)无关.
，解得mn
3 . 1
x 3
2 y
13，解得
x y
5 2
即为原方程组的解.
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另解：原方程组可化为
5x y 23 ① 3x 5y 5 ②
①×5-②得：22x=110,x=5.
将x=5代入①得：y=2.
原方程组的解是
x y
5 .
2
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思考题1.
了足够的水,那么你又应该怎样去做？”这时物 理学家回答说:“点燃煤气,再把水壶放上去.” 而数学家回答说: “把水壶中的水倒掉,再把壶中
灌上水,点燃煤气, 把壶放在煤气灶上.” 你同意数学家的做法吗？数学家为什么要这样做呢？
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“把水倒掉”,这就是化归,这就是 数学家常用的方法.