信号检测

0≤t ≤T
由于 ρ = −1 ，所以这是一个理想的二元通信系统。总的错误概率为
Pe = ∫
∞
2 ε / N0
⎛ 2ε ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ exp ⎜ − u 2 ⎟ du = Q ⎜ ⎜ N ⎟ ⎟ 2π ⎝ 2 ⎠ 0 ⎠ ⎝
对于相干频移键控系统(CFSK)，二元信号为
y 0 (t ) = A sin ω 0 t ， y1 (t ) = A sin ω1t ， 0 ≤ t ≤ T
γ + = −γ − =
这时 PF = PM ，总的错误概率
ε(1 − ρ ) N0
(9.2.13)
⎛ ε(1 − ρ) ⎞ 1 Pe = ( PF + PM ) = Q ⎜ ⎟ ⎜ N0 ⎟ 2 ⎝ ⎠
当 ρ = −1 ，也即 y 0 (t ) = − y1 (t ) 时，则
(9.2.14)
⎛ 2ε ⎞ Pe = Q ⎜ ⎜ N ⎟ ⎟ 0 ⎠ ⎝
0 0
T
T
(9.1.12)
可见，相关积分可以用匹配滤波器来实现。同理，对信号 y0(t)的匹配滤波器的冲击响应为
h0 (t ) = y0 (T − t )
0<t <T
(9.1.13)
观测过程 z(t)通过匹配滤波器后，在 t=T 时的输出为
z0 (T ) = ∫ z (T − τ ) y0 (T − τ )dτ = ∫ z (t ) y0 (t )dt
其中，
⎧ [ I + ε(1 − ρ )]2 ⎫ exp⎨− ⎬ 2πN 0 ε(1 − ρ ) ⎩ 2 N 0 ε(1 − ρ ) ⎭ 1 ⎧ [ I − ε(1 − ρ )]2 ⎫ exp⎨− ⎬ 2πN 0 ε(1 − ρ ) ⎩ 2 N 0 ε(1 − ρ ) ⎭ 1
(9.2.4)
(9.2.5)
观测过程 z(t)通过匹配滤波器后，输出为
z1 (t ) = ∫ z (t − τ )h1 (τ )dτ = ∫ z (t − τ ) y1 (T − τ )dτ
−∞ 0
∞
T
当 t=T 时，
z1 (T ) = ∫ z (T − τ ) y1 (T − τ )dτ = ∫ z (t ) y1 (t )dt
其中，
N 0 ε (1−ρ )
⎧ u2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ du = Q( γ + ) 2π ⎩ 2⎭ γ + ε(1 − ρ )
N 0 ε(1 − ρ )
(9.2.9)
γ+ =
漏警概率为
(9.2.10)
PM = ∫
γ
−∞
⎧ [ I − ε (1 − ρ )]2 ⎫ − exp ⎨− ⎬ dI = 1 − Q(γ ) ε ρ N − 2 (1 ) 2π N 0ε (1 − ρ ) 0 ⎩ ⎭ 1
323
×
∫
y1(t)
T
0
(⋅)dt
+ Σ 门 限 比较器 判决
z (t )
×
y0 (t)
∫
T
(⋅)dt
0
η
图9.1 二元已知信号的检测的最佳接收机结构
此外，根据 3.6 节介绍的匹配滤波理论，对信号 y1(t)的匹配滤波器的冲击响应为
h1 (t ) = y1 (T − t )
0<t <T
(9.1.11)
Gv (ω) = N 0 / 2
ω <Ω
(9.1.2)
很显然，当Ω→∞时，带限过程趋于白噪声。带限过程的相关函数为
Rv (τ) =
噪声的方差为
2 σv =
N 0 Ω sin(Ωτ) ⋅ 2π Ωτ
(9.1.3)
N 0Ω 2π
当 τ = π / Ω 时， Rv ( π / Ω) = 0 ，即 v(0), v( π / Ω), v( 2π / Ω),...... 是相互正交的随机变量序列，由于
例 9.1 二元通信系统的检测性能
(9.2.15)
这时总的错误概率是最小的，我们称这样的系统为理想二元通信系统。
采用最小总错误概率准则讨论一下常见的二元通信系统的性能，对于相干相移键控(CPSK)系 统中，信号为
y 0 (t ) = A sin ω 0 t ， y1 (t ) = − A sin ω0 t
324
I = ∫ z (t ) y1 (t )dt − ∫ z (t ) y 0 (t )dt +
t0 t0
tf
tf
1 tf 2 [ y 0 (t ) − y12 (t )]dt ∫ t 0 2
(9.2.1)
那么判决表达式(9.1.10)可表示为
> N 0 ln η = γ I< 0 2 H
0
H1
(9.2.11)
325
其中
γ− =
γ − ε(1 − ρ )
N 0 ε(1 − ρ )
(9.2.12)
从(9.2.8)~(9.2.12)式可以看出，接收机的性能与信号的平均能量 ε 、归一化相关系数 ρ 、噪声的强 度 N 0 以及判决门限 η 0 有关，而与信号的波形是无关的。 如果采用最小总错误概率准则， 且假定先验概率相等， 即 P( H 0 ) = P( H 1 ) ， 则 η 0 = 1 ，γ = 0 ， 因此
⎧ 1 f ( z (t ) | H1 ) = lim f (z N | H1 ) = F exp ⎨− N →∞ ⎩ N0 Δt →0
同理，
∫ [ z (t ) − y (t )]
T
2
⎫ dt ⎬ (9.1.5) ⎭
⎧ 1 f ( z (t ) | H 0 ) = lim f (z N | H 0 ) = F exp ⎨− N →∞ ⎩ N0 Δt → 0
322
v(t ) 是高斯的，故 v(0), v(π / Ω), v(2π / Ω),...... 是相互独立的。因此，如果我们以Δt= π / Ω 的间隔
对观测过程进行均匀抽样，所得的观测值是相互独立的，且
f (z N | H i ) = ∏ f ( zk | H i )
k =1
N
⎛ 1 ⎞ =⎜ 2 ⎟ ⎝ 2πσv ⎠
2 ε 0 = ∫ y0 (t )dt , ε1 = ∫ y12 (t )dt , ε = 0 0
T
T
1 (ε 1 + ε 0 ) 2
(9.2.6)
分别代表信号 y 0 (t ) 、 y1 (t ) 的信号能量及它们的平均能量，
ρ = ∫ y0 (t ) y1 (t )dt / ε
0
T
(9.2.7)
⎛ Δt ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ πN 0 ⎠
N /2
N /2
⎧ N ⎫ ( zk − yik ) 2 ⎪ ∑ ⎪ ⎪ ⎪ exp ⎨− k =1 ⎬ 2 2σv ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎧ 1 exp ⎨− ⎩ N0
∑ (z
k =1
N
k
⎫ − yik ) 2 Δt ⎬ ⎭
T 0 1
i=0,1
(9.1.4)
(9.1.9)
或
H1
∫
T
0
z(t ) y1 (t )dt − ∫ z(t ) y0 (t )dt
0
T
T > N0 1 T 2 (t )dt ] = η ⋅ ln η0 + [∫ y12 (t )dt − ∫ y0 0 0 < 2 2
(9.1.10)
H0
从(9.1.10)式可以看出，在白噪声环境下二元已知信号的检测可用相关接收机实现，接收机结构如 图 9.1 所示。
(9.2.2)
虚警概率和漏警概率分别为
PF = ∫ p( I | H 0 )dI ， PM = ∫ p ( I | H 1 )dI
γ
−∞
∞
γ
(9.2.3)
因此要确定接收机的性能关键是要确定检测统计量 I 在不同假设下的概率分布密度。可以证明(参 见习题 XXX)。
p( I | H 0 ) = p( I | H 1 ) =
T 2 T 1 T 2 1 T [∫ z(t ) y1 (t )dt − ∫ z(t ) y0 (t )dt + ∫ y0 (t )dt − ∫ y12 (t )dt ] 0 2 0 2 0 N0 0
ln Λ[ z(t )] =
(9.1.8)
所以判决表达式为
T > 2 T 1 T 2 1 T [∫ z(t ) y1 (t )dt − ∫ z(t ) y0 (t )dt + ∫ y0 (t )dt − ∫ y12 (t )dt ] ln η0 0 < 2 0 2 0 N0 0 H0 H1

9.1 高斯白噪声中确定性信号的检测
考虑一个简单的二元通信系统，系统发送信号 y 0 (t ) 或 y1 (t ) ，两个信号是完全已知的，假定 接收机的观测时间间隔为(0,T)，由于信道噪声的影响，接收到的信号受到噪声的污染，因此接收机 观测到的过程为：
H 0 : z (t ) = y0 (t ) + v(t ) H1 : z (t ) = y1 (t ) + v(t )
为归一化相关系数，则虚警概率为
PF = ∫
在上式中令 u =
∞
γ
⎧ [ I + ε(1 − ρ )]2 ⎫ exp⎨− ⎬dI 2πN 0 ε(1 − ρ ) ⎩ 2 N 0 ε(1 − ρ ) ⎭ 1
，则
(9.2.8)
I + ε(1 − ρ ) N 0 ε(1 − ρ )
∞
PF = ∫ γ+ε (1−ρ )
∫ [ z (t ) − y (t )]
0 0
2
⎫ dt ⎬ ⎭