2.5平面向量的应用举例

所以： OD a,即有： a bc 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的 F1 是同个问题，抽象为数学模型如 下： 用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
把物理问题转化为数学模型为：
解（1） v = v1 0.5 96
2
（1）
B v1 A v
-
v2
2
= 96 km/h
所以
t= d v
=
60 ~ ~ 3.1（min）
v2
（2）
答：行驶的航程最短时，所用的时间 是3.1min。
（2） t = d = 0.5 60 = 3 （min） 10 v1 答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min
随堂练习
1.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2， 那么对角线AC的长是否确定？ D C
2.设 向 量AB a, AD b, 则AC 等于什么 ?向 量DB等 于 什 么 ?
2 2
b
A
a
B
3.AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？ 5.根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度 与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？
中λ∈R,则点P一定在（
（A）AC边所在的直线上 （C）AB边所在的直线上 【解析】选A.
）
（B）BC边所在的直线上 （D）△ABC的内部
∴C、P、A三点共线,∴P在AC边所在的直线上.
4.（2010·广州模拟）已知非零向量 AB , AC 和 BC 满足
则△ABC为（ （A）等边三角形
） （B）等腰非直角三角形 （D）等腰直角三角形
（C）非等腰三角形
【解析】选A.∵
表示的是∠BAC的平分线上的
一个向量，又与 BC 的数量积等于0，故BC与∠A的平分线垂
直，∴△ABC是等腰三角形.
又∵
,即cos∠BCA= 1 ,
2
∴∠BCA= ,∴△ABC是等边三角形.
3
5.若O为△ABC所在平面内一点，且满足( OB - OC )·( OB
（2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量 问题，用向量的有关法则解决问题！
（3）用数学的结果解决物理问题，回答相关 的物理现象。
例3：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流 v1 的速度 v2 = 2km/h。 500m （1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是正方形 C．四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形 D．四边形ABCD是邻边不垂直的菱形
4、已知作用于原点的两个力F1=（3,4）， F2=（2，-5），现增加一个力F，使这三个力 F1，F2，F的合力为0，则F=（ D ）
A（1,1） B（5，-1） C（-1，-9 ） D（-5,1）
+ OC -2 OA )=0,则△ABC的形状为_____.
【解析】由已知
∴△ABC为等腰三角形.
答案:等腰三角形
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物 理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术 中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向 量研究物理问题的相关知识！
1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中， 力、速度、加速度、位移等都是向量！ 2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的 加减法，运动的叠加也用到向量的合成！ 3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积
理论迁移
练习:用向量方法求证：直径所对的圆周角为直角。 已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90° 利用向量的数量积 B 可解决长度、角度、垂 直等问题
O A
图 2.5-4
C
1.三角形的三条高线具有什么位置关系？ 交于一点
2.设 向 量 PA a, PB b, PC c, 那 么PC BA 可 转 化 为 什 么 向 量 关? 系 3.对于PA⊥BC,PB⊥AC,用向 量观点可分别转化为什么结 论? 4.如何利用向量观点 证明PC⊥BA?
例题
例1：同一平面内，互成 120 的三个大小相 A 等的共点力的合力为零。 a
证：如图，用a，b，c表示这3个共点 力，且a，b，c互成120°，模相等 按照向量的加法运算法则，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD
B D 120º O
0
b
c
C
又由三角形的知识知：三角形OBD为 等边三角形，故 a与OD共线且模相等
备选例题
A
F
E
a

B
P D
b

c
C
练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？
D
E
R
F
T
C
1,建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果’翻译‘成几何关系.
A、等腰三角形 C、直角三角形 B、正三角形 D、等腰直角三角形
2、人骑自行车的速度为V1，风速为V2，则逆风行 驶的速度大小为（ C ） V1 D、 C、 V1 V2 B、V1 V2 A、V1 -V2 V2
AB+AD = AB-AD 3.平行四边形ABCD中，若 则下列判断正确的是( A )
3.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则 (1) (2)
a b 0 . a b _________
|a| . a a _____ a ______ | a | __________ . a
2
2
2
(3) | a b
≤ | a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立． | ____
G
探究： （1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？
F
F2
Fra Baidu bibliotek
F1
θ G θ 答：在（*）式中，当θ =0º 时， cos 2 最大， F1 最小且等于 2
F2
（2）F1 能等于 G 吗？为什么？
G 答：在（*）中，当 cos θ = 1 即θ=120º 时，F1 = G 2 2
小结： （1）为了能用数学描述这个问题，我们要先 把这一物理问题转化成数学问题。如上题目， 只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！
向量的夹角
ab cos a b
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
向量平行和垂直的坐标表示
设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)
a / /b x1 y2 x2 y1
a b x1 x2 y1 y2 0
2.5 平面向量应用举例
吴忠高级中学 马存喜
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
a b | a || b | cosθ
2.平面向量数量积的运算律.
(1)a b b a (2)( a) b (a b ) a (b ) (3)(a b ) c a c b c
为a， b的夹角 | a || b |
ab
(4)cos =
设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)
向量数量积的坐标表示 a b x1x2 y1 y2
向量的长度(模) |a |=
x12 y12
2 2 x x y y 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= 2 1 2 1
4.利用AC AC , 若求AC需要解决什么问题？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
A
B
一、选择题（每小题3分，共15分） 1.已知| a |=2| b |,且| b |≠0且关于x的方程x2+| a |x- a
· b =0有两相等实根，则向量 a 与 b 的夹角是（
（A ）-
6
）
（B ）-
3
（C ）
3
（D）2
3
【解析】选D.由已知可得Δ=| a |2+4 a· b =0， 即4| b |2+4·|2 b |·| b |cosθ=0, ∴cosθ=- 1 ,∴θ= 2 .
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
A
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所 以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的 方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。
v1
v
v2
变式训练
m/s，一艘小 船想以垂直于河岸方向8 m/s的速度驶向对岸， 则小船的静水速度大小为( D ) A．10 m/s C．2 15m/s
B
v1 v A v2
(2010年 高一统考) 河水的流速为2
B．6 m/s D．2 17 m/s
拓展训练：
1、△ABC中，已知 AB = AC =4，且AB AC=8 则△ABC的形状是（ B ）
5、已知向量a表示“向东航行3km”，b表示 “向南航行3km”，则a+b表示（ ） B A、向东南航行6km
C、向东北航行6km
B、向东南航行 3 2km
D、向东北航行3 2km
1．用向量解决平面几何问题
几何问题向量化
向量运算关系化
向量关系几何化. 2．用向量解决物理问题
物理问题转化为数学问题再用向量知识解决
2
3
2.如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最 大的是 （ ）
【解析】选A.利用数量积的几何意义，向量 PP 、 P P 、 1 3 1 4 、1P6 中， PP 在向量 P P 方向上的投影最大，故 PP · P1P2 PP 1 3 1 5 P
1 3 1 2
最大.
3.已知P是△ABC所在平面内的一点,若 CB =λ PA + PB ,其
F2 θ
G
F
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： G F1 F1 = （ *） 2cos θ 2
F2
F2 θ
通过上面的式子，有：当θ由0º 到180º 逐渐变 θ cos 2 的值由大逐 大时， θ 由0º 到90º 逐渐变大， 2 渐变小，因此 ： F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！