2014高考数学(理)复习方案：第44讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt

通过斜率可以判断直线的倾斜方向，进而确定直线的位置和走势。
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的方程，特别是当已知直线上的一点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式，它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时，直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时，另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。

高三数学第一轮复习课件：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

4.倾斜角越大的直线斜率越大；
5.斜率越大的直线倾斜角越大.
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知识梳理
(2)直线的斜率：
①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜
率常用小写字母k表示，即
存在．
，k倾斜t角a是n90°的直线斜率不
判断下列命题是否正确？
1.任意一条直线有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率；
×
2.两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也相等； √
变:P(1,5)
(,5][2,) 23
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考点二求直线的方程
[例2] 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点A (1,3，) 且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．
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(1)经过点A(－1,－3)，且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程. 解：由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求的直线的倾斜角为 2α ∵tanα＝3，∴tan2α＝1－2tatannα2α＝－34. 又直线经过点A(－ 1, － 3)，因此所求的直线方程为 y+3=－34(x+1) 即3x＋4y＋15＝0.
y l1
l2
O
x l3
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知识梳理
(2)直线的斜率：
①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，
斜率常用小写字母k表示，即
不存在．
k，倾t斜a角n是90°的直线斜率
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式
为
k＝
y2－y1 x2－x1
. 60
?
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高考数学科学复习创新方案：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线的倾斜角与斜率、直线的方程[课程标准]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．1．直线的方向向量设A ，B 是直线上的两点，则AB →就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴01正向与直线l 02向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°．②倾斜角的范围为040°≤α<180°．(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为α，且α≠90°k ＝05tan α直线过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2k ＝06y 2－y 1x 2－x 13.直线的方向向量同斜率的关系若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝07yx．4．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k 与点(x 0，y 0)08y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式斜率k 与直线在y 轴上的截距b09y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)10y －y1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2)截距式直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b11x a ＋y b ＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—12Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k >0不存在k <0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的一个法向量v ＝(A ，B )，一个方向向量a ＝(－B ，A )．1．(人教A 选择性必修第一册2.1.1练习T 5改编)过A (2，4)，B (1，m )两点的直线的一个方向向量为(－1，1)，则m ＝()A ．－1B ．1C．5D．3答案C解析解法一：由题意可知m－41－2＝－1，∴m＝5.故选C.解法二：∵AB→＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C. 2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设该直线的倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π63．(人教A选择性必修第一册练习T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y ＋1＝0.4．(人教A选择性必修第一册习题2.2T10改编)如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－A B x－CB，－AB＜0，－CB＞0，∴直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．5．(人教A 选择性必修第一册习题2.2T 7改编)过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是________．答案2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a .①当a ＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5，2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.例1(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A ．[0，π) B.0，π4∪3π4，C.0，π4D.0，π4∪答案B解析设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.故选B.(2)(2023·湖北名校联考模拟)已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．答案∞，34∪[2，＋∞)解析已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，直线l ：kx －y －k ＋1＝0，即直线l ：k (x －1)－y ＋1＝0，它经过定点M (1，1)，MA 的斜率为3－12－1＝2，MB 的斜率为－2－1－3－1＝34，则直线l 的斜率k∞，34∪[2，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分1.(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l 的一个方向向量为p ＝sin π3，l 的倾斜角为()A.π6B.π3C.2π3D.4π3答案A解析由题意得，直线l 的斜率k ＝cosπ3sin π3＝33＝tan π6，即直线l 的倾斜角为π6.故选A.2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案13－3解析如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan45°1＋tan θtan45°＝2－11＋2＝13，k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan45°1－tan θtan45°＝2＋11－2＝－3.例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)．解(1)由题可知sinα＝45，则tanα＝±43，∵直线经过点P(1，2)，∴直线的方程为y－2＝±43(x－1)，即y＝±43(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①当截距为0时，直线过点(0，0)，(2，3)，则直线的斜率为k＝3－02－0＝3 2，因此直线的方程为y＝32x，即3x－2y＝0.②当截距不为0时，可设直线的方程为xa＋ya＝1.∵直线过点P(2，3)，∴2a＋3a＝1，∴a＝5.∴直线的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意可知所求直线的斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－3k＋2.于是－2k＋3＝－3k ＋2，解得k＝32或k＝－1.则直线的方程为y－3＝32(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)＋y ＝2，x －y ＝1，＝1，＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的一个方向向量为v ＝(－3，2)，∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.求直线方程的两种方法注意：使用点斜式、截距式求直线方程时，应注意分类讨论．1.(2024·福建龙岩质检)过点A (－1，1)的直线l 的倾斜角是直线l 1：3x －y ＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是()A.3x －y ＋3＋1＝0B.3x ＋y ＋3－1＝0C.3x －3y ＋3＋3＝0D.3x ＋3y ＋3－3＝0答案B解析由k 1＝tan α＝3，得α＝60°，所以k ＝tan120°＝－3，所以直线l 的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3－1＝0.2．经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为________，若直线的一个方向向量为(1，k )，则k ＝________．答案2x －y ＋2＝02解析经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为x －1＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0，所以直线的一个方向向量为(1，2)，故k ＝2.3．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________．答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1，则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是x3＋y2＝1或x2＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直线方程的应用角度直线方程与不等式的结合例3过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解设直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以4a＋1b＝1.(1)因为4a ＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，S△AOB＝12ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.角度直线方程与函数的结合例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB |＝100m ，|BC |＝80m ，|AE |＝30m ，|AF |＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，草坪面积可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m －20＋23m ＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等)来解决．1.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________．答案12解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＋154，所以当a ＝12时，四边形的面积最小．2．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？解如图，建立平面直角坐标系，则P (3，4)．设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以－4k，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k －9k因为k <0，所以－9k －16k ≥24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行直道的长度为62＋82＝10米．课时作业一、单项选择题1．(2023·上海松江区二模)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是()A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0答案A解析由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为21＝2，故直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.故选A.2．(2024·山东滨州模拟)已知A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，且A ，B ，C 三点共线，则m ＝()A.32B.23C ．－32D ．－23答案A解析因为A ，B ，C 三点共线，且A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，所以直线的斜率存在，且k AB ＝k BC ，即1－m ＝－23，解得m ＝32.故选A.3．(2023·杭州学军中学期中)已知直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：kx －y ＋1＝0，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则实数k 的值为()A.3B ．－3C.3或0D ．－2或－3答案C解析因为直线l1：3x ＋y ＝0的斜率为k ＝－3，所以其倾斜角为120°.直线l 2：kx －y ＋1＝0恒过点(0，1)，如图，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则l 2的倾斜角为60°或0°，所以k ＝3或k ＝0.故选C.4．函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为()A.0，3π4B.0∪3π4，C.3π4，D.π2，3π4答案B解析设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴切线的斜率k ＝tan α≥－1，则α的取值范围为03π4，5．已知△ABC 的顶点C 的坐标为(1，1)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，AC 边上的中线所在的直线方程为x ＋y －1＝0，则点A 的坐标为()答案A解析设A (x 0，y 0)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，则AC 所在直线的斜率k ＝1－y 01－x 0＝21，∴1×(1－y 0)－2(1－x 0)＝0，得y 0＝2x 0－1，∴A (x 0，2x 0－1)，又C (1，1)，则AC x ∵AC 边上的中线所在的直线方程为x＋y －1＝0，则AC x x ＋y －1＝0上，∴1＋x 02＋x 0－1＝0，解得x 0＝13，∴点A 故选A.6．现有下列四个命题：甲：直线l 经过点(0，－1)；乙：直线l 经过点(1，0)；丙：直线l 经过点(－1，1)；丁：直线l 的倾斜角为锐角．如果只有一个假命题，则假命题是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案C解析设A (0，－1)，B (1，0)，C (－1，1)，则k AB ＝－1－00－1＝1，k BC ＝1－0－1－1＝－12，因为k AB ≠k BC ，所以A ，B ，C 三点不共线，所以假命题必是甲、乙、丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0，而k AB >0，k BC <0，k AC <0，故丙是假命题．故选C.7．(2024·四川宜宾模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案D解析因为直线ax ＋by ＝ab 过点(1，1)，所以a ＋b ＝ab ，又因为a >0，b >0，所以1b ＋1a ＝1，所以直线x b ＋ya ＝1在x 轴与y 轴上的截距之和为b ＋a ＝(b ＋a ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b ＝2时取等号，所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.故选D.8.(2023·安徽江南十校模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为()A ．0°B ．1°C ．2°D ．3°答案C解析∵O ，O 3都为五角星的中心点，∴OO 3平分第三颗小星的一个角，由五角星的内角为36°，知∠BAO 3＝18°，过O 3作x 轴的平行线O 3E ，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角约为18°－16°＝2°.故选C.二、多项选择题9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则()A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条答案ABC解析因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与直线l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－13，知直线l的斜率为1 3，可得直线l的方程为y－2＝13(x－3)，即直线l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为13的直线只有一条，故D错误．故选ABC.10．已知直线x sinα＋y cosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，x sinα＋y cosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝12|1－sinα|·|1－cosα|＝1|sin2α|≥1，D正确．故选BD.11．(2023·广东珠海二模)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是()A ．2 B.32C.34D.14答案ABD解析因为选项斜率均为正值，不妨假设AB 所在的直线过点(0，0)，设直线AB 的倾斜角为αk ，①若CD 所在的直线过点(1，0)，如图1，可得|BC |＝sin α，|CD |＝2cos α，因为|BC |＝|CD |，即sin α＝2cos α，所以k ＝tan α＝2；②若CD 所在的直线过点(2，0)，如图2，可得|BC |＝2sin α，|CD |＝3cos α，因为|BC |＝|CD |，即2sin α＝3cos α，所以k ＝tan α＝32；③若CD 所在的直线过点(4，0)，如图3，可得|BC |＝4sin α，|CD |＝cos α，因为|BC |＝|CD |，即4sin α＝cos α，所以k ＝tan α＝14.综上所述，k 的值可能为2，32，14.故选ABD.三、填空题12．若直线l 的一个方向向量为a sin π7，l 的倾斜角θ＝________．答案5π14解析∵直线l 的一个方向向量为a sin π7，∴直线l 的斜率k ＝cos π7sin π7＝sin5π14cos5π14＝tan 5π14，∴直线l 的倾斜角θ＝5π14.13．在△ABC 中，已知A (1，1)，AC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在的直线方程为3x ＋2y －3＝0.则BC 边所在的直线方程为________．答案2x ＋5y ＋9＝0解析由题意，得k AC ＝－2，k AB ＝23，∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.x ＋y －3＝0，x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)．由x －3y ＋1＝0，－2y ＝0，得B (－2，－1)，∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.14．(2023·重庆育才中学期末)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．设△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确算得OE ＝0，则OF 的方程为________________．答案＝0解析由题意，C (c ，0)，P (0，p )，则CP 的方程为x c ＋yp＝1，同理，AB 的方程为x b ＋ya＝1，两直线方程相减，得OF 的方程为＝0.四、解答题15．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，所以直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.16．过点Pl与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求△OAB面积的最小值以及此时直线l的方程；(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为xa ＋yb＝1.因为直线l过点，所以43a＋2b＝1，故1＝43a ＋2b≥283ab⇒ab≥323，故S△OAB＝12ab≥163，＝2b，＋2b＝1，＝83，＝4时取等号，此时直线l的方程为3x8＋y4＝1，故(S△OAB)min＝163，此时直线l的方程为3x＋2y－8＝0.(2)假设存在满足条件的直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，＋2b＝1，b＋a2＋b2＝12，＝4，＝3＝12 5，＝92，故存在满足条件的直线l：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案直线的倾斜角与斜率、直线方程1

第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识点一直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.易误提醒任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在)[自测练习]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2.∴y ＝－3.答案：B2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D．k1<k3<k2解析：由题图可知k1<0，k2>0，k3>0，且k2>k3，∴k1<k3<k2.答案：D知识点二直线方程名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线续表截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线易误提醒(1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.[自测练习]3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x－3y－6＋3＝0B.3x－3y＋6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0解析：直线斜率k＝tan 30°＝3 3，直线的点斜式方程为y－2＝33(x＋1)，整理得3x －3y ＋3＋6＝0，故选B. 答案：B4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：D考点一直线的倾斜角与斜率|1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C. 答案：C2．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求：当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞) 3．(2016·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34. 要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．注意已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时的图象如图：考点二直线的方程|根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三直线方程的综合应用|直线方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．与最值相结合问题．2．与导数的几何意义相结合问题． 3．与平面向量相结合问题． 4．与数列相结合问题．探究一与最值相结合问题1．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )C ．4D ．5解析：法一：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b ≥21a ·1b＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.法二：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C. 答案：C探究二与导数的几何意义相结合问题2．已知函数f (x )＝x －4ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析：由f ′(x )＝1－4x ，则k ＝f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，故切线方程为y －1＝－3(x－1)，即3x ＋y －4＝0.答案：3x ＋y －4＝0探究三与平面向量相结合问题3．在平面直角坐标平面上，OA →＝(1,4)，OB →＝(－3,1)，且OA →与OB →在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为( )A ．－14B.25 C.25或－43D.52解析：直线l 的一个方向向量可设为h ＝(1，k )，由题⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·h |h |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·h |h |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |，解得k ＝25或k ＝－43，故选C.答案：C探究四与数列相结合问题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线xn ＋1＋yn＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A ．36B ．45解析：由a n ＝1n (n ＋1)可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9. ∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.答案：B(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．17.忽视零截距致误【典例】设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[易误点评] 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．[防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．[跟踪练习] 若直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2＋1＝3，有一条．综上知，直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.答案：BA 组考点能力演练1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：A2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立， ∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.∴定点为⎝⎛⎭⎫－12，－3. 答案：D4．(2016·海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B5．(2016·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．选D.6．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－247．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解析：设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y －2＝k (x ＋2)，由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k .由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝09．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.B 组高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3解析：法一：如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1. 解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：D2．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －b x 2，由题意可得⎩⎨⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a＋b＝－3.答案：－33．(2014·高考四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx －y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________．解析：易知A(0,0)，B(1,3)，且P A⊥PB，∴|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝5(当且仅当|P A|＝|PB|时取“＝”)．答案：5。

数学一轮复习：直线的倾斜角与斜率及直线方程

直线的倾斜角与斜率及直线方程知识梳理1、直线的倾斜角与斜率: 对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:不能表示的直线为垂直于x 轴的直线斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=;④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx重难点突破重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线023tan =++y x π的倾斜角α是A.3π B. 6π C. 32π D. 3π-点拨:转化为: 已知),0[,3tan tan παπα∈-=,求α ,答案: C问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围点拨: 要从αtan =k 和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当)2,0[πα∈时,),0[+∞∈k ,k 随α的增大而增大;②当),2(+∞∈πα时,)0,(-∞∈k ,k 随α的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.3k θ=-，故：k ≤≤当0k ≤≤α满足：06πα≤≤当0k <时，直线的倾斜角α满足56παπ≤< 所以，直线的倾斜角的范围：06πα≤≤和56παπ≤< (2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x且，当1)(0><x f x 时，，方程 aax y 1+=表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得)1,0(∈a ,从而斜率)1,0(∈k ,截距1>b ,故选C （3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点)2,1(--P 的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于B A ,两点，当||||PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。

人教版高中数学高考一轮复习--直线的倾斜角与斜率、直线的方程(课件)

又所求直线过点(-√3,3),因此所求直线方程为 y-3=√3(x+√3),
即√3x-y+6=0.
解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程情势,并注
意各种情势的适用条件.
2.若采用截距式,则应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,则
应先考虑斜率不存在的情况.
对点训练2
π
1
值范围为
1
,√3
3
.
如图,∵点 P(-1,0),A(2,1),B(0,√3),
1-0
∴kAP=
2-(-1)
∴直线 l
=
1
√3-0
,kBP=
3
0-(-1)
= √3.
1
的斜率的取值范围为[ , √3].
3
解题心得1.由直线倾斜角的取值范围求直线斜率的取值范围或由直线斜
率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在区间
2± 5
C.
2
∵平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,
2 +
∴kAB=kAC,即
2-1
=
3 +
,即
3-1
a(a2-2a-1)=0,解得 a=0 或 a=1±√2.故选 A.
(2)已知点A(-2,-3)和点B(-1,0)是平面直角坐标系中的定点,直线y=kx+1与
线段AB始终相交,则实数k的取值范围是( A )
(1)已知直线 l 的倾斜角为 θ,且过点(√3,1),若 sin - 2 = 2,则直线 l 的方程
为( B )
A.√3x-y-2=0
C.x-√3y=0
因为 sin

高考数学一轮复习课件：直线的倾斜角、斜率与直线的方程

两条直线的交点求解
直线方程：ax+by+c=0 交点坐标：(x, y) 交点求解：联立两个直线方程，解出x和y 特殊情况：两条直线平行或重合，无交点
直线与点的位置关系判定
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直线与点的位置关系：直线与点有三种位置关系，即点在直线上、点在直线外、点在直线上但不在直线上。
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直线与点的位置关系判定方法：根据直线的倾斜角、斜率与直线的方程，可以判断点与直线的位置关系。
要应用。
直线方程在日常生活中的应用
交通规划：计算两点间的最短距离，规划最佳路线建筑设计：计算建筑物的高度、角度等参数体育赛事：计算运动员的跑步速度、投掷距离等商业分析：预测市场趋势，分析消费者行为
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地理：计算地球表面的坡度
经济：预测股票价格走势
直线方程的求解方法
直线方程求解的基本步骤
确定直线方程的类型：点斜式、斜截式、两点式等确定直线方程中的未知数：x、y 利用已知条件求解直线方程中的未知数验证直线方程的合理性：代入已知点，看方程是否成立
求解直线方程的常见方法
点斜式：已知直线上的两点坐标，利用两点的斜率求解
确定直线的位置和方向：通过直线方程可以确定直线在平面上的位置和方向，从而解决几何问题。
计算线段长度：通过直线方程可以计算线段的长度，从而解决几何问题。
计算角度：通过直线方程可以计算角度，从而解决几何问题。
计算面积和体积：通过直线方程可以计算面积和体积，从而解决几何问题。
直线方程在解析几何中的应用
斜率与倾斜角之间存在一一对应关系
直线的方程
直线方程的基本形式

考点38直线的倾斜角与斜率直线的方程直线的交点坐标与距离公式

考点38直线的倾斜角与斜率直线的方程直线的交点坐标与距离公式直线是数学中最基本的几何对象之一，它在几何学和代数学中都有重要的应用。

研究直线的性质和特征是解决许多几何和代数问题的关键。

直线的倾斜角与斜率：直线的倾斜角是指直线与x轴正方向所成的角度，它表示了直线的倾斜程度。

直线的斜率是指直线上两点之间纵坐标的差与横坐标的差的比值，代表了直线的倾斜速率。

设直线上两点坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，倾斜角θ和斜率k的计算公式如下：倾斜角θ = arctan((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)直线的方程：直线的方程式可以用不同的形式表示，其中常见的有点斜式和一般式。

1.点斜式：点斜式是通过给定一点和直线的斜率来确定直线方程的方法。

设直线过点P(x₁,y₁)，斜率为k，则直线的点斜式方程为：(y-y₁)=k(x-x₁)2.斜截式：斜截式是通过给定直线在y轴上的截距和直线的斜率来确定直线方程的方法。

设直线与y轴相交于点A(0,b)，斜率为k，则直线的斜截式方程为：y = kx + b3.一般式：一般式是把直线方程表示为Ax+By+C=0的形式，其中A、B和C是常数，且A和B不能同时为0。

直线的交点坐标与距离公式：设有两条直线L₁和L₂，它们的方程分别为：L₁:Ax₁+By₁+C₁=0L₂:Ax₂+By₂+C₂=01.直线的交点坐标公式：直线L₁和L₂的交点坐标(x,y)可以通过以下公式计算：x=(B₁C₂-B₂C₁)/(A₁B₂-A₂B₁)y=(A₂C₁-A₁C₂)/(A₁B₂-A₂B₁)2.直线的距离公式：假设有一点P(x₀,y₀)和一直线L:Ax+By+C=0，点P到直线L的距离d 的公式为：d = ，Ax₀ + By₀ + C，/ sqrt(A² + B²)总结：直线的倾斜角与斜率可以帮助我们定量地描述直线的特征，直线的方程可以通过给定的条件确定。

高三数学一轮复习( 知识点归纳与总结)：直线的倾斜角与斜率直线的方程

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等．3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．(2)主要是涉及直线方程和斜率.[归纳·知识整合]1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.③倾斜角的取值范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan_α.②计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1.[探究] 1.直线的倾角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．由k ＝tan θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2知，当 θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系[探究] 2.两条直线l 1，l 2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？提示：不正确，当一条直线与x 轴平行，另一条与y 轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．3．直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k 与点(x 0，y 0) y －y 0＝ k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式斜率k 与截距by ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式两点(x 1，y 1)， (x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2) 截距式截距a 与bx a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用[探究] 3.过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：当x 1＝x 2，或y 1＝y 2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)若直线x ＝2的倾斜角为α，则α( ) A ．等于0B ．等于π4C ．等于π2D ．不存在解析：选C 因为直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2．(教材习题改编)过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析：选A 由题意知，4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选B 直线斜率为3－10－2＝－1，其方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0.4．直线l 的倾斜角为30°，若直线l 1∥l ，则直线l 1的斜率k 1＝________；若直线l 2⊥l ，则直线l 2的斜率k 2＝__________.解析：∵l 1∥l 2，∴k l 1＝tan 30°＝33. ∵l 2⊥l ，∴k l 2＝－1k l ＝－ 3.答案：33－ 3 5．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x 等于________．解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2，解得x ＝－3. 答案：－3直线的倾斜角和斜率[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π (2)已知两点A (m ，n )，B (n ，m )(m ≠n )，则直线AB 的倾斜角为________；(3)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．[自主解答] (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤π4或3π4≤ θ<π.(2)设直线AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，则 k ＝tan θ＝m －nn －m ＝－1.又θ∈[0，π)，所以θ＝3π4.(3)如右图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．[答案] (1)B (2)3π4(3)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)若将P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 的斜率的取值范围．解：∵P (－1，0)，A (2，1)，B (0，3)， ∴k P A ＝1－02－(－1)＝13，k PB ＝3－00－(－1)＝ 3.借助图形可知，直线l 的斜率的取值范围为133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.———————————————————斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋7＝2,1＋y ＝－2，解得x ＝－5，y ＝－3，从而k l ＝1－(－3)－5－7＝－13.直线的平行与垂直的判断及应用[例2] 若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________. [自主解答] 因为两直线平行，所以有a (a －1)＝2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. [答案] 2或－1 ———————————————————用一般式确定两直线位置关系的方法直线方程 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)3．已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m ＝________. 解析：k 1＝tan 45°＝1，k 2＝m ＋13＋2， ∵l 1⊥l 2，∴k 2＝m ＋13＋2＝－1，解得m ＝－6.答案：－64．已知过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________．解析：由题意知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8. 答案：－8直线方程[例3] (1)在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)(2)直线l 经过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．△OAB 的面积为12，则直线l 的方程是________________________________________________．[自主解答] (1)因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．(2)法一：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)．则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12.解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，令x ＝0，得y ＝2－3k >0；令y ＝0，得x ＝3－2k>0.所以S △OAB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12，解得k ＝－23，故所求直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.[答案] (1)D (2)2x ＋3y －12＝0 ———————————————————求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．5．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标(x ，y )，则 x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°kk >0不存在k <03个注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点[典例] (2013·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_______________________________．[解析] 当截距不为0时，设所求直线方程为 x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵点P (－2,3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0. 当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有 3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0. [答案] x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0 [易误辨析]1．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x ＋2y ＝0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有： (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况． [变式训练]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________．解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由已知k AB ＝2，即4m －1＝2，解得m ＝3.3．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：选B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．4．(2013·银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．3或－1解析：选C 由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1.5．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：选D 原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－12，y ＝－3，故所有直线都过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3. 6．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两条直线的斜率分别为k 1＝－sin Aa ，k 2＝b sin B ，由正弦定理得k 1·k 2＝－sin A a ·b sin B＝－1，所以两条直线垂直．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1；当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，18．已知直线x －ky ＋1＝0与直线y ＝kx －1平行，则k 的值为________．解析：若两直线平行，则k ＝1k ，解得k ＝±1.答案：±19．(2013·皖南八校联考)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为________．解析：∵两直线互相垂直，∴a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1， ∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝|a |＋1|a |≥2(当且仅当a ＝±1时取等号)．答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m.由题意得－1m＝1，解得m ＝－1. (2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 11．已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2. ②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(]0，3，即k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，所以α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.12．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32. 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．直线l 过点(－1,2)且与直线3y ＝2x ＋1垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A 法一：设所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，则3×(－1)＋2×2＋C ＝0，得C ＝－1，即l 的方程为3x ＋2y －1＝0.法二：由题意知，l 的斜率是k ＝－32，则直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1 解析：选D 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x轴上的截距为1－2k，则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1.3．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．解析：∵线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)， ∴y ＝4－43x ，代入xy 得xy ＝－43x 2＋4x ＝－43·⎝⎛⎭⎫x －322＋3，∴由二次函数性质知，当x ＝32时，xy 的最大值等于3.答案：34．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3.故有S △ABO ＝(a －3)2＋6(a －3)＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2 (a －3)·9a －3＋6＝12，当且仅当a －3＝9a －3，即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4.故所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线方程为xa ＋yb ＝1(a >0，b >0)，代入P (3,2)，得3a ＋2b ＝1≥2 6ab ，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，此时k ＝－b a ＝－23，故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法三：依题意知，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )，则S △AOB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k ) ＝12(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法四：如右图所示，过P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为M ，N . 设θ＝∠P AM ＝∠BPN ，则S △AOB ＝S △PBN ＋S 四边形NPMO ＋S △PMA＝12×3×3×tan θ＋6＋12×2×2×1tan θ＝6＋92tan θ＋2tan θ≥6＋2 92tan θ·2tan θ＝12，当且仅当92tan θ＝2tan θ，即tan θ＝23时，S △AOB ＝12，此时直线l 的斜率为－23，其方程为2x ＋3y －12＝0.。

《直线倾斜角和斜率》课件

直线倾斜角和斜率
本PPT课件将介绍直线的概念和基本特征、直线倾斜角的定义和计算方式、斜率的概念和计算公式，以及直线与斜率的关系。我们还将探讨直线倾斜角和斜率的图像表示及解读，并通过实例分析展示如何应用直线倾斜角和斜率解决问题。最后，我们将总结所学内容，并展示进一步的应用拓展。
直线的概念和基本特征
总结和应用拓展
总结
通过本课程，我们了解了直线倾斜角和斜率的概念、计算方式以及与直线的关系，并且学会了在实际问题中应用这些知识。
应用拓展
我们可以进一步应用直线倾斜角和斜率解决更复杂的问题，如曲线的倾斜角和斜率。
图像表示
直线倾斜角和斜率在坐标系中可以用图像进行表示。
解读
通过观察图像，我们可以推断直线的倾斜程度和斜率的值。
实例分析：应用直线倾斜角和斜率进行问题求解
1
问题分析
通过分析问题，确定如何应用直线倾斜角和斜率来解决。
2
计算倾斜角和斜率通过ຫໍສະໝຸດ 算，求得直线的倾斜角和斜率。3
应用求解
利用倾斜角和斜率，解决实际问题。
什么是直线？
直线是由一系列相互连接的点组成的无限延伸的路径。
直线的特征
直线具有直性、无弯曲，并且两点确定唯一一条直线。
直线倾斜角的定义和计算方式
直线倾斜角是什么？
直线倾斜角是指直线相对于水平方向的倾斜程度。
如何计算直线倾斜角？
直线倾斜角可以通过直线与水平方向的夹角来计算。
斜率的概念和计算公式
1 什么是斜率？
斜率是直线的倾斜程度的量化表示。
2 斜率的计算公式
斜率可以通过直线上两点的坐标来计算，公式为 (Y2 - Y1) / (X2 - X1)。
直线与斜率的关系

解析几何直线的倾斜角与斜率直线的方程课件

2023-11-09CATALOGUE目录•直线倾斜角与斜率的定义•直线方程的表示方法•直线倾斜角与斜率的计算方法•直线方程的应用01直线倾斜角与斜率的定义直线与x轴正向之间的夹角，通常用α表示。

直线倾斜角范围特殊情况0° ≤ α < 180°。

当直线与x轴平行时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°。

03直线倾斜角的定义0201直线斜率：描述直线在某一点处的变化率，通常用k表示。

斜率等于倾斜角的正切值，即k = tan(α)。

斜率与倾斜角的关系：k随α的增大而增大，随α的减小而减小。

直线斜率的定义直线倾斜角与斜率的关系直线的倾斜角与斜率之间存在一定的关系，可以通过三角函数进行计算。

在实际应用中，可以根据需要选择使用倾斜角或斜率来描述直线的状态。

直线倾斜角与斜率是解析几何中描述直线的重要参数。

02直线方程的表示方法点斜式方程是描述直线通过某一点，并且斜率为某一固定值的方程。

定义y-y1 = k(x-x1)形式其中(x1, y1)是给定的点，k是直线的斜率。

描述斜截式方程是描述直线与y轴交于某一点，并且斜率为某一固定值的方程。

定义y = kx + b形式其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。

描述形式x = ty + c描述其中t是直线的斜率，c是直线与x轴的交点。

定义截斜式方程是描述直线通过某一点，并且与x轴交于某一点的方程。

03直线倾斜角与斜率的计算方法03计算公式如果直线与x轴夹角为α，则直线的斜率为tanα。

利用直线的斜率计算直线的倾斜角01直线斜率的定义直线斜率是指直线与x轴夹角的正切值，即直线与x轴夹角的正切值。

02斜率与倾斜角的关系直线的斜率与倾斜角之间存在一种反比例关系，即当直线斜率增大时，倾斜角减小，反之亦然。

直线与x轴正向夹角为直线倾斜角，取值范围为[0,π)。

利用直线的倾斜角计算直线的斜率定义直线倾斜角如果直线倾斜角为α，则直线的斜率为tan(α)。

高考数学复习课件：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜 π
率常用小写字母k表示，即k＝_t_a_n_α__，倾斜角是_2_的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ y2－y1 __x_2－__x_1__.
2．特殊直线的方程 (1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1； (2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1； (3)y轴的方程为x＝0； (4)x轴的方程为y＝0.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离．( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
[跟进训练] 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程．
[解] (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，得BC的方程为
3y－－11＝－x－2－22，即x＋2y－4＝0. (2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为－x3＋2y
|M→A|·|M→B|＝－M→A·M→B ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1) ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 ＝(2a＋b)2a＋1b－5 ＝2ab＋2ba≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.]

高三总复习数学课件直线的倾斜角与斜率、直线方程

直线的倾斜角与斜率、直线方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及
一般式).
1．直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上定义
的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为 0°.因此，直线的规定倾斜角α的取值范围为_0_°_≤__α_＜__1_8_0_°_
2．斜率公式
定义式直线 l 的倾斜角为 α(α≠90°)，则斜率 k＝ tan α ，当直线的倾斜角 α＝90°时，直线的斜率不存在
B. 3x－y＋2 3＝0
C. 3x－3y＋2 3＝0
D. 3x－y＝0
答案：A
3．(苏教版选择性必修第一册P18·T2改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1
的直线方程是
()
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
解析：因为直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一) 直线的倾斜角和斜率
[题点全训]
1．在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，
AB所在直线的斜率之和为
()
A．－2 3 B．0
C. 3
D．2 3
解析：由题意知，△ABC 的另外两边所在直线的倾斜角分别为 60°，120°，所以直线的斜率之和为 tan 60°＋tan 120°＝ 3＋(－ 3)＝0.

【创新方案】2014高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的X 围为[0，π)_． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线斜截式斜率为k ，纵截距为b y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)x a ＋y b＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D．120° 解析：选C 由k ＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：选A 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4解析：选A 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.4．(2012·某某模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：45．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32.所以l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的X 围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．直线的倾斜角与斜率典题导入[例1] (1)(2012·某某模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2(2)(2012·某某模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的X 围是________． [自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.(2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π，故直线的倾斜角的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. [答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π由题悟法1．求倾斜角的取值X 围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值X 围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值X 围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·某某模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45° B．60° C ．120° D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·某某模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.直线方程典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1. 则所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)由题意得，1－01－3×k MN ＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·某某调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.直线方程的综合应用典题导入[例3] (2012·某某模拟)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)，点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝3k －2k －2，y A＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1，y B＝－6kk ＋1.∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6k k ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3，此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或X 围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|MA |＝ 1k2＋1，|MB |＝4＋4k 2， ∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( )A ．2x ＋11y ＋38＝0B ．2x ＋11y －38＝0C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，解得C ＝16(舍去)或C ＝－38.3．(2012·某某模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．4．(2013·某某模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－ab x －c b ，易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1解析：选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3. 7．(2013·某某模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值X 围是(－3,3)，则其斜率的取值X 围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．(2012·某某模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．(2012·某某四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．解：设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．(2012·某某月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值X 围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析：选B 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋32＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 2．(2012·某某模拟)当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值X 围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值X 围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．(2012·某某模拟)已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2，∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 2．(2012·某某调研)若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值X 围是________．解析：k ＝tan α＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1. ∴1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时，△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y 4＝1. 即2x ＋3y －12＝0.。

高一数学直线的倾斜角与斜率知识点总结

高一数学直线的倾斜角与斜率知识点总结
学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。

下面是店铺为大家整理的高一数学直线的倾斜角与斜率知识点，希望对大家有所帮助!
数学必修二知识点：直线的倾斜角与斜率
一、倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
二、两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，。

高考数学一轮复习课时过关检测(四十四) 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

课时过关检测（四十四）直线的倾斜角、斜率与直线的方程A 级——基础达标1．已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选C 设直线AB 的倾斜角为α.∵A (1，3)，B (－1，33)，∴k AB ＝33－3－1－1＝－3，∴tan α＝－3，∵α∈[0°，180°)，∴α＝120°.故选C ．2．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．3．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2 C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：选A 直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2.4．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由题意知，A ，B 同号，所以直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－AB＜0，在y 轴上的截距为－CB＞0，所以直线不通过第三象限．5．(多选)下列说法正确的是( )A ．截距相等的直线都可以用方程x a ＋ya ＝1表示B ．方程x ＋my －2＝0(m ∈R )能表示平行y 轴的直线C ．经过点P (1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ·(x －1)D ．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程为(y 2－y 1)·(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0解析：选BD 对于A ，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程x a ＋ya ＝1表示，所以A 不正确；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程形式为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 不正确；对于D ，设点P (x ，y )是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线上的任意一点，根据P1P2―→∥P1P ―→可得(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0，所以D 正确．故选B 、D.6．(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0解析：选ABC 当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝k ，把点A (1,2)代入可得1－2＝k 或1＋2＝k ，求得k ＝－1或k ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；综上知，所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故选A 、B 、C ．7．(2021·全国统一考试模拟演练)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.解析：如图，设正方形的对角线的倾斜角为α，则tan α＝2，则正方形的两个邻边的倾斜角分别为α＋π4，α－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan π4·tan α＝2＋11－2＝－3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan α·ta nπ4＝2－11＋2＝13，所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为－3，13.答案：－3 138．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为____________．解析：因为直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，所以直线l 过平行四边形对角线BD 的中点(3,2)，又直线l 过原点，所以直线l 的方程为y ＝23x .答案：y ＝23x9．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2,2]10．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为________．解析：∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4. 答案：411．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.12．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小．B 级——综合应用13．(多选)已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列选项正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线不过原点C ．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1解析：选BCD 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C 正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确．故选B 、C 、D.14．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线方程为____________．解析：由题意，线段AB 的中点为M (1,2)，k AB ＝－2，所以线段AB 的垂直平分线为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0，因为AC ＝BC ，所以△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此△ABC 的欧拉线方程为x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0 15．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，求y ＋3x ＋2的最值．解：如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则y ＋3x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接PA ，PB ，则k PA ≤k ≤k PB .易得A (1,1)，B (－1，5)，所以k PA ＝错误!＝错误!，k PB ＝错误!＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43. C 级——迁移创新16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x2－y2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y ＝kx ，则F (x ，y )＝kx －y ＝0，因为A (－1,1)，B (2,3)，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，则F [A ]·F [B ]＝(－k －1)(2k －3)>0，解得－1<k <32.(2)因为F [O ]<0，所以F [P ]＝(3x ＋4y －5)·4－x2－y2<0，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5<0，x2＋y2<4，点集S 为圆x 2＋y 2＝4在直线3x ＋4y －5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A ，B ，则O 到AB 的距离为1，故∠AOB ＝2π3，因此，所求面积为S ＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3.。