2014北京高考理科数学试题及答案
2014年北京市高考数学试卷及解析(理科)
2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分、在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A、{0}B、{0，1}C、{0，2}D、{0，1，2}2、（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A、y=B、y=（x﹣1）2C、y=2﹣xD、y=log0.5（x+1）3、（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=﹣2x上C、在直线y=x﹣1上D、在直线y=x+1上4、（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A、7B、42C、210D、8405、（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件6、（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A、2B、﹣2C、D、﹣7、（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A、S1=S2=S3B、S2=S1且S2≠S3C、S3=S1且S3≠S2D、S3=S2且S3≠S18、（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”、如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A、2人B、3人C、4人D、5人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、（5分）复数（）2=、10、（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=、11、（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为、12、（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大、13、（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种、14、（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为、三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15、（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=、（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长、16、（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）、17、（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H、（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长、18、（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值、19、（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论、20、（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）、参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分、在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A、{0}B、{0，1}C、{0，2}D、{0，1，2}分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集、解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选：C、点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键、2、（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A、y=B、y=（x﹣1）2C、y=2﹣xD、y=log0.5（x+1）分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论、解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A、点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题、3、（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=﹣2x上C、在直线y=x﹣1上D、在直线y=x+1上分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论、解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，故选：B、点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题、4、（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A、7B、42C、210D、840分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210、故选：C、点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键、5、（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立、若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键、6、（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A、2B、﹣2C、D、﹣分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案、解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）、由z=y﹣x得y=x+z、由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小、此时，解得：k=﹣、故选：D、点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题、7、（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A、S1=S2=S3B、S2=S1且S2≠S3C、S3=S1且S3≠S2D、S3=S2且S3≠S1分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论、解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=、在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D、点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键、8、（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”、如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A、2人B、3人C、4人D、5人分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数、解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个、故选：B、点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力、二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、（5分）复数（）2=﹣1、分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案、解答：解：（）2=、故答案为：﹣1、点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题、10、（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=、分析：设=（x，y）、由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可、解答：解：设=（x，y）、∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5、解得、故答案为：、点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题、11、（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为y=±2x、分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论、解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x、点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础、12、（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大、分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论、解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8、点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题、13、（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种、分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案、解答：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种、故答案为：36、点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C、14、（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π、分析：由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求、解答：解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为、又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π、故答案为：π、点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题、三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15、（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=、（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长、分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论、解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=、（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7、点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大、16、（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）、分析：（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可、（3）求出平均数和EX，比较即可、解答：解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=点评：本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题、17、（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H、（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长、分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长、解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF 的法向量，∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2、点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题、18、（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值、分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f （0）=0、（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值、解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0、（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x（0，x0）x0（x0，）g′（x）+﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题、19、（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论、分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切、解答：解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为、∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2、因此a=2，c=、故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切、证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0、∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得、当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得、故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=、此时直线AB与圆x2+y2=2相切、当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0、圆心O到直线AB的距离d=、又，t=、故=、此时直线AB与圆x2+y2=2相切、点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题、20、（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）、分析：（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k ≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论、解答：解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}、当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键。
2014年北京高考理科数学试卷(带详解)
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B = ( )A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}【测量目标】集合的基本运算(交集).【考查方式】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】{}0,2A = ，{02}{012}{02}A B ∴ ＝，，，＝，，故选D. 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A.y = 2B.(1)y x =-C.2xy -= 0.5D.l o g (1)y x =+【测量目标】基本初等函数的性质(单调性).【考查方式】初等函数在区间内的单调性. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A. 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）A.在直线2y x =上B.在直线2y x =-上C.在直线1y x =-上D.在直线1y x =+上【测量目标】曲线的参数方程.【考查方式】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)1x y ＋＋－＝,其对称中心点为(－1，2)，验证知其在直线2y x ＝－上，故选B.4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.7 B.42 C.210 D.480zxm9第4题图【测量目标】选择结构和循环结构程序框图.【考查方式】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】1765210S ⨯⨯⨯＝＝，故选C. 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >“”是{}n a “”为递增数列的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件，等比数列的性质. 【考查方式】结合数列的性质考查充分、必要条件. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.6.若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A.2B.-2C.12 D.12- 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】可行域如图所示，当0k >时，知z y x ＝－无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立020y kx y =⎧⎨-+=⎩解得2,0A k ⎛⎫⎪⎝⎭，故min 2=0+=4z k 即1=2k -，故选D.zxm13第6题图7.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）A.123S S S ==B.12S S =且 31S S ≠C.13S S =且 32S S ≠D.23S S =且 13S S ≠【测量目标】空间直角坐标系，投影.【考查方式】给出三棱锥中各点的坐标，求其在坐标平面的投影面积. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则11AD BD ＝2AB ＝，∴11S 22=22=⨯⨯，221=22OCD S S =⨯=△，331=22OAD S S =⨯=△,故选D.8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.满足条件的最多有多少学生（ ）A.2B.3C.4D.5 【测量目标】排列组合数的应用.【考查方式】利用排列与组合，求出其中的不同选法. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，故选B. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】1-【试题解析】()()()22221i 1i 2i =11i 1i 1i 2⎡⎤++⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 10.已知向量a 、b 满足1=a ，()2,1=b ，且()0λλ+=∈R a b ，则λ=________.【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求λ的值.【难易程度】容易【试题解析】0λ ＋a b =，λ∴=－a b，||||λ∴===b a 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【难易程度】容易【参考答案】22=1312x y - 2y x ±＝ 【试题解析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将(2，2)代入得2222=3=4λ--，∴双曲线C 的方程为22=1312x y -.令22=04y x -得渐近线方程为2y x ±＝. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.【测量目标】等差数列性质.【考查方式】考查等差数列的等差中项. 【难易程度】容易 【参考答案】8【试题解析】789830a a a a > ＋＋＝，710890a a a a <＋＝＋，8900a a ∴><，，∴n ＝8时，数列{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【测量目标】乘法原理，排列数的应用. 【考查方式】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【难易程度】容易 【参考答案】36【试题解析】321323A A A =623=36⨯⨯.14. 设函数()sin()f x A x ωϕ=+，（A ωϕ，，是常数，0,0>>ωA ）.若)(x f 在区间ππ[,]62上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则)(x f 的最小正周期为________. 【测量目标】二次函数的图象与周期性.【考查方式】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期T. 【难易程度】中等 【参考答案】π【试题解析】结合图像得π2πππ+2326=422T +-，即πT ＝.zxm33第14题图 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC △中，π,83B AB ∠==，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD . （1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ,的长.zxm10第15题图【测量目标】三角函数的基本关系式，正弦定理、余弦定理.【考查方式】考查了三角函数的两角和差公式，及给出三角形的边、关于边与角的正弦余弦的等式，求出未知量. 【难易程度】中等【试题分析】（1）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠117272=-⨯14=. （2）在ABD △中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=， 所以7AC =.16. （本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率；（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）. 【测量目标】独立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【难易程度】中等 【试题分析】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C = AB AB ，,A B 独立根据投篮统计数据，32(),()55P A P B ==. ()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯1325=所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. （3）EX x =.17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.zxm34第17题图（1）【测量目标】线线平行的判定，线面角的计算、空间直角坐标系.【考查方式】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE ，因为AB ⊂平面ABF ，且ABF PDE FG 平面平面=，所以AB ∥FG .（2）因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,BC(1,1,0)=.设平面ABF 的法向量为(,,)x y z =n ，则AB AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即00x y z =⎧⎨+=⎩. 令1,z =，则1y =-.所以(0,1,1)=-n ，设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则1sin cos ,2BC BC BCα⋅=== n n n .设点H 的坐标为(,,).u v w因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-，所以2,,22u v w λλλ===-.因为n 是平面ABF 的法向量，所以0AH ⋅=n ，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=.解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,).333所以2PH ==.zxm12第17题图（2）18.（本小题13分）已知函数π()cos sin ,[0,]2f x x x x x =-∈.(1)求证：()f x ≤0；(2)若sin x a b x <<在π(0,)2上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【测量目标】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围.【考查方式】直接利用导数的几何意义，证明函数.第(2)问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值. 【难易程度】较难【试题分析】(1)由()cos sin f x x x x =-得'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-.因为在区间π(0,)2上'()sin 0f x x x =-<，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()(0)0f x f =≤. (2)当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”，“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”.令()g x sin x cx =-，则'()cos g x x c =-.当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立.当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，'()g x cos 0x c =-<，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()g x (0)0g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立.当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈，使得'0()g x 0cos x c =-0=. ()g x 与'()g x 在区间π(0,)2上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=.进一步，“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g =-≥，即20πc <≤.综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()<0g x 对任意π(0,)2x ∈恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 最大值为2π，b 的最小值为1. 19.（本小题14分） 已知椭圆2224C xy +=：，（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB与圆222xy +=的位置关系，并证明你的结论.【测量目标】椭圆的简单几何性质、曲线交点坐标求法,直线与曲线的位置关系.【考查方式】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系. 【难易程度】较难【试题分析】（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=.所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=.因此2,a c ==故椭圆C 的离心率c e a ==. （2） 直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下：设点A ,B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅= ，即0020tx y +=，解得002y t x =-. 当0x t =时，202t y =，代入椭圆C的方程，得t =， 故直线AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d =此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=，圆心O 到直线AB的距离d =.又220024x y +=，002y t x =-,故d === 此时直线AB 与圆222x y +=相切.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}k k k k T P b T P a a a -=++++ 2≤k ≤n ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++ 表示1()k T P -和12k a a a +++ 两个数中最大的数.（1） 对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值;（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P c d a b ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小;（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.【测量目标】数学概念的新定义.【考查方式】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小.【难易程度】较难【试题分析】（1）1()257T P =+=，{}21()1max (),24T P T P =++{}1max 7,6=+=8.（2）2()T P {}max ,a b d a c d =++++,2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++. 当m =a 时，2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++,因为c d b c b d ++++≤，且a c d c b d ++++≤，所以2()T P ≤2(')T P . 当m =d 时，2(')T P {}max ,c d b c a b =++++c a b =++,因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++++≤所以2()T P ≤2(')T P . 所以无论m =a 还是m =d ，2()T P ≤2(')T P 都成立.（3）数对序列P ：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()T P 值最小， 1()T P =10， 2()T P =26， 3()T P =42， 4()T P =50， 5()T P =52.。
2014年北京高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)
2014年北京高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）【2014年北京卷（理01）】已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵A={x|x 2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A ∩B={0，2}故选C【2014年北京卷（理02）】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x ﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log 0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件， 故选：A【2014年北京卷（理03）】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x 上，【2014年北京卷（理04）】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k 的值，当m=7，n=3时，m ﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k 值为4， ∴输出S=7×6×5=210．【2014年北京卷（理05）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n }”不是递增数列，充分性不成立．若a n =﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q ＞1”是“{a n }”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D【2014年北京卷（理06）】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小．此时，解得：k=﹣．故选：D【2014年北京卷（理07）】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠【答案】D 【解析】设A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），D （1，1，），则各个面上的射 影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S 1=．在yOz 坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S 2=.在zOx 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S 3=，则S 3=S 2且S 3≠S 1，故选：D【2014年北京卷（理08）】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 得也最多只有一个，得C 最多只有一个，因此学生最多只有3人， 显然（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多有3个．故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）【2014年北京卷（理09）】复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】﹣1 【解析】（）2=．故答案为：﹣1【2014年北京卷（理10）】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.【答案】【解析】设=（x ，y ）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R ），∴=λ（x ，y ）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：【2014年北京卷（理11）】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 【答案】y=±2x 【解析】与﹣x 2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x 2=m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x 2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x ，故答案为：，y=±2x【2014年北京卷（理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8＞0，∴a 8＞0，又a 7+a 10=a 8+a 9＜0，∴a 9＜0，∴等差数列{a n }的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n }的前8项 和最大，故答案为：8【2014年北京卷（理13）】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.【答案】36【解析】根据题意，分3步进行分析：①、产品A 与产品B 相邻，将AB 看成一个整体，考虑AB 之间的顺序，有A 22=2种情况，②、将AB 与剩余的2件产品全排列，有A 33=6种情况，③、产品A 与产品C 不相邻，C 有3个空位可选，即有3种情况， 故不同的摆法有12×3=36种【2014年北京卷（理14）】 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在学科网区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π 【解析】由f （）=f （），可知函数f （x ）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f （）=﹣f （），且f （x ）在区间[，]上具有单调性，∴x=离最近对称轴的距离也为．函数图象的大致形状如图，∴．则T=π．故答案为：π三．解答题（共6题，满分80分）【2014年北京卷（理15）】如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。
2014年高考理科数学北京卷(含详细答案)
.
设平面ABF的法向量为 ，则 ，即 .
令 ，则 .所以 ，设直线BC与平面ABF所成角为 ，
则 .
设点H的坐标为
因为点H在棱PC上，所以可设 ，即 ，
所以 .
因为 是平面ABF的法向量，所以 ，即 .
解得 ，所以点H的坐标为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 .
【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解.
圆心 到直线AB的距离 .此时直线AB与圆 相切.
当 时，直线AB的方程为 ，即 ，
圆心 到直线AB的距离 .
又 ， ，故 ，
此时直线AB与圆 相切.
【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.
【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质
20.【答案】（1）
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.
9.复数 .
10.已知向量a,b满足 a ,b ,且 a b 0 ,则 .
11.设双曲线 经过点 ,且与 具有相同渐近线,则 的方程为；渐近线方程为.
12.若等差数列 满足 , ,则当 时, 的前 项和最大.
【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.
【考点】循环结构
5.【答案】D
【解析】当 时，数列 递减；当 ，数列 递增时， ，故选D.
【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【考点】充分、必要条件，等比数列的性质
2014北京理科数学试题及标准答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2014年北京，理1，5分】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =（ ）（A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2} （D ）{0,1,2} 【答案】C【解析】集合{}{}2|2002A x x x =-==,．故{}02AB =,，故选C ．（2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）（A）y = （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ 【答案】A【解析】对于A，y =[)1-+∞，上为增函数，符合题意，对于B ，2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意，对于C ，2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意，对于D ，0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意，故选A ．（3）【2014年北京，理3，5分】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）（A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上【答案】B【解析】参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，故选B ．（4）【2014年北京，理4，5分】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840 【答案】C【解析】当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ．（5）【2014年北京，理5，5分】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）（A ）充分且不必要条件 （B ）必要且不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D ．（6）【2014年北京，理6，5分】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）（A ）2 （B ）2- （C ）12 （D ）12- 【答案】D【解析】若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，故选D ．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，2S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ （D ）23S S =且13S S ≠【答案】D【解析】D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，，故23S S ==D ．（8）【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一 样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个，故选B ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9，5分】复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．【答案】1-【解析】复数21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2++===--+，故221i ()i 11i+==--．（10）【2014年北京，理10】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ= ．【解析】由0a b λ+=，有b a λ=-，于是||||||b a λ=⋅，由(21)b =，，可得5b =，又||1a =，故||λ= （11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为______． 【答案】221312x y -=，2y x =±【解析】双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±，设C ：224y x m -= 并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-，故C 的方程为2234y x -=-，即221312x y -=．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是有80a >，890a a +<，故90a <．故87S S >，98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值． （13）【2014年北京，理13，5分】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种． 【答案】36【解析】先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有4424A =种方法．而A 和B 有2种摆放顺序，故总计242=48⨯种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考虑，共有33A 6=种方法，而A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12⨯种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-=种．（14）【2014年北京，理14，5分】设函数()sin()f x x ωφ=+，0A >，0ω>若()f x 在学科网区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为________． 【答案】π【解析】由()f x 在区间ππ62⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，()f x 有对称中心π03⎛⎫, ⎪⎝⎭，由π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 有对称轴1π27ππ22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记T 为最小正周期，则1ππ2π2263T T -⇒≥≥，从而7πππ1234T T -=⇒=． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京，理15，13分】如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． （1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长． 解：（1）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=．所以11sin sin()sin cos cos sin 27BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠=- （2）在ABD ∆中，由正弦定理得8sin 3sin AB BADBD ADB⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =． （16）【2014：（1 （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较()E X 与x 的大小（只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2 主场3 主场5 客场2 客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P ==．（2）李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1215P -=，客场中命中率超过0.6概率 225P =，命中率不超过0.6的概率为2315P -=．332213555525P =⨯+⨯=．（3）()E X x =．（17）【2014年北京，理17，14分】如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,G H ． （1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AF PE ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，求线段PH 的长． 解：（1）AM ED //，AM ⊄面PED ，ED ⊂面PED ．∴AM ∥面PED ．AM ⊂面ABF ，即AB ⊂面ABF ，面ABF 面PDE FG =∴AB FG ∥．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，各点坐标如下()0,0,0A ,()0,2,0E ,()1,0,0B ,()2,1,0C ,()0,1,1F ,()0,0,2P ，设面ABF 的法向量为()000,,n x y z =，()1,0,0AB =，()0,1,1AF =，00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，∴()0,1,1n =-，又()1,1,0BC =，∴1sin ,2BC n ==，直线BC 与平面ABF 所成的角为π6．设()111,,H x y z ，由PH tPC =，则()()111,,22,1,2x y z t -=-∴111222x t y tz t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴()2,,22H t t t -，又H ∈面ABF ，()21,,22BH t t t =--，∴0n BH ⋅=，∴220t t +-=，∴23t =，∴422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴42PH ⎛= ．（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈．（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．解：（1）()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤．（2）解法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”，令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时，因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，D()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 最小值为1． 解法二：令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦，则()2cos sin x x x g x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减，从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 最大值为2π，b 最小值为1，下面进行证明：()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <，则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ，且()00x x ∈,时，()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增，此时()()00h x h >=,sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥，综上知：b 的最小值为1．（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为2212x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c 故椭圆C 的离心率2c e a ==．（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：解法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得002y t x =-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB 的方程为x =圆心O 到直线AB 的距离d =．此时直线AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022yy x t x t --=--，即()()0000220y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB 的距离d=220024x y +=，02y t x =-， 故d ===AB 与圆222x y +=相切．解法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥，①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线ABAB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k =-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫ ⎝；联立12y xk y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,，由点A 的坐标的对称性知，取点A ⎛⎫计算，直线AB的方程为：))2222y x k x k k -=+=++，即((21220k x y k -+++=， 原点到直线AB 距离d ==，此时直线AB 与圆222x y +=相切．综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．解法三：①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时22OA OB =,=，AB =，原点到直线AB的距离OA OB d AB⋅===AB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，设()()1122A xy B x y ,,,，则1OA，2OB ==，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫或⎛⎫⎝；于是A OA=，OB =，21k AB +=OA OBd AB⋅===直线AB 与圆222x y +=相切；综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．（20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数．（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值；（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小；（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最 小，并写出5()T P 的值．（只需写出结论）．解：（1）()1257T P =+=,()(){}{}211max 241max 768T P T P =+,+=+,=． （2）当m a =时：()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d b c d '=++,+=++,=++；因为a 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max a b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤； 当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d a b c '=++,+=++,=++；因为d 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max d b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤． 综上，这两种情况下都有()()22T P T P '≤．（3）数列序列:P ()4,6，()11,11，()16,11，()11,8，()5,2的()5T P 的值最小；()110T P =，()226T P =，()342T P =，()450T P =，()552T P =．。
2014年高考真题(北京卷)数学(理科) 附详细答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数 学(理科)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2014北京,理1)已知集合A={x|x 2-2x=0},B={0,1,2},则A ∩B=( ). A .{0} B .{0,1} C .{0,2} D .{0,1,2} 2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y=√x +1 B .y=(x-1)2 C .y=2-x D .y=log 0.5(x+1)3.(2014北京,理3)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A .在直线y=2x 上B .在直线y=-2x 上C .在直线y=x-1上D .在直线y=x+1上 4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ). A .7 B .42 C .210 D .8405.(2014北京,理5)设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q>1”是 “{a n }为递增数列”的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.(2014北京,理6)若x ,y 满足{x +y -2≥0,kx -y +2≥0,y ≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为( ).A .2B .-2C .12 D .-127.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz 中,已知A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),D (1,1,√2).若S 1,S 2,S 3分别是三棱锥D-ABC 在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ).A .S 1=S 2=S 3B .S 2=S 1且S 2≠S 3C .S 3=S 1且S 3≠S 2D .S 3=S 2且S 3≠S 1 8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ).A .2人B .3人C .4人D .5人第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2014北京,理9)复数(1+i 1-i )2= .10.(2014北京,理10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|= .11.(2014北京,理11)设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24-x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐近线方程为 .12.(2014北京,理12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大.13.(2014北京,理13)把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.14.(2014北京,理14)设函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分)(2014北京,理15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17.(1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长.16.(本小题13分)(2014北京,理16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;。
2014年高考理科数学北京卷-答案
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】C【解析】 A ={0, 2}，∴ A B ＝{0, 2} {0,1,2}＝{0, 2}，故选 C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【考点】交集及其运算2. 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项 B 中的函数在（0，1）上递减，选项 C ，D 中的函数在(0, +∞) 上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选 A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【考点】对数函数的单调性与特殊点3. 【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为(x +1)2 + ( y - 2)2=1，其对称中心点为(-1, 2) ，验证知其在直线y = -2x 上，故选 B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【考点】曲线的参数方程4. 【答案】C【解析】 S =1⨯ 7 ⨯ 6⨯5=210 ，故选 C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【考点】循环结构5. 【答案】D【解析】当 a 1 < 0，q >1 时，数列{a n } 递减；当a 1 < 0 ，数列{a n } 递增时， 0 < q <1 ，故选 D. 【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【考点】充分、必要条件，等比数列的性质6. 【答案】D【解析】可行域如图所示，当k > 0 时，知 z = y - x 无最小值，当k < 0 时，目标函数线过可行域内 A 点时 z2 2 2 ⎝ ⎭ ⎣ ⎦2 ⎧ y = 0 有最小值.联立 解得 A ⎛ 2 ,0⎫，故 z =0+ 2 =4 即k = - 1 ，故选 D. ⎨kx - y + 2 = 0 k ⎪ min k 2 ⎩⎝ ⎭【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【考点】简单线性规划7. 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标平面 xOy 、 yOz 、 zOx 上的正投影分别为 D 1 、 D 2 、 D 3 ， 则 AD 1 = BD 1 = ， AB = 2 ，∴ S 1 = 1 ⨯ 2 ⨯ 2=2 ， S 2 2 = S △OCD = 1 ⨯ 2 ⨯ = 2 ， S 3 = S △OAD = 1⨯ 2 ⨯ = 2，故选D.【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 【考点】空间直角坐标系8. 【答案】B【解析】假设 A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有 3 种，因而学生数量最大为3，即 3 位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选 B. 【提示】分别用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得 A ，B ，C 的学生各最多只有 1 个，继而推得学生的人数. 【考点】排列组合数的应用第Ⅱ卷二、填空题9. 【答案】 -1⎛ 1+ i ⎫2⎡(1- i)2 ⎤2 ⎛ 2i ⎫2【解析】 1- i ⎪ = ⎢(1- i)(1+ i) ⎥ = ⎪ ⎝ ⎭= -1.【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【考点】复数代数形式的四则运算2 2 23| a || b |= 5 = 1 5 x 3 2 3 2 - 10. 【答案】【解析】 λa ＋b = 0 ，∴λa = -b ，∴| λ |=.【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求| λ | 的值.【考点】向量的线性运算211. 【答案】 x y =13 12y ＝± 2xy 22(2, 2)22 2【解析】设双曲线C 的方程为 - x 4 = λ ，将 代入得 4 - 2 = - 3=λ ， ∴双曲线 C 的方程为 x - y2=1 .令 y 2 - 2 =0 得渐近线方程为 y = ±2x .3 12 4【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【考点】双曲线的简单几何性质12. 【答案】8【解析】最大.a 7 + a 8 + a 9 =3a 8 > 0 ，a 7 + a 10 = a 8 + a 9 < 0 ，∴a 8 > 0，a 9 < 0 ，∴ n = 8 时，数列{a n } 的前 n 项和 【提示】可得等差数列{a n }的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，进而可得结论.【考点】等差数列性质13. 【答案】36【解析】 A 3 A 2 A 1= 6⨯ 2⨯ 3 = 36 .【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【考点】乘法原理，排列数的应用14. 【答案】 πT 【解析】结合图像得 π + 2π π + π= 2 3 - 2 6 ，即T ＝π .4 2 2【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期 T. 【考点】二次函数的图象与周期性52AB sin ∠BAD 715.【答案】（1） 3 314（2）BD = 3，AC = 7 【解析】（1）在△ADC 中，因为cos ∠ADC = 1 ，所以sin ∠ADC = 4 3 .7 7所以sin ∠BAD = sin(∠ADC - ∠B ) = sin ∠ADC cos B - cos ∠ADC sin B= 4 3 ⨯ 1 - 1 ⨯ 37 2 7 2 = 3 3 . 148⨯ 3 3（2） 在△ABD 中，由正弦定理得BD = = 14 = 3 ，在△ABC 中，由余弦定理得 sin ∠ADB4 3AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2AB = 82 + 52 - 2 ⨯ 8⨯ 5⨯ 1= 49 ，2所以 AC = 7 .【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. 【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理 16.【答案】（1）0.5（2） 1325（3） EX = x【解析】（1）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的有 5 场，分别是主场 2，主场3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.（2） 设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”. 则C = AB AB ，A ，B 独立根据投篮统计数据， P ( A ) = 3，P (B ) = 2.5 5P (C ) = P (AB ) + P (AB ) = 3 ⨯ 3 + 2 ⨯ 25 5 5 5 = 1325所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 13.25BC cos Bn , BC|=| n || BC | n BC = 12⎛ 4 ⎫2⎛ 2 ⎫2⎛ 4 ⎫23 ⎪ + 3 ⎪ + - 3 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式17. 【答案】（1）在正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以 AB ∥DE .又因为 AB ⊄ 平面 PDE ，所以 AB ∥平面PDE ，因为 AB ⊂ 平面 ABF ，且平面 ABF 平面 PDE = FG ， 所以 AB ∥FG .（2）因为 PA ⊥ 底面 ABCDE ，所以 PA ⊥ AB ， PA ⊥ AE .如图建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A (0,0,0) ， B (1,0,0) ， C (2,1,0) ， P (0,0, 2) ， F (0,1,1) ，BC = (1,1,0) .⎧⎪n AB = 0 ⎧x = 0 设平面 ABF 的法向量为n = (x , y , z ) ，则⎨n AF = 0 ，即⎨y + z = 0 . ⎩⎪ ⎩令 z = 1, ，则 y = -1 .所以n = (0, -1,1) ，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为α ，则sin α =| cos .设点 H 的坐标为(u ,v , w ).因为点 H 在棱 PC 上，所以可设 PH = λ PC (0 < λ <1) ，即(u ,v , w - 2) = λ(2,1, -2) ，所以u = 2λ,v = λ, w = 2 - 2λ .因为n 是平面 ABF 的法向量，所以n AH = 0 ，即(0, -1,1) (2λ,λ, 2 - 2λ) = 0 .2 ⎛ 4 2 2 ⎫解得λ = ，所以点H 的坐标为 , , ⎪ 3 ⎝ 3 3 3 ⎭所以 PH = = 2 .【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐2 标系求解.【考点】直线与平面所成的角18. 【答案】（1）由 f (x ) = x c os x -sin x 得 f '(x ) = cos x - x sin x - cos x = -x sin x .因为在区间⎛ 0, π ⎫ 上 f '(x ) = -x sin x < 0 ，所以 f (x ) 在区间⎡0, π ⎤上单调递减，从而 f (x ) ≤ f (0) = 0 . 2⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎝ ⎭ ⎣ ⎦（2）当 x > 0 时，“ sin x > a ”等价于“ sin x - ax > 0 ”，“ sin x< b ”等价于“ sin x - bx < 0 ”. x x令 g (x ) = sin x - cx ，则 g '(x ) = cos x - c .当c ≤ 0 时， g (x ) > 0 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ 恒成立. 2 ⎪ ⎝ ⎭当 c ≥ 1 时， 因为对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ ， g '(x ) = cos x - c < 0 ， 所以 g (x ) 在区间 ⎡0, π ⎤上单调递减. 从而 2⎪ ⎢ 2 ⎥g ( x )< ⎝ ⎭ ⎣ ⎦ g ( 0 )= 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ 恒成立.2 ⎪ ⎝ ⎭当0 < c <1时，存在唯一的 x ∈⎛ 0, π ⎫，使得 g '(x ) = cos x- c = 0 .0 2 ⎪0 0 ⎝ ⎭g (x ) 与 g '(x ) 在区间⎛ 0, π ⎫ 上的情况如下： 2 ⎪ ⎝ ⎭因为 g (x ) 在区间[0, x ] 上是增函数，所以 g (x ) > g (0) = 0 .进一步，“ g (x ) > 0 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ 恒成立”当 0 0 2⎪ ⎝ ⎭且仅当 g ⎛ π ⎫= 1- π ≥ 0 ，即0 < c ≤ 2 . ⎪⎝ ⎭综上所述，当且仅当c ≤ 2 时， g (x ) > 0 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫恒成立；π 2 ⎪ ⎝ ⎭当且仅当c ≥ 1 时， g (x )<0 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫恒成立. 2 ⎪ ⎝ ⎭2 π± 2 4+ x 0x 0 x 04+8 x 02+162 x 022 2 0t = 所以，若a < sin x < b 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ 恒成立，则 a 最大值为 2 ，b 的最小值为 1x 2 ⎪ π ⎝ ⎭【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值.【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围219. 【答案】（1）由题意，椭圆 C 的标准方程为 x + y = 1.4 2所以a 2 = 4,b 2 = 2 ，从而c 2 = a 2 - b 2 = 2 .因此a = 2, c =（2）直线 AB 与圆 x 2 + y 2= 2 相切.证明如下：设点 A ，B 的坐标分别为(x 0 , y 0 ) ， (t , 2) ，其中 x 0 ≠ 0 .2 .故椭圆C 的离心率e = c = 2. a 2因为OA ⊥ OB ，所以OA OB = 0 ，即tx+ 2y = 0 ，解得t =-2 y 0 .当 x 0 0= t 时， y = t 2，代入椭圆 C 的方程，得 2x 0，故直线 AB 的方程为 x = . 圆心O 到直线 AB 的距离d = 2 .此时直线 AB 与圆 x 2 + y 2= 2 相切.当 x ≠ t 时，直线 AB 的方程为 y - 2 =y 0 - 2(x - t ) ，即( y - 2)x - (x - t ) y + 2x - ty = 0 ， x 0 - t0 0 0 0圆心O 到直线 AB 的距离d =| 2x 0 - ty 0 | ( y - 2)2 + (x - t )2 .又 x 2 + 2y 2= 4 ， t =- 2 y 0，故d === ，0 0x 0此时直线 AB 与圆 x 2 + y 2= 2 相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质 20.【答案】（1） T 1 (P ) = 7，T 2 (P ) = 8 （2）T 2 (P ) ≤ T 2 (P ') （3）T 1 (P ) =10 ， T 2 (P ) = 26 ， T 3 (P ) = 42 ， T 4 (P ) = 50 ， T 5 (P ) = 52 【解析】（1） T 1 (P ) = 2 + 5 = 7 ， T 2 (P ) =1+ max{T 1(P ), 2 + 4} =1+ max{7,6}=8.± 2 2x + 2 y 0 2x 0x + y + + 42 2 4 y 20 0 x 02 0（2）T 2 (P ) = max {a + b + d , a + c + d } ， T 2 (P ') = max {c + d + b ,c + a + b } . 当 m =a 时， T 2 (P ') = max {c + d + b ,c + a + b } = c + d + b ，因为c + d + b ≤ c + b + d ，且a + c + d ≤ c + b + d ，所以T 2 (P ) ≤ T 2 (P ') . 当 m =d 时， T 2 (P ') = max {c + d + b ,c + a + b } = c + a + b ，因为a + b + d ≤ c + a + b ，且a + c + d ≤ c + a + b 所以T 2 (P ) ≤ T 2 (P ') . 所以无论m = a 还是m = d ， T 2 (P ) ≤ T 2 (P ') 都成立.（3）数对序列 P (4,6) ， (11,11) ， (16,11) ， (11,8) ， (5, 2) 的T 5 (P ) 值最小， T 1 (P ) =10 ， T 2 (P ) = 26 ， T 3 (P ) = 42 ， T 4 (P ) = 50 ， T 5 (P ) = 52 【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小. 【考点】分析法和综合法。
2014北京高考数学真题(理科)及答案
2014北京高考数学真题（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则AB =（ ）A ．{0}B ．{01}，C ．{02}，D ．{01,2}，2. 下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（）A ．+1y x =B ．()21y x =-C ．2xy -= D ．()0.5log +1y x =3. 曲线1cos 2+sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，()θ为参数 的对称中心（）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）否k =k 1S =S •k结束输出S 是k ＜m n +1k =m ,S =1输入m ,n 的值开始A ．7B ．42C ．210D ．8405. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >“”是{}n a 为递增数列的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．12 D ．12-7. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(1,1,2)D ，若123S ,S ,S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．12S =S 且31S S ≠C ．13S =S 且32S S ≠D ．23S =S 且13S S ≠8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ．10. 已知向量u r α、rb 满足1=r a ，()2,1=r b ，且()λλ+=∈0R r r a b ,则λ= ．11. 设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ．12. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大．13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种．14. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ωϕ是常数，0A >，0ω>）．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题共13分） 如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 上，且=2CD ，1cos 7ADC ∠=（I ）求sin BAD ∠； （II ）求,BD AC 的长．DCBA16（本小题共13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：（1） 从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过0.6的概率；（2） 从上述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； （3） 记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中命中次数，比较E X （）与x 的大小（只需要写出结论）17.（本小题共14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G 、H （Ⅰ）求证：//AB FG ； （Ⅱ）若P A A B C D E ⊥平面，且=P A A E ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.MPHGFEDCBA18.（本小题共13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈（I ）求证：()0f x …； （II ）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求与a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题共14分）已知椭圆22:24C x y +=（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设O 为坐标原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20（本小题共13分）对于数对序列()11,P a b ，()22,a b ，⋅⋅⋅，(),n n a b ，记()111T P a b =+，()(){}()112max ,2k k k k T P b T P a a a k n -=+++⋅⋅⋅+剟，其中(){}112max ,k k T P a a a -++⋅⋅⋅+表示()1k T P -和12k a a a ++⋅⋅⋅+两个数中最大的数， （1）对于数对序列()2,3P ，()4,1，求()1T P ，()2T P 的值．（2）记m 为a b c d 、、、四个数中最小值，对于由两个数对(),a b ，(),c d 组成的数对序列 ()(),,,P a b c d 和()()',,,P c d a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较()2T P 和()2'T P 的大小．（3）在由5个数对()11,8，()5,2，()16,11，()11,11，()4,6组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使()5T P 最小，并写出()5T P 的值．（只需写出结论）参考答案一、 选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．A 3．B 4．C5．D6．D7．D8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．1- 10．5 11．221312x y -=； 2y x =±12．8 13．36 14．π三、解答题（共6小题，共80分）15．（共13分） 【解析】 （1）243sin 1cos 7ADC ADC ∠=-∠=sin sin()sin cos cos sin 4311333727214BAD ADC B ADC B ADC B∴∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=⨯-⨯=（2）在ABD ∆中，sin sin sin AB AD BDADB B BAD ==∠∠∠，即：8433337214AD BD ==解得： 3,7BD AD == 在ACD ∆中，222222cos 172272497AC AD DC AD DC ADC=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=7AC ∴=16．（共13分）解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A ， 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过0.6的场次有： 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率()51102P A ==． （2）设李明一场投篮命中率超过0.6，一场命中率不超过0.6的概率为事件B ，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率135P =，客场命中率超过0.6的概率225P =故()()()122133221311=+=555525P B P P P P =⨯-+⨯-⨯⨯． （3）()E X x =．17．（共14分） 【解析】 （1） 证明：//,,ED AM ED AM PED PED ⊄⊂面面//AM PED ∴面,AM ABF AB ABF ⊂⊂面即面ABF PED FG =面面Ç//AB FG ∴（2） 如图建立空间坐标系A xyz -，各点坐标如下：(0,0,0),E(0,2,0),B(1,0,0),C(2,1,0),F(0,1,1),P(0,0,2)A设ABF 面的法向量为000(,,z )n x y =，(1,0,0)AB =,(0,1,1),AF =n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =得：(0,1,1)n =- 又(1,1,0)BC =，11sin ,222BC n ∴<>==⨯直线BC 与平面ABF 所成角为6π 设111(,,z )H x y ,由,PH tPC =则111(,,z 2)t(2,1,2)x y -=-(21,,22)H t t t ∴--又,(21,,22)H ABF BH t t t ∈=--面0n BH ∴⋅=,2220,3t t t ∴+-=∴=，422(,,)333H ∴，424,,333PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭|PH|=2∴18．（共13分）解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()0f x …． （2）一方面令()si n x g x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin 'x x xg x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <， 故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2πa …，所以m a x 2πa =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'cos h x x b =-，当1b …时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()()00h x h <=，所以()s i n 0h x x b x =-<恒成立．当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一解0x ，且()00,x x ∈，()'0h x >，故()h x 在()00,x 上单调递增，从而()()00h x h >=， 即sin sin 0sin x x bx x bx b x ->⇒>⇒>与sin xb x<恒成立矛盾， 综上，1b …，故min 1b =．19．（共14分）（1）椭圆的标准方程为：22142x y +=，故2,2a b ==，则2c =，故离心率2e 2c a ==； （2）由题可得，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥,○1当0k =时，()2,0A ±，已知()0,2B ，此时直线AB 方程为20x y +-=或+2=0x y -，原点到直线AB 的距离均为2，故满足直线AB 与圆222x y +=相切；○2当0k ≠时，直线OB 方程为1y x k=-， 联立22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()221+24k x =，故2222,1212k A k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭或2222,1212k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 联立12y x k y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得，()2,2B k -，由A 的对称性，那么不妨去点2222,1212k A kk ⎛⎫⎪++⎝⎭进行计算，于是直线AB 方程为()()22222212122222112212kk k ky x k x k k kkk --++-=+=+++++，()()22212112+220k k x k k y k -+-+++=原点到直线AB 的距离()()222222+2=212+112k d k kkk=-+++，此时与圆222x y +=相切；综上所述，直线AB 与圆222x y +=相切．20．（共13分）解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=；（2）当m a =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+；()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++； 因为a 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++…，从而()()22'T P T P …；当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；因为d 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 综上，这两种情况下都有()()22'T P T P …．（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。
2014年高考理科数学北京卷(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-=,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2}2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A.y B .2(1)y x =- C .2x y -=D .0.5log (1)y x =+3.曲线1cos ,2sin ,x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（..为参数）的对称中心( )A .在直线2y x =上B .在直线2y x =-上C .在直线1y x =-上D .在直线1y x =+上4.当7m =,3n =时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A .7B .42C .210D .840 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.若x ,y 满足20,20,0,x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-,则k 的值为( )A .2B .2-C .12D .12-7.在空间直角坐标系O xyz -中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,(0),2,0C,(D .若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A .123S S S ==B .21S S =且23S S ≠C .31S S =且32S S ≠D .32S S =且31S S ≠8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A .2 人B .3 人C .4 人D .5 人第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.9.复数21i ()1i+=- . 10.已知向量a ,b 满足|a |1=,b (2,1)=,且λa +b =0()λ∈R ,则||λ= .11.设双曲线C 经过点(2,2),且与2214y x =-具有相同渐近线,则C 的方程为 ；渐近线方程为 .12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n = 时,{}n a 的前n 项和最大.13.把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.14.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数,0A >,0)ω>.若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==-,则()f x 的最小正周期为 . 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图,在ABC △中,π3B ∠=,8AB =,点D 在BC 边上,且2CD =,1cos 7ADC ∠=.（Ⅰ）求sin BAD ∠； （Ⅱ）求BD ,AC 的长.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________16.（本小题满分13分）（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.（只需写出结论）17.（本小题满分14分）如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P ABCDE-中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.（Ⅰ）求证：AB FG；（Ⅱ）若PA⊥底面ABCDE,且PA AE＝,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长. 18.（本小题满分13分）已知函数()cos sinf x x x x=-,π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求证：()0f x≤；（Ⅱ）若sin xa bx<<对π(0,)2x∈恒成立,求a的最大值与b的最小值.19.（本小题满分13分）已知椭圆C：2224x y+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线2y=上,且OA OB⊥,试判断直线AB与圆222x y+=的位置关系,并证明你的结论.20.（本小题满分13分）对于数对序列P：11(,)a b,22(,)a b,⋅⋅⋅,(),n na b,记111()T P a b=+,()k kT P b=+ 112max{(),}k kT P a a a-+⋅⋅⋅++(2)k n≤≤,其中112(ma}x{),k kT P a a a-++⋅⋅⋅+表示1()kT P-和12ka a a++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.（Ⅰ）对于数对序列P：(2,5),(4,1),求1()T P,2()T P的值；（Ⅱ）记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(,)a b,(,)c d组成的数对序列P：(,)a b,(,)c d和P'：(,)c d,(,)a b,试分别对m a=和m d=两种情况比较2()T P和2()T P'的大小；（Ⅲ）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使5()T P最小,并写出5()T P的值.（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C 【解析】{}0,2A =，{0,2}{0,1,2}{0,2}AB ∴＝＝，故选C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【考点】交集及其运算 2.【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在（0，1）上递减，选项C ，D 中的函数在(0,)+∞上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【考点】对数函数的单调性与特殊点 3.【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)=1x y ++-，其对称中心点为(1,2)-，验证知其在直线2y x =-上，故选B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【考点】曲线的参数方程 4.【答案】C【解析】=1765=210S ⨯⨯⨯，故选C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【考点】循环结构 5.【答案】D【解析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【考点】充分、必要条件，等比数列的性质 6.【答案】D【解析】可行域如图所示，当0k >时，知z y x =-无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值.联立020y kx y =⎧⎨-+=⎩解得2,0A k ⎛⎫⎪⎝⎭，故min 2=0+=4z k 即1=2k -，故选D.【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【考点】简单线性规划 7.【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为1D 、2D 、3D ，则11AD BD ==2AB =， ∴11S 22=22=⨯⨯，22122OCD S S ==⨯=△，33122OAD S S ==⨯△，故选D.【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 【考点】空间直角坐标系 8.【答案】B【解析】假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选B. 【提示】分别用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得A ，B ，C 的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数. 【考点】排列组合数的应用第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】1-【解析】22221i (1i)2i 11i (1i)(1i)2⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=⎣⎦. 【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【解析】0a b λ＋=，a b λ∴=-，||5||||b a λ∴===. 【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求||λ的值. 【考点】向量的线性运算11.【答案】22=1312x y -2y x ±＝【解析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将(2,2)代入得2222=3=4λ--， ∴双曲线C 的方程为22=1312x y -.令22=04y x -得渐近线方程为2y x =±.【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【考点】双曲线的简单几何性质 12.【答案】8 【解析】7898=30a a a a ++>，710890a a a a +=+<，8900a a ∴><，，∴8n =时，数列{}n a 的前n 项和最大.【提示】可得等差数列{}n a 的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论. 【考点】等差数列性质 13.【答案】36【解析】32132362336A A A =⨯⨯=.【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【考点】乘法原理，排列数的应用 14.【答案】π【解析】结合图像得π2πππ2326+=422T +-，即πT ＝.【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期T. 【考点】二次函数的图象与周期性 三、解答题 15.【答案】（1）14（2）37BD AC ==，【解析】（1）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠1127=-=（2）在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠，在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-22185285492=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =.【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理 16.【答案】（1）0.5 （2）1325（3）EX x =【解析】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C ABAB =，A B ，独立根据投篮统计数据，32()()55P A P B ==，.()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯1325=所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. （3）EX x =.【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式 17.【答案】（1）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB DE ∥.又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB PDE ∥平面，因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF平面PDE FG =，所以AB FG ∥.（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC =.设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩. 令1,z =，则1y =-.所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为α， 则1sin |cos ,|2|||n BC n BC n BC α===|.设点H 的坐标为(,,).u v w因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-， 所以2,,22u v w λλλ===-.因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AH =，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ--=.解得23λ=，所以点H 的坐标为422,,333⎛⎫⎪⎝⎭所以2PH =.【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解. 【考点】直线与平面所成的角18.【答案】（1）由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-.因为在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()(0)0f x f ≤=.（2）当0x >时，“sin xa x>”等价于“sin 0x ax ->”，“sin x b x <”等价于“sin 0x bx -<”. 令()g x sin x cx =-，则()cos g x x c '=-.当0c ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时，因为对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()(0)0g x g <=对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时，存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得00()cos 0g x x c '=-=.()g x 与()g x '在区间π0,⎛⎫⎪上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=.进一步，“()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，即20πc <≤.综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c≥时，()<0g x 对任意π0,2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 的最小值为1 【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值. 【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围19.【答案】（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=.所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=.因此2,a c ==故椭圆C 的离心率2c e a ==（2）直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即0020tx y +=，解得02y t x =-. 当0x t =时，202t y =，代入椭圆C 的方程，得t =AB 的方程为x =.圆心O 到直线AB 的距离d .此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--，即0000(2)()20y x x ty x t y ---+-=，圆心O 到直线AB的距离d =.又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质 20.【答案】（1）12()7()8T P T P ==， （2）22()()T P T P '≤（3）1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【解析】（1）1()257T P =+=，21()1max{(),24}T P T P =++1max{7,6}=+=8. （2）2()T P {}max ,a b d a c d =++++，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++. 当m =a 时，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++，因为c d b c b d ++≤++，且a c d c b d ++≤++，所以2()T P ≤2()T P '. 当m =d 时，2()T P '{}max ,c d b c a b =++++c a b =++，因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2()T P '. 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立.（3）数对序列P ：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的5()T P 值最小， 1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小. 【考点】分析法和综合法。
2014年高考北京卷数学理含答案
2014北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为A.y =±2xB.y =2x ±C.12y x =±D.22y x =±7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83 D.16238.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
2014年全国高考北京理科数学试题及答案
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B = ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x=- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3. 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6. 若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A. 123S S S ==B. 12S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 23S S =且 13S S ≠8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。
(完整版)2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（2014•北京）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．（5分）（2014•北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上考点：圆的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．4．（5分）（2014•北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42 C．210 D．840考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．5．（5分）（2014•北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（5分）（2014•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S1考点：空间直角坐标系．专题：空间向量及应用．分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．8．（5分）（2014•北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•北京）复数（）2=﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．解答：解：（）2=．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）（2014•北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．（5分）（2014•北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为y=±2x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x．点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）（2014•北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．13．（5分）（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②除去A、B相邻又满足A、C相邻的情况．解答：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．14．（5分）（2014•北京）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求．解答：解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．16．（13分）（2014•北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8主场2 15 12 客场2 13 12主场3 12 8 客场3 21 7主场4 23 8 客场4 18 15主场5 24 20 客场5 25 12（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．解答：解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=点评：本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．17．（14分）（2014•北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，∴n=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．18．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x （0，x0）x0（x0，）g′（x）+ ﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1 点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切．解答：解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得．当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．20．（13分）（2014•北京）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k﹣1（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．考点：分析法和综合法．专题：新定义；分析法．分析：（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论．解答：解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．。
2014年北京高考理科数学试题含答案(Word版)
2014 年北京高考数学（理科）试题一 .选择题（共 8小题，每题 5 分，共 40分 .在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项）1.已知会合A{ x | x22x0}, B{0,1, 2} ，则A B ()A.{0}B.{ 0, 1}C.{ 0, 2}D.{ 0,1, 2}2.以下函数中，在区间(0,) 上为增函数的是（）A.y x1B. y( x12)C.y 2 x D . y l o 0g. 5x( 1 )3.曲线x1cos（为参数）的对称中心（）y2sinA. 在直线y2x 上B.在直线y2x 上C. 在直线y x1上D.在直线y x 1上4.当m7, n 3 时，履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A.7B.42C.210D.8405.设{ a n}是公比为q的等比数列，则" q1" 是 "{ a n }" 为递加数列的（）A. 充足且不用要条件B. 必需且不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件x y206.若x, y知足kx y20 且z y x 的最小值为-4，则 k 的值为（）y0A.2B.21D .1 C .2 27.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知 A 2,0,0 ， B 2,2,0 ， C 0,2,0，D 1,1, 2，若S1， S2， S3分别表示三棱锥D ABC 在xOy，yOz， zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A）S1S2S3（B）S1S2且 S3S1（C）S1S3且 S3S2（D）S2S3且 S1S38.有语文、数学两，成绩评定为“优异”“合格”“不合格”三种 .若A同学每科成绩不低于 B 同学，且起码有一科成绩比B高，则称“ A 同学比 B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有随意两个人语文成绩同样，数学成绩也同样的 .问知足条件的最多有多少学生（）（A）2（B）3（C）4（D）5二、填空题（共 6 小题，每题 5 分，共30 分）12i________.9.复数i110.已知向量a、b知足a 1 ，b2,1，且 a b 0R ，则________.11.设双曲线C经过点2,2，且与 y2x21拥有同样渐近线，则 C 的方程为________；4渐近线方程为 ________.12.若等差数列a n知足a7a8 a90 ， a7a10 0 ，则当 n________时a n的前n项和最大 .13.把 5 件不一样产品摆成一排，若产品 A 与产品 C 不相邻，则不一样的摆法有_______种.14.设函数 f ( x) sin( x) ， A0,0 ，若 f (x) 在区间 [6,] 上拥有单一性，且2f f 2，则 f (x) 的最小正周期为________.f236试题剖析：平等比数列{ a n} ，若 q 1 ，则当 a1 ,0 时数列 { a n} 是递减数列；若数列{ a n } 是递加数列，则二．填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分. 请将答案天灾答题卡对应题的位置上，答错地点，书写不清，含糊其词均不得分.9.【答案】 1【分析】试题剖析：1i(1 i )22i i ，因此 (1i )2i 21. 1i(1 i )(1 i )21i10.【答案】 5【分析】三．解答题（共 6 题，满分80 分）15. （本小题 13 分）如图，在ABC 中，B, AB 8，点D在BC边上，且 CD1 2,cos ADC37（ 1）求sin BAD（2）求BD, AC的长16.（本小题 13 分） .李明在 10 场篮球竞赛中的投篮状况以下（假定各场竞赛相互独立）：（1）从上述竞赛中随机选择一场，求李明在该场竞赛中投篮命中率超出0.6 的概率.（2）从上述竞赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超出0.6 ，一场不超出0.6 的概率.（3）记x 是表中10 个命中次数的均匀数，从上述竞赛中随机选择一场，记X为李明在这竞赛中的命中次数，比较E(X)与x 的大小（只要写出结论）17.（本小题14 分）如图，正方形AMDE的边长为2，B,C分别为AM ,MD的中点，在五棱锥P ABCDE 中，F为棱PE 的中点，平面ABF与棱PD , PC 分别交于点G, H.（ 1）求证：AB // FG；（ 2）若PA底面ABCDE，且AF PE ，求直线BC 与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长 .18.（本小题13 分）f (x)xcosxsin,[0, ]，已知函数x x2（ 1）求证：f ( x)0 ；（ 2）若a sin x b在 (0,) 上恒建立，求a的最大值与 b 的最小值.x219.（本小题14 分）已知椭圆 C : x2 2 y2（ 1）求椭圆C的离心率（ 2）设O为原点，若点.4 ，A 在椭圆C上，点B 在直线y 2 上，且OA OB ，求直线AB与圆x2y2 2 的地点关系，并证明你的结论.20.（本小题13 分）关于数对序列P(a1,b1),( a2,b2 ),,( a n, b n ) ，记T1(P)a1b1，T k ( P)b k max{T k 1(P), a1a2a k }(2k n) ，此中max{T k 1( P), a1a2a k }表示 T k 1(P)和 a1a2a k两个数中最大的数，（ 1）关于数对序列P(2,5), P(4,1) ，求 T1 (P),T2 (P) 的值.（ 2）记m为a,b,c, d四个数中最小值，对于由两个数对(a, b),( c, d )组成的数对序列P(a,b),( c,d ) 和 P '(a,b),( c, d) ，试分别对m a 和m d 的两种状况比较T2 ( P) 和 T2 (P ') 的大小 .（ 3）在由 5 个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)构成的全部数对序列中，写出一个数对序列P 使 T5( P) 最小，并写出 T5 (P) 的值.（只要写出结论）.。
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一 •选择题（共8小题, 21. 已知集合A {x|xA.{0}B.{0,1} 2. 下列函数中，在区间 2014年北京高考数学（理科）试题每小题5分， 2x 0}, B C.{0,2} 共40分•在每小题列出的四个选项中, {0,1,2}，则 D.{0,1,2} 选出符合题目要求的一项）AI A.y . x 1 B.y (x 1)2 C.y 2 x D.y log 0.5(x 1) x 1 3.曲线 y 2 cos ( sin 为参数）的对称中心（） A.在直线y 2x 上 B.在直线y 2x 上C.在直线y x 1上D.在直线y x 1上 4.当 m 7, n 3时，执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A.7B.4C.210D.840) （0,）上为增函数的是（ 1"是"{a n }"为递增数列的（ A.充分且不必要条件 B.要且不充分条件C.充分必要条件D.既不卜充分也不必要条件 x y 2 0 6.若x, y 满足kx y 2 0且z y x 的最小值为-4,贝U k 的值为（ ) y 0 A.2 B. 2 C 1 D . 12 2) 7.在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知A 2,0,0 ，B 2,2,0 ，C 0,2,0 ，D 1,1/. 2，若 (A ) S 1 S 2 S 3 (B ) S 1 S 2 且 S 3 S (C ) S 1 S 3 且 S 3 S 2 (D ) S 2 S 3且 S 1 S 38.有语文、 数学两学科， 成绩评定为“优秀” “合格” “不合格” 三种 若 A 同学每科成绩不3， S 2， S 3分别表示三棱锥 D ABC 在xOy ， yOz ， zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（） 低于B 同学，且至少有一科成绩比 B 高，则称“ A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学,他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）(A ) 2(B) 3(C) 4(D) 5二、填空题(共2i6小题, 每小题5分，共30分）19.复数1i r r r r r r10.已知向量a b满足a 1 ,b 2,1，且a b 0R，则| |21 111.设双曲线C经过点2,2，且与丄X21具有相同渐近线，则C的方程为；4渐近线方程为_________ .12.若等差数列a n满足a7 a8 a9 0，a? a io 0 ,则当n _________ 时a n的前n项和最大.13.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 __________ 种14.设函数f（x） sin（ x ），A 0, 0，若f （x）在区间［一，］上具有单调性，且6 2f — f — f —，贝U f （x）的最小正周期为2 3 6三•解答题（共6题，满分80分）1 15.（本小题13分）如图，在ABC中，B , AB 8，点D在BC边上，且CD 2,cos ADC3 7（1）求sin BAD(2)求BD,AC的长16.（本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率•（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率.（3）记X是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这比赛中的命中次数，比较E（X）与x的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B,C分别为AM , MD的中点，在五棱锥P ABCDE 中，F为棱PE 的中点，平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H .（1）求证：AB//FG ；（2）若PA 底面ABCDE，且AF PE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.V ■、¥ nL■Jr■ Jr_ r18.（本小题13分）12」、选择题 (1) C (5) D2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)参考答案 每小题8小题,(2) A (6) D 5分，共40分) (3) B (4) C (7) D (8) B 二、填空题 (9) 6小题, 每小题(11)(13) 12x 3362y_ 2x三、解答题(共 (15)(共 13 分)6小题, 5分，共30分)_(10)亦共 80 分) (12) 8 (14)已知函数 f(x) xcosx sinx, x [0,—],2(1)求证： f(x) 0 ；(2)若 asin x b 在(0,—)上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值x219.(本小题 14分)2 2已知椭圆C : x 2y 4 , (1) 求椭圆C 的离心率.(2) 设O 为原点，若点 A 在椭圆C 上，点B 在直线y 2上，且OA OB ，求直线 AB 与圆2 2x y 2的位置关系，并证明你的结论 •20.(本小题13分)对于数对序列 P(a i ,d),(a 2,b 2),L ,(a n ,b n )，记=(P) a 〔 b ，T k (P) b k max{T k 1(P)e a ? La k }(2 k n)，其中max{T k 1(P),Q a 2 L a k }表示T k 1 (P)和a i a 2 L 比两个数中最大的数， (1) 对于数对序列 P(2,5), P(4,1)，求T i (P),T 2(P)的值.(2) 记m 为a,b,c,d 四个数中最小值，对于由两个数对(a, b),(c,d)组成的数对序列 P(a,b),(c,d)和P'(a,b),(c,d)，试分别对m a 和m d 的两种情况比较T 2(P)和T 2(P')的大 小.(3) 在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P)最小，并写出T s (P)的值•(只需写出结论)•解：(I )在 ADC 中，因为 COS ADC 1，所以 sin ADC 4-^ 7 7所以 sin BAD sin( ADC B)sin ADC cosB cos ADC sinB_ 431=72(U)在ABD 中，由正弦定理得在ABC 中，由余弦定理得AC 2 AB 2 BC 2 2AB BC cosB2 2 182 52 2 8 5 — 492所以AC 7(16) (I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场, 分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6的概率是05.(U)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ”， 事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6 , 一场不超过0.6 ”。
2014年北京高考真题-理科数学含答案
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x=- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠（C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.（1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈， （1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分）已知椭圆22:24C x y +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.。
2014年高考理科数学北京卷及答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-=,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2}2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A.y = B .2(1)y x =- C .2x y -=D .0.5log (1)y x =+3.曲线1cos ,2sin ,x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（..为参数）的对称中心( )A .在直线2y x =上B .在直线2y x =-上C .在直线1y x =-上D .在直线1y x =+上4.当7m =,3n =时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A .7B .42C .210D .8405.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.若x ,y 满足20,20,0,x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-,则k 的值为( )A .2B .2-C .12 D .12-7.在空间直角坐标系O xyz -中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,(0),2,0C,(D .若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A .123S S S ==B .21S S =且23S S ≠C .31S S =且32S S ≠D .32S S =且31S S ≠8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A .2 人B .3 人C .4 人D .5 人第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上. 9.复数21i ()1i+=- . 10.已知向量a ,b 满足|a |1=,b (2,1)=,且λa +b =0()λ∈R ,则||λ= .11.设双曲线C 经过点(2,2),且与2214y x =-具有相同渐近线,则C 的方程为 ；渐近线方程为 .12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n = 时,{}n a 的前n 项和最大.13.把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.14.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数,0A >,0)ω>.若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==-,则()f x 的最小正周期为 . 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）如图,在ABC △中,π3B ∠=,8AB =,点D 在BC 边上,且2CD =,1cos 7ADC ∠=.（Ⅰ）求sin BAD ∠； （Ⅱ）求BD ,AC 的长.16.（本小题满分13分）-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.（只需写出结论）17.（本小题满分14分）如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P ABCDE-中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.（Ⅰ）求证：AB FG；（Ⅱ）若PA⊥底面ABCDE,且PA AE＝,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.18.（本小题满分13分）已知函数()cos sinf x x x x=-,π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求证：()0f x≤；（Ⅱ）若sin xa bx<<对π(0,)2x∈恒成立,求a的最大值与b的最小值.19.（本小题满分13分）已知椭圆C：2224x y+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线2y=上,且OA OB⊥,试判断直线AB与圆222x y+=的位置关系,并证明你的结论.20.（本小题满分13分）对于数对序列P：11(,)a b,22(,)a b,⋅⋅⋅,(),n na b,记111()T P a b=+,()k kT P b=+ 112max{(),}k kT P a a a-+⋅⋅⋅++(2)k n≤≤,其中112(ma}x{),k kT P a a a-++⋅⋅⋅+表示1()kT P-和12ka a a++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.（Ⅰ）对于数对序列P：(2,5),(4,1),求1()T P,2()T P的值；（Ⅱ）记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(,)a b,(,)c d组成的数对序列P：(,)a b,(,)c d和P'：(,)c d,(,)a b,试分别对m a=和m d=两种情况比较2()T P和2()T P'的大小；（Ⅲ）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使5()T P最小,并写出5()T P的值.（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C 【解析】{}0,2A =，{0,2}{0,1,2}{0,2}A B ∴＝＝，故选C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【考点】交集及其运算 2.【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在（0，1）上递减，选项C ，D 中的函数在(0,)+∞上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【考点】对数函数的单调性与特殊点 3.【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)=1x y ++-，其对称中心点为(1,2)-，验证知其在直线2y x =-上，故选B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【考点】曲线的参数方程 4.【答案】C【解析】=1765=210S ⨯⨯⨯，故选C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【考点】循环结构 5.【答案】D【解析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.故选D.【解析】0a b λ＋=，a b λ∴=-，||5||1||b a λ∴===【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求【解析】78a a ++的前n 项和最大【提示】可得等差数列。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,扫描版,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。
每小题5分。
共30分。
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。
每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。
每小题5分。
共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）
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2014年北京高考数学
理科试题
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( )
.{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}
D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）
.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+
3.曲线1cos 2sin x y θ
θ=-+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）的对称中心（ ）
.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上
.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上
4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
.7A .42B .210C .840D
5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（
） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
6.若,x y 满足2
200
x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（
） .2A .2B - 1.2C 1
.2D -
7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()
1,1,2D ，若
1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的
面积，则（ ）
（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠
（C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠
8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.
11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.
12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.
13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.
14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[
ππ上具有单调性，且 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）
15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==
∠AB B π，点D 在BC 边上，且7
1cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin
（2）求AC BD ,的长
16. （本小题13分）.
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一
场不超过6.0的概率.
（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明
在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）
17.（本小题14分）
如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -
中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.
（1）求证：FG AB //；
（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并
求线段PH 的长.
18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π
=-∈， （1）求证：()0f x ≤；
（2）若sin x a b x
<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.
19.（本小题14分）
已知椭圆22:24C x y +=，
（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x
y +=的位置关系，并证明你的结论.
20.（本小题13分）
对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，
112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中
112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数， （1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.
（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.
（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.
试题
分析：对等比数列}{n a ，若1 q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
9.【答案】1-
【解析】 试题分析：i i i i i i i ==+-+=-+2
2)1)(1()1(112，所以1)11(22-==-+i i i . 10.【答案】5
【解析】。