【全国百强校】广西柳州二中2017-2018学年高一下学期期末考试数学(文)试卷(解析版)

柳州二中2017级高一下学期期考试题
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：利用直接计算.
详解：因为，所以，故选B.
点睛：本题考察特殊角的三角函数值，属于基础题.
2. 在中，，，则外接圆的面积是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：利用正弦定理来求外接圆的半径，从而得到外接圆的面积.
详解：因为，所以，外接圆的面积为，故选C.
点睛：在三角形中，与外接圆的半径有关的公式是：（1），（2）
.
3. 不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析：题设中的不等式可以转化为，利用一元二次不等式的解法可求其解. 详解：原不等式等价于即，故不等式的解为，故选C.
点睛：一般地，分式不等式有如下的解法：
（1）等价于，等价于；
（2）等价于，等价于.
4. 在中，角的对边分别为，若，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：直接利用面积公式来计算.
详解：因为，故选C.
点睛：在中，所对的边为，则面积的计算公式有两种：（1）（为边上的高）；（2），在解题中注意根据题设的条件选择合适的面积公式.
5. 已知等比数列的公比，其前项的和为，则（）
A. 7
B. 3
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：用基本量表示可得，代入的值即得所求结果.
详解：因为，故选D.
点睛：处理数列问题一般有两个角度：（1）基本量法，就是把问题归结为基本量的方程组，解这个方程组即可；（2）利用等比数列或等差数列的性质，此时需要找出题设中数列各项的下标或数列的和的特征，根据特征运用相应的性质来处理.
6. 若，则的最小值为（）
A. -1
B. 3
C. -3
D. 1
【答案】A
【解析】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.
详解：，当且仅当时等号成立，故选A.
点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.
7. 如图，已知，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：利用，化简即可得的表示形式.
详解：由可以得到，
整理得，故选D.
..............
.......
8. 函数的部分图象如图所示，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：从图像可以得到，所以，又当时，，所以，结合的范围可得其值.
详解：由图可得，故，.
又，，故，
解得.因为，所以，故选D.
点睛：根据图像求正弦（余弦）型函数的解析式，通常是“两看一算”，所谓“两看”，就是从图像中看出振幅和周期；“一算”指通过图像的最高点或最低点计算的值.
9. 在中，角的对边分别为，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：不妨设，可通过余弦定理计算.
详解：设，所以，故选C.
点睛：本题考察余弦定理的应用，属于基础题.
10. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：因为定义域是，所以对一切实数恒成立，分两种情况讨论即可. 详解：对任意的，有恒成立，
所以或，故，故选A.
点睛：含参数的一元二次不等式的恒成立，需要分清是否是上恒成立，如果是，在确定是一元二次不等式的条件下直接应用判别式来考虑，如果在其他范围上的恒成立，则可以转化为函数的最值或者采用参变分离的方法来求参数的取值范围.
11. 已知函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：因为图像右移后的图像关于轴对称，故而的图像关于直线对称，因此，从此等式中解出可得其最小值.
详解：有题设知道的一条对称轴为直线，
所以，故，
解得.
因，故时，，故选D.
点睛：对于正弦型函数，若其对称轴方程为，则，若其对称中心为，则.
12. 在数列中，，若数列满足：，则数列的前10项的和等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由题设可以得到是等差数列，从而得到即，利用裂项相消法可求前项和.
详解：是等差数列，其首项是1，公差为2，
所以，所以，
，
故，故选B.
点睛：数列通项的求法，取决递推关系的形式，如果满足，则用累加，特别地如果是常数，则就是等差数列；若，则用累乘，特别地如果是常数，则就是等比数列.其
他类型的递推关系则可通过变形构建新数列且新数列的递推关系大多数满足前面两种情形.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图，
结合目标函数的几何意义知，目标函数在点A(0,4)处取得最小值，且.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
14. 已知向量，，若与垂直，则实数__________．
【答案】
【解析】分析：利用得到，而，，代入前者就可得到．
详解：由题设有，所以，填．
点睛：本题考察数量积的应用，属于基础题．
15. 在等差数列中，，则__________．
【答案】
【解析】分析：因为为等差数列，故，利用可得所求值．
详解：因为是等差数列，所以，
所以，故，填．
点睛：一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有下列性质：
如果正整数满足，则；
；
；
也是等差数列
16. 在中，，，若的面积等于，则边长为__________．
【答案】
【解析】分析：由可得，故，由余弦定理可得的长．
详解：因为，故，所以.
又，所以，故，
从而，填．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知，且是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）由题意结合同角三角函数基本关系可得.则.
（2）化简三角函数式可得，结合(1)的结论可知三角函数式的值为.
详解：（1）∵是第二象限角，∴，∴.
.
（2）∵，
∴.
点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的化简与求值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若，求边的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）利用正弦定理把化成即可得到，从而得到
的大小.
（2）直接用余弦定理求出第三条边的长.
详解：（1）∵，
∴由正弦定理得，
又，
∴，，
∴.
（2）由余弦定理
，
得.
点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
19. 已知等差数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若在数列中的每相邻两项之间插入2个数，使之构成新的等差数列，求新的等差数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）利用可求的通项.
（2）考虑新数列的公差，它是原数列公差的且首项相同，故可以直接得到通项公式.
详解：（1），，
∴，
∴.
（2）设新的数列的公差为，
则，
∴，
∴.
点睛：一般地，前项和和通项之间的关系是，该公式可以实现之间的转化.
20. 已知平面向量，若，且.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求的值及.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）对两边平方后得到，化简后可以得到的值.
（2）利用可得，再利用（1）中的值可计算出，最后利用计算. 详解：（1）由，得，
∴，
∴，
又，∴.
（2）∵，∴，
∴，
∴.
∴.
∴，.
∴.
点睛：向量有两个主要的应用；（1）求角，通常利用来计算，注意判断两个向量的夹角时，要“起点归一”且注意其范围是；（2）计算长度，通常利用来计算.
21. 已知在单调递增的等差数列中，其前项和为，且，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）设等差数列的公差为，则可以得到关于基本量的方程组，从这个方程组中可以解
得从而求得通项.
（2）的通项是等差数列与等比数列的乘积，所以可用错位相减法求其前项和.
详解：（1）设等差数列的公差为，
因为，成等比数列，
所以
解得或，
因为，所以舍去，
所以，
所以的通项公式为.
（2）因为，
所以①.
②.
∴①－②，得
.
点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
22. 如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东30°方向距市的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.问快艇至少以多大的速度，以什么样的航向行驶才能最快把稿件送到司机手中？
【答案】,北偏东60°的方向.
【解析】试题分析：（1）画出示意图，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇，由余弦定理得，配方后，利用二次函数的性质可得时，，从而可得结果.
试题解析：如图所示，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇.
在中，，，，，
由余弦定理，
∴，
整理得：
.
当时，，∴.
∴快艇至少以的速度行驶时才能最快把稿件送到司机手中.
当时，在中，
，，，
∴，∴.
故快艇至少以的速度，以北偏东60°的方向（与垂直）航行才能最快把稿件送达司机手中.。