悬崖跳水水池深度设定数学建模

悬崖跳水水池深度设定问题摘要本文探讨悬崖跳水水池深度设定问题，以实现水池深度设定既保证运动员人身安全且使成本消耗最低为目标。

对此问题，将建立物理模型，运用物理学、理论力学知识，结合微分方程学方法进行求解。

对于问题一，本文将建立物理模型，将跳水运动员形似锲形，用物理动力学解题思路，对悬崖跳水物理过程细化为运动员空中、入水与水中三个运动过程，并逐个对其建立运动状态方程，结合微分方程学简化求解，最后用Mathematic 软件画图展示结果，从图中得到：男子水池深度为9.3米，女子水池深度为7.8米。

其中动力学方程为：mg f F dth d m -+=浮22；阻力方程为：221Sv C f d ρ=。

对于问题二，根据物理质量公式，结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者与水池深度大小的关系，得到结果：体重越大的人跳水时需要更深的水。

该模型建立亮点一体现在其充分运用了物理知识，同时结合微分法简化了求解难度；亮点二体现在用Mathematic 软件画图展示结果，直观准确。

关键词：物理动力学；微分方程学；运动状态方程；Mathematic 软件一、问题重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。

悬崖跳水，即运动员从高空悬崖跳下来，身体在重力的作用下快速自由下落，这是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，所以比赛中安全问题显得非常重要。

比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。

我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。

下落过程中，运动员的身体入水后受到水的阻力与浮力作用，抵消身体的重力作用，使运动员在水中做减速运动，直至速度降为零。

为了保证运动员的人身安全，水池建立必须有足够的深度，另一方面，尽量节约水池建设的成本可避免无意义的浪费。

所以水池深度设定必须在满足不造成运动员人身伤害的同时达到最低成本消耗的要求。

需完成任务：1.根据福建连城冠豸山跳台高度，计算跳台下面的水池要多深才能安全；2.分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。

二、问题分析悬崖跳水运动涉及的为物理动力学问题。

本文需解决水池深度设定问题及考虑运动员不同质量对水池深度设定的影响，水池深度设定需满足不造成运动员人身伤害的同时达到最低成本消耗的要求。

即跳水运动员落入水中速度降为最小时，该时刻运动员所在深度即为最佳水池深度。

将悬崖跳水运动的物理过程具体、细致化，从以下三个过程分析。

跳台至水面过程：运动员从跳台跳下，在空中完成动作后落入水中。

在这个过程中受到竖直向下的重力与竖直向上的空气阻力影响，重力为恒定的，空气阻力逐渐增大，运动员做加速度减小，速度增大的运动，到达水面时速度达到最大。

空气至水中过程：运动员以最大速度，身体笔直、双手紧贴，脚先着水的方式垂直入水。

这个过程中进入水中部分身体受到水的竖直向上的浮力和阻力，整个身体受到竖直向下的重力，运动员做加速度极大的减速运动。

由于入水身体高度为变化的，所以在计算时需考虑动态求浮力与阻力。

水面至水池底部过程：运动员身体全部进入水中，做减速运动直至速度减为零达到水池底部。

运动员受到竖直向上的水的浮力、阻力和竖直向下的重力，重力与浮力恒定，水的阻力逐渐减小，导致做加速度减小的减速运动。

为了保证运动员的人身安全，水池建立必须有足够的深度，避免运动员因撞击池底而受伤；另一方面，尽量节约水池建设的成本可以避免无意义的浪费。

所以最佳水池深度为运动员在水下速度最小时的深度。

根据第一问的求解分析，改变质量的值，同时考虑锲形高度与半径的变化得出结果。

三、模型假设1、假设跳水运动员跳水状态形似锲形下落，质量分布均匀，其中跳水运动员的高度即锲形高度，人的脚部为锲形底部，人体的肩宽即锲形直径（如下图示）；2、假设跳水运动员以身体笔直，双手紧贴，脚先着水的方式垂直入水，速度方向垂直向下；3、假设忽略跳水运动员的蹬板过程；4、假设风速水速为零，不影响运动员下落；5、假设人水短暂碰撞过程没有能量损失；6、假设男女跳水运动员身高、质量及肩宽符合20-25岁跳水运动员国际标准。

7、假设运动员落入水中速度降为最小即速度为零，此时的深度为安全深度零界。

四、符号说明符号意义说明H'跳台距水面的高度（i=1或2）iH跳水运动员的高度（锲形高度）ih人的脚部（锲形底部）与水面距离r人体的一半肩宽（锲形半径）im人体质量iρ流体的密度η流体粘滞系数f流体阻力v落体瞬时速度R雷诺系数ed C阻力系数g重力加速度（29.8/g m s=）浮F水中受到的浮力五、模型的建立与求解问题一：5.1.1 建模思路对悬崖跳水运动员跳水三个细分运动过程受力分析： （1）跳台至水面过程：运动员受到竖直向下的恒定重力与竖直向上的空气阻力影响，空气阻力逐渐增大，运动员做加速度减小的加速运动，到达水面时速度达到最大。

（2）空气至水中过程：运动员进入水中部分身体受到水的竖直向上的浮力和阻力，整个身体受到竖直向下的重力，运动员做加速度极大的减速运动。

（3）水面至水池底部过程：运动员受到竖直向上的水的浮力、水的阻力和竖直向下的恒定重力，水的阻力逐渐减小，导致做加速度减小的减速运动，减速运动直至速度减为最小达到水池底部。

当跳水运动员落入水中速度降为零时，该时刻运动员所在深度即为最佳水池深度。

根据三个过程受力表达式，结合微分法简化，应用Mathematic 软件画图展示结果。

其中整个下降过程重力不变为质量与重力加速度之积；水的浮力为水的密度，重力加速度与锲形入水体积之积；空气和水的阻力为需根据雷诺系数确：当雷诺系数大于10-3时，阻力系数为0.4，且与2v 成正比；当雷诺系数e R 小于10-3大于1时，阻力系数为4.01624+++=eed R R C ，且与2v 成正比；当雷诺系数小于1时，阻力系数为eR 24，且与v 成正比。

5.1.2 模型建立 （1）跳台至水面过程：建立运动状态方程：气f mg dth d m -=22；即：mf g dtdv 气-=； ①其中空气阻力为：221Sv C f d ρ=气；雷诺系数为：ηρvH R e =； ②物体与流速垂直方向的最大横截面积：2r S π=。

图一 运动员由跳台至水面过程（2）空气至水中过程：建立运动状态方程：mg F f dth d m -22浮水+=；其中水的浮力为：2323Hgh r F ρπ=浮；代入水的阻力与浮力公式得：g mH gh r mH vh r dhdv v-+=232222232.0ρπρπ 。

③图二 运动员由空气至水中过程（3）水面至水池底部过程：建立运动状态方程：mg F f dth d m -22浮水+=； ④其中水的浮力为：g H r F ρπ231=浮。

图三 运动员由水面至水池底部过程5.1.3 模型求解通过对20-25岁跳水运动员国际标准查询，男女跳水运动员对应跳台高度、身高、质量及肩宽平均为：；，，，；，，，kg m m r m H m H kg m m r m H m H6038.065.1207545.078.1282222'1111'========水和空气所对应的密度与粘滞系数如下：s Pa m g ⋅⨯=⋅=-5-3101.8193.21气气，ηρ；s Pa m g ⋅⨯=⋅=-5-31005.011水水，ηρ；（1）跳台至水面过程：将H R s Pa m g e ，，，气气35-310101.8193.21--=⋅⨯=⋅=ηρ的值代入②中得到8≈v 为分界点，即：⎪⎩⎪⎨⎧∝≈≥∝+++=<224.084.016248vf C v v f R R C v d e e d 气，，，，；代入①中得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=≥+++-=<mvr g dhdv v v mv Hv Hvr g dhdv v v 22222.08/)4.01624(218ρπηρρηρπ，，；通过将公式与数据输入Mathematic 软件，得到图像如下：5101520251520图四 男子由跳台至水面过程时速度与高度关系51015101214161820图五 女子由跳台至水面过程时速度与高度关系从图中可得到，到达水面时的男子速度为23.7m/s ，女子速度为19.7m/s 。

（2）空气至水中过程：通过将公式③与相应数据输入Mathematic 软件，得到图像如下：图六 男子由空气至水中过程时速度与高度关系图六 女子由空气至水中过程时速度与高度关系从图中可得到，全部进入水面时男子速度将为16.8m/s ，女子速度将为8.7m/s 。

（3）水面至水池底部过程：将H R s Pa m g e ,101005.01135-3--=⋅⨯=⋅=，，水水ηρ的值代入②中得到6≈v 为分界点，即：⎪⎩⎪⎨⎧∝≈≥∝+++=<224.064.016246v f C v v f R R C v d e e d 气，，，，； 代入④中得到：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=≥-+++=<gmg H r mv r dhdv v v gmg H r m v Hv Hvr dhdv v v 32.063/)1624(216222222ρπρπρπηρρρπ，，；通过将公式与数据输入Mathematic 软件，得到图像如下：图七男子由水面至水池底部过程时速度与高度关系图八 女子由水面至水池底部过程时速度与高度关系从图中可得到，到达水面底部时的男子跳水水池深度为9.3m ，女生跳水水池深度为7.8m 。

5.1.4 模型分析与检验模型建立将物理运动根据运动状态分阶段受力分析，求解时充分结合了物理学、理论力学以及微分方程学解决本文问题，使得解题过程简化。

同时应用图形展示结果，形象易理解。

解决了本题问题一。

问题二：5.2.1 建模思路 若两人体重不同，由于人体密度保持不变，则存在三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同。

结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者的水池深度大小。

5.2.2 模型建立锲形质量计算公式：SH m ρ31=；建立运动状态方程：Hv C vg dhdv f mg dth d md 人气气ρρ2322-=⇒-=； ⑤vg vH ghHv C dhdv mg F f dth d md -+=⇒+=332223-人水人水浮水ρρρρ； ⑥vg vg Hv C dhdv mg F f dth d md -+=⇒+=人水人水浮水ρρρρ23-22。

⑦5.2.3 模型求解由上述公式可得，水池深度大小改变与高度有关，与体积无关，所以本文将人体重不同定义为底面积不变，密度不变，高度改变。