悬崖跳水水池深度的设定

论文题目：悬崖跳水水池深度设定问题姓名：杨凯学号：*******-27 专业：电子信息姓名：廖建强学号：*******-34 专业：城市地下工程与隧道姓名：李丽君学号：*******-44 专业：信息与计算科学2011 年8月9 日悬崖跳水水池安全深度的问题摘要悬崖跳水是一项当今颇受媒体关注的一项民间运动。

由于悬崖跳水非常具有挑战性，进几年在国外非常流行。

虽然本国的悬崖跳水项目没有的到发展，但安全问题颇受全世界的关注。

悬崖跳水安全受诸多因素的影响例如:水池深度、天气、跳板、风速、空气压强、水的密度、悬崖高度等等。

但悬崖跳水一般性选择天朗气清、惠风和畅的日子，安全问题主要来自水池的深度。

由于自然条件的限制，改造自然的成本非常大，在保证运动员安全的基础上我们也要考虑社会所需的经济成本。

本文探讨悬崖跳水水池深度设定问题，以实现水池深度设定既保证运动员人身安全且使成本消耗最低为目标进行建模。

对于悬崖跳水运动我们可以近似的看做三个物理过程：1、运动员在空中下落；2、运动员从空中进入水中；3、运动员入水后。

三类过程分别建立动态方程，结合微分方程求解，最后应用MATLAB 软件绘图展示结果：男子安全水池深度为17.04148m ，女子水池深度为15.0348m 。

对于水池的深度影响主要由水的流体阻力、水的浮力和人跳水的高度决定，本模型主要根据第三个过程确定水池的深度，在第二个过程中讨论人的体重和水池的深度的问题。

入水后人体的运动符合牛顿第二定律：mg f F dthd m -+=浮22 水的阻力方程为：212d f C Sv ρ=水 根据人体完全入水后的速度可以得出水池的深度'i i i H H L =+（i H 为人的高度i L 为人完全入水时脚底与水池底部的距离）由于人跳水时在空中下落过程符合牛顿第二定律，根据跳水员得跳水高度我们可以求解出接触水面时的速度。

根据牛顿第二定律求解出人体质量和和速度的关系，再根据模型二、三推导出人体质量和水池深度的关系。

从中得出：体重越重的人需要的水池深度越深。

关键词：物理动力学、线性代数微分方程学、运动状态方程、空气动力学、流体阻力、雷洛系数一、问题重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。

是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。

我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。

请大家做两件事：1、跳台下面的水池要多深才能安全，请大家给以计算；2、分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。

二、问题分析悬崖跳水基础设施中的水池深度是跳水过程中最重要的安全因素，要保证所有的运动员都能够安全的跳水。

设定男子跳台的最高高度为28米，女子跳台的最高高度为20米。

跳水过程主要分为三个阶段，并用物理知识建立以下三个基本过程。

1、运动员在空中下落的过程运动员从跳台往下跳，在空中完成系列的动作后落水。

在此过程中，运动员的运动情况受空气阻力和重力的影响，重力竖直向下空气阻力竖直向上。

根据空气运动学定理，运动员在空气中的阻力和速度二次方成正比。

由于跳台高度一定，运动员落水过程做变加速度运动，到达水面时速度最大，整个过程符合了能量守恒定律。

2、运动员从空中的入水过程从物理运动学的角度分析，运动员从空气中入水的过程中主要是受到竖直向下的重力、竖直向上流体阻力即水的阻力和竖直向上的浮力三种力的作用。

整个过程符合能量守恒定律，由于浮力随人入水的高度变化，对此需建立一个动态的力学方程。

3、运动员完全入水后到池底的过程由于物体的浮力等于物体所排出的水的体积的重力，运动员入水后所受到的水的浮力不再改变。

从运动状态分析，运动员受竖直向下的重力、竖直向上的浮力和竖直向上的水的阻力。

由于人的密度近似于水的密度，可把人的密度看做和水的密度相等，水的阻力和运动员的速度的二次方成正比，运动员所受的合力向上，做减速运动直至安全速度。

建立一个动态力学方程，可以求出水池的最佳深度。

三、模型假设1、假设跳水运动员跳水状态形似圆柱体下落，质量分布均匀，其中跳水运动员的高度即圆柱体高度，人的脚部为圆柱体底部，人体的肩宽即圆柱体直径（如下图示）；2、假设跳水运动员以身体笔直，双手紧贴，脚先着水的方式垂直入水，速度方向垂直向下；3、假设忽略跳水运动员的蹬板过程；4、假设风速水速为零，不影响运动员下落；5、假设运动员整个跳水过程中无能量损失；6、假设男女跳水运动员身高、质量及肩宽符合20-25岁跳水运动员国际标准；7、假设运动员在水中的安全速度为2m/s ，此时的深度为安全深度零界；8、假设悬崖跳水过程中温度为C 030，水的温度为020C ；9、假设人的平均密度和水的密度相等，即=ρρ人水。

四、符号的说明及定义五、模型的建立与求解问题一：5.1.1建模思路对悬崖跳水运动员跳水三个细分运动过程受力分析：（1）运动员在空中下落的过程：运动员受竖直向上的空气阻力和竖直向下的恒定重力作用，空气阻力逐渐增大，与速度的平方成正比，运动员做加速度减小的加速运动，到达水面时速度达到最大。

（2）运动员从空中的入水过程：运动员主要是受到竖直向下的重力、竖直向上水的阻力和竖直向上的浮力三种力的作用。

整个过程符合牛顿第二定律，由于浮力随人入水的高度变化，对此需建立一个动态的力学方程。

（3）运动员完全入水后到池底的过程：运动员收到竖直向下的恒定重力和和恒定的竖直向上的水的浮力和竖直向上的逐渐变小的水的阻力。

由于人的密度相近于水的密度，可以把运动员所受的重力和浮力看做相等，运动员所受的合力向上，大小为水的阻力，做减速运动直至速度为降为安全速度2m/s ，建立一个动态力学方程，可以求出水池的最佳深度。

5.1.2模型建立（1）运动员在空中下落的过程：建立运动状态方程：2d l m mg f dt=-气 运动员在空气中的阻力的作用，根据流体力学可知。

运动员在空气中所的受流体阻力为2d v 21S C f 气气ρ=m sH ρ=人整理可得：222d C vd l dv g m mg f dt dl v Hρρ=-⇒=-气气人 （1）图一 运动员由跳台至水面过程（2）运动员从空中的入水过程： 建立运动状态方程：22-d hm f F mg dt-=+浮水其中水的浮力为：F sh g ρ=浮水m sH ρ=人，=ρρ人水整理可得：22-d hm f F mg dt -=+⇒浮水2d c v dv hg g dh h Hv v=--+ （2）图二 运动员从空气至水中过程（3）运动员完全入水后的过程： 建立运动状态方程：22-d Lm f F mg dt-=+浮水212d f c sv ρ=水m sH ρ=人，=ρρ人水代入可得：22-d L m f F mg dt -=+⇒浮水2d c v dvdL H=- （3）图三 运动员完全入水至池底的过程5.1.3模型求解通过对20-25岁跳水运动员国际标准查询，男女跳水运动员对应跳台高度、身高、质量及肩宽平均为：1111222228 1.780.357520 1.650.2560l m H m r m m kg l m H m r m m kg ========，，，；，，，；水和空气所对应的密度与粘滞系数以及人的密度如下：33110kg /m ρ=⨯水，31.00510a s P η-=⨯⋅水； 3=1.650/kg m ρ气 ， -5=1.87010Pa s η⨯⋅气；ρ人=33110kg /m ρ=⨯水。

（1）运动员在空中下落的过程： 当0﹤Re ﹤510时符合以下公式： d C 4.0Re16Re 24+++≈（4） 'Re Lvρη=气气（5）用MATLAB 绘图软件绘出Cd 和Re 的关系图如下：图四 Cd 和Re 的关系图从图形可以得出当Re=4×410时,Cd 趋近于0.42。

把Re 代入（5）可得 v=0.004m/s 。

根据牛顿第二定理可知：物体自由落体时物体速度为0.4m/s 时的位移很小，相对于跳水台的高度可以忽略不计。

即运动员整个下落过程可视为Re ﹥1×410的情况。

随着速度变大,Re 变大，根据图形可知0.42d c ≈。

将3=1.650/kg m ρ气,33110kg /m ρ=⨯人,0.42d c ≈，i H 的值代入分别（1）式，将公式与数据输入MATLAB 软件，得到图像如下：图五 运动员由跳台至水面过程时速度与高度关系通过MATLAB 求解可得：男运动员到水面的速度为=1v 23.3815 m/s ，女运动员到到水面的速度为'1v =19.7718m/s 。

（2）运动员从空中的入水过程：Re=4×410时Cd 变化不大且趋近于0.42，其中'L 为物体横截面积相对应的特征长度即人的高度H.把Re 、'L 代入方程（5）得：v=0.0000712m/s ≈0 m/s 。

即运动员整个空气到水中的过程可视为Re ﹥1×410Pa ·s 的情况，从而得出0.42d c ≈。

将相应数据代入公式（2），通过将公式与相应数据输入MATLAB 软件，得到图像如下：图六男运动员从空气至水中过程时速度与高度关系v=12.1263m/s ，女通过MATLAB计算可得：运动员完全入水后男性运动员速度2v=10.9621m/s。

性运动员速度'2图七女运动员从空气至水中过程时速度与高度关系（3）运动员完全入水后的过程：将相应数据代入公式（3），通过将公式与相应数据输入MATLAB软件，得到图像如下：图八男子由水面至水池底部过程时速度与高度关系图九女子由水面至水池底部过程时速度与高度关系通过MATLAB 求解可得运动员完全入水后脚底与池底的距离：男运动员到水池底部的高度1L =15.26648m ，女运动员到水池底部的高度2L =13.3848m 。

所以可得，男子跳水水池深度为'1H =17.04148m,女子跳水水池深度为'2H =15.0348m 。

问题二5.2.1 建模思路若两人体重不同，由于人体密度保持不变，则存在三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同。

结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者的水池深度大小。

5.2.2 模型建立圆柱体质量计算公式：m SH ρ=；建立运动状态方程：222d C v d l dv g m mg f dt dl v H ρρ=-⇒=-气气人； （6） 22-2d C v d h dv gh g m f F mg dt dh H Hv v-=+⇒=--+浮水； （7） 222122d d c v d l dv m c sv dt dL Hρ-=⇒=-水；. （8）5.2.3 模型求解由上述公式可得，水池深度大小改变与高度有关，与体积无关，所以本文将人体重不同定义为底面积不变，密度不变，高度改变。