函数值域的求法及例题

函数值域的求法
在函数概念的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定，因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法.
[例1]：求下列函数的值域 (1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1） (4)y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜
(5)y ＝2x －3＋134-x
(6)y ＝2
224)1(5
+++x x x
(7)y ＝5
21+-x x
(8)y ＝1223222++--x x x x
(9)y ＝3－2x －x 2
x ∈[－3，1]
(10)y ＝2
1322+-x x
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域.
对于(7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域.
对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域.
解：(1)y ∈R
(2)y ∈{1，0，－1}
(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]
时，得y ∈[－1，8]
(4)对于y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的理解，从几何意义入
手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x ＋1｜表示在数轴上表示x 的点到点－1的距离，｜x －2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A ≤－1，－1＜x B ＜2，x C ≥c ，如图所示，可以看出｜x A ＋1｜－｜x A －2｜＝－3
－3＜｜x B ＋1｜－｜x B －2｜＜3，｜x C ＋1｜－｜x C －2｜＝3，由此可知，对于任意实数x ，都有－3≤｜x ＋1｜－｜x －2｜≤3所以函数y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的值域为y ∈[－3，3]
(5)对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.
∵4x －13≥0 ∴x ∈[4
13
，＋∞)令t ＝134-x 则得：x ＝4132+t
∴y ＝
21t 2＋t ＋27
∴y ＝2
1（t ＋1）2＋3
∵x ≥4
13
∴t ≥0根据二次函数图象可得y ∈[27，＋∞)
(6)∵函数定义域为x ∈R 由原函数可化得：
y ＝2
2222224)1(5
)1()1(5+++=+++x x x x x x
＝2
222222222)
1(1
1)1(5)1()1(5+-+++=+++x x x x x x ＝
111)1(5222++-+x x 令t ＝1
1
2+x
∵x ∈R ∴t ∈(0，1] ∴y ＝5t 2－t ＋1＝5（t －101）2＋2019根据二次函数的图象得当t ＝10
1
时
y min ＝
20
19
当t ＝1时，y max ＝5 ∴函数的值域为y ∈[2019
，5]
(7)∵y ＝－21
＋5227+x
∵5
227
+x ≠0 ∴y ≠－2
1
∴函数y 的值域为y ∈（－∞，－
21）∪（－2
1
，＋∞） (8)由y ＝1
223
222++--x x x x 得x ∈R 且可化为：
（2y －1）x 2＋2（y ＋1）x ＋（y ＋3）＝0 ∴当y ≠
2
1
时，Δ＝[2（y ＋1）]2－4（2y －1）（y ＋3）≥0 ∴y 2＋3y －4≤0 ∴－4≤y ≤1且y ≠2
1 又当y ＝
21时，2（1＋21）x ＋（21
＋3）＝0 得：x ＝－6
7
，满足条件
∴函数的值域为y ∈[－4，1] (9)∵－3≤x ≤1 ∴－2≤x ＋1≤2
∴｜x ＋1｜≤2即（x ＋1）2≤4
∴y ＝3－2x －x 2＝－（x ＋1）2＋4∈[0，4] ∴函数值域为y ∈[0，4]
(10)由y ＝2
1
322+-x x 可知，x ∈R 且yx 2＋2y ＝3x 2－1
即（3－y ）x 2＝2y ＋1
若y ＝3时，则有0＝7，这是不可能的. ∴y ≠3 得：x 2＝
y y -+312 ∵x 2≥0 ∴y
y -+31
2≥0 解得：－
2
1
≤y ＜3 ∴函数值域为y ∈[－
2
1
，3) 评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.
（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.
（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.
二、二次函数（含参数）在区间上的值域问题 [例2]、求下列函数的值域 （1）]1,0(122
2
∈-++=x a ax x y
（2）]1,[1
42+∈++=t t x x x y
三、含参数的其他值域问题
［例3］已知函数f (x )=x
a
x x ++22,x ∈［1,+∞)
(1)当a =2
1
时，求函数f (x )的最小值.
(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.
知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.
错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
(1)解：当a =
21时，f (x )=x +x
21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，
∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=
2
7.(2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=x
a
x x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.
设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)
∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，
∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.
解法二：f (x )=x +
x
a
+2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；
当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,
当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.
练习
一、选择题
1.函数y =x 2+x
1
(x ≤－21)的值域是( )
A.(－∞,－
4
7
]
B.［－
4
7
,+∞)C.［2
233,+∞)
D.(－∞,－
3
22
3］2.函数y =x +x 21-的值域是( )A.(－∞,1] B.(－∞,－1]C.R
D.［1,+∞)
一、1.解析：∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x
1
在(－∞,－21）上是减函数， ∴y =x 2+
x
1
在x ∈(－∞,－21)上为减函数,
∴y =x 2+x
1
(x ≤－21)的值域为［－47，+∞).
答案：B
2.解析：令x 21-=t (t ≥0),则x =2
12
t -.
∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1
∴值域为(－∞,1].。