函数值域的求法及例题

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求值域的方法大全及习题

求值域方法

常用求值域方法

(1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域

对于一些比较简单的函数,如正比例，反比例，一次函数,指数函数，对数函数，等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数

,[1,2]y x x =

∈的值域.

例2、求函数x 3y -=的值域。【同步练习1】函数2

21x

y +=

的值域.

（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2

类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数

225,y x x x R =-+∈的值域.

例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 22

222

2-+=++=x x x y .(配方法、换元法)

例4、设02x ≤≤，求函数1

()4321x x f x +=-+的值域．

例5、求函数13432-+

-=x x y 的值域。（配方法、换元法）

例6、求函数x x y 422+--=的值域。（配方法) 【同步练习2】

1、求二次函数2

42y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域。

2、求函数342-+-=x x e y 的值域.

3、求函数4

21,[3,2]x

x y x --=-+∈-的最大值与最小值。

4、求函数])8,1[(4

log 2log 22

∈⋅=x x

x y 的最大值和最小值。 5、已知[]0,2x ∈，求函数1

()4

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =

的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】

1．求下列函数的值域：

①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；

③1

x x

y ；

○

4()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)

(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得

][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =

的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】

1．求下列函数的值域：

①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；

③1

x x

y ；

○

4()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)

(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得

][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：

求值域的方法,带例题

1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=

k x

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a

b a

c y y 44|2

-≥}；当a<0时，值域为{a

b a

c y y 44|2

-≤}.

练习1．求下列函数的值域

① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1

x x

2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。

练习2.求函数1

1)(+-=

x x

e e x

f 的值域。 3．有解判别法：

有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例1．求函数y=1

22+++-x x x x 值域

解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=，若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0，

即0)14(-)1(22≥+y-y ,

解得33

≤≤y 且 y ≠1.

综上：值域{y|33

≤≤y }.

例2．求函数6

522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）

求函数值域的十种方法

例25.求函数的值域。
解：原函数变形为：
当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：
例26.求函数的值域。
解：
当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：
十一、多种方法综合运用：
例27.求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例28.求函数的值域。
解：
令，则
∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。
【练习】
1．求函数的值域。
【参考答案】1．
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

函数值域的十五种求法

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域

例1. 求函数的值域。

解：∵∴

显然函数的值域是：

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）

∵∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴

∴代入方程（1）

解得：即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：

，可化为：

即

∵∴

即解得：

故函数的值域为

6. 函数单调性法

例6. 求函数的值域。

解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例7. 求函数的值域。

解：原函数可化为：

函数值域的求法及例题

函数值域是一个重要的概念。它指函数的定义域中的所有可能函数值的集合。了解函数值域的求法，可以帮助我们更有效地使用函数，对解决实际问题也很有帮助。

函数值域的求法有两种：直接和间接。

直接求法：如果可以确定函数的解析式，则可以直接求出函数值域。具体步骤如下：

(1) 求函数定义域：即可以使用此函数的所有自变量x的取值范围

(2)求函数值域：即当自变量x在定义域内任意取值时，函数的值的取值范围。

例子：若函数：y=3x+2，

它的定义域为x∈R

那么，函数值域就是y∈R

间接求法：当不能确定函数的解析式时，可以采用间接的求法，即分情况求解。即将函数定义域上的所有取值情况分类讨论，将其分解为一些能求出函数值域的子问题。

例子：若函数：y=x²，

它的定义域为x∈R

这里分情况讨论：

当x ≥ 0 时，y ≥ 0；

当 x＜0 时，y＜0；

即函数值域为y∈[0，+∞) ∪ (-∞，0]，

总之，了解函数值域的求法是有必要的，有助于我们理解函数的概念，也有助于解决各种函数问题。

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

求值域的方法,带例题

F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=

k x

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{a

b a

c y y 44|2

-≤}. 练习1．求下列函数的值域

① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1

x x

练习2.求函数1

1)(+-=

x x

e e x

f 的值域。 3．有解判别法：

有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例1．求函数y=1

22+++-x x x x 值域

解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=，若y=1,即2x=0,则x=0；

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

求值域的五种方法及例题

求值域的五种方法如下：

1. 集合法：将函数的所有可能输出值组成一个集合。

例题：对于函数 f(x) = x^2，求其值域。

解答：可以发现，x^2 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

2. 平移法：通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。

例题：对于函数 f(x) = x^2 + 1，求其值域。

解答：函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线，平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值，因此值域为[1, +∞)。

3. 导数法：通过求函数的导数，判断其单调性，进而找到值域的最大值和最小值。

例题：对于函数 f(x) = x^3，求其值域。

解答：f'(x) = 3x^2，可以看出当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数是单调递增的。当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数是单调递减的。因此，最小值为负无穷，最大值为正无穷，值域为 (-∞, +∞)。

4. 逢边法：对于有界区间上的函数，将端点的函数值作为值域

的边界。

例题：对于函数 f(x) = sin(x)，求其在区间[0, π] 上的值域。

解答：f(0) = 0，f(π) = sin(π) = 0，在区间[0, π] 上，sin(x) 的最小值和最大值都为 0，因此值域为 [0, 0]，即 {0}。

5. 图像法：通过观察函数的图像来确定其值域。

例题：对于函数f(x) = √x，求其值域。

解答：可以发现，√x 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

(经典高一)求函数的值域的常用方法及练习

[4] y 2 x 3 4 x 13.
解：设 t =
4 x 13 t 2 13 则x 且t 0 4
zxxkw
y
t 2 13 y 3 t 2
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
o
7 [ , ) 2
x
由图知： y≥ 7 .
( , 2) ( 2, ).
(6)y = x2－2x+3(－1≤x≤2)．
解: 由 y = ( x －1 ) 2 + 2,
zxxkw
∵ －1 ≤ x ≤ 2, 由图知:2≤y≤6. 故函数的值域为[2,6].

学.科.网
y
6 5 4 3 2 1

配
方
法
－1
o
1
2
3
4
x
【3】已知y=2x2-x+5(0≤x≤15), 求值域. 2 2 39 1 解：y 2 x x 5 2( x 4 ) 8 .
(2) y = | 2x+1 | + | x －2 |
zxxkw zxxkw 学.科.网
(3) y 1 x 2x 5
(4) y=2x-3
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4 x 13
(3) y
(4) y
2 ; x2 (－∞,0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ____________________________;

函数值域的求法大全

题型一求函数值：特别是分段函数求值

例1 已知f (x )＝1

1＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).

(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值.

解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝1

又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝1

反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝x ＋1

x ＋2

. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)].

解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝3

(2)f (1)＝1＋11＋2＝23

，f [f (1)]＝f (23)＝2

3＋1

23＋2＝5

5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f (1

x )；

(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (1x )＝1x 2＋1

x －1＝1＋x －x 2x 2

. (2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. (3)

4.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________. 答案 6

值域的求法典型习题及解析

值域的求法习题

一．解答题（共10小题）

1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．

2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．

（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；

（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．

3．求函数的值域：．

4．求下列函数的值域：

（1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）；

（4）；（5）（6）；

5．求下列函数的值域

（1）；（2）；（3）x∈[0，3]且x≠1；（4）．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．

7．求下列函数的值域．

（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．

9．已知f（x）的值域为，求y=的值域．

10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．可求可求

2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．

（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；

（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．

x==2

3．求函数的值域：．

得：

4．求下列函数的值域：

（1）y=3x 2﹣x+2；（2）；（3）；

（4）；（5）（6） ﹣+y=的范围，可得

==3+，再利用反比例函数求解．t==