2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习理
2020届高考数学二轮复习 专题五解析几何 专题强化练理
第1讲 直线与圆A 级 基础通关一、选择题1．已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R)与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交，则r 的取值范围是( )A ．0＜r ≤1B ．0＜r ＜1C ．r ≥1D ．r ＞1解析：圆心到直线的距离为d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r ＞1. 答案：D2．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件． 答案：A3．(2019·广东湛江一模)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2或10B ．4或8C ．4或6D ．2或4解析：圆C ：(x －3)2＋(y －3)3＝72的圆心C 的坐标为(3，3)，半径r ＝62， 因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为22，则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或m ＝10.答案：A4．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不能确定解析：圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22.所以圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r .所以直线与圆相切． 答案：B5．(2019·安徽十校联考)过点P (2，1)作直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0交于A ，B 两点，若P 为弦AB 中点，则直线l 的方程( )A ．y ＝－x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝x －1解析：圆C 的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5－a ，知圆心C (1，2)，因为P (2，1)是弦AB 的中点，则PC ⊥l .所以k CP ＝1－22－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1.故直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 答案：D6．(2019·广东天河一模)已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线l 的斜率k 为( )A ．1B ．6C ．1或7D ．2或6解析：由x 2－2x ＋y 2＝0，得(x －1)2＋y 2＝1，则圆的半径r ＝1，圆心C (1，0)， 直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点， 当CA 与CB 垂直时，△ABC 面积最大，此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ＝22， 则有|2－k |1＋k2＝22，解得k ＝1或k ＝7. 答案：C 二、填空题7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆． 答案：(－2，－4) 58．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0)．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32.r 2＝254.所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2549．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为_____________________________________________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )．又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )．由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝110．(2019·河北衡水二模)已知直线l 1过点P (3，0)，直线l 1与l 2关于x 轴对称，且l 2过圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，则圆心C 到直线l 1的距离为________．解析：由题意可知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 所以C (1，1)，则l 2的斜率k CP ＝1－01－3＝－12，因为l 1与l 2关于x 轴对称，所以直线l 1的斜率k ＝12，所以l 1：y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0，所以圆心C 到直线l 1的距离d ＝|1－2－3|1＋4＝455.答案：455B 级 能力提升11．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：设A (a ，2a )，则a >0.又B (5，0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C (a ＋52，a )．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －5）（x －a ）＋y （y －2a ）＝0，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .所以D (1，2)． 又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝(1－a ＋52，2－a )，所以(5－a ，－2a )·(1－a ＋52，2－a )＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a >0，所以a ＝3. 答案：312.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0， 从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，即25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.第2讲 椭圆、双曲线、抛物线A 级 基础通关一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：由e ＝c a ＝12，则a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2. 答案：B2．(2019·天一联考)设双曲线C ：x 28－y 2m＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，点N 在右支上，若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：由∠F 2MN ＝∠F 2NM ，知|F 2M |＝|F 2N |， 又|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝4 2. 两式相加，得|NF 1|－|MF 1|＝82， 故|MN |＝|NF 1|－|MF 1|＝8 2. 答案：C3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：如图所示，在△AFB 中，|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF | cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，所以|AF |＝6，∠BFA ＝90°，设F ′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′. 根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形．所以|BF ′|＝6，|FF ′|＝10，所以2a ＝8＋6，2c ＝10，解得a ＝7，c ＝5，所以e ＝c a ＝57.答案：B4．(2019·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若点F 2关于双曲线渐近线的对称点A 满足∠F 1AO ＝∠AOF 1(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：设F 2A 与渐近线y ＝b ax 交于点M ，且O ，M 分别为F 1F 2、F 2A 的中点， 故OM ∥F 1A ，则F 1A ⊥F 2A ，OA ＝OF 1＝c .又∠F 1AO ＝∠AOF 1，所以△F 1OA 为正三角形， 所以∠MOF 2＝π3，故双曲线的渐近线为y ＝±3x . 答案：A5．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D. 5解析：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设PQ 与OF 交于点M ，连接OP ，如图所示． 则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a＝2，离心率e ＝ 2. 答案：A 二、填空题6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则9－16b2＝1(b ＞0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．(2019·珠海调研)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F ，且与直线l 相切，则抛物线的方程为________．解析：由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为34p ，所以34p ＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15) 三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0. 证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差． (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解：由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP →|＝32，于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3（1－x 214）＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 .②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.B 级 能力提升11．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ， 得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2. 由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：B12．(2019·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意2b ＝4，得b ＝2. 又e ＝c a ＝55，且a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2， 解之得a ＝5，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.第3讲 圆锥曲线中的热点问题A 级 基础通关一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[1，3)C ．(0，3)D ．(0，1]解析：依题意，当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°，即3m≥3，解得0＜m ≤1.答案：D2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1解析：在△F 1PF 2中，PF 1⊥PF 2，∠PF 2F 1＝60°. 由|F 1F 2|＝2c ，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a . 故椭圆的离心率e ＝c a＝3－1. 答案：D3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2B.12C.14D.18解析：根据题意，抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18. 答案：D4．(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 D. 5解析：由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1. 又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b ax ，不妨设点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以b a＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5. 答案：D5．(2019·安徽六安一中模拟)点P 在椭圆C 1：x 24＋y 23＝1上，C 1的右焦点为F 2，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋21＝0上，则|PQ |－|PF 2|的最小值为( )A ．42－4B ．4－4 2C ．6－2 5D ．25－6解析：设椭圆的左焦点为F 1(－1，0)．则|PQ |－|PF 2|＝|PQ |－(2a －|PF 1|)＝|PQ |＋|PF 1|－4， 故要求|PQ |－|PF 2|的最小值． 即求|PQ |＋|PF 1|的最小值．又圆C 2的半径r ＝2，圆心C 2(－3，4)，所以(|PQ |＋|PF 1|)min ＝|C 2F 1|－r ＝22＋（－4）2－2＝25－2.故|PQ |－|PF 2|的最小值为25－6. 答案：D 二、填空题6．(2019·广东六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由于O 是F 1F 2的中点，得PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)．因为双曲线上的存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则4|PO →|≤2c .由于|PO →|≥a ，知4a ≤2c ，所以e ≥2. 答案：[2，＋∞)7．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：不妨设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)(y 2＜0)．则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1.又y 1y 2＝－p 2＝－4，所以|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2＜0)．设g (x )＝x 24－4x ，g ′(x )＝x 3＋82x2，令g ′(x )＜0，得x ＜－2， 令g ′(x )＞0，得－2＜x ＜0.所以g (x )在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案：38．(2019·浙江卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．解析：如图，左焦点F (－2，0)，右焦点F ′(2，0)．线段PF 的中点M 在以O (0，0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6， 所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，故直线PF 的斜率是15. 答案：15 三、解答题9．已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点；(2)若直线l 与曲线M 相切，求PA →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值． (1)证明：设l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0. 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n . 所以x 1＋x 2＝4m 2＋2n ，x 1x 2＝n 2.由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝n 2－4n ＝－4，解得n ＝2. 所以直线l 方程为x ＝my ＋2， 所以直线l 恒过定点(2，0)．(2)解：因为直线l 与曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)相切， 所以|1－n |1＋m2＝2，且n ≥3，整理得4m 2＝n 2－2n －3(n ≥3)．①又点P 坐标为(1，0)，所以由已知及①，得 PA →·PB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝n 2－4m 2－2n ＋1－4n ＝n 2－4m 2－6n ＋1＝4－4n . 又y ＝4－4n (n ≥3)是减函数，所以当n ＝3时，y ＝4－4n 取得最大值－8. 故PA →·PB →的最大值为－8.10．(2019·惠州调研)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (0，4)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，F 是椭圆C 的上焦点．问：是否存在直线l ，使得S △MAF ＝S △MNF ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知c a ＝12，b ＝3，且a 2＝b 2＋c 2，解之得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)存在．理由如下：由题意可知l 的斜率一定存在，设l 为y ＝kx ＋4，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，y 24＋x 23＝1，⇒(3k 2＋4)x 2＋24kx ＋36＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（24k ）2－144（3k 2＋4）＞0， ①x 1＋x 2＝－24k 3k 2＋4， ②x 1x 2＝363k 2＋4， ③由S MAF ＝S △MNF ，知M 为线段AN 的中点， 所以x 2＝2x 1，④ 将④代入②得x 1＝－8k 3k 2＋4；④代入③得x 21＝183k 2＋4. 从而可得k 2＝365，且满足①式，所以k ＝±655.因此存在直线l 为6x －5y ＋45＝0或6x ＋5y －45＝0满足题意．B 级 能力提升11．(2019·华南师大检测)已知椭圆D 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)设P (2，0)，过椭圆D 左焦点F 的直线l 交D 于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线，不等式PA →·PB →＝λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．解：(1)依题意，c ＝1，a ＝2b ， 又a 2＝b 2＋c 2，得2b 2＝b 2＋1， 所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆D 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则PA →·PB →＝(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2，当直线l 垂直于x 轴时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝－y 2且y 21＝12，此时PA →＝(－3，y 1)，PB →＝(－3，y 2)＝(－3，－y 1)，所以PA →·PB →＝(－3)2－y 21＝172.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，所以PA →·PB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－2)(x 1＋x 2)＋4＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－21＋2k 2－(k 2－2)·4k 21＋2k 2＋4＋k 2＝17k 2＋22k 2＋1＝172－132（2k 2＋1）＜172. 要使不等式PA →·PB →≤λ(λ∈R)恒成立，只需λ≥(PA →·PB →)max ，故λ的最小值为172.12．设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M 上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF →为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ＝(CA ＋CB )2－3CA ·CB ＝4.又S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝34CA ·CB ＝33，所以CA ·CB ＝43，代入上式得CA ＋CB ＝22，所以椭圆长轴2a ＝22，焦距2c ＝AB ＝2，所以b ＝1. 所以椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线方程y ＝k (x －1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8＞0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.假设x 轴上存在定点D (x 0，0)使得DE →·DF →为定值．所以DE →·DF →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2＝（2x 20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k2要使DE →·DF →为定值，则DE →·DF →的值与k 无关， 所以2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，此时DE →·DF →＝－716为定值，定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.满分示范课——解析几何解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．【典例】 (满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .[规范解答] (1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .高考状元满分心得1．得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分．如第(1)问求出点A 的坐标，第(2)问求k MA ＋k MB ＝0，判定MA ，MB 的倾斜角互补． 2．得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分．如第(1)问中求出直线AM 的方程，第(2)问讨论直线与坐标轴是否垂直，将直线y ＝k (x －1)与x 22＋y 2＝1联立得(2k2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.3．得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证．如第(1)问求对点M 坐标与直线AM 的方程；第(2)问中正确运算出x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，求出k MA ＋k MB ＝0，否则将导致失分．[解题程序] 第一步：由椭圆方程，求焦点F 及直线l . 第二步：求点A 的坐标，进而得直线AM 的方程． 第三步：讨论直线的斜率为0或不存在时， 验证∠OMA ＝∠OMB .第四步：联立方程，用k 表示x 1＋x 2与x 1x 2. 第五步：计算k MA ＋k MB ＝0，进而得∠OMA ＝∠OMB . 第六步：反思总结，规范解题步骤． [跟踪训练]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长等于23，椭圆上的点到右焦点F 最远距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A 、B 两点(A 、B 不在x 轴上)，若OE →＝OA →＋OB →，且E 在椭圆上，求四边形AOBE 面积．解：(1)由题意，2b ＝23，知b ＝ 3.又a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，所以可得a ＝2，且c ＝1.因此椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)F (1，0)．直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 故AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫43m 2＋4，－3m 3m 2＋4. 又OA →＋OB →＝2ON →＝OE →，故E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫83m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 因为E 点在椭圆上，所以14×⎝ ⎛⎭⎪⎫83m 2＋42＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋42＝1， 化简得9m 4＋12m 2＝0，故m 2＝0，此时直线AB ：x ＝1，S 四边形AOBE ＝2S △AOE ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×32＝3. 2．(2019·长沙模拟一中)设椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，定义椭圆C 的“相关圆”E 的方程为x 2＋y 2＝a 2b 2a 2＋b 2.若抛物线x 2＝4y 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；(2)过“相关圆”E 上任意一点P 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．O 为坐标原点，若OA ⊥OB ，证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围．解：(1)因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0，1)．依题意椭圆C 的一个焦点为(0，1)，知c ＝1，又椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，则b ＝c ＝1. 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1，“相关圆”E 的方程为x 2＋y 2＝23.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m，y 22＋x 2＝1，得(2＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－2＝0，Δ＝4k 2m 2－4(2＋k 2)(m 2－2)＝8(k 2－m 2＋2)＞0，即k 2－m 2＋2＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kmk 2＋2，x 1x 2＝m 2－2k 2＋2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2（m 2－2）k 2＋2－2k 2m 2k 2＋2＋m 2＝2m 2－2k2k 2＋2.由条件OA ⊥OB 得，OA →·OB →＝0，即3m 2－2k 2－2＝0，所以原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2，由3m 2－2k 2－2＝0得d ＝63为定值．由Δ＞0，即k 2－m 2＋2＞0，所以3m 2－22－m 2＋2＞0，即m 2＋2＞0，恒成立． 又k 2＝3m 2－22≥0，即3m 2≥2，所以m 2≥23，即m ≥63或m ≤－63，综上，m ≥63或m ≤－63.。
2020届高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第1讲直线与圆专题强化练理
第1讲 直线与圆A 级 基础通关一、选择题1．已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R)与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交，则r 的取值范围是( )A ．0＜r ≤1B ．0＜r ＜1C ．r ≥1D ．r ＞1解析：圆心到直线的距离为d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r ＞1. 答案：D2．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件． 答案：A3．(2019·广东湛江一模)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2或10B ．4或8C ．4或6D ．2或4解析：圆C ：(x －3)2＋(y －3)3＝72的圆心C 的坐标为(3，3)，半径r ＝62， 因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为22，则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或m ＝10.答案：A4．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不能确定解析：圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22.所以圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b2＝a 2＋b 22＝r .所以直线与圆相切． 答案：B5．(2019·安徽十校联考)过点P (2，1)作直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0交于A ，B 两点，若P 为弦AB 中点，则直线l 的方程( )A ．y ＝－x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝x －1解析：圆C 的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5－a ，知圆心C (1，2)，因为P (2，1)是弦AB 的中点，则PC ⊥l .所以k CP ＝1－22－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1.故直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 答案：D6．(2019·广东天河一模)已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线l 的斜率k 为( )A ．1B ．6C ．1或7D ．2或6解析：由x 2－2x ＋y 2＝0，得(x －1)2＋y 2＝1，则圆的半径r ＝1，圆心C (1，0)， 直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点， 当CA 与CB 垂直时，△ABC 面积最大，此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ＝22， 则有|2－k |1＋k2＝22，解得k ＝1或k ＝7. 答案：C 二、填空题7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆． 答案：(－2，－4) 58．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0)．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32.r 2＝254.所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2549．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为_____________________________________________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )．又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )．由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝110．(2019·河北衡水二模)已知直线l 1过点P (3，0)，直线l 1与l 2关于x 轴对称，且l 2过圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，则圆心C 到直线l 1的距离为________．解析：由题意可知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 所以C (1，1)，则l 2的斜率k CP ＝1－01－3＝－12，因为l 1与l 2关于x 轴对称，所以直线l 1的斜率k ＝12，所以l 1：y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0，所以圆心C 到直线l 1的距离d ＝|1－2－3|1＋4＝455.答案：455B 级 能力提升11．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：设A (a ，2a )，则a >0.又B (5，0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C (a ＋52，a )．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －5）（x －a ）＋y （y －2a ）＝0，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .所以D (1，2)． 又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝(1－a ＋52，2－a )，所以(5－a ，－2a )·(1－a ＋52，2－a )＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a >0，所以a ＝3. 答案：312.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0， 从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，即25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案文
第1讲直线与圆[做真题]1．（2016·高考全国卷Ⅱ）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1,则a＝( )A．－错误!B．－错误!C。
3 D．2解析:选A.由圆的方程可知圆心（1,4)．由点到直线的距离公式可得错误!＝1，解得a＝－错误!，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ）直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝______．解析：将圆x2＋y2＋2y－3＝0化为标准方程为x2＋（y＋1)2＝4,则圆心坐标为（0，－1)，半径r＝2,所以圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝错误!＝错误!，所以|AB|＝2错误!＝2错误!＝2错误!.答案：2错误!3．(2019·高考全国卷Ⅰ）已知点A,B关于坐标原点O对称，｜AB|＝4,⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上,求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解:(1）因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上,且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M（a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切,所以⊙M的半径为r＝｜a＋2|.连接MA，由已知得|AO｜＝2,又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝（a ＋2）2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6。
（2）存在定点P（1,0)，使得｜MA|－|MP｜为定值．理由如下：设M(x，y），由已知得⊙M的半径为r＝｜x＋2｜，|AO|＝2.由于MO⊥AO,故可得x2＋y2＋4＝(x＋2）2,化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点,以直线x＝－1为准线的抛物线,所以｜MP｜＝x＋1.因为|MA｜－｜MP｜＝r－|MP｜＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.［明考情]1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点．2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，其难度多为中档题．直线的方程(基础型)［知识整合]三种距离公式（1）A(x1,y1），B（x2，y2）两点间的距离：｜AB｜＝错误!.(2）点到直线的距离:d＝错误!(其中点为（x0，y0)，直线方程为Ax ＋By＋C＝0）．（3)两平行直线间的距离：d＝错误!(其中两平行直线的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[注意］要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．［考法全练]1．已知经过点A（－2，0）和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1）和点Q（a,－2a）的直线l2互相垂直，则实数a的值为( ）A．0 B．1C．0或1 D．－1或1解析：选C。
高考数学备考艺体生辅导专题05《解析几何的第一问》(原卷版)
【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题五 解析几何的第一问圆的概念与方程【背一背基础知识】1. 标准方程：圆心坐标(,)a b ，半径r ，方程222()()x a y b r -+-=，一般方程：22x y Dx Ey ++++0F =(其中2240D E F +->)；2．直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； 3. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 【讲一讲基本技能】 1. 必备技能：① 会用配方法把圆的一般方程化为标准方程；② 直线和圆的位置可用方程组的解来判断，但主要是应用圆心到直线的距离d 和圆半径r 比较，d r >⇔相离，d r =⇔相切，d r <⇔相交；③圆与圆的位置关系一般也是用圆心距12O O 与两圆的半径之和(或差)比较，12OO R r >+⇔相离，12OO R r =+⇔外切，12R r OO R r -<<+⇔相交，12OO R r =-⇔内切，12OO R r <-⇔内含． ④直线和圆的位置关系是这部分的重点考查内容．⑤对直线被圆截得弦长问题，求出圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ，则直线被圆截得弦长为222r d -2.典型例题例1 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上． 若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；【分析】求圆的切线方程，一般设出直线方程为y kx b =+（斜率存在），再利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求出其中的参数值. 【解析】例2 已知圆22:4230P x y x y +-+-=和圆外一点(4,8)M -．（1）过点M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若||4AB =，求直线AB 的方程； （2）过点M 作圆的两条切线，切点分别为,C D ，求切线长及CD 所在直线的方程． 【答案】（1）4528440x y ++=或4x =；（2）27190x y --=．【分析】（1）先将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，在根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB 的距离，则可以利用点到直线的距离公式求出直线AB 的斜率，求得直线方程；（2）利用切线的性质可知，切线长、半径、M 到圆心的距离满足勾股定理，则切线长可求；求出以PM 为直径的圆，与已知圆的方程，两式相减即可求得CD 所在的直线方程． 【解析】【练一练趁热打铁】1. 已知圆C 过点A （1,3）,B （2,2），并且直线m: 320x y -=平分圆C 的面积． （Ⅰ）求圆C 的方程；2. 已知圆O 2：22460x y y +--=,求圆心在x-y-4=0,且过圆O 1与圆O 2交点的圆的方程。
高考数学(理)二轮复习：专题五 第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
[微题型3] 直线与圆的位置关系
【例1－3】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝ 0相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程； (3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有 一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说 明理由.
y2＝2px 上，∴8＝2px0，①
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点 A(x0，2 2)在圆 x2＋y2＝r2 上，∴x20＋8＝r2，②
点 D－p2，
5在圆
x2＋y2＝r2
上，∴5＋p22＝r2，③
联立①②③，解得 p＝4，即 C 的焦点到准线的距离为 p＝4，
故选 B.
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解析 ∵方程m2x＋2 n－3my2－2 n＝1 表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2 －n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知 c2＝(m2＋n)＋ (3m2－n)＝4m2(其中 c 是半焦距)，∴焦距 2c＝2×2|m|＝4，解 得|m|＝1，∴－1<n<3，故选 A. 答案 A
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(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C32，0为圆心，r＝32为半径的部分圆 弧 EF(如图所示，不包括两端点)，
且
E53，2
3
5，F53，－2
3
5.
又直线 L：y＝k(x－4)过定点 D(4，0)，当
直线 L 与圆 C 相切时，由
k32－4－0 k2＋（－1）2
培优提能课(五) 解析几何 2023高考数学二轮复习课件
由题意，Δ＝0，即[4k(y0－kx0)]2－4(1＋2k2)[2(y0－kx0)2－4]＝0 且 x02＋2y20
＝4， 整理得(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－2＝0.
3.
因为点 B，B′关于 x 轴对称，所以 B′－38＋34kk2，4
3k2－3 3＋4k2
3，
所以直线 PB′的方程为 y＝
3－4
3k2－3 3＋4k2
8 3k
3 x＋
3＝43kx＋
3，
3＋4k2
令
y＝0，得
x＝－4
33k，所以
M－4
33k，0.
令 y＝kx＋
3＝0，得
x＝－
k3，所以
N－
k3，0.
目录
02
提能2 隐圆问题
目录
隐圆问题在近几年各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难 度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目 中，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来 求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
目录
角度一 利用圆的定义(垂直)确定隐圆
所以|BM|＝
1＋2xy002x0（x204＋－42yy2020）＋x0
＝ x20＋8 4y20，
目录
|AM|＝
1＋－2xy002x0（x204＋－42yy2002）－x0
＝ 2x|02x＋0y40|y20，
即 S△ABM＝12|AM||BM|＝x820|＋x0y40y|02≤2， 当且仅当xx0202＝ ＋42yy2200， ＝4，即 x02＝38，y02＝23时取等号． 故△ABM面积的最大值为2.
2020年高考数学(理)总复习：直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质(解析版)
2020年高考数学（理）总复习： 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质题型一 直线与圆、圆与圆的位置关系 【题型要点】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．【例1】直线l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A ()0，k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6【解析】 由l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴知，直线l 必过圆心()－2，2，因此k ＝3.则过点A ()0，k ，斜率为1的直线m 的方程为y ＝x ＋3，圆心到直线的距离d ＝||－2－2＋32＝22，所以弦长等于2r 2－d 2＝2 2－12＝6，故选C.【答案】 C【例2】．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．【解析】 由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，又A 、B 关于OO 1对称，所以AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍，∴|AB |＝2×5×255＝4. 【答案】 4【例3】．过动点M 作圆()x －22＋()y －22＝1的切线MN ，其中N 为切点，若||MN ＝||MO (O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是____________．【解析】 由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径为1. 由M (a ，b )，可得|MN |2＝(a －2)2＋(b －2)2－12 ＝a 2＋b 2－4a －4b ＋7，|MO |2＝a 2＋b 2.由|MN |＝|MO |，得a 2＋b 2－4a －4b ＋7＝a 2＋b 2，整理得4a ＋4b －7＝0. ∴a ，b 满足的关系式为4a ＋4b －7＝0. 求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值． 在直线4a ＋4b －7＝0上取一点到原点距离最小， 由“垂线段最短”得直线OM 垂直于直线4a ＋4b －7＝0，由点到直线的距离公式，得MN 的最小值为||742＋42＝728. 【答案】 728题组训练一 直线与圆、圆与圆的位置关系1．已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________【解析】 由C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5，∴圆心坐标是C (1,2)，半径是5，∵直线l ：mx ＋y －2m －1＝0过定点P (2,1)，且在圆内，∴当l ⊥PC 时，直线l 被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长最短，∴－m ·2－11－2＝－1，∴m ＝－1.【答案】 －12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋2)2＋(y －m )2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，则实数m 的取值范围是______________．【解析】 由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，所以OA ⊥OB ，如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需∠BOD ≥90°，即∠COB ≥45°，连接CB ，∵CB ⊥OB ，由于C (－2，m )，|CO |＝m 2＋4，|CB |＝3，由sin ∠COB ＝|CB ||CO |＝3m 2＋4≥sin 45°＝22，解得－2≤m ≤ 2. 【答案】 [－2，2]3．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．【解析】 当AB 垂直于直线CM 时，∠ACB 最小(小边对小角原理，此时弦最短，故角最小)，设直线l 的斜率为k ，则k ×4－23－1＝－1，得k ＝－1，又直线l 过M (1,2)，所以y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0，故直线l 的方程为x ＋y －3＝0.【答案】 x ＋y －3＝0题型二 圆锥曲线的定义与方程 【题型要点】(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．【例4】已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)【解析】 若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n >0，3－n >0，∴－1<n <3. 若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2>0，－m 2－n >0， 即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在． 【答案】 A【例5】．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1【解析】 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2，①又双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b ，②由①②得a ＝25，b ＝5，∴双曲线的方程为x 220－y 25＝1，故选A.【答案】 A【例6】．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x【解析】 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中， ∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.【答案】 C题组训练二 圆锥曲线的定义与方程1．经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 【解析】 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由题意知|－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3，则双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎨⎧22a 2－12b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，【答案】 A2．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( )A.π6B.π4 C.π3D.π2【解析】 设∠F 1PF 2＝θ，根据余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ，即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2|PF 1|·|PF 2|cos θ.由|PF 1→＋PF 2→|＝23，得12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|cos θ.两式相减得4|PF 1|·|PF 2|·cos θ＝0，cos θ＝0，θ＝π2.【答案】 D3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________．【解析】 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.【答案】2题型三 圆锥曲线的几何性质 【题型要点】 圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．注： 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．【例7】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13【解析】 以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r ＝a ，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d ＝2aba 2＋b 2＝a ，整理可得a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)，2a 2＝3c 2，从而e 2＝c 2a 2＝23，椭圆的离心率e ＝ca ＝23＝63.故选A. 【答案】 A【例8】．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝( )A.32B.72C ．2D.13【解析】 ∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，不妨设点A 在点B 的上方，则A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ,1，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ,1.∴|AB |＝2b a . 又S △AOB ＝12×1×2ba ＝23，∴b ＝23a ，则c ＝a 2＋b 2＝13a ，因此双曲线的离心率e＝ca＝13. 【答案】 D题组训练三 圆锥曲线的几何性质1．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛+372,1 B.⎥⎦⎤⎝⎛+372,1 C.()1，2D.(]1，2【解析】 根据正弦定理可知，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c，即|PF 2|＝a3c|PF 1|, ||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-c a 31||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac3c －a ， 而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0 ，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.【答案】 A2．过点(0,3b )的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b ＝1(a >0，b >0)的一条斜率为正的渐近线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的最大值是________．【解析】 由题意得双曲线的斜率为正的渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则直线l的方程为y ＝ba x ＋3b ，即bx －ay ＋3ab ＝0.因为双曲线的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，所以渐近线y ＝b a x 与直线l 的距离不小于b ，即3abb 2＋(－a )2≥b ，结合c 2＝a 2＋b 2化简得9a 2≥c 2，所以1<e ＝ca≤3，即双曲线的离心率的最大值为3.【答案】 3题型四 圆锥曲线的定义在解题中的应用在历届的高考中圆锥曲线都是考查的重点，无论小题还是大题，都是考查的难点，不仅考查学生的计算能力，还特别强调学生解决问题的灵活性和技巧性．而恰当地利用定义解题，许多时候能达到以简驭繁，事半功倍的效果．应用一 求周长(弦长)、面积问题我们把以焦点为顶点或过焦点的三角形称为“焦点三角形”，该类与周长、面积有关的问题与圆锥曲线的定义浑然一体，应先考虑用定义来解题．【例10】 (1)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 (2)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．(3)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.【解析】 (1)由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2242,44b bb由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.(2)由双曲线C ：x 29－y 216＝1，知a ＝3，b ＝4，则c ＝a 2＋b 2＝5，|PQ |＝4b ＝16. ∴F (－5,0)，点A (5,0)为右焦点．又右焦点A (5,0)在线段PQ 上，知点P ，Q 在双曲线的右支上． 根据双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. 相加，得|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝12， 于是|PF |＋|QF |＝12＋|PQ |＝28.从而△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝44.(3)根据题设条件，作如图所示的几何图形，设线段MN 的中点为P ，点F 1，F 2为椭圆的焦点，连接PF 1，PF 2.又F 1是线段AM 的中点，∴PF 1为△MAN 的中位线，|AN |＝2|PF 1|.同理|BN |＝2|PF 2|，又因为点P 在椭圆C ：x 29＋y 24＝1上，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a＝2×3＝6，所以|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝12. 【答案】 (1)D (2)44 (3)12 应用二 求最值最值问题是解析几何的重点和难点，有的具有相当的难度．通过数形结合，利用图形的定义和几何性质问题可迎刃而解．【例11】 已知A (3,0)，B (－2,1)是椭圆x 225＋y 216＝1内的点，M 是椭圆上的一动点，则|MA |＋|MB |的最大值与最小值之和等于________．【解析】 易知A 为椭圆的右焦点，设左焦点为F 1，如图，由a 2＝25，知|MF 1|＋|MA |＝10，即|MA |＝10－|MF 1|，因此，|MA |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF 1|，连接BF 1并延长交椭圆于两点，一个点使|MB |－|MF 1|最大，最大值为2；另一个点使|MB |－|MF 1|最小，最小值为－2，于是|MA |＋|MB |的最大值与最小值之和为20.【答案】 20 应用三 求离心率利用圆锥曲线的定义求其离心率是椭圆中的另一个重点．凡涉及圆锥曲线焦半径与焦点弦的问题，一般均可考虑利用定义帮助求解．【例12】 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )A.3－12B.5－12C.22D.32(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为________．【解析】 (1)由题设圆的半径r ＝a ＋c 2，则b 2＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛+-c a a ＝22⎪⎭⎫⎝⎛+c a ，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B. (2)由双曲线定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又因为(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ， 所以4a 2＝b 2－3ab ，即(a ＋b )(4a －b )＝0. 由a ＋b ≠0，得b ＝4a ，从而c ＝a 2＋b 2＝17a ， 因此双曲线的离心率e ＝ca ＝17.【答案】 (1)B (2)17 应用四 求动点的轨迹方程动点轨迹(或曲线方程)问题是解析几何的重点和难点，在求动点轨迹的诸多方法中，围绕圆锥曲线的定义设计的问题小巧灵活，综合性强，有的具有相当的难度．【例13】 (1)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．则圆C 的圆心轨迹L 的方程为________．(2)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3 【解析】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F 2(5，0)，半径为2. 由题意得|CF 1|＝r ＋2且|CF 2|＝r －2或|CF 1|＝r －2且|CF 2|＝r ＋2 ∴||CF 1|－|CF 2||＝4.∵|F 1F 2|＝25>4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F 2(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由|PM |＋|PN |＝4，结合椭圆的定义可知，点P 是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上的点，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.则“A 型直线”和该椭圆有交点．容易验证直线①、④与椭圆有交点，故证直线①、④是“A 型直线”，直线②和椭圆没有交点，故证直线②不是“A 型直线”．对于直线③，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x 24＋y 23＝1得7x 2－24x ＋24＝0，此方程无解，从而直线③和椭圆没有交点，故证不是“A 型直线”．【答案】 (1)x 24－y 2＝1 (2)①④【专题训练】一、选择题1．设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( )A ．±3B ．±6C ．±3D ．±9【解析】 由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |2＝3，解得a ＝±6，故选B.【答案】 B2．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49【解析】 x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋(2b )2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+94112222b a b a ＝19⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++222245a b b a ≥19⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+2222425a b b a ＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2即a ＝±2b 时取等号，故选A. 【答案】 A3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1【解析】 设A (x ，y )，∵右焦点为F (c,0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA →＝2AF →，∴x ＝2c 3，y ＝b 3，代入双曲线方程，得4c 29a 2－19＝1，且c 2＝a 2＋b 2，∴b＝6a 2.∵|BF →|＝4，∴c 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.【答案】 D4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为12，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长为12，那么C 的方程为( ) A.x 225＋y 2＝1 B.x 216＋y 24＝1 C.x 225＋y 224＝1 D.x 216＋y 212＝1 【解析】 由题设可得c a ＝12⇒a ＝2c ，又椭圆的定义可得2a ＋2c ＝12⇒a ＋c ＝6，即3c＝6⇒c ＝2，a ＝4，所以b 2＝16－4＝12，则椭圆方程为x 216＋y 212＝1，应选答案D.【答案】 D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－2B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1【解析】 因为e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2p p ，B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,2p p ，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选D. 【答案】 D6．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(1,3]D ．(1,2]【解析】 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca≤3.又e >1，所以1<e ≤3.故选C.【答案】 C7．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3 D ．2【解析】 由F 2()c ，0到渐近线y ＝b a x 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF →2＝b ，则||BF →2＝3b .在△AF 2O 中， ||OA →＝a ，||OF →2＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ， tan ∠AOB ＝4b a＝212⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯a b a b，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.【答案】 A8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径， 即|k |2<2，由k >0，得0<k <2 2. ① 如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2. ② 综①②得2≤k <2 2. 【答案】 B9．如图， F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A.13 B ．3 C. 5D ．2【解析】 设||AB ＝3x ，||BF 1＝4x ，||AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2－||BF 1＝2a ，所以||BF 2＝||BF 1＋2a ＝4x ＋2a ，||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1－||AF 2＝2a ，即5x －x －2a＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a2＝13，即e ＝13，故选A.【答案】A10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝4y ，点P 是C 的准线l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则△AOB 面积的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4【解析】如图所示：抛物线C ：x 2＝4y ，准线l 的方程y ＝－1，设P (x 0，－1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝14x 2，求导y ′＝12x ，切线P A 的方程为y －x 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，又切线P A 过点P (x 0，－1)，－1＝12x 1x 0－y 1，整理得：x 1x 0－2y 1＋2＝0，同理切线PB 的方程x 2x 0－2y 2＋2＝0， ∴直线AB 的方程为xx 0－2y ＋2＝0， 直线AB 过定点F (0,1)，∴△AOB 面积， S ＝12|OF ||x 1－x 2|＝12|x 1－x 2|≥12×4＝2， ∴当且仅当直线AB ⊥y 轴时取等号， ∴△AOB 面积的最小值2. 【答案】 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x【解析】 由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b，cos ∠CF1F 2＝bc，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒2⎪⎭⎫⎝⎛a b －2⎪⎭⎫ ⎝⎛a b －2＝0⇒b a ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x . 【答案】 C12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈⎥⎦⎤⎝⎛4,6ππ，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛36,0 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,36 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡322,36 【解析】 因为OP 在y 轴上，在平行四边形OPMN 中，MN ∥OP ，所以M ，N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 两点关于x 轴对称，|MN |＝|OP |＝a ，可设M (x ，－y 0)，N (x ，y 0)，由k ON ＝k OM 可得y 0＝a 2，把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |＝32b ，得N⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,23a b .因为α为直线ON 的倾斜角，所以tan α＝a 232b＝a 3b ，因为α∈⎥⎦⎤⎝⎛4,6ππ，所以33<tan α≤1即33<a 3b≤1，33≤b a <1，13≤b 2a 2<1，又离心率e ＝1－b 2a 2，所以0<e ≤63.选A. 【答案】 A 二、填空题13．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的焦距为________．【解析】 根据题意，实数4，m,9构成一个等比数列，则有m 2＝4×9＝36，则m ＝±6，当m ＝6时，圆锥曲线的方程为x 26＋y 2＝1，为椭圆，其中a ＝6，b ＝1，则c ＝6－1＝5，则其焦距2c ＝25，当m ＝－6时，圆锥曲线的方程为y 2－x 26＝1，为双曲线，其中a ＝1，b＝6，则c ＝6＋1＝7，则其焦距2c ＝27，综合可得：圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的焦距为25或27；故答案为25或27.【答案】 25或2714．椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32， F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l与C 交于A ，B 两点，则||AF 2＋||BF 2的最大值为________．【解析】 因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8，即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a ＝1，因此||AF 2＋||BF 2的最大值为8－1＝7.【答案】 715．如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．【解析】因为△ABF 2为等边三角形，由点A 是双曲线上的一点知，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，由点B 是双曲线上一点知，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，从而|BF 2|＝4a ，由∠ABF 2＝60°得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中应用余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos 120°，整理得c 2＝7a 2，则e 2＝7，从而e ＝7.【答案】716．已知抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－1，焦点为F ，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，|F A →|，|FB →|，|FC →|成等差数列，且点B 在x 轴下方，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则直线AC 的方程为________．【解析】 抛物线的准线方程是x ＝－p2＝－1，21 ∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 又|F A →|，|FB →|，|FC →|成等差数列，∴|F A →|＋|FC →|＝2|FB →|，即x 1＋1＋x 3＋1＝2(x 2＋1)，即x 1＋x 3＝2x 2.∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴(x 1－1＋x 2－1＋x 3－1，y 1＋y 2＋y 3)＝0， ∴x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0， 则x 1＋x 3＝2x 2，x 2＝1.由y 22＝4x 2＝4，则y 2＝－2或2(舍)，则y 1＋y 3＝2， 则AC 的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ，即(1,1)， AC 的斜率k ＝y 1－y 3x 1－x 3＝y 1－y 3y 214－y 234＝4y 1＋y 3＝42＝2， 则直线AC 的方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.【答案】 2x －y －1＝0。
2020版高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第1讲直线与圆练习(含解析)
第1讲直线与圆[做真题]题型一圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（）A．－43B．－错误!C．错误!D．2解析：选A。
由题可知，圆心为(1,4）,结合题意得错误!＝1，解得a＝－错误!。
2．（2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋错误!＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a＝4，b＝2,上、下顶点的坐标分别为(0，2)，（0，－2），右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点（0，2)，(0,－2），（4，0)三点．设圆的标准方程为（x－m）2＋y2＝r2（0＜m＜4,r＞0)，则错误!解得错误!所以圆的标准方程为(x－错误!)2＋y2＝错误!。
答案：(x－错误!)2＋y2＝错误!3．（2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F 且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点,|AB｜＝8。
（1）求l的方程；（2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解:（1）由题意得F(1，0),l的方程为y＝k（x－1）(k＞0)．设A（x1，y1)，B(x2，y2)．由错误!得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0,故x1＋x2＝错误!.所以｜AB|＝｜AF|＋｜BF|＝（x1＋1）＋（x2＋1)＝错误!。
由题设知错误!＝8,解得k＝－1(舍去)，k＝1。
因此l的方程为y＝x－1.(2)由（1)得AB的中点坐标为（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－（x－3），即y＝－x＋5。
设所求圆的圆心坐标为（x0,y0），则错误!解得错误!或错误!因此所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2)2＝16或（x－11)2＋(y ＋6）2＝144.题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ）直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x－2）2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（)A．[2,6］B．［4,8]C．［错误!，3错误!］D．[2错误!,3错误!]解析：选A。
2020高考文科数学二轮专题辅导通用版课件：专题5 解析几何2.5.解答题 2
B( c， c ). 2 2a
又直线OA的方程为y= x,
1
则A kAB=
a
又因为(Ac，B⊥c O)，B,所以
c ( c ) a=-1,解得2aa2=3,
3
.
故双曲线Ca的方程为 -y2=1c. c
a
2
3g( 1 ) aa
x2
3
(2)由(1)知a= ,则直线l的方程为 -y0y=1(y0≠0),
(1)从特殊值入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【变式训练】 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴端点到焦点的距离为2.
x2 a2
y2 b2
3 2
(1)求椭圆C的方程. (2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OA⊥OB.求证:原点O到直线AB的距离 为定值,并求出该定值.
t 12 ，
2k2 1
x1 ， y1 1
所 所以以||O(t+M1|)·(|Ot-1N)||==|t-1|2,t=1(|舍去x)或1 0g, x2 ||
当t=0时,①式Δ>0,符合题意,
所以直线l方程为y=kx,
y1
1
y2 1
x1x 2 y1 1 y2 1
2 t2 1 || t 1 2
x0
22
4g 2x0 32 3 3y02 3 x0
22
.
因为P(x0,y0)是C上一点,则
=1,代入上式x得02 3
y02
故M所F求2定值4为
NF 2
g 3 x02
2x0 32 3 3x0 22
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专题 解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2， 22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜PA |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12 2．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R)，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 ⇔⇔⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan|k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ,231312-=+-+=BC k ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈Y k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时， 可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜PA ｜的最小值；(2)若|PA |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0， 所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内．3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离．4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含．【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程； (2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0．整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM所以，即圆心到直线l 的距离为1，于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0． 【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．,1||||||22=-=PM CP CM 11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．5,11k k -=Θ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62253．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．1=+bya x 11122≤+ba 11122≥+ba )0(33≥=x x y 2325511．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F。
2020版高考数学大二轮复习专题五解析几何第一讲直线与圆课件理
1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔k1＝ k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要 考虑斜率是否存在． 2．求直线方程 要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求 直线不能与 x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线， 也不能表示垂直于坐标轴的直线．
专题五 解析几何
第一讲 直线与圆
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 限时规范训练
[考情分析·明确方向] 1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点 关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查． 2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度， 有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程 (特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
3．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距 离 d＝ |CA1－2＋CB2|2. (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. 4．与已知直线 l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直线可设 为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为 Bx－Ay＋m＝0.
答案：D
2．(2019·呼和浩特一模)已知直线 y＝－34x－3 与 x，y 轴分别交 于 A，B 两点，动点 P 在圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 上，则△ABP 面积的最大值为________．
解析：根据题意，直线 y＝－34x－3 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点， 则 A(－4,0)，B(0，－3)，|AB|＝5，
2020版高考数学二轮复习教程第二编专题五解析几何第1讲直线与圆练习理
第1讲直线与圆「考情研析」 1.考查直线间的平行和垂直的条件,与距离有关的问题．2。
考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题。
核心知识回顾1。
直线的斜率直线过点A（x1，y1），B(x2，y2)，其倾斜角为α错误!，则斜率k ＝错误!错误!＝错误!tanα.2．直线的两种位置关系3．三种距离公式(1）两点间的距离:若A(x1，y1),B（x2,y2），则|AB|＝错误!错误!.（2)点到直线的距离：点P(x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!错误!.（3)两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0,l2：Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2)，则两平行线的距离d＝错误!错误!。
4．圆的方程(1）标准方程：错误!（x－a)2＋（y－b）2＝r2.(2）一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是错误!D2＋E2－4F>0，其中圆心是错误!错误!，半径r＝错误!错误!.5．直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r。
6．两圆的位置关系设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2。
热点考向探究考向1 直线的方程及应用例1 (1）(2019·天津九校联考）“m＝2”是“直线l1：mx＋4y－6＝0与直线l2：x＋my－3＝0平行"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析若直线l1:mx＋4y－6＝0与直线l2：x＋my－3＝0平行，则m2＝4,m＝±2，当m＝2时，直线l1：2x＋4y－6＝0与直线l2：x＋2y－3＝0，两直线重合，舍去，所以“直线l1：mx＋4y－6＝0与直线l2：x＋my－3＝0平行”等价于“m＝－2",所以“m＝2"是“直线l1:mx＋4y－6＝0与直线l2：x＋my－3＝0平行"的既不充分也不必要条件．故选D。
2020高考数学二轮复习专题三解析几何第一讲小题考法——解析几何中的基本问题课件
[解析] (1)设 O 到 AB 的距离为 d1，O 到 CD 的距离为 d2，则由垂径定理可得
∠APB＝θ，则 sinθ2 ＝PrC，因为 θmax＝π3 ，所以sinθ2 max＝
PCrmin＝2r＝12，所以 r＝1.
答案：1
3．(2019·苏北三市一模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1： x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R)与以 C2(－2，3)为圆 心的圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足 x12－x22＝ y22－y21，则实数 m 的值为________．
几何法 系，从而求得圆的基本量和方程 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各
代数法 系数，从而求得圆的方程
考点(二)
直线与圆、圆与圆 的位置关系
主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直 线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·无锡期末)过圆 O：x2＋y2＝16 内一点 P(－ 2，3)作两条相互垂直的弦 AB 和 CD，且 AB＝CD，则四边形 ACBD 的面积为________．
线，所以 ay－(a＋4)x＝0，得 a＝y－4xx.因为 a＝4x－＋4yy＝y－4xx，所
以点 M 的轨迹方程为x＋122＋y－122＝12(除去原点)，因为 A 在
该圆外，所以 AM 的最大值为
－4＋122＋122＋ 22＝3 2.
2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习理
【2019最新】精选高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习理一、选择题1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A.5－4B.5－4C.5－3D.5－3解析由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5.所以(|PM|＋|PN|)min＝5－4.答案B2.(2016·浙江卷)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1解析由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.答案A3.(2013·全国Ⅰ卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y ，得x2－a2x ＋a2－a2b2＝0，所以AB 的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b ＝c ＝3，选D.答案 D4.(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B. C. D.1解析 如图，由题可知F ，设P 点坐标为,2p)，y0))，显然，当y0<0时，kOM<0；y0>0时，kOM>0，要求kOM 最大值，不妨设y0>0.则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝,6p)＋\f(p,3)，\f(y0,3)))，kOM ＝,6p)＋\f(p,3))＝≤＝，当且仅当y ＝2p2等号成立.故选C.答案 C5.(2015·福建)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析 左焦点F0，连接F0A ，F0B ，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a ＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.离心率e ＝＝＝＝∈，故选A.答案 A二、填空题6.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －＝0与圆x2＋y2＝12交于A ，B 两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，AB＝2，所以OM＝3，解得m ＝－，由解得A(－3，)，B(0，2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，所以|CD|＝4.答案47.(2016·江西七校第二次联考)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________.解析如图，∵＝(＋)，∴E为FP的中点，又O为FF′的中点，∴OE为△PFF′的中位线，∴OE∥PF′，|OE|＝|PF′|，∵OE＝a，∴|PF′|＝a，∵PF切圆O于E，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∵|FF′|＝2c，|PF|－|PF′|＝2a，∴|PF|＝2a＋a＝3a，∴由勾股定理得a2＋9a2＝4c2，∴10a2＝4c2，∴e＝＝.答案1028.(2016·深圳第二次调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于________.解析由题意知直线AB的方程为y＝x－，垂直线平分线方程为y＝－x＋2，联立上面两直线方程得y＝1－，x＝1＋，即AB的中点坐标为，设A,2p)，y1))，B,2p)，y2))，则,2p)－\f(y,2p))＝，∴1－＝p，∴p＝.答案45三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.→·＝x1x2＋y1y2OM＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.10.(2014·全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x1）＝c ，－2y1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－32c.y1＝－1. 代入C 的方程，得＋＝1.②将①及c ＝代入②得＋＝1.解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝ 2 .11.已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.解 (1)过点(c ，0)，(0，b)的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝＝，由d ＝c ，得a ＝2b ＝2，解得离心率＝.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k(x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k ＝，从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E 的方程为＋＝1.法二由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝，因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝ |x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.。
部编版2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习
第1讲 直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8] C.[2，32]D.[22，32]解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6. 答案 A2.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.解析 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，所以k OA ＝1，k AB ＝1－01－2＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，所以OA ⊥AB .所以OB 为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. 答案 x 2＋y 2－2x ＝03.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2.所以圆C的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π4.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________. 解析 因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案 3考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2k 1＝k 2，l 1⊥l 2k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r 相交；d ＝r 相切；d >r 相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.热点一 直线的方程【例1】 (1)(2018·惠州三模)直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，则“m ＝－1或m ＝－7”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)过点(1，2)的直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积最小时，直线l 的方程为( ) A.2x ＋y －4＝0 B.x ＋2y －5＝0 C.x ＋y －3＝0D.2x ＋3y －8＝0解析 (1)由(3＋m )(5＋m )－4×2＝0， 得m ＝－1或m ＝－7.但m ＝－1时，直线l 1与l 2重合.当m ＝－7时，l 1的方程为2x －2y ＝－13， 直线l 2：2x －2y ＝8，此时l 1∥l 2.∴“m ＝－7或m ＝－1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件.(2)设l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则1a ＋2b＝1.∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ≥22ab.则1≥22ab，∴ab ≥8(当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时，取“＝”).∴当a ＝2，b ＝4时，△OAB 的面积最小. 此时l 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0.答案 (1)B (2)A探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大. ∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0 热点二 圆的方程【例2】 (1)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.(2)(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________. 解析 (1)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a .由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ). 由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a2＝－12，解得a ＝ 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.答案 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝4 (2)(x ＋1)2＋(y －3)2＝1探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.(2)(2018·日照质检)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.解析 (1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.(2)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 (2)(x －2)2＋y 2＝9热点三 直线(圆)与圆的位置关系 考法1 圆的切线问题【例3－1】 (1)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2018·湖南六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，433解析 (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0. 依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切. ∴|－a |12＋[－（a ＋3）]2＝1，解得a ＝－53. (2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0.由d ＝|0－0－2|1＋k2＝1，得k ＝± 3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2.故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞.答案 (1)－53 (2)B考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0， ③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2018·石家庄调研)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离(2)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________________.解析 (1)圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a2，所以有a2＝a 22＋2，解得a ＝2. 所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. (2)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案 (1)B (2)x ＋y －3＝01.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与x 轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ).一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43B.－34C. 3D.2解析 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4).由题意，得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.答案 A2.(2018·昆明诊断)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要解析 “直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0m＝±1.∴命题p 是命题q 的充分不必要条件. 答案 A3.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B4.(2018·衡水中学模拟)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.1031 B.921 C.1023D.911解析 易知P 在圆C 内部，最长弦为圆的直径10， 又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2， ∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223， 故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C5.(2018·湖南师大附中联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125D.⎝⎛⎭⎪⎫0，125解析 设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，∴x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋(2a －3)2≤9，解之得0≤a ≤125. 答案 A 二、填空题6.过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.解析 易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0. 又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝07.(2018·济南调研)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，若l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________.解析 由y ＝ax 2，得x 2＝ya ，∴准线l 的方程为y ＝－14a.又l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交的弦长为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，则a ＝12. 答案 128.某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆C 的方程为________.解析 由题意，1002 500＝a 1 000＝b 600，∴a ＝40，b ＝24， ∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|25＋9＝334， ∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，∴r ＝634， ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817三、解答题9.已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即l 1与l 2的交点P (1，2). ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1， 即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标.解 圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2， ∴圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.由|PM |＝|PO |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2.整理，得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程. 解 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0).因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22， 所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习
【2019最新】精选高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习一、选择题1.已知圆C1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C1、C2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A.5－4 B.5－4 C.5－3D.5－3解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x 轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min ＝|C1′C2|＝5.所以(|PM|＋|PN|)min ＝5－4. 答案 B2.(2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双曲线C ：－y2＝1上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( ) A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233解析 由题意知M 在双曲线C ：－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由得y ＝±，所以－<y0<. 答案 A3.(2016·××市高三测试)已知椭圆E ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1D.＋＝1解析因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选D.答案D4.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( ) A. B.C. D.1解析如图，由题可知F，设P点坐标为,2p)，y0))，显然，当y0<0时，kOM<0；y0>0时，kOM>0，要求kOM最大值，不妨设y0>0.则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝,6p)＋\f(p,3)，\f(y0,3)))，kOM＝,6p)＋\f(p,3))＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立.故选C.答案C5.如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )A. B.62C. D.3解析不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±x，因此有交点P，Q，设PQ的中点为N，则点N的坐标为，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3，0)，因此有kMN＝＝－，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝，所以e＝.答案B二、填空题6.(2015·浙江卷)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.解析因为实数x，y满足x2＋y2≤1，则2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x ＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝－3x－4y＋10.令z＝－3x－4y＋10，则3x＋4y－10＋z＝0.当直线3x＋4y－10＋z＝0与圆x2＋y2＝1相切时，z 取最值，故＝1，∴z＝5 或z＝15，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值为15.答案157.(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.解析如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2＜2m＋2＜8.答案(2，8)8.(2016·深圳第二次调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于________.解析由题意知直线AB的方程为y＝x－，垂直线平分线方程为y＝－x＋2，联立上面两直线方程得y＝1－，x＝1＋，即AB的中点坐标为，设A,2p)，y1))，B,2p)，y2))，则,2p)－\f(y,2p))＝，∴1－＝p，∴p＝.答案45三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y －3)2＝1交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.→·＝x1x2＋y1y2OM＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.10.(2014·全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M 是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac ，解得＝，＝－2(舍去).故C 的离心率为.(2)由题意，原点O 为F1F2的中点，MF2∥y 轴，所以直线MF1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x1）＝c ，－2y1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－32c.y1＝－1.代入C 的方程，得＋＝1.② 将①及c ＝代入②得＋＝1.解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝ 2 .11.已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.解 (1)过点(c ，0)，(0，b)的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝＝， 由d ＝c ，得a ＝2b ＝2，解得离心率＝.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x2＋4y2＝4b2.① 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k(x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k ＝， 从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.法二由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝，因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝ |x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.。
2016届高考数学(理)二轮专题复习同步专题5第1讲圆与圆锥曲线的基本问题(含解析)(山东专用)
第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题一、选择题1．(2015·广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析 设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c|22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选D.答案 D2．(2015·安徽卷)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x24＝1解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y2108＝1 B.x 29－y227＝1 C.x 2108－y236＝1 D.x 227－y29＝1解析 由双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y23＝λ(λ＞0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F(－6，0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y227＝1.故选B.答案 B4．(2015·浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1 C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1解析 由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC||AC|＝x Bx A ，由抛物线的性质知|BF|＝x B ＋1，|AF|＝x A ＋1，∴x B ＝|BF|－1，x A ＝|AF|－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF|－1|AF|－1.故选A.答案 A5．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k(x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.答案 D二、填空题6．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________． 解析 设圆C 的圆心为(a ，b)(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案 (x －2)2＋(y －1)2＝47．(2015·湖南卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________． 解析 不妨设F(c ，0)，则由条件知P(－c ，±2b)，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c2a 2＝5，∴e＝ 5.答案58．(2015·青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________． 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆心为C(3，0)． 又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C(3，0)，∴a 2＋b 2＝9.② 由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y24＝1.答案 x 25－y24＝1三、解答题9．已知曲线C 上的动点P(x ，y)满足到定点A(－1，0)的距离与到定点B(1，0)的距离之比为2. (1)求曲线C 的方程；(2)过点M(1，2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN|＝4，求直线l 的方程． 解 (1)由题意得|PA|＝2|PB|， 故（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1. 将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2， 所以|MN|＝4，满足题意． 当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2， 由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k2， 解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.10．(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b)，点M 在线段AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b)，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程． 解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ， 故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y29＝1.11．(2015·重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接F 1Q ，法一 如图，设点P(x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ|＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b4c2.＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ|＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ|，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ， 即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得 e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a.从而由|PF 1|＝|PQ|＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PQ，|PF 1|＝|PQ|， 知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a. 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c)2， 因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.。
(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习理新人教A版(最新整理)
第1讲直线与圆一、选择题1．已知直线l1过点（－2，0）且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为（）A．（3,错误!) B．（2，错误!)C．（1,错误!）D．错误!解析：选C．直线l1的斜率k1＝tan 30°＝错误!，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l的斜率k2＝－错误!＝－错误!，所以直线l1的方程为y＝错误!(x＋2）,直线l2的方程为y＝2－错误!(x－2)，联立错误!解得错误!即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，错误!)．2．圆C与x轴相切于T（1，0),与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( ）A．(x－1)2＋（y－错误!）2＝2B．(x－1)2＋(y－2）2＝2C．（x＋1）2＋（y＋错误!)2＝4D．（x－1）2＋(y－错误!)2＝4解析：选A．由题意得,圆C的半径为1＋1＝错误!，圆心坐标为（1，错误!)，所以圆C的标准方程为(x－1）2＋(y－错误!）2＝2,故选A．3．已知圆M:x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2错误!,则圆M与圆N:(x－1)2＋(y－1）2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B．圆M：x2＋y2－2ay＝0（a>0）可化为x2＋（y－a）2＝a2,由题意,M(0,a)到直线x＋y＝0的距离d＝错误!，所以a2＝错误!＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1,故两圆相交．4．（2019·皖南八校联考)圆C与直线2x＋y－11＝0相切，且圆心C的坐标为（2，2)，设点P的坐标为(－1，y0）．若在圆C上存在一点Q，使得∠CPQ＝30°,则y0的取值范围是（）A．[－错误!，错误!］B．[－1,5］C．[2－错误!,2＋错误!］D．[2－2错误!,2＋2错误!］解析：选C．由点C（2,2)到直线2x＋y－11＝0的距离为错误!＝错误!，可得圆C的方程为（x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在这样的点Q，当PQ与圆C相切时，∠CPQ≥30°,可得sin∠CPQ＝错误!＝错误!≥sin 30°，即CP≤2错误!,则错误!≤2错误!，解得2－错误!≤y≤2＋错误!。
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【2019最新】精选高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线
的基本问题练习理
一、选择题
1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是
圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5－4
B.5－4
C.5－3
D.5－3
解析由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5.所以(|PM|＋|PN|)min＝5－4.
答案B
2.(2016·浙江卷)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A.m＞n且e1e2＞1
B.m＞n且e1e2＜1
C.m＜n且e1e2＞1
D.m＜n且e1e2＜1
解析由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.
答案A
3.(2013·全国Ⅰ卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1消去y ，得x2－a2x ＋a2－a2b2＝0，所以AB 的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b ＝c ＝3，选D.
答案 D
4.(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( )
A.
B. C. D.1
解析 如图，由题可知F ，设P 点坐标为,2p)，y0))，显然，当y0<0
时，kOM<0；y0>0时，kOM>0，要求kOM 最大值，不妨设y0>0.则＝
＋＝＋＝＋(－)＝＋＝,6p)＋\f(p,3)，\f(y0,3)))，kOM ＝,6p)＋
\f(p,3))＝≤＝，当且仅当y ＝2p2等号成立.故选C.
答案 C
5.(2015·福建)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )
A.
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，3
4 C. D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析 左焦点F0，连接F0A ，F0B ，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a ＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e ＝＝＝＝∈，故选A.
答案 A
二、填空题
6.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －＝0与圆x2＋y2＝12交于A ，B 两点，
过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，AB＝2，所以OM＝3，解得m ＝－，由解得A(－3，)，B(0，2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，所以|CD|＝4.
答案4
7.(2016·江西七校第二次联考)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________.
解析如图，∵＝(＋)，∴E为FP的中点，
又O为FF′的中点，∴OE为△PFF′的中位线，
∴OE∥PF′，|OE|＝|PF′|，
∵OE＝a，∴|PF′|＝a，
∵PF切圆O于E，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，
∵|FF′|＝2c，|PF|－|PF′|＝2a，
∴|PF|＝2a＋a＝3a，∴由勾股定理得a2＋9a2＝4c2，
∴10a2＝4c2，∴e＝＝.
答案10
2
8.(2016·深圳第二次调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于________.解析由题意知直线AB的方程为y＝x－，
垂直线平分线方程为y＝－x＋2，
联立上面两直线方程得y＝1－，x＝1＋，
即AB的中点坐标为，
设A,2p)，y1))，B,2p)，y2))，则,2p)－\f(y,2p))＝，
∴1－＝p，∴p＝.
答案4
5
三、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得<k<.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
→·＝x1x2＋y1y2
OM
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
10.(2014·全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M
是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去).故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x1）＝c ，－2y1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－3
2c.y1＝－1. 代入C 的方程，得＋＝1.②
将①及c ＝代入②得＋＝1.
解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝ 2 .
11.已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝的一条直径，若椭圆E
经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.
解 (1)过点(c ，0)，(0，b)的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，
则原点O 到该直线的距离d ＝＝，
由d ＝c ，得a ＝2b ＝2，解得离心率＝.
(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝.
易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k(x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k ＝，
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故椭圆E 的方程为＋＝1.
法二由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝，
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，
代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝ |x1－x2|
＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故椭圆E的方程为＋＝1.。