全国文数第40课 抛物线
人教版(B版)高中数学选择性必修第1册 40 抛物线的标准方程
物线有相应的 p （p >0）值，而且以后谈到抛物线的标准方
程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体如下：
= ①； = −
=
③；
②；
= −
④.
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
到抛物线的方程为 = −.
②
通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标
准方程 .
类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角
坐标系，则抛物线的焦点为
=
−
，
，准线为
；只要将①中的 x 与 y 互换即可得到抛
物线的方程为 = .
③
通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
（2）抛物线的焦点是 −， .
解 （2）因为抛物线的焦点是 −， ，所以抛物线的标准
方程具有 = − 的形式，而且
抛物线的标准方程是.
准线方程为. =
6
3
=，因此
= ，从而所求
= −
例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 ， − 的距离
l 称为抛物线的准线.
2. 抛物线的标准方程：
由焦点到准线的距离 p 以及焦点的位置确定的. 以后谈到抛
物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体
如下： = ①； = −②；
= ③；
= −
④.
人教B版课本153页练习A 第2题
人教B版课本154页练习 B 第5题
例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 ， − 的距离
专题40 抛物线(教学案)-2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍 Word版含解析
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。
2．理解数形结合的思想。
3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。
热点题型一 抛物线的定义及标准方程例1、（2018年全国I 卷理数）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】D【变式探究】【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
若M 为FN 的中点，则FN = 。
【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．【变式探究】(1)已知点M (3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当|PM |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________。
(2)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |。
故以M 为圆心，以12|AB |为半径的圆与直线l 相切。
选C 。
【提分秘籍】与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。
实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化。
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。
(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解。
【举一反三】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A热点题型二抛物线的几何性质例2、（2018年全国Ⅲ卷理数）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【解析】设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1) 所以，则即故答案为2.【变式探究】【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2【解析】(1)因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2。
高中数学_抛物线及标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
《抛物线及其标准方程》教学设计一、设置情景，导入新课可由教师用预先制作的教具向学生演示这种画法（具体操作见课本第115页），给一定的时间让学生以四人小组为单位，合作完成曲线的作图，并请同学们解释这个画法的原理。
得到如下图形：这条曲线是什么？我们以前见过吗？【设计意图】引导学生求该曲线的方程，复习求曲线方程的步骤，强化解析几何“用方程研究曲线”的思想。
【学生活动设计】①请同学们增大点F 到直尺L 的距离，重复刚才的实验，比较一下，曲线有什么变化？再缩小这个距离试一试。
②这说明了什么？【设计意图】学生实验有了初步结论后，可利用几何画板演示随着距离逐渐增大，曲线的开口由小变大的过程，设KF P =，体会参数P 的重要性。
二、以下由学生自主建系，求出该曲线的方程。
【学生活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建系方案，一段时间后，各组交流，对可行的方案进行验证。
大致有如下几种建系方案，本着自愿的原则，由各小组选择一种进行方程的推导。
请三位同学上来板演。
①以K 为原点，定直线所在的直线为 Y 轴建立平面直角坐标系，此时可得 曲线方程为：222y pxp =- (p ＞0)②以F 为原点，过F 且垂直于定直线L 的直线为x 轴，此时可得方程：222y px p =+ (p ＞0)③以垂线段KF 的中点为原点，KF 所在的直线为x 轴，此时可得方程：22y px = (p ＞0)【探究结论】方案3所得出的方程比较简洁，把它叫做该曲线的标准方程。
再次明确参数P 的几何意义。
与椭圆、双曲线的标准方程对比，这种曲线并非椭圆、双曲线的一部份。
如果仍以KF 的中点为原点，KF 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出该曲线的方程。
此时可得方程22xpy =【探究结论】此方程即为初中学过的二次函数2212y x ax p==，由此得出该曲线是抛物线。
三、【定义】平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
第40课 探索型问题
基础自测
1．(2010· 湛江)观察下列算式：31＝3, 32＝9, 33＝27, 34＝81, 35＝ 243, 36＝729, 37＝2187, 38＝6561，……，通过观察，用你所 发现的规律确定32010的个位数字是( B ) A．3 B．9 C．7 D．1 解析：通过观察可知规律：幂的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1， ……，所以2010除以4，得余数是2，幂的个位数字是9.
求出所有符合条件的点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
5 解：(1)设经过点A(0,6)，B(2,0)，C(7， )的抛物线的解析式 2 2＋bx＋c， 为y＝ax c＝6， 1 则有 4a＋2b＋c＝0， 解得a＝ ，b＝－4，c＝6. 2 5 49a＋7b＋c＝ ， 2 ∴此抛物线的解析式为 y＝x2－4x＋6.
后对猜想的结论进行证明．这类题主要考查解题者的发散
思维和所学基本知识的应用能力．
3．存在探索型问题：指在一定条件下需探索发现某种数学 关系是否存在的问题．解题时一般是先对结论作肯定存 在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进 行推理论证．若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合 理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论．
[难点正本 疑点清源]
1．按探索对象分类 按探索对象的不同，探索题可分为条件探索题和结论探索题， 即执果索因和执因导果． 2．按探索方法分类 (1)直观探索法，对所学的新知识的思维迁移，进行发现，这种 方法多用于图形性质的发现； (2)归纳探索法，让读者对某些单个的、特殊的事物进行分析比 较，从中总结出规律性的东西，从而进行发现； (3)类比探索法，把所要解决的新问题和与之有关的问题进行分 类比较，发现它们之间的共同特点和规律．
抛物线(公开课)
过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交
于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4
√B. D→F＝F→A
√C.|BD|＝2|BF|
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点 E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l 的斜率为 3，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确；
线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|， ①
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小. 由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F 三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
A.y1y2＝－1
√B.|AB|＝25 16
√C.PB平分∠ABQ √D.延长AO交直线x＝－14 于点C，则C，B，Q三点共线
设抛物线的焦点为F， 则 F14，0. 因为 P4116，1， 且l1∥x轴， 故A(1,1)， 故直线 AF：y＝11－－014x－14＝43x－13.
由y＝43x－13， y2＝x
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋
p 2
＝12，解得p＝6.
(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一 点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于_4_2_或__2_2__.
全国通用2023年高考数学一轮复习专题40抛物线及其性质课件
A. y 2 4x 或 y 2 8x
B. y 2 2x 或 y 2 8x
C. y 2 4x 或 y 2 16 x D. y 2 2x 或 y 2 16 x
解析：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋ p ＝5，则 x0＝5－ p .又
2
2
点
F
的坐标为
p 2
如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥ 2 x1x2 ＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p.
（3） 1 ＋ 1 为定值2.
|AF| |BF|
p
（4）弦长 AB＝ 2p (α为 AB 的倾斜角)． sin2α
（5）以 AB 为直径的圆与准线相切。 （6）以 AF 为直径的圆与 y 轴相切．
【解析】由题意得
F(
3 4
,
0)
，l
的方程为
y
3 2
x
m
．设
A( x1 ,
y1 ),
B( x2
,
y2
)
，
由焦半径公式知
|Leabharlann AF||BF
|
x1
x2
3 2
4, 所以x1
x2
=
5 2
由
y
3 2
x+m,
得9x2
(12m 12)x
4m2
0
．
y2 3x
12m
122
144m2
0, 所以m
1 2
，故 x1
x2
| AB | 4 2，
| DE | 2 5 ，可取 A( 4 , 2 2) ，D( p , 5) ，设O 为坐标原点，
全国高2020届高2017级高三2019年12月高三数学二轮复习资料第40课 抛物线
第40课 抛物线1.抛物线的定义的应用(1)(2017全国Ⅱ,5分)已知F 是抛物线C :y 2＝8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则||FN ＝________.答案:6解析:由抛物线C :y 2＝8x 得p ＝4,∴抛物线的焦点F 的坐标为(2,0).∵M 是FN 的中点,点N在y 轴上,∴根据中点坐标公式,得x M ＝2＋02＝1.又∵M 在抛物线上,线上,∴F M ＝x M +2P=3,||FN ＝2F M ＝3.(2)(2019汇编,10分)(Ⅰ)如图40－2所示,设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )(2015浙江)图40－2A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1(Ⅱ)已知点A (0,2),抛物线C :y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,射线F A 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,若||FM ||MN ＝55,则p 的值等于( )(2018湖北调研) A.18 B.14C.2D.4 答案:(Ⅰ)A (Ⅱ)C解析:(Ⅰ)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－1,如图所示,过A 点作AA 1⊥y 轴于点A 1,过B 点作BB 1⊥y 轴于点B 1,则S △BCF S △ACF ＝||BC ||AC ＝||BB 1||AA 1＝||BF －1||AF －1.故选A.(Ⅱ)如图,抛物线C :y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,过M 作准线的垂线,垂足为K ,则|MK |＝|FM |.又||FM ||MN ＝55,所以||MK ||MN ＝55,所以|KN |∶|MK |＝2∶1,所以直线F A 的斜率是－2,即2－00－p 2＝－2,解得p ＝2.故选C.(3)(经典题,7分)已知抛物线的方程为x 2＝8y ,F 是焦点,点A (－2,4),在此抛物线上求一点P ,使||PF ＋||P A 的值最小.答案:⎝⎛⎭⎫－2，12 解:∵(－2)2＜8×4,∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部,如图所示,设抛物线的准线为l ,过点P 作PQ ⊥l 于点Q ,过点A 作AB ⊥l 于点B ,连接AQ .由抛物线的定义可知||PF ＋||P A ＝||PQ ＋||P A ≥||AQ ≥||AB ,当且仅当P ,Q ,A ,B 四点共线时,两处等号成立,所以此时||PF ＋||P A 取得最小值,即||AB .(4分) ∵A (－2,4),∴不妨设||PF ＋||P A 的值最小时,点P 的坐标为(－2,y 0),代入抛物线方程x 2＝8y 得y 0＝12.∴使||PF ＋||P A 的值最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12.(7分)2.抛物线的标准方程与几何性质a .已知抛物线的方程求焦点坐标和准线方程(4)(经典题,5分)抛物线x ＝ay 2(a ≠0)的焦点坐标为________,准线方程为________. 答案:⎝⎛⎭⎫14a ，0 x ＝－14a解析:抛物线x ＝ay 2可化为y 2＝1a x (a ≠0),所以抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14a ，0,准线方程为x ＝－14a.b .利用定义法求抛物线的标准方程(与抛物线有关的轨迹问题)(5)(2019银川模拟,5分)点P 到(1,0)的距离比其到直线x ＋2＝0的距离少1,则点P 的轨迹方程为________.答案:y 2＝4x解析:由已知可得点P 一定在x ＋2＝0的右侧,否则P 到(1,0)点的距离一定大于到x ＋2＝0的距离.由P 到(1,0)的距离比其到直线x ＋2＝0的距离少1,可得P 到(1,0)的距离与其到x ＋1＝0的距离相等,故点P 的轨迹是以(1,0)为焦点,x ＋1＝0为准线的抛物线,其方程为y 2＝4x .变式思考(2019改编,5分)已知点P 到F (4,0)的距离与到直线x ＝－5的距离相等,则点P 的轨迹方程为________.答案:y 2＝18x ＋9解析:设点P (x ,y ),则由题意,得（x －4）2＋y 2＝||x ＋5,化简整理得y 2＝18x ＋9,即点P 的轨迹方程为y 2＝18x ＋9.c .利用待定系数法求抛物线的标准方程(6)(2019汇编,10分)(Ⅰ)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P (－4,－2)的抛物线的标准方程是____________________.(Ⅱ)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ,B两点,若以AB 为直径的圆过点⎝⎛⎭⎫－p2，2,则该抛物线的方程为( )(2018山东模拟) A.y 2＝2x B.y 2＝4xC.y 2＝8xD.y 2＝16x答案:(Ⅰ)y 2＝－x 或x 2＝－8y (Ⅱ)B解析:(Ⅰ)当对称轴为x 轴时,设抛物线为y 2＝mx (m ≠0),代入点P (－4,－2),解得m ＝－1,则抛物线方程为y 2＝－x ；当对称轴为y 轴时,设抛物线为x 2＝ny (n ≠0),代入点P (－4,－2),解得n ＝－8,则抛物线方程为x 2＝－8y .综上,所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .(Ⅱ)由题可知,抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,准线方程为x ＝－p 2. 因为直线l 过点F 且倾斜角为π4,所以直线l 的方程为y ＝x －p2.因为以AB 为直径的圆过点⎝⎛⎭⎫－p2，2,且以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切, 所以AB 的中点的纵坐标为2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立直线与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消元得y 2－2py －p 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2p , 则AB 中点的纵坐标为y 1＋y 22＝2p2＝2, 解得p ＝2,所以该抛物线的方程为y 2＝4x .故选B.d .抛物线对称性的应用(7)(经典题,5分)已知抛物线y ＝14x 2和y ＝－116x 2＋5所围成的封闭曲线如图40－6所示,给定点A (0,a ),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A 对称,则实数a 的取值范围是( )图40－6A.(1,3)B.(2,4)C.⎝⎛⎭⎫32，3D.⎝⎛⎭⎫52，4 答案:D解析:∵抛物线y ＝14x 2和y ＝－116x 2＋5均关于y 轴对称,∴封闭曲线关于y 轴对称.由题可知,两抛物线的交点为(－4,4)和(4,4),封闭曲线的最高点和最低点分别为(0,5)和(0,0).①若对称点在同一个抛物线上,则直线y ＝a 与抛物线y ＝14x 2或y ＝－116x 2＋5的两个交点关于点A 对称,显然这样的对称点有且只有一组.②若对称点分属于两个抛物线,设抛物线y ＝14x 2上的点B (x 1,y 1)(0<x 1<4)与抛物线y ＝－116x 2＋5上的点C (x 2,y 2)(－4＜x 2＜0)关于点A 对称,∵封闭曲线关于y 轴对称,∴抛物线y ＝14x 2上的点B ′(－x 1,y 1)与抛物线y ＝－116x 2＋5上的点C ′(－x 2,y 2)关于点A 对称,∴只需考虑B ,C 关于点A 对称,则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝0，14x 21－116x 22＋5＝2a ，∴14x 21－116(－x 1)2＋5＝2a ,即a ＝332x 21＋52(0＜x 1＜4),∴a ∈⎝⎛⎭⎫52，4.故选D.随堂普查练40 Ⅰ1.(2018北京东城一模,5分)设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是( )A.1B.2C.3D.4 答案:C解析:易得抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.因为点P 到y 轴的距离是2,所以点P 到抛物线的准线的距离为2－(－1)＝3.由抛物线的定义可知,点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离,故点P 到该抛物线焦点的距离是3.故选C.2.(经典题,5分)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点,点P 在x 轴上的射影是点Q ,点A 的坐标是(8,7),则||P A ＋||PQ 的最小值为( )A.7B.8C.9D.10 答案:C解析:如图,抛物线的焦点为F (0,1),准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义知,||PF ＝||PM ＝||PQ ＋1.∴||P A ＋||PQ ＝||P A ＋||PM －1＝||P A ＋||PF －1≥||AF －1＝82＋（7－1）2－1＝10－1＝9,当且仅当点P 在线段AF 上时,等号成立,则||P A ＋||PQ 的最小值为9.故选C.3.(经典题,5分)过点F (0,3),且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( ) A.y 2＝12x B.y 2＝－12x C.x 2＝－12y D.x 2＝12y 答案: D解析:由已知条件知,动圆圆心到点F 和到直线y ＋3＝0的距离相等,所以动圆圆心轨迹是以点F (0,3)为焦点,直线y ＝－3为准线的抛物线,故其方程为x 2＝12y ,故选D.4.(2018江西模拟,6分)满足焦点在x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为________,对应的准线方程为________.答案:y 2＝16x 或x 2＝－8y x ＝－4或y ＝2解析:由于抛物线为标准型,故焦点必为x －2y －4＝0与坐标轴的交点,易知x －2y －4＝0与坐标轴的交点为(0,－2)或(4,0).当焦点为(4,0)时,p2＝4,p ＝8,此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ,准线为x ＝－4；当焦点为(0,－2)时,p2＝2,p ＝4,此时抛物线的标准方程为x 2＝－8y ,准线为y ＝2.5.(经典题,5分)设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3,则抛物线的方程为____________________.答案:y 2＝8x 或y 2＝－16x解析:依题意得准线方程为x ＝4或x ＝－2,∴－m4＝4或－2,解得m ＝－16或8,∴抛物线的方程为y 2＝－16x 或y 2＝8x .6.(2018安徽模拟,5分)如图40－7所示,已知直线与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,OD ⊥AB 于点D ,点D 的坐标为(2,4),则p 的值为( )图40-7A.2B.4C.32D.52答案:D解析:设点A 的坐标为(x 1,y 1),点B 的坐标为(x 2,y 2),则OA →＝(x 1,y 1),OB →＝ (x 2,y 2). 由OA ⊥OB ,得OA →·OB →＝0,即x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为A ,B 两点在抛物线上,所以x 21＝2py 1,x 22＝2py 2,所以(x 1x 2)2＝4p 2y 1y 2,所以x 1x 2＋4p 2＝0. 由D (2,4),得k OD ＝2,由OD ⊥AB ,可得直线AB 的斜率为－12.又直线AB 过点D (2,4),所以直线AB 的方程为y ＝－12x ＋5.联立直线AB 与抛物线的方程,得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋5，x 2＝2py ，消去y 可得x 2＋px －10p ＝0,则x 1x 2＝－10p ,代入x 1x 2＋4p 2＝0,可得p ＝0(舍去)或p ＝52.故选D.3.直线与抛物线位置关系的相关问题 a .直线与抛物线相交的焦点弦相关问题(8)(经典题, 5分)设F 为抛物线C :y 2＝3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A .334B .938C .6332D .94 答案:D解析:∵抛物线C :y 2＝3x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫34，0, ∴直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34. (法一)联立直线AB 与抛物线的方程, 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，y 2＝3x ，,消元得x 2－212x ＋916=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 x 1＋x 2＝212,∴由抛物线的定义,可得||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.∵点O 到直线AB 的距离d ＝34⎝⎛⎭⎫332＋（－1）2＝38,∴△OAB 的面积为S △OAB ＝12||AB ·d ＝12×12×38＝94.(法二)联立直线AB 与抛物线的方程, 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，y 2＝3x ，消元得4y 2－123y －9＝0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝33,y 1y 2＝－94.∴S △OAB ＝12||OF ·||y 1－y 2＝12×34×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝3827＋9＝94. (法三)依题知AB 的倾斜角α＝30°, ∴|AB |＝2p sin 2α＝314＝12, ∴S △OAB ＝12|OF ||AB |sinα＝12×34×12×12＝94.故选D.(9)(2019改编,12分)已知抛物线C 的方程:x 2＝2py (p ＞0),设AB 是过抛物线焦点F 的弦,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(Ⅰ)证明:x 1x 2,y 1y 2为定值,并求出定值；(Ⅱ)证明:1||AF ＋1||BF 为定值,并求出此定值； (Ⅲ)试判断以AB 为直径的圆与准线的位置关系并加以证明.答案:(Ⅰ)x 1x 2＝－p 2,y 1y 2＝p 24 (Ⅱ)1||AF ＋1||BF ＝2p(Ⅲ)以AB 为直径的圆与抛物线准线相切解:(Ⅰ)证明:当直线AB 的斜率不存在时,显然不满足题意；当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2,联立直线AB 与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，消去y ,整理得x 2－2pkx －p 2＝0,∴x 1x 2＝－p 2,x 1＋x 2＝2pk ,(3分)∴y 1y 2＝x 212p ·x 222p ＝（x 1x 2）24p 2＝p 44p 2＝p 24.(4分)(Ⅱ)证明:根据抛物线定义得||AF ＝y 1＋p 2,||BF ＝y 2＋p2,(5分)∴1||AF ＋1||BF ＝1y 1＋p 2＋1y 2＋p 2＝2（2y 2＋p ）＋2（2y 1＋p ）（2y 1＋p ）（2y 2＋p ）＝4（y 1＋y 2）＋4p4y 1y 2＋2p （y 1＋y 2）＋p 2＝4（y 1＋y 2＋p ）p 2＋2p （y 1＋y 2）＋p 2＝4（y 1＋y 2＋p ）2p （y 1＋y 2＋p ）＝2p.(8分)(Ⅲ)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.(9分)理由如下:设以AB 为直径的圆的半径为r ,AB 的中点坐标为P (x 0,y 0),如图所示.则||AB ＝||AF ＋||FB ＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝2r .(10分)设点P 到准线y ＝－p 2的距离为d ,则d ＝y 0＋p 2＝y 1＋y 22＋p2＝r ,即圆心到准线的距离等于半径r ,故以AB 为直径的圆与抛物线准线相切.(12分)b .直线与抛物线相交的弦长(非焦点弦)问题(10)(经典题,12分)设点P (x ,y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点),点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)若直线l :y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ,B 两点,且||AB ＝26,求实数k 的值.答案:(Ⅰ)x 2＝2y (Ⅱ)k ＝±1解:(Ⅰ)设点P (x ,y ),过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ,则||PN ＝y ,由题意知||PM －||PN ＝12,∴x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝y ＋12,(3分) 化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(5分)(Ⅱ)由题意设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立直线与点P 的轨迹方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，消去y ,化简得x 2－2kx －2＝0,∴x 1＋x 2＝2k ,x 1x 2＝－2.(8分)∵||AB ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·4k 2＋8＝26, ∴k 4＋3k 2－4＝0,(11分) 又k 2≥0,∴k 2＝1,解得k ＝±1.(12分)c .直线与抛物线相交的中点弦问题(11)(2015四川,5分)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ,B 两点,与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3) D .(2,4) 答案:D解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.(ⅰ)当直线l 的斜率存在时,设斜率为k ,由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减整理得k ＝2y 0.∵直线与圆相切, ∴y 0x 0－5·k ＝－1, ∴x 0＝3.即点M 为直线x ＝3与圆N :(x －5)2＋y 2＝r 2的公共点. 易知直线x ＝3与抛物线相交于P (3,23),Q (3,－23), 显然||PN ＝||QN ＝4,如图所示.若2<r <4,则存在2个符合题意的点M ,即存在2条符合题意的切线l ； 若r ＝2,则存在1个符合题意的点M ,即存在1条符合题意的切线l ； 若r ≥4或r <2,则不存在符合题意的点M ,即不存在符合题意的切线l . (ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,若r ≥5,则存在1个符合题意的点M (5＋r ,0),即存在1条符合题意的切线l :x ＝5＋r ； 若0<r <5,则存在2个符合题意的点M (5±r ,0),即存在2条符合题意的切线l :x ＝5±r . 综上所述,若存在4条符合题意的直线,则2<r <4,即r 的取值范围是(2,4),故选D.d .抛物线上存在两点关于某直线对称的问题(12)(2016江苏,10分)如图40－11所示,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :x －y －2＝0,抛物线C :y 2＝2px (p ＞0).图40－11(Ⅰ)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程；(Ⅱ)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . (ⅰ)求证:线段PQ 的中点坐标为(2－p ,－p )； (ⅱ)求p 的取值范围.答案:(Ⅰ)y 2＝8x (Ⅱ)(ⅰ)见证明过程 (ⅱ)⎝⎛⎭⎫0，43 解:(Ⅰ)抛物线C :y 2＝2px (p ＞0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0,由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l :x －y －2＝0上,得p 2－0－2＝0,即p ＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(3分)(Ⅱ)证明:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),线段PQ 的中点M (x 0,y 0),∵点P 和Q 关于直线l 对称,∴直线l 垂直平分线段PQ ,∴直线PQ 的斜率为－1,则可设其方程为y ＝－x ＋b .(ⅰ)证明:联立直线PQ 与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b ，消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.∵P 和Q 是抛物线C 上相异的两点,∴y 1≠y 2,从而Δ＝(2p )2－4(－2pb )＞0, ∴y 1＋y 2＝－2p ,y 1y 2＝－2pb , ∴y 0＝y 1＋y 22＝－p .(6分)∵M (x 0,y 0)在直线l 上,∴x 0＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ,－p ).(7分) (ⅱ)∵M (2－p ,－p )在直线y ＝－x ＋b 上, ∴－p ＝－(2－p )＋b ,即b ＝2－2p .(9分)由(ⅰ)知Δ＝(2p )2－4(－2pb )＞0,化简得p ＋2b ＞0. 于是p ＋2(2－2p )＞0,解得p ＜43,∴p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，43.(10分)e .直线与抛物线的位置关系的综合应用(13)(2018湖北模拟,8分)已知直线l 与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点,求过定点P (－1,1)的直线l 的方程.答案:y ＝1或(3－1)x －2y ＋3＋1＝0或(1＋3)x ＋2y ＋3－1＝0 解:当直线l 的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线l 的斜率为0时,此时直线l 的方程为y ＝1,与抛物线只有一个公共点,符合题意；(2分)当直线l 的斜率存在且不为0时,设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)(k ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1）＋1，y 2＝2x ， 消去x ,得ky 2－2y ＋2k ＋2＝0.(5分)∵抛物线与直线只有一个公共点,∴Δ＝4－4k (2k ＋2)＝0,解得k ＝－1±32.故所求直线l 的方程为(3－1)x －2y ＋3＋1＝0或(1＋3)x ＋2y ＋3－1＝0.综上所述,所求直线l 的方程为y ＝1或(3－1)x －2y ＋3＋1＝0或(1＋3)x ＋2y ＋3－1＝0.(8分)(14)(经典题,5分)已知抛物线y ＝－x 2,则该抛物线上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离为________.答案:43解析:(法一)设A (t ,－t 2)为抛物线上的点,则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝||4t －3t 2－85＝||3t 2－4t ＋85＝2212203243()()533533t t -+=-+, 所以当t ＝23时,d 取最小值43.(法二)如图,设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－8),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0, ∴Δ＝16＋12m ＝0,解得m ＝－43,所以最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.(15)(2017全国Ⅰ,12分)设A ,B 为曲线C :y ＝x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(Ⅰ)求直线AB 的斜率；(Ⅱ)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程.答案:(Ⅰ)1 (Ⅱ)y ＝x ＋7解:(Ⅰ)依题可设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214,B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224,x 1≠x 2,(2分) 则直线AB 的斜率为k ＝x 214－x 224x 1－x 2＝14(x 1＋x 2)＝14×4＝1.(5分)(Ⅱ)设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ,代入曲线C :y ＝x 24,可得x 2－4x －4t ＝0.由题意知Δ＝16＋16t >0,即t >－1,所以x 1＋x 2＝4,x 1x 2＝－4t .(7分)设M ⎝⎛⎭⎫m ，m 24,m ≠x 1,m ≠x 2,再由y ＝x 24的导数为y ′＝12x ,可得M 处切线的斜率为12m ,由C 在M 处的切线与直线AB 平行,可得12m ＝1,解得m ＝2,即M (2,1).(9分)由AM ⊥BM 可得,k AM ·k BM ＝－1,即x 214－1x 1－2·x 224－1x 2－2＝－1,(11分) 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋20＝0,即－4t ＋8＋20＝0,解得t ＝7,则直线AB 的方程为y ＝x ＋7.(12分)(16)(2017北京,14分)已知抛物线C :y 2＝2px (p >0)过点P (1,1).过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点.答案:(Ⅰ)抛物线C 的方程为y 2＝x ,焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0,准线方程为x ＝－14 (Ⅱ)见证明过程解:(Ⅰ)把P (1,1)代入抛物线C 的方程y 2＝2px ,得p ＝12,∴抛物线C 的方程为y 2＝x ,(3分)∴其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0,准线方程为x ＝－14.(5分) (Ⅱ)证明:(法一)∵BM ⊥x 轴,∴可设M (x 1,y 1)(x 1≠0),N (x 2,y 2),A (x 1,y A ),B (x 1,y B ).根据题意可知,若要证A 为BM 的中点,只需证2y A ＝y B ＋y 1即可,左右同除以x 1,得2y A x 1＝y B x 1＋y 1x 1,即只需证明2k OA＝k OB ＋k OM 成立,(8分)其中k OA ＝k OP ＝1,k OB ＝k ON ,当直线MN 的斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点,∴直线MN 的斜率存在且不为零.设直线MN 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0),联立直线MN 与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消元得k 2x 2＋(k －1)x ＋14＝0.由题可知直线与抛物线有两交点,∴Δ＝(k －1)2－4×14·k 2＝1－2k >0,解得k ＜12且k ≠0.由韦达定理可知x 1＋x 2＝1－k k 2 ①,x 1x 2＝14k2 ②.(10分)∵k OB ＋k OM ＝k ON ＋k OM ＝y 2x 2＋y 1x 1＝kx 2＋12x 2＋kx 1＋12x 1＝2k ＋x 1＋x 22x 1x 2,(12分)将①②代入上式,有2k ＋x 1＋x 22x 1x 2＝2k ＋1－kk 22·14k2＝2k ＋2(1－k )＝2,即k ON ＋k OM ＝k OB ＋k OM ＝2＝2k OA , ∴2y A ＝y B ＋y 1恒成立,∴A 为线段BM 的中点.(14分)(法二)当直线MN 的斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点,不满足题意,∴直线MN 的斜率存在且不为零.设点Q 为⎝⎛⎭⎫0，12,过Q 的直线MN 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0), 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),显然,x 1,x 2均不为零.联立直线MN 与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝kx ＋12，消去x 得,y 2－1k y ＋12k ＝0.由题意知Δ＝1k 2－2k >0,解得k <12且k ≠0.由韦达定理可知y 1＋y 2＝1k ,y 1·y 2＝12k.(8分) 由题可得点A ,B 的横坐标相等且同为x 1,且直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ,B 在直线ON 上.又A在直线OP :y ＝x 上,∴A (x 1,x 1),B ⎝⎛⎭⎫x 1，x 1y 2x 2.(10分) 若要证明A 为BM 中点,只需证2y A ＝y B ＋y 1,即证x 1y 2x 2＋y 1＝2x 1,即证y 21y 2y 22＋y 1＝2y 21,即证1y 1＋1y 2＝2,而1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝1k 12k＝2恒成立, ∴2y A ＝y B ＋y 1恒成立,故A 为线段BM 的中点.(14分)4.抛物线与圆的综合问题(17)(2015浙江,15分)如图40－12所示,已知抛物线C 1:y ＝14x 2,圆C 2:x 2＋(y －1)2＝1,过点P (t ,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ,PB ,分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A ,B 为切点.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.图40－12(Ⅰ)求点A ,B 的坐标；(Ⅱ)求△P AB 的面积.答案:(Ⅰ)A (2t ,t 2),B ⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2 (Ⅱ)t32解:(Ⅰ)由题意可知,直线P A 的斜率存在且不为0,故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )(k ≠0).联立直线P A 与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2，消去y ,整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0.(4分)因为直线P A 与抛物线相切,所以Δ＝16k 2－16kt ＝0,解得k ＝t 或k ＝0(舍去),所以方程的解为x ＝2t ,即点A (2t ,t 2).(6分)设圆C 2的圆心为D (0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0).由题意知,点B ,O 关于直线PD 对称,直线PD 的方程为y ＝－1t x ＋1,故有⎩⎨⎧y 02＝－x 02t＋1，⎝⎛⎭⎫－1t ·y 0x 0＝－1，解得x 0＝2t 1＋t 2,y 0＝2t 21＋t 2,即点B ⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(9分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,||AP ＝t 1＋t 2,(11分)直线AP 的方程为tx －y －t 2＝0,所以点B 到直线P A 的距离为d ＝t 21＋t 2,(13分)所以△P AB 的面积为S ＝12||AP ·d ＝t 32.(15分)(18)(2018全国Ⅱ,12分)设抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C交于A ,B 两点,|AB |＝8.(Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.(18)答案:(Ⅰ)y ＝x －1 (Ⅱ)(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144 解:(Ⅰ)由题意,F 的坐标为(1,0),所以直线l 的方程为y ＝k (x －1).(1分) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 易知Δ>0,所以x 1＋x 2＝2＋4k 2,x 1x 2＝1.(2分)所以|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝8,所以k 2＝1.又因为k >0,所以k ＝1,所以l 的方程为y ＝x －1.(5分) (Ⅱ)设所求圆的圆心为P ,AB 的中点为T , 因为k ＝1,所以x 1＋x 2＝2＋4k2＝6,所以y 1＋y 2＝(x 1－1)＋(x 2－1)＝x 1＋x 2－2＝4, 所以T 的坐标为(3,2).由题意,抛物线的准线方程为x ＝－1.(6分) ①若P 与T 重合,则AB 为圆的直径,圆的半径为|AB |2＝4,此时圆心到准线的距离为3－(－1)＝4,等于半径, 满足圆与准线相切,符合题意.此时圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16.(8分) ②若P 不与T 重合.因为⊙P 经过A ,B ,所以PT 垂直平分线段AB , 所以直线PT 的斜率为－1. 又因为直线PT 经过T 点,所以直线PT 的方程为y ＝－x ＋5,(9分)所以可设P 点坐标为(m ,5－m ),其中m ≠3且m >－1. 因为圆与准线相切,所以圆的半径等于圆心到准线的距离, 所以圆的半径为m ＋1.所以|P A |2＝(m ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋|PT |2, 即(m ＋1)2＝16＋(m －3)2＋(5－m －2)2,即(m ＋1)2＝16＋2(m －3)2,整理得m 2－14m ＋33＝0, 解得m ＝3(舍去)或m ＝11,(11分)所以P 点坐标为(11,－6),圆的半径为m ＋1＝12, 所以圆的方程为(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.综上,圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.(12分)随堂普查练40 Ⅱ1.(经典题,8分)抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.答案: y 2＝4x 或y 2＝－4x解:如图所示,当抛物线开口向右时,可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0),则直线方程为y ＝－x ＋12p . 设直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),过A ,B 分别作准线的垂线,垂足为C ,D ,则由抛物线定义得||AB ＝||AF ＋||FB ＝||AC ＋||BD ＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2,即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①(4分)又A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是直线和抛物线的交点,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0,所以x 1＋x 2＝3p .(6分)将其代入①,得p ＝2,所以所求的抛物线的方程为y 2＝4x .(7分)当抛物线开口向左时,同理可求得抛物线方程为y ＝－4x . 综上,抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .(8分)2.(2018湖北调研,5分)已知抛物线E :y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,过点F 的直线l 与抛物线E交于A ,B 两点,且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ,D 两点.若|AB |＝2|CD |,则直线l 的斜率为( )A.±22B.±32C.±1D.±2 答案:C解析:由题可知,抛物线E :y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －p22＋y 2＝p 2,所以圆心与焦点F 重合,所以||CD ＝2p ,||AB ＝4p .设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l :x ＝ty ＋p2,联立直线l 与抛物线E 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2pty －p 2＝0,所以y 1＋y 2＝2pt ,y 1y 2＝－p 2,则||AB ＝1＋t 2||y 1－y 2＝（1＋t 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝（1＋t 2）（4p 2t 2＋4p 2）＝2p (1＋t 2)＝4p ,即1＋t 2＝2,即t ＝±1,所以直线l 的斜率为±1.故选C.3.(经典题,12分)如图40－13所示,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点C (0,c )任作一直线,与抛物线y ＝x 2相交于A ,B 两点.一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线l :y ＝－c 交于点P ,Q .图40－13(Ⅰ)若OA →·OB →＝2,求c 的值；(Ⅱ)若P 为线段AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线； (Ⅲ)试问(Ⅱ)的逆命题是否成立？说明理由.答案:(Ⅰ)c ＝2 (Ⅱ)见证明过程 (Ⅲ)成立,理由见解答过程 解:(Ⅰ)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋c ,联立直线AB 与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋c ，y ＝x 2， 消元得x 2－kx －c ＝0.(2分)设A (a ,a 2),B (b ,b 2)(a ≠b ,ab ≠0),则ab ＝－c . 因为OA →·OB →＝ab ＋a 2b 2＝－c ＋c 2＝2, 解得c ＝2或c ＝－1(舍去), 所以c ＝2.(4分)(Ⅱ)证明:由题意知Q⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，－c ,所以直线AQ 的斜率为k AQ ＝a 2＋c a －a ＋b 2＝a 2－ab a －b 2＝2a .(6分)又y ＝x 2的导函数为y ′＝2x ,所以抛物线在点A 处切线的斜率为2a ,因此AQ 为该抛物线的切线.(8分)(Ⅲ)(Ⅱ)的逆命题为:若QA 为抛物线y ＝x 2的切线,则P 为线段AB 的中点,该命题成立.理由如下:设Q (x 0,－c ).若直线AQ 为该抛物线的切线,则k AQ ＝2a .又直线AQ 的斜率为k AQ ＝a 2＋ca －x 0＝a 2－ab a －x 0,所以a 2－ab a －x 0＝2a ,化简得2ax 0＝a 2＋ab .(10分)因为a ≠0,所以x 0＝a ＋b 2.故点P 的横坐标为a ＋b2,即P 点是线段AB 的中点.(12分)4.(2016浙江,15分)如图40－14所示,设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.图40－14(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)若直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.答案:(Ⅰ)2 (Ⅱ)(－∞,0)∪(2,＋∞)解:(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离,所以根据抛物线的定义得p2＝1,解得p ＝2.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为y 2＝4x ,F (1,0),可设A (t 2,2t ),当AF 的斜率为0时,t ＝0,此时AF 与抛物线只有一个交点,不合题意. 当AF 的斜率不存在时,t ＝±1,此时点N 不存在,不合题意,所以t ≠0,t ≠±1.(6分)因为AF 不垂直于y 轴,所以可设直线AF 的方程为x ＝sy ＋1(s ≠0),联立直线AF 与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0,故y A ·y B ＝－4,所以B ⎝⎛⎭⎫1t 2，－2t .(8分)又直线AB 的斜率为2tt 2－1,故直线FN 的斜率为－t 2－12t ,从而得直线FN 的方程为y ＝－t 2－12t (x －1),直线BN的方程为y ＝－2t ,所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .(11分)设M (m ,0),由A ,M ,N 三点共线,得AM →和AN →共线,∴2t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－ t 2＋3t 2－1＝⎝⎛⎭⎫2t ＋ 2t ·(t 2－m ),解得m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1,(14分)因为t ≠0,t ≠±1,所以t 2－1∈(－1,0)∪(0,＋∞),所以m ∈(－∞,0)∪(2,＋∞),经检验,m ＜0或m ＞2均满足题意.综上,点M 的横坐标的取值范围是(－∞,0)∪(2,＋∞).(15分)5.(2018北京顺义一模改编,10分)已知抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F .若过点N (－1,0)的直线l 与C 相交于P ,Q 两点,点P 关于x 轴的对称点为S .求证:S ,F ,Q 三点共线.答案:见证明过程 证明:易知F (1,0).(法一)根据题意可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0),联立直线l 与抛物线C 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0,则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0,解得k 2<1.(2分) 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则S (x 1,－y 1),x 1x 2＝1.(3分) ∵k FQ ＝y 2x 2－1,k FS ＝－y 1x 1－1,(5分) ∴k FQ －k FS ＝y 2x 2－1＋y 1x 1－1＝k （x 2＋1）（x 1－1）＋k （x 1＋1）（x 2－1）（x 1－1）（x 2－1）＝2k （x 1x 2－1）（x 1－1）（x 2－1）＝0,即k FQ ＝k FS ,∴S ,F ,Q 三点共线.(10分) (法二)同法一知x 1x 2＝1,(3分)则y 214·y 224＝1,易知y 1y 2>0 , 所以y 1y 2＝4.(4分)∵k SQ ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 22－y 214＝4y 2－y 1,(6分)∴直线SQ 的方程为y ＝4y 2－y 1(x －x 1)－y 1＝4⎝⎛⎭⎫x －y 214－y 1y 2＋y 21y 2－y 1＝4x －y 1y 2y 2－y 1＝4（x －1）y 2－y 1,(8分)∴直线SQ 过抛物线的焦点F (1,0),即S ,F ,Q 三点共线.(10分)6.(2016全国Ⅰ,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |＝42,|DE |＝25,则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8 答案:B解析:如图,设抛物线方程为y 2＝2px (p >0),圆的半径为r ,AB ,DE 交x 轴于H ,F 点,则|AH |＝22,即A 点纵坐标为22,则A 点横坐标为4p ,即|OH |＝4p ,由勾股定理知|DF |2＋|OF |2＝|DO |2＝r 2,|AH |2＋|OH |2＝|AO |2＝r 2,即(5)2＋⎝⎛⎭⎫p 22＝(22)2＋⎝⎛⎭⎫4p 2,解得p ＝4,即C 的焦点到准线的距离为4.故选B.7.(2018广东广州调研,12分)已知抛物线C :y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,抛物线C 上存在一点E (2,t )到焦点F 的距离等于3.(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点K (－1,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点(A ,B 两点在x 轴上方),点A 关于x 轴的对称点为D ,且F A ⊥FB ,求△ABD 的外接圆的方程.7.答案:(Ⅰ)y 2＝4x (Ⅱ)(x －5)2＋y 2＝24解:(Ⅰ)由题意得抛物线的准线方程为x ＝－p2,所以点E (2,t )到焦点的距离为2＋p2＝3,解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(3分)(Ⅱ)(法一)设直线l 的方程为x ＝my －1(m >0).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4＝0. 由Δ＝(4m )2－16>0,解得m >1.(5分) 设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2), D (x 1,－y 1), 则y 1＋y 2＝4m, y 1y 2＝4.(6分)由(Ⅰ)知F (1,0),所以⋅＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2－2m (y 1＋y 2)＋4＝8－4m 2.又因为F A ⊥FB ,所以⋅＝0,即8－4m 2＝0.又m >0 ,所以解得m ＝2,满足m >1,所以直线l 的方程为x －2y ＋1＝0.(8分) 设AB 的中点为(x 0,y 0),则y 0＝y 1＋y 22＝2m ＝22,x 0＝my 0－1＝3,即AB 的中点为(3,22). 又易知直线l 的斜率为22, 所以线段AB 的中垂线的斜率为－2,所以线段AB 的中垂线方程为y －22＝－2(x －3).设△ABD 外接圆圆心为P ,则由A ,D 两点关于x 轴对称,可得点P 在x 轴上.又点P 在线段AB 的中垂线上,所以点P 的坐标为(5,0).(10分)因为P (5,0)到直线l 的距离为d ＝|5＋1|1＋2＝23,且||AB ＝1＋m 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝43,所以圆的半径r ＝222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AB d＝26,(11分) 所以△ABD 的外接圆的方程为(x －5)2＋y 2＝24.(12分)(法二)依题意可设直线l :y ＝k (x ＋1)(k >0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0. 由Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0,解得0<k <1.(5分) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝－2＋4k 2,x 1x 2＝1,所以y 1y 2＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝4.由(Ⅰ)知F (1,0),所以FB FA ⋅＝(x 1－1,y 1)·(x 2－1,y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝8－4k 2.又因为F A ⊥FB ,所以⋅＝0, 所以8－4k 2＝0,即k 2＝12.又k >0 ,所以k ＝22,满足0<k <1, 所以直线l 的方程为x －2y ＋1＝0.(8分) 以下同法一.课后提分练40 抛物线A 组(巩固提升)1.(2016全国Ⅱ,5分)设F 为抛物线C :y 2＝4x 的焦点,曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x轴,则k ＝( )A.12B.1C.32D.2 答案:D解析:因为F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,所以F (1,0).因为PF ⊥x 轴,所以P 点横坐标为1,代入抛物线方程可得y 2＝4.又因为P 在曲线y ＝k x (k >0)上,所以P 点坐标为(1,2),代入y ＝kx 解得k ＝2.故选D.2.(2018广东惠州调研,5分)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点,Q 为圆C :x 2＋(y －4)2＝1上一个动点,则点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )A.17－1B.25－2C.2D.17 2.答案:A解析:设抛物线的焦点为F ,根据抛物线的定义,点P 到准线的距离等于到焦点的距离,则所求距离之和等于|PQ |＋|PF |.设圆C 的半径为r ,易知当P 点位于圆心C 与焦点F 连线与抛物线的交点处,Q 点位于圆心C 与焦点F 连线与圆C 的交点处时,|PQ |＋|PF |取得最小值,并且最小值等于|CF |－r .由题意得圆心C (0,4),r ＝1,F (1,0),所以|CF |＝42＋12＝17,所以所求距离之和的最小值为17－1.故选A.3.(经典题,5分)在抛物线y 2＝12x 上,到焦点的距离等于9的点的坐标是____________________.答案:(6,62)或(6,－62)解析:由抛物线的方程y 2＝12x ,得焦点F (3,0),准线l 的方程为x ＝－3.设所求点为P (x ,y ),则由抛物线的定义知|PF |＝x ＋3.又|PF |＝9,所以x ＋3＝9,解得x ＝6,代入y 2＝12x ,得y ＝±6 2.故所求点的坐标为(6,62)或(6,－62).4.(2018广州调研,5分)过抛物线C :y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点.若||AF ＝6,||BF ＝3,则p 的值为________.答案:4解析:根据已知条件及抛物线焦点弦的性质,可得1||AF ＋1||BF ＝2p ,∴16＋13＝2p,解得p ＝4.5.(经典题,5分)如图40－1所示,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F ,过抛物线上一点A (3,y )作准线l 的垂线,垂足为B ,若△ABF 为等边三角形,则抛物线的标准方程是( )图40－1A.y 2＝12x B.y 2＝xC.y 2＝2xD.y 2＝4x 答案:D解析:设直线l 交x 轴于点C .∵AB ⊥l ,l ⊥x 轴,∴AB ∥x 轴,可得∠BFC ＝∠ABF ＝60°.∴在Rt △BCF 中,||CF ＝||BF cos60°＝p ,解得||BF ＝2p .由AB ⊥y 轴,可得||AB ＝3＋p 2.又||AB ＝||BF ,∴3＋p2＝2p ,∴p ＝2,∴抛物线的标准方程是y 2＝4x .故选D.6.(2016四川,5分)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0) 上任意一点,M 是线段PF 上的点,且||PM ＝2||MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D.1 答案:C解析:设P (2pt 2,2pt ),M (x ,y )(不妨设t >0), 则FP →＝(2pt 2－p 2,2pt ).∵FM →＝13FP →,∴⎩⎨⎧x －p 2＝2p 3t 2－p6，y ＝2pt 3，∴⎩⎨⎧x ＝2p 3t 2＋p3，y ＝2pt 3，∴k OM ＝2t 2t 2＋1＝1t ＋12t ≤1212＝22,当且仅当t ＝12t ,即t ＝22时取等号,∴k OM 的最大值为22,故选C.7.(经典题,5分)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若||AF ＝3,则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D.2 2 答案: C解析:由题意设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1＞0,y 2＜0),则||AF ＝x 1＋1＝3,∴x 1＝2,y 1＝2 2.设AB 的方程为x ＝ty ＋1,联立直线AB 与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋1，消去x 得y 2－4ty －4＝0,∴y 1y 2＝－4,∴y 2＝－2,∴△AOB 的面积S △AOB ＝12·|OF |·||y 1－y 2＝322.故选C.8.(2018全国Ⅲ,5分)已知点M (－1,1)和抛物线C :y 2＝4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点,若∠AMB ＝90°,则k ＝__________.答案:2解析:由题意,抛物线C 的焦点坐标为(1,0),所以直线AB 的方程为y ＝k (x －1),k ≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2,x 1x 2＝1.又因为y 1＝k (x 1－1),y 2＝k (x 2－1),所以y 1＋y 2＝k (x 1－1)＋k (x 2－1)＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋4k 2－2k ＝4k ,y 1y 2＝－4x 1·4x 2＝－4.因为∠AMB ＝90°,所以AM ⊥BM .易知直线AM ,BM 的斜率均存在, 所以k AM ·k BM ＝－1,所以y 1－1x 1＋1·y 2－1x 2＋1＝－1,即y 1y 2－（y 1＋y 2）＋1x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝－4－4k ＋11＋2k 2＋4k 2＋1＝－4k －32k 2＋4k 2＋2＝－1,化简得(k －2)2＝0,解得k ＝2.9.(2018湖南模拟,8分)如图40－2所示,抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.证明:直线AC 经过原点O .图40－2答案:见证明过程证明:(法一)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则C ⎝⎛⎭⎫－p2，y 2. 当直线AB 的斜率不存在时,AB ⊥x 轴,此时x 1＝x 2＝p2,y 1＝－y 2,所以A ,C 关于原点对称,所以AC 经过原点O .(1分)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2,k ≠0. 联立直线AB 与抛物线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ,得y 2－2py k －p 2＝0,所以y 1y 2＝－p 2,所以k OA ＝y 1x 1,k OC ＝y 2－p 2＝2py 1.(5分)又因为y 21＝2px 1,所以k OC ＝y 1x 1＝k OA ,所以直线AC 经过原点O .综上,直线AC 经过原点O .(8分)(法二)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,由于直线AB 的斜率不为0,所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2,代入抛物线方程,消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.若设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是该方程的两个根,所以y 1y 2＝－p 2.(5分)因为BC ∥x 轴,且点C 在准线x ＝－p2上,所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2,故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1,即k 也是直线OA 的斜率,所以直线AC 经过原点O .(8分)10.(经典题,7分)定长为3的线段AB 的端点A ,B 在抛物线y 2＝x 上移动,求AB 的中点到y 轴距离的最小值,并求出此时AB 中点的坐标.答案:54,⎝⎛⎭⎫54，±22解:如图,F 是抛物线y 2＝x 的焦点,A ,B 两点到准线的垂线分别是AC ,BD ,过AB 的中点M 作准线的垂线MN ,点C ,D ,N 为垂足,则||MN ＝12(||AC ＋||BD ).由抛物线的定义知||AC ＝||AF ,||BD ＝||BF ,所以||MN ＝12(||AF ＋||BF )≥12||AB ＝32.(3分)设点M 的坐标为(x ,y ),||MN ＝x ＋14,则x ≥32－14＝54,当弦AB 过点F 时等号成立,此时,点M到y 轴的距离最短,最短距离为54.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝2x .当x ＝54时,由题意知F ⎝⎛⎭⎫14，0,易证y 1y 2＝－p 2＝－14,y 21＝x 1,y 22＝x 2,所以(y 1＋y 2)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2x －12＝2,所以y 1＋y 2＝±2,所以y ＝y 1＋y 22＝±22,即M ⎝⎛⎭⎫54，±22.(7分)11.(经典题,12分)如图40－3所示,已知点F 为抛物线E :y 2＝2px (p ＞0)的焦点,点A (2,m )在抛物线E 上,且||AF ＝3.图40－3(Ⅰ)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)已知点G (－1,0),延长AF 交抛物线E 于点B ,证明:GF 为∠AGB 的角平分线. 答案:(Ⅰ)y 2＝4x (Ⅱ)见证明过程解:(Ⅰ)由抛物线定义可得||AF ＝2＋p2＝3,解得p ＝2.∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(3分)(Ⅱ)证明:∵点A (2,m )在抛物线E 上,∴m 2＝4×2,解得m ＝±22,(4分) 不妨取A (2,22),F (1,0),∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1).(6分)联立直线AF 与抛物线的方程,得⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，。
考点40 抛物线-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过
考点40 抛物线抛物线也是高考的重点、难点，常出现在高考的选择题或填空题中，多考查抛物线的几何性质，也常出现在高考中的解答题中，作为压轴题，多考查直线与抛物线的位置关系.(1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦半径公式0||2pPF x =+ 0||2pPF x =- 0||2pPF y =+ 0||2pPF y =- 3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.考向一 抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率).2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化．典例1 设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切，则动圆圆心D 的轨迹方程为 A ．24x y = B ．22x y = C ．24y x =D ．22y x =【答案】A【解析】由题意知，动圆圆心到定点(0,1)F 与到定直线1y =-的距离相等， 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，则方程为24x y =. 故选A.【名师点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题.由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案.典例2 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)A ．)B ．(0)C ．)D ．(0，)【答案】A【解析】抛物线y 2＝2px (p ＞0)，即2p=则抛物线的焦点坐标为0)．故选A ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题．抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到焦点的距离，进而列方程求解即可.1．已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离是它到y 轴的距离的2倍，则点P 到焦点的距离为_________．考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例3 若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4√3,则该抛物线的方程是x B．y2=√3xA．y2=3C．y2=2√3x D．y2x【答案】A【解析】根据对称性,可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是4√3,2=4√3,故AB=4,正三角形OAB的高为2√3,故可设点A的坐标为(2√3,2),代入抛物线方程得4=4√3p,解得p,故所求抛物线的方程为y2=x.典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．(1)过点(32)-，；(2)焦点在直线240x y --=上．【解析】(1)设所求抛物线的方程为22y px =-或20)2(x py p >=．∵过点(32)-，，∴3()42p =-⨯-或922p =⨯(2)令0x =得2y =-∴抛物线的焦点为(4)0，或(0)2-，．当焦点为(4)0，8p =，此时抛物线的方程为216y x =；当焦点为(0)2-，4p =，此时抛物线的方程为28x y =-. 故所求抛物线的方程为216y x =或28x y =-，对应的准线方程分别是4x =-，2y =.2．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线AB ，垂足为B且ABF 是边长为8的正三角形，则抛物线C 的方程为( ) A ．24x y = B ．26x y = C ．28x y =D ．210x y =考向三 抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5 已知等腰三角形OPM 中，OP ⊥MP ，O 为抛物线2y =2px (p >0)的顶点，点M 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，则点P 与抛物线的焦点F 之间的距离是A ．B ．52pC ．2pD p【答案】B【解析】由题意得222,P P P P P y x x px x p =∴=∴=因此点P 与抛物线的焦点F 之间的距离为522P p px +=，选B. 【名师点睛】(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．3．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆22:12O x y +=与C 的一个交点，且3MF =，则C 的标准方程是( ). A ．22y x = B ．23y x = C ．24y x =D ．26y x =考向四 焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键.典例6 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |=7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为F (1,0),准线方程为x =－1.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p ,即x 1+x 2+2=7,得x 1+x 2=5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52, 因此点M 到抛物线准线的距离为57122+=.典例7 已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值. 【解析】(1)直线AB 的方程是y =2√2(x-2p),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0, 所以x 1+x 2=54p . 由抛物线的定义,得|AB|=x 1+x 2+p =9, 所以p =4,从而抛物线的方程是y 2=8x . (2)因为p =4,所以4x 2-5px+p 2=0，可简化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3, 所以[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.4．过抛物线22y px =焦点F 的直线，与抛物线交于A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212y y x x = ( ) A ．-4 B ．4 C ．4pD ．-4p考向五 抛物线中的最值问题1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E (E 在抛物线内)的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.典例8 如图,已知点Q(2√2,0)及抛物线24xy 上的动点Ρ(x,y),则y+|ΡQ|的最小值是A．2 B．3C．4 D．2√2【答案】A【解析】如图,作ΡB⊥x轴于A点,并与准线相交于B点.抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线为y=−1,由抛物线的几何意义可得|ΡB|=|ΡF|,所以y+|ΡQ|= |ΡA|+|ΡQ|=| ΡB|+|ΡQ|−1=| ΡF|+|ΡQ|−1≥|FQ|−1=√1+8−1=2.故选A.典例9 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ.由抛物线的定义可知,|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即|AB|.∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2, y0),代入抛物线方程x2=8y得y0=1 2 .∴使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,1 2 ).5．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.1．抛物线214x y =的准线方程为( ) A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．103．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．84．过抛物线E ：y 2＝2x 焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 中点M 到y 轴距离为1，则|AB |＝( ) A ．2 B ．52C ．3D ．45．抛物线2(0)y mx m =≠的准线与直线1y =的距离为3，则此抛物线的方程为( ) A ．216x y =-B ．28x y =C ．216x y =或28x yD ．28x y =或216x y =-6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22154x y -=的右焦点重合，则下列各点中，在抛物线22y px =上的是( ) A ．(1,2) B ．(3,6)-C ．(2,2)-D ．7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和，则p =( ) A ．2 B ．2或4 C ．1或2D ．18．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( )A ．B ．C ．D ．9．如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：()220y px p =>上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，点F 是抛物线C 的焦点.若12+n x x x ++…=10，12+++n PF P F P F …=10+n ，则p 等于( ) A ．2 B ．32C ．52D ．410．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为( )A ．1 BC ．2D11．若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C 的方程是_________.12．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______.13．已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP = 14．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=，4PF =，则抛物线C 的方程为：______________.15．已知点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ．过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则三角形AFM 的面积S =__________． 16．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． (1)求圆心M 的轨迹E 的方程；(2)斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．17．已知抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，(1)求物线C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ､B 为抛物线C 上异于原点O 的不同两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若122k k =-，求证：直线AB 过定点.18．已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l . (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．92．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)3．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ． 经过点OB ． 经过点PC ． 平行于直线OPD ． 垂直于直线OP4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．85．【2018新课标I 理】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点(–2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．86．【2017新课标全国I 理科】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．107．【2017新课标全国II 理科】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．8．【2018新课标Ⅰ理】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．9．【2020年新高考全国ⅠC ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，32与x 轴的交点为P ．(1)若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； (2)若，求|AB |．11．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．12．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．3AP PB =(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．13．【2018新课标Ⅱ理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．1．【答案】2 【分析】设点P 的横坐标为()0m m >，利用抛物线的定义和条件建立方程求出m 即可. 【详解】设点P 的横坐标为()0m m >因为抛物线的方程为24y x =，所以其准线方程为1x =-所以根据抛物线的定义可得，点P 到焦点的距离为+1m ，所以+1=2m m ，解得1m = 所以点P 到焦点的距离为2. 故答案为：2. 2．【答案】C 【分析】依题意，画出草图，则8BF =，30DBF ∠=︒，即可求出p ，即可得解； 【详解】解：依题意，设准线l 与y 轴相交于点D ，则8BF =，60ABF ∠=︒，所以30DBF ∠=︒，所以4DF =，即4p =，所以抛物线方程为28x y =故选：C【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题. 3．【答案】C【分析】根据条件作出图示，分别表示出22,,MO MM M O ，利用勾股定理求解出抛物线方程中参数p 的值，由此确定出C 的方程. 【详解】设抛物线的方程为22y px =，连接MO ，过M 作1MM ⊥准线，交y 轴于2M ，因为32M p MF x ==+，所以232M pMM x ==-，所以2M M O y === 在2Rt OMM 中有：22222M O M M MO +=，所以2263122p p p ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24y x =，故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用，属于中档题.抛物线的焦半径公式如下：(p 为焦准距)(1)焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； (2)焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；(3)焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；(4)焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.4．【答案】A 【分析】设直线AB 的方程为2p my x =-，与抛物线方程联立，化为2220y pmy p --=，利用根与系数的关系即可得出 【详解】解：设直线AB 的方程为2pmy x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立222p my x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去x 化为2220y pmy p --=，所以21212,2y y p y y pm =-+=，所以2212121212()()()2224p p mp p x x my my m y y y y =++=+++22222244mp p p p m mp =-+⨯+=， 所以21221244y y p px x -==-， 故选：A 【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)2212124p x x y y p ==-；(2)弦长1222sin pAB x x p α=++=(α是直线AB 的倾斜角)； (3)112FA FB p+= 5．【答案】6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果 【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题.1．【答案】D 【分析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】 因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D 2．【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可． 【详解】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10， 可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 3．【答案】A 【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出． 【详解】由抛物线2:C y x =可得11,224p p ==， 准线方程14x =-，0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051442p x x x =+=+， 解得01x =． 故选：A ．4．【答案】C 【分析】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出3||2MM '=，即得解.【详解】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有|AA′|＝|AF |，|BB′|＝|BF |，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|， ∵M 到y 轴距离为1， ∴3||2MM '=， ∴|AB |＝|AF |+|BF |＝2|MM′|＝3． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．【答案】D 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，求出准线方程14y m =-，根据题意可得124m -=-或144m-=，解方程即可. 【详解】将2(0)y mx m =≠化为21x y m=， 其准线方程为14y m=-.由题意知124m -=-或144m-=，解得18m =或116m =-.则所求抛物线的标准方程为28x y =或216x y =-. 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、由抛物线的定义求标准方程，属于基础题. 6．【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，根据焦点坐标求出抛物线的方程，逐项验证点的坐标是否满足抛物线的范围即可. 【详解】因为双曲线22154x y -=的右焦点为(3,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(3,0)，因此362pp =⇒=，则抛物线方程为212y x =， 当3x =时，2366y y =⇒=±，所以点(3,6)-在该抛物线上. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的焦点、根据焦点求抛物线的方程，属于基础题. 7．【答案】B 【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y p x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B. 8．【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为28x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±则11S 422PFQ FQ m ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型. 9．【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得n 个等式，相加后，利用已知条件可得结果. 【详解】抛物线C ：()220y px p =>的准线为2px =-， 根据抛物线的定义可知，11||2p PF x =+，22||2p PF x =+，，||2n n p PF x =+， 所以1212||||||222n n p p pPF PF PF x x x +++=++++++，所以12102n npn x x x +=++++，所以10102npn +=+，所以2p =.故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题. 10．【答案】B 【分析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB数值，代入22||||AB MN 化简即得答案．【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n+，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即AB MN≥AB MNB ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题． 11．【答案】28x y = 【分析】根据抛物线的定义，可得结果. 【详解】 根据抛物线定义，8622p=-=，解得4p =， 故抛物线C 的方程是28x y =. 故答案为：28x y = 【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题. 12．【答案】6 【分析】根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得p ，即可求抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】因为抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即142p+=， 所以6p，即该抛物线的焦点到准线的距离为6.故答案为：6 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13【分析】 设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，根据条件结合距离公式求出21m =，即可求得||OP . 【详解】 由已知可得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，|||AP PF =，222AP PF ∴=则22222211()2()2222m m m m ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，解得21m =，∴OP ===.. 14．【答案】24x y = 【分析】如图作PE l ⊥，60PFE ∠=，由抛物线定义知PFE △是等边三角形，再过焦点F 作FM PE ⊥，知M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p =，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线C ：()220x py p =>，焦点(0,)2p F ，准线:2p l y =-如图，PE l ⊥，60PFE ∠=，4PF =，由抛物线定义知4PF PE ==，故PFE △是等边三角形， 过焦点F 作FM PE ⊥，交PE 于M ，则M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p = 故答案为：24x y =【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知PF PE =，再利用60PFE ∠=知PFE △是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题.15 【分析】由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式求出点B 的坐标，代入抛物线方程求出p 的值，根据2AFM BMF S S ∆∆=即可算出结果．【详解】 解：如图所示：，由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)， 又AM MF ⊥，∴由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，(4pB ∴，1)，把点(4p B ，1)代入抛物线方程：22(0)y px p =>得，124p p =⨯，解得p =，4B ∴，1)，1221()2424AFM BFM S S ∆∆∴==⨯⨯⨯+=，． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质得，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式表示出点B 的坐标，考查了直角三角形的性质，是中档题． 16．【答案】(1)28y x =；(2)100x y +-=. 【分析】(1)由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.(2)求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】(1)设动点(,)M x y |2|x =+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；(2)由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.17．【答案】(1)2y x =；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，由12p =求解.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ，由122k k =-，易得1212y y =-，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，利用韦达定理由1212m y y k ==-求解即可.注意直线AB 的斜率不存在的情况. 【详解】(1)因为抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，所以12p =，解得12p =， 所以抛物线C 的方程为2y x =.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ， 所以121222112211,y y k k y y y y ====， 由题意有121212k k y y ==-，得1212y y =-， ①当直线AB 的斜率不存在时，此时12y y =-，直线AB 的方程为12x =， ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为20ky y m -+=，可得1212m y y k ==-，得2k m =-， 直线AB 的方程为2y mx m =-+，可化为122y m x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 由①②知直线AB 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 18．【答案】(1)24y x =；(2)9【分析】(1)设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；(2)不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h的方程为)1y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积.【详解】(1)根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.(2)由(1)可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F的直线h的方程为)1y x =-，由)24 1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入)1y x =-，得1y =2y =，所以(3,A，1,3B ⎛ ⎝⎭， 所以142p AD x +==，2423p BE x +==，12DE y y =-= 因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()129AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.1．【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2．【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 3．【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 4．【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，。
第40课 探索型问题
2 1 1 3 将 a2＝ 代入 an＝ ，得到 a3＝ ＝ ， 3 1＋an－1 2 5 1＋ 3 3 1 1 5 将 a3＝ 代入 an＝ ，得到 a4＝ ＝ . 5 1＋an－1 3 8 1＋ 5
基础自测
3．(2012·绍兴) 在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相 邻的两盏灯之间有 3 棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离 是 10m，如图，第一棵树左边 5 cm 处有一个路牌，则从此路 牌起向右 510m～550m 之间树与灯的排列顺序是 ( B )
题型分类
题型二
存在探索型问题
【例 2】 已知：如图，△ABC 是边长为 3 cm 的等边三角形，动 点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动， 它们的速度都是 1 cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止 运动．设点 P 的运动时间为 t(s)，解答下列问题： (1)当 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？ 2 (2)设四边形 APQC 的面积为 y(cm )， 求 y 与 t 的关系式；是否存在某 一时刻 t，使四边形 APQC 的面积 2 是△ABC 面积的 ？如果存在，求 3 出相应的 t 值；若不存在，说明理由．
知能迁移 1 已知下列 n(n 为正整数)个关于 x 的一元二次 2 2 2 方程： ①x －1＝0；②x ＋x－2＝0；③x ＋2x－3＝0； „；
n ○x2＋(n－1)x－n＝0. n (1)请解上述一元二次方程①、②、③、„○；
(2)请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一 条即可． 2 解 (1)方程①x2－1＝0 的解是 x1＝1，x2＝－1； 2 解 (1)方程①x －1＝0 的解是 x1＝1，x2＝－1；方程②x 2 方程②x ＋x－2＝0 的解是 x1＝1，x2＝－2； ＋x－2＝0 的解是 x1＝1，x2＝－2；方程③x2＋2x－3＝0 的 2 方程③x ＋2x－3＝0 的解是 x1＝1，x2＝－3；…； 解是 x1＝1，x2＝－3；…；方程○n x2＋(n－1)x－n＝0 的 n 2 方程○x ＋(n－1)x－n＝0 的解是 x1＝1，x2＝－n. 解是 x1＝1，x2＝－n. (2)这 n 个方程都有一个根是 x＝1.
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动 。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下 ，抛体运动的轨迹是一条 抛物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
学习困难分析
鼓励学生坦诚面对自己在抛物线学习中遇到的困难和挑战，如概念 理解、解题方法掌握等方面的障碍，并探讨可能的解决策略。
学习计划与目标
引导学生制定针对抛物线学习的个性化计划，设定短期和长期目标， 以促进持续学习和进步。
教师点评及建议反馈
课堂表现评价
教师对学生的课堂表现进行点评，包括学习态度、参与度 、合作能力等方面，肯定优点并指出需要改进之处。
抛物线的平移和伸缩
回顾抛物线在平面直角坐标系中的平移和伸缩变换规律，包括上下 平移、左右平移以及横纵伸缩。
抛物线与一元二次方程
阐述抛物线与一元二次方程的联系，如何通过抛物线的图像解一元 二次方程，以及方程的解与抛物线交点的关系。
学生自我评价报告分享
学习成果展示
邀请学生分享自己在抛物线学习过程中的心得、体会以及所取得的 成果，如解题技巧、思维方式的转变等。
经济学中的成本收益曲线
成本收益曲线的定义
01
在经济学中，表示成本与收益之间关系的曲线称为成本收益曲
线。
抛物线型成本收益曲线
02
在某些情况下，成本收益曲线呈现出抛物线的形状，即随着投
入的增加，收益先增加后减少。
经济决策中的应用
03
通过分析抛物线型成本收益曲线，可以帮助决策者确定最佳的
3-3-1抛物线及其标准方程课件(人教版)
D．12
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线
的方程是( C )
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
4．已知抛物线过点(－11，13)，则抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝12629x
B．y2＝－11619x
C．y2＝－11619x 或 x2＝11231y D．x2＝－11231y
【解析】 ∵y2＝4x，∴F(1，0)，准线是 x＝－1. ∵|PM|＝5，∴xP＝4，∴|yP|＝4. ∴S△MPF＝12×5×4＝10.
探究 2 解决轨迹为抛物线问题的方法： 轨迹为抛物线的问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先 将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足 动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的 条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义 的条件．
探究 3 一般方程标准化是基本的解题方法． 思考题 3 (1)抛物线 y＝－16x2 的焦点坐标是________，准
线方程是________．
(2)已知抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准 线方程．
【思路分析】 由题设参数 a≠0，有两种情况 a＞0 或 a＜0， 需分别求解．
例 1 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
【解析】 (1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p>0)． ∵抛物线过点(－3，2)， ∴4＝－2p×(－3)或 9＝2p×2. ∴p＝23或 p＝94. ∴所求抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y. (2)由题意，可设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)． ∵A(3，m)到焦点距离为 5，∴p2＋3＝5，即 p＝4. ∴所求抛物线方程为 y2＝8x.
人教A版高中数学《抛物线》PPT精美课件1
抛物线的标准方程
设|KF|=p，则
| MF | ( x p ) 2 y 2 2
d | x p | 2
(x p )2 y2 | x p |
2
2
y 2 2 px ( p 0 )
y l
d M
Ko
F
X
抛物线的标准方程 y2=2px (p>0) 开口向右
抛物线的标准方程的四种形式
方程 y2 =2px (p>0) y2 =-2px (p>0) x2 =2py (p>0) x2 =-2py (p>0)
结束
焦点 F ( p ,0)
2 F (- p ,0)
2 F (0, p )
2
F (0,- p ) 2
准线 x=- p
2 x= p
2 y=- p
2
y= p 2
题型一：求抛物线的焦点坐标、准线方程
例1.写出下列抛物线的焦点坐标和准线
方程:
(1)y2=-4x; (2) y2=ax (a>0); (3)y=4x2
设计:仲元中学 黄锡泉
【情景引入】
已知直线l:y=-1,点F(0,1),动点M(x,y) 到F的距离与它到直线l的距离相等,求动M 的轨迹方程,你知道它是什么轨迹吗?
y 1 x2 4
开口向上的抛物线
抛物线的定义
平面内与一个定点F的距离和一条 定直线l的距离的相等的点的轨迹叫抛 物线。定点F叫抛物线的焦点。直线l叫 做抛物线的准线。
人 教 A 版 高中 数学《 抛物线 》PPT 精美课 件1
人 教 A 版 高中 数学《 抛物线 》PPT 精美课 件1
题型三: 抛物线的定义应用
1.在平面直角坐标系内,到点(1,2)和直线 x+2y=5距离相等的点的轨迹是( A ) A.直线 B.抛物线 C.圆 D.椭圆
2021-2022年高三数学抛物线专题教案 新人教A版
2021年高三数学抛物线专题教案新人教A版一、xx年考纲要求：二、知识点复习：1．定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}注意：2．抛物线的标准方程及其简单几何性质三、课前热身：1. 抛物线的标准方程y2=2px中，P称，P的取值范围是 ___，P的几何意义是。
2.抛物线x2+y=0=的焦点位于（）A．x轴的负半轴上 B．y轴的正半轴上 C．y轴的负半轴上 D．x轴的正半轴上3. 抛物线的焦点坐标是( )A. (0,)B. ( ,0)C.(0,1)D.(1,0)4．抛物线y2= -8x的焦点到准线的距离是( )A. 4B. 1C. 2D. 85．抛物线y= -2x2的准线方程是( )A. x=-B. x=C. y=D. y=-四、例题分析：类型一：定义应用例1.抛物线上的点P到焦点的距离为6，则P点横坐标为例2. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点M（0,2）的距离与点P到准线距离之和的最小值为例3. 已知点P是抛物线上4，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到焦点距离之和去的最小值时，点P的坐标为例4. 设O为坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上一点，与x轴正向的夹角为，则例5. 设F为抛物线的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若,则类型二：求抛物线方程例1. 已知抛物线：，则焦准距= ；焦点坐标为；准线方程为；例2. 已知抛物线：，则焦准距= ；焦点坐标为；准线方程为；例3. 根据已知求下列抛物线的标准方程：（1）.焦点为（0,2）；（2）.准线为；（3）. 焦准距为2；（4）.焦点在x轴上，且过点（2，-）；（5）. 点（2，-）；五、练习题：练习8.3 抛物线（A组）一、选择题：在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：1. 抛物线y=－x2的焦点坐标为（）A.（0，）B.（0，－）C.（，0）D.（－，0）２．抛物线y=－x2的准线方程是( )A.x=B.x=C.y=2D.y=4３．抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )A.4B.8C.16D.32４．若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是( )A.2B.C.3D.６．过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则｜AB｜等于( )A.4B.6C.8D.10二、填空题：将每小题所选出的答案填写在题后的横线上7. 如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12 =0 上，则抛物线的方程是 _____8. 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 ______9. 直线x－2y－1=0和曲线的交点是________________三、解答题：解答应写出必要的文字说明和步骤10. 在抛物线上有一点P，它到焦点的距离是20，求P点的坐标11. 已知抛物线形拱桥的顶点距水面2m 时，测量水面宽为8m,当水面升高1m后，水面宽度练习8.3 抛物线（B组）一、选择题：在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.抛物线的焦点坐标为( )A． B． C． D．2. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为( )A.2B.3C.4D.53. 已知点P（3，m）是抛物线上的点，则点P抛物线焦点F的距离等于（）A．4 B. 3 C. 2 D.4. 抛物线的焦点为Ｆ，Ｐ为其上一点，Ｏ为坐标原点，若为等腰三角形，则这样的点Ｐ的个数为（）A．２B．３ C．４D．６5. 抛物线上的点到直线的最短距离是（）A. B. C. D.二、填空题：将每小题所选出的答案填写在题后的横线上6.抛物线的焦点坐标为_______，准线方程为_______.7.顶点在原点，焦点是的抛物线方程是8.过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心为直径的圆方程是________________.9.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为三、解答题：解答应写出必要的文字说明和步骤10.已知P为抛物线y2=16x上的定点，Q为曲线x2+y2-8x+15=0上的动点，若|PQ|的最大值为7，求点P的坐标。
2021高三数学北师大版(文)：抛物线含解析
(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()
A．y2＝－xB．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y
(2)由题知直线l的方程为x＝1，
则直线与抛物线的交点为(1，±2 )(a＞0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4 ＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
若抛物线的焦点位置不确定，应分焦点在x轴和y轴两种情况求解，如本例(1)．
[教师备选例题]
1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()
∴y＝ .]
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()
A．9B．8
C．7D．6
B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
抛物线的焦点弦问题
解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
高二数学高效课堂资料40+41 抛物线的几何性质
高二数学高效课堂资料山东省昌乐及第中学高二数学《抛物线的几何性质》导学案（C 层）【学习目标】1．掌握抛物线的标准方程和几何性质；能利用几何性质解决问题。
2．学会用类比的方法研究抛物线的定义、标准方程和几何性质。
【学习重点、难点】重点：抛物线的标准方程和几何性质。
难点：抛物线几何性质的应用。
一．课前预习1.知识链接①类比椭圆和双曲线的几何性质，如何研究抛物线的几何性质？②二次函数y=x 2的对称轴、x 的范围、y 的范围分别是什么？③抛物线)0(22>=p px y 上一点A(00,y x ),到焦点的距离是|AF|= 2.自主学习(1) 抛物线的几何性质思考：①抛物线范围如何确定？②抛物线的对称轴方程是什么？如何用代数方法来说明抛物线的对称性？ ③抛物线的顶点坐标是什么？ ④抛物线的离心率是如何规定的？ （2）抛物线的四种形式思考：焦点在x 轴负半轴及y 轴上的抛物线的标准方程和几何性质分别如何？完成下表：思考：1、参数P 的几何意义是什么？它与抛物线的开口大小有何关系？2、如何判断焦点在哪个坐标轴上？焦点坐标与一次项系数有何关系？ 3.预习自测（1）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程①260y x -= ②2100x y +=③238y x = ④2-ax 0(0)y a =≠（2）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ） A ． 2 B. 3 C . 4 D . 5（3）已知一抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，则抛物线方程为（ ）A x y 162=B x y 122=C x y 162-=D x y 122-=（4）焦点在y 轴的正半轴上，并且焦点与准线之间的距离为5的抛物线的标准方程是 二．课内探究探究一 抛物线的标准方程、焦点、准线方程例题1 (1) 求顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点B （4,2）的抛物线标准方程.（2）求抛物线2(0)y ax a =≠的焦点坐标与准线方程练习：抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上一点A(4,m)，其到准线的距离为6，求m 的值与抛物线的标准方程。
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P80
156
课后提分练
数学低段
A
第40课
第14题
P80
157
课后提分练
数学低段
第40课 第15题
P80
158
课后提分练
数学低段
第40课 第15题
P80
159
课后提分练
数学低段
第40课 第15题
P80
160
课后提分练
数学低段
第40课 第15题
P80
161
111
随堂普查练
数学低段
第40课 第5题 P233
112
随堂普查练
数学低段
第40课 第5题 P233
113
随堂普查练
数学低段
第40课 第5题 P233
114
随堂普查练
数学低段
第40课 第5题 P233
115
随堂普查练 B
数学低段
第40课 第6题 P233
116
随堂普查练
P79
150
课后提分练
数学低段
第40课 第13题
P79
151
课后提分练
数学低段
第40课 第13题
P79
152
课后提分练
数学低段
第40课 第13题
P79
153
课后提分练
数学低段
第40课 第14题
P80
154
课后提分练
数学低段
第40课 第14题
P80
155
课后提分练
数学低段
数学低段
第40课 第3题 P233
106
随堂普查练
数学低段
第40课 第3题 P233
107
随堂普查练
数学低段
第40课 第4题 P233
108
随堂普查练
数学低段
第40课 第4题 P233
109
随堂普查练
数学低段
第40课 第4题 P233
110
随堂普查练
数学低段
第40课 第4题 P233
84
两组题讲透
数学低段
第40课 第（16）题
P231
85
两组题讲透
数学低段
第40课 第（16）题
P231
86
两组题讲透
数学低段
第40课 第（16）题
P231
87
两组题讲透
数学低段
第40课 第（16）题
P231
88
两组题讲透
数学低段
第40课 第（16）题源自P23189两组题讲透
第40课 小提示 P227
17
数学低段
第40课 小积累 P227
18
数学低段
第40课 小积累 P227
19
数学低段
第40课 小积累 P227
20
数学低段
第40课 小积累 P227
21
数学低段
第40课 小积累 P227
22
两组题讲透
数学低段
第40课 第（4）题
P227
第40课 第（11）题
P230
68
两组题讲透 D
数学低段
第40课 第（11）题
P230
69
数学低段
第40课 小提示 P230
70
两组题讲透
数学低段
第40课 第（12）题
P230
71
两组题讲透
数学低段
第40课 第（12）题
P231
72
两组题讲透
数学低段
第40课 第（12）题
目录 两组题讲透 第（8）题 第（9）题 第（10）题 第（11）题
第（12）题 第（13）题 第（14）题 第（15）题 第（16）题 第（17）题 第（18）题
2
随堂普查练40Ⅱ 第1题
第40课 抛物线
第2题 第3题
第4题
课后提分练40 A组
第5题
第1题 第6题
第6题
第2题 第7题
第7题
第3题 第8题
62
两组题讲透
数学低段
第40课 第（10）题
P230
63
两组题讲透
数学低段
第40课 第（10）题
P230
64
数学低段
第40课 小提示 P230
65
两组题讲透
数学低段
第40课 第（11）题
P230
66
两组题讲透
数学低段
第40课 第（11）题
P230
67
两组题讲透
数学低段
122
课后提分练 D
数学低段
第40课 第1题 P77
123
课后提分练 A
数学低段
第40课 第2题 P77
124
课后提分练
数学低段
第40课 第3题 P77
125
课后提分练 4
数学低段
第40课 第4题 P77
126
课后提分练 D
数学低段
第40课 第5题 P77
127
课后提分练
质
6
一张图学透
数学低段
第40课 一张图学透
抛物线的 标准方程 和几何性
质
7
两组题讲透 6
数学低段
第40课 第（1）题
P226
8
两组题讲透
数学低段
第40课 第（2）题
P226
9
两组题讲透
数学低段
第40课 第（2）题
P226
10
两组题讲透 A
数学低段
第40课 第（2）题
P226
第40课 第（18）题
P232
95
两组题讲透
数学低段
第40课 第（18）题
P232
96
两组题讲透
数学低段
第40课 第（18）题
P232
97
两组题讲透
数学低段
第40课 第（18）题
P232
98
两组题讲透
数学低段
第40课 第（18）题
P232
99
随堂普查练
数学低段
第40课 第1题 P232
数学低段
第40课 抛物线
普查讲40Ⅰ 一张图学透 抛物线的定义
抛物线的标准方程和几何性质
两组题讲透
第（1）题 第（2）题 第（3）题 第（5）题 第（6）题 第（7）题
第（4）题
目录
随堂普查练40Ⅰ 第1题
第2题
第3题
第4题
第5题 第6题
1
数学低段
第40课 抛物线
普查讲40Ⅱ
一张图学透 直线与抛物线的位置关系
23
数学低段
第40课 小提示 P228
24
两组题讲透
数学低段
第40课 第（5）题
P228
25
数学低段
第40课 变式思考
P228
26
数学低段
第40课 易错提醒
P228
27
数学低段
第40课 小提示 P228
28
两组题讲透
或
数学低段
第40课 第（6）题
P228
29
两组题讲透
数学低段
第40课 第（6）题
P228
30
两组题讲透
数学低段
第40课 第（6）题
P228
31
两组题讲透 B
数学低段
第40课 第（6）题
P228
32
数学低段
第40课 小积累 P228
33
数学低段
第40课 小积累 P228
34
两组题讲透
数学低段
第40课 第（7）题
P228
35
数学低段
第40课 第3题 P228
41
随堂普查练
或
或
数学低段
第40课 第4题 P228
42
随堂普查练
或
数学低段
第40课 第5题 P228
43
随堂普查练
数学低段
第40课 第6题 P228
44
随堂普查练
数学低段
第40课 第6题 P228
45
随堂普查练 D
数学低段
第40课 第6题 P228
数学低段
第40课 第6题 P77
128
课后提分练 C
数学低段
第40课 第6题 P77
129
课后提分练
数学低段
C
第40课 第7题 P77
130
课后提分练
数学低段
第40课 第8题 P77
131
课后提分练 2
数学低段
第40课 第8题 P77
132
课后提分练
数学低段
第40课 第9题 P78
46
一张图学透
一个
数学低段
第40课 一张图学透
直线与抛 物线的位 置关系
47
一张图学透
一个
数学低段
第40课 一张图学透
直线与抛 物线的位 置关系
48
一张图学透
数学低段
第40课 一张图学透
直线与抛 物线的位 置关系
49
两组题讲透
数学低段
第40课 第（8）题
P229
50
两组题讲透
课后提分练
数学低段
第40课 第15题
P80
162
P231
73
两组题讲透
数学低段
第40课 第（13）题
P231
74
两组题讲透
数学低段
第40课 第（13）题
P231
75
数学低段