二次函数中特殊点解析(绝对精品)

二次函数中特殊点解析
【精练】大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．
【知识规律串讲】
二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标，对称轴方程及与坐标轴的交点的坐标，横坐标取±1等都是二次函数的特殊点，也成为近几中考命题的趋势。

1．顶点坐标，对称轴方程。

二次函数的形式有三类：一般形式y=ax2+bx+c，它的顶点坐标为，对称称方程为x=；顶点式y=a（x+h）2+k，它的顶点坐标为（-h，k），对称轴方程为x=-h；交点式y=a（x-x1）（x-x2），它的顶点坐标为，
对称轴方程为x=。

2．与x轴的交点。

当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴的交点坐标是以方程ax2+bx+c=0的两根为横坐标的两个点；当b2-4ac=0时抛物线与x轴的交点坐标是顶点坐标的横坐标，也是以方程ax2+bx+c=0的一根为横坐标的一个点；当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

3．与y轴的交点。

抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标总是（0，c），特别的当c=0的时候，抛物线过原点，这也是一个特殊点。

4．横坐标取1时，y=ax2+bx+c的解析式对应的是a+b+c，横坐标取-1时，y=ax2+bx+c 的解析式对应的是a-b+c。

这也是特殊式，用于考察当x=±1时所对应的函数值与0的大小关系。

【典型试题】
例1：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
例2：已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC 的面积等于27，试求m的值.
例3：已知：抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2009•河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABC D的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=a x2+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段C D向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥A D于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接E Q．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△C E Q是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
（2010•德州）已知二次函数y=ax2+b x+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设P Q与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交A B于点N，设四边形AN P Q的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．。