[高三一轮复习]·[文科版][9导数在研究函数中的应用] · [培优] · [典型例题]

导数在研究函数中的应用知识讲解一、利用导数研究函数的单调性1.函数()y f x =在区间()a b ，内可导 1）如果在()a b ，内，'()0f x >，则()f x 在此区间是增函数，()a b ，为()f x 的单调增区间． 2）如果在()a b ，内，'()0f x <，则()f x 在此区间是减函数，()a b ，为()f x 的单调减区间． 3）如果在()a b ，内，'()0f x =恒成立，则()f x 在此区间是常函数，不具有单调性． 注：单调区间是指单调增区间或单调减区间．2.利用导数研究函数单调性的基本步骤1）确定函数的定义域；2）求导数'()f x ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；3）由'()0f x >（或0<）解出相应的x 的取值范围．当'()0f x >时，()f x 在相应的区间内是单调增函数；当'()0f x <时，()f x 在相应的区间内是单调减函数．一般需要通过列表，写出函数的单调区间． 注：①单调区间不能用“”连接，应用“，”隔开或用“和”连接．②“()f x 在区间()a b ，内单调递减”可转化为“在区间()a b ，内'()0f x …且不恒为0”或“区间()a b ，是()f x 减区间的子集” 二、利用导数研究函数的极值、最值1.极大值点：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点．2.极小值点：如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．3.极值和极值点：极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点．注：极值点是个数，而不是个坐标．4.求函数()y f x =的极值的方法：1）求函数()f x 的定义域 2）求导数()f x '；3）求方程()0f x '=的所有实数根；4）考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化． 如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值． 5.一般地，求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值的步骤： 1）求出函数()y f x =在()a b ，内所有极值； 2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6.最值与极值的区别与联系1）极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言；2）最值和极值都不一定存在；3）极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．三、利用导数解决某些实际问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题．2.利用导数解决生活中优化问题的基本思路为：1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式()y f x =； 2）利用导数求出函数()y f x =的最值； 3）根据实际问题的意义给出答案四、用导数进行分类讨论1.利用导数求单调区间的步骤1）确定函数的定义域；2）求导数'()f x ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）； 3）由'()0f x >（或0<）解出相应的x 的取值范围． 当'()0f x >时，()f x 在相应的区间内是单调增函数； 当'()0f x <时，()f x 在相应的区间内是单调减函数． 一般需要通过列表，写出函数的单调区间．2.为什么要分类讨论？在利用导数解决函数的单调性与极值、最值问题时，一般含有参数的导数往往需要分类讨论．原因在于，求单调区间的第（3）步中会去解一个含参的不等式．或者，是题目给出的是区间端点含有参数．五、如何进行分类讨论？1.先明确是哪类不等式，不同类型的不等式，分类讨论的策略不同！考试中常碰到的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、指数不等式2.再观察一下区间（定义域）和参数范围．3.结合导函数图象，开始讨论不同类型不等式的讨论策略：1）一元一次不等式型： ①参数在一次项系数上：如：'()e (1)0xf x ax =+>，x R ∈，a R ∈（i ）当0a =时，'()0xf x e =>，()f x 增区间为R ；（ii ）当0a >时，由'()0f x >，得1x a >-，()f x 增区间是1()a -+∞，； 由'()0f x <，得1x a <-，()f x 减区间是1()a -∞-，． （iii ）当0a <时，由'()0f x >，得1x a <-，()f x 增区间是1()a-∞-，； 由'()0f x <，得1x a >-，()f x 减区间是1()a-+∞，．②参数在常数项上：如：'()e ()0xf x x a =+>，0x >，a R ∈（i ）当0a …时，'()0f x >恒成立，()f x 增区间为(0)+∞，； （ii ）当0a <时，由'()0f x >，得x a >-，()f x 增区间为()a -+∞，； 由'()0f x <，得x a <-，()f x 增区间为(0)a -，． 2）一元二次不等式型： ①参数在二次项系数： 第一种，能因式分解型；如：'()(1)()0f x a x x a =+->，x R ∈，a R ∈ 当0a =时，'()0f x =恒成立，()f x 为常函数； 当0a >时，由'()0f x >，得1x <-或x a >，()f x 的增区间是(1)-∞-，，()a +∞，； 由'()0f x <，得1x a -<<，()f x 的减区间为(1)a -，． 当0a <时，（i ）1a =-，2'()(1)0f x x =-+…且不恒为0，()f x 减区间为()-∞+∞，； （ii ）1a <-时，由'()0f x >，得1a x <<-，()f x 的增区间是(1)a -，； 由'()0f x <，得x a <或1x >-，()f x 的减区间是()a -∞，，(1)-+∞，． （iii ）10a -<<时，由'()0f x >，得1x a -<<，()f x 的增区间是(1)a -，; 由'()0f x <，得1x <-或x a >，()f x 的减区间是(1)-∞-，，()a +∞，． 注：分类可以有层次感，在大类下还可以再分小类，这样逻辑比较清晰严谨，不易混乱． 第二种，不能因式分解型；如：2'()10f x ax x =++>，x R ∈，a R ∈当0a =时，由'()10f x x =+>，得1x >-，()f x 的增区间是(1)-+∞，； 由'()10f x x =+<，得1x <-，()f x 的减区间是(1)-∞-，当0a >时， 14a ∆=-（i ）当0∆…时，即14a …（ii ）当0∆>时，即104a <<由2'()10f x ax x =++>，得x <或x >()f x 的增区间是(-∞，)+∞;由2'()10f x ax x =++<x <<()f x 的减区间是．当0a <时，140a ∆=->由2'()10f x ax x =++>x <<()f x 的增区间是．由'()0f x <，得x <或x >()f x 的减区间是(-∞，)+∞． ②参数不在二次项系数上： 第一种，能因式分解型如：'()(1)()0f x x x a =-->，x R ∈，a R ∈ 当1a =时，2'()(1)0f x x =-…恒成立且不恒为0，()f x 增区间为()-∞+∞，； 当1a >时，由'()0f x >，得1x <或x a >，()f x 增区间为(1)-∞，，()a +∞，； 由'()0f x <，得1x a <<，()f x 减区间为(1)a ，． 当1a <时，由'()0f x >，得x a <或1x >，()f x 增区间为()a -∞，，(1)+∞，； 由'()0f x <，得1a x <<，()f x 减区间为(1)a ，． 第二种，不能因式分解型如：2'()10f x x ax =++>，x R ∈，a R ∈24a ∆=-当240a ∆=-…，即22a-剟时，当240a ∆=->，即2a >或2a <-时，由2'()10f x x ax =++>，得x <x >()f x 增区间是(-∞，)+∞；由'()0f x <x <()f x 减区间是．3）分式不等式型:这种类型往往可以转化为一元二次不等式型解决． 4）指数不等式型如：'()e 0xf x a =+>，x R ∈，a R ∈当0a …时，'()0f x >恒成立，()f x 增区间为()-∞+∞，； 当0a <时，由'()e 0xf x a =+>，得ln()x a >-，()f x 增区间为(ln())a -+∞，； 由'()0f x <，得ln()x a <-，()f x 减区间为(ln())a -∞-，5）对数不等式型如：'()ln 0f x x a =+>，0x a R >∈，由'()0f x >，得e a x ->，()f x 增区间是(e )a-+∞，； 由'()0f x <，得0e a x -<<，()f x 减区间是(0e )a -，． 六、函数的零点1.零点的概念：对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．2.有零点的推导：函数()y f x =有零点⇔()0f x =有根⇔函数()y f x =与x 轴有交点．3.有根的推导()f x k =有几个根⇔函数()y f x =与y k =图象有几个交点⇔函数()()g x f x k =-图象与x 轴有几个交点．4.推导：方程()()f x g x =有几个根⇔函数()y f x =与函数()y g x =图象有几个交点⇔函数()()()h x f x g x =-的图象与x 轴有几个交点．5.零点个数：三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的零点个数2'32y ax bx c =++2412b ac ∆=-1）当0∆…时，'0y …且不恒为0，32(0)y ax bx cx d a =+++>在R 上单调增此时，32(0)y ax bx cx d a =+++>有且仅有1个零点．2）当0∆>时，()f x 有极大值和极小值；①当()0f x <极大或()0f x >极小时，()y f x =有且仅有1个零点； ②当()0f x =极大或()0f x =极小时，()y f x =有2个零点； ③当()0()f x f x <<极小极大时，()y f x =有3个零点．七、渐近线问题常见的处理方式：①借助函数的零点，将区间进行分段研究；②构造满足题意的用参数表示的自变量．经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018•信阳二模）已知定义在R上的函数f（x）=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）2．（2018•上城区校级模拟）定义在R上的可导函数f（x），已知y=e f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（0，1） D．（1，2）3．（2018•柳州一模）设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a 取值范围为（）A．（，e） B．（﹣e，﹣）C．（﹣∞，）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）4．（2017春•锦江区校级期中）对任意的x∈R，函数f（x）=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是（）A．0≤a≤21 B．a=0或a=7 C．a＜0或a＞21 D．a=0或a=215．（2016•河南二模）函数f（x）=ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[4，+∞）C．{4}D．[2，4]6．（2015•济南二模）已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2） B．（1，3） C．[0，3]D．[1，3]7．（2015•上饶校级一模）已知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A．（1，3]B．（1，3） C．（3，+∞）D．[3，+∞）8．（2017秋•嘉峪关校级期末）已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣39．（2017秋•延安期末）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2018•佛山二模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=|f（x）|，曲线C：y=g（x）关于直线x=1对称，现给出如下结论：①若c＞0，则存在x0＜0，使f（x0）=0；②若c＜﹣1，则不等式g（x+1）＞g（x）的解集为（，+∞）；③若﹣1＜c＜0，且y=kx是曲线C：y=g（x）（x＜0）的一条切线，则k的取值范围是（﹣，﹣2），其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（2018•中山市模拟）设函数f（x）=2x+1﹣（ax+1）e x，其中a＞0，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（0，4]B．，C．（e+1，8]D．，，12．（2018•宁德二模）设函数f（x）=ln（x+k），g（x）=e x﹣1，若f（x1）=g（x2），且x1﹣x2有极小值﹣1，则实数k的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2二．填空题（共4小题）13．（2018•达州模拟）若任意a，b满足0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则t的最大值为．14．（2018•宜宾模拟）已知函数f（x）=（x2+ax+b）e x，当b＜1时，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则的最大值为．15．（2018•全国三模）若存在正实数m，使得关于x方程x﹣k（x+m﹣2ex）[ln （x+m）﹣lnx]=0有两个不同的实根，其中e为自然对数的底数，则实数k的取值范围是.16．（2018•济宁二模）已知函数f（x）=2x﹣alnx（a∈R），g（x）=．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=2时，证明：g（x）＞f（x）．三．解答题（共4小题）17．（2018•凌源市模拟）已知函数f（x）=xe x．（1）讨论函数g（x）=af（x）+e x的单调性；（2）若直线y=x+2与曲线y=f（x）的交点的横坐标为t，且t∈[m，m+1]，求整数m所有可能的值．18．（2018春•上杭县校级期中）设函数f（x）=ax2+2x+blnx在x=1和x=2时取得极值．（ln2≈0.7）（1）求a、b的值；（2）求函数f′（x）在，上的最大值和最小值．19．（2016秋•安平县校级期末）已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．（1）求常数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．。