第14章超静定结构

1 Pa sin sin 4 2 2
六、画曲杆弯矩图
§14-3 对称与反对称性质的利用
一、有关概念：
（一）结构、载荷的对称性、反对称性概念
（二）内力分量的对称性概念 对称内力分量 反对称内力分量 二、利用对称性计算超静定问题实例 例：求解图示结构 建立基本静定系统如图：
例：求C处反力 （一）二次超静定问题
A L
C
C Rc
（二）取静定基本问题如图 （三）变形协调条件
Hc
u c 0,
vc 0
——①
（四）建补充方程
1、求静定基本系统的uc、vc： （1）、写 M ( x)
q A L B L/2 C
BC： M ( x1 ) H C x1
BA： M ( x ) R x H L qx 2 C 2 C 2 2
qL 2
上例再做： 一次超静定
A
q
LC
B
C 0 —— 其变形协调条件：
L L q M 2 2 C 0 6 EI EI
3
q M
A
L/2
C FN =0
qL M 24
q
A L
q
B
q MB
A FS
MB =0 q
0= FN FN F S
B
对称结构在反对称载荷作用下： 在反对称截面处：弯矩、轴力为零
——（a）
C
1
（4）加垂直单位力如图：
A x2
B x1
M ( x1 ) 0
M ( x2 ) x2
（5）求vc：
2 1 L qx 2 VC ( RC x 2 H C ) x 2 dx EI 2 2 0 L
C
1
1 1 qL L3 ( RC H C ) 3 4 8 EI
1
1
Pa 1 1 1 cos M ( ) (1 cos ) Pa( ) Pa ( ) 2 2 2 七、求单位力作用下的弯矩方程 1 cos M ( ) a( ) 2 八、求AB间相对位移
M ( ) M ( )ad 4 0 EI 3 4 Pa 2 1 cos 2 ( ) d EI 0 2
例. 在等截面圆环直径AB的两端，沿直径作用方向 相反的一对P力。试求AB直径的长度变化。 解： 一、利用对称性可看作一次超静定问题
或正则方程 11 X 1 1P 0 三、求系数 Pa M (1 cos ) M 1 2 M M ad 2 1P 0 EI 2 Pa 2 Pa 2 (1 cos )( 1)d ( 1) 2 EI 0 2 EI 2
q A L B L/2 C A
q B
2）选定合适的基本静定系统
3）建立变形协调条件
C Rc MA A HA q L
Hc
4）建立补充方程，求解多余未知力
5）把多余未知力带回基本静定系统，得 到与原系统相当的静定系统，进行强度 刚度计算。
B L/2 C
§14-2 用力法解超静定结构
q q B L/2 A B
求系数：
对称结构上受对称载荷作用时， 在对称截面上，反对称内力等 于零。
1P 0 ,
3P 0
X1 0 , X 3 0
11 X 1 13 X 3 0 31 X 1 33 X 3 0 22 X 2 2 P
对称结构上受反对称载荷作用 时，在对称截面上，对称内力 等于零。
例11.3 轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定，B端铰支， 如图。在P作用下，试作曲杆的弯矩图。设曲杆横截 面尺寸远小于轴线半径，可以借用计算直杆变形的公 式。 一、一次超静定问题 解： 二、取静定基本系统如图
11 X 1 1P 0
三、求系数 (一）求只在P作用下的内力 BC: M 0 CA: M Pa sin( )
二、取静定基本系统如图（c) 变形协调条件： 0
D


11

2 0
M M ad a EI EI

2 (1) 2 d 0
a 2 EI
四、解正则方程
1 1 X 1 Pa ( ) 2 五、列结构弯矩方程 Pa 1 1 M ( ) (1 cos ) Pa( ) 2 2 1 cos Pa ( ) 2 六、加一对单位力如图
第十章 能量原理在位移分析中的应用
§10-1 基本概念
§10-2 互等定理 §10-3 应用于弹性杆件的虚位移原理
第十四章
§14-1
超静定结构
超静定结构概述 刚节点
铰节点
桁架
刚架
内部约束讨论：
静定
二次超静定
三次超静定
增加了两个 内部约束
外超静定
内超静定
基本静定系统的选择：
超静定结构求解步骤 1）判断超静定次数
以图示梁讨论： 二次超静定问题 但由于对称性： FAy FBy 另： M A M B — ①
A
MA
q
L
MB
qL 2
B
FAy
q MB
Fs FN FN
FBy MB q
B Fs =0
又可看成一次超静定 变形协调条件： B 0 利用对称性：
A
A
q
MB
B
对称结构在对称载荷作用下： 在对称截面处：剪力、扭矩为零


2

1
Pa 3 2 Pa 3 ( ) 0.149 EI 4 EI
1
例：11.6 求图示刚架的反力
由平衡方程：
qa qa RA , Rc ,H 0 2 2
下课！
结束
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C
4
C
(二）加单位力如图并求内力
M a sin
（三）求系数
1P
1 MMds s EI EI Pa 3

2
C
Pa sin a sin ad 4
4

8 2 EI

3 Pa 2 a sin ad 4 EI 0 2
2
q
A
x2
B x1
C Rc
Hc
（2）、加水平单位力，如图：
BC：
M ( x1 ) x1
A x2
B x1
BA： M ( x 2 ) L 2 （3）求uc：
L L 2 2 1 L qx L 2 uc H C x1 dx Rc x2 H c dx EI 0 2 2 2 0 RC qL 1 7 HC 4 12 EI 24
1 1P 1 X 1 1 X 2 0 2 P 2 X1 2 X 2 0
B A B A
C
X2
X1
=
B
C
+
C Δ1X1
+
X1
Δ1P
C Δ X2 1X2
1 X1 11 X 1 1 X 2 12 X 2
A
B
A
B
1P 11 X 1 12 X 2 0 2 P 21 X 1 22 X 2 0
1
( x1 ) EI

A
2
1 dx EI
L 2

0
L
M ( x2 ) dx EI
A
2
x2
B x1
C x2
1

x 1 dx EI EI
2 2 3
2 1
L dx 4 EI 0
B x1
22

0 L
L
x L dx EI 3EI
C
1
12
L dx L3 ( ) x 2 21 2 EI 4 EI 0
1 1 qL X1 X 2 0 4 3 8
n次超静定问题力法正则方程：
解： 一、一次超静定问题 二、取静定基本系统如图
正则方程 11 X 1 1P 0
三、求系数
四、将系数代入正则方程并求解
4(1 2)a 2(1 2 ) Pa X1 0 EA EA
五、求桁架各杆轴力
A
δ21
C δ11
1
δ22
C 1 δ12
B
A
B
力法正则 方程
C Δ1X1
X1
C Δ X2 1X2
求系数： M P ( x) M ( x) 1P dx EI

q A x2
B
x1
M ( x1 ) 0
2 qx 2 M ( x2 ) 2

0
L
1 EI
qx 2
2 2
L dx A 2
C B x1
C 1 B
x2
M ( x1 ) x1
qL L3 qL4 4 EI 3 12 EI
2P qx dx 2 EI 0
L 3
L M ( x2 ) 2
A x2
M ( x1 ) 0
x1
C
M ( x2 ) x2
1
11

0
L 2
M

0 L 2
M ( x2 )
1 2 M ( x1 ) x1
M ( x1 ) 0
M ( x2 ) x2
代入正则方程：
q4 7 L3 L3 X1 X2 0 12 EI 24 EI 4 EI qL4 L3 L3 X2 X1 0 8EI 3EI 4 EI