2018年中考数学满分冲刺讲义第8讲类比结构构造_类比探究
河南省2018年中考数学总复习课件解答题突破 专题11几何类比拓展探究题(中考22题)
2 OF＝ 2 EC ___________________.
(2)类比延伸 将图1中△AED绕点A逆时针旋转到如图3所示的位置，请判断线段OF 与EC的数量关系，并给出证明． (3)拓展探究 将图1中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0° ≤α≤90° ，AD＝ 2 ，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段 CD的长．
2 解：(2)OF＝ 2 EC. 1 2 证明：在等腰直角三角形ADE中，F为AD的中点，∴AF＝ 2 AD＝ 2 AE. 在等腰直角三角形ABC中，O为BC的中点， 2 如答图1，连接AO，∴AO＝ 2 AC，∠BAO＝∠CAO＝ 45° . ∵∠DAE＝45° ，∴∠DAE＝∠CAO.∴∠DAE－∠EAO＝ ∠CAO－∠EAO，即∠DAO＝∠CAE.
∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D. ∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB. ∴AE＝BD，CE＝CB. ∵∠ECB＝90° ，∴△ECB 是等腰直角三角形．∴BE＝ 2CB. ∵BE＝AE－AB＝BD－AB，∴BD－AB＝ 2CB.
(3)【提示】如答图 5，过点 C 作 CE⊥CB 交 MN 于点 E， ∵∠ACD＝90° ，∠BCE＝90° ， ∴∠ACE＝90° －∠DCE，∠BCD＝90° －∠DCE. ∴∠ACE＝∠BCD.∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90° －∠AFC，∠BDC＝90° －∠BFD. ∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠BDC.
类型一 几何图形变化的探究问题 训练 1.已知∠ACD＝90° ，AC＝DC，MN 是过点 A 的直线，过点 D 作 DB⊥MN 于点 B，连接 CB. (1)问题发现 如图 4，过点 C 作 CE⊥CB，与 MN 交于点 E，则 BD 和 EA 之间的数
中考数学类比研究(二)(讲义及答案)
A D
D
A
A
P
P
E
E
B
CB 图1
图2
CB
C 备用图
2. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 边的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE，BG． （1）发现 ①线段 DE，BG 之间的数量关系是__________； ②直线 DE，BG 之间的位置关系是__________． （2）探究 如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由． （3）应用 如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB=4，请直接写出点 P 到 CD 所在直线距离的最大值和最小值．
2. 作图 作图既是理解题意的体现，也是辅助思考，分析问题的一种手段． ①往往需要先画草图理解题意，然后根据分析题目得到的特征不断精准作图． ②精准作图，往往需要先辨识特征，然后依据不变特征分析运动轨迹，设计作图方案． 常见作图特征 （1）与作圆相关 ①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上； ②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为 90°，则动点在圆上； ③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上． （2）与折叠相关 ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． （3）与旋转相关 ①注意旋转中心、旋转方向、旋转角度； ②旋转作图时往往只需保留研究目标即可． （4）与平移相关 根据平移方向和平移距离画出点的运动路径（平移通道）．
把△DEA 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AC= 10 ，AD=2，请直接写出当点 B，D，E 在一条直线上时 CE 的长．
第8讲 类比结构构造-类比探究-2021年中考数学冲刺重点讲义
第8讲、类比结构构造——类比探究1. 我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =_____BC ； ②如图3，当∠BAC =90°，BC =8时，则AD 的长为_________． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，四边形ABCD ，∠C =90°，∠D =150°，BC =12，CD=DA =6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．图1 图2βαC'B'DB A ABCDB'C'DC BA2. 【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，∠B =90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________． 【拓展应用】如图2，在△ABC 中，BC =a ，BC 边上的高AD =h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__________（用含a ，h 的代数式表示）． 【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108 cm ，CD =60 cm ，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．4tan tan 3B C ==图1 图2 图33. 折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（如图1），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（如图2）．第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到 △PBC ．FEDC BAACENPQ A BCD E图（2）图（EDCBAADBA图（4）AB CDBA图1 图2 图3（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．图4 图5（3）已知矩形一边长为3 cm ，另一边长为a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm ．D CB A FED C BAE FGPDCBAPD C B ADCB A4. 已知四边形ABCD 的一组对边AD ，BC 的延长线交于点E ．（1）如图1，若△ABC =△ADC =90°，求证：ED ·EA =EC ·EB ． （2）如图2，若△ABC =120°，cos△ADC =，CD =5，AB =12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积． （3）如图3，另一组对边AB ，DC 的延长线相交于点F ．若cos△ABC =cos△ADC =，CD =5，CF =ED =n ，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）．图1图2图33535EDCBAEDCBAF EDCB A参考答案1. （1）①；②4； （2）AD =BC ，证明略； （3）存在，“旋补中线”．2. 【探索发现】； 【拓展应用】； 【灵活应用】该矩形的面积为720； 【实际应用】该矩形的面积为1 944 cm 2．3. （1）证明略；（2）先将△BPC 按点B 逆时针旋转某个适当角度得△BP 1C 1，再将△BP 1C 1以B 为位似中心放大，使点C 1的对应点C 2落在边CD 上，得到△BP 2C 2； （3）略； （4）． 12121214ah 1654. （1）证明略；（2）四边形ABCD 的面积为； （3）AD 的长为．75-5256n n ++。
(河南专版)201x年中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.3 类比拓展探究型(试卷部分)
.
问题探究
(2)如图②,☉O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是☉O上一动点,求PM的最大值.
问题解决
(3)如图③所示,AB、AC、 B ︵C是某新区的三条规划路,其中,AB=6 km,AC=3 km,∠BAC=60°, B ︵C 所对的圆心角为60°.新区管委会想在B ︵C 路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站 点E、F,也就是,分别在 B ︵C、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物 资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、
∴tan C= 5 .
5
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(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC= B C= 3 ,∴tan∠BAC= B C = 3 .
AC 5
AB 4
过点A作AG⊥BE于点G,过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H,
∵∠DEB=90°,∴CH∥AG∥DE,
∴ G H = A C= 5 ,
EG AD 2 同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,
E G 4m 2
在Rt△CEH中,tan∠CEB= C H = 3 . EH 14
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思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出∠MAB=∠NBC,即可得出结论;
(2)作PM⊥AP,MN⊥PC,先判断出△PMN∽△APB,得出 P N= P=M ,2设P5 N=2t,则AB= t,再 5
AB AP 5
EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最
小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)
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解析 (1)5. (2分) 详解:如图,设O是△ABC的外接圆的圆心,
中考数学复习 第八章 专题拓展 8.4 类比拓展探究型(试卷部分)课件
3
①证明:如图所示,连接BE.
12/11/2021
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∵C,E关于BM对称, ∴BE=BC,FE=FC,∠EBF=∠CBF,∠EFB=∠CFB, ∵四边形ABCD是菱形,且∠ABC=120°, ∴AB=BC=BE. 过B作BG⊥AE,则AG=GE,∠ABG=∠GBE,
∴∠GBF=∠GBE+∠EBF= 1 ∠ABC= 1 ×120°=60°. ∴∠CFB=∠EFB=30°,即∠EF2 C=60°. 2 ∴△CEF为等边三角形.
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第二十一页，共五十页。
∴△PEA是直角三角形, ∴∠PEA=90°,
∴∠CEA=135°,
又∵△CPB≌△CEA, ∴∠BPC=∠CEA=135°.
思路分析 (1)由DE∥BC,得到 D =B ,E结C 合AB=AC,得到DB=EC; AB AC
(2)由旋转的性质得出△DAB≌△EAC,得到DB=EC; (3)由旋转构造出△CPB≌△CEA,再用勾股定理计算出PE,然后用勾股定理的逆定理判断出△ PEA是直角三角形,再简单计算即可.
EC;(填“>”“<”或“=”)
(2)发现探究:若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置,则(1)中的结论还
成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)拓展运用:如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC
依据结论对(3)中的问题分析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可
以先求出BD的两个值,根据
= ,再求A 出C AC的两个值. 3
BD
2019年中考数学满分冲刺讲义第8讲类比结构构造_类比探究
第8讲、类比结构构造——类比探究（讲义）1. 我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′．当α+β=180°时，我们称△AB ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2、图3中，△AB ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =_____BC ； ②如图3，当∠BAC =90°，BC =8时，则AD 的长为_________． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，四边形ABCD ，∠C =90°，∠D =150°，BC =12，CD=DA =6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．βαC'B'DA图1 图2ABCDB'C'DC BA2. 【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，∠B =90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________． 【拓展应用】如图2，在△ABC 中，BC =a ，BC 边上的高AD =h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__________（用含a ，h 的代数式表示）． 【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108 cm ，CD =60 cm ，且4tan tan 3B C ==，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．FEDC BAAC ENPQ ABCDE图（2）图图1 图2 图3E DCBAADAD3. 折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（如图1），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（如图2）．第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到 △PBC ．DC B A FEDC BAE FGPDCBA图1 图2 图3（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．PD C B ADCB A图4 图5（3）已知矩形一边长为3 cm ，另一边长为a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm ．4. 已知四边形ABCD 的一组对边AD ，BC 的延长线交于点E ．（1）如图1，若∠ABC =∠ADC =90°，求证：ED ·EA =EC ·EB ． （2）如图2，若∠ABC =120°，cos ∠ADC =35，CD =5，AB =12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，另一组对边AB ，DC 的延长线相交于点F ．若cos ∠ABC =cos ∠ADC =35，CD =5，CF =ED =n ，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）．EDCBA图1E DCBA图2F EDCB A图3【参考答案】1.（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明略；（32.【探索发现】12；【拓展应用】14 ah；【灵活应用】该矩形的面积为720；【实际应用】该矩形的面积为1 944 cm2．3.（1）证明略；（2）先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1以B为位似中心放大，使点C1的对应点C2落在边CD上，得到△BP2C2；（3）略；（4）165．4.（1）证明略；（2）四边形ABCD的面积为75-（3）AD的长为5256nn++．。
中考数学类比探究专题复习
G F E D C B A D A B M C N M C B A A B C E FM AB=AC D B C D'A 中考数学类比探究专题复习一：知识点睛1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2.类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题．3.常见结构：①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构④中点结构 平行夹中点 (类)倍长中线 中位线二：真题演练 （2015?潜江1.24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转． （1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．2.（2015?贵港26．（10分））已知：△ABC 是等腰三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰三角形PCQ ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB 上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB= ，PC= 2 ；②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为 ；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P 满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）3、（2015?齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD 和正方形CGEF 中，点B 、C 、G 在同一条直线上，M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，易证：DM=FM ，DM ⊥FM （无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．4、（2015?黑龙江龙东地区26．8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．5、（2015?牡丹江26．（8分））已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M 在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=．6、（2015?哈尔滨26．（10分））AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．7、（2015荆州，22．（9分））如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．8、（2015?宿迁25．（10分））已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA?EC=EB?ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．9、（2015?锦州25．（12分））如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．10、（2015?本溪25．（12分））如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD=∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．11、（2015抚顺，25．）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）12、（2015阜新，17．）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．13、（2015?葫芦岛25．（12分））在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．14、（2015铁岭，25．）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．15、（2015?营口25．（14分））【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．。
2018年中考数学复习第二部分题型研究题型五几何探究题类型五类比拓展探究问题课件
(1)探究：如图①，当动点M在 ¼AF 上运动时： ①判断△OEM∽△MDN是否成立？请说明理由； 【思维教练】要判断△OEM∽△MDN是否成立，首先有 ∠OEM＝∠MDN这一对角相等，再通过正方形的性质，切 线的性质等，经过等角代换来寻找另一对相等角．
解：(1)①成立．理由如下： ∵四边形BCDE为正方形， ∴∠OEM＝∠MDN＝90°， ∵MN为⊙O的切线， ∴OM⊥MN， ∴∠EMO＋∠DMN＝90°，∠DMN＋∠DNM＝90°， ∴∠EMO＝∠DNM， ∴△OEM∽△MDN；
③α是定值． 如解图，将△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到△BEQ，则 BQ＝BN，∠NBQ＝90°， ∵∠BEQ＝∠BCN＝∠BEM＝90°， ∴∠MEQ＝∠MEB＋∠BEQ＝180°. 由②知，ME＋NC＝MQ＝MN， 又∵BM＝BM， ∴△BMQ≌△BMN(SSS)，
∴∠NBM＝∠QBM， 又∵∠NBQ＝90°， ∴∠MBN＝∠MBQ＝45°，即α是定值；
②设 ME NC ＝k，k是否为定值？若是，求出该定值，若
MN
不是，请说明理由；
【思维教练】要确定k是否为定值，需寻找ME、NC、MN 三条线段间的联系，容易发现这些线段在Rt△OEM和 Rt△MDN中，故可通过设未知数，利用勾股定理及相似知 识来解决．
②k是定值．
设OB＝r，OE＝x，则OM＝r，ME＝ r2 x2 .
r2 x2 r2 x2
x
=1
，
MN
MN
r2 rx r r2 x2
∴k＝1；
x
③设∠MBN＝α，α是否为定值？若是，求出该定值，若不 是，请说明理由； 【思维教练】要确定α是否为定值，需判断∠EBM与∠CBN 之和是否为定值，这两个角位于两个三角形中，无法判断， 故需将这两个角转化在一个三角形中，可通过旋转△BNC 来实现，从而使问题得以解决．
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第8讲、类比结构构造——类比探究（讲义）
1. 我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到
AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们
称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 特例感知：
（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =_____BC ； ②如图3，当∠BAC =90°，BC =8时，则AD 的长为_________． 猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用
（3）如图4，四边形ABCD ，∠C =90°，∠D =150°，BC =12，CD
=DA =6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．
β
αC'
B'
D
C
A
图1 图2
A
B
C
D
B'
C'
D
C B
A
2. 【探索发现】
如图1，是一张直角三角形纸片，∠B =90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________． 【拓展应用】
如图2，在△ABC 中，BC =a ，BC 边上的高AD =h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，
AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__________（用含a ，h 的
代数式表示）． 【灵活应用】
如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】
如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108 cm ，CD =60 cm ，且4
tan tan 3
B C ==
，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．
F
E
D
C B
A
A
B
C D E
M
N
P
Q A
B
C
D
E
图（2）图
图
1 图
2 图
3
E D
C
B
A
A
B
C
D
A
D
3. 折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（如图1），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（如图2）．
第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到 △PBC ．
D
C B A F
E
D
C B
A
E F
G
P
D
C
B
A
图1 图2 图3
（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】
（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．
P
D C B A
D
C
B A
图4 图5
（3）已知矩形一边长为3 cm ，另一边长为a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中
都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．
【问题解决】
（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm 和
1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm ．
4. 已知四边形ABCD 的一组对边AD ，BC 的延长线交于点E ．
（1）如图1，若∠ABC =∠ADC =90°，求证：ED ·EA =EC ·EB ． （2）如图2，若∠ABC =120°，cos ∠ADC =3
5
，CD =5，AB =12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积．
（3）如图3，另一组对边AB ，DC 的延长线相交于点F ．若cos ∠ABC =cos ∠ADC =
35
，CD =5，CF =ED =n ，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）．
E
D
C
B
A
图1
E D
C
B
A
图2
F E
D
C
B A
图3
【参考答案】
1.（1）①1
2
；②4；
（2）AD=1
2
BC，证明略；
（3
2.【探索发现】1
2
；
【拓展应用】1
4 ah；
【灵活应用】该矩形的面积为720；
【实际应用】该矩形的面积为1 944 cm2．
3.（1）证明略；
（2）先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1以B为位似中心放大，使点C1的对应点C2落在边CD上，得到△BP2C2；
（3）略；
（4）16
5
．
4.（1）证明略；
（2）四边形ABCD的面积为75
（3）AD 的长为525
6
n n ++．。