2018中考数学满分冲刺讲义：第7讲拆解转化(含答案)

第7讲、拆解转化（讲义）

1. 在平面直角坐标系中，直线3

14

y x =-+交y 轴于点B ，交x 轴于点A ，抛物

线212y x bx c =-++经过点B ，与直线3

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y x =-+交于点C (4，-2)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，横坐标为m 的点M 在直线BC 上方的抛物线上，过点M 作ME ∥y 轴交直线BC 于点E ，以ME 为直径的圆交直线BC 于另一点D ，当点E 在x 轴上时，求△DEM 的周长；

（3）将△AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A 1O 1B 1，点A ，O ，B 的对应点分别是A 1，O 1，B 1，若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的坐标．

2. 如图，已知抛物线211(1)444

b

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为________，点C 的坐标为________（用含b 的代数式表示）．

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明 理由．

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

3. 如图，已知二次函数y =x 2+(1-m )x -

m （其中0＜m ＜1）的图象与x 轴交于A ，

B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为对称轴l上一点，且PA=PC．

（1）∠ABC的度数为________．

（2）求点P的坐标（用含m的代数式表示）．

（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q，B，C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．

（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；

（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；

（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于点E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且

S△ADF=1

2

S△ADE，求此时抛物线的表达式．

【参考答案】

1. （1）抛物线的解析式为215

124

y x x =-++；

（2）△DEM 的周长为

6415

； （3）A 1的坐标为(712-

，29288)或(34，3196

)． 2. （1）(b ，0)；(0，

4

b )； （2）存在，点P 的坐标为(

165，165

)；

（3）存在，点Q 的坐标为(1，2+)或(1，4)． 3. （1）45°；

（2）P (

12m -，12

m

-)； （3）存在，点Q 的坐标为(25-，0)或(0，2

5

)．

4. （1）x =1；

（2）证明略；

（3）此时抛物线的解析式为y =x 2+2x -3．