2020年辽宁省铁岭市中考数学试卷(含答案解析)

2020年辽宁省铁岭市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−2的倒数是()A. −2B. −12C. 12D. 22.下列运算正确的是()A. 2a+3a=5a2B. (a+2b)2=a2+4b2C. a2×a3=a6D. (−ab2)3=−a3b63.如图所示几何体的左视图是()A. B. C. D.4.一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是()A. 34B. 13C. 15D. 385.如图，△ABC中，AC<BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC=BC，那么符合要求的作图痕迹是()A. B.C. D.6.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=4x的图象交于A、B两点，其中A(2,2)，则不等式x>4x的解集为()A. x>2B. x<−2C. −2<x<0或0<x<2D. −2<x<0或x>27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为()A. 43π−√3 B. 23π−√32C. 13π−√32D. 13π−√38.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(−1,0)和B(3,0)，下列结论：①2a+b=0；②当−1≤x≤3时，y<0；③若(x1,y1)、(x2,y2)在函数图象上，当x1<x2时，y1<y2；④3a+c=0，正确的有()A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.我国首艘国产航母排水量约为65000吨，将65000用科学记数法记为______．10.若一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．11.如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC=5cm，CD=8cm，则AE=______cm．12.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，且点D，E分别在边AB，AC上，则BD的值为______．AD13.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长______．14.如图，已知▱ABCD的顶点A的坐标为(0,4)，顶点B、D分别在x轴和直线y=−3上，则对角线AC的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）15.如图所示，某海盗船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海盗船由西向东航行至A处使，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长，结果精确到0.1)(参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414)16.如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧)作BC⊥y轴于点C，连结AB，AC.若△ABC的面积为6，求点B的坐标．17.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE⊥DC交AC于点E．(1)求∠EDA的度数；(2)如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．19.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．(1)求证：MD=MC；(2)若⊙O的半径为5，AC=4√5，求MC的长．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE=45°，请求出点G的坐标；(3)抛物线上是否存在一点Q，使△QEB与△PEB的面积相等，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B)=1．【解析】解：∵−2×(−12∴−2的倒数是−1，2故选：B．根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．2.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3a=5a，故此选项错误；B、(a+2b)2=a2+4ab+4b2，故此选项错误；C、a2·a3=a5，故此选项错误；D、(−ab2)3=−a3b6，正确．故选：D．3.【答案】C【解析】解：从左边看是一个矩形，矩形的中间是两条横着的虚线，故选：C．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．4.【答案】A【解析】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，共8个，摸到红球的概率为：68=34．故选：A．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查可能性的大小，用到的知识点是概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．5.【答案】C【解析】解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：C．由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论．本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．6.【答案】D【解析】解：∵正比例函数y=x与反比例函数y=4x的图象交于A、B两点，其中A(2,2)，∴B(−2,−2)，观察函数图象，发现：当−2<x<0或x>2时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，∴不等式x>4x的解集为是−2<x<0或x>2，故选：D．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．7.【答案】A【解析】解：如下图，过点O作OE⊥CD于点E，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠COD=120°，∵BC=4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB=90°，∠OCD=30°，∴OC=OD=2，∴OE=1，∴CE=√3，∴CD=2CE=2√3，图中阴影部分的面积=S扇形COD −S△COD=120⋅π×22360−12×2√3×1=4π3−√3，故选：A．根据三角形的内角和得到∠B=60°，根据圆周角定理得到∠COD=120°，∠CDB=90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．8.【答案】B【解析】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(−1,0)和B(3,0)，∴对称轴为：x=1，∴−b2a=1，∴b=−2a，∴2a+b=0，所以①正确；②观察函数图象可知：当−1≤x≤3时，y>0，所以②错误；③∵抛物线开口向下，当x>1，x1<x2时，y随x的增大而减小，∴y1>y2；当x<1，x1<x2时，y随x的增大而增大，∴y1<y2；∴③错误；④当x=−1时，y=0，∴a−b+c=0，∵b=−2a，∴3a+c=0，∴④正确．所以正确的有①④．故选：B．①根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(−1,0)和B(3,0)，可得对称轴为：x=1，所以b=−2a，进而可以判断①；②观察函数图象可得，当−1≤x≤3时，y>0，进而可以判断②；③根据抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小即可判断③；④观察函数图象可得当x=−1时，y=0，再根据b=−2a，即可判断④．本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．9.【答案】6.5×104【解析】解：65000=6.5×104，故答案为6.5×104，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10.【答案】k<1【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=4−4k>0，解得：k<1，则k的取值范围是：k<1．故答案为：k<1．11.【答案】8【解析】解：∵CD⊥OB，CD=4，∴CE=DE=12在Rt△OCE中，OE=2−42=3，∴AE=AO+OE=5+3=8(cm)．故答案为8．CD=4，然后利用勾股定理计算出OE，再计算AO+OE 利用垂径定理得到CE=DE=12即可．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．12.【答案】√2−1【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =√S△ADES△ABC=√S△ADES△ADE+S四边形BDEC=√12=√22，∴AD=√22AB，∴BD=AB−AD=2−√22AB，∴BDAD =2−√22AB√22AB=√2−1．故答案为：√2−1．由DE//BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出AD=√22AB，结合BD=AB−AD可得出BD=2−√22AB，进而可得出BDAD=√2−1．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，找出AD=√22AB是解题的关键．13.【答案】95cosαm【解析】解：过A点作AD⊥BC于点D，∵BC=3+0.3×2=3.6(m)，∴BD=12BC=1.8m，∴AB=BDcosα= 1.8cosα=95cosα(m)．故答案为：95cosαm．过A点作AD⊥BC于点D，先根据题目中的数据求得BD，再解直角三角形求得结果．本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质，构造直角三角形是解题关键．14.【答案】11【解析】解：设点C坐标为(a,b)，∵顶点B、D分别在x轴和直线y=−3上，∴点B，点D的纵坐标分别为0，−3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴−3+02=4+b2，∴b=−7，∴点C在直线y=−7上运动，∴当AC⊥直线y=−7时，AC的长度有最小值，∴对角线AC的最小值=4−(−7)=11，故答案为：11．设点C坐标为(a,b)，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求b=−7，可得点C在直线y=−7上运动，由垂线段最短可求解．本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，中点坐标公式，确定点C的运动轨迹是本题的关键．15.【答案】解：由题可知在Rt△PAB中，∠APB=30°，AB=20(海里)，BC=40(海里)，∴PB=2AB=40(海里)，∴PB=BC=40(海里)，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，∵PA=AB⋅tan60°=20√3(海里)，∴PC=2×20√3≈69.3(海里)．【解析】本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°．首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题．16.【答案】解：由题意得，k=xy=2×3=6∴反比例函数的解析式为：y=6x．设B点坐标为(a,b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2,b)，∵反比例函数y=6x的图象经过点B(a,b)∴b=6a，∴AD=3−6a．∴S△ABC=12BC⋅AD=12a(3−6a)=6，解得a=6，∴b=6a=1∴B(6,1)．【解析】首先根据点A的坐标求得函数的解析式，然后作AD⊥BC于D，则D(2,b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．17.【答案】解：(1)y=(x−50)[50+5(100−x)]=(x−50)(−5x+550)=−5x2+800x−27500所以y=−5x2+800x−27500(50≤x≤100)；(2)y=−5x2+800x−27500=−5(x−80)2+4500∵a=−5<0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．【解析】(1)根据“利润=(售价−成本)×销售量”列出方程；(2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．此题考查二次函数的实际应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．18.【答案】(1)解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∵D为AB边的中点，∴CD=BD=AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD=∠A=30°，∵∠CDE=90°，∴∠CED=60°，∴∠EDA=30°；(2)解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD=30°，∴tan30°=DECD，∴DECD =√33，∵∠FDG=∠CDE=90°，∴∠FDC=∠GDE，∴∠FCD=∠GED=60°，∴△FCD∽GED，∴GEFC =DECD=√33，∴FC=√3GE．【解析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质得出CD=BD=AD，即可得出∠ACD=∠A=30°，进而根据三角形外角的性质得到∠EDA=30°；(2)解直角三角形求得DECD =√33，然后通过证得△FCD∽GED，求得FC=√3GE．本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．19.【答案】解：(1)连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；(2)由题意可知AB=5×2=10，AC=4√5，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=√102−(4√5)2=2√5，∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴ODBC =AOAC，即2√5=4√5，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：(x+2.5)2=x2+52，解得：x=154，即MC=154．【解析】(1)连接OC，利用切线的性质证明即可；(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．20.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点代入抛物线解析式{a −b +c =09a +3b +c =0c =3，即得：{a =−1b =2c =3，∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；(2)由y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，则顶点P(1,4)，对称轴为直线x =1，∴H(1,0)，∴PH =4，BH =2，∵B(3,0)，C(0,3)，∴直线BC 解析式为y =−x +3，∴点E(1,2)，∵B(3,0)，C(0,3)，∴OB =OC ，∴∠CBO =45°，若点G 在直线AB 的上方时，∵PH ⊥AB ，∠CBO =45°，∴∠HEB =45°，∴∠PBE +∠BPE =45°，∵∠GBA +∠PBE =45°，∴∠BPE =∠GBA ，∴tan∠BPH =tan∠GBA =BH PH =OFOB ，∴24=OF 3，∴OF =32， ∴点F(0,32)，∴直线BF 解析式为：y =−12x +32，联立方程组可得：{y =−12x +32y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=3y 1=0或{x 2=−12y 2=74， ∴点G 的坐标为(−12,74)；若点G 在直线AB 的下方时，由对称性可得：点F′(0,−32)，∴直线BF 解析式为：y =12x −32，联立方程组可得：{y =12x −32y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=−32y 1=−94或{x 2=3y 2=0， ∴点G′的坐标为(−32,−94)，综上所述：点G 的坐标为(−12,74)或(−32,−94)；(3)存在，∵点E(1,2)，顶点P(1,4)，∴PE =2，PH =4，∴EH =2=PE ，如图2，过点P 作PQ//BC ，交抛物线于Q ，此时△QEB 与△PEB 的面积相等，∵PN//BC ，点P 坐标(1,4)，直线BC 解析式为y =−x +3，∴PQ 解析式为y =−x +5，联立方程组得：{y =−x +5y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=1y 1=4或{x 2=2y 2=3， ∴点Q(2,3)，过点H 作HQ′//BC ，交抛物线于Q′，∴PQ//BC//HQ′，∵PE =EH ，∴PQ 与BC 之间的距离=BC 与HQ′之间的距离，∴△QEB 与△PEB 的面积相等，∵PQ//BC ，点H(1,0)，直线BC 解析式为y =−x +3，∴直线Q′H 的解析式为：y =−x +1，联立方程组得：{y =−x +1y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=3−√172y 1=−1+√172或{x 2=3+√172y 2=−1−√172，∴点Q的坐标为(3−√172,−1+√172)或(3+√172,−1−√172)，综上所述：点Q的坐标为(2,3)或(3−√172,−1+√172)或(3+√172,−1−√172).【解析】(1)把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；(2)分两种情况讨论，由锐角三角函数可求OF的长，可求点F坐标，可得BF解析式，联立方程组可求点G坐标；(3)由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点Q的坐标．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，三角形的面积公式，一次函数的性质，联立方程组求点的坐标是本题的关键．。