绝对值不等式知识点及典型练习题

绝对值不等式知识点及典型练习题

1. 解绝对值不等式的基本思想：解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方。

2. 注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题。

||a|-|b||£|a+b|£|a|+|b|；||a|-|b||£|a-b|£|a|+|b|；并指出等号条件。

3. （1）|f（x）|

（2）|f（x）|>g（x）Ûf（x）>g（x）或f（x）<-g（x）.（无论g（x）是否为正）。

（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）

左边在时取得等号，右边在时取得等号。

例1 解不等式

分析：不等式（其中）可以推广为任意都成立，且为代数式也成立。

解：原不等式又化为

∴原不等式的解集为

点评：可利用去掉绝对值符号。

例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。

解法一：分区间去绝对值（零点分段法）：

∵||x+3|-|x-3||>3。

∴（1）Þx<-3；

（2）Þ3/2

（3）Þx>3

∴ 原不等式的解为x<-3/2或x>3/2。

解法二：用平方法脱去绝对值：

两边平方：（|x+3|-|x-3|）2>9，即2x2+9>2|x2-9|；

两边再平方分解因式得：x2>9/4Þx<-3/2或x>3/2。

例3 解不等式|x2-3|x|-3|£1。

解：∵|x2-3|x|-3|£1。

∴-1£x2-3|x|-3£1

∴Þ

∴ 原不等式的解是：£x£4或-4£x£

点评：本题由于运用了x∈R时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论。

例4 求使不等式|x-4|+|x-3|

解：设f（x）= |x-4|+|x-3|，

要使f（x）

由三角不等式得：

f（x）=|x-4|+|x-3|³|（x-4）-（x-3）|=1，

所以f（x）的最小值为1，

∴ a>1

点评：本题对条件进行转化，变为最值问题，从而简化了讨论。

例5

证明：