2.3 函数的微分及应用

论 无 u是 变 还 中 变 , 函 自 量 是 间 量 数 结论： 结论： y = f (u) 的 分 式 是 持 一 式 微 形 总 保 同形 ，
微分形式的不变性
dy = f ′(u)du
例 2.3.6
设y = e
2
sin 2 x
, 求dy
解法1 把 sin x当作自变量 解法
dy = e
sin 2 x
( f ′(x0 ) ≠ 0且∆x很 时 小 )
例 半径10厘米的金属圆片加热后 ，半径伸长了 0.05
厘米， 厘米，问面积增大了多 少？ 解 记金属圆片的半径为 r ，面积为 S ， 则 S = π r 2 ,
厘米、 厘米时， 当 r = 10 厘米、 ∆ r = 0 . 05 厘米时，
= π (厘米 2 ). ∆ S ≈ d S = 2 π r ⋅ ∆ r = 2π × 10 × 0.05 平方厘米。 面积增大了约 π 平方厘米。 答：
设函数 y = f ( u ) 可微 ,
(1) 若 u是自变量 , 则 dy = f ′( u )du ;
即 u = ϕ ( x ), 则构成复合函数 y = f [ϕ ( x )], ( 2 ) 若 u 是 中间变量 , 而是 x 的可导函数 ϕ ( x )
∴ dy = y′dx = f ′( u)ϕ ′( x )dx = f ′( u)[ϕ ′( x )dx ] = f ′( u)du.
( 2) Q d ( x 2 ) = ( x 2 )′dx = 2xdx ,
∴ d( x ) = 2 xdx.
2
课堂 练习:
P .2 63
d (x2 + c = 2 xdx )
*六、微分在近似计算中的应用 六
1. 求函数增量的近似值 :
∆y |x=x0 = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ dy |x=x0 = f ′( x0 )⋅ ∆x.
函数和、 2. 函数和、差、积、商的微分法则
2.函数和、差、积、商的微分法则 若 u (x),v 在 x 可微，则 (x)
( 1 )d ( u ( 3 )d ( u ( 4 )d (
±
v ) =
du
±
dv + u( x )d v
( 2 )d ( c u ) = u ) = v
cdu v( x )d u v( x )d u − u( x )d v 2 (x)
d sin x
2
=e
=e
sin 2 x
sin 2 x
⋅ 2 sin x ⋅ d sin x
⋅ 2 sin x ⋅ cos xdx
=e
sin 2 x
sin 2 xdx
解法 2
把 sin x当作中间变量
2
解 : y′ = (e
=e
sin 2 x
)′
2
sin 2 x
(sin x )
′
=e
sin 2 x
sin 2 x
1− 3 x 1− 3 x
Q (e1− 3 x )′ = −3e1− 3 x , d cos x = − sin xdx .
∴ dy = cos x ⋅ ( −3e )dx + e ⋅ ( − sin x )dx
= − e1 − 3 x ( 3 cos x + sin x )d x .
微分形式的不变性(复合函数的微分法则 微分形式的不变性 复合函数的微分法则) 复合函数的微分法则
dy = y′dx = −2
− sec x
sec x tan x ln 2dx
P 63 : 1 ( 8 ) y = ( e + e
x
−x
)
3
, 求dy .
−x −x
y′ = 3 ( e + e
x
−x −x
= 3(e + e
x
) (e ) (e
2 2
2 x
x
+e −e
x
) )
′
dy = 3 ( e + e
• v ) =
v
注解： 注解：只有v(x)≠0,上述(4)式才成立
例 设 y = ln( x + e ) , 求 dy . 解 x2
x2
Q y′ =
1 + 2 xe x+e
1− 3 x
x2
,
∴ dy =
1 + 2 xe x + ex
x2
2
dx .
例 解
设 y=e
乘法
cos x , 求 dy .
dy = cos x ⋅ d(e1− 3 x ) + e1 − 3 x ⋅ d(cos x )
2
2 0
= 2 x0 ⋅ ∆x + ( ∆x ) .
2
2 S = x0
x0∆x
x0
(1)
(2)
(1) :
(2) : ∆x 的 阶 穷 , 当∆x 很 时 忽 . 高 无 小 小 可 略
∴ ∆S = 2 x0 ∆x + ο (∆x )(∆x → 0 )
p24
再如, 再如
设函数 y = x 3 在点 x 0 处的改变量为 ∆ x 时 , 求函数的改变量 ∆ y .
1 f ′(1) = . 2
有
1.05 = f (1.05) = f (1 + 0.05)
≈ f (1) + f ′(1) ⋅ 0.05
1 = 1 + × 0.05 = 1.025 2
∴ 1.05 ≈ 1.025
f ( x) 在 x = x0 附 的 似 : 点 近 近 值
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )⋅ ∆x.
当 ∆ x 很小时 , 在点 M 的附近 , 切线段 MP 可 ( 近似 ) 代替曲线段 MN .
四、微分的运算法则
⇒由
微分求法（1）: 微分求法（ 求法
dy = f ′(x)dx
⇒
计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 计算函数的导数 乘以自变量的微分
1. 基本函数的微分公式
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos x d x d (tan x ) = sec 2 x d x d (sec x ) = sec x tan x d x d(a x ) = a x ln adx d ( x µ ) = µ x µ − 1d x d (cos x ) = − sin x d x d (cot x ) = − csc 2 x d x d (csc x ) = − csc x cot x d x d( e x ) = e x dx
x P 63 : 1 ( 5 ) y = ln tan , 求dy . 2
dy = y′dx = csc xdx
P 63 : 1 ( 7 ) y = 2
1 − cos x
1 − cos x
, 求dy .
1 ′ − 1 ′ ln2 cos x ′=2 y ( −sec x) − cos x ln2 = 2 − sec x = −2 sec x tan x ln2
2.3
函数的微分及应用
一、问题的提出 二、微分的定义 三、微分的几何意义 四、微分的运算法则 五、微分的运算 六、*微分在近似计算中的应用 微分在近似计算中的应用 七、小结
教学目标: 教学目标
掌握微分的概念及运算,了解微分的 掌握微分的概念及运算 了解微分的 几何意义及微分的运用. 几何意义及微分的运用
2. 求 f ( x) 在 x = x0 附 的 似 : 点 近 近 值
例 解
P62
小 f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )⋅ ∆x. ( ∆x很 时)
计算
1.05 的近似值 .
记 f ( x) =
x,
则 f ′( x ) =
由 f (1) = 1 ,
1 2 x
,
取 x0 = 1, ∆x = 0.05 ,
1 d(log a x ) = dx x ln a 1 d(arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d(arctan x ) = dx 2 1+ x
1 d(ln x ) = dx x 1− x 1 d(arc cot x ) = − dx 2 1+ x
2
d(arccos x ) = −
1
dx
3 2 ∆ y = ( x 0 + ∆ x ) 3 − x 0 = 3 x 0 ⋅ ∆x + 3 x 0 ⋅ ( ∆ x ) 2 + ( ∆ x ) 3 .
(1)
(2)
∆ 高 无 小 当 ∆x 很小时 , (2)是 x的 阶 穷 o(∆x),
2 ∴∆y ≈ 3x0 ⋅ ∆x.
既容易计算又是较好的近似值
教学重点与难点: 教学重点与难点
微分的运算 微分在近似计算中的运用
一、问题的提出——近似计算问题 近似计算问题
例2.3.1：正方形金属薄片受热后面积的改变量 2.3.1： 。 (∆x)2 x ∆x 设边长由 x 0 变到 x 0 + ∆ x ,
0
Q 正方形面积 S = x0 ,
2
x0∆x
∆x
∴ ∆S = ( x 0 + ∆x ) − x
'
dy = f (x)∆x
'
dx ⇒dy = f ( x)dx(Q 由定 义知 = ∆x)
'
例2.3.3
求函数 y = x 在x0 = 1, ∆x = 0.03处的改变量和微分 。
3
解:
∆y = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
= ( x 0 + ∆x ) − x 0
3
3
= (1 + 0.03) 3 − 13
问题： 问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数 (改变量的线性主要部分 ？如果有，它是什么？如 改变量的线性主要部分)？ 改变量的线性主要部分 如果有，它是什么？ 何求？ 何求？
二、微分的定义
定义 定义 2.5
P59
设函数 y = f ( x )在点x处可导 ， 并取得改变量 ∆x , 则称 f ( x )∆x为函数 f ( x )在点x处的微分 ， 记作
f 而 ' ( x) = 3x2 ⇒dy = 3x2∆x
∆x=0.03
= 0 . 092727
以 所 dy x=1
= f ' (1)⋅ ∆x = 3×0.03 = 0.09
∆ y 与 dy 比较可知
∆y − dy = 0.092727 − 0.09 = 0.002727(极微小 ， 可忽略不计 ）
∆ ) 即 y ≈ dy( ∆x 很小
课堂练习： 课堂练习：
P63. 1.(5)(7)(8)(9)
x ′ 1 x x ′ 2 ′= y sec tan 2 = 2 x x 2 tan tan 2 2 1 1 1 = = = = csc x x x x sin x sin 2sin cos 2 cos 2 x 2 2 2 x 2 cos 2 1
dy = d sin( 2 x + 1) = (sin( 2 x + 1))′2 x + 1 d( 2 x + 1) = cos( 2 x + 1)d( 2 x + 1) = cos( 2 x + 1) ⋅ 2dx = 2 cos( 2 x + 1)dx .
例
设 y = e − ax sin bx , 求 dy . 解 dy = d(e − ax sin bx ) = de − ax ⋅ sin bx + e − ax ⋅ d sin bx − ax − ax = e d( −ax ) ⋅ sin bx + e ⋅ cos bx ⋅ d(bx ) = e − ax ( −adx ) ⋅ sin bx + e − ax ⋅ cos bx ⋅ (bdx ) = e − ax (b cos bx − a sin b x )dx .
2 sin x (sin x )
2 sin x cos x
′ )
=e
=e
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
于是dy = y′dx = e
sin 2 xdx
微分求法： 利用微分的形式不变性(复合函数求导法)。 微分求法： 利用微分的形式不变性(复合函数求导法) 例3 设 y = sin( 2 x + 1), 求dy .
x
−x
) (e
−e
−x
) dx
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在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 例 在下列等式左端的括号中填入适当的函数 使 等式成立. 等式成立
(1) d( ) = cos ωtdt ;
( 2) d() = 2 xdx .
解 (1) Q d(sin ωt ) = ω cos ωtdt ,
1 1 ∴ cos ωtdt = d(sin ωt ) = d( sin ωt ); ω ω 1 ∴ d( sin ωt + C) = cos ωtdt . ω
三、微分的几何意义 y
T
C: y=f(x) 在 M(x0, f(x0)) 的切线 T：y- f(x0)= f′(x0)(x- x0) ： = f′(x0)∆x = dy ∆
切线纵坐标的增量 。
o
y = f (x)
）
N P M
dy ∆y
o( ∆ x )
∆x
α
x0
x0 + ∆x
x
⇒ dy | x = x 0 = f ′( x0 )∆x 是 C : y = f ( x ) 在 M( x0 , f ( x0 )) 点的
P62