其他抽样方法

其他抽样方法
一、二重抽样
二重抽样是指在抽样时分两步抽取样本，每一步抽取一个样本。

一般情况下，先从总体N 中抽取一个较大的样本n '，称为第一重样本，对之进行调查以获得总体的某些辅助信息，为下一步的抽样估计提供条件。

然后进行第二重抽样，第二重抽样所抽的样本n 相对较小，但是第二重抽样调查才是主调查。

一般地，第二重样本是从第一重样本中抽取的，即第一重样本的子样本，但是有时也可以从总体中独立抽取。

二重抽样与两阶段抽样在概念上很容易引起混淆。

虽然二者都可以被视为分阶段抽样方法，但是二重抽样与两阶段抽样的差异还是很显著的。

首先，两阶段抽样是先从总体N 个单元（初级单元）中抽出n 个样本单元，却并不对这n 个样本单元中的所有小单元（二级单元）都进行调查，而是在其中再抽出若干个二级单元进行调查；二重抽样则不同，要对第一重样本进行调查以获取总体的某些辅助信息，并且要利用这些辅助信息进行排序、分层、抽样或估计。

其次，两阶段抽样的第一阶段抽样单位和第二阶段抽样单位往往是不同的，比如第一阶段抽样单位是居委会，第二阶段抽样单位是住户；而二重抽样的第二重样本则往往是第一重样本的子样本，两次抽样的单位是相同的。

二、分层的二重抽样
进行分层抽样有一个前提，即需要将总体N 个单元划分为L 个互不重叠的层，而且需要知道各层的权重N
N W h
h =。

如果事先无法知道总体的权层，则可采用二重分层抽样方法。

1、符号说明
用下标h 表示层数，L h ,,2,1 =
h N :总体第h 层的单元数；总体单元数∑==L
h h N N 1
h
n ':第一重样本第h 层的单元数；第一重样本单元数∑='='L
h h n n 1 h n :第二重样本第h 层的单元数；第二重样本单元数∑==L
h h n n 1
N N W h h =
:总体单元第h 层的权重；n n w h h
'
'
=':第一重样本第h 层的权重 h
h
hD n n f '=
:第二重样本第h 层的抽样比，10≤<hD f hj y :第二重样本第h 层j 单元的观测值，L h n j h ,,2,1;,,2,1 ==
∑==
h
n j hj
h
h y
n y 1
1:第二重样本第h 层样本单元的平均数
2S :总体方差；2
h S :第h 层的总方差；2h
s ':第一重样本第h 层方差 ∑=--=h
n j h hj h h
y y n s 1
22)(11:第二重样本第h 层方差 2、抽样方法
第一步：利用简单随机抽样，从总体的N 个单位中随机抽取第一重样本，样本单
位数为n '；根据已知的分层标志将第一重样本分层，令n
n w h
h
''='L h ,,2,1 =，则h
w '是总体权层h W 的无偏估计。

第二步：利用分层随机抽样，从第一重样本中抽取第二重样本，样本单位数为n ，第h 层样本单位数为h n ，∑==L
h h n n 1。

3、估计量及其性质
采用二重分层抽样，对总体均值Y 的估计量为：∑='=L
h h h
stD y w y 1 定理1：估计量stD y 是Y 的无偏估计，即Y y E stD =)(
定理2：stD y 的方差为：∑=-'+-'=L h hD h h stD f n S W S N n y V 1
2
2)11
()11()(，式中，2S 是
总体方差；2
h S 是第h 层的总方差；hD f 是第二重样本第h 层的抽样比。

定理3：)(stD y V 的样本估计量为：（)(stD y v 是)(stD y V 得近似无偏估计）
∑∑==-'-'+''-=L h stD h h h h L
h h h stD y y w N n s w n n y v 12221)()11()11()(，式中,2
h s :第二重样本第h 层方差。

当二重抽样比
h
h n n '和N n '
都可以忽略不计时，上式可以简化为： ∑∑==-''+'≈L
h stD h h
L
h h h h stD y y w n n s w y v 121
2
2)(1)( 例1:某银行要调查其客户的资产情况。

已知该银行的客户数位8000，针对客户
规模差异较大的特点，拟采用分层抽样。

但是由于缺乏现有的分层资料，决定采用二重分层抽样方法，第一重样本量n '=1000，根据其自报的资产情况可分为
4层：第一层为300万元以下；第二层为300万元~1000万元；第三层为1000万元~2000万元；第四层为2000万元以上。

然后在第一重样本分层的基础上，在各层分别抽取第二重样本。

第二重样本量n=2004
1=∑=h h n 。

通过对这200位客
户进行详细的调查，取得有关数据整理如下表所示，试估计该银行所有客户的资产总额及其抽样标准误差。

分层
第一重样本 第二重样本
样本均值h y
（百万元） ∑j
hj
y
2
2j s
300万元以下 540 80 2 400 1.01 300~1000万元 320 60 7 3100 2.71 1000~2000万元 100 40 15 9600 15.38 2000万元以上 40
20 40 45120 690.53 合计 1000
200
解：计算各层的权重：
1
w '=0.54，2w '=0.32，3w '=0.10，4w '=0.04 该银行客户的平均资产额估计为：
∑='=L
h h h
stD y w y 1
=0.54×2+0.32×7+0.10×15+0.04×40=6.42（百万元） 该银行共有8000客户，故全部客户资产总额为：
stD
y N Y =ˆ=8000×6.42=51360（百万元） stD y 的方差估计为：∑∑==-'-'+''-=L h stD h h h h L
h h h stD y y w N n s w n n y v 122
21)()11()11()( 第一项：
53.69004.0)40
1201(01.154.0)5401801()11(
222
21
⨯⨯-++⨯⨯-=''-∑= h h L
h h h s w n n
=0.0368
第二项：
]
)42.640(04.0)42.62(54.0)[80001
10001()()11(2212-⨯++-⨯-=-'-'∑= L h stD h h y y w N n
=0.0552
因此：)(stD y v =0.0368+0.0552=0.092 该银行客户资产总额的抽样标准误差的估计：
)()()ˆ(stD stD y v N y Ns Y s ===2426.52（百万元） 三、捕获再捕获抽样
1、捕获再捕获估计
捕获再捕获抽样的基本思想是从总体中抽取一个样本，将样本的每个个体标识（作标记或加标签）后释放回总体，经过一段时间的充分混合后，再从总体中抽取一个样本，此时，该样本将包括已标识和为标识的和未标识的个体，利用这两个样本的信息对总体数量估计。

案例：假如想估计湖中鱼的数量N。

一个方法是从湖中捕获200条鱼做上标识后放回湖中，让它们与湖中未作标记的鱼混合。

然后，从湖中再捕获100条鱼，这次与第一次捕获是相互独立的。

假设第二次捕获的鱼中有20条是已经做了标识的，同时假定两次捕获中间湖中鱼的总体没有发生变化，且每次从湖中捕鱼都是简单随机抽样，那么就可以得到这样的估计：湖中的鱼有20%做了标记，这就相当于那200条作了标记的鱼近似代表了湖中鱼总体的20%。

因此N的估计值就近似等于1000。

这种方法依赖于以下假定：
（1）总体是封闭的—两次抽样间没有鱼进入或离开该湖。

即对每次抽样而言，N 是相同的。

（2）每次样本都是来自总体的简单随机抽样。

即湖中每条鱼都有相同的机会被捕获—有时并不是这样，比如那些小鱼或健康状况稍差的鱼比较容易被捕获，并且湖中没有不会捕获的“隐藏的鱼”。

（3）两个样本是独立的。

即第一次捕获并作了标记的鱼被放回湖中后跟总体再次混合，标记与否跟第二次捕获的概率没有关系。

而且，第一次被捕获的鱼并不会因此而对是否再次被捕获产生喜恶，从而第二次被捕获的概率与其是否曾被捕获过没有关系。

（4）鱼不会丢失其标记，从而有标记的鱼可以被识别。