2015中考数学解直角三角形精选试题
2015-2023北京中考真题数学汇编：解直角三角形及其应用
2015-2023北京中考真题数学汇编解直角三角形及其应用(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)AE BE =，2AB =，1tan 2ACB ∠=2．（2021北京中考真题）如图，在四边形垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分,5,cos BAC BE B ∠==3．（2020北京中考真题）如图，AB 为⊙OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：∠ADC=∠AOF ；（2）若sinC=13，BD=8，求EF 的长．二、问答题4．（2021北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若值，以及相应的BC 长．5．（2020北京中考真题）在平面直角坐标系如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为连接点A 与点的线段的长度等于线段（2）若点A ，B 都在直线3y x =+（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段6．（2015北京中考真题）在平面直角坐标系于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点特别地，当点P ′与圆心C 重合时，规定（1）当⊙O 的半径为1时．∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）设半径为r，在Rt △OCD 中，1sin 3C =，∴13OD OC =，∴3OD r OC r ==，，∵OA=r ，∴AC=OC-OA=2r ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ，∴12OE OA BD AB ==，∴OE=4，3OF OC通过观察图象可得：线段22B C 能绕点得到；故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得∴12B D DC ''==，∴2232OD OB B D ''=-=，AD AB =∴3OA =，∴3t =；当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：由运动轨迹可得当点A 也在O 上时为最小，最小值为∴90AB C ''∠=︒，∴30AC B ''∠=︒，∴cos303BC B C AC '''==⋅︒=；由以上情况可知当点,,A B O '三点共线时，连接,OC B C '''，过点C '作C P OA '⊥于点P ∴1,2OC AC OA ''===，设OP x =，则有2AP x =-，∴由勾股定理可得：222C P AC AP OC ''=-=解得：14x =，∴154C P '=，∴34B P OB OP ''=-=，（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为且长度为1的弦即可；点A到O的距离为2235222 AO⎛⎫=+=⎪．平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=12,A2M=3 2 ,=22339⎛⎫,∴2d 的取值范围为：233922d ≤≤．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．6．（1）①见解析；②0＜x ＜2；（2）圆心C 的横坐标的取值范围是【分析】（1）①根据反称点的定义画图得出结论；②∵（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤，2x 2－4x ≤0，x （x －0），P ′（2，0）不符合题意P （0，2），P ′（0，。
中考《解直角三角形》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。
中考数学专题练习 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣103．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为m．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为cm．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是（提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．22．比较大小：sin33°+cos33°1．（可用计算器辅助）23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．三、解答题24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．25．计算：．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）27．计算：．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此时太阳光线AB的入射角∠ABD=55°，为使第二层起能照到阳光，两楼间距EF至少是多少米（精确到0.1米）．（参考数据：tan55°=1.4281，tan35°=0.7002）．32．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60度．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（精确到0.1米）33．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C与AB的延长线上的点D重合，已知BC=6．（1）三角尺旋转了多少度？连接CD，试判断△BCD的形状；（2）求AD的长；（3）连接CE，试猜想线段AC与CE的大小关系，并证明你的结论．34．计算：35．计算：（﹣2）3+（）﹣1×cos60°﹣（1﹣）0．36．计算：﹣22+（）0+2sin30°．37．又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.5m；乙：我们相距20m．请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．（精确到1米）38．如图，有两棵树，一棵高14m，另一棵高10m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？39．如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，坝高AE=6 m，斜坡AB的坡比i=1：2，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长．40．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆25米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040，cot22°=2.4751．41．兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）42．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．43．如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC 的夹角α为8°（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）解直角三角形参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先判定此三角形为直角三角形，再根据锐角三角函数的定义，分别求得sinA、cosB、tanA、tanB的值，即可判断．【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC是直角三角形，其中∠C是直角．∴sinA=，cosB=，tanA=，tanB=，故选A．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣10【考点】等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．【解答】解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．【点评】本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x 的值是解题的关键．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．∴cos∠AOB===．故选：A．【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=；因而b=ccosA=atanB，a=csinA=ccosB=btanA=，错误的是b=c•cosB．故选A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC∴DB=BE，BE=DE∵DE⊥BC，BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∵∠BHE=∠DHF∴∠EBH=∠CDE∴△BEH≌△DEC∴∠BHE=∠C，BH=CD∵▱ABCD中∴∠C=∠A，AB=CD∴∠A=∠BHE，AB=BH∴正确的有①②③故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】垂线段最短；坐标与图形性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y=x的斜率为1，所以∠AOB=45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC=BC=．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴，垂足为C，则BC为中垂线，则OC=BC=．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故选：C．【点评】本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据切割线定理CA2=CD•CB可得CA=4，然后在Rt△ABC中，利用CA=4，BC=8可以求出sinB．【解答】解：如图，∵CA切⊙O于A，∴CA2=CD•CB，又CD=2，BD=6，∴CA=4．在Rt△ABC中，CA=4，BC=8，故sinB==．故选A．【点评】此题主要考查锐角三角函数的概念及切割线定理等知识．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】由勾股定理易得AC的值，进而根据三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，由勾股定理得：AC=12．则tanA==．故选A．【点评】本题要求学生熟练掌握三角函数的定义与解直角三角形的方法．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．∴tanB=．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．又∵sin2B+cos2B=1，∴sinB==，∴tanB===．故选A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC﹣DB=CD即可求出建筑物AB的高度．【解答】解：根据题意可得：BC==AB，BD==AB．∵CD=BC﹣BD=AB（﹣1）=12，∴AB=6（+1）．故选A．【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力．11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值；等边三角形的性质．【分析】先根据等边三角形的性质求出α的度数，再根据cos60°=即可解答．【解答】解：∵α为等边三角形的一个内角，∴α=60°．∴cosα=cos60°=．故选A．【点评】本题考查的是等边三角形的性质及特殊角的三角函数值，比较简单．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】压轴题．【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．【解答】解：AD=AB•sin60°=50；BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．∴AC==100．故选D．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】运用特殊角三角函数值计算．【解答】解：原式===．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为18 m．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】过C作CF⊥AB，过D作CF⊥AB，根据CF的长和坡度即可求得AE、BF的值，根据AB=AE+EF+BF 即可计算AB，即可解题．【解答】解：如右图，过C作CF⊥AB，过D作DE⊥AB，DE=CF=4m坡度===，∴AE=BF=6m，∴AB=AE+EF+FB=6+6+6（m）=18m．故答案为 18．【点评】本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，本题中求AE、BF的长是解题的关键．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为210 cm．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答．【解答】解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．∵坡度!=BD：DC=1：4.5，∴DC=270，∴AC=DC﹣AD=270﹣60=210（cm）．【点评】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为 5.1 m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】树高等于CD与DE的和，利用三角函数求CD长即可．【解答】解：∵∠CAD=30°，AD=6．∴CD=2．∴树的高=1.6+2≈5.1（米）．【点评】此题主要考查三角函数定义的应用．18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是 1 ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据三角函数的定义即可求出tan∠ABO的值．【解答】解：利用三角函数的定义可知tan∠ABO==1．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】由题意得，AC：BC：AC=3：4：5，即可求得sinA的值．【解答】解：设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理可得AB=5x，∴sinA=BC：AB=．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是3，4 （提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点（点B，C除外）．BE，CE的长分别为两个小正方形的边长．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题；开放型．【分析】①使得a2+b2=52．由直角三角形勾股定理的很容易联想到a、b的值是3、4；②要求设计一般性的剪裁，则先分割出来一个边长为4的正方形，再把剩下的部分分为两个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，四个四边形拼成一个边长为3的正方形．【解答】解：①要使得a2+b2=52．考虑到直角三角形的特殊情况，a，b的取值可以使3，4一组（答案不唯一）；②裁剪线及拼接方法如图所示：按照上图所示剪裁，先剪一个边长是4的正方形；剩下的剪三个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，然后将这些拼接成边长为3的正方形即可．【点评】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力．解决本题的关键是紧紧抓住a2+b2=52这个已知条件及剪拼过程面积不变的这个线索．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据直角三角形的性质，求得BC，再求得EC，由此可以求出CE，再利用BE=CE﹣BC即可求出EB．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=4，∠A=45°，∴BC=4×=4在Rt△EDC中，∵∠EDC=60°，DE=6，∴CE=DE•sin∠EDC=6×=3∴BE=CE﹣BC=3﹣4．故填空答案：3﹣4．【点评】本题利用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质求解．22．比较大小：sin33°+cos33°＞1．（可用计算器辅助）【考点】计算器—三角函数．【专题】计算题．【分析】先利用计算器求出33°的正弦值和余弦值，再计算两者之和，与1比较即可．【解答】解：∵sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，∴sin33°+cos33°≈0.545+0.839≈1.384＞1．故答案是＞．【点评】本题考查了计算器计算三角函数值，注意一般取到小数点后3位．23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB===5．∴sinA==．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．三、解答题24．（2009•枣庄）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x﹣2）2+1，把O（0，0）代入即可；（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为﹣3即可，将y=﹣3，代入解析式可求M点坐标；（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵抛物线过原点，∴a（0﹣2）2+1=0，a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+x．（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB，∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是﹣3．∴﹣3=﹣x2+x，即x2﹣4x﹣12=0．解之，得x1=6，x2=﹣2．∴满足条件的点有两个：M1（6，﹣3），M2（﹣2，﹣3）（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，即OB平分∠AON，设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称，∴A'（2，﹣1）．∴直线ON的解析式为y=﹣x．由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6．∴N（6，﹣3）．过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴NB==．又∵OB=4，∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性．25．计算：．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式==5．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．27．计算：．【考点】实数的运算．【分析】按照实数的运算法则依次计算．【解答】解：原式==2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、乘方、绝对值等考点的运算．注意（﹣1）2010=1，|﹣|=，（π﹣2010）0=1．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】此题可利用两仰角的正切值及CD的高度表示AB，即AB=﹣，求得CD 即可．【解答】解：如图，依题意得∠CBD=60°，∠CAD=45°，AB=20m，设CD=xm，则AB=﹣，20=x﹣x，解得：x=（30+10）m，答：大楼CD的高为（30+10）m．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】本题是一个直角梯形的问题．作CD⊥AB于点D，把求AB的问题转化求AD的长，从而在△ACD中利用三角函数求解．【解答】解：如图，CD=20，∠ACD=60°．在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴=，∴AD=20≈34．又∵BD=1.5，∴塔高AB=34+1.5=35.5（米）．【点评】解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是72°；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）BF与BE的长度相等，则由等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和，得到∠α的度数．（2）由于竿长1米时离地面的高度为0.6米，则有AG：AH=1：0.6，可求得AH的长．（3）由题意知，△CPD∽△PHA，根据相似三角形的对应边相等可求得AH的长．【解答】解：（1）∵BF=BE．∴∠BFE=∠FEB．∴∠α=2∠EFB=72°．（2）∵竿长1米时离地面的高度为0.6米，MN∥AH．∴AG：AH=1：0.6∴AH=3米．（3）在Rt△ABH中，BH=AH÷tan72°=AH÷3=．由题意知，△CPD∽△PHA．∴DP：CP=AH：PH=AH：（PB+BH）=AH：（PB+）．即：a：b=AH：（c+）．解得：AH=．【点评】本题主要用到了等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和；平行线的性质，正切的概念，相似三角形的性质等知识点求解．31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此。
初三数学解直角三角形试题
初三数学解直角三角形试题1.如下图，表示甲、乙两山坡的情况, _____坡更陡。
(填“甲”“乙”)【答案】乙【解析】根据题中已知条件求出各自的坡度比进行比较即可．甲的垂直距离为：，坡度为：乙的坡度为：∵∴乙坡更陡．【考点】解直角三角形的应用点评：勾股定理的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.2.在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。
【答案】【解析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tanB的值．如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，过A作AD⊥BC于D，则BD=8，在Rt△ABD中，AB=10，BD=8，则所以【考点】锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.3.升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米。
(用含根号的式子表示)【答案】8+1.5【解析】先根据仰角的正切函数求得旗杆超过该同学双眼的高度，再加上双眼离地面的高度即可. 由题意得旗杆的高度米.【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，需特别注意.4.李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】D【解析】由tan(α+20°)=1可得tan(α+20°)，根据特殊角的锐角三角函数值即可得到α+20°=30°，从而求得结果.∵tan(α+20°)=1∴tan(α+20°)∴α+20°=30°∴α=10°故选D.【考点】特殊角的锐角三角函数值点评：本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.5.如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为( )A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．1.8sin 80°m D．m【答案】D【解析】根据三角函数的定义结合图形的特征即可求得结果.由题意得∠ACB=80°则挡光板的宽度AC=m故选D.【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，需特别注意.6.计算：cos30°+sin45°；【答案】【解析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果.原式【考点】特殊角的锐角三角函数值点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.7.根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.（1）BC=8，∠B=60°；（2）AC=，AB=2.【答案】（1）∠A=30°，AB=16，AC=8；（2）∠A=∠B=45°，BC=【解析】根据特殊角的锐角三角函数值及勾股定理即可求得结果.（1）∵∠B=60°，∠C=90°∴∠A=30°∵，即∴AC=8∴；（2）∵AC=，AB=2∴∴∠A=∠B=45°.【考点】解直角三角形点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB的长.【答案】16，8【解析】在Rt△ACD中，根据∠CAD的余弦函数即可求得∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，从而得到∠CAB=60°，∠B=90°－∠CAB=30°，再根据∠B的正弦函数即可求得AB的长，从而求得BC的长.在Rt△ACD中，∵cos∠CAD===，∠CAD为锐角.∴∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，即∠CAB=60°.∴∠B=90°－∠CAB=30°.∵sinB=，∴AB===16.又∵cosB=，∴BC=AB·cosB=16·=8.【考点】解直角三角形点评：解直角三角形的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.9.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m。
中考数学专题练习解直角三角形50题
解直角三角形50题一、选择题：1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A.20米B.10 米C.15 米D.5 米2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A.大于B.小于C.大于D.小于6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（）A.1B.C.D.7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A.2mB.2mC.(2﹣2)mD.(2﹣2)m8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米211.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（）Ａ.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90°12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（）A.0.4B.C.0.6D.0.813.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A.22.48B.41.68C.43.16D.55.6314.2sin60°的值等于（）A.1B.C.D.15.在Rt△ABC中，∠ABC=90°、tanA=，则sinA的值为（）A. B. C. D.16.已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°17.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点30米的B处，测得树顶4的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA的值为（）A. B. C. D.19.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.kmB.kmC.kmD.km20.如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为35°,高CD长为3米,则斜梁AC长为（）米．A. B. C.3sin35°D.二、填空题：21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin= ．22.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）23.如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）24.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．25.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．26.如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为30°，然后再向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为60°，那么山高AD为米．27.如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=5,BC=6,则sinC= ．28.某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米，那么他上升的高度是米．29.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.30.同角三角函数的基本关系为：(sinα)2+(cosα)2=1, =tanα.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα=2,则= ．31.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC为32.如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．33.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosC= ．34. (1)如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β= ；(2)如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ-β.此时ɑ-β= 度.35.如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为．36.在△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AB=13，则sinA= ．37.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是．38.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF.以下结论：(1)△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为12.其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．39.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD 翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．40.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM长为．三、解答题：41.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=，求sinC的值．42.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）43.先化解,再求值:，已知，.44.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）45.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE 的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）46.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．47.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）48.如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？（参考数值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）49.如图，在东西方向的海岸线l有一长为2km的码头AB，在码头的西端A的正西29km处有一观测站P，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于P的南偏西30°，且与P相距30km 的C处；经过1小时40分钟，又测得该轮船位于P的南偏东60°，且与P相距10的D 处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船能否正好行至码头AB靠岸？请说明理由．50.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由参考答案1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.D9.D10.D11.C12.D13.B14.C15.A16.B17.C18.C19.B20.D21.答案为：0.5．22.答案为：（5+5）．23.答案为：10．24.答案为：。
2015中考模拟 青岛版九年级数学上册第2章解直角三角形中考原题训练
2015中考模拟青岛版九年级数学上册第2章解直角三角形中考原题训练(附答案)一．选择题（共20小题）．B．C．D．2．（2013•贵阳）如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（）．B．C．D．3．（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．4．（2014•湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）．2D．42．D．6．（2014•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）7．（2014•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）．1，1，C．1，1，D．1，2，8．（2014•滨州）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）9．（2014•连云港）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）A．S1=S2B．S1=S2C．S=S D．S1=S210．（2014•丽水）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）．m D．m11．（2014•德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米12．（2014•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米13．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里14．（2014•绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）．40海里B．40海里C．40海里15．（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km16．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）D．50米A．100米B．50米C．米17．（2014•深圳）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250B．600﹣250 C．350+350D．50018．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，（）在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）19．（2014•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）．B．C．D．20．（2014•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）21．（2014•铜仁）cos60°=_________．22．（2014•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为_________．23．（2014•株洲）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为_________米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．24．（2013•泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为_________海里（取，结果精确到0.1海里）．三．解答题（共6小题）25．（2014•重庆）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．26．（2014•枣庄）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A 处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）27．（2014•聊城）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）28．（2014•烟台）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．29．（2014•莱芜）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）30．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）2015中考模拟青岛版九年级数学上册第2章解直角三角形中考原题训练(附答案)参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）．B．C．D．首先画出图形，进而求出AB的长，再利用锐角三角函数求出即可．解：如图所示：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB===13，则sinA==．故选：D．此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理等知识，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．2．（2013•贵阳）如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（）．B．C．D．锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出tanα=，代入求出即可．解：过P作PE⊥x轴于E，∵P（12，5），∴PE=5，OE=12，∴tanα==，故选C．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinB=，cosB=，tanB=．3．（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）．B．C．D．作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AO===2，则sin∠AOB===．故选：D．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，4．（2014•湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）．2D．4计算题．根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选：A．本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．2．D．根据特殊角的三角函数值计算即可．解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．6．（2014•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°的度数．解：由题意，得cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三7．（2014•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据．1，1，C．1，1，D．1，2，D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”8．（2014•滨州）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）解直角三角形．根据三角函数的定义来解决，由sinA==，即可得BC．解：∵∠C=90°，AB=10，∴sinA=，∴BC=AB×=10×=6．故选：A．本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．9．（2014•连云港）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）．S1=S2B．S1=S2C．S1=S2∠DEH=180°﹣140°=40°，在Rt△ABG中，DH=DE•sin40°=8sin40°，S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．则S1=S2．故选：C．10．（2014•丽水）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）A．9m B．6m C．m D．m在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=3米，∴AB==6米．故选：B．此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．11．（2014•德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）．4米B．6米C．12米D先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．解：在Rt△ABC中，∵i==，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，故选：B．此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解12．（2014•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，∴BC=6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=AB•tan∠BAD=6米，∴DC=CB+BD=6+6（米）．故选：A．本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．13．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）．10海里C．20海里D∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故选：C．本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．14．（2014•绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）．40海里B．40海里C．40海里过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB==40（海里）．故选：A．此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．15．（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km几何图形问题．过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选：C．本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．D．50米米计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等17．（2014•深圳）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）．600﹣250B．600﹣250 C．350+350D．500构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．答：山高CD为（600﹣250）米．故选：B．本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角18．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，（）在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）的长，则BC即可得到．解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴==．设BD=5k（米），AD=12k（米），则AB=13k（米）．∵AB=13（米），∴k=1，∴BD=5（米），AD=12（米）．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8（米），∴BC=10.8﹣5≈5.8（米）．故选：D．本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19．（2014•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．求解．解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选：C．本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边20．（2014•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．计算题．根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．二．填空题（共4小题）21．（2014•铜仁）cos60°=．根据特殊角的三角函数值计算．解：cos60°=．故答案为：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函22．（2014•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为3+．理求出AD，相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构23．（2014•株洲）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为182米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC的长度．解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°，∵=tan20°，∴BC=ABtan20°=500×0.3640=182（米）．故答案为：182．24．（2013•泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为67.5海里（取，结果精确到0.1海里）．可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．解：∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB，设DE=x，则AB=2x，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，则CE=DE=x，在Rt△BDE中，∠DAE=45°，则DE=BE=x，由题意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5（海里）．故答案为：67.5．本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段三．解答题（共6小题）25．（2014•重庆）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．计算题．根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，∴AC===13，∴sinC==．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．26．（2014•枣庄）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A 处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）（2）在Rt△BDE中，根据三角函数即可得到滑动支架的长．解：（1）在Rt△BOE中，OE=，在Rt△BDE中，DE=，则+=30，解得BE≈11（cm）．故B点到OP的距离大约为11cm；（2）在Rt△BDE中，BD=≈26cm．故滑动支架的长约为26cm．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．27．（2014•聊城）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）几何图形问题；数形结合．如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、BE的长度，然后根据图示知：AB=AE﹣BE=100，把相关线段的长度代入列出关于ED的方程﹣=100．通过解该方程求得ED的长度．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E．∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°，∴tan60°=，∴AE=同理，在Rt△EBD中，得到EB=．又∵AB=100米，∴AE﹣EB=100米，即﹣=100．则ED=≈≈323（米）．答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．28．（2014•烟台）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．几何图形问题．延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD﹣CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．解：延长OA交BC于点D．∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=•=（米），∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米），∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．29．（2014•莱芜）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．解：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°．∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE==18米，∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类30．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm，当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H（图2），则∠CEH=60°，CH=HD．在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20•sin60°=20×=10（cm），∴CD=20cm，∴AD=3×20=60≈103.9（cm）．∴103.9﹣60=43.9（cm）．即点A向左移动了43.9cm；（3）当∠CED=120°时，∠DEG=60°，∵DE=EG，∴△DEG是等边三角形．∴DG=DE=20cm，当∠CED=60°时（图3），则有∠DEG=120°，过点E作EI⊥DG于点I．∵DE=EG，∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，在直角△DIE中，sin∠DEI=，∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm．∴DG=2DI=20≈34.6cm．则x的范围是：20cm≤x≤34.6cm．本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120°或60°时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个。
中考数学专项复习(12)(解直角三角形)练习 试题
乏公仓州月氏勿市运河学校解直角三角形〔12〕一、选择题1．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，假设渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，那么B、C之间的距离为〔〕A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里2．如图，港口A在观测站O的正向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，那么该船航行的距离〔即AB的长〕为〔〕A．4km B．2km C．2km D．〔 +1〕km二、填空题3．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，那么海岛C到航线AB的距离CD等于海里．4．如图，轮船在A处观测C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测C位于北偏西25°方向上，那么C与码头B的距离是海里．〔结果精确到个位，参考数据：≈，≈，≈〕三、解答题5．一次数学活动课上，老师带着学生去测一条东西流向的河宽，如下列图，小明在岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西59°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．〔参考数据：tan31°≈，sin31°≈〕6．如图，新城区新建了三个商业城A，B，C，其中C在A的正向，在A处测得B在A的南偏东52°的方向，在C处测得B在C的南偏东26°的方向，A和B的距离是1000m．现有甲、乙两个工程对修建道路，甲修〔结建一条从A到C的笔直道路AC，乙修建一条从B到直线AC最近的道路BD．求甲、乙修建的道路各是多长．果精确到1m〕〔参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05〕7．背景材料：近年来由于世界各国大力开展海洋经济、加强海洋能力开发，海洋争端也呈上升趋势．为增强海洋执法能力、维护海洋领土，近期我国多个部门联合进行护航、护渔演习．解决问题：〔1〕如图，我国渔船〔C〕在钓鱼岛海域正被某国不明船只袭扰，“中国海政310”船〔A〕接到陆地指挥中心〔B〕护渔命令时，渔船〔C〕位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国海政310”船西南方向，“中国海政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国海政310”船最大航速为20海里/小时．根据以上信息，请你求出“中国海政310”船赶往渔船所在位置进行护渔至少需要多长时间？〔2〕如果〔1〕中条件不变，此时位于“中国海政310”船〔A〕南偏东30°海域有一只某国HY舰〔O〕，AO=560海里，其火力打击范围是500海里，如果渔船沿着正南方向继续航行，是否会驶进这只HY舰的打击范围？8．如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正向，AB=2〔单位：km〕．有一艘小船在点P 处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．〔1〕求点P到海岸线l的距离；〔2〕小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．〔上述两小题的结果都保存根号〕9．如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离〔参考数据：≈1，≈3，≈5，结果精确到0.1〕10．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？11．如下列图，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．〔结果精确到0.1km〕12．如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时2海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？〔参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4〕13．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学用所学过的知识在一条笔直的道路上检测车速．如图，观测点C到公路的距离CD为100米，检测路段的起点A位于点C的南偏西60°方向上，终点B位于点C的南偏西45°方向上．某时段，一辆轿车由西向东匀速行驶，测得此车由A 处行驶到B处的时间为4秒．问此车是否超过了该路段16米/秒的限制速度？〔参考数据：≈，≈〕14．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土〔如图1〕，A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点〔如图2〕，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．假设一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达〔结果保存小数点后两位〕？〔参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19〕15．小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船〔如下列图〕．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米〔精确到1米〕？〔参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1，≈3〕16．为了维护海洋权益，新组建的国家HY加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于P的南偏东45°方向，距离100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于P的北偏东30°方向上的B处．〔1〕在这段时间内，海监船与P的最近距离是多少？〔结果用根号表示〕〔2〕在这段时间内，海监船航行了多少海里？〔参数数据：， 32， 49．结果精确到0.1海里〕17．如图，位于A处的海上救援中心得悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，假设救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B处大约需要多长时间？〔结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80〕18．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．〔1〕求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离〔结果用根号表示〕；〔2〕假设渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间〔结果精确到0.1小时〕．〔参考数据：≈1，≈3，≈5〕19．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如下列图，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部〔1〕那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．〔不写、求作、作法，只保存作图痕迹〕〔2〕设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2〔+1〕km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．20．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．〔1〕求点C与点A的距离〔精确到1km〕；〔2〕确定点C相对于点A的方向．〔参考数据：≈14，≈32〕21．钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．假设甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．〔参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72〕22．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．A、B两船相距100〔+1〕海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．〔1〕分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD〔如果运算结果有根号，请保存根号〕．〔2〕距观测点D处100海里范围内有暗礁．假设巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？〔参考数据：≈1，≈3〕23．如图：我渔政310船在南海海面上沿正向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．假设渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？〔渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．〕24．海中两个A、B，其中B位于A的正向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得A在西北方向上，B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得A在北偏西60°方向上，求A、B间的距离．〔计算结果用根号表示，不取近似值〕25．如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上〔其中A、B、C在同一平面上〕．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．26．如图，一艘海轮在A点时测得C在它的北偏东42°方向上，它沿正向航行80海里后到达B处，此时C在它的北偏西55°方向上．〔1〕求海轮在航行过程中与C的最短距离〔结果精确到0.1〕；〔2〕求海轮在B处时与C的距离〔结果保存整数〕．〔参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈28，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈11〕27．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离〔结果保存整数，参考数据：≈1，≈5〕28．如图，海中有一P，它的周围8海里内有暗礁．海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得P 在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？29．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．〔温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6〕30．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B 船的北偏东78°方向．〔1〕求∠ABC的度数；〔2〕A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．〔结果精确到0.01小时〕．〔参考数据：≈14，≈32〕。
历年初三数学中考解直角三角形练习题及答案
4、如图19-2，在△ABC中，C＝900，sinA= .则BC：AC等于（ ）
B
A C
图19-2
A. 3：4 B. 4：3 C.3：5 D.4：5
分析： 因为C＝900，sinA＝ ,又sinA= .所以 ＝ , 不妨设BC＝3k,AB=5k,由勾股定理可得AC＝ ＝4k,所以BC：AC＝3k:4k=3:4故选A.。
在Rt△ABD/中，tanBAD/=
故选B.。
6、在∆ABC中，若｜sinA- |+( -cosB)2=0, ∠A.∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A. 750B. 900C.1050D.1200
分析： 由｜sinA- |+( -cosB)2=0可得，
sinA- =0 -cosB=0 即 sinA= =cosB ,又∠A、∠B都是锐角，∴∠A＝450，∠B＝300.由三角形内角和知，∠C＝1800-∠A-∠B＝1050.故选C.
注意：由 ＝ ，不能认为BC＝3，AB＝5。
A D
D/B C
图19-3
5、如图19-3，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D/处，那么tanBAD/等于（ ）
A. 1 B. C. D.2
分析： 根据勾股定理得
BD＝ = =2
又BD/＝BD＝2 ，AB＝2，
分析依据条件tanA= ,可求出cotB=cot(900-A )=tanA= ,再由cotB= 及sin2B+cos2B=1得 cotB＝ 可求出sinB=
3、在∆ABC中，C=900，若∠B＝2∠A，则cotB的值为_______.
2015山东中考试题分类(解直角三角形).doc
（2015中考） 解直角三角形一、选择题1．（2015•济宁）如图，斜面AC 的坡度（CD 与AD 的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC 的高度为（ ）A ．5米B ．6米C ．8米D ．（3+）米2．（2015•烟台）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 交于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 中点，则tan ∠BFE 的值是（ ） A ．B ．2C ．D ．3．（2015山东日照市）如右图，在直角△BAD 中，延长斜边ＢＤ到点C ，使ＤＣ＝12ＢＤ，连接ＡＣ，若tan Ｂ＝53，则tan ∠CAD 的值为（ ） （A(B) (C) 13 (D) 154．（泰安）如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20° 方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行 40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处 与灯塔A 的距离是（ ）海里 A ．20 B ．40 C．3 D．3二、填空题5．（2015•德州）如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度约为 m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）6．（2015•滨州）如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC=，则对角线AC 的长为 ． 7．（2015•临沂）如图，在▱ABCD 中，连接BD ，AD ⊥BD ，AB=4，sinA=，则▱ABCD 的面积是 ． 8．（2015•潍坊）如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1；再以正△AB 1C 1边B 1C 1上的高AB 2为边作正△AB 2C 2，△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2；…，以此类推，则S n = ．（用含n 的式子表示）9．（2015•潍坊）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是 m ． 10．（2015山东省聊城市）湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线，某校数学兴趣小组用测量仪测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部的C 处，测得桥塔顶部A 的仰角为41.5°（如图），已知测量仪CD 的高度为1米，则桥塔AB 的高度为（ ）（参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885） A.34米 B.38米 C.45米 D.50米三、解答题11．（2015•济宁）阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：BAC北东在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC 中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？12．（2015•莱芜）为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）13．（2015•青岛）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）14．（2015•烟台）如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB=1.5米，CD=1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）15．（2015•临沂）小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？16．（2015•菏泽）（1）计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1；17．（2015•菏泽）（1）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．18．（2015山东日照市，20，10分）如右图，已知，在△ABC中，ＣＡ＝ＣＢ，∠ACB=90°，E、F分别是ＣＡ，ＣＢ边的三等分点。
九年级解直角三角形经典习题附答案
解直角三角形班级： 姓名 成绩解直角三角形1、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．2、我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．3、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.C AD B︒ 55 5.8m 10mA BC D 姓名： 得分：M E NCA4、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°. 问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？5、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16 米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1=i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ．（精确到0.1米）6. 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1） 在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ； （2） 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m; （3） 量出测倾器的高度AC ＝h 。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。
中考数学关于解直角三角形的18道经典题
中考数学关于解直角三角形的18道经典题1、如图，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 解：延长CD 交AB 于G ，则CG=12（千米）依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米） 在Rt △PCD 中： PC=3，∠P=60° CD=PC ·tan ∠P =3×tan60°=33∴12-CD=12-33≈6.8（千米） 答：这座山的高约为6.8千米.2、如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD=60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈).答案：(10分)解：过Ｂ作BE ⊥AD 于E在Rt △ABE 中,∠BAE= 60, ∴∠ABE= 30 ∴AE ＝21ＡＢ31032021=⨯=∴BE ()()303103202222=-=-=AE AB∴在Rt △BEF 中, ∠Ｆ＝ 45, ∴EF ＝BE ＝30 ∴ＡＦ＝ＥＦ－ＡＥ＝３０－310∵732.13=， ∴AF ＝12.68≈133、施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米．参考数据cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95AB12千米P C D G60°（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?解：(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BC AB =25.44≈0.94， …………………………………3分 ∴∠D ≈20°． ………………………………………………………………………1分 （2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ， ……………………………3分 共需台阶28.9×100÷17=170级． ………………………………………………1分4、在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图， 若 60ABC 10,AC 4,AB =∠==, 求B 、C 两点间的距离.解：过A 点作AD ⊥BC 于点D ， …………1分在Rt △ABD 中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°. …………2分 ∵AB=4,∴BD=2, ∴AD=23. …………4分 在Rt △ADC 中，AC=10，∴CD=22AD AC -=12100-=222 . …………5分 ∴BC=2+222 . …………6分 答：B 、C 两点间的距离为2+222. …………7分5、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东NM 东北BCAlCBA17cm（第19题） A BCF60°，且与A相距83的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．答案解：（1）由题意，得∠BAC=90°，………………（1分）∴2240(83)167BC=+=．…………（2分）∴轮船航行的速度为41671273÷=时．……（3分）(2)能．……（4分）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=43，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，……（6分）∴,DF BDEF CE=∴3220343EFEF+=，∴EF=8．……（7分）∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．6、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)答案（1）如图，作AD⊥BC于点D……………………………………1分Rt△ABD中，AD=AB sin45°=42222=⨯……2分在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°FEDlAC北东M NABE FQ P ∴AC =2AD =24≈6.5………………………3分即新传送带AC 的长度约为6.5米． ………………………………………4分 （2）结论：货物MNQP 应挪走． ……………………………………5分 解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=42222=⨯……………………6分 在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=622324=⨯∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分 ∴货物MNQP 应挪走． …………………………………………………………8分7、如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）答案 (1)相等30,6030BEQ BFQ EBF EF BF ∠=∠=∴∠=∴=....................................2分 又6060AF P BFA ∠∠=∴∠=在AEF 与△ABF 中,,EF BF AFE AFB AF AFAFE AFB AE AB=∠=∠=∴≅∴=...........................................................................5分 （2）法一：作AH PQ ⊥，垂足为H 设 AE=x 则AH=xsin74°HE= xcos74° HF=xcos74°+1 ...............................................................................................7分tan60Rt AHF AH HF=中，所以xsin74°=（xcos74°+1）tan60°即0.96x=(0.28x+1)×1.73所以 3.6x≈即AB 3.6km≈法二：设AF与BE的交点为G，在Rt△EGF中，因为EF=1, 所以 EG=3在Rt△AEG中376,cos760.24 3.6 AEG AE EG∠==÷=÷≈答: 两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km8、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．在Rt△ADC中，∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，AB45°60°C E D∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m∵17.32>16.97∴风筝A 比风筝B 离地面更高． ……………………………………………3分 （2）在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ．…………………………………3分9、为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．解：∵在Rt △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3 ∴DA ＝3 …………2分 在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°∴tan60°=CAAD∴CA =33 …………4分 ∴BC=CA －BA =(33－3)米答：路况显示牌BC 的高度是(33－3)米 ………………………6分10、永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （3 1.732≈，第19题图A45°60°结果保留整数）．解：根据题意，可知45ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，50DC =.在Rt △ABC 中，由45BAC BCA ∠=∠=︒，得BC AB =. 在Rt △ABD 中，由tan ABADB BD∠=， 得3tan tan 60AB AB BD AB ADB ===∠︒. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又 ∵ BC BD DC -=，∴ 350AB AB -=，即(33)150AB -=. ∴ 11833AB =≈-.答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分11、小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．25.连结AN 、BQ∵点A 在点N 的正北方向，点B 在点Q 的正北方向 ∴l AN ⊥ l BQ ⊥--------------------------1分 在Rt △AMN 中：tan ∠AMN=MNAN∴AN=360-----------------------------------------3分 在Rt △BMQ 中：tan ∠BMQ=MQBQ∴BQ=330----------------------------------------5分 过B 作BE ⊥AN 于点E 则：BE=NQ=30∴AE= AN －BQ -----------------------------------8分 在Rt △ABE 中,由勾股定理得：222BE AE AB +=22230)330(+=AB∴AB=60（米）12、我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E 处，且与AD 垂直.已知装饰画的高度AD 为0.66米， 求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数（精确到1°）；⑵ 装饰画顶部到墙壁的距离DC （精确到0.01米）.解：⑴ ∵AD ＝0.66，∴AE ＝21CD ＝0.33. 在Rt △ABE 中，………………1分 ∵sin ∠ABE ＝AB AE ＝6.133.0， ∴∠ABE ≈12°. ………………4分∵∠CAD ＋∠DAB ＝90°，∠ABE ＋∠DAB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠ABE ＝12°.∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为12°. ………………5分 ⑵ 解法一：在Rt △∠ABE 中， ∵sin ∠CAD ＝ADCD， ∴CD ＝AD ·sin ∠CAD ＝0.66×sin12°≈0.14. ………………7分ACD EBABCD第19题图解法二： ∵∠CAD ＝∠ABE ， ∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∴△ACD ∽△BEA. ………………6分 ∴AB ADAE CD =. ∴6.166.033.0=CD . ∴CD ≈0.14. ………………7分∴镜框顶部到墙壁的距离CD 约是0.14米.………………8分13、如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第23题图解：过M 作MN ⊥AC ，此时MN 最小，AN ＝1500米1、（2010山东济南）图所示，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC 3求线段AD 的长．解：∵△ABC 中，∠C =90º，∠B =30º，∴∠BAC =60º，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD =30º， ··················· 1分 ∴在Rt △ADC 中，cos30ACAD =︒············· 2分=3×3··········· 3分=2 . ·············· 4分14、热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为60m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）答案： 解：过点A 作BC 的垂线，垂足为D 点 ……………1分由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD =60°, AD = 60m在Rt △ACD 中，∠CAD = 45°, AD ⊥BC∴ CD = AD = 60 ……………………3分 在Rt △ABD 中，∵BDtan BAD AD∠=……………………4分 ∴ BD = AD ·tan ∠BAD= 603 ……………………5分∴BC = CD+BD= 60+603 ……………………6分≈ 163.9 (m) …………………7分答：这栋高楼约有163.9m ． …………………8分 （本题其它解法参照此标准给分）15、如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并PD CBA求出最大值．22．（1）在Rt ABC ∆中，5sin B =，25AB =， 得5AC AB =，∴2AC =，根据勾股定理得：4BC =． …… 3分（2）∵PD ∥AB ，∴ABC ∆∽DPC ∆，∴12DC AC PC BC == 设PC x =，则12DC x =，122AD x =- ∴2211111(2)(2)122244ADP S AD PC x x x x x ∆=⋅=-⋅=-+=--+ ∴当2x =时，y 的最大值是1． ……… 8分16、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）答案：解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37AD CD︒=， 则34AD x=， ∴34AD x =. 在Rt △BCD 中，tan48° = BD CD， 则1110BD x=， ∴1110BD x =. ∵AD ＋BD = AB ， B37° 48° D CA 第19题图∴31180 410x x+=．解得：x≈43．17、在市政府广场进行了热气球飞行表演，如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan,80.037cos,60.037sin≈︒≈︒≈︒73.13≈）解：过A作AD⊥CB，垂足为点D．………………………1分在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．∴AD=31233660tan==︒CD≈20.76．……5分在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．∴BD=37tan⨯AD≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）．………8分答：气球应至少再上升15.6米．…………………………9分18、图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长．【答案】解：根据题意得：DE=3.5×16=56,AB=EF=16∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，∴∠ACB ＝∠ CAB∴CB=AB=16.∴CG=BCsin30°=8CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.∴塔吊的高CH的长为69m.BACD。
历年初三数学中考解直角三角形练习题及答案
在Rt∆ADC中tanD=tan150=
评注： 利用含300角的直角三角形巧妙地构造出含150角的直角三角形，从而求出150角的三角函数值。利用此图还可以求出750的各三角函数值。
强化训练
一、填空题：
⒈ 在∆ABC中，若AC＝ 。BC＝ AB＝3，则cosA=____________.
∴AB＝4BD
在Rt∆ABD中，AD＝
∴ sinB=
cosB=
tanB=
cotB=
［例4］计算
分析：本题主要是考察特殊角的三角函数值和分母有理化知识
解：原式＝ .
= =
=
［例5］ 要求tan300的值.可构造如图19-5所示的直角三角形进行计算，作Rt∆ABC，使C=900，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝ ∠ABC＝300，所以 tan300=
在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan150的值。请你就此图添加辅助线，并求出tan150的值。
分析：只需找出一个150的角，并放入一个可求出各边长的直角三角形中。
解：延长CB至D，使BD＝AB。连结AD，如图19-6
A A
2 1
2 1
300
B C D B C
图19-5 图19-6
则BD＝2，D＝150
6、用计算器计算：sin56050/+cos39030/-tan46010/=_______
分析会用计算器求任意一个锐角的三角函数值，然后进行计算。原式＝0.5671.
7、已知方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根恰为一个直角三角形两锐角的余弦，则m=______
分析设这个直角三角形的两个锐角分别为α、β，且α+β＝900。cosβ=sinα.由一元二次方程根与系数的关系得：cosα+cosβ= ，cosαcosβ=
初三数学解直角三角形试题
初三数学解直角三角形试题1.一公路大桥引桥长100米，已知引桥的坡度i=1：3，那么引桥的铅直高度为米（结果保留根号）．【答案】10.【解析】根据坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，求解即可．试题解析：如图：由题意得，桥长AB=10米，∵BC：AC=1：3，∴设BC=x，AC=3x，则AB=解得：x=10【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．2.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为、，则A．B．C．D．【答案】D．【解析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，求出、，比较即可．如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，在Rt△ABG中，AG="ABsinB=5×sin" 40°="5sin" 40°，在Rt△DHE中，∠DEH=180°﹣130°=50°，DH=DEsin∠DEH="5sin" 40°，∴AG=DH．∵BC=8，EF=5，∴．故选D．【考点】解直角三角形．3.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.∵BC=3，，∴.故选D.【考点】1.直角三角形两锐角的关系；2.锐角三角函数定义.4.如图，从热气球P上测得两建筑物A、B的底部的俯角分别为45°和30°，如果A、B两建筑物的距离为60米，P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上，求热气球P的高度．（结果保留根号）【答案】（30-30）米．【解析】过P作AB的垂线，设垂足为G．分别在Rt△APG和Rt△BPG中，用PG表示出AG、BG的长，进而由AB=AG+BG=90求得PC的长，即热气球P的高度．试题解析：过点P作PG⊥AB与点G，设PG=x，则AG=PG=x，BG=x，∴x+x=60，∴x=30-30．答：热气球P的高度是（30-30）米．考点: 解直角三角形的应用----仰角俯角问题．5.如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．【答案】AB=4.1米 .【解析】作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．利用勾股定理和相似三角形的性质求出DF，FE，从而得到BE的长，再用相似三角形的性质求出AB即可．试题解析：过点C作CE⊥BD于点E，延长AC交BD延长线于点F在Rt△CDE中，∴设CE="8x" ,DE="15x" ，则CD=17x∵DC=3.4米∴CE=1.6米，DE=3米在Rt△MNH中，tan∠MHN∴在Rt△ABF中，tan∠F tan∠MHN∴EF=3.2米即BF=2+3+3.2=8.2米∴在Rt△CEF中，tan∠F∴AB=4.1米答：铁塔的高度是4.1米．【考点】1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.相似三角形的应用．6. tan60°的值等于A．1B．C．D．2【答案】C.【解析】试题解析：根据tan60°=即可得出答案．故选C.考点: 特殊角的三角函数值．7.如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= cm．【答案】2.【解析】如图，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，AB的垂直平分线交AB于点F.∵在△ABC中，AB＝BC，∠B＝1200，AC＝6cm，∴∠A＝300，AE＝3cm。
初三数学解直角三角形中考试题精选
tan48° = ，
则 ，
∴ .
∵AD＋BD = AB，
∴ ．
解得：x≈43．
【10答案】
【关键词】解直角三角形的公式（三角函数的运用）
【答案】解:建立如图所示的直角坐标系,
(1)设PQ⊥x轴,垂足为A,则∠POA= ,∠QOA= .……2分
∴∠OPQ= ，∠OQP= ．…………4分
∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
23（2010年安徽中考）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。（参考数据： ）
【关键词】解直角三角形
【答案】⑴∵抛物线经过点D( )
∴
∴c=6.
⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，
∵AC将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF，∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM即AC平分BD
∵c=6.∵抛物线为
∴A（ ）、B（ ）
又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２
在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，
(2)设货船的航行速度是x km/h,由（1）知，∠POQ= .……5分
∴cos∠OQP= .∴PQ= .…………7分
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。
xx 。
]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。
江西省2015中考数学解直角三角形经典试题
江西省2015中考数学解直角三角形经典试题1.阳台窗外活动伸缩衣架如图1所示，其示意图如图2所示.当动点G由点A滑动到点B 时，伸缩衣架完全张开，其中CA垂直于地面,点C，F，P在同一水平线上，侧面活动支架均相互平分,测得BC = 20 cm, GF = CE =36 cm，点D为支架GF，CE的中点。
(1) 求伸缩衣架完全张开时，∠CDG的度数；(2) 求伸缩衣架完全张开时CP的长.(结果精确到0.1，可使用科学计算器）(参考数据:sin 33.75°≈0.555 6, cos 33.75°≈0.831 5)2.如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）3. 图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形．当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A－B－C－D－E－F，C－D是弧CD，其余是线段），O是AF 的中点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°．请通过计算判断这个水桶提手是否合格．（参考数据：314≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97．）4、图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米．设AP＝x分米．（1）求x的取值范围；（2）若∠CPN＝60º，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．5、图1是一辆自行车的侧面图，图2是它的示意图．经测量：车轮直径．．为66cm ，车座B 到地面的距离BE 为90cm ，中轴轴心C 到地面的距离C F 为33cm ，车架中立管BC 的 长为60cm ．（可以使用规定品牌的计算器）（1）后轴轴心A 与中轴轴心C 所在直线AC 与地面l 是否平行？说明理由；（2）求∠ACB 的大小（精确到1度）；（3）如果希望车座B 到地面的距离B ´E ´为93.8cm ，问车架中立管BC 拉长长度BB ´应是多少cm ？6.如图是一种躺椅及其简化结构示意图,扶手AB 与座板CD 都平行于地面,靠背DM 与支架OE 平行,前支架OE 与后支架OF 与CD 分别交于点G 和点D ,AB 与DM 交于点N ,量得∠EOF =90°, ∠ODC =30°,ON =40㎝,EG =30㎝.(1)求两支架落点E 、F 之间的距离;(2)若MN =60㎝,求躺椅的高度(点M 到地面的距离,结果取整数).(参考数据:,73.1360tan ,2160cos ,2360sin ≈===可使用科学计算器.)。
2015年中考数学解直角三角形试题精编
1. （2015•浙江滨州,）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为.2. （2015•绵阳第18题，3分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为3．（2015•广东广州,第15题3分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．4. （2015•四川省内江市，第22题，6分）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=5.（2015•山东东营,第14题3分）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米．7.（2015湖北荆州第15题3分）15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732 8．(2015•江苏南昌,第13题3分)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm, ∠CBD=40°,则点B到CD的距离为cm (参考数据：sin 20°≈ 0.342, com 20°≈0.940, sin 40°≈ 0.643, com 40°≈ 0.766.精确到0.1cm ,可用科学计算器).9．(2015•江苏南昌,第14题3分)如图，在△ABC 中，AB =BC =4，AO=BO ,P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC =60°,则当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为 . 10. （2015•浙江金华，第16题4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD =90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD 变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD".（1）小床这样设计应用的数学原理是 （2）若AB ：BC =1：4，则tan ∠CAD 的值是11. （2015•浙江宁波，第16题4分）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m ，则旗杆AB 的高度是 m （结果保留根号）12. （2015山东省德州市，16，4分）如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°.则旗杆的高度约为 m .（结果精确到0.1m ,参考数据：sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19）（（第13题）图2图1A （第14题）AB13．（2015·湖南省衡阳市，第12题3分）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A．B．51 C．D．10114（2015•浙江）如图,在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为( ) A.逐渐变B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变15（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米16.（2015•山东）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．17（2015山东济宁，9，3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )A.5米B.6米C. 8米D. 米18. （2015呼和浩特）(6分)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度. （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）19. （2015山东菏泽）（1）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．20．（2015•广东）如图，已知△AB C．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，C D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．21．（2015•山东）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是 m ．22（2015•四川广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i FC =1：10（即EF ：CE =1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tanα=，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度．22. （2015•四川甘孜、）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB 的高度，在C 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BCA =30°，向前走了20米到达D 点，在D 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BDA =60°，求旗杆AB 的高度．（结果保留根号）BDE CA23. （2015•四川泸州,第22题8分）如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行。
中考数学模拟试卷精选汇编：解直角三角形附答案
解直角三角形一.选择题1. (2015·北京市朝阳区·一模)如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ为A．40 m B．60 m C．120 m D．180 m答案：C二.填空题1．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，小红站在水平面上的点A处，测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的水平距离为a米．若小红的水平视线与地面的距离为b米，则旗杆BC的长为____▲____米。
(用含有a、b的式子表示)第1题答案：b+3a2. (2015·屯溪五中·3月月考)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为__________答案：2倍根号23．（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图2，菱形ABCD 的周长为20cm ，且tan ∠ABD =34，则菱形ABCD 的面积为 cm 2． 答案：24；4.（2015·邗江区·初三适应性训练）如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为 ▲ .答案：552 第2题 5.（2015·重点高中提前招生数学练习）在某海防观测站的正东方向12海里处有A ，B 两艘船相遇，然后A 船以每小时12海里的速度往南航行，B 船以每小时3海里的速度向北漂移．则经过 小时后，观测站及A ，B 两 船恰成一个直角三角形． 【答案】26.（2015·重点高中提前招生数学练习）已知∠A 为锐角，且4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A ＝0，则tanA ＝ ． 【答案】12【解析】由题意得(2sinA －cosA )2＝0，∴2sinA －cosA ＝0，∴sinA cosA ＝12. ∴tanA ＝sinA cosA ＝12.7（2015·网上阅卷适应性测试）小聪有一块含有30°角的直角三角板，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图的方法，小聪发现点A 处的三角板读数为12cm ，点B 处的量角器的读数为74°，由此可知三角板的较短直角边的长度约为 ▲ cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75）．答案：98.（2015·山东省东营区实验学校一模）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出___个这样的停车位．(2≈1.4)答案：17三.解答题1．（2015·江苏江阴长泾片·期中）2015年4月18日潍坊国际风筝节拉开了帷幕，这天小敏同学正在公园广场上放风筝，如图风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）在（1）的条件下，若在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC为多少米？（结果保留根号）答案：解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，则BQ= tan60°×PQ＝103, ……………2分又在Rt△APQ中，∠PAB=45°，则AQ=tan45°×PQ=10，即：AB=（103+10）（米）……………4分（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=103+10，∴AE=sin30°×AB=12（103+10）=53+5，……………6分∵∠CAD=75°，∠B=30°∴∠C=45°，……………7分在Rt△CAE中，sin45°＝AEAC，图8∴AC =2（53+5）=（56+52）（米） ……………9分2．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且CB ＝5米．(1)求钢缆CD 的长度；(精确到0.1米)(2)若AD ＝2米，灯的顶端E 距离A 处1.6米，且∠EAB ＝120°，则灯的顶端E 距离地面多少米？(参考数据：tan 400＝0.84， sin 400＝0.64， cos 400＝34)答案：(1)在Rt ⊿BCD 中∵cos 40°=CDBC…………1分 ∴CD =40cos BC =5÷43=320…………3分 (2)∵∠EAF =180°－120°=60° 在Rt ⊿AEF 中 cos 60°=AEAF ∴AF =AE ·cos 60°=1.6·21=0.8…………5分 在Rt ⊿BCD 中 tan 40°=BCBDBD =BC ·tan 40°=5·0.84=4.2…………7分 BF =4.2+2+0.8=7…………8分3．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处.（1）求点C 与点A 的距离（精确到1km ） （2）确定点C 相对于点A 的方向 （参考数据：2≈1.414，3≈1.732）答案：解法1:（1）如答图2，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .············1分由图得，∠ABC =︒=︒−︒601575.·······························2分在Rt △ABD 中，∵∠ABC =60°，AB =100，∴BD =50，AD =350····················3分 ∵BC =200，∴CD=BC －BD =150.·································4分 ∴在Rt △ABD 中，AC =22CD AD +=3100≈173（km ）. 答：点C 与点A 的距离约为173km .························5分（2）在△ABC 中，∵2222)3100(100+=+AC AB =40 000，22200=BC =40 000. ∴222BC AC AB =+，∴︒=∠90BAC .···················7分 ∴︒=︒−︒=∠−∠=∠751590BAF BAC CAF 答：点C 位于点A 的南偏东75°方向.················8分 解法2:（1）如答图3，取BC 的中点D ，连接AD.············ 1分由图得，∠ABC =︒=︒−︒601575···················2分 ∵D 为BC 的中点，BC =200，∴CD=BD =100. 在△ABD 中，∵BD =100，AB =100，∠ABC =60°， ∴△ADB 为等边三角形，··························3分 ∴AD=BD=CD ，∠ADB =60°，∴∠DAC =∠DCA =30°. ∴∠BAC =∠BAD +∠DAC =90°，···················4分 ∴AC =）（km 173310022≈=−AB BC 答：点C 与点A 的距离约为173km .·······················5分 （2）由图得，︒=︒−︒=∠−∠=∠751590BAF BAC CAF答：点C 位于点A 的南偏东75°方向.······························8分4．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E 到地面的距离EF ．经测量，支架的立柱BC 与地面垂直，即∠BCA =90°，且BC =1.5m ，点F 、A 、C 在同一条水平线上，斜杆AB 与水平线AC 的夹角∠BAC =30°，支撑杆DE ⊥AB 于点D ，该支架的边BE 与AB 的夹角∠EBD =60°，又测得AD =1m ．请你求出该支架的边BE 及顶端E 到地面的距离EF 的长度．答案：解：在Rt △ABC 中，∵∠BAC =30°，BC =1.5m ，∴AB=3m，∵AD=1m，∴BD=2m，·········1分在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°﹣60°=30°，∴EB=2BD=2×2=4m，·········3分过B作BH⊥EF于点H，∴四边形BCFH为矩形，HF=BC= 1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，········4分又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°，∴EH=EB=2m，∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．········7分答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．5. (2015·屯溪五中·3月月考)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（结果都保留根号）(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．答案：解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．设PD =xkm ． 在Rt △PBD 中，∠BDP =90°，∠PBD =90°﹣45°=45°， ∴BD =PD =xkm ．在Rt △P AD 中，∠ADP =90°，∠P AD =90°﹣60°=30°， ∴AD =PD =xkm ．∵BD +AD =AB ， ∴x +x =2， x =﹣1，∴点P 到海岸线l 的距离为（﹣1）km ；（2）如图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ． 在Rt △ABF 中，∠AFB =90°，∠BAF =30°， ∴BF =AB =1km ．在△ABC 中，∠C =180°﹣∠BAC ﹣∠ABC =45°． 在Rt △BCF 中，∠BFC =90°，∠C =45°， ∴BC =BF =km ，∴点C 与点B 之间的距离为km ．6. (2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)合肥新桥国际机场出港大厅有一幅“黄山胜景”的壁画.聪聪站在距壁画水平距离15米的地面，自A 点看壁画上部D 的仰角为045，看壁画下部C的仰角为030，求壁画CD 的高度.3 1.7≈2 1.4≈，精确到十分位）答案：过A 点作AB ⊥DC 于点B ，则AB ＝15，在Rt ABD ∆中，045DAB ∠=，∴BD ＝AB ＝15 ……… 3分 在Rt ABC ∆中，030BAC ∠=， ∴03tan 3015533BC AB ==⨯= ………… 6分 ∴CD ＝BD －BC ＝15－53155 1.7 6.5≈−⨯=答：壁画CD 的高度为6.5米 …………… 8分7. (2015·安庆·一摸)为维护南海主权，我海军舰艇加强对南海海域的巡航.2015年4月10日上午9时，我海巡001号舰艇在观察点A 处观测到其正东方向802海里处有一灯塔S ，该舰艇沿南偏东450的方向航行，11时到达观察点B ，测得灯塔S 位于其北偏西150方向，求该舰艇的巡航速度？（结果保留整数）（参考数据：73.13,41.12≈≈）答案：解：过点S 作SC ⊥AB ，C 为垂足.在Rt △ACS 中，∠CAS =450,AS =802，∴SC =AC =80；………3分在Rt △BCS 中，∠CBC =450－150=300,∴BC =803，AB =AC +BC =80+803；………6分∴该舰艇的巡航速度是（80+803）÷（11－9）=40+403≈109（海里/时）…………8分8. (2015·屯溪五中·3月月考)如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8．若∠BPC =∠BAC ，求tan ∠BPC 的值。
2015年中考数学真题----解直角三角形
解直角三角形一.选择题1,〔2015威海,第2题4分〕【答案】D【解析】根据三角函数的定义，边AC=BCtan26其按键顺序正确的选项是【备考指导】此题考查了解直角三角形的知识，解答此题的关键是利用三角函数的知识解直角三角形，求解相关线段的长度，难度一般．2．〔2015·省市，第12题3分〕如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，那么这个电视塔的高度AB〔单位：米〕为〔〕．A．B．51 C．D．1013. 〔2015•滨州,第12题3分〕如图,在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.假设∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，那么∠OAB大小的变化趋势为( )A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变【答案】D考点：反比例函数，三角形相似，解直角三角形5. 〔2015•第10题，3分〕如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最正确，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为〔〕A．〔11﹣2〕米B．〔11﹣2〕米C．〔11﹣2〕米D．〔11﹣4〕米考点：解直角三角形的应用．.分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长．解答：解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷〔sin30°〕=4米，∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，∴△PDC∽△PBO，∴=，∴PB===11米，∴BC=PB﹣PC=〔11﹣4〕米．应选：D．点评：此题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念．6.〔2015•日照，第10题4分〕如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，假设tanB=，那么tan∠CAD的值〔〕A．B．C．D．考点：解直角三角形．.分析：延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，那么AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得CE=x，DE=，从而可求tan∠CAD==．解答：解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，那么AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．应选D．点评：此题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以与直角三角形的性质，是根底知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．7.〔2015•聊城,第10题3分〕路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C 处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°〔如图〕．测量仪器CD的高度为1米，那么桥塔AB的高度约为〔〕A．34米B．38米C． 45米D．50米考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．.分析：Rt△ADE中利用三角函数即可求得AE的长，那么AB的长度即可求解．解答：解：过D作DE⊥AB于E，∴DE=BC=50米，在Rt△ADE中，AE=DE•tan41，5°≈50×0.88=44〔米〕，∵CD=1米，∴BE=1米，∴AB=AE+BE=44+1=45〔米〕，∴桥塔AB的高度为45米．点评：此题考查仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．8〔2015，9，3分〕如图，斜面AC的坡度〔CD与AD的比〕为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，假设AB=10米，那么旗杆BC的高度为( )A.5米B.6米C. 8米D. 米【答案】A考点：解直角三角形二.填空题1. 〔2015•滨州,第14题4分〕如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，那么对角线AC的长为.【答案】24考点：菱形的性质，解直角三角形2. 〔2015•第18题，3分〕如图，在等边△ABC有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD 绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，那么∠CDE的正切值为3．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．.专题：计算题．分析：先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，得到DE=AD=5；过E 点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，那么CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣〔4﹣x〕2，解得x=，再计算出EH，然后根据正切的定义求解．解答：解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，∴△ADE为等边三角形，∴DE=AD=5，过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，那么CH=4﹣x，在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，在Rt△DHE中，EH2=62﹣〔4﹣x〕2，∴52﹣x2=62﹣〔4﹣x〕2，解得x=，∴EH==，在Rt△EDH中，tan∠HDE===3，即∠CDE的正切值为3．故答案为：3．点评：此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．3．〔2015•,第15题3分〕如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．假设BE=9，BC=12，那么cosC=．考点：线段垂直平分线的性质；解直角三角形．分析：根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cos C．解答：解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4. 〔2015•省江市，第22题，6分〕在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，那么BC=6．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理．.分析：由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长．解答：解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===6，故答案为：6．°点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，以与勾股定理，熟练掌握性质与定理是解此题的关键．5.〔2015•东营,第14题3分〕4月26日，2015黄河口〔东营〕国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，那么AB两点的距离是米．【答案】200(+1)【解析】试题分析：∵∠CDA=∠CDB=90°，∠A=30°，∠B=45°，∴AD=CD=200，BD=CD=200，∴AB=AD+BD=200(+1)〔米〕；考点：解直角三角形的应用.6.〔2015第17题3分〕如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，那么他实际上升了1000米．考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题．.分析：过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=200米，∠A=30°，求出BC的长度即可．解答：解：过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×=1000．故答案为：1000．点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答此题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识进展求解．7.〔2015荆州第15题3分〕15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD 为137米〔结果保存整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732〕考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．专题：计算题．分析：根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，那么BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=〔x+100〕，解得x=50〔+1〕，再进展近似计算即可．解答：解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴x=〔x+100〕，∴x=50〔+1〕≈137，即山高AD为137米．故答案为137．点评：此题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．8．(2015•,第13题3分)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，BC =BD =15cm , ∠CBD =40°,那么点B 到CD 的距离为cm (参考数据：sin 20°≈ 0.342, com 20°≈0.940, sin 40°≈ 0.643, com 40°≈ 0.766.准确到0.1cm ,可用科学计算器).（（第13题）图2图1OABCP答案：解析：如右图，作BE ⊥CD 于点E .∵BC =BD , BE ⊥CD ,∴∠CBE =∠DBE =20°, 在Rt △BCD中，cos ,BEDBE=BD∴cos BE 2015， ∴BE ≈15×0.940=14.19．(2015•,第14题3分)如图，在△ABC 中，AB =BC =4，AO=BO ,P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC =60°,那么当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为 .（第14题）AB答案：解析：如图，分三种情况讨论：图(1)中，∠APB =90°，∵AO =BO , ∠APB =90°，∴PO =AO =BO =2, 又∠AOC =60°, ∴△APO 是等边三角形， ∴AP =2；图(2)中，∠APB =90°，(1)BABA∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°,在Rt△ABP中，AP=cos30°×4=23.图(3)中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°,∴PB=23, ∴AP=()2242327∴AP的长为2，23或2710. 〔2015•，第16题4分〕图1是一可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且∠ACD=90°.图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD".〔1〕小床这样设计应用的数学原理是▲〔2〕假设AB：BC=1：4，那么tan∠CAD的值是▲【答案】〔1〕三角形的稳定性和四边形的不稳定性；〔2〕815.【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义.【分析】〔1〕在折叠过程中，由稳定的ΔACD变形为不稳定四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD"，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性。
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7.（2015湖北荆州第15题3分）15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
13. （2015呼和浩特，19，6分）(6分)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度. （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
1.小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？
1. （2015•四川广安，第23题8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i FC=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．
2. （2015•四川甘孜、阿坝，第18题7分）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
3．(2015·深圳，第20题分)小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30o，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60o，求旗杆的高度。
6. （2015•四川泸州,第22题8分）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行。
当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处。
若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近?(计算结果用根号表示，不取近
似值)。
7. （2015•四川凉山州,第20题8分）如图，在楼房AB和塔CD 之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）
第22题图
8. （2015•四川成都,第17题8分）
如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C.其中AB 段与BC 段的运行路程均为200m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离.（参考数据：sin 42°≈0.67 ，cos 42°≈0.74 ，tan 42°≈0.90）
（2015•四川眉山，第22题8分）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个码头，A 在B 的正东方向，一艘小船从A 码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P 处，此时从B 码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B 码头的距离（即BP 的长）和A 、B 两个码头间的距离（结果都保留根号）．
A
10. （2015•四川省内江市，第20题，9分）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
11. （2015•四川省宜宾市，第21题，8分）(注意：在试题卷上作答无效)
E
如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造，供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间
的距离为300(3+1)米，求供水站M分别到小区A、B的距离。
（结果可保留根号）
12. （2015•浙江省绍兴市，第20题，8分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。
备用数据：7.1
3≈，4.1
2≈
13. （2015•浙江省台州市，第19题）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点到调节器点O处的距离为
80cm,AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA’处，求调整后点A’比调整前点A的高度降低了多少cm?（结果取整数）？
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
14. （2015•浙江嘉兴，第22题12分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm.
（1）求∠CAO＇的度数.
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
15．（2015•四川资阳,第20题8分）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险
队赴地震灾区参与抢险工作．如图9，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5
）
∠=o,请你根∠=o,小英同学在A处50米远的B处测得CBD30
据这些数据算出河宽. （精确到0.01
..
14141732
26 ，(2015山东青岛，第19题,3分)
小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m 。
请求出热气球离地面的高度。
（结果保留整数，参考数据：
，，
12735sin ≈
︒6535cos ≈︒10
7
35tan ≈
︒。