选修1-1《椭圆的简单性质》教案
高中数学选修1-1教学设计-椭圆的简单几何性质
§2.1.2椭圆的简单几何性质3
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。
另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。
②强化求轨迹方程的方法、步骤。
③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。
2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。
3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。
【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案
【教学过程设计】：。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本几何性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本参数的计算方法；3. 能够应用椭圆的性质解决实际问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及基本几何性质；2. 椭圆的基本参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆的性质在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 椭圆模型或图片；3. 直尺、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本几何性质，如圆的半径、直径等；2. 提问：同学们知道吗，还有一种曲线也和圆有关系，叫做椭圆。
椭圆有哪些基本性质呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹；2. 讲解椭圆的基本几何性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 讲解椭圆的基本参数的计算方法：长轴长度、短轴长度、焦距等。
三、例题解析（10分钟）1. 给出例题，让学生独立解答，进行讲解；2. 通过例题，让学生加深对椭圆性质的理解。
四、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 对学生的练习进行点评，解答学生的疑问。
五、课堂小结（5分钟）2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。
教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义、基本几何性质和计算方法，让学生掌握了椭圆的基本知识。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对椭圆的知识有了更深入的理解。
但在实际问题中的应用方面，学生还需加强练习和思考。
在今后的教学中，应更多地提供实际问题，让学生运用椭圆的知识解决问题，提高学生的应用能力。
六、椭圆的标准方程（10分钟）1. 引入椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a>b>0)；2. 讲解椭圆标准方程的来源及意义；3. 讲解如何由椭圆的标准方程求解椭圆的参数。
七、椭圆的焦点与焦距（10分钟）1. 讲解椭圆的焦点定义及性质；2. 讲解焦距的概念及计算方法；3. 引导学生掌握焦点与焦距的关系。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。
3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。
2. 椭圆几何参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。
二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。
b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。
c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。
3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。
三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。
2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。
四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。
2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。
通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。
六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》教学设计
2.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时）一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、 逻辑推理 、数学建模、 等价转化的素养 2.学习目标（1）会判断直线与椭圆的位置关系.（2）能够解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题，初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用.（3）理解解析法解决问题的基本思想，掌握用方程研究曲线问题的基本方法. 3.学习重点直线与椭圆的位置关系, 初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用. 4.学习难点解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题. 二 、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务140P 例4，思考椭圆在生活中还有那些应用?思考直线与椭圆有那些位置关系?任务2回忆椭圆的有那些几何性质? 2.预习自测1. 两个正数,a b 的等差中项是52，，则椭圆22221(0)x ya b a b+=>> 的离心率e 等于( )A.B.C.答案：C解析：椭圆的几何性质2. 已知椭圆2211625x y += 的焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一点，若连接12,,F F P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) A. 165B ．3 C. 163D. 253答案：A解析：()()120,3,0,3,34F F -<，∴12219090F F P F F P ∠=︒∠=︒或. 设 (),3P x ，代入椭圆方程得165x =±.即点P 到y 轴的距离是165.（二）课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式为ac b 42-=∆；求根公式为aacb b x 242-±-=．（2）一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，则a b x x -=+21，acx x =21．（3）平面内两点()()1122,,A x y B x y 之间的距离公式为()()221221y y x x AB -+-=2.问题探究问题探究一 椭圆几何性质在生活中的应用例1.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A 距地面()m km ，远地点B 距离地面()n km ，地球半径为()k km ，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．B.C ． m n ⋅D ．2mn【知识点：椭圆的几何性质】详解：由题意可得,a c m k a c n k -=++=+()()()()a c a c m k n k ∴-+=++． 即()()222a c b m k n k -==++，b ∴=，故选A.★▲问题探究二 直线与椭圆的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程得22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩根据方程解得情况，便可确定直线与椭圆的位置关系．通常消去方程组的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，一般地：0∆>⇔直线与椭圆相交⇔直线与椭圆有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔直线与椭圆有且只有一个公共点 0∆<⇔直线与椭圆相离⇔直线与椭圆无公共点2.弦长问题设直线方程为y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b +=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则12PP =12x =-=同理可得)12120PP y k =-=≠例2 (1) 当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交、相切、相离?(2)若=1m ，求直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交的弦AB 的长.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，弦长公式；数学思想：分类的思想】详解：(1)由 2244y x mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 化简得2258440x mx m ++-=()()()222=84544165m m m ∆-⨯-=-()201650,m m ∆>-><当时，则即直线与椭圆相交 ()2=0165=0,=m m ∆-当时，则即直线与椭圆相切()201650,m m ∆<-<<当时，则即直线与椭圆相交(2) 当m =1，则0∆>，直线与椭圆相交，则22144y x x y =+⎧⎨+=⎩得2580x x += 设()()1122,,,A x y B x y ,则：12128,05x x x x +=-=，5AB ∴== 例3. 过点()0,1的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线x y 21=过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，对称问题，直线的方程】 详解1：由22==a c e ，得22==a c e ，从而222,a b c b ==. 设椭圆C 的方程为22222b y x =+，()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上． 则222222112222,22x y b x y b +=+=，两式相减得，()()0222212221=-+-y y x x，即()212121212y y x x x xy y++-=--.设线段AB 的中点为()00,y x ，则02y x k AB-=.又()00,y x 在直线x y 21=上，所以0021x y =， 于是120-=-y x ，故1-=AB k ， 所以直线l 的方程为1+-=x y .设右焦点()0,b 关于直线l 的对称点为()y x '',，则⎪⎩⎪⎨⎧++'-='=-''1221b x y b x y ，解得⎩⎨⎧-='='b y x 11.由点()b -1,1在椭圆上， 得()222121b b =-+，则1692=b ，故892=a . 所以所求椭圆C 的方程为19169822=+y x ，直线l 的方程为1+-=x y . 详解2：由22==a c e ，得21222=-ab a ， 从而222b a =，bc =.设椭圆C 的方程为22222b y x =+，直线l 的方程为()1-=x k y ． 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，得()02242122222=-+-+b k x k x k ，则2221214k k x x +=+，故()()()2212121212211kkk x x k x k x k y y +-=-+=-+-=+. 又直线x y 21=过线段AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ， 则2222122121k k kk +⨯=+-，解得0=k 或1-=k . 若0=k ，则直线l 的方程为0=y ，焦点()0,c F 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不可能在椭圆C 上，所以0=k 舍去， 从而1-=k ，故直线l 的方程为()1--=x y ， 即1+-=x y ，以下同方法1. 点拔：由题设情境中点在直线x y 21=上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线x y 21=上而求得直线l 的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解．例4 设直线()1l y k x =+：与椭圆()03222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(1)证明：222313kk a +>； (2)若2AC CB =，求OAB 的面积的最大值．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，三角形的面积，基本不等式】【分析】 (1)联立方程、消元、利用0>∆易证． (2)结合条件分析出2121y y OC S OAB -=∆易求． 详解：(1)证明：依题意，当0=k 时，由0>a 知，02>a ，显然成立． 当0≠k 时，()1+=x k y 可化为11-=y kx . 将11-=y k x 代入2223a y x =+，消去x ，得01231222=-+-⎪⎭⎫⎝⎛+a y k y k .①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得()013142222>-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆a k k ，化简整理得222313k k a +>.原命题得证(2)设()()1122,,,A x y B x y ，由题意知()0,1-C ． 由①得221312kky y +=+，② 因为()()11221,,1,AC x y CB x y =---=+ 由2AC CB =，得212y y -=.③ 由②③联立，解得22312k ky +-=，△OAB的面积12223132213OAB k S OCy y y k Δ=-===+上式取等号的条件是132=k ，所以OAB S ∆的最大值为23例5. 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程; (2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，平面向量的数量积，直线的斜率】解：(1)设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>> 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得2a b =,⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=. 根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<, ∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,,那么1221634k x x k+=-,+∴12028234x xk x k +==-,+0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k-,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k --,,+-+- 即2286()4433k N k k,++. ∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<.∴22287471192512()k k-≤-<-,++ 即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.3.课堂总结 【知识梳理】（1）直线:l y kx b =+，与圆锥曲线C ：(,)0F x y =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点.则12AB x =-=或12AB y =-=（2）椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为22b a（3）已知弦的中点，研究的斜率和方程AB 是椭圆 的一条弦，00(,)M x y 是AB 的中点，则2020AB b x k a y =-，22AB OM b k k a ⋅=-点差法求弦的斜率步骤是：（1）将端点坐标代入方程：2222112222221,1;x y x y a b a b +=+=（2）两等式对应相减：2222121222220;x x y y a a b b-+-=（3）分解因式整理：22012122212120.AB b x y y b x x k x x a y y a y -(+)==-=--(+) 【重难点突破】1.涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．2.注意数形结合思想的运用要注意数形结合思想的运用.在做题时候，最好先画出草图，注意观察、分析图象的特征，将形与数结合起来. 3.中点弦问题若问题涉及弦的中点及直线斜率问题，可考虑“点差法”，即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差，同时常与根与系数的关系综合应用. 4.随堂检测1.直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案： A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.直线2y kx =-与椭圆22480x y +=相交于不同的两点P 、Q ，若PQ 的中点的横坐标为2，则弦长|PQ |等于 ____________.答案：解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，弦长】由于222+4y 80y kx x =-⎧⎨=⎩，消去y 整得()221416640k x kx +--=. ()()1122,,,P x y Q x y 设，122162214kx x k+==⨯+则， 得12k =，从而12122644,3214x x x x k -+===-+，因此PQ =（三）课后作业 基础型 自主突破1. 直线y =与椭圆22221(0)x ya b a b +=>> 的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 等于（ ）A.B.C.D.12解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】 答案：B2. 直线2y kx =+与椭圆22236x y +=有两个交点时，k 的取值范围是 ( )A. k k <>B. k <<C. k k ≤≥D. k ≤≤答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 3. 过椭圆2224x y +=的左焦点F 作倾斜角3π为的弦AB ，则弦AB 的长为（ ） A. 67 B. 167C. 716D.12答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4．若过椭圆141622=+y x 内一点()1,2的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．答案：042=-+y x解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 设直线方程为()21-=-x k y ，与双曲线方程联立得()()0121616816412222=--++-++k k x k k x k ， 设交点()11,y x A ，()22,y x B ，则4418162221=+-=+kk k x x ，解得21-=k ， 所以直线方程为042=-+y x .5. 设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率23=e .已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程． 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x ，()y x M ,为椭圆上的点，由23=a c 得b a 2=.()b y b b y y x PM ≤≤-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=342132322222，若21<b ，则当b y -=时，2PM 最大，即7232=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b ，则21237>-=b ，故舍去． 若21≥b 时，则当21-=y 时，2PM 最大，即7342=+b ， 解得12=b .∴所求方程为1422=+y x . 能力型 师生共研6.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于（ ）A.B.C.D.12-答案：D解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.7. 已知椭圆22143yx+=,若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是( )A.(B.(C.(D.(答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设1122()()A x yB x y AB,,,,的中点为M(x,y),由题意知211212211224ABy yk x x x y y yx x-==-,+=,+=,-213x+21412y=①22223412x y+=②①②两式相减得223(x-222121)4()0x y y+-=,即12123()y y x x+=+,即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则229143m m+<,即m<<. 8.若直线4=+nymx和圆4:22=+yxO没有公共点，则过点()nm,的直线与椭圆14522=+yx的交点个数为_______.答案：2解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】由2422>+-+nm，得422<+nm.而120120445222222<-<-+=+mmnmnm，即点()nm,在椭圆内，所以过点()nm,的直线与椭圆相交，即有2个交点.探究型多维突破9.已知焦点为12(20)(20)F F-,,,的椭圆与直线l:x+y-9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( )A.170B.170C.70D.852答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(yx a ba b+=>>0),且c=2,则224b a=-.将椭圆方程与直线方程联立,得22221490yxa ax y⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩消去参数y,整理得：22224(24)18850a x a x a a--+-=. 因为直线l与椭圆有公共点,所以0∆≥,即22224(18)4(24)(85)0a a a a---≥,整理得422933400a a-+≥. 解得2852a≥,或24(a≤舍去),∴2170a≥,即椭圆长轴长的最小值为170.方法二:如图,可设P为椭圆与直线l的公共点,则|1PF|+|2PF|=2a所以问题转化为当P在l上运动时,求|1PF|+|2PF|的最小值.作2F关于l的对称点2F′00()x y,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7). 所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|==10. 已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，数学思想：等价转化】 (1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1. 又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =.所以椭圆的方程为22143y x +=. (2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则021213()()4RT y PQ x x y y =,,=-,-,210213()()4RT PQ x x y y y ⋅=-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即0RT PQ ⋅=,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.四、自助餐1.直线1y x =+被椭圆22142y x +=所截得的弦的中点坐标为（ ） A. 25,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 47,33⎛⎫⎪⎝⎭C. 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.已知直线():310l ax y a a R +-+=∈，椭圆22:12536y x C +=，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为（ ） A. 1 B. 12或 C. 2D.0 答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】3.过椭圆22154y x +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆相交于,A B O 两点，为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ） A. 53B.34C. 2D.76 答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4.已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线:40l x y -+=的距离最小，并求出这个最小值. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设与直线:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线方程为0x y m -+=由22088x y m x y -+=⎧⎨+=⎩消去x 得229280x my m -+-=则()2243680m m ∆=--= 得3m =±，当3m =-时，由图不符合题意，舍去.则所求切线方程为30x y -+=则两平行线之间的距离P l 到距离的最小值，即d 又由223081,3388x y P x y -+=⎧⎛⎫⇒-⎨ ⎪+=⎝⎭⎩5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点((120,,F F 的距离之和等于4，设P 的轨迹为C . （1）写出C 的方程.（2）设直线1y kx =+与C 交于,A B 两点，则k 为何值时，?OA OB ⊥此时AB 的值时多少? 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，直线与椭圆的位置关系】（1）由椭圆的定义知C 的轨迹方程为221.4y x += （2）设()()1122,,,A x y B x y 由()22221423044y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩则()22122122412402434k k k x x k x x k ⎧∆=++>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩又OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=而()()()2121212121+1=1y y kx kx k x x k x x =++++2221212222233241104444k k k x x y y k k k k ---+∴+=+-+==++++12121412,,21717k x x x x ∴=±+=±=-此时，117AB ∴=+== 6．已知点P 是⊙O ：922=+y x 上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足23DQ DP =. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)若点()1,1G ，则在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+ (O 是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由． 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，向量及运算,轨迹问题】 (1)设()00,y x P ，()y x Q ,，依题意，则点D 的坐标为()0,0x ， ∴()0,DQ x x y =-， ()00,DP y =．又23DQ DP =，∴⎪⎩⎪⎨⎧==-00320y y x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 2300. ∵点P 在⊙O 上，∴9220=+y x ，∴14922=+y x ， ∴点Q 的轨迹方程为14922=+y x .(2)假设14922=+y x 上存在不重合的两点()11,y x M ，()22,y x N ， 使()12OG OM ON =+，则()1,1G 是线段MN 的中点， 有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12122121y y x x ，即⎩⎨⎧=+=+222121y y x x .(3)又()11,y x M ，()22,y x N 在椭圆14922=+y x 上， ∴22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得()()()()04921212121=+-++-y y y y x x x x ，∴942121-=--=x x y y k AB ，∴直线MN 的方程为01394=-+y x ， ∴椭圆上存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+，此时直线MN 的方程为01394=-+y x .7.已知椭圆中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆交于P 和Q ，若OP OQ ⊥，且PQ =，求椭圆方程． 【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】解法一：设椭圆方程为22221x y a b+=，依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组：2222 1 1x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222222()2(1)0a b x a x a b +++-= ③设方程③的两根为12,x x 那么直线1y x =+与椭圆交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、．由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=．由2PQ =得：21252(),2x x -= 即212125()44x x x x +-=． ∴121221212()21204()1650x x x x x x x x +++=⎧⎨+--=⎩． 解得12121432x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩或12121412x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩．由③式结合韦达定理得：2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或2222222212(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩．解得22223a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或22232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴221223x y +=或223122x y +=． 解法二：设椭圆方程为221mx ny +=依题意知，点P Q 、的坐标满足方程组2211mx ny y x ⎧+=⎨=+⎩，整理得：2()210m n x nx n +++-=． 则121221n x x m n n x x m n -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩设直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=∴2m n +=，∴121212x x n n x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩由2PQ =得：21252(),2x x -=即212125()44x x x x +-= ∴248(1)50n n ---=．解得32n =或12n =代入得： 3212n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴223122x y +=或223122x y +=． 8．(本小题满分15分)已知椭圆C ：22221(y x a b a b+=>>的离心率 22=e ，原点到过点()b A -,0和()0,a B 的直线的距离为36. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知定点()0,2M ，若过点M 的直线l (斜率不等于零)与椭圆C 交于不同的两点E 、F (E 在M 与F 之间)，记OMFOME S S ∆∆=λ，求λ的取值范围． 答案：见解析 解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】(1)由题知直线AB 的方程为1=-+by a x ，即0=--ab ay bx . 依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==362222222ba ab b ac a c ，解得2=a ，1=b ，∴椭圆C 的方程为1222=+y x .(2)由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为()2y k x =-，将l 的方程代入椭圆方程1222=+y x ，整理得 ()028*******=-+-+k x k x k . 由0>∆，得()()()028********>-+--k k k ，即0122<-k ，∴2102<<k . 设()11,y x E ，()22,y x F ，则21x x >，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+122812822212221k k x x k k x x ，(*) 由OMF OME S S ∆∆=λ，得ME MF λ=，由此可得：ME MF λ= 则2221--=x x λ，且10<<λ. 由(*)知，()()12422221+-=-+-k x x ， ()()()12242222212121+=++-=-⋅-k x x x x x x ，∴()()()()81242212221212+=-+-⋅-=+k x x x x λλ， 即()21211422<-+=λλk ， ∵2102<<k ，∴()21211402<-+<λλ，又∵10<<λ， 解得1223<<-λ.即λ的取值范围是()1,223-．法二.由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为2my x =- 代2x my =+到椭圆方程中，运算量会大大减少．【知识点：直线与椭圆的位置关系】五、数学视野我们将上一节中椭圆的标准方程的推导过程作如下改变：2a =，经过化简，得到2a cx -= 将①式平方并整理得()2222222()a c x a y a a c -+=-②2a e x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表示点P 到定点2F 的距离，而式子2a x c ⎛⎫- ⎪⎝⎭表示点P 到定直线2a x c =（即与2F 相应准线的距离）.考虑到椭圆的对称性,2()a e x c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.于是动点P 的集合又可以描述为/,01PF P e e d ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，即平面内到一定点F 的距离和到定直线l (F 不在l 上)的距离d 的比是一定值()01e e <<(e 为椭圆离心率)的点P 的轨迹是椭圆．其中定点F 为椭圆的焦点，定直线l 为准线．这就是椭圆的第二定义，在教材第41页【例6】有所体现．②即()2222222()a c x a y a a c -+=-，移项整理得，()222222()a y a x a c =--，当 22a x ≠时，我们有222222y c a x a a -=-，也即21y y e x a x a ⋅=--+，从几何的角度来说，便是平面内与两个定点连线的斜率之积为定值的点P 的轨迹是椭圆．其中的定点为椭圆长轴的顶点，定值为21e -．这就是椭圆的第三定义，这个定义也恰是教材第35页【例3】的一般背景．。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义；2. 掌握椭圆的几何性质。
教学准备：1. 黑板、白板或投影仪；2. 教学素材：椭圆的定义、几何性质介绍。
教学步骤：步骤一：引入椭圆的概念1. 提问：你知道什么是椭圆吗？它有什么特点？2. 引导学生回忆：距离两个定点之和等于定长的点的集合。
3. 通过例子说明：如何用一个平面上的点集来定义椭圆。
步骤二：椭圆的基本定义1. 教师以图形的形式呈现椭圆的定义。
2. 教师解释：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
3. 引导学生回忆：两个定点称为焦点，定长称为焦距。
步骤三：椭圆的几何性质1. 教师介绍椭圆的几何性质，并逐个进行解释。
a. 椭圆的中心：定点连线的中点。
b. 半长轴和半短轴：焦点到椭圆上最远和最近的点所在的线段。
c. 焦距：两个焦点之间的距离。
d. 长轴和短轴：与半长轴和半短轴垂直的，通过中心的线段。
e. 弦：连接椭圆上两点的线段。
f. 离心率：焦距与长轴之比。
2. 引导学生观察图形，并回答相关问题。
步骤四：椭圆的推导与应用1. 教师给出一道例题，通过推导来解决问题。
2. 学生进行讨论，尝试解答问题。
3. 教师引导学生总结解题方法和思路。
步骤五：练习与拓展1. 学生个体或小组进行练习题，加深对椭圆性质的理解和应用。
2. 拓展问题：椭圆的方程和参数方程。
步骤六：总结与反思1. 教师与学生共同总结椭圆的简单几何性质。
2. 学生反思：通过本课学到了哪些知识，还有哪些困惑。
教学评价：1. 教师根据学生在课堂上的表现进行评价；2. 学生完成课后作业，教师批改并提供反馈；3. 课堂小测验或期末考试。
高中数学 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．2．过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题．3．情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美．●重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固(教师用书独具)●教学建议根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．●教学流程创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？⇒引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.⇒引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.⇒探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求离心率问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第22页)课标解读1.掌握椭圆的简单几何性质及应用．(难点)2．掌握椭圆离心率的求法及a ，b ，c 的几何意义．(难点)3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)椭圆的简单几何性质已知两椭圆C 1、C 2的标准方程：C 1：x 225＋y 216＝1，C 2：y 225＋x 216＝1.1．椭圆C 1的焦点在哪个坐标轴上，a 、b 、c 分别是多少？椭圆C 2呢？ 【提示】 C 1：焦点在x 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3，C 2：焦点在y 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3.2．怎样求C 1、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x 轴的交点(4,0)(－4,0). 焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e ＝ca椭圆的离心率观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？ 【提示】 利用椭圆的离心率． 1．定义椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a，叫做椭圆的离心率． 2．性质离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近于1，椭圆越扁，当e 越接近于0，椭圆就越接近于圆．(对应学生用书第23页)由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x 2＋9y 2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．【思路探究】 (1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a 、b 、c 的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】 将椭圆方程化为x 2116＋y 219＝1，则a 2＝19，b 2＝116，椭圆焦点在y 轴上，c2＝a 2－b 2＝19－116＝7144，所以顶点坐标为(0，±13)，(±14，0)，焦点坐标为(0，±712)，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．本例中，若把椭圆方程改为“25x 2＋16y 2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．【解】 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0).由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)过(3,0)点，离心率e ＝63. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a 2、b 2并写出标准方程？【自主解答】 (1)由题意知2a ＝4b ，∴a ＝2b .设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，代入点(2，－6)得，4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1，将a ＝2b 代入得，a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13， 故所求的椭圆标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当椭圆焦点在x 轴上时，有a ＝3，c a ＝63， ∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1； 当椭圆焦点在y 轴上时，b ＝3，c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.故所求椭圆标准方程为x 29＋y 227＝1或x 29＋y 23＝1.求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”． 1．定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论．2．定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a 2、b 2.其中a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a是重要关系式，应牢记．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴ 椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△B 1FB 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|B 1B 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率．(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【思路探究】 (1)由焦距与短轴长相等，你能得出a 、b 、c 的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2)由题意得2b ＝a ＋c ，如何使用这一关系式求e? 【自主解答】 (1)由题意得：b ＝c ，∴e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝c 22c 2＝12.∴e ＝22. (2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ，∴e ＝c a ＝35.求椭圆离心率的常用方法：1．直接法：求出a 、c 后用公式e ＝ca求解；或求出a 、b 后，用公式e ＝1－b 2a2求解． 2．转化法：将条件转化为关于a 、b 、c 的关系式，用b 2＝a 2－c 2消去b ，构造关于c a的方程来求解．(1)求椭圆x 216＋y 28＝1的离心率．(2)已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．【解】 (1)e ＝1－b 2a2＝1－816＝12＝22. (2)设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ， 即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝ca＝23＋1＝3－1.(对应学生用书第25页)混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误 求椭圆25x 2＋y 2＝25的长轴长和短轴长．【错解】 将方程化为标准方程得：x 2＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝1，∴长轴长是5，短轴长是1.【错因分析】 错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误． 【防范措施】 根据定义，长轴长为2a ，短轴长为2b ，往往与长半轴长a 、短半轴长b 混淆，解题时要特别注意．【正解】 将已知方程化成标准方程为x 2＋y 225＝1.∴a ＝5，b ＝1，∴2a ＝10,2b ＝2. 故长轴长为10，短轴长为2.1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a 、b 、c 的一个方程求得，也可以用公式求得．(对应学生用书第25页)1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的顶点坐标是( ) A ．(－1,0)、(1,0) B ．(－6,0)、(6,0)C ．(－6，0)、(6，0)D ．(0，－6)、(0，6)【解析】 椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1，焦点在y 轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．【答案】 D2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 214＝1，∴a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，∴e 2＝c 2a 2＝34，∴e ＝32. 【答案】 A3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜2，a ＝2，c ＝2－m ，e ＝c a ＝2－m 2＝12. 故2－m 2＝14，∴m ＝32.【答案】 B4．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为45，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程．【解】 由题意：c ＝4，e ＝45，∴a ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝9. 又椭圆的焦点在y 轴上，∴其标准方程为y 225＋x 29＝1.一、选择题1．(2013·济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 【解析】 由题意2a ＝10,2c ＝6，∴a ＝5，b 2＝16，且焦点位置不确定，故应选D. 【答案】 D2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 由于椭圆x 2a 2＋y 29＝1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．【答案】 D3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k (10＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33C.12D.13【解析】 Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，∴|PF 1|＋|PF 2|＝6c3＝2a ，a ＝3c . ∴e ＝ca＝13＝33. 【答案】 B5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a【解析】 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 99|＝…＝|F 1F 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，F 1P 50＝a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·兰州高二检测)若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为________． 【解析】 若焦点在x 轴上，则9k ＋8＝1－(23)2＝59，k ＝415；若焦点在y 轴上，则k ＋89＝59，∴k ＝－3. 【答案】415或－3 7．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为________． 【解析】 如图所示，△AF 1F 2为等腰直角三角形． ∴OA ＝OF 1，即c ＝b ， 又∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c a ＝22. 【答案】228．一个顶点为(0,2)，离心率e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．【解析】 (1)当椭圆焦点在x 轴上时，由已知得b ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝163，b 2＝4，∴方程为3x 216＋y 24＝1.(2)当椭圆焦点在y 轴上时，由已知得a ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.【答案】 3x 216＋y 24＝1或y 24＋x23＝1三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.(2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.10．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．【解】 如图，不妨设椭圆的焦点在x 轴上， ∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形， ∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°. 令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c . 由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.图2－1－211．如图2－1－2所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率．【解】 (1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，由题设可得|PA |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋222＝2 2.由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆．不妨设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)的求解过程知曲线E 的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为2，离心率为22. (教师用书独具)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在一点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，求该椭圆的离心率的取值范围．【解】 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，则结合已知，得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1|＝c a |PF 2|.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则ca|PF 2|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝2a 2c ＋a ，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF 2|＜a ＋c ，则2a 2c ＋a ＜a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0，解得e ＜－2－1或e ＞2－1.又e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈(2－1,1)．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1) D ．[12，1)【解析】 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，∴12≤e ≤22. 【答案】 B。
高中数学 2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
第2课时椭圆方程及性质的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.直线与椭圆的位置关系【问题导思】1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ②将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0，(*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12.这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上， ∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2， 故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ②又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题 图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论． 有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ， 则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)， 则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 20302＝2x 0y 01 500， 当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】 【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分 由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. 7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2.2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】 点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， 椭圆焦点坐标为(±3，0)． 【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2AB ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．3x －2y －4＝0 C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】 根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】 A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.【答案】 277．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝cb 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m＝2－1.【答案】2－1或228．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明：1k 1－3k 2＝2.【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝22， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1， 因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2， 所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2. (教师用书独具)(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5. ∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
最新(选修1-1)《椭圆的简单性质》教案
(选修1-1)《椭圆的简单性质》教案《椭圆的简单性质》教案教学目的：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
2．掌握标准方程中,,a b c的几何意义，以及,,,a b c e的相互关系。
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。
教学重点：椭圆的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型：新授课。
课时安排：1课时。
教具：多媒体、实物投影仪。
内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的。
怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位。
通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解。
通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。
难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性。
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用。
教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
北师大版高中数学选修1-1椭圆的简单几何性质教案
圆的简单几何性质（第一课时）（一）教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中、以及、的几何意义，、、、之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质．（二）教学过程【复习引入】由学生口述，教师板书：问题1．椭圆的标准方程是怎样的？问题2．在直角坐标系内，关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？【探索研究】1．椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点、、、．同时还需指出：（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；（2°）、的几何意义：是椭圆长半轴的长，是椭圆短半轴的长．（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．先分析离心率的取值范围：∵，∴．再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．【例题分析】例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解．解：把已知方程化成标准方程是这里，，∴．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点分别是和，椭圆的四个顶点是、、、．（前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视．）步骤如下：①列表：将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标．②描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点，；（2）长轴长等于20，离心率等于．解：由椭圆的几何性质可知，、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得，．又因为长轴在轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）由已知得，∴，∴．由于椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．（三）随堂练习（四）总结提炼，，轴、，<, /SUB>，（五）布置作业（六）板书设计一）教学目标进一步掌握椭圆的几何性质，掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题，明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的，可以互相推出．（二）教学过程【复习引入】前一节学习了椭圆的几何性质，哪一位同学回答：问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．什么叫做椭圆的离心率？以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题．教师可进一步提出问题：离心率的几何意义是什么呢？让我们先来看一个问题．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数（），求点的轨迹．【探索研究】椭圆的第二定义．（按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师板演．）解：设是点直线的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合由此得．将上式两边平方，并化简得设，就可化成这是椭圆的标准方程，所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆．由此可知，当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．至此教师可列出下表，由学生归纳．、、、、【例题分析】例1 求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程．可请一位学生演板，教师纠正，答案为，，焦点，顶点，，，准线方程．例2 已知椭圆上一点到其左、右焦点距离的比为1：3，求点到两条准线的距离．可在学生练习后请一位学生回答．解答如下：由椭圆标准方程可知，，∴，．由于，．∴，．设到左准线与右准线的距离分别为与，根据椭圆的第二定义，有∴，．即到左准线的距离为，到右准线的距离为．例3 已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．解：设在右准线上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有即．∴．显然，当、、三点共线时，有最小值．过作准线的垂线．由方程组解得．即的坐标为．（四）总结提炼1．列出椭圆的几何意义．（投影展示上表）．2．通过椭圆的第二定义，可进一步了解椭圆的离心率的几何意义，它反映椭圆的圆扁程度，决定着椭圆的形状．两准线间的距离为是不变量．（五）布置作业（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第三课时）（一）教学目标1．能利用椭圆中的基本量 、 、 、熟练地求椭圆的标准方程．2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中 、 和 、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定它的标准方程．【例题分析】例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为．∵点在椭圆上∴即①又∵一条准线方程是∴②将①、②代入，得整理得解得或．分别代入①得或．故所求椭圆方程为或．解法二：设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定义得，即．①又由准线方程为．②将②代入①，整理得解得或．代入②及得或故所求椭圆的方程为或．例2 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．解：设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．取为参数，那么即这就是所求点的轨迹的参数方程．消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆都用此法．例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：（1）、的取值范围；（2）的取值范围．解：（1）∵，，∴，．∴，为所求范围．（2）∴．（其中为第一象限角，且）．而．∴，即这所求．例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．解：由参数方程得平方相加得为所求普通方程．∵，，∴．∴椭圆的离心率．（三）随堂练习1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别为9和15的椭圆的标准方程为______________．2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．答案：1．2．，3．（四）总结提炼1．求曲线方程的基本程序是若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参数方程求的最值较方便．（五）布置作业1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与相应准线的距离为（）A．B．C．D．2．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（）A． B．C．D．4．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．答案：1．A 2．C 3．D 4．5．7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）内接矩形面积∴．（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第四课时）（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题．（二）教学过程【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）．2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值．【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例1 求证：椭圆上任一点与焦点所连两条线段的长分别为．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为．，则∵，∴．∴．又，∴故得证．证法二：设到左右准线的距离分别为，，由椭圆的第二定义有，又，∴．又，∴．故得证．说明：、叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵，，∴，．∴．即椭圆上焦点的距离最大值为，最小值为，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）为一个焦点的椭圆．已知它们近地点（离地面最近的点）距地面439，远地点（离地面最）距地面2384，并且、、在同一条直线上，地球半径约6371，求卫星运行的轨道方程（精确到1）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点、、在轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）．因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的方程为则解得∴．因此，卫星的轨道方程是．点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．分析：要求的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆与轴的正半轴交于点，是原点．若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的取值范围．分析：依题意点的横坐标，找到与、的关系式．教师讲解为好．解：设的坐标为，由，有于是下面方程组的解为的坐标消去整理得．解得或．即为椭圆的右顶点∴即．即，而，故．（三）随堂练习1．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，求的值．答案：1．2．（四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是，则长半轴长的取值范围是___________．2．若椭圆两焦点为，，在椭圆上，且的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知是椭圆的一个焦点，是过其中心的一条弦，记，则面积的最大值是（）A．B．C．D．4．已知是椭圆上的任意一点，以过的一条焦半径为直径作圆，以椭圆长轴为直径作圆，则圆与圆的位置关系是（）A．内切B．内含C．相交D．相离5．设是椭圆上的任一点，求点到椭圆两焦点、距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标．答案：1．2．3．D 4．A5．设则，∵∴当即或时，最大，最大值为．当即或时，最小，最小值为．6．设所求椭圆方程是依题意可得，其中如果，则当时，有最大值，即．由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，有最大值，即．由此得，，故所求椭圆方程为．由代入椭圆方程得点和到点的距离都是．注：本题也可设椭圆的参数方程是，其中，，利用三角函数求解．（六）板书设计。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教案标题：椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义和特点。
2. 掌握椭圆的几何性质，如长轴、短轴、焦点、离心率等。
3. 能够应用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义和性质。
2. 椭圆的几何性质的应用。
教学准备：1. 教材：提供相关椭圆的定义和性质的教材。
2. 工具：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，通过问题启发学生思考：什么是椭圆？它有什么特点和性质？2. 学生回答后，教师简要介绍椭圆的定义和特点。
二、椭圆的定义和性质（15分钟）1. 教师在黑板上绘制一个椭圆，并解释椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 教师解释椭圆的几何性质：a. 长轴：通过两个焦点且垂直于短轴的直线段。
b. 短轴：通过两个焦点且垂直于长轴的直线段。
c. 焦点：椭圆上到两个焦点的距离之和等于常数。
d. 离心率：离心率是一个衡量椭圆形状的参数，定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴的比值。
三、椭圆的简单几何性质应用（20分钟）1. 教师通过例题演示椭圆的性质应用：a. 例题1：已知椭圆的长轴长度为10cm，短轴长度为6cm，求其焦点坐标。
b. 例题2：已知椭圆的长轴长度为12cm，离心率为0.8，求其焦点距离。
2. 学生进行个别或小组练习，解决类似的椭圆性质应用问题。
3. 学生上台展示解题思路和答案，并进行讨论。
四、总结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调椭圆的定义和几何性质。
2. 教师提供一些拓展问题，让学生进一步思考和探索椭圆的性质。
五、课堂作业（5分钟）布置课后作业：完成教材上的相关练习题，并提醒学生复习本节课的内容。
教学反思：在教学过程中，教师应该注重激发学生的兴趣，通过问题启发和实例演示帮助学生理解椭圆的定义和性质。
在巩固阶段，教师可以设计一些拓展问题，激发学生思考和探索椭圆的更多性质。
高中数学选修1-1 2.1.2 椭圆的简单几何性质2 教案
课堂教学设计题型二：直线与椭圆的位置关系 例2：已知椭圆x 2+2y 2=a 2(a>0)的左焦点F 1到直线y=x-2的距离为22，求椭圆的标准方程。
解：椭圆的标准方程化为 122222=+a y a x a a a c 22222=-= ）（左焦点为0,22F 1a F 1到直线y=x-2的距离为2211202222=+--=a d 解得 24=a椭圆的标准方程化为 1163222=+y x 题型三：焦点三角形问题16410022=+y x例3：已知F1、F2是椭圆 的两个焦点， P 是椭圆上任意一点（1）若 ，求 的面积 （2）求 的最大值。
321π=∠PF F 21PF F ∆21PF PF ⋅2021=+PF PF 221222163cos2=-+πPF PF PF PF 2212122163cos22)(=--+πPF PF PF PF PF PF 336421=⋅PF PF 解得33913sin 212121=⋅=∆πPF PF S PF F 6,8,10)1(===c b a 解：221212216cos 22))(2(=--+θPF PF PF PF PF PF )cos 1(236421θ+=⋅PF PF 解得182)(,2max 21=⋅=PF PF 时当πθ【板书设计】2.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）题型一: 椭圆的轨迹问题例1题型二:直线与椭圆的位置关系例2题型三: 焦点三角形问题例3。
椭圆的简单几何性质教案
一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。
2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。
2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。
（2）椭圆的短轴长度为2b。
（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。
（4）椭圆的面积S=πab。
3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。
引导学生运用椭圆的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。
三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。
2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。
3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。
四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。
五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版
2.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）一、教学目标 核心素养发展直观想象、 逻辑推理 、数据分析素养 学习目标（1）掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. （2）明确椭圆中,,,a b c e 的几何意义，以及,,,a b c e 之间的相互关系. （3）能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题. 学习重点利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质 学习难点椭圆离心率的概念的理解及椭圆的几何性质的综合应用 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1预习教材3739P P - ，思考椭圆上的点,x y 的的取值范围？ 椭圆具有怎样的对称性？与数轴的交点是什么？ 任务2完成41P 的练习5，思考椭圆的扁平程度与那些量有关？ 2．预习自测1. 椭圆22259225x y +=的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ） A ．5，3，0.8 B ．10，6，0.8 C ．5，3，0.6D ．10，6，0.6．答案：B解析：椭圆的几何性质2. 椭圆2266x y +=的长轴的端点坐标是（ ） A ．（－1，0）、（1，0）B ．（－6，0）、（6，0）C ．(6,0)-、(6,0)D ．(0,6)-、(0,6)． 答案：D解析：椭圆的几何性质 （二）课堂设计 1.知识回顾（1）椭圆的定义：平面内点M 到两定点12,F F 的距离和为常数，即122MF MF a +=,当122a F F >时，点M 的轨迹是椭圆（2）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆标准方程为__()222210x y a b a b +=>>__焦点在y 轴上的椭圆标准方程为__()222210y x a b a b+=>>__其中a ，b ，c 的关系为____ 222a b c =+_____.（3）(),P x y 关于原点对称的点()1,P x y --，(),P x y 关于x 轴对称的点()2,P x y -，(),P x y 关于y 轴对称的点()3,P x y - 2．问题探究问题探究一 椭圆的几何性质●活动一 设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围．（1）从形的角度看：椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框里．（2）从数的角度看：利用方程研究，易知222210y x b a =-≥，故221x a ≤，即a x a -≤≤；222210x y a b=-≥故221y b ≤，即b y b -≤≤． ●活动二 （1）从形的角度看：观察椭圆的图形可以发现，椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>中以,x y --分别代替,x y ，方程不变，∴椭圆22221(0)x y a b a b +=>>既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，从而关于坐标原点对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． ●活动三如图， 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与它的对称轴共有四个交点，即12,A A 和12,B B ，这四个点叫做椭圆的顶点，线段12,A A 叫做椭圆的长轴，它的长等于2a ；线段12,B B 叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.显然，椭圆的两个焦点在它的长轴_上． ●活动四椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的长轴．用e 表示，即c e a =.(1)离心率的范围：01e <<(2)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度． 当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁 当e 越接近于0时，c 越接近于0，从而22b a c =-越接近于a,因此椭圆越接近于圆；当且仅当a b =时，0c =，这时两个焦点重合，图象变为圆222x y a +=． ★▲问题探究二 椭圆中,,,a b c e 的几何意义，以及,,,a b c e 之间的相互关系 例1.求椭圆222525x y +=的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标． 【知识点：椭圆的几何性质】详解：把原方程化成标准方程：22125y x +=．这里5,1a b ==，所以25126c =-=．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是210a =和22b =，两个焦点分别是12(0,26),(0,26)F F -，椭圆的四个顶点是1212(0,5),(0,5),(1,0),(1,0)A A B B --． 点拔：解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系求椭圆的几何性质．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点 ()3,0，离心率63e =； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】 详解： (1)若焦点在x 轴上，则3a =， ∵63c e a ==，2226,963c b a c ∴=∴=-=-=， ∴椭圆的方程为22193x y += 若焦点在y 轴上，则3b =，∵22296113c b e a a a ==-=-=解得 227a =.∴椭圆的方程为221279y x +=综上可知椭圆方程为22193x y +=或221279y x +=. (2)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．如图所示，12A FA ∆为等腰直角三角形，OF 为斜边12A A 的中线(高)，且12,2OF c A A b ==2224,32c b a b c ∴==∴=+=，故所求椭圆的方程为2213216x y +=. 点拔：利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，需要解决定位问题和定量问题.定位问题是由顶点、焦点可确定焦点在哪个坐标轴上，不能确定的要分情况讨论.定量问题可由长轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标来确定.利用离心率确定a ，b ，c 时，常用22=1c b e a a=-.例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 是坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】 详解：∵椭圆的长轴长是6、且2c os 3O FA ∠=，∴点A 不是长轴的端点（是短轴的端点）．∴2, 3.33c OF c AF a ===∴=2222,325c b ∴==-=．∴椭圆的方程是：22195x y +=或22159x y +=． 点拔：△OFA 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b 、c ，斜边的长为a ，∠OFA 的余弦值是椭圆的离心率．问题探究三 利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题 ●活动一 求椭圆的离心率例4.12,F F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，11PF PQ PF PQ ⊥=且，求椭圆的离心率． 【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】解析 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为,,a b c 之间的关系．详解： 如图所示，设m PF =1，则1,2PQ m FQm ==.由椭圆定义得a QF QF PF PF 22121=+=+. 所以a Q F PQ PF 411=++.即()a m 422=+.所以()a m 224-=.又()a m a PF 22222-=-=.在12Rt PF F ∆中， 2212221F F PF PF =+.即()()222224224222c aa =-+-.所以()222962321,62c e a=-=-=-.点拔：求椭圆的离心率e 的值，即求ca的值，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为,,a b c 之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、222c a b =-等关系都与离心率有直接联系，同时，,,a b c 之间是平方关系，所以，在求e 值时，也常先考查它的平方值． ●活动二 椭圆中的最值问题例5.设P 为椭圆22221x y a b+=上任意一点，1F 为它的一个焦点，求1PF 的最大值和最小值．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】详解：设2F 为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：a PF PF 221=+，122PF PF c -≤Q ，1222c PF PF c ∴-≤-≤，122222a c PF a c ∴-≤≤+，即c a PF c a +≤≤-1，1PF ∴的最大值为c a +，最小值为c a -.点拔：椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．例6.若AB 为过椭圆22221x y a b+=中心的弦，Fc （，0)为椭圆的右焦点，则AFB ∆ 的面积最大值是多少？【知识点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系】 详解：设A 、B 两点的坐标分别为0000(,),(,)x y x y --，则：AFB OFB OFA S S S ∆∆∆=+001122c y c y =⋅⋅+⋅⋅-00122c y c y =⋅⋅=⋅．因为点A 、B 在椭圆22221x y a b+=上，所以点A 00(,)x y 的纵坐标0y 的最大值是0y b =．所以AFB S ∆的最大值为bc ．点拔：此题关键的地方是写出过椭圆中心的弦与椭圆交点的坐标，然后表示出相应面积． 3.课堂总结 【知识梳理】依据椭圆的几何性质填写下表： 标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>> 图形性质 焦点 12(,0),(,0)F c F c - 12(0,),(0,)F c F c -焦距 ()2212||2F F c c a b ==-()2212||2F F c c a b ==-范围 ,x a y b ≤≤,x b y a ≤≤对称性 关于x 轴 ,y 轴 ,坐标原点对称顶点 (,0),(0,)a b ±±(0,),(,0)a b ±±轴长轴长2a ，短轴长2b【重难点突破】(1)根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．(2)通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，通过数形结合的方式探究掌握椭圆的几何性质．(3)根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的思想方法． （4）如图所示在2Rt BF O V 中，a c O BF =∠2cos ，记ace =则10<<e ，e 越大，O BF 2∠越小，椭圆越扁；e 越小，O BF 2∠越大，椭圆越圆． 4.随堂检测1．已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=，则24m +的取值范围是（ ）A ．423,423⎡⎤-+⎣⎦B ．43,43⎡⎤-+⎣⎦C ．422,422⎡⎤-+⎣⎦D ．42,42⎡⎤-+⎣⎦答案：A离心率()22101c b e e a a==-<<解析：【知识点：椭圆的几何性质】2．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）A ．221169x y +=或221916x y += B ．221259x y +=或221259y x += C ．2212516x y +=或2212516y x +=D ．无法确定 答案：C解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22B.212- C ．22- D.12- 答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x 如图，∵)0,(1c F -，∴()P y c P ,-代入椭圆方程得12222=+b y a c P ，∴222a b y P =，∴2121F F a b PF ==，即c ab 22=， 又∵222c a b -=，∴c ac a 222=-，∴0122=-+e e ，又10<<e ，∴12-=e . （三）课后作业 基础型 自在突破1．已知点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（ ） A. 22a -<< B. 22a a <->或 C ．22a -<< D ．11a -<< 答案： A解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.若焦点在轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（ ） A. 3B.32C ．83D ．23答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】3． 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A. 14B.12C ．2D ．4 答案： A解析：【知识点：椭圆的几何性质】4. 已知椭圆的长轴长8，离心率为32，则椭圆的标准方程为（）Ａ．221 43x y+=B．221163x y+=或221163y x+=C．221 164x y+=D．221164x y+=或221164y x+=答案：D解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】5．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______．答案：1 2解析：【知识点：椭圆的几何性质】6．椭圆的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，与离它较近的长轴端点的距离为105-，则此椭圆的方程为________________________.答案：222211 105510x y x y+=+=或解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】能力型师生共研7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为()A. 22B.3 2C.5 3D.63答案：A解析：【知识点：椭圆的几何性质】8.已知22221(0)x y a b a b +=>>的两个定点为()(),0,0,A a B b ，且左焦点为,F FAB ∆是以B 为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. 312- B. 512- C. 1+54D.3+14答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】9. 以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于__________ 答案：22解析：【知识点：椭圆的几何性质】 10. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）与椭圆369422=+y x 有相同的焦距，且离心率为55． （2）长轴长是短轴长的2倍，且经过点()4,2-P ． 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】（1）∵椭圆369422=+y x 的标准方程为：14922=+y x ， ∴5492=-=c ，∴该椭圆的焦距522=c ，5=c ．又∵55==a c e ，∴5=a ，252=a ．∴20525222=-=-=c ab ． ∴所求椭圆的方程为：1202522=+y x 或1202522=+x y ． （2）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或()012222>>=+b a bx a y ，由已知得b a 2=，且椭圆过点()4,2-， ∴1164422=+b b 或1441622=+bb ， 解得172=b ，682=a 或82=b ，322=a ，∴所求的椭圆方程为1176822=+y x 或183222=+x y ． 探究型 多维突破11.已知A 、B 为椭圆C:2211y x m m+=+的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且APB ∠的最大值是23π,则实数m 的值等于( )A.312+B.312-C.12D.32-答案： C解析：【知识点：椭圆的几何性质】由椭圆性质知,当点P 位于短轴的端点时APB ,∠取得最大值, 则tan 1132m m m+π=⇒=.12. 设P 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，求椭圆的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的几何性质】 解法一：如下图点P 是椭圆上的点，F 1，F 2是椭圆的焦点，由椭圆定义得a PF PF 221=+，① 在△F 1PF 2中，由余弦定理得21260cos 212212221=-+=︒PF PF F F PF PF . 即21222214PF PF c PF PF =-+. 由①得221222142a PF PF PF PF =++， 所以22134b PF PF =⋅②. 由①和②根据基本不等式，得221212⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅PF PF PF PF . 即2234a b ≤，又222c a b -=，故()22234a c a ≤-，解得21≥=a c e . 又1<e ，所以该椭圆的离心率e 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.解法二：由解法一得出a PF PF 221=+①，22134b PF PF =⋅②. 由①②可知1PF ，2PF 是方程034222=+-b ax x 的两根．则有0344422≥⨯-=∆b a ，即()2222443c a b a -=≥，所以224a c ≥.所以21≥=a c e ，又1<e ，所以该椭圆离心率e 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.解法三：设点()y x P ,，则ex a PF +=1，ex a PF -=2. 在△F 1PF 2中由余弦定理，得21260cos 212212221=-+=︒PF PF F F PF PF . 化简得222234ea c x -=，又因为a x a <<-. 2222340a e a c <-≤，即1314022<-≤ee ，解得121<≤e ，所以离心率的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21. 解法四：设椭圆交y 轴于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故︒≥∠60211F B F ，则︒≥∠3021F OB . 在Rt △OB 1F 2中2130sin sin 21=︒≥=∠a c F OB ，所以离心率e 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21. [点评] 本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思路，可谓奇思妙解，法三通过焦半径公式搭建起应用x 范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的． 四、自助餐1. 已知点（3，2）在椭圆22221x y a b+=上，则（ ）．A ．点（－3，－2）不在椭圆上B ．点（3，－2）不在椭圆上C ．点（－3，2）在椭圆上D ．无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程A.221 3616x y+=B.221 1636x y+=C.221 64x y+=D.221 64y x+=答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3．椭圆221259x y+=上点P到右焦点的距离（）．A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】点评：若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是椭圆的长轴离焦点近的端点，若椭圆上的点P到焦点的距离最大，则P点是椭圆的长轴离焦点远的端点4.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）．A．221 8172x y+=B．221 819x y+=C．221 8145x y+=D．221 8136x y+=解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质】5．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】6.P 点在椭圆22143x y +=上运动，点Q 、R 分别在圆22(1)1x y ++=与22(1)1x y -+=上运动，则PQ PR +的最大值是（ ） A ．4 B ．6C ．27D ．523+ 答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质，圆的性质】7. 已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，若121210,tan 2PF PF PF F ⋅=∠=u u u r u u u u r ，则此椭圆的离心率为________．解析：【知识点：椭圆的几何性质】 答案：538.已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________．答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 解析：【知识点：椭圆的几何性质】9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为512e -=，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个端点，则ABF ∠等于_____________． 答案：90︒解析：【知识点：椭圆的几何性质】10．如图所示，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c ，可得焦点为()0,1c F -、()0,2c F ，点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛b c 32,，∵Rt △MF 1F 2中，221MF F F ⊥， ∴2122221MF MF F F =+，即2122944MF b c =+， 根据椭圆的定义得a MF MF 221=+， 可得()222213222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=b a MF a MF ，∴222944322b c b a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，整理得ab a c 384422-=，可得()ab c a 2322=-，所以ab b 232=，解得a b 32=， ∴a b a c 3522=-=，因此可得35==a c e ，即该椭圆的离心率等于35． 11. 动点M 到一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线c a x l 2:=的距离比是常数()10<<=e ace ，求动点M 的轨迹方程． 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义】 设()y x M ,，由题意得()ac ca x y c x =-+-222， ()()22222222c a a y a x c a-=+-，令222b c a =-，方程化为22221(0)x y a b a b +=>>∴所求动点的轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>> .12. P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，求证：椭圆的离心率sin()sin sin e αβαβ+=+．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，椭圆的几何性质】 证明：在△12PF F 中，由正弦定理，得：1212sin sin sin[180()]PF PF F F βααβ==-+．由等比定理得1212sin sin sin()PF PF F F βααβ+=++，即：22sin sin sin()a cβααβ=++．∴sin()sin sin c e a αβαβ+==+．。
高中数学选修1-1《椭圆》教案
高中数学选修1-1《椭圆》教案教学目标：1. 能够了解椭圆的定义及基本性质。
2. 能够掌握椭圆的标准方程和参数方程，并能够根据给定条件确定椭圆的方程。
3. 能够掌握椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念。
4. 能够熟练地应用椭圆的相关知识解决相关问题。
教学重难点：1. 椭圆的基本概念和性质。
2. 椭圆的标准方程和参数方程的掌握。
3. 熟练应用椭圆的相关知识解决相关问题。
教学方法：教师讲授+学生自主学习+课堂练习+互动讨论。
教学过程：一、导入新课：邀请学生根据图片、视频、动画等展示椭圆的形状和特点，并引导学生探讨椭圆和圆的相同和不同之处。
二、概念解释：1. 什么是椭圆？学生结合图例理解椭圆的定义及基本性质。
2. 椭圆的性质有哪些？学生列出椭圆的基本性质，如对称性、离心率、焦点等等。
三、标准方程和参数方程：1. 什么是椭圆的标准方程和参数方程？学生结合图例，了解椭圆的标准方程和参数方程的含义和区别。
2. 如何根据给定条件确定椭圆的方程？学生结合具体例题，掌握如何根据给定条件确定椭圆的方程。
四、椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念：1. 什么是椭圆的离心率？学生理解椭圆离心率的含义，并掌握如何计算。
2. 什么是椭圆的焦点？学生理解椭圆焦点的含义，并掌握如何计算。
3. 什么是椭圆的直径？学生结合图例掌握椭圆直径的含义，并掌握如何计算。
五、课堂练习：1. 练习掌握椭圆的标准方程和参数方程。
2. 练习计算椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念。
六、课堂小结：通过本节课的学习，我们了解了椭圆的定义及基本性质，掌握了椭圆的标准方程和参数方程，并熟练应用椭圆的相关知识解决相关问题。
七、作业布置：1. 完成课堂上的练习题。
2. 完成教材上与本节课相关的习题。
3. 自主查阅相关资料，了解椭圆在实际生活和工作中的应用。
教学反思：此次数学选修1-1《椭圆》的教学目标简明明确，并且教学过程也紧密配合教学目标，对学生椭圆的认识和掌握搭建的基础更为牢固。
高中数学2.1.2《椭圆的几何性质》教案湘教版选修1-1
高中数学2.1.2《椭圆的几何性质》教案湘教版选修1-1第一篇：高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案湘教版选修1-1 第五课时椭圆的简单几何性质教学目标1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系2、熟练地求弦长、面积、对称等问题3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力教学过程1、复习回顾椭圆的定义、几何性质判断直线与圆的位置关系的方法2、探索研究直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的)，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离。
3、反思应用例1 当m为何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离？分析：将直线方程y＝x＋m代入椭圆9x＋16y＝144中，得9x＋16(x＋m)＝144，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―4·25(16m2―144)＝－576m2＋14400 当Δ＝0即m＝±5时，直线与椭圆相切；当Δ＞0即－5＜m＜5时，直线与椭圆相交；当Δ＜0即m＜－5或m＞5时，直线与椭圆相离。
例2 已知斜率为1的直线l经过椭圆x＋4y＝4的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|。
分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a=4,b=1,∴c=3,∴右焦点F(3,0), ∴直线l的方程为y=x-8353，代入椭圆得5x-83x+8=02222∴x1+x2=,x1x2=85,∴|AB|=2|x2-x1|=2(x1+x2)-8x1x2=285小结：弦长公式|AB|=1+k2|x2-x1|例3 过椭圆x2/16＋y2/4＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB 被点M平分，求弦AB所在直线的方程。
解一：当弦AB的斜率不存在时，弦AB的方程为x=2，不合题意舍去设弦AB所在直线的方程为：y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理得(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2为方程的两个根，于是x1+x2=4(2k4k22-k)+1，又M为AB的中点，∴x1+x22=2(2k4k22-k)+1=2，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2 又∵A、B两点在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，两式相减得x12－x22＋4(y12－y22)＝0，2⎧83kt⎪x1+x2=-2⎪1+4k∴⎨22212kt-4t⎪x1x2=2⎪1+4k⎩∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2+k(x1+整理得：(1+k2)x1x2+∴(1+k)(12kt-4t)1+4k222223t)⋅k(x2+223t)=0 3kt(x1+x2)+3kt2=0-24kt1+4k422+3kt22=0，整理得k＝4/11，2⎧323tx+x=-⎪12⎪27此时⎨24t⎪x1x2=⎪9⎩∵|PQ|＝20/9，∴1+k411323t272|x2-x1|=2209 即(1+)[(-)-216t9]=209,∴t=1所以所求椭圆方程为x2/4＋y2＝14、归纳总结数学思想：数形结合、函数与方程知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题作业：1、直线l与椭圆方程为4x2＋9y2＝36交于A、B两点，并且AB 的中点M(1,1)，求直线l的方程。
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《椭圆的简单性质》教案教学目的：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
2．掌握标准方程中,,a b c的几何意义，以及,,,a b c e的相互关系。
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。
教学重点：椭圆的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型：新授课。
课时安排：1课时。
教具：多媒体、实物投影仪。
内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的。
怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位。
通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解。
通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。
难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性。
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用。
教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
2．标准方程：22221x y a b +=，22221y x a b+= （0>>b a ）3．问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围:从标准方程得出122≤a x ,122≤b y ,即有a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:QB 2B 1A 2A 1P F 2F 1P ′P ″xOy把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆12222=+b y a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了． (4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同这种扁平性质由什么来决定呢？ 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式：a c e =⇒2)(1abe -= 范围：10<<e 。
考察椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，B 2B 1A 2A 1xOy此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。
三、讲解范例：例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。
解：把已知方程化成标准方程1452222=+y x所以，345,4,522=-===c b a ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102==b a ，离心率53==a c e ，两个焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，椭圆的四个顶点是)0,5(),0,5(2A A -，)4,0(),4,0(2B B - 将已知方程变形为22554x y -±=，根据22554x y -=，在50≤≤x 的范围内算出几个点的坐标),(y x ：x0 1 2 3 4 5 y43.93.73.22.4先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：4-45-5xO y例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）1162522=+y x （2）192522=+y x答：简图如下：4-45-5-33xO y例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1）14922=+y x （2）1364922=+y x答：简图如下：2-23-3xO y 6-67-7xO y四、课堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率解：由题意，)(:)(c a c a -+=3:2,即2311=-+e e ,解得 625-=e 2．如图，求椭圆12222=+by a x ,(0>>b a )内接正方形ABCD的面积解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE 的面积是所求正方形面积的1/4,且B 点横纵坐标相等，故设B （t t ,),代入椭圆方程求得22222b a ba t +=,即正方形ABCD 面积为22224ba b a + 五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法第二课时教学目的：1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质； 2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；3．掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力 教学重点：椭圆的第二定义、椭圆的准线方程 教学难点：椭圆第二定义 授课类型：新授课FE DCB AB 2B 1A 2A 1xOy课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点 椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比QB 2B 1A 2A 1P F 2F 1P ′P ″xOya c e =⇒2)(1abe -= 10<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。
4. 回顾一下焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：22)(y c x +-＋22)(y c x ++＝a 2 ⑴⇒)()(222x ca a c x a c a y c x -=-=+-，即acca x y c x =-+-222)( ⑵ 同时还有acca x y c x =--++)()(222 (3) 观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义二、讲解新课：1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率K 2F 2F 1N 1K 1N 2PB 2B 1A 2A 1xOyK 2F 2F 1N 1K 1N 2PB 2B 1A 2A 1xOy2．椭圆的准线方程对于12222=+by a x ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F B 2B 1A 2A 1xOy对应着右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线ca y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c a y l 22:=准线的位置关系：ca a x 2<≤焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 其上任意点),(y x P 到准线的距离：（分情况讨论）点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称三、讲解范例：例1 求下列椭圆的准线方程：（1）4422=+y x (2)1811622=+y x 解：⑴方程4422=+y x 可化为 1422=+y x ，是焦点在x 轴上且1,2==b a ，3=c 的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 33434±=±=x ⑵方程1811622=+y x 是焦点在y 轴上且4,9==b a ，65=c 的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 6565816581±=±=y 例2 椭圆13610022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线距离为10，求点P 到椭圆的右焦点的距离解：椭圆13610022=+y x 的离心率为54=e ，根据椭圆的第二定义得，点P 到椭圆的左焦点距离为 810=e再根据椭圆的第一定义得，点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 四、课堂练习：1．求下列椭圆的焦点坐标与准线方程（1）13610022=+y x （2）8222=+y x 10F 2F 1N 1K 1PB 2B 1A 2A 1xOy答案：⑴焦点坐标)0,8(),0,8(21F F -；准线方程2258100±=±=x ⑵焦点坐标)2,0(),2,0(21F F -；准线方程428±=±=x 2．已知椭圆的两条准线方程为9±=y ，离心率为31，求此椭圆的标准方程答案：19822=+y x 五、小结 ：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来上面)()(222x ca a c y a x -=+-（2）即ex a x ca a c y a x -=-=+-)()(222同样（3）也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式六、课后记：本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚 本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程，引导学生自己去发现椭圆的第二定义 使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑 利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学 使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益第三课时教学目的：1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题； 2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题； 3．体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念。