2017_2018学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版必修1

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2017-2018学年高一数学人教B版必修1课件：3-1-1实数指

)
答案:D
【做一做 3-2】计算: 2 3 ×
3
1.5 ×
6
12.
解: 2 3 ×
1 1 1 + + 32 3 6
3
1.5 ×
6
12 = 2 ×
1 32
×
3 2
1 3
×
1 (3×22)6
=2
1- +
1 1 3 3
×
= 2×3=6.
1
2
3
4
4.无理指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义. 一般地,无理指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 另外,我们要熟记经常要用的公式: (1)a-b=( �� − �� )( �� + �� )(a>0,b>0);
(2)a± 2 �� + �� = ( �� ± �� )2(a>0,b>0).
1
2
3
4
②在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反
的数,零的偶次方根是零,负数的偶次方根没有意义.设 a≥0,n 是大于 1 的偶数 ,则 a 的 n 次方根是 ± (4)根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的性质:
��
��. 其中 ��叫做a 的 n 次算术根.
��
①( �� )n=a(n>1,且 n∈N+);
5 4
1
2
3
4
【做一做 2-2】计算 (-8) + ( 2- 3)2= .
3
3

3.1.1实数指数幂及其运算

3
23 2
a ( a 0) 当n为偶数时 a a a ( a 0)
n
当n为偶数时：
4
4
24 2
( 2 ) 4 2 2
例1
( 2 ) 2 ( 7 ) 2 ＝7 ( 3)3 ( a 1) 3 ＝a-1
∵根指数2为偶数
∵根指数3为奇数
（2）当n为奇数时
解
；(2)(0.064)
－
2 3
125 (1) 27
－ 2 3
2 3
5 ＝33
2 3
5 25 2 ＝3 ＝9.
2
；
(2)(0.064) 4
＝[(0.4) ]
3 － 3
(3)
4
1 25 ＝0.4 ＝ 2＝ . 0.4 4
－2
256 － 3；(4) 2401
(3)a
m n
1 n
m n

1 a
m n
(a 0, m, n N *,且n 1)
(4)有理指数幂的运算法则：
α＋β a ①a a ＝_____ (a>0，α，β∈Q)；
α β
aαβ (a>0，α，β∈Q)； ②(aα)β＝_____
α α a b (a>0，b>0，α∈Q)． ③(ab) ＝_____
＝
n
am 中，为什么必
n
m
m n
＝ a 不一定成立，如(－2)
n
m
3 2
＝－23 无
2
意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
例2（用根式表示下列各式）
(1)a
2 3
a

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算同步测控

有理指数幂及其运算同步测控我夯基,我达标1.把根式52)(2---b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a-b)52- B.-2(a-b)52-C.-2(a52--b52-)D.-2(a52--b52-)解析：原式可化为-2（a-b ）52-.答案：A2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是…( ) A.x -=(-x)21(x≠0)B.x31-=3x -C.(yx )43-=43)(x y (xy≠0)D.62y =y 31(y<0)解析：根据根式、分数指数幂的意义，可得选项C 正确. 答案：C3.当a 、b∈R ，下列各式总能成立的是( )A.)(66b a -=a-bB.8822)(b a +=a 2+b 2C.4444b a -=a-bD.1010)(b a +=a+b解析：取a=0,b=1,A 不成立;取a=0,b=-1,C 不成立;取a=-1,b=-1,D 不成立;因为a 2+b 2≥0, 所以B 正确. 答案：B4.下列说法中正确的命题个数是( ) (1)-2是16的四次方根 (2)正数的n 次方根有两个 (3)a 的n 次方根就是n a (4)n n a =a(a≥0) A.1B.2C.3D.4解析：从n 次方根和n 次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系.此题主要目的是分清n 次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据. (1)是正确的,由(-2)4=16可验证. (2)不正确，要对n 分奇偶讨论.(3)不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值,它叫根式.(4)正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a =a 是正确的，当n 为偶数时，若a≥0，则有n n a =a ，综上，当a≥0时，无论n 为何值均有n n a =a 成立. 答案：B5.若a m=2，a n=3，则a 23n m -=__________.解析：先求ma3，nm a-3,n m aa 3=38，∴a 23nm -=38=362. 答案：362 6.化简107532aa a a ••（a ＞0）＝________.解析：先将根式化成分数指数幂再运算.原式＝57107532107212a a aa a ==••-+--.答案：57a 7.计算：（1）3253--(22710)32-+0.5-2；（2）1.531-×(67-)0+80.25×42+(323⨯)632)32(--. 分析:指数为小数时化为分数的形式，底数为根式时，化为指数式，并根据运算法则的顺序进行计算.解：（1）原式=(25)53--(2764)32-+(21)-2 =2-3-［(43)3］32+22=16981-+4 =1657. （2）原式=(32)31×1+(23)41×241+(231)6×(321)6-［(32)32］21=(32)31+(23×2)41+22×33-(32)31=2+4×27=110.我综合,我发展8.设α、β是方程5x 2+10x+1=0的两个根.则2α·2β=____________,(2α)β=_________. 解析：利用一元二次方程根与系数的关系得α+β,αβ.由题意得α+β=-2,αβ=51,则2α·2β=2α+β＝2-2=41,(2α)β=2αβ=251.答案：412519.已知x 31+x31-=4，求（1）x+x -1，（2）x 21+x21-的值.分析:题中（1）x+x -1是(x 31)3+(x31-)3可以用立方和公式求解，同时知道x 值是正数.求出x+x-1后再反用完全平方公式就能找到求x 21+x 21-的途径.解：（1）∵x 31+x 31-=4,∴x+x -1=(x 31+x 31-)(x 32-1+x32-)=(x 31+x31-)［(x 31+x31-)2-3］=4(42-3) =52.（2）∵x>0,∴x 21+x 21->0.∵x+x -1=52, ∴x 21+x21-=22121)(-+xx =12-++x x =6354252==+.10.已知a<b<0，n>1,n∈N *,化简n n b a )(-+n n b a )(-.分析:由a 的n 次方根的概念，对于根指数n ，要区分它为正偶数和正奇数的情况，增强分类讨论的意识.特别是正偶数的情况，开方以后的结果要带有绝对值符号，再根据已知条件去掉绝对值符号.解：当n 是奇数时，原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n 是偶数时，原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a. 所以n n b a )(-+n n b a )(- =⎩⎨⎧-.,2,,2为偶数为奇数n a n a11.已知x 21+x 21-=3，求23222323-+-+--x x x x 的值. 分析:已知条件x 21+x21-=3较为复杂，需要整理后再使用，同时注意对平方差（和）、立方差（和）等常用公式的识别. 解：∵x 21+x 21-=3，∴(x 21+x 21-)2=9,即x+x -1=7.∵x 23+x 23-=(x 21+x 21-)(x-1+x -1),∴x 23+x23-=3×(7-1)=18.∵x 2+x -2=(x+x -1)2-2=47, ∴原式=314515247318==--.我创新,我超越12.如图3-1-1，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪出一个半径为21的半圆形纸板P 2，然后依次剪出一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是__________.图3-1-1解析：由已知可得r 1=（21）0，r 2=（21）1，r 3=（21）2，r 4=（21）3，依次类推r n =（21）n-1.答案：（21）n-113.化简: （1）246-; （2）154-.分析:（1）题中246-的小根号前是-4，化为-2得826-，容易找到4+2=6,4×2=8；（2）中154-小的根号前没有2，变出2得154-=21528-，而5+3=8,5×3=15. 解：（1）原式＝22)2(2222+•⨯- =22|22|)22(2-=-=-.（2）原式＝21528- =2)3(352)5(22+••-=2)35(- =2|35|-=235-=2610-.14.已知2x=a 21+a21-(a ＞1),求1122---x x x 的值.分析:思路一是直接代入求值,比较烦琐,思路二是注意观察研究规律:(x+12-x )(12--x x )=1,先从化简表达式入手.在分数指数幂的运算中,还要注意公式的变式使用,如a 21+b 21=2121ba b a --,a+b=(a 31+b 31)(a 32-a 31b 31+b 32)等.解法一:∵(2x)2=(a 21+a 21-)2=a+2+a -1,∴x 2=41a+21+41a -1. ∴x 2-1=41a 21-+41a -1=41(a 21-a 21-)2.∴1-x 2=21(a 21-a 21-).∴原式=)(21)(21)(21212121212121-----+-a a a a a a =212212121-=---a aa a . 解法二:)1)(1()1(111222222-+---+-=---x x x x x x x x x x=1)1(122-+-x x x=21×21(a 21+a 21-)(a 21-a 21-)+41a 21-+41a -1=41(a-a -1)+41a 21-+41a -1 =21-a .。

知识点整理-[高中数学]第三章基本初等函数(I)

如果 a=1，y=1x=1，是一个常量，对它就没有研究的必要。
为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0 且 a≠1。
1
③如 y=2·3x，y= 2 x ，y= 3 x2 ，y=3x+1 等函数都不是指数函数，要注意区分。
（2）指数函数的图象和性质
y=ax
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域为 R，值域为(0,+∞)
质对于无理指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围。
（3）利用分数指数进行根式与幂的计算
在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指
数幂，并尽可能的统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，
以利于运算、达到化繁为简的目的。
对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示，如
a0=1，即 x=0 时，y=1，图像都过点(0,1)
性 a1=a，即 x=1 时，y 等于底数 a，图像都经过点(1,a)
质在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
x＜0 时，ax＞1；
x＜0 时，0＜ax＜1；
x＞0 时，0＜ax＜1
x＞0 时，ax＞1
既不是奇函数，也不是偶函数
4
学习指数函数的图象和性质，需要注意的几个问题： ①当底数 a 大小不定时，必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两种情况讨论。 ②当 0＜a＜1 时，x→+∞，y→0；当 a＞1 时，x→-∞，y→0。当 a＞1 时 a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快；当 0＜a＜1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快。（其中“x→+∞”意义是：“x 接近于正无穷大”）。 ③在同一直角坐标系中指数函数图象的位置与底数大小的关系：在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。规律：当 a＞1，b＞1 时，指数函数 y=ax，y=bx 的图象在同一坐标系中，在直线 x=0 的右边，当 a＞b 时，y=ax 的图象在 y=bx 的图象上方，在直线 x=0 的左边正好相反。当 0＜a＜1，0＜b＜1 时，指数函数 y=ax，y=bx 的图象的关系与 a＞1，b＞1 正好相反。（3）指数函数的定义域与值域指数函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）的定义域是(-∞,+∞)，值域是(0,+∞)。求由指数函数构成的复合函数的定义域时，可能涉及解指数不等式（即未知数在指数上的不等式）。解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底的幂的形式，利用指数函数的单调性脱去幂的形式，从而转化为熟悉的不等式。同时还应注意负数不能开偶次方，分母不能为零，限制 x 的取值。求由指数函数构成的复合函数的值域，一般用换元法即可，但应注意在中间变量的值域以及指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况。（4）指数函数图象的变换规律 ①平移规律若已知 y=ax 的图象，则把 y=ax 的图象向左平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax+b 的图象，向右平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax-b 的图象，向上平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax+b 的图象，向下平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax-b 的图象。一般的，把函数 y=f(x)图象向右平移 m 个单位得到函数 y=f(x-m)的图象（m∈R，m＜ 0，就是向左平移|m|个单位）；把函数 y=f(x)的图象向上平移 n 个单位，得函数 g(x)=f(x)+n 的图象（n∈R，n＜0，就是向下平移|n|个单位）。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算(一)学案新人教B版必修1

3．1.1 实数指数幂及其运算(一)学习目标 1.理解正整指数幂的含义，掌握正整指数幂的运算法则.2.了解根式与方根的概念.3.掌握根式的性质，并能进行简单的根式运算．知识点一整数指数思考1 n个相同因数a相乘的结果怎么表示？这个结果叫什么？思考2 零指数幂和负整指数幂是如何规定的？梳理整数指数幂的概念及性质(1)有关幂的概念a n＝a·a·…·a，a n叫做a的________，a叫做幂的________，n叫做幂的________，n∈N ＋，n个并规定a1＝a.(2)零指数幂与负整指数幂规定：a0＝____(a≠0)，a－n＝______(a≠0，n∈N＋)．(3)整数指数幂的运算法则a m·a n＝______.(a m)n＝______.a m＝______(m＞n，a≠0)．(ab)m＝______.a n知识点二n次方根、n次根式思考若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？梳理根式的概念(1)a的n次方根定义如果存在实数x，使得______，那么x叫做a的n次方根，其中a∈R，n>1，且n∈N＋. (2)a的n次方根的表示(3)根式当n a有意义的时候，______叫做根式，这里n叫做______，a叫做被开方数．知识点三根式的性质思考我们已经知道若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2等于什么？32呢？－2呢？梳理一般地，有(1)n0＝____(n∈N＋，且n>1)．(2)(na)n＝____(n∈N＋，且n>1)．(3)na n＝a(n为大于1的奇数)．(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧aa(n为大于1的偶数)．类型一根式的意义例1 求使等式a－a2－＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．反思与感悟对于n a，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要n a有意义，n a必不为负．跟踪训练1 若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．类型二利用根式的性质化简或求值例2 化简： (1)4－π4； (2)a －b 2(a >b )； (3)(a －1)2＋－a 2＋3－a 3.反思与感悟 n 为奇数时，⎝⎛⎭⎫n a n ＝n a n ＝a ，a 为任意实数；n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫n a n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫n a n ＝a ；而a 为任意实数n a n 均有意义，且n a n ＝|a |.跟踪训练2 求下列各式的值： (1)7－7； (2)4a －4(a ≤1)；(3)3a 3＋4－a 4.类型三有限制条件的根式的化简例3 设－3<x<3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．引申探究例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？反思与感悟n为偶数时，na n先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．跟踪训练3 已知x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6x2－4x＋3＝________.1．已知x5＝6，则x等于( )A. 6B.56 C．－56 D．±562．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A.4m2 B.3m C.6m D.5－m3．(42)4运算的结果是( )A．2 B．－2 C．±2 D．不确定4.3－8的值是( )A．2 B．－2 C．±2 D．－85．化简－2x2(2x>1)的结果是( ) A．1－2x B．0C．2x－1 D．(1－2x)21．如果x n ＝a ，n 为奇数时，x ＝n a ，n 为偶数时，x ＝±n a (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.2．掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ， a <0.。

3.1.1(一)实数指数幂及其运算教案学生版

第三章基本初等函数(Ⅰ) §3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算(一)【学习要求】1.了解根式与方根的概念及关系;2.理解分数指数幂的概念;3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算. 【学法指导】通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点1.相同因数相乘记作a n ,a n 叫做 a 的n 次幂 ,a 叫做幂的底数 ,n 叫做幂的指数2.正整指数幂的性质:(1)a m ·a n ＝a m ＋n ;(2)(a m )n ＝a m·n;(3)a m an ＝a m －n (m>n,a≠0);(4)(ab)m ＝a m b m .3.如果存在实数x,使得x n ＝a (a ∈R,n>1,n ∈N ＋),则x 叫做 a 的n 次方根求a 的n 次方根,叫做把a 开n 次方,称作开方运算.正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根当n a 有意义的时候,na 叫做根式 ,n 叫做根指数.当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数 ,负数的n 次方根是一个负数 ,此时a 的n 次实数方根只有一个,记为na;当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数 ,它们可以合并写成 ±(a>0)形式. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n 次方根呢？答案是肯定的,这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算. 探究点一整数指数及其运算问题1 整数指数幂a n (n ∈N ＋)的意义是什么？a n 、a 、n 分别叫做什么？问题2 正整指数幂有哪些运算法则？问题3 零和负整指数幂是如何规定的？例1 计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的a,b≠0).(1)a －3b －2－3a 2b －19a －2b －3; (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋－3－4－－2＋03(a ＋b≠0,a －b≠0).小结: 当我们规定了a 0＝1 (a≠0);00无意义;a －n ＝1an(a≠0,n ∈N ＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 跟踪训练1 化简下列各式:(1)80＝______;(－8)0＝______;(a －b)0＝____(a≠b); (2)10－3＝______;⎝⎛⎭⎫－12－6＝______. 探究点二根式的概念与性质问题1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？问题2 类比a 的平方根及立方根的定义,如何定义a 的n 次方根？问题3 类比平方根、立方根,猜想:当n 为偶数时,一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？小结:一个数到底有没有n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n 为奇数和n 为偶数这两种情况.问题4 根据n 次方根的意义,可得:(n a)n ＝a,即(n a)n ＝a 肯定成立,n a n 表示a n 的n 次方根,等式na n ＝a 一定成立吗？如果不一定成立,那么na n 等于什么？例2 求下列各式的值: (1)3－3; (2)－2; (3)4－4; (4)－2 (a>b).小结:当n 为偶数时,na n 化简得到结果先取绝对值,再去绝对值算具体的值,这样就避免出现错误.跟踪训练2 求下列各式的值: (1)7－7; (2)3－3 (a≤1).探究点三利用根式的性质化简或求值例3 化简:－2＋－2＋3－3＝________.小结:根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,如对ma n 仅当a≥0时,恒有m a n ＝(ma)n ,若a<0,则不一定成立.跟踪训练3 化简3a 3＋4－4的结果是 ( ) A.1 B.2a －1 C.1或2a －1 D.0 探究点四有限制条件的根式的化简例4 设－3<x<3,求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值.小结: 此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方部分化为完全平方的形式,结合根式性质求解. 跟踪训练4 本例中,若将“－3<x<3”变为“x≤－3”,则结果又是什么？练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中:①16的4次方根是2; ②416的运算结果是±2; ③当n 为大于1的奇数时,na 对任意a ∈R 都有意义; ④当n 为大于1的偶数时,n a 只有当a≥0时才有意义.其中正确的是( )A.①③④B.②③④C.②③D.③④2.已知x 5＝6,则x 等于 ( )A. 6B.56C.－56D.±56 3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( )A.4m 2B.3mC.6mD.5－m课堂小结：1.根式的概念:如果x n ＝a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,且n ∈N ＋.n 为奇数时,x ＝n a,n 为偶数时,x ＝±na(a>0);负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.2.掌握两个公式: (1)(na)n＝a; (2)n 为奇数,na n＝a,n 为偶数,na n＝|a|＝⎩⎨⎧a－.。

2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.1实数指数幂及其运算二课件新人教B版必修1

知识点二
有理指数幂的运算性质
思考
我们知道32×33＝32＋3.那么 64 64 ＝64
1 2 1 3
1 2
1 3
1 1 2 3
成立吗？
答案成立 64 64 ＝ 64× 64＝ 82× 43＝8×4＝32,
3 3
64
1 1 2 3
＝64
5 6 ＝6
64 ＝ 256＝25＝32.
5
6
答案
梳理
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理指数幂，即： aαaβ ＝ aα ＋ β(a>0 ，
α，β∈Q)；(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈Q)；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈Q).
知识点三
无理指数幂
梳理
无理指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数 .有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂.
1 1 7 0 0.25 4 3 3 跟踪训练 3 (1)化简：( ) ×(－ ) ＋8 × 2＋( 2× 3)6； 8 6
解原式＝ 8
1 (－1)(－ ) 3
1＋( 2 ) 2 ＋(2 ) (3 ) ＝2+ 2
1 3 4
1 4
1 3 6
1 2 6
3 1 ＋ 4 4
＋2 2 33＝112.
2 5

3
1 xx
4 5

3
1 x
9 5

1 (x )
9 1 5 3

1 x
3 5
x .

3 5
x( x )
5
解答
类型二
用指数幂运算公式化简求值
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)：

【三维设计】高中数学教师用书第1部分第三章 3.1.1 实数指数幂及其运算课件新人教版B版必

2 3
b
16 3 3 ＝(10a)4·(10b)－23＝24·3－23＝ 3 .
(1)在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
(2)幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂.若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
2
5．计算(2a－3b－3)·(－3a－1b)÷(4a－4b－35)得
()
A．－32b2
B.32b2
C．－32b73
D.32b37
解析：原式＝[2×(－3)÷4]a－3－1－(－4)b－32＋1－(－53)
＝－32a0b2＝－32b2.
答案：A
6．已知a＋a－1＝5，则a2＋a－2＝________．解析：法一：由a＋a－1＝5两边平方得 a2＋2aa－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23. 法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1 ＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23. 答案：23
1．化简( a－1)2＋（1－a）2＋ 3 (1 a)3 ＝________．
解析：由题意得a－1≥0，即a≥1. ∴原式＝a－1＋|1－a|＋1－a
＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 答案：a－1
2．计算下列各式的值： (1) 3 (4)3 ； (2) 4 (9)2 ； (3) 6 (3 )6 ； (4) 8 ( x 2)8 .
2．根式的意义和性质
n
当式子n a有意义时， a 叫做根式，n 叫做根指数．根式的性质：
n
(1)(
a)n＝
a
(n>1，且
n∈N＋)；
n
(2)
an＝
a， |a| ，

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教B版必修1

3。

1。

1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算学习导航学

3.1.1 有理指数幂及其运算1.整数指数正整数指数幂的定义:在初中我们学习了a n=个n a a a ∙∙∙(n∈N *). 其中，a n 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数,并规定a 1=a. 在上述定义中，n 必须是整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂. 正整数指数幂的运算满足如下法则：(1)a m ·a n =a m+n;(2)(a m )n=a mn,n m aa =a m-n(m>n,a≠0);(3)(ab)m =a m b m.如此规定零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂.并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 并且我们规定: a 0=1(a≠0),a -n=n a1(a≠0,n∈N *). 2.分数指数（1）根式①方根的概念：我们知道，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根（quadratic root ）;如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（cubic root ）.一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n>1且n∈N *)，那么x 叫做a 的n 次方根（nthroot ）. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.此时，a 的n 次方根只有一个，记为x=n a ；当n 是偶数时，正数的n 次实数方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号n a -表示.正的n 次实数方根与负的n (a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0=0. ②根式的概念式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）. ③根式的性质当n 是奇数时，n a n =a ；当n 是偶数时，n a n=|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a（2）分数指数幂①正数a 的正分数指数幂我们规定：a nm =n m a (a>0,m 、n∈N *,n>1).②正数a 的负分数指数幂 anm -=nm a1=nma 1(a>0,m 、n∈N *,n>1).③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s =a r+s(a>0,r 、s∈Q );②(a r )s =a rs(a>0,r 、s∈Q );③(ab)r =a r b r(a>0,b>0,r∈Q ). （4）无理数指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 高手笔记1.对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化.2.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式,如a32b 、2-ba都不是最简形式.应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒. 3.经常要用的公式:（1）a-b ＝（b a -）（b a +）(a>0,b>0)；（2）a±2ab ＋b ＝（a ±b ）2(a>0,b>0)；（3）a±b＝（3a ±3b ）（32322b ab a + ）(a>0,b>0). 4.npmp a =n m a （a≥0）,其中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如62)8(-≠38-.5.分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 名师解惑1.为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？在以前学习的正整数指数幂中运算法则a m ÷a n =a m-n中为什么会限定m>n ？剖析：（1）根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根.假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n=a.因为x n ≥0，若a<0，则x n=a 不成立，且与方根定义矛盾.（2）因为是正整数指数幂，如果没有m>n 的限定,m-n 可能等于0或者m-n<0.为了取消m>n 的限制，才定义了0次幂和负整数指数幂.这样m 、n 的大小就任意了，这样有可能产生负整数，也就把正整数指数幂扩充到了整数指数幂.2.引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？在分数指数幂a nm中为什么限定a>0？剖析：（1）引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即n a =a n1，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然a n1是a nm 当m=1时的特例.（2）分数指数幂的意义来源于根式，而要使n a m对任意的n∈N *且n>1都有意义，必须限定a>0，否则,当a=0时，若m=0或nm为分母是偶数的负分数，a n m没有意义；当a<0时，若m 为奇数，n 为偶数，a nm 没有意义.（3）我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如-3=327-=(-27)31=(-27)62=62)27(-=6729=3.为什么会出现-3=3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的-3＜0,在(-27)31=(-27)62中发生的错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a>0”或“a>0,b>0”. 讲练互动【例题1】计算：（1）（27125）32-；（2）0.00832-；（3）（240181）43-；（4）（2a+1）0；（5）［65-（53）-1］-1.分析:在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m 0才有意义；而对于形如（a b ）-n 的式子，我们一般是先变形为（ba ）n，然后再进行运算.解：（1）（27125)32-=（3335）32-=2235--=2253=259.（2）0.00832-=（0.23）32-=0.2-2=（51）-2=52=25. （3）（240181）43-=（4473）43-=3373--=3337=27343.（4）（2a+1）0=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠.21,,21,1a a 无意义（5）［65-（53）-1］-1=（6535-）-1=（65-）-1=56-.绿色通道在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键. 变式训练 1.计算：（1）（-383）32-＋（0.002）21--10（5-2）-1＋（32-）0=__________.（2）（41）2121432231)(1.0)4(---b a ab =____________.解析：（1）原式＝（-1）32-（827）32-＋（5001）21-2510--＋1＝［（23）3］32-＋（102×5）21-10（5+2）＋1＝916712051051094-=+--+; （2）原式＝24232323223211044+--⨯b a =b b 25125121=. 答案：(1)9167- (2)b 251【例题2】化简322234)210()323(27622----+-的结果是( ) A.35B.-3C.3D.9 解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算. 原式＝31132126)311(278323+-=---+-+6=9. 答案：D绿色通道对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算.在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a ＞0，则3a ＞0，若a ＜0，则3a ＜0；但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，对a 才有意义. 变式训练2.化简：(1)432981⨯=____________;（2）3131421413223)(ba b a ab b a -(a>0,b>0)=____________.解析：（1）原式＝421322)9(9⨯＝431299⨯＝4379＝67127413739)9(==；（2）原式＝3131221323123)(ba ab b a b a -=3123113116123--++-+b a=ab -1.答案：（1）367 （2）ab -1【例题3】已知a=278-，b=7117，求333131343233232793ba a ba ab ab a -÷-++的值. 分析:化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.解：∵a≠0，∴原式=)27()3(331231313123b a a b b a a -++×3131313ab a -.又∵a -27b≠0，∴原式=)27()3()(32331331b a a b a --=a32-=32)278(--=2)32(--=（23-）2=49. 黑色陷阱本题容易直接将a 、b 的值代入，后化简，因为运算烦琐，不容易做出正确的结果,所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题,这样才能养成良好的思维习惯. 变式训练3.已知a=-1，b=7163，求)21(483323323134abbab a a b a a -÷++-×3a =___________. 解析：原式=313131132313131231312)2(2)()8(a ba ab b a a b a a ⨯-⨯++-=331331313131)2()()8(b a b a a--++=a.∵a=-1,∴原式=a=-1. 答案：-14.已知x+y=12,xy=9且x<y,且21212121yx y x +-=________.解析：∵x+y=12,xy=9且x<y ， ∴x>0,y>0,x -y<0.∴x -y=2)(y x --=xy y x 4)(2-+-=94122⨯--=36-,x 21y 21=9xy ==3.∴原式＝))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=36321222121-⨯-=-+-y x y y x x =33-. 答案：33-。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算学案新人教B版必修1

3．1.1 实数指数幂及其运算1．理解n次方根及根式的概念．(重点)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)[基础·初探]教材整理1 整数指数阅读教材P85～P86“第7行”以上部分，完成下列问题．1．a n＝.a n叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，并规定a1＝a.2．零指数幂与负整数指数幂规定：a0＝1(a≠0)，a－n＝1a(a≠0，n∈N＋)．3．整数指数幂的运算法则正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．下列运算中，正确的是( )A．a2·a3＝a6B．(－a2)5＝(－a5)2C．(a－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10【解析】a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当a＝1时，(a－1)0无意义；当a≠1时，(a－1)0＝－1.【答案】 D教材整理2 根式阅读教材P86～P87“第6行”以上内容，完成下列问题．1．a的n次方根的意义如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．求a的n次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．2．根式的意义和性质当n a 有意义时，na 叫做根式，n 叫做根指数．根式的性质：(1)(na )n＝a (n >1，且n ∈N ＋)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，当n 为奇数时，|a |，当n 为偶数时.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ∈N *时，(n－16)n都有意义．( )(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)na n＝a .( )【解析】 (1)×.当n 是偶数时，(n－16)n没有意义． (2)×.负数没有偶次方根．(3)×.当n 为偶数，a <0时，na n＝－a . 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理3 实数指数幂阅读教材P 87“第7行”～P 88“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义：a mn ＝(n a )m ＝n a m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理指数幂的运算性质 (1)a αa β＝aα＋β(a >0，α，β∈Q )； (2)(a α)β＝aαβ(a >0，α，β∈Q )；(3)(ab )α＝a αb α(a >0，b >0，α∈Q )． 3．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－π2＝π－3.( )(2)分数指数幂a mn 可能理解为mn个a 相乘．( )(3)0的任何指数幂都等于0.( ) 【解析】 ∵－π2＝|3－π|＝π－3.∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]【导学号：60210072】(1)5－5；(2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π24； (3)x －y2；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)．【精彩点拨】根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．【自主解答】 (1)5－5＝－2.(2)∵3－π<0，∴4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π24＝π－32.(3)x －y2＝|x －y |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －y ，x ≥y ，y －x ，x <y .(4)原式＝x －2－x ＋2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴－4<x －1<2,0<x ＋3<6.当－4<x －1<0，即－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2；当0≤x －1<2，即1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4. ∴x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.1．正确区分na n与(na )n(1)(na )n已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的范围； (2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[再练一题]1．求值：3－22＋⎝⎛⎭⎫31－23＝________.【解析】3－22＋⎝⎛⎭⎫31－23＝2－2＋()1－2＝2－1＋1－2＝0.【答案】 0【精彩点拨】对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解．【自主解答】1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝a m n 的两点说明：(1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m ↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．[再练一题]2．化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A.x B ．x C ．1 D ．x 2【解析】 .故选C.【答案】 C(1) ；(2)．【精彩点拨】【自主解答】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2).利用指数幂的运算性质化简求值的方法1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[再练一题]3．计算：.【解析】【答案】 12[探究共研型]探究1 把⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 分别展开是什么？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a ＋1a ＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a 2＋1a 2＋2.探究2 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎪⎫a －1a2有什么关系？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.已知a 12＋a -12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【精彩点拨】寻找要求值的式子与条件式a 12＋a -12＝4的联系，进而整体代入求值．【自主解答】 (1)将a 12＋a -12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[再练一题]4．已知a 12－a -12＝5，则a 12＋a -12＝________.【解析】因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＝a ＋a －1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＋4＝5＋4＝9，又因为a 12＋a -12>0，所以a 12＋a -12＝3. 【答案】 31．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6【解析】 a 2a 3＝a2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1；(－a 2)3＝－a 6，故选A. 【答案】 A2．下列各式中成立的一项是( )【解析】 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中x ＝y ＝1时不成立；D 正确．【答案】 D3.【解析】 .【答案】 D4．如果x >y >0，则x y y xy y xx ＝________.【解析】 ∵x >y >0，∴x y y x y y x x ＝x y -x ·y y -x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y -x. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y -x5．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3a a 6b 6； (2) (结果为分数指数幂)．【解】。

高中数学第三章基本初等函数(ⅰ)3.1.1实数指数幂及其运算bb高一数学

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条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
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计算：
(1)(－1．8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93；
(2)14－12·0.1（－2·4（aba－31b）－33）12(a＞0，b＞0)．
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解：(1)原式＝1＋232·28732－10＋923 ＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19． (2)原式＝412·0．12·23·a32·a32·b－b32 －32
②amn＝_______n_a_m____________ (a>0，m、n∈N＋，且 mn 为既
约分数)； 1
m
m
③a－n＝_____a_n______________ (a>0，m、n∈N＋，且
mn 为既
约分数)．
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3．有理指数幂的运算法则
设 a>0，b>0，α，β∈Q，则有 (1)aαaβ＝____a_α＋__β ___； (2)(aα)β＝___a_α_β___； (3)(ab)α＝___a_α_b_α ____．
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1．整数指数幂
(1)正整数指数幂的运算法则 ①am·an＝___a__m＋__n ___； ②(am)n＝___a_m_n___； ③aamn＝___a_m_－__n ___ (m>n，a≠0)； ④(ab)m＝___a_m_b_m____．

2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.1实数指数幂及其运算学业分层测评新人教B版必修1201

实数指数幂及其运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列各式正确的是()A. －32＝－3B.4 a4＝aC. 22＝2D.3 －23＝2【解析】由于－32＝3，4 a4＝|a|，3 －23＝－2，故A、B、D错误，故选C.【答案】 C2．以下说法正确的是()A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N＋)D．a的n次方根是n a【解析】由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故A错；由于负数的偶次方根无意义，故B错；C显然正确；当a<0时，只有n为大于1的奇数时n a才有意义，故D错．【答案】 C3．下列各式运算错误的是()A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18【解析】对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.【答案】 C4．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于()x＋1 x＋1A. B.x－1 xx－1 xC. D.x＋1 x－11 1 x【解析】由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.2b x－1 x－1 【答案】 D5．当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果是()1A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x【解析】∵2－x有意义，∴2－x≥0，即x≤2.x 2－4x＋4－x2－6x＋9＝x－22－x－32＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.【答案】 C二、填空题6．化简3 a a＝________.【解析】.【答案】17．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.5【导学号：97512038】32a3a 2 22【解析】32a－b＝＝＝＝20.3b3b 15【答案】208.3 －63＋4 5－44＋3 5－43＝________.【解析】 3 －63＝－6，4 5－44＝| 5－4|＝4－5，3 5－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6.【答案】－6三、解答题【解】2【解】[能力提升]1 1-a2＋11．设a2－a2＝m，则＝()aA．m2－2 B．2－m2C．m2＋2 D．m21 1 1 1- -【解析】将a2－a2＝m平方得(a2－a2)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝1 a2＋1m2＋2，即a＋＝m2＋2⇒＝m2＋2.a a【答案】 C2．已知a＝3，则的值为________.【导学号：97512039】【解析】3【答案】－13．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________.1 1【解析】∵a2＝b4＝m(a>0，b>0)，∴a＝m2，b＝m4，a＝b2.由a＋b＝6，得b2＋b－6＝0，解得b＝2或b＝－3(舍去)．1∴m4＝2，m＝24＝16.【答案】164．根据已知条件求下列值：1 2 x＋y x－y(1)已知x＝，y＝，求－的值；2 3 x－yx＋ya－b(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.a＋b【导学号：97512040】x＋y 【解析】(1) －x－y x－y x＋yx＋y 2 x－y 2＝－x－y x－y4 xy＝.x－y1 2将x＝，y＝代入上式得：2 344 1 × 21 2 － 2 32 1 43 3＝＝－24 1 －6 13＝－8 3.(2)∵a ，b 是方程 x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴Error!∵a >b >0，∴ a > b .( a － b 2 a ＋b －2 ab 6－2 4 2 1a ＋b )＝＝＝＝，a ＋b ＋2 ab 6＋2 410 5a －b 1 5 ∴ ＝＝ . 5a ＋b 55。

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算教学素材

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3.1.1 实数指数幂及其运算教学建议1。

讲授新课时可先复习初中学过的整数指数幂的概念及运算.对于指数幂a n ，当指数n 扩大到有理数时,要注意底数a 的变化范围。

如当n=0时，底数a≠0，当n 为负整数指数时,底数a≠0;当n 为分数时,底数a>0。

同时注意使学生通过练习掌握根式的运算顺序,先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.注意符号的确定和检验。

遵循以下原则:在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是0；在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数,零的偶次方根是0，负数的偶次方根无意义.2。

讲授本节内容要结合对比法，揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系.运用有理指数幂运算性质进行化简、求值.要掌握解题技巧,如凑完全平方、录求同底幂等方法.让学生注意幂的运算性质的掌握,切实理解和熟练掌握并明确区分公式：n n a )(=a(n∈N *且n>1);与n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数为奇数n a n a 备用习题1。

由实数x ，—x ，｜x ｜,2x ，-33x 所组成的集合，最多有个________元素。

2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3_1_1实数指数幂及其运算二学案新人教B版必修1

- 让每一个人同等地提高自我实数指数幂及其运算 ( 二)学习目标1. 学会根式与分数指数幂之间的互相转变.2. 掌握用有理指数幂的运算性质化简求值 .3. 认识无理指数幂的意义．知识点一分数指数思虑依据 n 次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出如何的规律？5510① a 10 ＝ a 2 5＝ a 2＝ a 5 ( a >0) ；8＝42＝4＝8② aa a a 2 (>0) ；a4412③ a 12 ＝ a34＝ a 3＝ a 4 ( a >0) ．梳理分数指数幂的观点1 n①a n ( ＞0)，＝a a正分数指数幂mnmm② a n＝(a ) ＝(a ＞ 0，m ，n ∈N ＋，且为n分数指既约分数 )数幂－mm负分数指数幂na＝ (＞0，， ∈ N ＋，且为既约分数 )a m nn0 的分数指数幂0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义知识点二有理指数幂的运算性质111 1思虑我们知道 232＋3.那么64643＝642 3 建立吗？3×3＝3 2梳理整数指数幂的运算性质，能够推行到有理指数幂，即：aα aβ＝ aα＋β( a>0，α，β∈Q)；( aα ) β＝aαβ ( a>0，α，β∈ Q) ； ( ab) α＝aαbα ( a>0，b>0，α∈ Q) ．知识点三无理指数幂无理指数幂aα( a>0，α是无理数)是一个确立的______．有理指数幂的运算性质相同合用于无理指数幂．种类一根式与分数指数幂之间的互相转变命题角度 1 分数指数幂化根式例 1 用根式的形式表示以下各式( x>0，y>0) ．2 －5(1) x5 ； (2) x 3 .反省与感悟实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较简单察看出各式的取值范围．故分数指数幂与根式的互化是学习的要点内容，要确实掌握．－1 2追踪训练1用根式表示x 2 y 3(x>0，y>0)．命题角度 2 根式化分数指数幂例 2 把以下根式化成分数指数幂的形式，此中a>0， b>0.5 6 1 4 b3 6(1) a ；(2) ； (3) a2；(4) － a .3a2m反省与感悟指数的观点从整数指数扩大到有理数指数后，当a≤0时，a n 有时存心义，1 1 m3 －1＝－ 1，但(－1)有时无心义．如 ( －1) 3＝ 2 就不是实数了．为了保证在取任何有理数n m时， a n都存心义，因此规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不可以任意约分．追踪训练 2 把以下根式化成分数指数幂：(1) 8 2； (2) a a( a>0) ； (3) b3·3 b2；(4) 1 .635x x2 2种类二用指数幂运算公式化简求值例 3 计算以下各式 ( 式中字母都是正数) ：2 271 7(1)(0.027)3 ) 3；＋(－(2 )12592 11 11 5(2) (2 a 3 b 2 )(－6a 2 b 3 ) (－3a 6b 6)；－1(3)m ＋ m＋2－ 11.m 2＋ m 2反省与感悟一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一同，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，能够达到化繁为简的目的．1 17 0436追踪训练 33×3) ；(1) 化简： ( ) ×( －) ＋ 82＋ (2×86- 让每一个人同等地提高自我－21(2) 化简：5x 3 y 2；1 1 －1 (－1x－1 y 2 )(－5x 3 y 6 )4 61－1 2(3) 已知x2＋x2x ＋ 1＝5，求x 的值．种类三运用指数幂运算公式解方程例 4已知a>0，b>0，且a b＝b a，b＝9a，求a的值．反省与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数以致实数，给运算带来了方便，我们能够借助指数运算法例轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的．x y 3 4追踪训练 4 已知 67 ＝27,603 ＝81，求x－y的值．- 让每一个人同等地提高自我21．化简 8 3的值为()A ．2B ．4C ．6D ．812． 25 2等于()1 1 A ． 25 B.25 C ．5 D.53．用分数指数幂表示a －b3( > )为( )a b11A ．( － ) 2B ． ( － ) 2a b b a32C ． ( a － b ) 2D ． ( a － b ) 334． (6a 9) 4等于 ()A ． a 16B ． a 8C ． a 4D ． a 25．计算 4 2＋ 12－22)×2 的结果是 (A ．32B ．16C ．64D ．1281．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确立符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，而后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．2．依据一般先转变成分数指数幂，而后再利用有理指数幂的运算性质进行运算的原则，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采纳由内到外逐层变换为指数的方法，而后运用运算性质正确求解．- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点一思虑当 a >0 时，根式能够表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数．梳理nm1ama n知识点二1 1331 156 6建立 642 64 3 64＝ 82 43＝ 8×4＝ 32, 64 2 3＝646思虑＝ 64× × ＝ 645＝ 256＝ 25＝ 32.知识点三实数题型研究2例 1(1)52.解 x 5＝ x (2) x － 5 1 3＝.3x5－122追踪训练 1 解x2y 3＝11·y 3 ＝ 1 · 3 y 2.x 2x56例 2(1)解 a 6＝ a 5 .1＝ a－2(2)＝123.3a2a343313 － 2－13bb(3)＝ 4 ＝ b 4 a 4＝ a 2b 4 .2 2aa6(4)－a 6＝ a 6＝ a 2＝ a 3.68617 172(1)222(22)6 212.追踪训练解 231 33 13aa a a 2 a 2 (a 2 ) 2 a 4 .211(3) b 3· 3 b 2＝ b 3· b 3＝ b 3 .1111113(4)x 5 .5222499 133 x() 333( x 5 )3x 5x (x5) 2x x 5xx 522717)例 3解 (1)(0.027) 3＋ ( ) 3 －(2125 9323125 255 5＝(0.027) ＋27－ 9 ＝＋ 3－ 3＝ 0.09.2＋1 －11＋1－ 5 (2) 原式＝ [2 ×( －6) ÷( － 3)] a 32 6b 236＝ 4ab 0＝ 4a .(3)m ＋ m －1＋2 . ＝ (m－11m 2＋ m 2m 112 m 2 )21111m 2 m 2 .2m 2跟踪训练 3解(1)原式＝(－1) (－1)＋(231 1 1 616＝ + 3＋123＝831 ) 42 4＋(2 3 ) (3 2) 2 4 4＋ 22 3 112.21(2)5x 3 y 2＝5×(－4) ×(－111( 1x 1 y 2)(5 x 3 y 6)466(－ 2)－(－1)－11－ 1－(－1)0 115) × x 33y 2 26 ＝24xy 6＝24y 6.1－15，两边同时平方得－ 1－1＝ 23，则有 x 2＋ 1(3) 由 x 2 ＋ x 2 ＝ x ＋2＋ x ＝ 25 ，整理得 x ＋ x x＝ 23.例 4解方法一 ba∵ a >0， b >0，又 a ＝b ，11a 1a b b ＝ b a ba ＝b ba ＝ 9a 9 ，81∴ a 9 ＝9 9 ? a 8＝ 32? a ＝ 4 3. 方法二∵ b ＝a，＝9 ，∴9a＝ (9 ) a ，a b b aaa即( a 9) a ＝ (9 a ) a ，∴ a 9＝ 9a ，a 8＝9， a ＝ 4 3.34追踪训练 4解由 67 x ＝ 3 3，得 67＝ 3 x ，由 603 y ＝ 81 得 603＝ 3 y，4 3∴3y x ＝603＝9＝ 32， 674 33 4∴y－x＝ 2，故x－y＝－ 2. 当堂训练1． B。

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规律方法
在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关
m n
键是熟记根式与分数指数幂的转化式子： a ＝ am 和
a
m n
n
＝
1
a
m n
＝n
1 am
，其中字母 a 要使式子有意义.
跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：
(1)
解
3
a· －a(a＜0)；
1 3
1 6
6
( a ) 原式＝ a ·
1 3
(a) ＝－ (a) ( a ＜ 0) ；＝－ (a) ·
(1)aαaβ＝ aα＋β ；
β (2)(aα)β＝ aα· ；
bα . (3)(ab)α＝ aα·
要点一根式的运算
例1 求下列各式的值：
(1)
解
(2)
解
4
3
－23；
3
－23＝－2.
－32；
4
－3 ＝ 32＝ 3.
2
4
(3)
解
8
3－π8；
8
3－π8＝|3－π|＝π－3.
n
a

m n
m a ＝
n
(a>0，n，m∈N＋)
2.根式的性质
(1)( a)n＝ a (n＞1 且 n∈N＋)；
a n为奇数且n＞1，n∈N ，＋ n n (2) a ＝ |a| n为偶数且n＞1，n∈N＋.
n
3.有理指数幂的运算法则
若a>0，b>0，则有任意有理数α，β有如下运算法则：
解
3 2

3 2
1 3

1 2

1 2
1 2
a ＝(a ) · (a ·
5 2

13 2
)
1 2
＝(a－4) 2
1
＝a－2.
1 2 3 4 5
1.下列各式正确的是( A )
－104＝|－10|＝10.
(3)
4
a－b4.
4
解
a－ba≥b， 4 a－b ＝|a－b|＝ b－aa＜b.
要点二根式与分数指数幂的互化例2 将下列根式化成分数指数幂形式：
(1)
解
3
a· a；
3
4
a ＝a ； a· a＝ a ·
4
1 3
1 4
7 12
(2)
a a a；
(4)
解
x2－2x＋1－
原式＝
x2＋6x＋9，x∈(－3,3)
x＋32＝|x－1|－|x＋3|，
x－12－
当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
－2x－2，－3＜x≤1，因此，原式＝－4，1＜x＜3.
规律方法
5 2 2.23· 22＝ 32 ，(22)2＝16 ，(2· 3)2＝ 36 ， 3＝ 4 . 2
[预习导引]
1.基本概念
整数指数
an ＝
n 次方根如果存在实数 x，使得 x ＝
n
分数指数
a ＝ a；
m a ＝ a ； 1
m n
n
1 n
n
a(a∈R，n＞1 且 n∈N＋)，则 x a0＝ 1 (a≠0) 叫做 a 的 n 次方根， a 叫做把 1 n － a ＝ n (a≠0) a 开 n 次方，称作开方运算. a
4
2 3
2 3
2 1 2 3 4 3
＝ (b) (b＜0)；
1 9
(4)
1
3 5
(x≠0).
x x2 2
1
解原式＝
1
4 1 5 3
x x
1 3
＝
x
3 5
＝x

3 5
.
要点三分数指数幂的运算
例3
4 1 70 3 3 0.75 (1)计算： 0.064 －－8 ＋ [(2) ] ＋16－＋|－0.01| 2
1 7 （- ） 2 3
解原式＝[ a
]÷ [a
a
1 13 2 3
]＝ a
9 3 7 13 6 6 6 6
＝a0＝1.
规律方法
指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号
里的；无括号先做指数运算 . 负指数幂化为正指数幂的倒数 . 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化
成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可
(2)
3
1 6
1 2
ab2 ab3(a，b＞0)；
3
解原式＝
ab a b ＝ a b ＝ (a b ) ＝ a b (a，b＞0)；
2
3 2
3 2
3
5 2
7 2
5 2
7 1 2 3
5 6
7 6
(3) ( b ) (b＜0)；
解原式＝ ( ( b) ) ＝ (b)
4 2 3 2 3
1 3
；
解
原式＝ (0.4 ) －1＋( －2)
3

1 3
－4
＋ (24) －0.75 ＋(0.12) 2
1
＝0.4－1 －1＋
1 1 143 16＋8＋0.1＝ 80 .
(2)化简：
3
a
9 2
1 9 3 2
a 3 ÷
a
1 3 （- ） 3 2
3
a 7 3 a13 (a＞0).
1 27 2 ＝ 8 3 ＋(500) 2 －10(
5＋2)＋1
4 167 ＝9＋10 5－10 5－20＋1＝－ 9 .
3
(2)
a · a－3· a－5 · a 13.
a ) · 原式＝( a · [(a ) · (a ) ]
－5 13
0
1 3
3 2

1 2

1 2
a ＝ a·
1 2
解原式＝
b ＝a ； a · a ＝a · a · a·
1 2
1 4
1 2
1 4
1 8
7 8
(3) a2· a3；
3
解
3
a ＝a ；原式＝ a ·
2 3
3 2
13 6
(4)( a)2· ab3.
解
a · b ＝ 2
1 2
3 2
7 6
3 2
能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
跟踪演练3 计算或化简：
1 3 23 (1)－38 ＋(0.002) 2 －10(
5－2)－1＋( 2－ 3)0；
10 ＋1 5－2
解
原式＝(－1)

2 3
3 2 1 1 3 3 ＋ 2－ 8 500
1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清
根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质
进行化简或求值. 2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
跟踪演练1 化简下列各式：
(1)
5
－25；
5
解 (2)
4
－25＝－2. －104；
解
4
第三章——
3.1 3.1.1
[学习目标]
指数与指数函数实数指数幂及其运算
1. 理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有
关运算.
2.了解实数指数幂的意义.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
重点难点，个个击破当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.4的平方根为 ±2 ，8的立方根为 2 .