数据结构第5章
数据结构第五章 数组与广义表
压缩存储方法：只需要存储下三角 （含对角线）上的元素。可节省一 半空间。
可以使用一维数组Sa[n(n+1)/2]作为n阶对称矩阵A的存 储结构，且约定以行序为主序存储各个元素，则在Sa[k]和矩
阵元素aij之间存在一一对应关系： （下标变换公式）
i(i+1)/2 + j 当i≥j k = j(j+1)/2 + i 当i<j
q = cpot[col];
T.data[q].i = M.data[p].j; T.data[q].j = M.data[p].i; T.data[q].e = M.data[p].e; ++cpot[col]; }
分析算法FastTransposeSMatrix的时间 复杂度：
for (col=1; col<=M.nu; ++col) … … for (t=1; t<=M.tu; ++t) … … for (col=2; col<=M.nu; ++col) … … for (p=1; p<=M.tu; ++p) … …
//对当前行中每一个非零元
处
brow=M.data[p].j;
理
if (brow < N.nu ) t = N.rpos[brow+1];
M
else { t = N.tu+1 }
的
for (q=N.rpos[brow]; q< t; ++q) { ccol = N.data[q].j; // 乘积元素在Q中列号
一、三元组顺序表
对于稀疏矩阵，非零元可以用三元组表示， 整个稀疏矩阵可以表示为所有非零元的三元组所 构成的线性表。例如：
数据结构答案 第5章 串学习指导
第5章串5.1 知识点分析1．串的定义串（String）是由零个或多个任意字符组成的有限序列。
一般记作：s=＂a1 a2 …a i…a n＂。
其中s 是串名，用双引号括起来的字符序列为串值，但引号本身并不属于串的内容。
a i（1<=i<=n）是一个任意字符，它称为串的元素，是构成串的基本单位，i是它在整个串中的序号；n为串的长度，表示串中所包含的字符个数。
2．几个术语（1）长度串中字符的个数，称为串的长度。
（2）空串长度为零的字符串称为空串。
（3）空格串由一个或多个连续空格组成的串称为空格串。
（4）串相等两个串相等，是指两个串的长度相等，且每个对应字符都相等。
（5）子串串中任意连续字符组成的子序列称为该串的子串。
（6）主串包含子串的串称为该子串的主串。
（7）模式匹配子串的定位运算又称为串的模式匹配，是一种求子串的第一个字符在主串中序号的运算。
被匹配的主串称为目标串，子串称为模式。
3．串的基本运算（1）求串长：LenStr(s)。
（2）串连接：ConcatStr(s1,s2) 。
（3）求子串：SubStr (s,i,len)。
（4）串比较：EqualStr (s1,s2)。
（5）子串查找：IndexStr (s,t)，找子串t在主串s中首次出现的位置（也称模式匹配）。
（6）串插入：InsStr (s,t,i)。
（7）串删除：DelStr(s,i,len)。
4．串的存储（1）定长顺序存储。
（2）链接存储。
（3）串的堆分配存储。
5.2 典型习题分析【例1】下面关于串的的叙述中，哪一个是不正确的？（）A．串是字符的有限序列B．空串是由空格构成的串C．模式匹配是串的一种重要运算D．串既可以采用顺序存储，也可以采用链式存储分析：空串是不含任何字符的串，即空串的长度是零。
空格串是由空格组成的串，其长度等于空格的个数。
答案为B。
【例2】两个串相等的充分必要条件是( )。
A．两个串长度相等B．两个串有相同字符C．两个串长度相等且有相同字符D．以上结论均不正确分析：根据串相等定义，两个串是相等是指两个串的长度相等且对应字符都相等，故A、B、C均不正确，答案为D。
《数据结构及其应用》笔记含答案 第五章_树和二叉树
第5章树和二叉树一、填空题1、指向结点前驱和后继的指针称为线索。
二、判断题1、二叉树是树的特殊形式。
（）2、完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶子。
（）3、对于有N个结点的二叉树，其高度为。
（）4、满二叉树一定是完全二叉树，反之未必。
（）5、完全二叉树可采用顺序存储结构实现存储，非完全二叉树则不能。
（）6、若一个结点是某二叉树子树的中序遍历序列中的第一个结点，则它必是该子树的后序遍历序列中的第一个结点。
（）7、不使用递归也可实现二叉树的先序、中序和后序遍历。
（）8、先序遍历二叉树的序列中，任何结点的子树的所有结点不一定跟在该结点之后。
（）9、赫夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。
（）110、在赫夫曼编码中，出现频率相同的字符编码长度也一定相同。
（）三、单项选择题1、把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（A）。
A．唯一的Ｂ．有多种C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子解释：因为二叉树有左孩子、右孩子之分，故一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是唯一的。
2、由3个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（D）A．2 B．3 C．4 D．5解释：五种情况如下：3、一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（D）。
A．250 B． 500 C．254 D．501解释：设度为0结点（叶子结点）个数为A，度为1的结点个数为B，度为2的结点个数为C，有A=C+1，A+B+C=1001，可得2C+B=1000，由完全二叉树的性质可得B=0或1，又因为C为整数，所以B=0，C=500，A=501，即有501个叶子结点。
4、一个具有1025个结点的二叉树的高h为（C）。
A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间解释：若每层仅有一个结点，则树高h为1025；且其最小树高为⎣log21025⎦ + 1=11，即h在11至1025之间。
数据结构答案第5章
第 5 章树和二叉树1970-01-01第 5 章树和二叉树课后习题讲解1. 填空题⑴树是n（n≥0）结点的有限集合，在一棵非空树中，有（）个根结点，其余的结点分成m（m＞0）个（）的集合，每个集合都是根结点的子树。
【解答】有且仅有一个，互不相交⑵树中某结点的子树的个数称为该结点的（），子树的根结点称为该结点的（），该结点称为其子树根结点的（）。
【解答】度，孩子，双亲⑶一棵二叉树的第i（i≥1）层最多有（）个结点；一棵有n（n>0）个结点的满二叉树共有（）个叶子结点和（）个非终端结点。
【解答】2i-1，(n+1)/2，(n-1)/2【分析】设满二叉树中叶子结点的个数为n0，度为2的结点个数为n2，由于满二叉树中不存在度为1的结点，所以n=n0+n2；由二叉树的性质n0=n2+1，得n0=(n+1)/2，n2=(n-1)/2。
⑷设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，该二叉树的结点数可能达到的最大值是（），最小值是（）。
【解答】2h -1，2h-1【分析】最小结点个数的情况是第1层有1个结点，其他层上都只有2个结点。
⑸深度为k的二叉树中，所含叶子的个数最多为（）。
【解答】2k-1【分析】在满二叉树中叶子结点的个数达到最多。
⑹具有100个结点的完全二叉树的叶子结点数为（）。
【解答】50【分析】100个结点的完全二叉树中最后一个结点的编号为100，其双亲即最后一个分支结点的编号为50，也就是说，从编号51开始均为叶子。
⑺已知一棵度为3的树有2个度为1的结点，3个度为2的结点，4个度为3的结点。
则该树中有（）个叶子结点。
【解答】12【分析】根据二叉树性质3的证明过程，有n0=n2+2n3+1（n0、n2、n3分别为叶子结点、度为2的结点和度为3的结点的个数）。
⑻某二叉树的前序遍历序列是ABCDEFG，中序遍历序列是CBDAFGE，则其后序遍历序列是（）。
【解答】CDBGFEA【分析】根据前序遍历序列和后序遍历序列将该二叉树构造出来。
数据结构第5章课件 中国石油大学(华东)
二叉链表
leftChild
data rightChild
22
二叉树的链表表示（三叉链表）
每个结点增加一个指向双亲的指针parent，使 得查找双亲也很方便。
leftChild data parent rightChild
三叉链表
data
leftChild
27
BinTreeNode *LeftChild (BinTreeNode *current ) { return (current != NULL )? current->leftChild :NULL; } BinTreeNode *RightChild (BinTreeNode *current ) { return ( current!= NULL) ? current->rightChild : NULL; } int Height( ){return Height(root);} int Size( ){return Size(root);} BinTreeNode *GetRoot ( ) const { return root; } void preOrder( ) {preOrder(root);} //前序遍历 void inOrder( ) {inOrder(root);} //中序遍历 void postOrder( ) {postOrder(root);} //后序遍历 void levelOrder( ) ; // 不需要递归，所以直接对外接 口调用即可。层序遍历 28
b
f
c
d
g
6
e
a
b.嵌套集合表示法： b 根据树的集合定义，写出集合划分。 { a, {b,{e},{f}}, {c}, {d,{g}} } e c d
《数据结构——用C语言描述(第二版)》第5章 数组和广义表
第五章 数组和广义表
在压缩存储时，矩阵中值相同的元素C可共享一个存储空间，元素 为零则可不必分配空间，而其余的元素有 n(n+1)/2个，因此三角矩阵 可用一维数组M[n×(n+1)/2+1]来存储，其中常数C放在数组的最后一 个下标变量中。
假设A和B矩阵分别用matrix型指针变量a和b表示，矩阵的转置可以 按以下进行：由于Ｂ的行是Ａ的列，所以可按照b->data三元组表的次序在 a->data中找到相应的三元组进行转置，即可按a->data的列序转置，所得 到的转置矩阵Ｂ的三元组表b->data必定是按行优先存放的。因此，可以对 三元组表a->data从第一行起扫描，找到Ａ的每一列中所有的非零元素，就 可以实现转置。
LOC ( aij ) =LOC ( a00) +(i×n+j) × c 同理可推导出以列为主序优先存储时数据元素a i j 的存储地址，其计算公式 为：
LOC( a i j ) =LOC( a00 ) +( j × n +i ) × c 对于三维数组Am×n×p而言，若以行为主序优先存储时，则其数据元 素aijk的存储地址可为： LOC ( a i j k) =LOC ( a000) +[ i × m×p +j ×p +k] × c 对于一般的二维数组A[c1…d1，c2…d2]而言，此处c1，c2的值不一定是 0，a i j 的地址为： LOC ( a i j ) =LOC ( a c 1 c 2 ) +[ ( i – c 1 )* ( d 2 – c 2 +1) +j – c 2 ] * c
数据结构第5章
第5章：数组和广义表 1. 了解数组的定义；填空题：1、假设有二维数组A 6×8，每个元素用相邻的6个字节存储，存储器按字节编址。
已知A 的起始存储位置（基地址）为1000，则数组A 的体积（存储量）为 288 B ；末尾元素A 57的第一个字节地址为 1282 。
2、三元素组表中的每个结点对应于稀疏矩阵的一个非零元素，它包含有三个数据项，分别表示该元素的 行下标 、 列下标 和 元素值 。
2. 理解数组的顺序表示方法会计算数组元素顺序存储的地址；填空题：1、已知A 的起始存储位置（基地址）为1000，若按行存储时，元素A 14的第一个字节地址为 (8+4)×6+1000=1072 ；若按列存储时，元素A 47的第一个字节地址为 (6×7＋4)×6＋1000）＝1276 。
(注：数组是从0行0列还是从1行1列计算起呢？由末单元为A 57可知，是从0行0列开始！) 2、设数组a[1…60, 1…70]的基地址为2048，每个元素占2个存储单元，若以列序为主序顺序存储，则元素a[32,58]的存储地址为 8950 。
答：不考虑0行0列，利用列优先公式： LOC(a ij )=LOC(a c 1，c 2)+[(j-c 2)*(d 1-c 1+1)+i-c 1)]*L 得：LOC(a 32,58)=2048+[(58-1)*(60-1+1)+32-1]]*2＝8950选择题：（ A ）1、假设有60行70列的二维数组a[1…60, 1…70]以列序为主序顺序存储，其基地址为10000，每个元素占2个存储单元，那么第32行第58列的元素a[32,58]的存储地址为 。
（无第0行第0列元素）A ．16902B ．16904C ．14454D ．答案A, B, C 均不对 答：此题（57列×60行＋31行）×2字节＋10000=16902( B )2、设矩阵A 是一个对称矩阵，为了节省存储，将其下三角部分（如下图所示）按行序存放在一维数组B[ 1, n(n-1)/2 ]中，对下三角部分中任一元素a i,j (i ≤j), 在一维数组B 中下标k 的值是：A ．i(i-1)/2+j-1B ．i(i-1)/2+jC ．i(i+1)/2+j-1D ．i(i+1)/2+j3、从供选择的答案中，选出应填入下面叙述 ？ 内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。
《数据结构(Python语言描述)》第5章 广义表
广义表是由n个类型相同的数据元素(a1、a2、……、an)组成的有限序列。广义表的元素可以是单个 元素，也可以是一个广义表。通常广义表记作：
GL=(a1,a2,…,an) 广义表有两种数据元素，分别是原子和子表，因此需要两种结构的节点，一种是表节点，用来表 示子表，如图5-1所示；一种是原子节点，用来表示原子，如图5-2所示。
OPTION
在广义表GL中，如果ai也是一个 广义表表，则称ai为广义表GL的 子表。
03 表头
OPTION
在广义表中GL中，a1如果不为空， 则称a1为广义表的表头。
04 表尾
OPTION
在广义表GL中，除了表头a1的其余 元素组成的表称为表尾。
05 深度
OPTION
广义表GL中括号嵌套的最大层数。
图5-3 广义表表节点
表节点由三个域组成：标志域tag，指向表头节点的指针域ph，指向表尾节 点的指针域pt。表节点的标志域tag=1。
5.3 存储结构
7
图5-4 广义表原子节点
原子节点由两个域组成：标志域tag，值域atom。原子节点的标志域tag=0。
节点的定义：
class Node:
def __init__(self, ph, pt, tag, atom):
表节点由三个域组成，即标志域tag、指向表头节点的指针域ph、指向表尾节点的指针域pt。表节点 的标志域tag=1。
原子节点由两个域组成，即标志域tag、值域atom。原子节点的标志域tag=0。
5.2 基本用语
4
01 原子
OPTION
在广义表GL中，如果ai为单个元 素，则称ai称为原子
02 子表
数据结构第五章
5.3.1 特殊矩阵
是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。
1、对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： aij = aji 0≦i,j≦n-1 则称A为对称矩阵。
对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只 要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，这样， 能节约近一半的存储空间。
2013-7-25 第4章 18
5.3 矩阵的压缩存储
在科学与工程计算问题中，矩阵是一种常用 的数学对象，在高级语言编制程序时，常将 一个矩阵描述为一个二维数组。 当矩阵中的非零元素呈某种规律分布或者矩 阵中出现大量的零元素的情况下，会占用许 多单元去存储重复的非零元素或零元素，这 对高阶矩阵会造成极大的浪费。 为了节省存储空间，我们可以对这类矩阵进 行压缩存储：
5.2 数组的顺序表示和实现 由于计算机的内存结构是一维的， 因此用一维内存来表示多维数组，就必 须按某种次序将数组元素排成一列序列 ，然后将这个线性序列存放在存储器中 。 又由于对数组一般不做插入和删除 操作，也就是说，数组一旦建立，结构 中的元素个数和元素间的关系就不再发 生变化。因此，一般都是采用顺序存储 的方法来表示数组。
即为多个相同的非零元素只分配一个存储空间； 对零元素不分配空间。
课堂讨论： 1. 什么是压缩存储？ 若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的 存储空间，且零元素不占存储空间。 2. 所有二维数组（矩阵）都能压缩吗？ 未必，要看矩阵是否具备以上压缩条件。 3. 什么样的矩阵具备以上压缩条件？ 一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵， 稀疏矩阵等。 4. 什么叫稀疏矩阵？ 矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%）
通常有两种顺序存储方式：
⑴行优先顺序——将数组元素按行排列，第i+1个行 向量紧接在第i个行向量后面。以二维数组为例，按 行优先顺序存储的线性序列为： a11,a12,…,a1n,a21,a22,…a2n,……,am1,am2,…,amn 在PASCAL、C语言中，数组就是按行优先顺序存 储的。 ⑵列优先顺序——将数组元素按列向量排列，第j+1 个列向量紧接在第j个列向量之后，A的m*n个元素按 列优先顺序存储的线性序列为： a11,a21,…,am1,a12,a22,…am2,……,an1,an2,…,anm 在FORTRAN语言中，数组就是按列优先顺序存储的。
《数据结构》第五章习题参考答案
《数据结构》第五章习题参考答案一、判断题（在正确说法的题后括号中打“√”，错误说法的题后括号中打“×”）1、知道一颗树的先序序列和后序序列可唯一确定这颗树。
( ×)2、二叉树的左右子树可任意交换。
（×）3、任何一颗二叉树的叶子节点在先序、中序和后序遍历序列中的相对次序不发生改变。
（√）4、哈夫曼树是带权路径最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。
（√）5、用一维数组存储二叉树时，总是以前序遍历顺序存储结点。
( ×)6、完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶子结点。
( √)7、一棵树中的叶子数一定等于与其对应的二叉树的叶子数。
（×）8、度为2的树就是二叉树。
（×）二、单项选择题1．具有10个叶结点的二叉树中有（ B ）个度为2的结点。
A．8 B．9 C．10 D．112．树的后根遍历序列等同于该树对应的二叉树的( B )。
A. 先序序列B. 中序序列C. 后序序列3、二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK；中序遍历：HFIEJKG 。
该二叉树根的右子树的根是：( C )A. EB. FC. GD. H04、在下述结论中，正确的是（ D ）。
①具有n个结点的完全二叉树的深度k必为┌log2(n+1)┐；②二叉树的度为2；③二叉树的左右子树可任意交换；④一棵深度为k(k≥1)且有2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。
A．①②③B．②③④C．①②④D．①④5、某二叉树的后序遍历序列与先序遍历序列正好相反，则该二叉树一定是（ D ）。
A．空或只有一个结点B．完全二叉树C．二叉排序树D．高度等于其结点数三、填空题1、对于一棵具有n个结点的二叉树，对应二叉链接表中指针总数为__2n____个，其中___n-1_____个用于指向孩子结点，___n+1___个指针空闲着。
2、一棵深度为k(k≥1)的满二叉树有_____2k-1______个叶子结点。
数据结构第五章参考答案
习题51.填空题（1）已知二叉树中叶子数为50，仅有一个孩子的结点数为30，则总结点数为（___________）。
答案：129（2）3个结点可构成（___________）棵不同形态的二叉树。
答案：5（3）设树的度为5，其中度为1~5的结点数分别为6、5、4、3、2个，则该树共有（___________）个叶子。
答案：31（4）在结点个数为n（n>1）的各棵普通树中，高度最小的树的高度是（___________），它有（___________）个叶子结点，（___________）个分支结点。
高度最大的树的高度是（___________），它有（___________）个叶子结点，（___________）个分支结点。
答案：2 n-1 1 n 1 n-1（5）深度为k的二叉树，至多有（___________）个结点。
答案：2k-1（6）（7）有n个结点并且其高度为n的二叉树的数目是（___________）。
答案：2n-1（8）设只包含根结点的二叉树的高度为0，则高度为k的二叉树的最大结点数为（___________），最小结点数为（___________）。
答案：2k+1-1 k+1（9）将一棵有100个结点的完全二叉树按层编号，则编号为49的结点为X，其双亲PARENT （X）的编号为（）。
答案：24（10）已知一棵完全二叉树中共有768个结点，则该树中共有（___________）个叶子结点。
答案：384（11）（12）已知一棵完全二叉树的第8层有8个结点，则其叶子结点数是（___________）。
答案：68（13）深度为8（根的层次号为1）的满二叉树有（___________）个叶子结点。
答案：128（14）一棵二叉树的前序遍历是FCABED，中序遍历是ACBFED，则后序遍历是（___________）。
答案：ABCDEF（15）某二叉树结点的中序遍历序列为ABCDEFG，后序遍历序列为BDCAFGE，则该二叉树结点的前序遍历序列为（___________），该二叉树对应的树林包括（___________）棵树。
严蔚敏版数据结构第五章
5
N维数组的数据类型定义
n_ARRAY = (D, R)
其中：
数据对象：D = {aj1,j2…jn| ji为数组元素的第i 维下标 ，aj1,j2…jn Elemset} 数据关系：R = { R1 ,R2，…. Rn } Ri = {<aj1,j2,…ji…jn , aj1,j2,…ji+1…jn >| aj1,j2,…ji…jn , aj1,j2,…ji+1…jn D } 基本操作：构造数组、销毁数组、读数组元素、写数组元素
6的每个元素占五个字节将其按列优先次序存储在起始地址为1000的内存单元中则元素a55的地址是南京理工大学2001一1315分12102二维数组m的元素是4个字符每个字符占一个存储单元组成的串行下标k的范围从0到4列下标j的范围从0到5m按行存储时元素m35的起始地址与m按列存储时元素m43的起始地址相同
10
二维数组
三维数组
行向量 下标 i 列向量 下标 j
页向量 下标 i 行向量 下标 j 列向量 下标 k
11
三维数组
– 各维元素个数为 m1, m2, m3 – 下标为 i1, i2, i3的数组元素的存储地址： – （按页/行/列存放）
LOC ( i1, i2, i3 ) = a + ( i1* m2 * m3 + i2* m3 + i3 ) * l 前i1页总 第i1页的 元素个数 前i2行总
前i行元素总数 第i行第j个元素前元素个数
24
若 i j，数组元素A[i][j]在数组B中的存 放位置为 n + (n-1) + (n-2) + + (n-i+1) + j-i = = (2*n-i+1) * i / 2 + j-i = = (2*n-i-1) * i / 2 + j 若i > j，数组元素A[i][j]在矩阵的下三角 部分，在数组 B 中没有存放。因此，找它 的对称元素A[j][i]。 A[j][i]在数组 B 的第 (2*n-j-1) * j / 2 + i 的位置中找到。
数据结构与算法第5章课后答案
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【解答】有且仅有一个，互不相交⑵树中某结点的子树的个数称为该结点的（），子树的根结点称为该结点的（），该结点称为其子树根结点的（）。
【解答】度，孩子，双亲⑶一棵二叉树的第i（i≥1）层最多有（）个结点；一棵有n（n>0）个结点的满二叉树共有（）个叶子结点和（）个非终端结点。
【解答】2i-1，(n+1)/2，(n-1)/2【分析】设满二叉树中叶子结点的个数为n0，度为2的结点个数为n2，由于满二叉树中不存在度为1的结点，所以n=n0+n2；由二叉树的性质n0=n2+1，得n0=(n+1)/2，n2=(n-1)/2。
⑷设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，该二叉树的结点数可能达到的最大值是（），最小值是（）。
【解答】2h -1，2h-1【分析】最小结点个数的情况是第1层有1个结点，其他层上都只有2个结点。
⑸深度为k的二叉树中，所含叶子的个数最多为（）。
【解答】2k-1【分析】在满二叉树中叶子结点的个数达到最多。
⑹具有100个结点的完全二叉树的叶子结点数为（）。
【解答】50【分析】100个结点的完全二叉树中最后一个结点的编号为100，其双亲即最后一个分支结点的编号为50，也就是说，从编号51开始均为叶子。
⑺已知一棵度为3的树有2个度为1的结点，3个度为2的结点，4个度为3的结点。
则该树中有（）个叶子结点。
【解答】12【分析】根据二叉树性质3的证明过程，有n0=n2+2n3+1（n0、n2、n3分别为叶子结点、度为2的结点和度为3的结点的个数）。
⑻某二叉树的前序遍历序列是ABCDEFG，中序遍历序列是CBDAFGE，则其后序遍历序列是（）。
大学数据结构课件--第5章 数组和广义表
a 32 a 33 a 34 0 0
a 43 a 44 a 45 0
a 54 a 55 a 56 a 65 a 66
5.3.2 稀疏矩阵
稀疏矩阵的存储：如何表示非零元素的位置信息 1. 三元组表：每个元素用一个三元组（i，j，v）来表示。 i j v
0 1 6 1 1 6 2 3 8 12 9
2
3 4 5 6 7 8
2
5.2 数组的顺序表示和实现
a00 a00 a10 a01 存储单元是一维结构，而数组是个多维结构 , …… …… 则用一组连续存储单元存放数组的数据元素就有 am-1,0 a0,n-1 个次序约定问题。 a01 a10
a11
……
a11
……
二维数组可有两种存储方式： am-1,1 a1,n-1
……
K=
i*n-i(i-1)/2+j-i n(n+1)/2
当 i≤j 当i>j
0 a11 ... a1n-1 ... ... ... ... 0 0 0 an-1n-1
当i ≤ j时,a[i][j]是非零元素, a[i][j]前面有i行,共有n+(n-1)+(n-2)+…(n-(i-1))
=i(n+[n-(i-1)])/2=i*n-i(i-1)/2个元素，a[i][j]前面有j列，共j-i个非零元素，
A m× n
( a10 a11 … a1,n-1 )
=
注：
( … … …… ) ( am-1,0 am-1,2 … am-1,n-1 ) ( ( ( (
① 数组中的元素都具有统一的类型; ② 数组元素的下标一般都具有固定的上界和下界，即数组一旦 被定义，它的维数和维界就不再发生改变； ③ 数组的基本操作简单：初始化、销毁、存取元素和修改元素值
数据结构 第5章_递归
2 m=Fibona(2)+Fibona(1); 1 return(m);
(13)
1
(15)
S3
(8) 2
m=Fibona(2)+Fibona(1);
(9)
(10)
1
(14)
return(1)
return(m);
return(1)
return(1)
(4)
return(1)
(5) 1
(6)
(7) 1 Fibona(5)的执行过程
退出
5.3 递归程序到非递归程序的转换
采用递归方式实现问题的算法程序具有结构清 晰、可读性好、易于理解等优点，但递归程序较之 非递归程序无论是空间需求还是时间需求都更高， 因此在希望节省存储空间和追求执行效率的情况下， 人们更希望使用非递归方式实现问题的算法程序； 另外，有些高级程序设计语言没有提供递归的 机制和手段，对于某些具有递归性质的问题（简称 递归问题）无法使用递归方式加以解决，必须使用 非递归方式实现。因此，本小节主要研究递归程序 到非递归程序的转换方法。
退出
例5 采用非递归方式实现求正整数n的阶乘值。 仍使用Fact(n)表示n的阶乘值。要求解Fact(n) 的值，可以考虑i从0开始，依次取1,2,……，一直到n， 分别求Fact(i)的值，且保证求解Fact(i)时总是以前 面已有的求解结果为基础；当i=n 时，Fact(i)的值即 为所求的Fact(n)的值。
退出
排列问题
设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。
设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加 上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：
计算机科学概论 第5章 数据结构与算法
2 线性结构
2.3 串和数组 2.数组的定义和操作 • 数组的操作 initarray(&A,n,bound1,bound2...boundn) ——初始化 Destroyarray(&A) —— 删除数组 value(A,&e,index1,index2......indexn) —— 赋值 assign(&A,e,index1,index2......indexn) —— 分配数组
1 数据结构概述
1.4 算法及其描述和算法分析
5、算法与数据结构的关系: • 计算机科学家沃斯（N.Wirth）提出的: “算法+数据结构=程序” 揭示了程序设计的本质：对实际问题选择一种好的数据结构， 加上设计一个好的算法，而好的算法很大程度上取决于描述 实际问题的数据结构。算法与数据结构是互相依赖、互相联 系的。
2 线性结构
2.3 串和数组 1.串的定义和表示方法 • 串的表示方法 定长顺序存储表示 两种表示方法： 1)下标为0的数组存放长度 (pascal) typedef unsigned char SString[MAXSTLEN+1] ; 2)在串值后面加‘\0’结束 (C语言) 堆分配存储表示 串变量的存储空间是在程序执行过程中动态分配的， 程序中出现的所有串变量可用的存储空间是一个共享空 间，称为“堆”。
R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<2,8>,<3,2>,<3,4>,
<4,5>,<5,7>,<6,7>,<6,9>,<7,9>,<8,9>}
数据结构第五章 数组和广义表
5.3.1
特殊矩阵
1、对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： aij = aji 1≤i,j≤n 则称A为对称矩阵。 a11 1 5 1 3 7 a21 a 22 5 0 8 0 0 a31 a32 a33 1 8 9 2 6 ……………….. 3 0 2 5 1 an 1 a n 2 a n 3 …a n n 7 0 6 1 3
第5章
数组和广义表
5.1 数组的定义
5.2 数组的顺序表示和实现
5.3 矩阵的压缩存储
5.3.1 特殊矩阵
5.3.2 稀疏矩阵
5.4 广义表的定义
5.1 数组的定义
数组-----线性表的扩展 A =(a0,a1,a2,…，an-1)
a00 a10 ┇ Am×n= ai0 ┇ am-1,0 a01 … a0j … a11 … a1j … ┇ ai2 … aij … ┇ am-1,2 … am-1,j … a0,n-1 a1,n-1 ai,n-1 am-1,n-1 α0 α1 ┇ Am×n= α i ┇ α m-1
Assign( &A, e, index1, ..., indexn) 赋值操作 初始条件：A是n维数组,e为元素变量,随后是n个下标值。 操作结果：若下标不超界,则将e的值赋给所指定的A的元 素,并返回OK。 对于数组来说一旦维数确定了，每个元素的下标确定了, 那么整个数组就确定了，这样的一个数组结构除了能改变 某元素的值，其他的不能再改变。
5.2 数组的顺序表示和实现
数组类型特点: 1) 只有引用型操作，没有加工型操作; 2) 数组是多维的结构，而存储空间是一个一维的结构。 有两种顺序映象的方式。
有两种顺序映像方法： 1）以行序为主序(行优先，先行后列)：先存储行号较小 的元素，行号相同者先存储列号较小的元素；
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indexd)写作e= A[indexl][ index2]…[indexd]，
或者类似的形式。
5.2 数组的顺序表示和实现
由于数组一般不作删除或插入运算，所以一旦数组 被定义后，数组中的元素个数和元素之间的关系就 不再变动。 通常采用顺序存储结构表示数组。 对于一维数组，数组的存储结构关系为:
5.2 数组的顺序表示和实现
a00 a01 a10 a11 a20 a21
(b)行序为主序
A=
a00 a10 a20
a01 a11 a21
a00 a10 a20 a01 a11 a21
(c)列序为主序
(a)二维数组
5.2 数组的顺序表示和实现
对一个以行序为主序的计算机系统，当二维数组第 一个数据元素a0,0的存储地址LOC(a0,0)以及每个 数据元素所占用的存储单元k确定后，该二维数组 中任一数据元素ai,j的存储地址可由下式确定: LOC(ai,j)=LOC(a0,0)+(i×n+j)*k 其中n为每行中的列数。
5.2 数组的顺序表示和实现
【例】对于给定的二维数组float a[3][4]，计算： (1) 数组a中的数组元素数目； (2) 若数组a的起始地址为1000，且每个数组元素长 度为32位(即4个字节)，数组元素a[2][3]的内存地 址。
5.2 数组的顺序表示和实现
【解】(1)略
(2)由于C语言采用行序为主序的存储方式，有： LOC(a2,3)=LOC(a0,0)+(i*n+j)*k =1000+(2*4+3)*4 =1044
5.1 数组的定义
一维数组记为A[n]或A=( a0，al，…ai，…，an-1) 一旦a0的存储地址、一个数据元素所占存储单元数k 确定，则ai的存储地址LOC(ai)就可求出： LOC(ai)=LOC(a0)+i*k (0≤i<n)
5.1 数组的定义
2．二维数组 二维数组，又称矩阵(matrix)。二维数组中的每一个 元素又是一个定长的线性表（一维数组），都要受 到两个关系即行关系和列关系的约束，也就是每个 元素都同属于两个线性表。
第5章 数组和广义表
1 2 3 4 5
数组的定义
数组的顺序表示和实现
矩阵的压缩存储
广义表的定义 广义表的存储结构
5.1 数组的定义
数组和广义表可看成是一种特殊的线性表，其特殊 在于，表中的数所元素本身也是一种线性表。 数组是我们最熟悉的数据类型，在早期的高级语言 中，数组是唯一可供使用的数据类型。由于数组中 各元素具有统一的类型，并且数组元素的下标一般
5.2 数组的顺序表示和实现
⑵列优先顺序——将数组元素按列向量排列，第j+1个 列向量紧接在第j个列向量之后，A的m*n个元素按列 优先顺序存储的线性序列为： a11,a21,…,am1,a12,a22,…am2,……,an1,an2,…,anm 在FORTRAN语言中，数组就是按列优先顺序存储的。
就其单个关系而言，这n个关系中的每一个仍然是一
种线性关系。
5.1 数组的定义
数组中每个元素都是由一个值和一组下标来确定的。 同线性表一样，数组中的所有数据元素都必须属于 同一数据类型。元素下标的个数被称为数组的维数。 显然，当维数为1时，数组就退化为定长的线性表。
5.1 数组的定义
1．一维数组 一维数组可以看成是一个线性表或一个向量，它在 计算机内是存放在一块连续的存储单元中，适合于 随机查找。
在这个对称矩阵中，第i行恰有i+1个元素，元素 总数为n(n+1)/2个。 由于对称矩阵中的元素关于主对角线对称，因此 可以为每一对对称的矩阵元素分配 1 个存储空间， n阶矩阵中的n×n个元素就可以被压缩到 n(n+1)/2 个元素的存储空间中去。
5.3 矩阵的压缩存储
称一维数组sa[0..n(n+1)/2-1] 为n 阶对称
3．对角矩阵的压缩存储
对角方阵(或称带状矩阵)是指所有的非零元素(简称
非零元)都集中在以主对角线为中心的带状区域中，即
除了主对角线上和紧靠着主对角线上下方若干条对角
线上的元素外，所有其它元素皆为零的矩阵。
常见的有三对角矩阵、五对角矩阵、七对角矩阵等。
5.3 矩阵的压缩存储
a 00 a10 0 0 0 0 0 a 01 a11 a 21 0 0 0 0 0 a12 a 22 a 32 0 0 0 0 0 a 23 a 33 a 43 0 0 0 0 0 a 34 a 44 a 54 0 0 0 0 0 a 45 a 55 a 65 0 0 0 0 0 a 56 a 66
数组中的每个元素由元素值aij及一组下标（i，j）来 确定。aij既属于第i行的行向量，又属于第j列的列向 量。 其中，ai=( ai,0 ai,1 … ai,n-1) (0≤i＜n) 可以认为Am*n=A，A是这样的一维数组：
A=( a0，al，…，ai，…，am-1)
5.1 数组的定义
具有固定的上界和下界，因此，数组的处理比其它
复杂的结构更为简单。
5.1 数组的定义
数组（Array）是由n(n>1)个相同类型数据元素a0， al，…ai…，an-1构成的有限序列。n是数组的长度。其 中数组中的数据元素ai是一个数据结构，即ai可以是 线性表中的一个元素，本身也可以是一个线性表， 而线性子表中的每一个数据元素还可以再分解。
矩阵A的压缩存储。其存储对应关系如下图 :
k 0 1 2 3 4 „ „ n(n+1)/2-1
Sa[k] a0,0 a1,0 a1,1 a2,0 a2,1 „ an-1,0 „ an-1,n-1 a0,1 a0,2 „ a0,n-1 „ 隐含元素
5.3 矩阵的压缩存储
2．三角矩阵的压缩存储
三角矩阵也是一个n阶方阵，有上三角和下三角
5.1 数组的定义
(2) 数组中的数据元素必须具有相同的数据类型。 (3) 数组中的每个数据元素都有一组唯一的下标值。 (4) 数组是一种随机存储结构。可随机存取数组中的 任意数据元素。
5.2 数组的顺序表示和实现
数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。 因此，除了结构的初始化和销毁之外，数组的基本 操作一般不会含有元素的插入或删除等操作,数组只 有访问数组元素和修改元素值的操作。
显然，二维数组同样满足数组的定义。一个二维数 组可以看作是每个数据元素都是相同类型的一维数 组。 以此类推，任何多维数组都可以看作一个线性表， 这时线性表中的每个数据元素也是一个线性表。
多维数组是特殊的线性表，是线性表的推广。
5.1 数组的定义
数组的性质： (1) 数组中的数据元素数目固定。一旦定义了一个数 组，其数据元素数目不再有增减变化。它属于静态 分配存储空间的数据结构。
5.3 矩阵的压缩存储
矩阵是数值计算程序设计中经常用到的数学模型， 它是由 m 行和 n 列的数值构成（当m=n 时称为方 阵）。在高级程序设计语言中，通常用二维数组表 示矩阵。
5.3 矩阵的压缩存储
然而在数值分析过程中经常遇到一些比较特殊的矩 阵，它们的阶数很高，矩阵中元素数量很大，而且 有很多元素的值相同或零值元素，如对称矩阵、三 角矩阵、带状矩阵和稀疏矩阵等。
序的存储方式。
5.2 数组的顺序表示和实现
⑴行优先顺序——将数组元素按行排列，第i+1个行向 量紧接在第i个行向量后面。以二维数组为例，按行 优先顺序存储的线性序列为： a11,a12,…,a1n,a21,a22,…a2n,…,am1,am2,…,amn 在PASCAL、C语言中，数组就是按行优先顺序存储的。
ai,j=aj,i (0≤i，j≤n-1)，则称A为n阶对称矩阵。
1 5 1 3 7
5 0 8 0 0
1 8 9 2 6
3 0 2 5 1
7 0 6 1 3
a00 a10 a 11 a20 a21 a23 ……………….. an-1 0 a n-1 1 a n-1 2 …a n-1 n-1
5.3 矩阵的压缩存储
5.3 矩阵的压缩存储
为了节省存储空间并且加快处理速度，需要对这
类矩阵进行压缩存储，压缩存储的原则是：不重复
存储相同元素；不存储零值元素。
特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规
律的矩阵。
主要形式有对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵等。
5.3 矩阵的压缩存储
1．对称矩阵的压缩存储
对称矩阵是一个n阶方阵。若一个n阶矩阵A中的元素满足:
(2) assign(A，e，indexl，index2，…，indexd)：A 是已存在的d维数组，e为元素变量，indexl， index2，…，indexd是指定的d个下标值，且这些下 标均未越界。其运算结果是将e的值赋给由下标指定 的A中的对应元素。
5.2 数组的顺序表示和实现
(3) disp(A)：输出数组A的所有元素。 在大多数程序设计语言中，取数组元素值操作 value(A，indexl，index2，…，indexd) 通常直接 写作A[indexl][ index2]…[indexd]，而对数组元 素的赋值操作assign(A，e，indexl，index2，…，
根据数组元素ai的组织形式不同，数组可以分为一维
数组、二维数组以及多维（n维）数组。
5.1 数组的定义
有时也把一维数组称为向量，二维数组称为矩阵。 在二维或多维数组中，每个数组元素都受到2个或n 个关系的约束。当数组为n维时，其对应线性表中的 每个元素又是一个线性表。 在每个关系中，每个元素都有一个直接后继。因此，
缩的不同的存储方法。
5.3 矩阵的压缩存储
0 0 1 0 0 0 0 A6×7 = 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 0 0 4