专题三：数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在小学数学教学中的应用
数形结合思想在小学数学教学中的应用摘要：随着我国经济社会的不断进步，学生素质教育越来越受到人们的重视。
在我国新课程教学改革的背景下，对小学图形与数学的结合提出了更高的技术要求。
如今，越来越多的教育教学专家和学者越来越关注小学数形结合的教学理念。
将传统数学中抽象的图形和复杂的数学运算公式组合转化为数学语言，方便学生更好地学习和掌握数学基础知识，促进学生的未来发展。
关键词：数形结合思想；小学数学教学；应用小学阶段是学生学习和成长的关键时期，也是学生思维从特定意识形态向抽象意识形态转变的过程。
因此，小学数学教学应将数与形相结合的思想有机地结合起来，让学生发现数学中“数”与“形”的关系，以图形的形式表达抽象复杂的数学语言，有利于提高学生的数学逻辑思维和空间思维能力，提高学生数形结合的思维能力，有助于学生掌握和吸收数学知识，为学生今后的学习打下坚实的基础。
一、数形结合思想的特点1、直观性直觉性强的教学特点主要体现在各种数学图形中。
小学生在学习处理各种书面数学的实际应用问题时，建立数字与图形的交互，从而，将当前基础数学课程中的知识内容转化为更直观的图形，方便学生进行抽象理解、分析学习和应用。
在当前小学教育发展阶段，学生抽象思维学习能力的教育发展还不成熟。
数学教师在课堂讲授数学专题时，运用多种图形学习教学方法，直接获取并辅助小学生进行教学，有助于全面深化和培养小学生抽象思维学习能力。
在数学学科的学习和教学中，主要研究和应用多种数学教学方法，结合多维抽象思维的学习和教学方法，使更多的学生能够充分利用数形结合方法直接获得相关的数学知识，帮助学生加强对数学知识的印象。
2、形象性数学学习过程要求小学生具有较强的逻辑思维组合能力，在小学生数学教学中，教师仅通过数学语言进行教学，难以使小学生深入理解数学知识。
采用数形结合的教学方法，通过图形与数字的结合，帮助演绎和理解主题，有助于小学生形象思维与逻辑思维的结合与协调，切实加快小学生对数学知识的理解速度。
二轮专题复习(03)：数形结合思想
）中考第二轮专题复习三：数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：Ⅰ、借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；Ⅱ、借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质一、借助数轴解数与式的问题[例1](山西·2006中考)实数b a ,在数轴上的位置如图所示,化简:2)(a b b a -++=__________.二、借助平面直角坐标系解函数问题 [例2]如图（1），某抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴交于A 、B 两点，A （1，0），B （5，0），当x____________时，y=0.当x_____________时y>0，当x____________时，y<0.（2）如图（2）直线y=kx+b 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，且A （-3，0）、B （0，2），则直线解析式为___________________，根据图象直接写出当x__________时；y>0，当x_____时，y<0；当x_____时，y=0.（3）如图（3）某抛物线y1=ax2+bx+c 与某直线y2=kx+b 交于A 、B 两点，且A （-4，3）、B （2，1）。
当___________时y1>y2；当______________时y1=y2；当_____________时y1<y2.（填x 的取值范围）三、利用图形理解代数恒等式【例3】[2007年辽宁十二市] 图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ） A 、22()()4m n m n mn +--= B 、222()()2m n m n mn +-+= C 、222()2m n mn m n -+=+ D 、22()()m n m n m n +-=-四、借助直角三角形解三角比问题[例4](南京·2007中考)如图,A 、B 两地之间有一座山,汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A —C —B 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:41.12≈,73.13≈)五、借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题[例5](上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱,使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等,并测得BC 长为240米,A 到BC 的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.· ··0 a b· · · AB C例4图2· OD ABC3045例3【巩固练习】1、一次函数32--=x y 的图象不经过第 象限2、如果正比例函数kx y -=的图象经过第一、三象限，那么直线3+=kx y 经过第_______象限。
高考数学理二轮专题复习典型例题在线：专题30 数形结合的思想方法
2
即 122cos 4 d2a2c 2b2，
所以 cos2 21cos2 a2c 2b2，
命题得证.
15
(6)利用“正余弦定理”构图 例 6 求 s i n 2 2 0 c o s 2 5 0 s i n 2 0 c o s 5 0 的 值 ． 解析:将原式变形为 sin2 20 sin2 40 2sin20 sin40cos120， 于是我们可联想构造一个三角形：其三个内角分 别为20、40、120，并设此三角形外接圆直径为1， 则此三角形三边长分别为sin20、sin40、sin120，
11
因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0，
从而F(－3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示， 由图易知，F(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)．
点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相 同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函 数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特 殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点 即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌：
例 1求 函 数 fxx24x13x212x37
的 最 小 值 ．
-
4
解析：将函数式变形，得
f x x2 4x 13 x2 12x 37
x 22 0 32 x 62 0 12，
设A2,3，B 6,1，P x,0，则上述问题转化为求
-
PA PB 的最小值，如图点A关于x轴的对称点为 C (2， 3)，因为 PA PB PC PB BC 4 2，
由余弦定理可得 sin2 20 sin2 40 2sin20sin40cos120 sin2120 3 .
(三轮冲刺)2013年高考数学复习 点睛专题(考向聚焦+解题反思) 第7讲 数形结合思想课件
Sn 取最大值. 故选 D.
本题根据等差数列的前 n 项 和是关于 n的二次函数, 借助二次函数的图象求解, 在求最值时应注意: 由于 Sn=An +Bn( A≠0)的自变 量为正整数, y=Ax +Bx的自变量为实数, 而 所以在 求最值时要取离对称轴 x=- 最近的正整数点为 最值点.
2 2
举一反三 3 1: 等差数列{an}中, 1>0, a 公差 d<0, n 为其前 n项和, S 对任意正整数 n, 若点( Sn) n, 在以下 4 条曲线中的某一条上, 则 这条曲线应是( )
解析: f x) ∵( 为奇函数, ∴( -f -x) ( , f x) ( =2f x) 画出 y=2f x) ( 的大致图象, 如图, f x) x异号的区间 则 ( 与 如图中阴影所示, 解集为( 0) 0, . ∴ -1, ∪( 1) 答案: -1, ∪( 1) ( 0) 0,
考向三: 数形结合思想在数列中的应用 【例 3】 等差数列{an}的首项 a1>0, n 项的和为 Sn, 前 若 Sm =Sk( , m k∈N , m ≠k)则 Sn 取最大值时( 且 , ( n= A) ( n= B) ; m +k为奇数时, 当 n= ; m +k为奇数时, 当 n=
第7讲 数形结合思想
考向一: 数形结合思想在函数与方程中的应用 【例 1】 设 x0 是函数 f x) ( = 0<a<1, 则有( b>1, ) -logb| 的一个零点, x| 其中
( x0∈( 1) A) -1, ( x0∈( b) B) 0, ( x0∈( -1) 1, C) -b, ∪( b) ( x0∈( -1) 0, D) -b, ∪( 1)
专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。
2。
」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
沪教版初中总复习专题训练中考冲刺：数形结合问题--知识讲解(提高)
沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（提高）【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1.如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A.39SB. 36SC.37SD.43S【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．举一反三:【变式】（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是．【答案】（2n﹣1，2n﹣1）【解析】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，∴A1点坐标（1，0），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标（1，1），∵C1A2∥x轴，∴A2坐标（2，1），∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标（2，3），∵C2A3∥x轴，∴A3坐标（4，3），∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3（4，7），∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，∴B n坐标（2n﹣1，2n﹣1）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.(1)在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。
中考数学专题之数形结合
中考数学专题 数形结合知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外,由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．典型例题一、在数与式中的应用【例1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2a ab +-=_________．【分析】 由数轴上a ，b 的位置可以得到a 〈0，b>0且a <b ．∴2a a =-，a b b a -=-．【解】()22a a b a b a a b +-=-+-=-+【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根．【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n 条金鱼共需8+6（n －1）=(6n+2)根火柴棒． 【解】6n+2二、在方程、不等式中的应用【例3】 （08聊城）已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．【分析】解不等式组得解集为2x ax >⎧⎨<⎩，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则a 应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l ≤a <0．【解】 1≤n 〈0【例4】(08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示)，则所解的二元一次方程组是（）A．203210x yx y+-=⎧⎨--=⎩B．2103210x yx y--=⎧⎨--=⎩C．2103250x yx y--=⎧⎨+-=⎩D．20210x yx y+-=⎧⎨--=⎩【分析】根据图象我们可以知道这个方程组的解为11xy=⎧⎨=⎩,只要将解进行代入检验即可．【解】D【例5】已知二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程a x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k〉3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定【分析】如果根据b2－4a c的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为a x2+bx+c=k,从而理解成是两个函数的交点问题，即2y ax bx cy k⎧=++⎨=⎩，由图象可知只要y=k〈3就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C．【解】C三、在函数中的应用【例6】(08安徽)如图为二次函数y=a x2+bx+c的图象，在下列说法中：①a c<0 ②方程a x2+bx+c=0的根是x1=－1,x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上）【分析】由图象可知，开口向上，与x轴交于－1和3两点,与y轴交于负半轴，则a>0，c〈0；由对称性知对称轴x=1,所以结论①②④正确．【解】①②④【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，同时,运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势，否则就会出现失误， (1）求这条抛物线的解析式；（2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【分析】（1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0,0),入水点（2,－10),最高点的纵点标为23． （2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误， 就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米，3332155x =-=时, 该运动员距水面高度与5米的关系．【解】(1）在给定的直角坐标系下,设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y=a x 2+bx+c ，由图可知，O ，B 两点的坐标依次为（0，0)(2，－10），且顶点A 的纵坐标为23,则2042104243c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=-⎨⎪-⎪=⎪⎩,解得2561030a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a ->．又抛物线开口向下，∴256a =-,103b =,c=0，∴2251063y x x =-+．（2）当运动员在空中距池边距离为335米时,即383255x=-=时，63y=-，∴此时运动员距水面高为16410533-=<．因此，试跳会出现失误．四、在概率统计中的应用【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息;(2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．【分析】观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角,分别为15003601085000⨯︒=︒，500360365000⨯︒=︒,建议可从不足的方面提出．【解】(1）参加调查的人数为5000人；（2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．(3）如：建议改进第二版的内容,提高文章质量，内容更贴近生活,形式更活泼些．综合训练1．“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P 所表示的数是2"，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )A ．代入法B ．数形结合C ．换元法D ．分类讨论2．（08大连）如图,两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 （ ）A ．5℃B ．7℃C ．12℃D ．－12℃3．某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元,此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元）与通话时间（分)之间的关系的图象正确的是（ ）4．若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，三点都在函数ky x=(k<0）的图象上，则y 1，y 2,y 3的大小关系为（ ）A ．y 2>y 3>y 1B ．y 2〉y 1>y 3C ．y 3>y 1〉y 2D ．y 3〉y 2〉y 15．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限( )6．(08临沂）若不等式组302741x a x x +<⎧⎨+>-⎩的解集为x 〈0，则a 的取值范围为 ( ）A ．a 〉0B ．a =0C ．a >4D ．a =47．(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x 2－x+m （m 为常数)的图象如图所示，如果x=a 时，y<0;那么x=a －1时,函数值（ )下面是福娃们的讨论,请你解答该题．贝贝:我注意到当x=0时，y=m〉0．晶晶：我发现图象的对称轴为x=1 2欢欢：我判断出x1<a〈x2．迎迎:我认为关键要判断a－1的符号．妮妮：m可以取一个特殊的值．A．y<0 B．0<y<m C．y〉m D．y=m8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°,OA=OB=2，则点A、B的坐标分别是_________和_________．9．在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______________．10．（08绍兴）如图，已知函数y=x+b和y=a x+3的图象交点为P,则不等式x+b>a x+3的解集为__________．11．方程组211y xy x=-⎧⎨=--⎩的解是__________．12．（08广州)如图，为实数a 、b 在数轴上的位置，化简()222a b a b ---．13．(02南京）（1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b,A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点，如图1，AB OB b a b ===-； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图2,点A 、B 都在原点的右边AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-; ②如图3，点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； ③如图4,点A 、B 在原点的两边，()AB OB OA a b a b a b =+=+=+-=-．(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是_________，如果2AB =，那么x 为__________; ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是____________．14．(08苏州）某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．根据上述信息,回答下列问题：(1)该厂第一季度_________月份的产量最高．（2）该厂一月份产量占第一季度总产量的_______％．(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程)15．(08恩施）如图所示,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5,DE=1，BD=8；设CD=x ．（1)用含x 的代数式表示AC+CE 的长；(2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？(3）根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式()224129x x ++-+的最小值．16．如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0)、B （3,0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
初中数学教学中数形结合的运用研究
㊀㊀㊀１２３㊀数学学习与研究㊀２０１９ ４初中数学教学中数形结合的运用研究初中数学教学中数形结合的运用研究Һ孟繁荣㊀(吉林省延吉市公园路延吉市第十二中学ꎬ吉林㊀延吉㊀１３０００)㊀㊀ʌ摘要ɔ现如今ꎬ随着科技发展水平的显著提升ꎬ我国教育行业也取得了极大的进展.教育部对初中数学教学给予了极大的重视.将数形结合研究应用到初中数学教学中可以帮助学生更好地进行数学学习ꎬ并提升学生的数学能力.鉴于此ꎬ本文对当前初中数学教学中的数形结合必要性进行分析ꎬ并对此提出了几点有效的解决策略ꎬ旨在为我国初中数学教学的发展献力.ʌ关键词ɔ初中数学ꎻ数学教学ꎻ数形结合数形结合是当前我国教育行业在进行初中数学教学过程中所应用的重要举措ꎬ通过数形结合不仅可以帮助学生提升其思维方式ꎬ更能够在数学教学的过程中正确的转换数形结合的思想ꎬ从而实现数字和图形的有机结合.因此ꎬ在初中教学的过程中应用数形结合方式是提升学生数学能力的必经之路.一㊁数形结合的相关概述数形结合主要是利用抽象的数字具体化的图形进行结合ꎬ从而方便学生在日常的学习中有效的提升对数学知识的掌握.因此ꎬ数形结合的思想在一定程度上也是应用于数学概念的相关阐述ꎬ并能在进行较为抽象的例题解决的过程中能够通过数形结合的方法来进行有效的解决ꎬ从而使得教师在讲授较为抽象性的知识的过程中ꎬ也能更好地借助数形结合来将以往较为复杂的知识进行简化ꎬ从而提升整体的教学效果.由于初中的数学知识较为烦琐ꎬ且具有一定的抽象性ꎬ若是让学生进行理解和学习会具有一定的难度ꎬ甚至会对学生的数学学习造成一定的消极影响ꎬ还会有些学生因为数学知识较为抽象而对数学产生一定的抵触心理.因此ꎬ在这一情况下ꎬ对学生进行数形结合思想的教育是具有一定现实意义的ꎬ通过数形结合可以有效地帮助学生面对较为棘手的问题时也能快速地找出合适的解决方法ꎬ并提升其解题意识.与此同时ꎬ运用数形结合的教学的方法更是拓宽了学生的解题思维ꎬ甚至可以达到一题多解的方法ꎬ让学生不再局限在一种思维中.除此之外ꎬ应用数形结合的教学方法还可以有效的帮助学生进一步的提升的自身举一反三的能力ꎬ并在未来的数学学习中应对其他问题时也能做到迎刃而解.二㊁初中数学教学应用数形结合的重要举措(一)运用多种解题方法运用多种解题方法是初中教师在进行数学教学过程中应用数形结合的一个重要举措.例如ꎬ在进行初中的代数问题解题的过程中ꎬ很多学生会认为代数的知识太过枯燥和抽象ꎬ学生并不能更好的对其进行了解ꎬ但是在应用数形结合后ꎬ教师可以将相关的代数问题通过几何的方式进行表述ꎬ并能更为直观且方便地展现在学生的面前ꎬ让学生在进行理解的过程中也能提升其理解能力.当前进行数形转化的方法主要分为三种ꎬ首先是利用平面几何知识进行转化ꎬ其次是利用的立体几何知识进行转化ꎬ最后是利用解析几何知识进行转化.进行转化的主要方式是将初中代数题目所给的信息进行总结ꎬ并从题目中所给到的已知条件来进行推理ꎬ再构造符合题目所要求的相关图形ꎬ从而根据题目中的实际要求来构造出图形的实际性质和几何意义ꎬ让学生通过已经构造出的几何图形来从中更好地获取相关的信息ꎬ从而进行的代数的解题.(二)以图形辅助做题以图形辅助做题是初中教师在进行数学教学过程中应用数形结合的一个重要举措.这一方法更是初中教师在进行教学过程中常用到的一种数形结合的方式ꎬ尤其是对函数和方程来讲ꎬ数形结合更是充分地发挥出自身最大的作用.教师在对一次函数进行讲解时ꎬ考虑到学生刚刚接触一次函数ꎬ会对以此函数中的相关理论知识感到陌生ꎬ便要应用数形结合的相关方法.例如ꎬ如果直线ｙ＝２ｘ＋ｋ与两坐标轴所围成的三角形的面积为１８ꎬ求ｋ的值ꎬ教师便可以引导学生将题中所给出的信息以图形的形式来体现在纸上ꎬ并能通过图像的显示ꎬ学生可以轻易得出ｋ的值.由此可以看出ꎬ以图形来辅助做题更是可以在一定程度上提升学生的整体思维能力和学习能力.在这过程中ꎬ教师可以在进行后续的函数方程学习的过程中ꎬ安排学生进行的自主的学习ꎬ学生可以根据题目所给出的信息进行自主的画图ꎬ并通过教师的引导来得出函数方程中的相关的得数ꎬ在这一过程中也能无形中发挥出学生的主观能动性ꎬ并能在根本上提升学生的整体思维水平.(三)以数化形方式以数化形的方式做题是初中教师在进行数学教学过程中应用数形结合的一个重要举措.以数化形的组大优势便是可以将较为抽象的数据转变成直观的几何图形ꎬ在这一过程中可以省略以往较为枯燥的运算ꎬ并能帮助学生进行直观的了解ꎬ初中数学教师在对平方差的公式进行讲解的过程中ꎬ便可以充分地采用以数化形的方式进行讲解.例如ꎬ教师可以给出学生的一个多项式:(３ｘ＋１)(３ｘ－１)ꎻ(ｎ＋４)(ｎ－４)ꎬ并让学生通过多项式的相乘得出结果ꎬ学生在得出最终得数后ꎬ教师可以过度多项式进行计算和讲解ꎬ并能在最短的时间写出平方差的公式ꎬ教师还可以根据公式来绘制几何图案ꎬ从而让学生更好地了解其几何意义.三㊁结㊀论总而言之ꎬ初中数学教学中应用数形结合教学方法可以帮助学生培养成熟的数学思维ꎬ并帮助学生提高自身的数学能力.加强全初中生的数学水平也是推进我国建立数学大国的重要举措之一.因此ꎬ运用多种解题方法㊁以图形辅助做题㊁以数化形方式不仅是帮助我国初中学生越学越聪明的重要举措ꎬ更是推进我国数学教育行业蓬勃发展的必经之路.ʌ参考文献ɔ[１]纪丽芹.体验式学习在小学数学教学中的应用探究[Ｊ].教育界:基础教育研究ꎬ２０１７(８):８２.[２]李忠华.初中数学教学中数形结合思想的运用探讨[Ｊ].文理导航旬刊ꎬ２０１７(２０):１５.[３]叶年芳.初中数学教学中数形结合思想的应用[Ｊ].课程教育研究:学法教法研究ꎬ２０１７(４):８０.。
高中数学二轮专题复习——数形结合思想
思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
2012届高三数学第二轮复习《数形结合思想》专题三
2012届高三数学第二轮复习【数形结合】专题三 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用【例题1】① 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时， f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ；A ．5B ．7C ．9D ．10② 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则f (x )－f (－x )x<0的解集为 ； A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)题型二 数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例题2】已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是__________________．题型三 数形结合思想在几何中的应用【例题3】已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．题型三 数形结合思想在向量中的应用 【例题4】已知,a b 为不共线的向量，设条件:()M b a b ⊥- ；条件:N 对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥- 恒成立．则M 是N 的________条件．1．方程sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝14x 的实数解的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．以上均不对2．设函数,021(),0x x f x x x -≤⎧-=⎨>⎩，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是 ( ) A.(-1,1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-2)∪(0，+∞) D.(-∞，-1)∪(1，+∞)3．在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则 ( )A ．f (sin 12)<f (cos 12)B ．f (sin π3)>f (cos π3)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 32)>f (cos 32) 4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到 直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( )A ．2B ．3 C.115 D.37165．不等式x 2－log a x <0，在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．0<a <1 B ．116≤a <1 C ．a >1 D ．0<a ≤1166．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )， 则abc 的取值范围是 ( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 7．不等式组00x y x y x a +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积是4，则y x +2的最小值为 .8．在ABC ∆中，4,3AB AC ==，G 为外心，则AG BC ⋅ 的值为________．9(1)k x ≤+的解集为区间[,]a b ,且1=-a b ,则k = .10．已知实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围；(3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．2012届高三数学第二轮复习【数形结合】解答【例题1】解答：(1)由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg 10＝1，故当x >10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．(2) ∵f (x )为奇函数，∴f (x )－f (－x )＝2f (x )画出y ＝2f (x )的大致图象．则f (x )与x 异号的区间 ∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选D.【例题2】解析 易知a ≠0，f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝变形得|x |－12＝－1a x ，分别画出函数y 1＝|x |－12，y 2＝－1ax 当0<－1a <1或－1<－1a<0时，y 1和y 2∴当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【例题3】(14，－1) 【例题4】【解析】 方法一：构造直角三角形OAB ，其中a ＝OA →，b ＝OB →，xb ＝OD →，则a －b ＝BA →，由b ⊥(a －b )得∠ABO ＝90°，当点D 与点B 不重合时，由斜边大于直角边得 |a －xb |>|a －b |，当点D 与点B 重合时|a －xb |＝|a －b |，反之也成立，M 是N 的充要条件．方法二：将不等式|a －xb |≥|a －b |两边平方后转化为b 2x 2－2()a ·b x ＋2a ·b －b 2≥0对于任意实数x 恒成立，Δ＝4()a ·b 2－4b 2()2a ·b －b 2＝4()b 2－a ·b 2≤0，即b 2－a ·b ＝0，b (b －a )＝0，所以有b ⊥(a －b )．1．解析：分别作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4和y ＝14x 的图象如图： 由图象知方程的实数解有3个．2．解析 方法二 首先画出函数y ＝f (x )与y ＝1的图象(如图)，解方程f (x )＝1，得x ＝－1，或x ＝1.由图中易得f (x 0)＞1时，所对应x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．解析 由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期，设x ∈[－1,0]，知x ＋4∈[3,4]， f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，画出函数f (x )的图象，如图所示：sin 12<cos 12⇒f (sin 12)>f (cos 12)； sin π3>cos π3⇒f (sin π3)<f (cos π3)； sin 1>cos 1⇒f (sin 1)<f (cos 1)；sin 32>cos 32⇒f (sin 32)<f (cos 32)．故选C. 4．解析 记抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，则F (1,0)，注意到直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，于是抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于|PF |，问题即转化为求抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离与它到焦点F (1,0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即等于|4×1－3×0＋6|5＝2，5．解析 B.6．解析 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．7．解析 当抛物线2y x z =-+与直线0x y +=相切时，z 最小联立20y x z x y ⎧=-+⎨+=⎩，得20x x z --=，min 11404z z ∆=+=⇒=-． 8．11(2)()22AG BC AB AC GO BC AB AC BC ∴⋅=+-⋅=+⋅ 22117()()()222AB AC AC AB AC AB =+⋅-=-=- .9．解 令1y =)1(2+=x k y .其示意图如图8-3:若0k >,要满足21y y ≤,则2=b ,此时1=a .从而k ==若0k <,要满足21y y ≤,则2-=a .则11-=+=a b ,从而k 不存在.10．解 方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b >0，a ＋2b ＋1<0，a ＋b ＋2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0.解得A (－3,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋2＝0，b ＝0.解得B (－2,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0b ＝0.解得C (－1,0)．∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1) △ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)． (2) b －2a －1几何意义是点(a ，b )和点D (1,2)连线的斜率．∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1， 由图可知k AD <b －2a －1<k CD ，∴14<b －2a －1<1，即b －2a －1∈(14，1)． (3) ∵(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1,2)之间距离的平方，∴(a －1)2＋(b －2)2∈(8,17)．。
专题 解题有魂——领悟贯通4大数学思想 2023高考数学二轮复习课件
|技法点拨| 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系， 得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．
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在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为
3 15，b－c＝2，cos A＝－14，则 a＝____8____．
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构造函数关系解决问题 在高考试题中，综合问题的比较大小、求最值等，一般均需利用构 造函数法才能完成．如何正确的构造出恰当的函数，是解决此类问题的 关键，因此充分挖掘原问题的条件与结论间的隐含关系，通过类比、联 想、抽象、概括等手段，构造出恰当的函数，在此基础上利用函数思想 和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．
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|技法点拨| 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为 主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解， 是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数 y＝x1＋ln x 的 单调性巧妙地求出实数 k 的取值范围．此法也叫主元法．
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已知函数 f(x)＝33xx－ ＋11＋x＋sin x，若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k) ＜0 成立，则实数 k 的取值范围是__(_－__1_，__＋__∞__)__． 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数． 又 f′(x)＝（2l3nx＋3·1）3x2＋1＋cos x＞0 在 x∈[－2，1]上恒成立，函数 f(x)在 x∈[－ 2，1]上单调递增．若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k)＜0 成立，则 f(x2＋x)＜－f(x－k)⇒f(x2＋x)＜f(k－x)⇒x2＋x＜k－x，故问题转化为存在 x∈[－2，1]，k＞x2＋2x，即 k＞(x2＋2x)min，当 x∈[－2，1]时，y＝x2＋2x＝ (x＋1)2－1 的最小值为－1.故实数 k 的取值范围是(－1，＋∞)．
感悟数形结合思想 发展数学核心素养——“解直角三角形中的数形结合”专题复习教学及反思
一、内容和内容解析1.内容“解直角三角形中的数形结合”专题复习课包括图1本节课为第1课时，以解直角三角形及其应用为载体，在综合运用相关知识解决问题的过程中，提炼运用数形结合思想方法解题的操作步骤、作用、注意要点等.2.内容解析（1）地位和作用.代数和几何是初中数学的主要研究对象.数形结合是通过数与形的相互转化达到认识和解决问题的一种思想和方法.通过“以形助数”和“以数解形”，准确把握数与形的关联点，可以使抽象的问题形象化、直观的问题精细化，从而快速获取解题思路，逻辑清晰地解决问题.运用数形结合思想解决问题的过程也是学生发展直观想象、数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养的过程.数形结合在数学学习和研究中占有重要地位，它不仅是一种重要思想，也是一种常用的解题策略与方法.本节课是运用数形结合思想解决相关问题的专题复习课，从具体的锐角三角函数问题的解决开始，总结提炼数形结合思想方法的作用、操作步骤和注意要点，并用于解决综合性问题.锐角三角函数是数形结合的产物，它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系，在历年中考试题中都占有一定的比重.因此，学好本节课的内容对中考备考有重要作用.（2）概念的解析.运用数形结合思想方法解决问题的操作步骤、注收稿日期：2021-01-16基金项目：河南省教育科学规划2020年度一般课题——基于“互联网+信息技术”的初中数学解题教学实践研究（2020YB0980）.作者简介：赵智勇（1963—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.——“解直角三角形中的数形结合”专题复习教学及反思赵智勇摘要：文章以锐角三角函数知识内容为载体，着眼于数形结合思想方法的深层感悟，实现数与形的双向沟通.通过“解直角三角形中的数形结合”专题复习课的教学，引导学生概括数形结合解决问题的基本思路，体会其作用，归纳其注意要点；引导学生应用概括出的数形结合思想的基本思路解决问题，实现数形结合思想的巩固和迁移；引导学生融合不同的思想方法解决综合性问题，实现思想方法的融合.关键词：数形结合；锐角三角函数；专题复习；教学研究感悟数形结合思想发展数学核心素养··47意要点、作用如下.操作步骤：分析问题结构—构想数形关联—实施数形转换—获得问题答案.注意要点：考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性；解决几何证明题需要几何直观分析、代数抽象分析对应进行；代数性质与几何图形的对应互换.作用：运用数形结合思想方法解决问题能够使抽象的问题形象化，使复杂的关系得到直观、具体的表示，对理解题意、挖掘题目中的各种信息、发现蕴含的条件和关系、获得解题的灵感和方法等都具有重要意义.（3）思想方法.数形结合的实质是把抽象的数量关系与直观的图形表示结合起来，或把几何中的定性结论转化为可计算的定量结果，或以直观图形辅助抽象的代数运算与推理.（4）知识类型.本专题内容属于程序性知识，还是策略性知识，由知识类型所决定.在教学中，教师要注重以问题为引导，以学生活动为主，在独立思考、合作交流中，师生共同提炼数形结合思想方法的操作步骤和核心要点，进一步体会数形结合思想方法的作用；在应用中注重引导学生用数形结合思想方法去分析问题和解决问题.（5）教学重点.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：提炼数形结合思想解题的一般步骤和注意要点.二、目标和目标解析1.目标（1）通过解直角三角形及其应用问题，了解数形结合思想的内涵和作用.（2）经历问题解决过程，能抽象概括出用数形结合思想解决问题的操作步骤、注意要点和作用.（3）能正确进行数形互化，运用数形结合思想解决有一定综合性的问题，形成解题策略.2.目标解析达成目标（1）的标志：知道数形结合研究数的精确与形的直观之间的转化，可使解题思路变得简单明了，从而化繁为简、化难为易.达成目标（2）的标志：明确运用数形结合解决问题一般需要经历“分析、构想、建立、求解”四个步骤.数与形的对应转换是运用数形结合解决问题的关键，明确以形助数、以数解形的具体操作步骤.知道在运用数形结合解决问题时，要考虑可行性等，不能用形的显然替代推理论证，既需要进行几何直观分析，又需要通过符号抽象、运算和推理进行量化研究.达成目标（3）的标志：在解决相关问题的过程中，能有意识借助形的几何直观性来阐述数之间的普遍关系和一般规律，借助数的精确性阐述形的某些属性和一般规律；能运用数形结合思想方法解决一些有一定难度的中考试题.三、教学问题诊断分析1.已具备的认知基础学生已经学习了直角三角形的两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数等知识，并能运用直角三角形的性质解直角三角形；经历了数轴、坐标系、函数等概念的学习，对数形结合有一定的认识，对数与形的对应和转换有一定的模仿经验，具有一定的解决问题的能力，这为本节课的学习奠定了基础.2.与本课目标的差距分析（知识、能力）初中生运用数形结合解决问题，需要具备以下能力：敏锐的观察能力；准确的语言表达能力；灵活的思维能力；较强的综合应用能力.运用数形结合思想解决有一定难度的综合问题时，需要进一步培养学生敏锐的观察能力和灵活的思维能力.3.可能存在的问题运用数形结合思想解决综合性较强的题目时，纵横联系的知识点多，这对学生的数形结合能力提出了较高的要求.对于某些问题，学生有可能误用形的直观替代严谨的推理论证，也可能抓不住数的特征构建适当的形.4.应对策略本节课需要通过具体实例多次展现数形结合的具体操作步骤，使学生获取更多活动经验，提升学生对数形结合思想的认识和理解.首先，创设问题情境，引导学生利用数形结合思想解决问题；其次，引导学··48生对上述问题分解并进行反思总结，组织学生进行思想方法的交流和一般性思考；最后，通过对例题进行有针对性地指导，使学生经历数形结合解决问题的过程，既进行几何直观分析，又对应进行代数抽象探究，提升学生的认知加工水平和解题能力.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：进行数与形的等价转化，并运用数形结合思想解决有一定难度的综合问题.四、教学支持条件分析利用希沃白板制作课件、互动授课；借助希沃授课助手拍照上传、进行投屏等，灵活展示和点评学生的学习成果，呈现课堂细节；结合GeoGebra 软件辅助构图操作，提升课堂效率.五、教学过程设计1.课前检测——针对强化，提升实效检测题1：△ABC 在正方形网格中的位置如图2所示，则sin α的值为（）.（A ）34（B ）43（C ）35（D ）45A BCαACB图3图2补测题：△ABC 在正方形网格中的位置如图3所示，则sin B 的值为.检测题2：如图4，已知在Rt△ABC 中，∠C =90°，tan ∠DBC =13，AD =3，AB =5，则cos A 的值为.A C D B图4DA BC图5补测题：如图5，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 至点D ，使AD =AB ，则tan D 的值为.【设计意图】通过课前检测题，了解学生对本节课的相关基础知识的掌握情况，可以根据检测的结果决定是否需要补测题，为后续提炼数形结合步骤和要点及进一步利用数形结合解决问题做好铺垫.2.解决问题——经历过程，感悟应用问题1：如图6，已知在△ABC中，AB =BC =5，tan∠ABC =43．（1）求AC 的长；（2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为点D ，求AD AB的值.师生活动：教师引导学生审清题意，从数与形两个方面的关联分析问题.第（1）小题中，作高构建数所对应的形，根据形所对应的数量关系确定求AC 的长的方法（设未知数，将求AC 的长转化为解方程问题求解）.第（2）小题中，从图形特征关联图形对应的数量关系，确定求比值的方法.在引导学生审题和分析问题的过程中，教师结合学生的回答给出如表1所示的数形关联表，然后通过追问使学生理解“图形的形状确定，则图形中对应的数量关系也随之确定”.因此，求图形中两条线段的比值时，不必关注具体的数量，而把目光聚焦到图形中元素间的数量关系上，则求解过程更为简捷．表1追问1：你是如何使用“tan∠ABC =43”这个条件的？AB C图6··49追问2：条件“边BC的垂直平分线与边AB的交点为点D”对应的图形和数量关系表达式是什么？追问3：若将“AB=BC=5”改为“AB=BC”，你还能求出ADAB的值吗？为什么？【设计意图】通过解决第（1）小题，使学生经历以数解形的思考与解决问题的过程，将图形信息转换为具体的数量关系，借助图形的直观性，增加问题解决的准确性，使问题求解更加简明.通过解决第（2）小题，使学生经历以形助数的思考与解决问题的过程，让学生感悟借助图形的几何直观来解决数的问题，常常可以避免复杂的推理计算，使问题化难为易，使抽象的问题具体化.解决问题后，借助数形关联表，通过问题串促进学生对解决问题的过程进行反思总结，提炼运用数形结合解决问题的一般步骤、注意要点和作用，提升学生的思维能力.3.交流提炼——合作交流，提炼方法问题2：结合课前检测和问题1，你能总结一下利用数形结合思想解决问题的一般步骤和作用吗？师生活动：引导学生回顾课前检测题2的问题解决过程，师生共同建立如表2所示的数形关联表.表2结合问题1的解决过程和如表1、表2所示的数形关联表，师生共同归纳上述问题的解题思路和方法，总结提炼数形结合的一般操作步骤、作用和转化策略.作用：实现数与形的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合，从而化繁为简、化难为易.一般操作步骤如下.（1）分析问题结构——审题，得到数的关系和形的特征.（2）构想数形关联——从数的角度想象和表示图形特征，从形的角度想象和描述数量关系，找到数与形的关联点，如几何度量（如距离、角度等）或坐标.（3）实施数形转换——构建数所对应的形，对形所对应的数量或数量关系进行符号抽象、运算和推理.（4）获得问题答案——有逻辑地表达解题过程.转化策略：关注具有显著特征的对象，基于基本的几何度量（距离和角度）找出数量关系与几何图形的关联点.【设计意图】概括数学思想方法，需要把数形结合思想的操作过程模型化、程序化、一般化.组织学生相互讨论交流，进一步挖掘数形结合思想的本质内涵，使学生对数形结合思想的认识从内隐转化为外显，实现运用数形结合思想解决问题操作策略的明朗化. 4.迁移应用——知识迁移，能力拓展问题3：如图7，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航.某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向．已知A船的航速为30海里/时，B船的航速为25海里/时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，2≈1.41.）图7AB45°53°C师生活动：学生按以下步骤进行独立探索，并在学案上构建数形关联表，解决问题3.第一步：分析问题结构.过点C作AB所在直线的垂线，垂足为点D，由已知AD=DC，∠CBD=53°，··50AB=5.根据两艘船的速度，求等待时间，就要求AC 和BC的长.已知两角和一边，求另外两条边的长，这其实就是解直角三角形问题.第二步：构想数形关联.当已知角和边的条件时，利用锐角三角函数解决问题，通常要构建直角三角形.第三步：实施数形转换.设未知数，根据图形结构列出方程.第四步：获得问题答案.检验解的意义，得到实际问题的答案.教师在学生的分析、思考过程中，关注学生对数形结合解决问题一般步骤的操作表现，并利用希沃授课助手（手机APP结合电脑端）对学生完成的较规范的数形关联表和解题过程进行拍照上传、展示点评.结合学生的思考，师生共同构建如表3所示的数形关联表，解决问题3.表3【设计意图】通过对问题3的解决，进一步明确运用数形结合解决问题的思考步骤和注意要点，感知数与形之间的关联性，挖掘数与形之间的联系，促使学生自觉运用数形结合思想，提升分析问题和解决问题的能力.问题4：如图8，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，E是AB的中点，F是边AC上一个动点，EF与AD相交于点G，AC=10，cos∠DAC=45.当△AGF为等腰三角形时，求EG的长．师生活动：首先，引导学生关注问题中的特殊元素，如两个中点E，D，连接ED构造△AGF∽△DGE；其次，解题需要关注主要构图对象，借助GeoGebra软件中的“复选框”功能简化图形，最终将问题转化为“在△DEG中，DE=5，cos∠EDG=45，当△DEG为等腰三角形时，求EG的长”.再运用GeoGebra软件中的“滑动条”控制动点F在边AC上移动，通过分类讨论，师生共同构建如表4所示的数形关联表，利用数形结合解决问题.代数关系式由BD=DC，BE=EA，得△AGF∽△DGE.由△AGF为等腰三角形，得△DGE为等腰三角形.得DE=5，cos∠EDG=45情况1：DE=EG；情况2：DE=DG；情况3：EG=DG对应的几何图形EDG（舍去）情况1EGDEGD（方法1）（方法2）情况2EGDEGD（方法1）（方法2）情况3AEFGDB CEGD5表4AEFGDB C图8··51追问1：此题还有其他解法吗？追问2：“EG=ED”这种情况不存在，我们还可以怎样说明？追问3：当EG=DG时，E G的长有限制吗？【设计意图】通过对问题4的解决，以数形结合、分类讨论思想为基础，引导学生在分析问题、规划思路时，将目光聚焦在特殊的视角和特殊的对象（等腰、中点、平行线）上，根据已有的数学活动经验合理寻求解决问题的突破口，体会利用数形结合进行推理得到的结论具有一般性，掌握目标导向的认知策略，使学生进一步感知数与形之间的关联性，挖掘数与形之间的必然联系，提升分析问题和解决问题的能力.追问4：结合以上问题，你能总结一下利用数形结合解决问题的注意要点和转化策略吗？注意要点如下.（1）代数性质与几何图形要对应互换.（2）考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性.（3）不能用图形的直观代替严密的逻辑推理，既需要几何直观分析，又需要进行对应的代数抽象分析.5.反思总结——回顾思考，深化思维（1）数形结合的作用是什么？（2）运用数形结合解决问题可以分为哪些步骤？（3）运用数形结合解决问题的过程中最关键是哪一步？需要注意什么？（4）你还有哪些收获？师生共同总结出如图9所示的框图.数形结合作用实现数与形的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合化繁为简，化难为易1.分析问题结构2.构想数形关联3.实施数形转换4.获得问题答案转化策略：找出数量关系与几何图形的关联点操作步骤注意要点1.考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性2.几何证明题需几何直观分析、代数抽象分析对应进行3.代数性质与几何图形的对应互换图9【设计意图】回顾本节课的学习历程，并再次总结数形结合思想的解题思路、操作步骤、要点和作用，深化学生对数形结合思想的理解，强化目标导向的认知策略.六、目标检测——自我检测，巩固反馈1.新冠肺炎疫情期间，教育部号召各地各类学生居家学习.为支持小明学习，妈妈特意买了新台灯.图10（1）是放置在水平桌面上的台灯，图10（2）是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，AC 可以绕点A上下调节一定的角度，CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用时发现：当灯臂与底座构成的夹角∠CAB=53°，∠ACD=157°时，台灯光线最佳.求光线最佳时点D到桌面的距离为多少？（结果保留一位小数.参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35.）A BCD（2）（1）图102.如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B=45，AC=4.D是BC的延长线上的一个动点，∠EDA=∠B，AE∥BC．当△ADE为等腰三角形时，求AE的长.AB C DE图11【设计意图】巩固利用数形结合思想解决问题的过程与方法，对应知应会的核心知识进行检测，为下节课的解题课奠定基础.通过解决问题，进一步体现数形结合思想应用的广泛性和有效性，提高学生对数学思想的感悟层次，提升学生分析问题和解决问题的能力，感受数形结合的育人价值.··52七、教学反思教学设计是静态的，而课堂生成是动态的.通过对数形结合的设计和实施教学，笔者认为，在教学中，教师引导学生感悟数形结合思想方法，发展数学学科核心素养应注意以下几点.1.进行单元整体教学从整体上把握教学内容，整体构思单元各课时的教学内容，注重知识的前后联系，以及对后续学习的重要作用，体现数学知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性和方法的一般性.在相互联系中引导学生感悟其中蕴涵的数学思想方法，发展学生的数学素养，有利于深化学生对数形结合思想的理解，培养理性精神和探究精神，提升中考数学备考能力.2.发挥一般观念的引领作用本节课的教学设计和实施是在一般观念的指导下，以数学知识的内在逻辑构建自然而然的研究过程.以解直角三角形内容为载体，根据题目条件和数学知识的内在逻辑关系设计系列问题串，自然引出数形关联表，利用问题串和数形关联表引导学生概括总结问题的解决思路和方法，提炼数形结合的作用、一般操作步骤、转化策略，形成基本套路，提升教学的整体性和思想性，帮助学生体会数形结合思想方法，使学生透过现象看本质，从复杂问题中抓住关键要素，从而化繁为简，形成数学的思维方式，提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力. 3.遵循数学思想方法教学的原理数学思想方法的学习要经历“解决问题—概括提炼—迁移应用—联系发展”这四个阶段.本节课以此为依据进行教学设计.首先，通过具体问题的解决，体会数形结合思想；其次，将如何分析问题结构、构想数形关联、实施数形转换这一操作过程显性化，明确其作用、操作步骤和要点，提炼和概括数形结合思想；最后，让学生用概括出来的数形结合思想解决新的问题，感悟利用数形结合解决问题的关键是从数的角度观察图形特征，从形的角度实现数量代换，找到数与形的关联点，使学生内化数形结合思想，形成数学活动的经验.例如，在回顾检测题2和问题1时，给表格加个题目“数形关联表”，在对照表格进行引导时用“数量关系关联的几何图形”和“几何图形关联的数量关系”等语言，可以促进学生使用“关联”进行概括.4.精选样例引导学生感悟数形结合思想方法，重要的是精选适当的题目，利用题目归纳操作流程.巩固操作流程可以利用相关的变式题目和拓展题目进行迁移训练，使学生在合作探究中内化数形结合的操作流程，在反思总结中形成有结构的知识经验.5.坚持以学为中心在以学生活动为主、以感悟数形结合思想为目标的复习教学中，教师需要注意鼓励学生积极思考、提出有价值的问题，关注学生是否能够用数学的思维方式观察、分析、解决问题，使学生感受数与形之间的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合；合理运用信息技术手段，有利于增强学生的学习兴趣，提高课堂学习效果.教学时，若教师不揭示方法的本质，学生只会看到简单的数学操作，看不到问题的本质.数学思想是对数学知识的更高层次的概括与提炼，是培养学生的数学能力、发展数学学科核心素养的重要环节.数学思想方法的教学对解题教学具有十分重要的指导作用，有助于提升学生的解题能力和应用能力，发展学生的理性思维和科学精神，有效发挥数学学科的育人价值.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.［3］吴增生.科学用脑高效复习：初中数学总复习教学设计［M］.杭州：浙江科技出版社，2018.［4］吴增生.整体建构核心素养导向下的总复习教学策略体系［J］.中国数学教育（初中版），2019（7/8）：3-11，37.［5］王华鹏.“四个理解”指导下的教学设计新思路：以“位似”教学设计为例［J］.中国数学教育（初中版），2019（9）：3-8，13.··53。
2013年中考数学复习课件：第四部分 专题三 数形结合思想
解：(1)140＜x≤230 (2)54
x＞230
(3)设第二档每月电费 y 与用电量 x 之间的函数关系式为：y ＝ax＋c，将(140,63)，(230,108)代入，得：
140a＋c＝63， 230a＋c＝108.
1 a＝ ， 2 解得 c＝－7.
1 则第二档每月电费 y 与用电量 x 之间的函数关系式为 y＝2x －7(140＜x≤0 度，需要付费 108 元，用电 140度，需要付费63元，故108－63＝45(元)，230－140＝90(度)，
45÷90＝0.5(元)，则第二档电费为 0.5 元/度．
∵小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元，
∴290－230＝60(度)，153－108＝45(元)．
实际问题的数形结合 例 1：(2012 年贵州遵义)为了促进节能减排，倡导节约用电，
某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图 Z3－1 中的折线反
映了每户每月用电电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)间的函 数关系式． (1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表： 档 次 每月用电量 x(度) 第一档 0＜x≤140 第二档 __________ 第三档 __________
60－ 2x 2× cm. 2
60－ 由题意，得 2 2x 2 × 2 ＝1 250.
解得 x1＝5
2，x2＝55
2(不符合题意舍去)． 2 cm. 2x.
答：长方体包装盒的高为 5
60－ 2x (2)由题意，得 S＝4× 2× ×x＝－4x2＋120 2 ∵a＝－4＜0， ∴当 x＝15 2时，S 有最大值．
(2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 x(单位：cm)，长
高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想
张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化错解分析 考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解 ∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a 解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］ 例2已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证22222c o sb a +=-βα 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β, sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而 ｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β) 又∵单位圆的圆心到直线l 的距离22||ba c d +=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 b a c d +==---2224)cos(221βα∴22222cos ba c +=-βα 例3曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析 方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线答案 （43,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围 解法一 由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立 ⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方 如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)解法二 由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1) 学生巩固练习1 方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 以上均不对2 已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4 已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是5 设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β（1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值6 设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B≠∅，求a 的最大值与最小值 参考答案1 解析 在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案 B2 解析 a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示 答案 A3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )点A的几何图形是椭圆，点B 表示直线 考虑用点到直线的距离公式求解 答案227 4 解析 解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得 答a ＞35 解 ①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点， 故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan 332=+βα， 故tan(α+β)=36 解 ∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆 如图所示∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+2。
中考数学专题复习数形结合思想ppt
y1
B
8
x
4 某市民广场上要建造一个圆形的喷水池，并
在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处
装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向
上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所
示）。若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
函数图象则直观地反映了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
图形之间相互转化来解决数学问题的思 想.
“数”与“形”是相互联系的. 数轴与直角坐标系的建立，为“数”
与“形”的沟通提供了工具，使抽象的 数量关系有了形象直观的几何意义，而 直观图象的性质也常可用数量关系加以 精确地描述.
边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P
在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相
等。（1）求C点坐标； y
（2）求直线PC的解析式； D
（3）若点Q的坐标为
C
(√3 m,m2－3),问点Q在
不在直线PC上？
B
OA
P
x
E
8：如图，如果士 所在位置的坐标为(-1,-2), 相所在位置的坐标
为
那么，马可以走的位置的坐标为
数形结合思想是使抽象的数学语言与直观 的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合 起来，华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少 数时难入微.”.数形结合思想是一种重要的解题 思想，用这种思想指导，一些几何问题可以用 代数方法来处理，一些代数问题又可以用几何 图形帮助解决，最明显地表现是利用直角坐标 系将几何问题与代数问题结合联系起来，“以 形助数，用数解形”。这种思想是近年来中考 的热点之一，也是中考的高档题。
高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)
1 3 1 时， 要使 P 点落在指定区域内， 即 P 点应落在 DE 上， CD= OB， CE= OB， 2 2 2
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∴ y 的取值范围是(
1 3 ， )。 2 2
点评： 平面向量经常和平面图形结合到一块， 利用平面图形的几何意义以及具有几何性 质的平面向量基本定理处理实际问题。 y 满足条件 x y 1 （2） (福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)当 x 、
1 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解 a
四．示范性题组
题型 1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题 例 1．（1）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且 A B，则实数 a 的取值范围 是_____. （2）如图所示，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表 示的集合是（ ） B.（M∩P）∪S
（如图中 AB 位置）。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 2 2 ，最小值是 1 3 。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有 利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型 3：代数式的几何意义应用 例 3．（1）（06 湖南卷）如图，OM∥AB，点 P 在由 P 射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 B M 边 界 ) 运 动 , 且 OP xOA yOB , 则 x 的 取 值 范 围 是 是 ；当 x
1 时, y 的取值范围 2
O A
。 解析：如图， OM // AB , 点 P 在由射线 OM ，线段
数形结合思想在小学数学教学中的运用结题报告
《数形结合思想在小学数学教学中的运用》课题结题报告《<数形结合思想在小学数学教学中的运用>课题结题报告》数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。
可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。
源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。
一、课题研究背景“数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。
“数形结合”是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。
在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。
二、课题研究目标1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。
2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。
3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。
4、培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。
三、课题研究内容1、全面认识数形结合思想方法，挖掘教材中蕴含数形结合思想方法的内容，分析数形结合思想方法在数学教学中的价值和功能。
安徽省蚌埠市第二中学高考数学研讨会：数形结合的思想方法的应用
f (x) 2x x2 cos x, x (0, )
小 结：
数无形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔离分家万事休。
—— 华罗庚
作业： 课后练习 1,2,3,4,5
感谢各位老师的指导！！ 感谢同学们的配合！！ 祝同学们学习进步！！
，则函f数(x)
f (x 2) f (x 2)
的图象与函数 的图象的交点个数为
x 0, 2 f (x) x 1
y ln x
f (x)
B
A.2
B.4
C.6 D.8
例2：已知函数
f (x)
，若存在实数
x e，x
满
足
且f (x1，) 是f (x2 ) x1 x2
的导函数，则
x1 x2 f (x) f (x)
A. f ( x1 x2 ) 0 2
C. f ( x1 x2 ) 0 2
B. f ( x1 x2 ) 0 2
D. f ( x1 x2 )符号不确定 2
x1
x2
f ( x1 x2 )
0
2
x1
x2
f ( x1 x2 )
0
2Байду номын сангаас
x1
x2
f ( x1 x2 )
0
2
x1
x2
f ( x1 x2 )
高三数学专题复习
——数形结合思想方法的应用
蚌埠二中 王传江
思考：如何描述数形结合思想方法？
以形助数 以数促形
热身练习反馈：
例1：已知函数 零点，则实数
的取值f范且(围x是) 恰有a一x 个x 1(a
0
a 1)
a
0 a 1或a e
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专题三：数形结合思想在解题中的应用
1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；
（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=21422。
3. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
经典例题及解题方法
1.方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.以上均不对
2.已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )
A.α＜a ＜b ＜β
B.α＜a ＜β＜b
C.a ＜α＜b ＜β
D.a ＜α＜β＜b
3. (4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是 .
4.已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是 .
5.设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β.
（1）求a 的取值范围；
（2）求tan(α+β)的值.
6.设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a
＞0},且A ∩B ≠∅，求a 的最大值与最小值.
7.已知A （1，1）为椭圆5
922y x +=1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点.求｜PF 1｜+｜PA ｜的最大值和最小值.
8.设函数ｆ（ｘ）＝｛，ｘ＞，ｘｘ，－ｘ00
1221
≤若f(0x )>1,则0x 的取值范围是
（ ）
A 、（-1，1）
B 、（－1，＋∞ ）
C 、（-∞，－2）⋃（0，+∞）
D 、（-∞，－1）⋃（1，+∞）
9.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A 5种
B ．6种
C ．7种
D ．8种
10.设集合M ＝{(x,y)|x 2＋y 2＝1,x ∈R,y ∈R}，N ＝{(x,y)|x 2－y ＝0,x ∈R,y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
11.如果实数x 、y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x
的最大值是_____。
A. 12 B. 33 C. 32 D. 3
12.解不等式x x +>2
13.若不等式m>|x －1|＋|x ＋1|的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________。
14.实数x ,y 满足x 2+ (y －1)2=1,则使不等式x +y +c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是 ( ) A.[]12,21--- B.[)+∞-,12 C.()12,12-+- D.()12,--∞-
15.若-3<1x
<2，则x 的取值范围是（ ） A 、（-13 ，12 ） B 、（12 ，13
） C 、（-13 ，0）⋃（12 ，+∞） D 、（-∞，-13 ）⋃（12
，+∞）
16.若关于x 的方程x kx k 2230++=的两根都在-13和之间，求k 的取值范围。
17.已知复数Z 1满足∣Z 1+2∣=∣Z 1-3i ∣，复数Z 2满
足∣Z 2-4-2i ∣=1，∣Z 1-Z 2∣的最小值是＿＿＿。
18. 已知01<<a ，则方程a x x a |||log |=的实根个数
为（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 1或2个或3个
19. 已知x y 、满足x y y x 221625
13+=-，求的最大值与最小值。
20. 若集合M x y x y ===⎧⎨⎪⎩⎪<<⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭
⎪()|cos sin ()，330θθθπ，集合{}N x y y x b ==+()|，，且M N ≠φ，则b 的取值范围为___________。
21. 点M 是椭圆x y 222516
1+=上一点，它到其中一个焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，O 表示原点，则||ON =（ ） A. 32
B. 2
C. 4
D. 8
22. 已知复数z 满足||z i --=222，求z 的模与辐角主值的范围。
23. 求函数y x x =+-sin cos 22
的值域。
24. 求函数u t t =++-246的最值。