...1.3.1空间几何体的表面积图文
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
空间几何体的表面积与体积
V柱 = pR2·2R
面积, 再减去渗水孔的面积.
组合体的体积怎样计算?
柱体、锥体、台体 京沪铁路全长1462 km,
球的表面积公式是怎样的? 是用什么方法得到的?
京沪高铁全长1318 km. 0230568 (kg),
的表面积与体积
∴ h(a+c)>bh,
≈1197 (cm2).
球的体积和表面积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
12
解: 这个零件的表面积为
S = S棱柱表+S圆柱侧
p = 2 [ 6 3 ( 2 + 1 4 )+ 6 2 ] 1 5 + 2 6 25
≈1579.485 (mm2),
10000个零件的表面积约为15794850 mm2,
约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件
下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧
种零件需要用锌, 已知每平方米用锌 0.
某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.
在△SBC中, 边长为 a,
五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱长是 13 cm, 求它的侧面面积.
≈2956 (mm3)
圆柱、圆锥、圆台的表面积
当半球切得的片数无限多,
2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 底面积加侧面积.
底面积: S底=p r2. 圆柱侧面积: S柱侧=2p rh. 圆锥侧面积: S锥侧=p rl. 圆台侧面积: S台侧=p l (r+r).
【课时小结】
3. 柱体、锥体、台体体积
柱体体积: V柱 = Sh.
锥体体积:
V锥
=
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
高中数学1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的
21-22版：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(创新设计)
中心，则该圆柱的体积为________. 解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱
锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为 2，所以底
面正方形对角线长为 2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为 5，所以四棱锥的高为 （ 5）2－12＝2，所以圆柱的高为 1.所以圆柱的体
∵S△A1D1E＝21EA1·A1D1＝41a2， 又三棱锥 F－A1D1E 的高为 CD＝a，
∴V 三棱锥 F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V 三棱锥 A1－D1EF＝112a3.
20
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向2 割补法求体积
【例3—2】 如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，
7
课前预习
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@《创新设计》
【预习评价】
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3
D.125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 答案 B
8
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@《创新设计》
25
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@《创新设计》
A.90π
B.63π
C.42π D.36π
解 析 (1) 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 长 为 4 ， 去 掉 四 棱 柱 MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几 何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 43－12×(2＋4)×2×4
高一数学必修2课件：1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
数学人教版一年级必修2 1.3.1球的表面积与体积
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_1__:_2__；2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_1__:_3__4。
练习巩固
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
D
C
D
C
A
D A11
B O
C1
Байду номын сангаас高一年级 数学 第一章 空间几何体 1.3.3 球的表面积与体积
复习引入
圆柱、圆锥、 圆台的表面积 棱柱、棱锥、 棱台的表面积
柱体、锥体、 台体的体积
圆柱S 2r(r l)
圆台S (r2 r2 rl rl)
圆锥 S r(r l)
展开图
各面面积之和
柱体 台体 锥体
融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
解析：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则 必须V圆锥≥V半球，
V 半球＝1×4πr3＝1×4π×43， 23 23
V 圆锥＝1Sh＝1πr2h＝1π×42×h．
33
3
解得h≥8．
课堂小结
1、球的体积与表面积公式 2、公式的应用（解决具体几何体体积问题） 3、体现的数学思想方法——转化、类比
知识探究：球的表面积与体积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
球的体积：V 4 R3
3
R
A
O
球的表面积： S 4R2
B
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
知识探究：球的表面积与体积
练习巩固
例1 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来
的_______2_倍；
1.3.1空间几何体的侧面积与表面积
(3)棱锥的侧面展开图（eg:正三棱锥）
h'
h'
1 S正 棱 锥 侧 ＝ ch' 2
(4)棱锥的展开图（eg:正五棱锥）
展开图
h'
S表面积 S侧 S底
h'
(5)棱台的侧面展开图（eg:正三棱台）
类比梯形的面积
h'
h'
1 S正 棱 台 侧 ＝ （c c' )h' 2
(6)棱台的展开图（eg:正五棱台）
例3 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长 15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取 3.14，结果精确到1 cm2 ）？
20cm
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
2 15 cm 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2
r 'O’
l
2r '
2 r
r
O
S ( r r r l rl )
2 '
'2
S ( r r 2 r ' l rl )
'2
r' x r xl
r 'O’
l
x
2r '
2 r
rx r ' x r ' l
r
O
S侧 r(l x) r ' x (rl rx r ' x)
• 棱柱: 直棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱) 正棱柱(底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱)
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积
（一）柱体、锥体、台体的表面积 思考:面积是相对于平面图形而言的，体 积是相对于空间几何体而言的.
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
表面积：几何体表面面积的大小
怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
复习回顾
长方体体积：V abc
正方体体积：V a3
圆柱的体积：V r2h
圆锥的体积： V 1 Sh
3
V
Sh
柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统
一为：
柱
V = Sh（S为底面面积，h为高）
体 一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为
底面面积，h为高（即上下底面的距离）
3.14，结果精确到1 cm2 ）？
20cm
解：由圆台的表面积公式得
花盆的表面积：
15cm
S
15
2
15
15
20
15
1.5
2
15cm
2 2
2 2
999 (cm2 )
答：花盆的表面积约是999 cm2 ．
.它已的知展圆开锥图的的底形面状半为径__为_2_c_m__扇，_母形。线该长图为形3的c弧m。 长为_____c4mπ，半径为______cm3 ，所以圆 锥的侧面积为______6cπm2。
h s
锥 圆锥的体积公式是 V 1 Sh
3
体 (其中S为底面面积，h为高)
它是同底同高的圆柱的体积的 1
3
S h
O S
棱锥的体积公式也是 V 1 Sh 3
高一数学 空间几何体的表面积与体积 ppt
15 cm
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为 了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫 升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取 3.14, 结果精确到1毫升，可用计算器）？ 解：花盆外壁的表面积：
r O
l
O
2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
S 2 r 2 rl 2 r ( r l )
2
S r 2 rl r (r l )
2r
l
r
圆锥的侧面展开图是扇形
O
(1)联系圆柱和圆锥的展开图,你能想 象圆台展开图的形状并且画出它吗?
(2)如果圆台的上,下底面半径分别 为 r , r ,母线长为l,你能计算出它 的表面积吗?
S [( 15 2 15 20 1.5 ) 15 15] ( )2 2 2 2 2
20cm
1000(cm 2 ) 0.1( m 2 )
15 cm
15 cm
涂100个花盆需油漆： 0.1 100 100 1000 (毫升) 答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆．
圆柱 S 2r 2 rl 柱体、锥体、台体的表面积 圆台S r2 r 2 rl rl 圆锥 S r rl
2
展开图
各面面积之和
作业:
P28. 习题1.3 A组 第1,2题
∵ BC a , SD SB 2 BD 2 a 2 ( )2
S A B D C
SSBC
a 2
3 a 2
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
1.3.1_柱体、锥体和台体的表面积_课件
圆锥的侧面展开图是扇形 圆锥的侧面展开图是扇形
S 表 = πr + πrl = πr (r + l )
2
2πr
l
r
O
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆台的 思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？ 6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征 下底面半径分别为r′ r′、 母线长为l， 上、下底面半径分别为r′、r，母线长为 ，那么圆台的 表面积公式是什么？ 表面积公式是什么？
(2)涂100个需漆: y=0.1×100×100=1000(毫升) 2 答:每个涂漆面积0.1 m 100个需涂漆1000毫升.
24
2.一个圆柱形锅炉的底面半径为 1m , 一个圆柱形锅炉的底面半径为 侧面展开图为正方 形，则它的表面积 2 2 为__________ m . 2 +4
π π
3.以直角边长为 的等腰直角三角形的 以直角边长为1的等腰直角三角形的 以直角边长为 一直角边为轴旋转， 一直角边为轴旋转， 所得旋转体的表面 积为____________. 积为 2 +1 π
22
分析 (1)花盆外壁的面积= (1)花盆外壁的面积=花盆的侧 花盆外壁的面积 面积+底面积面积+底面积-底面圆孔面积
23
解:(1) 15 2 15 20 1.5 2 S = π [( ) + ×15 + ×15] − π ( )
2 2 2 2 2 ≈ 1000(cm ) = 0.1(m ) 2
(
)
21
例2：圆台的上、下底面半径分别是 ㎝和20 ㎝，它的侧面展 ：圆台的上、下底面半径分别是10㎝ 开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的侧面积。（保留 π ） 。（保留 开图的扇环的圆心角是 ° 求圆台的侧面积。（
高中数学必修2第1章 1.3.1
§1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【课时目标】1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．1．旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝________ 圆台上底面面积：S上底＝____________下底面面积：S下底＝____________侧面积：S侧＝__________表面积：S＝________________(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h．一、选择题1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为() A．8 B．8πC．4πD．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为() A．1＋2π2πB．1＋4π4πC．1＋2ππD．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于()A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为()A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2D．b2∶a25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．8．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm 3．9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．三、解答题 10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm ．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．能力提升12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋23313．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh ．4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．§1．3 空间几何体的表面积与体积1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积答案知识梳理1．πr 2 2πrl πr 2 πrl πr(r ＋l) πr ′2 πr 2 π(r ′＋r)l π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl)2．(1)Sh (2)13Sh作业设计1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．]3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2,12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．] 7．3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和， 即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3． 8．288π或192π解析 (1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，所以r ＝6π，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π(cm 3)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π(cm 3)． 9．8 0003cm 3解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S ＝400，高h ＝20，V ＝13Sh ＝8 0003 cm 3．10．解如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)． 故圆台的表面积为1 100π cm 2．h ＝AB 2－(OB －O 1A )2＝202－102＝103，V ＝13πh(r 21＋r 1r 2＋r 22) ＝13π×103×(102＋10×20＋202)＝7 00033π (cm 3)． 即圆台的表面积为1 100π cm 2，体积为7 00033π cm 3．11．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连接OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3． 过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ，则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17， 所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC)×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817．12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233．]13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1． 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36．∴该几何体的表面积为36．。
第一章 §1.3.1 球的表面积和体积.
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
圆锥的母线长 2a，底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1＝2π·2a· 3a＝4 3πa2， 圆锥的侧面积 S2＝π·a· 2a＝2πa2， 圆柱的底面积 S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积 S4＝πa2， ∴组合体上底面积 S5＝S3－S4＝3πa2， ∴旋转体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4 3＋9)πa2.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
A
D D
B
C
O
A1 A
1
C1 B1 B
D
夹在两个平行平面之间的两个空间几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个空间几何体的体积相等．
棱柱的体积公式:V=S h
重要结论：等底等高的两个棱柱的体积相等
棱锥的体积
棱柱的体积公式:V=S h
问题1.棱锥的体积公式是什么?
问题2.棱锥的体积公式是如何推导的.
(2)因为 S 球＝4πR2，S 圆柱侧＝2πR· 2R＝4πR2， 所以 S 球＝S 圆柱侧．
证明
小结
(1)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方
高中数学苏教版必修2讲义：第一章 1.3 空间几何体的表面积和体积
第1课时空间几何体的表面积(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱．(3)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.观察下列多面体：问题1：直棱柱的侧面展开图是什么？提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．问题2：正棱锥的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰三角形．问题3：正棱台的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰梯形．几个特殊的多面体的侧面积公式(1)S 直棱柱侧＝ch (h 为直棱柱的高)； (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(h ′为斜高)；(3)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(h ′为斜高).观察下列旋转体：问题1：圆柱的侧面展开图是什么？ 提示：以底面周长为长，高为宽的矩形． 问题2：圆锥的侧面展开图是什么？ 提示：扇形．问题3：圆台的侧面展开图是什么？ 提示：扇环．几种旋转体的侧面积公式 (1)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl ． (2)S 圆锥侧＝12cl ＝πrl ．(3)S 圆台侧＝12(c ＋c ′)h ＝π(r ＋r ′)l ．1．柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和．2．柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开． 3．柱、锥、台的侧面积之间的关系(1)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系： S 正棱柱侧――→h ′＝hc ′＝cS 正棱台侧――→c ′＝0S 正棱锥侧. (2)圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系： S 圆柱侧――→r 1＝r 2S 圆台侧――→r 1＝0S 圆锥侧.[例1] 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．[思路点拨] 由S 侧与S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．[精解详析] 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底，∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2.∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE .∴9＋(PE2)2＝PE 2.∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12. S 侧＝2S 底＝2×12＝24. ∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.[一点通] 求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为________．解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都是34，所以三棱锥 的表面积为4×34＝ 3. ★★答案★★： 32．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是________．解析：设直棱柱底面边长为a ，高为h ，则h ＝6－2＝2，a ＝2×22＝1， 所以S 棱柱侧＝4×1×2＝8. ★★答案★★：83．正四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2，求底面的边长．解：如图，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm ，在Rt △E 1FE 中，EF ＝x ＋10－x2＝5(cm)．∵E 1F ＝12 cm ，∴斜高E 1E ＝13 cm. ∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360. ∵S 表＝512 cm 2， ∴2x 2＋72x ＋360＝512. 解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2. ∴x 2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm 、12 cm.[例2] 圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？[思路点拨] 解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．[精解详析]如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100πcm2.[一点通](1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)对于与旋转体有关的组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的半径和母线长，注意方程思想的应用．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是________．解析：根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.★★答案★★：3π5．如图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆柱的底面半径为x，圆锥高h＝42－22＝23，画轴截面积图(如图)，则3 23＝2－x2.故圆锥内接圆柱的底半径x＝1.则圆柱的表面积S＝2π·12＋2π·1·3＝(2＋23)π.6．一个直角梯形的上、下底的半径和高的比为1∶2∶3，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比．解：如图所示，设上、下底的半径和高分别为x、2x、3x，则母线长l＝（2x－x）2＋（3x）2＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π(2x)2＝4πx2，S侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.1．正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．2．棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到．3．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．课下能力提升(十)1．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S侧＝πRl＝π×2×（23）2＋22＝8π.★★答案★★：8π2．正三棱锥的底面边长为a，高为33a，则此棱锥的侧面积为________．解析：如图，在正三棱锥S-ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h ′＝（33a ）2＋（36a ）2＝156a ，所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2. ★★答案★★：154a 23．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，则母线l ＝12(r ′＋r )．∴S 侧＝π(r ＋r ′)·l ＝π·2l ·l ＝2πl 2＝32π.∴l ＝4.★★答案★★：44．一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．解析：设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2，R ＝Sπ，底面周长c ＝2πR . 故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2Sπ＝4πS .★★答案★★：4πS5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.★★答案★★：1∶ 36．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2.①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2πRh ＝6，πRl ＝5，②由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ.7．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的全面积．解：设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，则SE ⊥AB ，即SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2， ∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2. ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 全＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 8.如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3＝9.3(m 2)，半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(12)2≈1.6(m 2)， 所以S 1＋S 2≈9.3＋1.6＝10.9(m 2)． 10．9×150≈1 635(朵)．答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．第2课时 空间几何体的体积观察下列几何体：问题1：你能否求出上述几何体的体积吗？ 提示：能．问题2：要求上述几何体的体积，需要知道什么？ 提示：底面积和高．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体体积：V 柱体＝Sh ．其中S 为柱体的底面积，h 为高． (2)锥体体积：V 锥体＝13Sh ．其中S 为锥体的底面积，h 为高．(3)台体体积：V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．其中S ，S ′分别为台体的两底面面积，h 为台体的高.2009年12月4日，阿迪达斯和国际足联在开普敦共同发布2010年南非世界杯官方比赛用球“JABULANI ”，“JABULANI ”源于非洲祖鲁语，意为“普天同庆”，新的比赛用球在技术上取得历史性突破，设计上融入了南非元素．问题1：根据球的形成定义，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？ 提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球． 问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？ 提示：能，只要知道球的半径即可求出．1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．1．求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要时注意分割． 2．柱体、锥体、台体之间体积公式的关系3．要求球的表面积，只需求出球的半径．4．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数．[例1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积．(2)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝ 2.求此四棱锥的体积．[思路点拨] (1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明P A ⊥底面ABCD ，再利用公式求体积．[精解详析] (1)如图，由条件知此三棱柱为正三棱柱．∵正三棱柱的面对角线AB 1＝2. ∠B 1AB ＝45°.∴AB ＝2×sin 45°＝2＝BB 1. ∴V 三棱柱＝S △ABC ·BB 1＝34×(2)2×2＝62. (2)在△P AD 中，P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2.∴P A ⊥AD ，又P A ⊥CD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ，从而P A 是底面ABCD 上的高， ∴V 四棱锥＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×12×1＝13.[一点通] 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，则该圆锥的体积为________． 解析：设圆锥侧面展开图的弧长为l ， 则l ＝240°×π×1180°＝4π3.设圆锥的底面半径为r ，则4π3＝2πr ，r ＝23.V ＝π3·⎝⎛⎭⎫232·12－49＝4π33·59＝4581π. ★★答案★★：4581π2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________．解析：设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4， 设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，V 正方体＝1，V 圆柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2·1＝4π.∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. ★★答案★★：π∶4[例2] 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．[精解详析]如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 圆台的高h ＝BC＝BD 2－（OD －AB ）2 ＝102－（6－4）2＝46(cm)，V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm 3)．[一点通] 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．3．正四棱台两底面边长为20 cm 和10 cm ，侧面积为780 cm 2，求其体积． 解：如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，连结E 1E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1，O 分别是上，下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．S 侧＝4×12×(10＋20)·E 1E ，即780＝60E 1E ，解得E 1E ＝13 (cm)．在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 (cm)，OE ＝12AB ＝10 (cm)，所以O 1O ＝E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝132－52＝12(cm)．所以V ＝13×12×(102＋202＋102×202)＝2800(cm 3).[例3] 一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2.求球的表面积．[思路点拨] 由于题中没有说明截面的位置，故需分类讨论．[精解详析] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且O 1，O 2分别为两截面圆的圆心， 则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15.即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2 500π.所以，球的表面积为2 500πcm2.(2)当截面位于球心O的两侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设O1O＝x，则OO2＝(9－x)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500πcm2.[一点通]球的截面性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面，本题利用球的截面将立体几何问题转化为平面几何问题，借助于直角三角形中的勾股定理解决问题．4．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3.解析：设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝43πR3＝43π×53＝500π3cm3.★★答案★★：500π35．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为________．解析：过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有r＝R2－⎝⎛⎭⎫R22＝32R，则球的表面积为4πR2，截面的面积为π⎝⎛⎭⎫32R2＝34πR2，所以截面的面积与球的表面积的比为34πR24πR2＝316.★★答案★★：3166．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积和体积是多少？解：设球的半径为R，则由已知得(2R)2＝32＋42＋52，故R2＝252，∴R＝522，∴S球＝4πR2＝50π，∴V球＝43πR3＝43π·(522)3＝12532π.1．求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求．2．求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．3．球的截面是一个圆面、圆心与球心的连线与截面圆垂直，且满足d ＝R 2－r 2(d 为球心到截面圆的距离)．课下能力提升(十一)1．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为________．解析：设球的半径为r ，则圆锥的底面半径是3r ，设圆锥的高为h ，则43πr 3＝13π(3r )2h ，解得h ＝49r ，所以圆锥的高与底面半径之比为427.★★答案★★：4272．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________． 解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ， 由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1， 所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π. ★★答案★★：2π3．(福建高考)三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P -ABC 的体积等于________．解析：依题意有，三棱锥P -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·|P A |＝13×34×22×3＝ 3.★★答案★★： 34．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13π(3)2(1＋1.5－1)＝32π.★★答案★★：32π5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2， 则正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.★★答案★★： 36．如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面AC 的距离为2，求该多面体的体积．解：如图，设G ，H 分别是AB ，DC 的中点，连结EG ，EB ，EC ，EH ，HG ，HB ，∵EF ∥AB ，EF ＝12AB ＝GB ，∴四边形GBFE 为平行四边形，则EG ∥FB ，同理可得EH ∥FC ，GH ∥BC ，得三棱柱EGH -FBC 和棱锥E AGHD . 依题意V E AGHD ＝13S AGHD ×2＝13×3×32×2＝3， 而V EGH FBC ＝3V B EGH ＝3×12V E BCHG ＝32V E AGHD ＝92，∴V 多面体＝V E AGHD ＋V EGH FBC ＝152.7．已知正四棱台两底面面积分别为80 cm 2和245 cm 2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm ，求正四棱台的体积．解：如图，SO ＝35，A ′O ′＝25，AO ＝752，由SO ′SO ＝A ′O ′AO ，得SO ′＝35×25752＝20.∴OO ′＝15.∴V 正四棱台＝13×15×(80＋80×245＋245)＝2 325.即正四棱台的体积为2 325 cm 3.8．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ；(2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积． 解：(1)证明：因为PH 是四棱锥P -ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ， 所以AC ⊥平面PBD ，故平面P AC ⊥平面PBD .(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°， 所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1， 可得PH ＝ 3.等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.一、空间几何体1．多面体与旋转体(1)棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体．(3)棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想．(4)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．2．直观图画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z 轴，最大区别是空间几何体的直观图有实线与虚线之分，而平面图形的直观图全为实线．二、平面的基本性质1．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈α，B∈α⇒AB⊂α公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．三个公理的主要作用(1)公理1的作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内．②用直线检验平面．(2)公理2的作用：①判定两个平面是否相交；②证明点共线．(3)公理3的作用：①确定平面；②证明点线共面．三、空间直线与直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．注意：两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种．1．证明线线平行的方法 (1)线线平行的定义；(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； (3)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ； (4)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ； (5)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .2．证明线线垂直的方法(1)线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；(2)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 四、空间直线与平面的位置关系空间中直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行． 注意：直线在平面外包括平行和相交两种关系． 1．证明线面平行的方法 (1)线面平行的定义；(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α； (3)平面与平面平行的性质：α∥β，a ⊂α⇒a ∥β. 2．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)面面平行的性质：α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β；(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β . 五、空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系有且只有平行和相交两种． 1．证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ⇒α∥β； (3)线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行．2．证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； (2)面面垂直的判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β. 3．证明空间线面平行或垂直需注意三点 (1)由已知想性质，由求证想判定； (2)适当添加辅助线(面)；(3)用定理时先明确条件，再由定理得出相应结论． 六、空间几何体的表面积和体积1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系S 正棱台侧＝12（c ＋c ′）h ′ ――→c ′＝0 S 正棱锥侧＝12ch ′――→c ＝c ′h ＝h ′S 正棱柱侧＝ch 2．圆锥、圆台、圆柱的侧面积公式间的联系S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0 S 圆锥侧＝πrl ――→r ′＝rS 圆柱侧＝2πrl 3．锥、台、柱的体积之间的联系V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ――→S 上＝0 V 锥体＝13Sh ――→S 上＝S下V 柱体＝Sh 4．球的表面积与体积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列几何体是旋转体的是________．①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． 答案：①④2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面． 答案：平行或异面3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l ＝3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r ，则S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. 答案：74．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π.答案：823π5．一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．解析：如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62，所以CO ＝2O ′C ′＝ 6.∴S △ABC ＝12×1×6＝62.答案：626．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是________．解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .答案：垂直7．已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与平面β的位置关系为________． 解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. 答案：a ∥β或a ⊂β8．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m ，则全面积的最大值为________． 解析：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πrm . ∴当r ＝πm 2（π2－π）＝m2（π－1）时，S 全有最大值πm 24（π－1）.答案：πm 24（π－1）9．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：如图设点A 为圆O 和圆K 公共弦的中点，则在Rt △OAK 中，∠OAK 为圆O 和圆K 所在的平面所成的二面角的一个平面角，即∠OAK ＝60°.由OK ＝32，可得OA ＝3，设球的半径为R ，则(3)2＋⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，解得R ＝2，因此球的表面积为4π·R 2＝16π.答案：16π10．如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ， 由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：3411．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中错误的是________．①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .解析：对于①，m ，n 均为直线，其中m ，n 平行于α，则m ，n 可以相交也可以异面，故①不正确；对于②，③，α，β还可能相交，故②，③错；对于④，m ⊥α，n ⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故④正确．答案：①②③12．若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________．解析：设球的半径为R ，圆柱、圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r ＝R ，h ＝2R ，V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，V圆锥＝13πR 2×2R ＝23πR 3，所以V 圆柱∶V 球∶V圆锥＝2πR 3∶43πR 3∶23πR 3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶113.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得ACA 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a.整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a14．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC 的体积的最大值为________．解析：记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连线OD 、OS ，易求R ＝23，又SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD 的最小值为12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC 的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33.答案：33二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是多少？解：如图，底面半径为52cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点． 依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝（52π）2＋52＝5 π2＋42. ∴圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为5π2＋42cm.16．(14分)如图所示，已知ABCD 是矩形，E 是以DC 为直径的半圆周上一点，且平面CDE ⊥平面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE .证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点，∴CE ⊥DE . 又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．(14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.18．(16分)已知等腰梯形PDCB 中(如图①)，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且DA ⊥PB .现将△P AD 沿AD 折起，使平面P AD ⊥平面ABCD (如图②)．(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA ∶V M ACB ＝2∶1.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ， 又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)由题意知P A ⊥平面ABCD ，∴平面P AB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ，。
1.3.1棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
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③ 利用实物试验验证猜想
I. 用一摞大小相同的书，由长方体推移成平行六面体
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③ 利用实物试验验证猜想
I. 用一摞大小相同的书，由长方体推移成平行六面体
启发思考： 推移前后什么不变？ 体积、高度、书中每页纸的面积和顺序
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设计思路： 从已知到未知，从特殊到一般
9长/27/方2020体的体积公式
研修班 一般棱柱的体积公式11
教学过程
2. 主动探究,解决问题----探究棱柱体积公式
（2）一般棱柱的体积公式的探索
I.学生自主探索，发表意见
面积度量
类比
一般棱柱割补成长方体
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教学过程
2. 主动探究,解决问题----探究棱柱体积公式
4. 通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何 体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提 高学生学习数学的兴趣.
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教学重点、难点
重点：
祖暅原理的含义理解和棱柱体积公式的 推导
难点：
祖暅原理的含义理解
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课堂结构
1.创设情境,提出问题
2.主动探究,解决问题
（2）一般棱柱的体积公式的探索
I.学生自主探索，发表意见 II.祖暅原理的发现、归纳和验证
① 用几何画板动态演示线形成面的过程，启发 思考两个平面图形面积相等的条件
② 类比猜想两个空间图形体积相等的条件 ③ 利用实物试验验证猜想 ④ 祖暅原理含义的理解