中山市高二级2012—2013学年度第二学期期末统一考试(数学理)

中山市高二级2012—2013学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.参考公式：回归直线ˆybx a =+，其中1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数11z i =-的共轭复数是 A ．1122i - B ．1122i +C ．1i -D ．1i +2．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，这种思维方式是 A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．其它推理3．已知平面内A 、B 、C 、D 四点，任意三点不在同一直线上，则连结任意两点的所有向量个数为 A ．6 B ．12 C ．24 D ．484．在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关. 在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 A ．有95%的把握认为两者有关 B ．约有95%的打鼾者患心脏病 C ．有99%的把握认为两者有关 D ．约有99%的打鼾者患心脏病5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A ．82n -B ．82n +C ．62n -D ．62n +6．函数ln 2y x x =⋅+的单调递增区间是 A ．1(0,)eB ．(0,)eC ．1(,)e+∞D ．(,)e +∞7．设(3x 31+x 21)n展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t +h =272，则展开式中x 2项的系数是 A ．21B ．1C ．12D ．818．设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为43，遇到红灯（禁止通行）的概率为41. 假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数. 则停车时最多已通过2个路口的概率为 A ．649 B ．3764C ．25627 D ．.256175二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） （一）必做题（9～13题）9．设0()cos f x x =，/10()()f x f x =，/21()()f x f x =，……，/1()()n n f x f x += (n ∈N)，则f 2013(x ) = .10．一物体在力F （x ）=2x+1（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4处（单位：m ），则力F （x ）所作的功为___________.11．若1~(,)3X B n ，且()8E X =，则()D X = .12．教材上一例问题如下：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据如下表，试建立y 与x 之间的回归方程.…①②③某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究它时（如上图所示），分别采用四种模型，所得结果如下：根据上表，易知当选择序号为 的模型时，拟合效果最好.13. 有一块边长为6 m 的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池. 截去的小正方形的边长x 为 m 时，蓄水池的容积最大. （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，若两题都做，取14题为最后得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(cos sin )1ρθθ+=与(cos sin )1ρθθ-=-的交点的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4,BD =8，则⊙O 的半径等于____________.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 16．（13分）通过市场调查，得到某产品的资金投入x （万元）与获得的利润y （万元）的数据，如下表所示：（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程^y bx a =+；（2）计算6x =时的残差$e ； （残差公式：µµ=-iiie y y ）（3）现投入资金10（万元），求估计获得的利润为多少万元.17．（13分）已知复数z 满足||z ，2z 的虚部为 2 ， （1）求z ；（2）设z ，2z ，2z z -在复平面对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC ∠的余弦.18．（13分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个. 现在从盒子中任取2个球（假设取到每个球的可能性都相同），设取到两个球的编号之和为ξ.（1）求随机变量ξ的分布列； （2）求两个球编号之和大于6的概率.19．（14分）已知直线:2l y x =+与抛物线2x y =交于(,)A A A x y 、(,)B B B x y 两点，l 与x轴交于点(,0)C C x . （1）求证：111A B Cx x x +=； （2）求直线l 与抛物线所围平面图形的面积；（3）某同学利用TI-Nspire 图形计算器作图验证结果时（如图1所示），尝试拖动改变直线l 与抛物线的方程，发现11A B x x +与1C x 的计算结果依然相等（如图2、图3所示），你能由此发现出关于抛物线的一般结论，并进行证明吗？图1 图2 图320．（13分）若10a >，11a ≠，121nn na a a +=+(1,2,)n =⋯，. （1）求证：1n n a a +≠；（2）令112a =，写出2a 、3a 、4a 、5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ； （3）证明：存在不等于零的常数p ，使{}nna pa +是等比数列，并求出公比q 的值.21．（14分）设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R >∈.（1）计算1()3f '；（2）若13x =为函数()f x 的一个极值点，求()f x 的单调区间；（3）设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值，求证：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤M ．中山市高二级2012—2013学年度第二学期期末统一考试数学（理科）答案一、选择题： ACBC DCBB 二、填空题：9. sin x -； 10. 20； 11. 163； 12. ④； 13. 1；14. (1,)2π； 15. 5.三、解答题： 16. 解：（1）2345645x ++++==，2356955y ++++==. ……（2分）1221-∑==-∑=nx y nx y i i i b n x nx i i 22334556695451.749162536516⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯. ……（5分）1.8a y bx ∴=-=-， ^1.7 1.8y x ∴=-. ……（7分）（2）当x =6（万元）时，ˆ 1.76 1.88.4y=⨯-=，所以98.40.6e =-=. ……（10分） （3）当x =10（万元）时，ˆ15.2y=（万元） ……（13分）17. 解：（1）设(,)z x yi x y R =+∈， 由题意得2222z x y xyi =-+. ……（2分）22=∴=⎪⎩xy ……（4分） 解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故1z i =+或1z i =--. ……（6分） （2）当1z i =+时，222,1z i z z i =-=-，所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C -， (1,1)(0,2)(1,1)=-=-u u r BA ，(1,1)(0,2)(1,3)=--=-u u u rBC ，cos 5||||∠===g g uu r uu ruu r uu r BA BC ABC BA BC…………（10分）当1z i =--时， 222,13z i z z i =-=--，(1,1),(0,2),(1,3)A B C ----. (1,1)(0,2)(1,3)=---=--u u r BA ，(1,3)(0,2)(1,5)=---=--u u u rBC ，cos 75||||∠===g g uu r uu ruu r uu r BA BCABC BA BC…………（13分）18. 解：（1）由1+1=2, 1+2=3, 2+2=4, 1+5=6, 2+5=7, 5+5=10, 则ξ可能取值2,3,4,6,7,10.…………（1分）232101(2)15C P C ξ===， 11342104(3)15C C P C ξ===, 242102(4)15C P C ξ===,11332101(6)5C C P C ξ===, 11432104(7)15C C P C ξ===, 232101(10)15C P C ξ===. ……（7分）所以，随机变量ξ的分布列为：…………（9分）（2）两个球编号之和大于6的概率为：411(6)(7)(10)15153P P P ξξξ>==+==+=. …………（13分）19. 解：（1）证明：联立直线l 与抛物线的方程组，得22y x x y=+⎧⎨=⎩，解得1A x =-，2B x =，则11111122A B x x +=+=--. …………（2分）令20y x =+=，解得2C x =-，则112C x =-. …………（3分） 所以，111A B Cx x x +=. …………（4分）（2）直线l 与抛物线所围平面图形的面积为221(2)S x x dx -=+-⎰…………（5分）=232111(2)|23x x x -+- …………（6分）=92. …………（7分）（3）一般结论：直线:(0)l y kx b k =+≠与抛物线22(0)x py p =≠交于(,)A A A x y 、(,)B B B x y 两点，l 与x 轴交于点(,0)C C x ，则111A B Cx x x +=. …………（9分）证明如下：联立直线l 与抛物线的方程组， 得：22y kx bx py =+⎧⎨=⎩，消y 得：2220x pkx pb --= ， …………（10分） 所以2A B x x pk +=，2A B x x pb =-， …………（11分） 从而1122A B A B A B x x pk kx x x x pb b++===--.…………（12分） 令0y kx b =+=，解得C bx k=-，则1C k x b =-.…………（13分）所以，111A B Cx x x +=. …………（14分）20. 解：（1）采用反证法. 若1n n a a +=，即21nn na a a =+, 解得 01.n a =， …………（2分） 从而121a 0,1n n a a a -==⋯⋯===与题设10a >,11a ≠相矛盾， …………（3分）故1n n a a +≠成立. ……（4分） （2）112a =，223a =，345a =，489a =，51617a =,…………（6分）猜想11221n n n a --=+.…………（8分） （3）因为11(2)2n n n na p p a pa a +++++=， …………（10分）又11n n n na p a p q a a ++++=⋅,…………（11分） 所以(22)(12)0n p q a p q +-+-=,…………（12分） 因为上式是关于变量n a 的恒等式，故可解得12q =，1p =-.…………（13分）21. 解：（1）2'()32()f x ax a b x b =-++.…………（2分）所以2111'()3()2()3333b af a a b b -=⨯-+⨯+=.…………（4分）（2） 由13x =为函数()f x 的一个极值点，得1()3f '=0.…………（5分）由1()3f '=0，得a =b ．…………（6分）故2'()32()f x ax a a x a =-++=a (3x 2－4x +1)=(31)(1)a x x --=0，由0a >，令'()0f x >，解得13x <或1x >；令'()0f x <，解得113x <<. ……（9分） 所以，函数f (x )的单调增区间是(-∞，13)，(1，+∞) ，单调减区间是1(,1)3. …（10分）（3）()f x '=3ax 2-2(a +b )x +b =3222()33a b a b aba x a a++---． ①当1,033a b a ba a++≥或≤时，则()f x '在[0,1]上是单调函数， …………（11分） 所以(1)f '≤()f x '≤(0)f '，或(0)f '≤()f x '≤(1)f '，且(0)f '+(1)f '=a >0． 所以|()f x '|≤M ．②当013a ba+＜＜，即-a ＜b ＜2a ，则223a b ab a +--≤()f x '≤M ． (i) 当-a ＜b ≤2a 时，则0＜a +b ≤32a．所以 (1)f '223a b ab a +--＝22223a b ab a --＝223()3a a b a-+≥214a ＞0．所以 |()f x '|≤M ． ………（12分）(ii) 当2a ＜b ＜2a 时，则()(2)2a b b a --＜0，即a 2+b 2－52ab ＜0． 所以223a b ab b a +--=2243ab a b a--＞22523ab a b a --＞0，即(0)f '＞223a b ab a +-．所以 |()f x '|≤M ．综上所述：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤M ．………（14分）。