上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(wd无答案)

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上海市2019-2020学年高二第二学期期末数学检测试题

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 2．在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)4．已知()23()f x x x R =+∈，若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>，则a ，b 之间的关系是（） A ．2a bB ．2a b <C ．2b aD ．2b a >5．设函数()x f x xe =，则（） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（）A ．1BC ．2D ．37．已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（）A ．22(3,1)e e -+B ．2(3,)e -+∞C ．2(,22)e -∞+D ．22(26,22)e e -+8．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,59．已知二项式2(*)nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（） A ．14B ．14-C ．240D ．240-10．复数22cos sin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（） A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行 12．若()()()()9290129111x a a a x a x a x +=+++++++，若684a =，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．2-D ．3-二、填空题：本题共4小题 13．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'()ln f x xf e x =+，则()f e =__________．14．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件15．已知33210n n A A =，那么n =__________．16．已知函数1y x =的图象的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测，函数12202012019x x x y x x x +++=+++++的图象的对称中心为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

上海市嘉定区2019学年第二学期封浜高级中学高二年级数学期末质量调研（满分150分，时间120分钟）一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．抛物线24y x =的焦点坐标为 .2．平面直角坐标系中点)2,1(到直线012=++y x 的距离为． 3．若复数z 满足(1i)4z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是 .4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有种不同的组合．5．侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 .6．双曲线22133x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . 7．底面半径和高均为3的圆柱的表面积为．8．双曲线221y x m+=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ． 9．已知空间直角坐标系中，某二面角-l-αβ的大小为θ，02πθ<<，半平面α和β的一个法向量分别为1(1,3,0)n =，2(0,2,4)n =，则θ= ．(结果用反三角函数值表示)10．二项式31(2)x x+的展开式中各项系数的和是．11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为厘米．12．已知定点(0,2)P ，点Q 在抛物线24x y =上运动，若复数12z z 、在复平面内分别对应点P Q 、的位置，且12z z z =-，则z 的最小值为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（）．(A) π(0,)2(B) π(0,]2(C) π[0,)2(D) π[0,]214.“14a =”是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直” 的 ……………………………………………………………………………（）. （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件15．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像………………………………………………( )．(A)关于轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线对称 (C)关于轴对称 (D)关于直线对称，也关于直线对称 16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )． (A) 若1z 、2z ∈C ，120z z ->，则12z z >．(B) 若z ∈R ，则2||z z z ⋅=不成立．(C) 12z z ∈C 、，120z z ⋅=，则10z =或20z =．(D) 12z z ∈C 、，22120z z +=，则10z =且20z =．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数2i α=-，i m β=-，m ∈R . （1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.x y x =y y x =y x =-18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.如图，长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小为4π．（1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知4()2n x x的二项展开式中，第三项的系数为7．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆22221(0)x y a b a b Γ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)(2,0)A B -，，点1(3,)2在椭圆上．过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于A B 、）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切．21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1. （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的,A B 两点，求OA OB ⋅的值；（3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0,OM MN ⋅=求ON 的取值范围．参考答案（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．抛物线24y x =的焦点坐标为 . (1,0)2．平面直角坐标系中点)2,1(到直线012=++y x 的距离为．3．若复数z 满足(1i)4z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 2 4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有种不同的组合．246C =5．侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 . 56．双曲线22133x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . π27．底面半径和高均为3的圆柱的表面积为．36π8．双曲线221y x m+=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ．4- 9．已知空间直角坐标系中，某二面角-l-αβ的大小为θ，02πθ<<，半平面α和β的一个法向量分别为1(1,3,0)n =，2(0,2,4)n =，则θ= ．(结果用反三角函数值表示) arccos1010．二项式31(2)x x+的展开式中各项系数的和是．2711．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为厘米．612．已知定点(0,2)P ，点Q 在抛物线24x y =上运动，若复数12z z 、在复平面内分别对应点P Q 、的位置，且12z z z =-，则z 的最小值为． 2 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ B ）．(A) π(0,)2(B) π(0,]2(C) π[0,)2(D) π[0,]214.“14a =”是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的 ……………………………………………………………………………（ A ）. （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件15．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像………………………………………………( D )．(A)关于轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线对称 (C)关于轴对称 (D)关于直线对称，也关于直线对称 16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( C )． (A) 若1z 、2z ∈C ，120z z ->，则12z z >．(B) 若z ∈R ，则2||z z z ⋅=不成立．(C) 12z z ∈C 、，120z z ⋅=，则10z =或20z =．(D) 12z z ∈C 、，22120z z +=，则10z =且20z =．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数2i α=-，i m β=-，m ∈R .x y x =y y x =y x =-（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值. 解: （1）5αα==………………………………………………………………2分于是 ()222224i m i m i m αβ+=-+-=+-=++…………………………4分又2αβα+< ，所以()22425m ++，解得：62m -<<. …………6分所以实数m 的取值范围为(6,2)-. …………………………………………………7分（2）因为m i -（m ∈R ）是方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，m i +（m ∈R ）也是此方程的一个根，…………………………………………9分于是()()()()10m i m i nm i m i ++-=⎧⎪⎨+⋅-=⎪⎩ …………………………………………………11分解得36m n =⎧⎨=⎩ 或36m n =-⎧⎨=-⎩，且满足2()4130,n ∆=--⨯<……………………13分所以36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩ ……………………………………………………………14分18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.如图，长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小为4π．（1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．解：（1）联结AC ，因为1AA ABCD ⊥平面，所以1A CA ∠就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，………………………………2分所以14ACA π∠=，所以122AA =……………………………………………4分所以11114233A BD ABD ABD A A V V S A A --==⋅=分（2）联结1A D ，BD因为11//A B CD ，所以11//A D B C所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………10分在△1BA D 中，22212cos 3BA D ∠==所以12arccos3BA D ∠=……………………………………………………………13分所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2arccos 3…………………………………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知n 的二项展开式中，第三项的系数为7．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）．解：（1）322222314n-n nn T C C x -==…………………………………2分22172884n n C C n =⇒=⇒=，……………………………………………4分所以前三项分别为080418T C x ==，131714284T C x ==，52622387T C x ==……………………………………………………7分所以前三项系数分别为1,4,7，即前三项系数成等差数列……………………8分（2）34841881,0,1,2,,7,82rr rrr r r T C C x r --+===……………10分0,4,8r ∴=时，展开式中x 的指数为整数，所以展开式中所有有理项为：080418T C x ==、348178T C x x ==、8288211256256T C x x -==……………………………………………………………14分 20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆22221(0)x y a b a b Γ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)(2,0)A B -，，点1(3,)2在椭圆上．过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于A B 、）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切．解：（1）由题意可知24a =且22311144b b+=⇒=，……………………2分所以椭圆方程为1422=+y x ……………………4分（2）设(,)C x y ，则由QP PC =可得1(,)2P x y ， ………………………………6分又1(,)2P x y 在椭圆1422=+y x 上，可知224x y +=，……………………………9分所以动点C 的轨迹E 的方程是224x y +=……………………………………………10分（3）设(,)C m n ，(2,)R t ，由题意可知A C R 、、三点共线，所以AC AR ，因为(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则44(2)2n n t m t m =+⇒=+，即4(2,)2nR m +， …………………………………………………………………………12分2(2,)2n D m +，从而22224CD nn mn m k m m -+==--，又224m n +=，故224CD mn mn mk m n n===---:()40CD ml y n x m mx ny n-=--⇒+-= …………………………………14分则圆心到直线CD 的距离222d r m n===+ …………………………………15分所以直线CD 与曲线E 相切 …………………………………………………………16分 21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1. （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的,A B 两点，求OA OB ⋅的值；（3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0,OM MN ⋅=求ON 的取值范围．解：（1）依题意知，动点P 到定点F (1,0)的距离等于P 到直线1x =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (1,0)为焦点的抛物线………2分 ∵12p= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是24y x =…………………4分（2）当l 平行于y 轴时，其方程为1x =，由214x y x=⎧⎨=⎩解得(1,2)A 、(1,2)B - 此时=14=3OA OB ⋅--…………………………………………………6分当l 不平行于y 轴时，设其斜率为k ，则由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)A x y B x y 则有121x x =，212224+k x x k+=……………………8分 ∴12121212==(1)(1)OA OB x x y y x x k x k x ⋅++--2221212(1)()k x x k x x k =+-++2222224=1+143k k k k k+-⋅+=-=-……………………………10分（3）设221212(,),(,)44y y M y N y∴222121121(,),(,)44y y y OM y MN y y -==- ………………………………12分 ∵0OM MN ⋅=∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y ∵0,121≠≠y y y ，化简得)16(112y y y +-=………………………………14分 ∴6432256232256212122=+≥++=y y y ……………………………………14分当且仅当 4,16,2561212121±===y y y y 时等号成立………………………………16分∵22||(64y ON y ==≥ ∴当222min 64,8||85||y y ON ON ==±=，，故的取值范围是),58[+∞………18分。

2020学年上海市嘉定区高二第二学期期末考试数学试题(解析版)

2020学年上海市嘉定区高二第二学期期末考试数学试题一、单选题1． “夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（） A ．杨辉 B ．刘微 C ．祖暅 D ．李淳风【答案】C【解析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理. 【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C. 【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.2．已知抛物线22y px ＝（p 是正常数）上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点F ，甲：2124p x x =；乙：212y y p =-；丙：234OA OB p ⋅=-；丁：112FA FB p +=.以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件有几个（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设直线AB 的方程为x my t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t 的值，可以得出“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，则直线AB 交x 轴于点(),0T t ，且抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y pxx my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得，2220y pmy pt --=，由韦达定理得122y y pm +=，122y y pt =-.对于甲条件，()()22222122121222224444y y pt y y p x x t p p p -=====，得2p t =±，甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于乙条件，2122y y pt p =-=-，得2pt =，此时，直线AB 过抛物线的焦点F ，乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件；对于丙条件，221212324OA OB x x y y t pt p ⋅=+=-=-，即223204t pt p -+=，解得2p t =或32pt =，所以，丙条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于丁条件，11121111112222p p p pFA FB x x my t my t +=+=+++++++()()()()()12122121212222222m y y t p m y y t p p p p p my t my t m y y m t y y t ++++++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222222222222222pm t ppm t p p p p p m pt m t pm t p m t ++++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⋅++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得224p t =，得2p t =±，所以，丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有1个，故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题. 二、填空题3．椭圆2213x y +=的焦点坐标是__________.【答案】()【解析】从椭圆方程中得出a 、b 的值，可得出c 的值，可得出椭圆的焦点坐标. 【详解】由题意可得a =1b =，c ∴===因此，椭圆2213x y +=的焦点坐标是()，故答案为：().【点睛】本题考查椭圆焦点坐标的求解，解题时要从椭圆的标准方程中得出a 、b 、c 的值，同时也要确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题. 4．若复数z 满足()12z i +=，则z 的实部是_________. 【答案】1【解析】由()12z i +=得出21iz =+，再利用复数的除法法则得出z 的一般形式，可得出复数z 的实部. 【详解】()12z i +=，()()()()2121211112i i z i i i i --∴====-++-，因此，复数z 的实部为1，故答案为：1. 【点睛】本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题. 5．球的表面积是其大圆面积的________倍．【答案】4【解析】设球的半径为R ，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果. 【详解】设球的半径为R ，则球的表面积为24R π，球的大圆面积为2R π，因此，球的表面积是其大圆面积的4倍，故答案为：4. 【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 6的正四面体的高为__________.【解析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径r ，再利用公式h =可得出正四面体的高. 【详解】设正四面体底面三角形的外接圆的半径为r ，由正弦定理得22sin 603r ===，3r ∴=，因此，正四面体的高为3h ===【点睛】本题考查正四面体高的计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.7．展开二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其常数项为_________.【答案】20【解析】利用二项展开式通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项.【详解】二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661kk k kk k T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令620k -=，得3k =.所以，二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为3620C =，故答案为：20.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用x 的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.8．从0、1、2、3、4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，共有_____不同的可能．【答案】36【解析】由题意得知，三位数首位为2、3、4中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果. 【详解】由于三位数比200大，则三位数首位为2、3、4中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为123431236C A =⨯=，故答案为：36.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9，则其侧面积是________.【解析】计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积. 【详解】由题意知，圆锥的底面半径为1r ==，因此，圆锥的侧面积为1S π=⨯=.【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.10．双曲线22213x y b-=的虚轴长为2，其渐近线夹角为__________.【答案】60°．【解析】计算出b 的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.由题意知，双曲线22213x y b-=的虚轴长为22b =，得1b =，所以，双曲线的渐近线方程为3y x =±，两条渐近线的倾斜角分别为30、150，因此，两渐近线的夹角为60，故答案为：60. 【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.11．在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为()1,2,3和()2,3,1--，则该二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）．【答案】1arccos14【解析】设锐二面角的大小为θ，利用空间向量法求出cos θ的值，从而可求出θ的值. 【详解】设锐二面角的大小为θ，则1cos 14θ==，1arccos14θ∴=，故答案为：1arccos 14. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.12．现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号1、2、3，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有___________种．【解析】设红色的三个球分别为1A 、2A 、3A ，黄色的三个球分别为1B 、2B 、3B ，蓝色的三个球分别为1C 、2C 、3C ，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果. 【详解】设红色的三个球分别为1A 、2A 、3A ，黄色的三个球分别为1B 、2B 、3B ，蓝色的三个球分别为1C 、2C 、3C ，现从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有：()123,,A B C 、()132,,A B C 、()213,,A B C 、()231,,A B C 、()312,,A B C 、()321,,A B C ，因此，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有6种，故答案为：6. 【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题. 13．已知点(),P s t ，(),Q u v ，2s t +≤，221u v +=，复数1z 、2z 在复平面内分别对应点P 、Q ，若12z z z =+，则z 的最大值是__________. 【答案】3【解析】由题意可知，点P 在曲线2x y +≤内，点Q 在圆221x y +=上，利用三角不等式得出z =1212z z z z OP OQ +≤+=+，可求出z 的最大值. 【详解】由题意知，点P 在曲线2x y +≤内，点Q 在圆221x y +=上，如下图所示：由三角不等式得12121213z z z z z OP OQ OP =+≤+=+=+≤+=，当点P 为正方形的顶点，且点OP 、OQ 方向相反时，z 取最大值3，故答案为：3. 【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 14．已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在半平面α 内，且12POB π∠=，若对于半平面β内异于O 的任意一点Q ，都有12POQ π∠≥，则二面角AB αβ--大小的取值的集合为__________. 【答案】{}90【解析】画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可. 【详解】如下图所示，过点P 在平面α内作PC AB ⊥，垂直为点C ，点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在平面α内，且12POB π∠=，若对于平面β内异于点O 的任意一点Q ，都有12POQ π∠≥.因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，即POB ∠是直线PO 与平面β所成的角，PC ∴⊥平面β，PC ⊂平面α，所以，平面α⊥平面β，所以，二面角AB αβ--的大小是90.故答案为：{}90. 【点睛】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.15．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（）A ．!!mn n C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B【解析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断. 【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B 选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选：B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.16．在复数范围内，多项式241x +可以因式分解为（）A ．422i i x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．11422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22i i x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1122x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A【解析】将代数式化为222414x x i +=-，然后利用平方差公式可得出结果. 【详解】2222241444422i i i x x i x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题. 三、解答题17．已知复数w 满足()1243w i i +=+（i 为虚数单位），52z w w=+-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．【答案】26100x x +=-【解析】先由()1243w i i +=+求出复数w ，再由52z w w=+-求出复数3i z =+，计算出其复数z ，可得出以复数z 为根的实系数方程为()()0x z x z --=，化简后可得出结果.【详解】由()1243w i i +=+，得()()()()243124345621212125i i i i i w i i i i +-+--====-++-， ()()()52552221213222i z w i i i w i i i +∴=+-=+--=+=++=+--+，3z i ∴=-. 6z z ∴+=，2223110z z z ⋅==+=，因此，以复数z 为一个根的实系数方程为()()0x z x z --=，即()0x z z x z z -++⋅=，即26100x x +=-. 【点睛】本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.18．在平面直角坐标系中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右焦点2F 为(),0c ．（1）若其长半轴长为2，焦距为2，求其标准方程．（2）证明该椭圆上一动点P 到点2F 的距离d 的最大值是a c +．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析.【解析】（1）由题设条件可得出a 、c 的值，进而可求出b 的值，由此得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()()000,P x y a x a -≤≤，将该点代入椭圆C 的方程得出()222202b y a x a=-，并代入d 的表达式，转化为关于0x 的函数，利用函数的性质求出d 的最大值. 【详解】（1）由题意，2a =，22c =，则1c =，2223b a c ∴=-=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设()()000,P x y a x a -≤≤，()2,0F c ，d ∴====∴当0x a =-时，2max c a d a a c a c ⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆方程的求解及椭圆方程的应用，在处理与椭圆上一点有关的最值问题时，充分利用点在椭圆上这一条件，将问题转化为二次函数来求解，考查函数思想的应用，属于中等题. 19．推广组合数公式，定义()()11!m x x x x m C m --+=，其中x ∈R ，m N *∈，且规定01x C =．（1）求315C -的值；（2）设0x >，当x 为何值时，函数()()321xxCf x C =取得最小值？【答案】（1）680-；（2）当x 时，()321xxC C 取得最小值.【解析】（1）根据题中组合数的定义计算出315C -的值；（2）根据题中组合数的定义求出函数()1236f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求出函数()y f x =的最小值，并计算出等号成立对应的x 的值. 【详解】（1）由题中组合数的定义得()()()3151********3!C ----==-；（2）由题中组合数的定义得()()()()32211212366xx x x x C f x x x x C --⎛⎫===+- ⎪⎝⎭．因为0x >，由基本不等式得2xx+≥x =时，等号成立，所以当x 时，()321xx C C 取得最小值．【点睛】本题考查组合数的新定义，以及利用基本不等式求函数最值，解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算，考查运算求解能力，属于中等题.20．被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点()1,2,,24i P i =为棱上的四等分点.（1）求该方灯体的体积；（2）求直线12PP 和611P P 的所成角；（3）求直线913P P 和平面129P P P 的所成角．【答案】（1）1883；（2）60；（3）3arcsin 【解析】（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线12PP 和611PP 的所成角；（3）求出平面129P P P 的法向量，利用空间向量法求出直线913P P 和平面129P P P 的所成角的正弦值，由此可得出913P P 和平面129P P P 的所成角的大小. 【详解】（1）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D ﹣中，点()1,2,,24i P i =为棱上的四等分点，∴该方灯体的体积：111884448111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，()13,0,4P 、()24,1,4P 、()60,3,4P 、()110,4,3P ，()121,1,0PP =，()6110,1,1P P =-，设直线12PP 和611PP 的所成角为θ，则11161126111cos 2PP P P PP P P θ⋅==⋅， ∴直线12PP 和611PP 的所成角为60；（3）()94,0,3P ，()134,0,1P ，()1930,0,2P P =-，()911,0,1PP =-，设平面129P P P 的法向量(),,n x y z =，则191200n PP x z n PP x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，得y x z x =-⎧⎨=⎩，取1x =，得()1,1,1n =-，设直线913P P 和平面129P P P 的所成角为α，则9913313sin 323P P n P P nα⋅===⋅， ∴直线913P P 和平面129P P P 的所成角为3arcsin 3．【点睛】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A 、B 两点．（1）若l 的倾斜角为2π，a =1F AB ∆是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；（2）a =1b =，若l 的斜率存在，且()110F A F B AB +⋅=，求l 的斜率；（3）证明：点P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2222a b a b +是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．【答案】（1）2213x -=；（2）；（3）见解析.【解析】（1）将x c =代入双曲线的方程，得出2by a=±，由1F AB ∆是等腰直角三角形，可得出22b c a=，再将a =b 的值，由此可得出双曲线的标准方程；（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线l 的方程为()2y k x =-，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段AB 的中点M 的坐标，由()110F A F B AB +⋅=得出11F A F B =，转化为1F M AB ⊥，利用这两条直线斜率之积为1-，求出实数k 的值，可得出直线l 的斜率；（3）设点()00,P x y ，双曲线的两条渐近线方程为0bx ay ±=，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证. 【详解】（1）直线l 的倾斜角为2π，a =:l x c =，代入双曲线方程可得2b y a=±，1F AB ∆是等腰直角三角形可得22b c a =，即有22223b c a c ==-=-，解得c =2226b c a =-=+则双曲线的方程为2213x =；（2）由a =1b =，可得2c ==，直线l 的斜率存在，设为k ，设直线方程为()2y k x =-，()()()22111111110F A F B AB F A F B F B F A F B F A +⋅=+⋅-=-=，可得11F A F B =，由()2y k x =-，联立双曲线方程2233x y =-，可得()222213121230kxk x k -+--=，可得21221231k x x k +=-，线段AB 的中点M 为22262,3131k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由1F M l ⊥，可得12221662F M kk k k k ⋅==-+-，解得k =，满足()()4221444123130k k k ∆=+⋅+->，故直线l的斜率为；（3）证明：设()00,P x y ，双曲线的两条渐近线为0bx ay ±=，可得P到渐近线的距离的乘积为222222002222b x a y a b a b a b -==++，即为2222220b x a y a b -=，可得2200221x y a b-=±，可得P 在双曲线22221x y a b-=或22221x y a b -=-上，即有点P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2222a b a b+是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.。

2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1. 已知集合6,2,0,4,2,1B A ，则B A _________。

2. 如果复数mi i 11是实数，则实数m _________。

3. 已知2053cos x x ，则x 2sin 的值为_________。

4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5y x 上的概率为_________。

5. 已知函数0,log 0,22xx x x x f ，则2f f 的值为_________。

6. 执行下边的程序框图，若4p ，则输出的S _________。

7. 直线b x y平分圆082822y x y x 的周长，则b __________。

8. 等比数列n a 的各项均为正数，31a ，前三项的和为21，则654a a a __________。

9. 已知实数y x,满足2211y x y x xy ，若y x z 3在y x,处取得最小值，则此时y x,__________。

10. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b b a ab 2，则满足x ⊙02x 的实数x 的取值范围是__________。

11. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，D 为斜边BC 的中点，则AD AB 的值为__________。

12. 已知函数2,0,6sin 2x x x f ，则该函数的值域为__________。

13. 把数列n 21的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有12k 个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为s k,，则20121可记为__________。

14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点y x P ,的纵坐标与横坐标的函数关系式是x f y ，x f y 在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积记为S ，则S=__________。

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部，所以直线与椭圆必相交，所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点，由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________；【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________；【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ，所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________；【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ，解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ，所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-，得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________；【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________；【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-，因为 2l 也通过定点()2,3-，将()2,3-代入220++=m x y n ，得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】设(),P x y ，1x =+，两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =，当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________；【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切，所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=，故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时：（1）在复平面上z 对应的点在第二象限？（2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上，所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-；（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-，代入22y px =，得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，代入22y px =，得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-，所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点，有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ，即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ，即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ，因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ，由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ，又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程，所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。

上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

线 E 相切；
【答案】（1）解：由题意可知： t
将娘代入椭圆方程可得：娘
t ，解得： t
椭圆的方程为： 켈 灄 t
与曲
（2）解：设 켈 灄， 켈 灄
켈t켈
켈 t켈
由 t 켈 轴， tt t t t t 可得：灄 t 灄，即灄 t 灄
켈灄
将 켈 灄代入椭圆方程得： 켈 灄 t
动点的轨迹的方程为： 켈 灄 t
t 的体积；
（2）求异面直线 t 与 t 所成角的大小．
【答案】（1）解：连接 AC，则 ∠
为
与平面 ABCD 所成的角，
3/6
∠ t，
ttt t ，
t
，
t，
娘
t
tt
t
t娘× t× ×
（2）解：连接
，易知 ttt ，
∠t
或其补角即为所求，
连接 BD，
在 △ t 中，
t 娘， tt 娘， t t
【答案】 D
【考点】曲线与方程
4.下列命题中,正确的命题是（）
A. 若、
，则
B. 若
，则 t t t 不成立
C.
t ，则 t 或 t
D. 、
【答案】 C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
二、填空题（共 12 题；共 12 分）
t ，则 t 且 t
5.抛物线灄 t 켈 的焦点坐标是________．
【答案】 6
【考点】组合及组合数公式
1/6
9.侧棱长为 3，底面面积为 8 的正四棱柱的体对角线的长为________. 【答案】 5 【考点】棱柱的结构特征

【数学】上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高二下学期期末考试试题

1 上海市嘉定区2019学年第二学期封浜高级中学高二年级数学期末质量调研（满分150分，时间120分钟）一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．抛物线24y x =的焦点坐标为 .2．平面直角坐标系中点)2,1(到直线012=++y x 的距离为．3．若复数z 满足(1i)4z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是 .4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有种不同的组合．5．侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 . 6．双曲线22133x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . 7．底面半径和高均为3的圆柱的表面积为．8．双曲线221y x m +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ． 9．已知空间直角坐标系中，某二面角-l-αβ的大小为θ，02πθ<<，半平面α和β的一个法向量分别为1(1,3,0)n =，2(0,2,4)n =，则θ= ．(结果用反三角函数值表示)10．二项式31(2)x x +的展开式中各项系数的和是．11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为厘米．12．已知定点(0,2)P ，点Q 在抛物线24x y =上运动，若复数12z z 、在复平面内分别对应点P Q 、的位置，且12z z z =-，则z 的最小值为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（）．2 (A) π(0,)2(B) π(0,]2(C) π[0,)2(D) π[0,]2 14.“14a =”是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直” 的 ……………………………………………………………………………（）.（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件15．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像………………………………………………( )．(A)关于轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线对称(C)关于轴对称 (D)关于直线对称，也关于直线对称16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )．(A) 若1z 、2z ∈C ，120z z ->，则12z z >．(B) 若z ∈R ，则2||z z z ⋅=不成立．(C) 12z z ∈C 、，120z z ⋅=，则10z =或20z =．(D) 12z z ∈C 、，22120z z +=，则10z =且20z =．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数2i α=-，i m β=-，m ∈R .（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.x y x =y y x =y x =-3如图，长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小为4π．（1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知4()2n x x +的二项展开式中，第三项的系数为7．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.。

上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(pdf解析版)

离比它到 y 轴的距离大1 ．
（1）求曲线 C 的轨迹方程；
（2）若过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 不同的两点，求 OAOB 的值；
为异面直线所成角，所以两条异面直线所成角的取值范围是 (0, ]，故选 B.
2 14. a 1 是“直线 (a 1)x 3ay 1 0与直线 (a 1)x (a 1) y 3 0相互垂直”的（）.
4
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
BA1D （或其补角）即为所求，
连接 BD ，
在 A1DB 中， A1D 2 3 ， A1B 2 3 ， BD 2 2 ，
由余弦定理得： cosBA1D
12 12 8 22 32
3
2 3
， BA1D
arccos
2 3
，
故异面直线
A1B
，
B1C
所成角的大小为
arccos
2 3
．
19.已知
x
中点，证明：直线 CD 与曲线 E 相切；
解：（1）由题意可知： a 2
将
3,
1 2
代入椭圆方程可得：
3 4
1 4b2
1，解得： b2
1
椭圆的方程为： x2 y2 1 . 4
（2）设 C x, y ， P x0, y0
由 PQ
x 轴，
QP
PC
x
可得：
y
x0 2 y0
x0 ，即
根，可得
m m
i i
m
mi
i
n
10
，解得
m 3 n 6

2019-2020学年下海市嘉定区数学高二(下)期末统考试题含解析

2019-2020学年下海市嘉定区数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．直线0,3,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积为（） A ．9 B ．274C ．272D ．27【答案】A 【解析】直线x=0,x=3,y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积为：3233001|93x dx x ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰. 本题选择A 选项.2．已知,a b 为实数，则“2ab b >”是“0a b >>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】分析：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，即可判断关系．详解：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，则0a b >>不成立，所以“2ab b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设F 是椭圆222516x y +=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点i P （i=1,2,3,···）1PF ，2P F ，3P F ，···组成公差为d （d>0）的等差数列，则d 的最大值为A ．25B ．310C ．15D ．110【答案】B 【解析】【分析】求出椭圆点到F 的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．【详解】椭圆2212516x y +=中5,4,3a b c ===，而PF 的最大值为8a c +=，最小值为2a c -=， ∴21120826P F PF d -=≤-=，310d ≤．故选B ．【点睛】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大． 4．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为（）A ．2B ．12CD ．【答案】A 【解析】【分析】将点带入直线可得212a b+=，利用均值不等式“1”的活用即可求解．【详解】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=g 当且仅当4b aa b =，即2a b =时取等号所以斜率2ab=，故选A【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题． 5．已知函数()21a f x x e-=与()()()222ln 4ln g x a x x e x =--的图像有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（） A ．(),e -∞- B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()(),31,-∞--+∞U【答案】B 【解析】【分析】将函数有三个公共点，转化为22ln ln 4()(1)(21)x xe a e x x=--有三个解，再利用换元法设ln 2xet x=，整理为2()(1)(1)0F t t a t a =--+-=，画出函数图形得到答案. 【详解】函数()21a f x x e-=与()()()222ln 4ln g x a x x e x =--的图像有三个不同的公共点即()()22122ln 4ln a x a x x e x e-=--有三个解整理得：22ln ln 4()(1)(21)x x e a e x x=--设ln 2xet x= 21ln '2x t e x -=，当x e >单调递减，0x e <<单调递增.如图所示：原式整理得到：2()(1)(1)0F t t a t a =--+-=图像有三个不同的公共点，即二次方程有两个解，一个小于0.一个在(0,2)上2(1)4(1)(1)(5)05a a a a a ∆=---=-->⇒>或1a < 12101x x a a =-<⇒<当0t =时，(0)10F a =-< 当1t =时，(1)10F => 另一个零点在(0,1)上，满足条件. 故(),1a ∈-∞ 答案为B 【点睛】本题考查了函数的零点问题，根据条件转化为方程的解，再利用换元法简化计算，本题综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.6．甲乙丙丁4名师范院校的大学生分配至3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（） A ．30 B ．42 C ．50 D ．58【答案】A 【解析】【分析】根据题意将4人分成3组，再进行排列，两步完成. 【详解】第一步，将甲乙丙丁4名同学分成3组，甲、乙两人不在同一组，有5种分法第二步,将3组同学分配到3所学校，有336A =种分法所以共有5630⨯=种分配方法【点睛】解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配. 7．函数()ln 1ln 1f x x x =--+的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：利用函数的解析式，判断x 大于1时函数值的符号，以及x 小于1-时函数值的符号，对比选项排除即可.详解：当1x >时，函数()()()1ln 1ln 1ln 01x f x x x x -=--+=<+，排除选项,A D ；当1x <-时，函数()()()1ln 1ln 1ln 01x f x x x x -=----=>+，排除选项C ，故选B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 8．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是A ．()211f x x x =-- B ．()211f x x x =+- C ．()()2211f x x x =--D ．()()2211f x x x =+-【答案】C 【解析】根据()01f =且()20f <，可依次排除,,A B D ，从而得到答案. 【详解】由图象知，()01f =且()20f <A 中，()01f =-，不合题意；B 中，()01f =-，不合题意；D 中，()21450f =+=>，不合题意；本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数图象的识别，常用方法是利用排除法得到结果，排除时通常采用特殊位置的符号来进行排除. 9．已知函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a的取值范围为（） A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦【答案】B 【解析】分析：数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于1x xe a xe x <-+有两个整数解，构造函数()1xx e h x xe x =-+，利用导数判断函数的极值点在()0,1，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..详解：因为()()0010,10,11xx x xx x x e x e e e ≥<⎧⎧⇒-≥⇒->⎨⎨≥<⎩⎩ 所以110x xe x -+≥>函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于1xx e a xe x <-+有两个整数解，设()()()()22,'11x x xx x e x e e h x h x xe x xe x --==-+-+，令()'020xh x x e =⇒--=，令()()2,'10xxg x x e g x e =--=--<恒成立，()g x ∴单调递减，又()()00,10g g ><Q ，∴存在()00,1x ∈，使()()()000,,,h x x x h x =∴∈-∞递增，()()0,,x x h x ∈-∞递减，若()a h x <解集中的整数恰为2个，则0,1x =是解集中的2个整数，故只需()()()()2222201112121211121a h a h e e a h a e e a h e ⎧<=⎪<=⎪⎪⎨≥=⇒≤<--⎪⎪≥-=⎪-⎩，故选B. 点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解. 10．命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A ．00x ∃≤，使得20010x x ++≤B ．0x ∀≤，使得210x x ++>.C ．0x >，使得210x x ++>D ．00x ∃>，使得20010x x ++≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，使得20010x x ++≤”故选D ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．复数4212ii+-+的虚部为（）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i+=--+，即可得到复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()42124210=2 1212125i ii iii i i+--+-==--+-+--，所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】在点极径不变，在极角的基础上加上，可得出与点关于极点对称的点的一个极坐标。

2019-2020学年下海市嘉定区数学高二下期末统考试题含解析

2019-2020学年下海市嘉定区数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知集合{}(){}22,0,|lg 2xM y y x N x y x x ====-，则()RM C N ⋂为（）A ．(]1,2B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞2．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（）附：若，则，.A ．1193B ．1359C ．2718D ．34133．若函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠无极值点，则（） A ．23b ac ≤B ．23b ac ≥C ．23b ac <D ．23b ac >4．已知某随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且(01)0.3P ξ<<=，则(2)P ξ<（）A ．0.8B ．0.75C ．0.7D ．0.65．已知复数满足，则的虚部为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数(),11,12lnx x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩…，若()()1F x f f x m ⎡⎤=++⎣⎦有两个零点1x ，2x ，则12x x ⋅的取值范围是（）A ．(]42ln2-∞-， B ．(e -∞，C ．[)42ln2-+∞，D ．)e +∞，7．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有第一节第二节第三节第四节地理B 层2班化学A 层3班地理A 层1班化学A 层4班生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班生物B 层1班物理B 层1班物理A 层4班政治1班物理A 层3班政治2班政治3班 A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种8．某产品的销售收入1y （万元）关于产量x （千台）的函数为()1150y x x =>；生产成本2y （万元）关于产量x （千台）的函数为()2203y x x x x =->，为使利润最大，应生产产品( ) A ．9千台B ．8千台C ．7千台D ．6千台9．己知函数()13x f x -=-,若32(1og )2f a =,则a =( ) A ．13B ．14 C ．12D ．210．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题p 是“第一次投中”，q 是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为 A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝11．若直线1x =的倾斜角为α，则α（） A ．等于0B ．等于C ．等于D ．不存在12．函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．满足不等式组22y x y x ⎧≥⎨≤+⎩的点(,)x y 所围成的平面图形的面积为________．14．曲线1()x f x x e -+=+在1x =处的切线方程为__________.15．已知函数22log (31),02()3,24x x x f x x -+≤<⎧=⎨≤≤⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦__________. 16．已知函数6()1f x x x=--，若()4f a =，则()f a -=________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知关于x 的方程240x x p ++=()R p ∈的两个根是1x 、2x . （1）若1x 为虚数且1||5x =，求实数p 的值；（2）若12||2x x -=，求实数p 的值.18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为y =以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于A ,B 两点，求11OA OB+. 19．（6分）己知复数1z 满足1(2)34i z i +=+，2z m i =-，其中m R ∈，i 为虚数单位. （l ）求21z ：（2）若1212z z z +<.求实数m 的取值范围.20．（6分）已知向量a v ,b v 满足||||1a b ==vv ，|(0,)ka b kb k k R +=-∈v v v v ． (1)求a b ⋅v v关于k 的解析式f(k)． (2)若//a b v v，求实数k 的值． (3)求向量a v 与b v夹角的最大值．21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线:l y kx =，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=.设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，M 点在N 点的下方.（Ⅰ）当k =M ，N 两点的直角坐标；（Ⅱ）当k 变化时，求线段MN 中点P 的轨迹的极坐标方程. 22．（8分）已知二项式2121(2)x x+．（1）求展开式中的常数项；（2）设展开式中系数最大的项为t mx 求t 的值。

下海市嘉定区2019-2020学年数学高二下期末统考试题含解析

下海市嘉定区2019-2020学年数学高二下期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，1AC ＝AA 1＝BC ＝1．若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为（）A ．B ．C ．1D ．【答案】A 【解析】如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,1,1)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)．则⇒，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，即a ＝，故AD ＝.2．已知某批零件的长度误差 (单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（）(附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A ．4. 56%B ．13.59%C ．27. 18%D ．31. 74%【答案】B 【解析】【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=. 【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==，所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率. 3．6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有不同分法（） A ．39C B ．39AC ．69A D ．3393A A【答案】A 【解析】先分语文书有39C 种，再分数学书有66C ，故共有39C 66C =39C ，故选A.4．在一组样本数据()()()(112212,,,,,,2,,,,n n n x y x y x y n x x x ≥不全相等)的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线31y =x+上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A ．3B ．0C ．1-D ．1【答案】D 【解析】【分析】根据回归直线方程可得相关系数．【详解】根据回归直线方程是31y =x+可得这两个变量是正相关，故这组样本数据的样本相关系数为正值，且所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线上，则有|r|＝1， ∴相关系数r ＝1．故选：D ．【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键． 5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）A ．2B ．4C ．442+D ．642+【答案】A 【解析】【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征. 6．若0a >且1a ≠，且3log 14a <，则实数a 的取值范围（） A ．01a << B ．304a <<C ．304a <<或1a > D ．34a >或304a <<【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由于0a >且1a ≠，且a 333log 1log log 1444aa a a a <⇔∴<时，则成立，当0<a<1时，根据对数函数递减性质可知，34a >，故可知范围是304a <<，综上可知实数a 的取值范围C 考点：不等式点评：主要是考查了对数不等式的求解，属于基础题． 7．已知函数6,2()31,2xx x f x x +⎧=⎨->⎩，若()80f a =，则(4)f a -=（） A ．0 B ．3C ．6D ．9【答案】C 【解析】【分析】分别讨论当2a ≤和2a >时带入()f x 即可得出a ，从而得出(4)f a - 【详解】当2a ≤时()68074f a a a =+=⇒=（舍弃）．当2a >时4()3180334a a f a a =-=⇒=⇒=，所以()()(4)4406f a f f -=-==，所以选择C【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，分段函数问题需根据函数分段情况进行讨论，属于基础题． 8．将点M 的极坐标10,3π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53,5)C ．(5,5)D ．(5,5)--【答案】A 【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M 的极坐标，知10,3πρθ==极坐标与直角坐标的关系为cos {sin x y ρθρθ==，所以的直角坐标为10cos5,10sin5333x y ππ====即(553，故正确答案为A9．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两曲线的一个公共点，且1260F PF ︒∠=，若椭圆离心率12e =，则双曲线2C 的离心率2e =（） ABC ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值．【详解】设1||PF s =，2||PF t =，P 为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=，解得s a m =+，t a m =-，在三角形12F PF 中，1260F PF ∠=︒，可得22222222242cos6022()c s t st a m am a m am a m =+-︒=++++---，即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即为2212134e e +=，由12e =，可得2e =，故选B ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10． “因为指数函数x y a =是增函数(大前提)，而1()3xy =是指数函数(小前提)，所以函数1()3xy =是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错【答案】A 【解析】试题分析：大前提：指数函数xy a =是增函数错误，只有在1a >时才是增函数考点：推理三段论11．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点彼此互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则(|)P A B =（） A ．59B ．49C ．13D ．29【答案】D 【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为33327⨯⨯= 种所以小赵独自去一个景点的可能性为427108⨯=种因为4 个人去的景点不相同的可能性为432124⨯⨯⨯= 种，所以242|.1089PA B ==（）．故选：D ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键． 12．已知某随机变量X 的概率密度函数为0,0,(),0,xx P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间(1,3)内在概率为( )A ．21e e+B ．231e e-C ．2e e -D ．2e e +【答案】B 【解析】【分析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率．【详解】由随机变量X 的概率密度函数的意义得3233111d xx e P e x ee---==-=⎰，故选B ．【点睛】随机变量X 的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X 在这一区间上概率．二、填空题：本题共4小题 13．已知,0a b >，则4b a a a b++的最小值为________.【答案】1 【解析】【分析】44111b a b b a a b a a+=++-++，利用基本不等式求解即可．【详解】解：44,0,11131b a b a b b a a b a a >∴+=++-≥=++，当且仅当411b b aa+=+，即1a b ==时取等号。

2020年上海市嘉定区封浜中学高二数学文期末试卷含解析

2020年上海市嘉定区封浜中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 直线参考答案：A【分析】先将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后进行伸缩变换，由此判断所得曲线是什么曲线. 【详解】由得，即，由得，代入得，即，表示的曲线为圆，故选A.【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查伸缩变换等知识，属于基础题.2. 设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k的系数不可能是（）A．10 B．40 C．50 D．80参考答案：C【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数，将k的值代入求出各种情况的系数．【解答】解：（x+2）5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k当k﹣1时，C5k25﹣k=C5124=80，当k=2时，C5k25﹣k=C5223=80，当k=3时，C5k25﹣k=C5322=40，当k=4时，C5k25﹣k=C54×2=10，当k=5时，C5k25﹣k=C55=1，故展开式中x k的系数不可能是50故选项为C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．3. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．4 B． 8 C． 16 D．20参考答案：C略4. 设为等比数列的前n项和，已知,则公比q = ( )A.3B.4C.5D.6参考答案：5. 盒子中放有编号分别为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，从中任意取出3个，则取出球的编号互不相同的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D6. 在等差数列{a n}中，其前n项和是，若，则在中最大的是( )A． B． C． D．参考答案：B7. 是在上的奇函数，当时，，则当时= （）A B C D参考答案：D8. 执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】循环结构．【分析】由x←4，先计算y←，进行判断|1﹣4|＞1，不满足判断框，应执行“否”，将y的值输给x，即x←1；依此类推，当满足|y﹣x|＜1时，即可输出y的值．【解答】解：由x←4，先计算y←，进行判断|1﹣4|＞1，不满足判断框，应执行“否”，将y的值输给x，即x←1；由x←1，先计算y←，进行判断||＞1，不满足判断框，应执行“否”，再将y的值输给x，即x←；由x←，先计算y←，进行判断||＜1，满足判断框，应执行“是”，应输出y←．故选A．9. 已知正四面体ABCD，线段AB//平面，E、F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，则线段AB与EF在平面上的射影所成角余弦值的范围是（）A． B． C． D．参考答案：B10. 设F1、F2是椭圆（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A．B．C．D．参考答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．解答：解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为________．参考答案：4略12. 函数的最大值为，则的最小值为．参考答案：13. 函数在时有极值，则参考答案：1114. 设，若，则展开式中系数最大的项是.参考答案：因为，所以，所以，所以，所以展开式中系数最大的项是.15. 已知平行四边形ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在四边形ABCD的内部（包括边界），则z=2x-5y的取值范围是___________.参考答案：略16. 已知等比数列｛a n｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛a n｝的前n项和S n=_______。

上海封浜高级中学2020年高二数学文下学期期末试卷含解析

上海封浜高级中学2020年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正项的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A. B. C. D.参考答案：Ｄ2. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是A．x-2y-1=0 B．x-2y+1=0 C．2x+y-2=0 D．x+2y-1=0参考答案：A略3. 直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°参考答案：D【考点】直线的倾斜角．【分析】设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=150°故选D．4. 在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28参考答案：B【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：依题意， +1=5，∴n=8．二项式为（）8，其展开式的通项令解得k=6故常数项为C86（）2（﹣）6=7．故选B5. 函数的单调递增区间是( )A． B． C． D．参考答案：B6.参考答案：B7. 椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.参考答案：A略8. 已知的最小值为n ，则的展开式中常数项为（）A. 20B. 160C. -160D. -20参考答案： C 略9. 一个中袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于14的概率为（）A.；B.；C.；D..参考答案：C10. 椭圆6x 2+y 2=6的长轴端点坐标为（） A ．（﹣1，0），（1，0） B ．（﹣6，0），（6，0）C ．D ．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解即可．【解答】解：椭圆6x 2+y 2=6的标准方程为：，椭圆6x 2+y 2=6的长轴端点坐标为：．故选：D ．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在复平面内，复数（i 为虚数单位）对应的点与原点的距离是．参考答案：【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式乘除运算化简求得复数对应的点的坐标，再由两点间的距离公式求解．【解答】解：∵ =，∴复数对应的点的坐标为（1，﹣1），与原点的距离是．故答案为：．12. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入参考答案：或13. 抛物线y=4x 2的准线方程为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p ，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x 2=y ，∴p= ∵抛物线方程开口向上， ∴准线方程是y=﹣故答案为：．14. 半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量，则，① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(解析版)

上海市嘉定区2019学年第二学期封浜高级中学高二年级数学期末质量调研一、填空题1.抛物线24y x =的焦点坐标是______．【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12p p =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.2.平面直角坐标系中点（1,2）到直线210x y ++=的距离为_________【解析】【分析】根据点到直线的距离公式完成计算即可.【详解】因为点为()1,2，直线为210x y ++=，所以点到直线的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线距离公式的运用，难度较易.已知点()00,P x y ，直线0Ax By C ++=，则点P 到直线的距离为：d =.3.若复数z 满足()14z i -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是______. 【答案】2【解析】【分析】根据复数代数形式的除法化简复数z ，即可得解；【详解】解：因为()14z i -=，所以()()()41422111i z i i i i +===+--+，故z 的虚部是2故答案为：2【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的相关概念，属于基础题.4.世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有______种不同的组合.【答案】6【解析】【分析】直接根据组合数求解即可．【详解】解：从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有246C =种不同组合，故答案为：6．【点睛】本题主要考查组合的应用，属于基础题．5.侧棱长为3，底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为______.【答案】5【解析】【分析】利用正四棱柱的特征求出底面边长，再利用体对角线的公式即可计算结果.【详解】解：正四棱柱的底面为正方形，设底面边长为a ，侧棱长为b ，则有28a =，所以a =5==.故答案为：5.【点睛】本题考查正四棱柱的体对角线长的计算，熟悉正四棱柱的图形特征是解题的关键，属于基础题.6.双曲线22133y x -=的两条渐近线的夹角大小为______. 【答案】2π 【解析】【分析】根据双曲线方程，求得其渐近线的方程，结合两直线的位置关系，即可求解. 【详解】由双曲线22133y x -=，可得a b ==，所以其的渐近线方程分别为b y x x a ==和b y x x a=-=-，又由直线y x =与y x =-相互垂直，所以双曲线的两渐近线的夹角为2π.故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及两直线的位置关系的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题.7.底面半径和高均为3的圆柱的表面积为______.【答案】36π【解析】【分析】先根据圆柱的侧面积公式求解侧面积，再加上两个底面积得结果.【详解】底面半径和高均为3的圆柱的表面积为22332336πππ⋅⋅+⋅⋅=故答案为：36π 【点睛】本题考查圆柱的表面积，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.双曲线221y x m+=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =______. 【答案】4-【解析】【分析】求出双曲线的a ，b ，由题意可得22=⨯，解方程即可得到m ．【详解】解：因为双曲线221y x m +=的虚轴长是实轴长的2倍，所以21a =，2b m =-所以22=⨯，解得4m =-故答案为：4-【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．9.已知空间直角坐标系中，某二面角l αβ--的大小为θ，02πθ<<，半平面α和β的一个法向量分别为()11,3,0n =，()20,2,4n =，则θ=______（结果用反三角函数值表示）.【答案】arccos10【解析】【分析】根据向量数量积求向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】因为()11,3,0n =，()20,2,4n =，所以12121232cos ,101020||||n n n n n n ⋅<>===⋅，因为 02πθ<<，所以3232cos arccos 1010θθ==，故答案为：32arccos 10【点睛】本题考查求二面角、根据向量数量积求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.10.二项式312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和是______. 【答案】27【解析】【分析】根据赋值法，令1x =即得结果. 【详解】令1x =，则3312327x x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即二项式312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和是27 故答案为：27【点睛】本题考查二项式展开式中各项系数的和、赋值法，考查基本分析求解能力，属基础题.11.有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为________厘米【答案】6【解析】【分析】设水面的高度为h ，根据圆锥体的体积等于全部玻璃的体积加上水的体积列方程求解即可.【详解】解：设在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为h ，则223141551014933310h h πππ⎛⎫⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得6h =.故答案为：6.【点睛】本题考查圆锥体积和球的体积的运算，关键要找到体积之间的关系，是基础题.12.已知定点()0,2P ，点Q 在抛物线24x y =上运动，若复数1z 、2z 在复平面内分别对应点P 、Q 的位置，且12z z z =-，则z 的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】根据复数几何意义得z 函数关系式，再根据函数性质求最值，即得结果.【详解】设2(,)4x Q x ，所以12||||2z z z PQ =-==== 当且仅当0x =时取等号，即z 的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查复数几何意义、两点间距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.二、选择题13.在空间内，异面直线所成角的取值范围是（） A. 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,]2π,故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题. 14.14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】对a 分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【详解】解：对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=，当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件；当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a a a a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．15.曲线22:21x xy y Γ-+=图像（）A. 关于x 轴对称B. 关于原点对称,但不关于直线y x =对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称，关于直线-y x =对称【答案】D【解析】【分析】构造二元函数()22,21f x y x xy y =-+-，分别考虑(),f x y 与(),f x y -、(),f x y -、(),f x y --、(),f y x 、(),f y x --的关系，即可判断出相应的对称情况.【详解】A ．()()22,21,f x y x xy y f x y -=++-≠，所以不关于x 轴对称； B ．()()22,21,f x y x xy y f x y --=-+-=，()()22,21,f y x y xy x f x y =-+-=，所以关于原点对称，也关于直线y x =对称；C ．()()22,21,f x y x xy y f x y -=++-≠，所以不关于y 轴对称； D ．()()22,21,f y x y xy x f x y --=-+-=，所以关于直线y x =-对称，同时也关于直线y x =对称. 故选：D .【点睛】本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于x 轴对称，则将曲线中的y 换成y -，此时曲线的方程不变；若曲线关于y 轴对称，则将曲线中的x 换成x -，此时曲线的方程不变；若曲线关于y x =对称，则将曲线中的x 换成y 、y 换成x ，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的x 换成x -、y 换成y -，此时曲线的方程不变.16.下列命题中,正确的命题是（）A. 若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z >B. 若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立C. 1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D. 221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =【答案】C【解析】【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z z z ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确.【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z z ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误.故选：C.【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=. 三、解答题17.已知复数2i α=-，m i β=-，m R ∈.（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程()2100x nx n R -+=∈的一个根，求实数m 与n 的值. 【答案】（1）()6,2-；（2）36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1<，即可求解实数m 的取值范围；（2）由(),m i m R β=-∈是方程()2100x nx n R -+=∈的一个根，得到()m i m R +∈也是此方程的一个根，结合根据与系数的关系，即可求解.【详解】（1）由题意，复数2i α=-，m i β=-，m R ∈.则αα===又由222i m i m i αβ+=-+-=+-=因为2αβα+<<24120m m +-<解得62m -<<.所以实数m 的取值范围为()6,2-. （2）因为(),m i m R β=-∈是方程()2100x nx n R -+=∈的一个根，则()m i m R +∈也是此方程的一个根，可得()()()()10m i m i n m i m i ⎧++-=⎪⎨+⋅-=⎪⎩，解得36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩，且满足()24130n ∆=--⨯<，所以36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数模的计算，以及复数方程和复数相等的条件的应用，着重考查推理与运算能力.18.如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成角为4π．()1求三棱锥1A A BD -的体积；()2求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．【答案】（142（2）2arccos 3．【解析】【分析】 ()1转换顶点，以1A 顶点，易求体积；()12B C 平移至1A D ，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．【详解】解：()1连接AC ，则1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，14ACA π∴∠=， 2AB BC ==， 22AC ∴=， 122AA ∴=11A A BD A ABD V V --∴= 11132AB AD AA =⨯⨯⨯ 23=， ()2连接1A D ，易知11//A D B C ， 1(BA D ∴∠或其补角)即为所求，连接BD ，在1A DB 中，123A D =123A B =22BD = 由余弦定理得： 12cos 322323BA D ∠==⨯⨯， 12arccos 3BA D ∠=，故异面直线1A B ，1B C 所成角的大小为2arccos 3．【点睛】此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大．19.已知n +的二项展开式中，第三项的系数为7. （1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）.【答案】（1）证明见解析；（2）4x ；7x ；21256x . 【解析】【分析】（1）先根据二项展开式通项公式得第三项的系数，再解方程得8n =，最后根据二项展开式通项公式写出前三项系数，根据等差中项性质即可判断；（2）先根据二项展开式通项公式得x 的指数，再根据x 的指数为整数确定对应项，即得结果.【详解】解：（1）232222314n n n n T C C x --== ∵221(1)72828842n n n n C C n -=∴=∴=∴=，（负值舍去）所以前三项分别为080418T C x ==，113714284T C x ==，25622387T C x == 所以前三项系数分别为1，4，7，241+7⨯=∴前三项系数成等差数列. （2）384418812rr r r r r r T C C x --+==，0,1,2,...,7,8r = ∴0,4,8r =，展开式中x 的指数为整数，所以展开式中所有有理项为：80418T C x ==、348178T C x x ==、8288211256256T C x x -==. 【点睛】本题考查二项展开式通项公式、等差数列判断，考查基本分析求解能力，属基础题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)A -，(2,0)B，点12⎫⎪⎭在椭圆上，过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同A 、B ）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切；【答案】（1）2214x y +=；（2）224x y +=；（3）证明略；【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可知2a =，将13,2⎫⎪⎭代入椭圆方程可求得2b ，进而得到椭圆方程；（2）设(),C x y ，()00,P x y ，可得到002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，将P 代入椭圆方程即可得到所求的轨迹方程；（3）设()(),0C C C C x y y ≠，可得直线AC 方程，进而求得R 和D 点坐标；利用向量坐标运算可求得0OC CD ⋅=，从而证得结论.【详解】（1）由题意可知：2a = 将13,2⎫⎪⎭代入椭圆方程可得：231144b+=，解得：21b = ∴椭圆Γ的方程为：2214x y += （2）设(),C x y ，()00,P x y由PQ x ⊥轴，QP PC =可得：002x x y y =⎧⎨=⎩，即002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩,2y P x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭将,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆Γ方程得：224x y += ∴动点C 的轨迹E 的方程为：224x y +=（3）设()(),0C C C C x y y ≠，则直线AC 方程为：22C Cx y x y +=+ 令2x =，解得：42C C y y x =+ 42,2C C y R x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭ 22,2C C y D x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭(),C C OC x y ∴=，22,2C C C C y CD x y x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭()()2222422222C C C C C C C C C C C x y OC CD x x y y x x y x x -⎛⎫∴⋅=-+-=--+ ⎪++⎝⎭ ()24220C C x x =-+-=即OC CD ⊥∴直线CD 与曲线E 相切【点睛】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、动点轨迹的求解问题、直线与圆位置关系的证明等知识；求解动点轨迹的常用方法是利用动点表示出已知曲线上的点的坐标，从而代入已知曲线方程整理可得动点轨迹.21.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 不同的两点，求OA OB ⋅的值；（3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0OM MN ⋅=，求ON 的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）依题意知，动点P 到定点F （1，0）的距离等于P 到直线x=-1的距离，曲线C 是以原点为顶点，F （1，0）为焦点的抛物线，由此可求曲线C 方程；（2）当l 平行于y 轴时，其方程为x=1，可得3OA OB ⋅=-，当l 不平行于y 轴时，设其斜率为k ，则由()21{4y k x y x =-=得()2222240k x k x k -++=，利用韦达定理及向量的数量积公式，可求OA OB ⋅的值；（3）设221212,,,44y y M y N y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用数量积公式及0OM ON ⋅=，可得21116y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，进一步表示出ON ，即可确定ON 的取值范围试题解析：依题意知，动点P 到定点F (1,0)的距离等于P 到直线1x =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (1,0)为焦点的抛物线∵12p =∴2p =∴ 曲线C 方程是24y x = （2）当l 平行于y 轴时，其方程为1x =，由21{4x y x ==解得(1,2)A 、(1,2)B -，此时=14=3OA OB ⋅-- 当l 不平行于y 轴时，设其斜率为k ，则由2(1){4y k x y x=-=得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有121=x x ，212224+k x x k += ∴12121212==(1)(1)OA OB x x y y x x k x k x ⋅++--2221212(1)()k x x k x x k =+-++2222224=1+143k k k k k +-⋅+=-=- （3）设221212(,),(,)44y y M y N y ∴222121121(,),(,)44y y y OM y MN y y -==- ∵0OM MN ⋅=∴∵，化简得∴当且仅当时等号成立 ∵22222222221()(8)646444y ON y y y =+=+-≥，又 ∴当222min 64,8|85|y y ON ON ==±=，，故的取值范围是考点：1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．平面向量数量积的运算；3．轨迹方。

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、填空题1. 已知，则________________________ ．2. 若正方体的体对角线长是4，则正方体的体积是______________________________ ．3. 经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是____________________________ ．4. 在二项式的展开式中，含的项的系数是______________________________ ．（用数字作答）5. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．6. 设<a href=""> 分别是双曲线<ahref=""> 的左、右焦点，若点<ahref=""> 在双曲线上，且，则_________________________________ ．7. 若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是____________________________ ．（结果用数值表示）8. 已知，，若直线与射线（为端点）有交点，则实数的取值范围是______________________________________ ．9. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为 cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为 ________ ．10. 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是______________________________ ．11. 在一个水平放置的底面半径为<a href="/"> cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为<a href="/"> cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升<ahref="/"> cm，则<a href="/">___ ____cm ．12. 如图，中，，在三角形内挖去半圆，圆心在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M ，与AC交于点N，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为____________________ ．13. 已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为_________________________________ ．14. 半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是_________________________________ ．二、选择题15. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（）A ．_________B ．_________C ．D ．16. 已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①　；②　；③　；④　，其中真命题的个数是（）A ．①②____________________________B ．①④____________________________C ．②③______________________________D ．②④17. 方程的图象表示曲线C，则以下命题中甲：曲线C为椭圆 , 则1< t<4 ；乙：若曲线C为双曲线 , 则 t > 4 或 t<1 ；丙：曲线C不可能是圆； ________________________丁：曲线C表示椭圆,且长轴在 x 轴上 , 则．正确的有（）A ． 1个____________________________B ． 2个____________________________C ． 3个____________________________D ． 4个18. 将正整数n表示成k个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P （ n,k ），则P（ 10,3 ）的值为（）A ． 12______________________________B ． 10_________________________________C ． 8______________________________D ． 6三、解答题19. （本题满分 1 2分）如图，直线平面，为正方形，，求直线与所成角的大小．20. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第 2 小题满分8分．在二项式的展开式中：（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项．21. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第2小题满分8分．已知圆．（1）求过点的圆C的切线的方程；（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹．22. （本题满分 1 6分）本题共有3个小题，第 1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点．（1）如果的中点为，，求证：平面；（2）如果 , ，求此圆锥的体积；（ 3 ）如果二面角大小为，求的大小．23. （本题满分 1 8分）本题共有3个小题，第 1 小题满分5分，第 2 小题满分8分，第3小题满分5分．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）如图：直线与两个“相似椭圆”　和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

下海市嘉定区2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题含解析

下海市嘉定区2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.2．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 3．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=1．4．已知点P 为双曲线2221x y a-=上一点，则它的离心率为（）A B ．3C D ．【答案】B 【解析】【分析】将点P 带入求出a 的值，再利用公式c e a ==计算离心率。

2019-2020学年下海市嘉定区数学高二下期末统考试题含解析

2019-2020学年下海市嘉定区数学高二下期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．刍薨（chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A ．24B ．5C ．64D ．326【答案】B 【解析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8224225+=4，高为224225+=故侧面积为4812252(425)32522S +=⨯⨯⨯⨯⨯=．即需要的茅草面积至少为325B ．2．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（） A ．110B ．14C ．310D ．25【答案】B 【解析】【分析】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出()P A 和()P AB ，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率．【详解】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，则事件:AB 乙和甲丙都相邻，所求事件为B A ，甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为424248A A =，由古典概型的概率公式可得()554825P A A ==. 乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为323212A A =，由古典概型的概率公式可得()5512110P AB A ==，由条件概率公式可得()()()1511024P AB P B A P A ==⨯=，故选B. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．3．已知复数34,z i i =+为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则iz=（） A ．4355i -+ B ．4355i -- C ．432525i -+ D ．432525i -- 【答案】C 【解析】i i 3i 434i 25z -==- ，选C. 4．一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x ，23，28，30，50，其中，中位数为22，则x =（） A ．21 B ．15C ．22D ．35【答案】A 【解析】【分析】数据的个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数. 【详解】因为数据有8个，所以中位数为：23222x +=，所以解得：21x =，故选：A. 【点睛】本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数.5．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A．(0)()4f π>B()()34f ππ< C ．(0)2()3f f π>D()()34f ππ-<-【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，利用函数()'F x 导数判断函数()F x 的单调性，将ππππ0,,,,3434x =--代入函数()F x ，根据单调性选出正确的选项. 【详解】构造函数()()cos f x F x x=，依题意()()()2cos sin 0cos f x x f x xF x x+='>'，故函数在定义域上为增函数，由()π04F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π04πcos 0cos4f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除A 选项. 由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B 选项.由()π03F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π03πcos 0cos3f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()π023f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，选项. 由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ34f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确，故选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题. 6．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A ．2829B ．2729C ．1114D ．1314【答案】D 【解析】【分析】由题可知为古典概型，总的可能结果有48C 种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率. 【详解】根据题意，选4名同学总的可能结果有488765704321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种.选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类：（1）一男三女，有1353=51=5C C ⨯种，（2）两男两女，有22535432==3022C C ⨯⨯⨯种. （3）三男一女，有3153543=3=3032C C ⨯⨯⨯⨯种. 共5+30+30=65种结果. 由古典概型概率计算公式，65137014P ==. 故选D. 【点睛】本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键. 7．设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为（） A ．15B ．25C ．12D ．1 【答案】A 【解析】试题分析：函数f （x ）可以看作是动点M （x ，lnx 2）与动点N （A ，2A ）之间距离的平方，动点M 在函数y=2lnx 的图象上，N 在直线y=2x 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx 得，y'=2x=2，解得x=1，∴曲线上点M （1，0）到直线y=2x 的距离最小，最小距离=，则f （x ）≥45，根据题意，要使f （0x ）≤45，则f （0x ）=45，此时N 恰好为垂足，由2021112MN a a k a a -===---，解得15a = 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用8．设集合{}{}2120,66A x x x B x Z x =-->=∈-≤≤，则A B 的元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】分析：分别求出A 和B ，再利用交集计算即可.详解：{}43A x x x =<-或，{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6B =------，则{}6,5,4,5,6A B ⋂=---，交集中元素的个数是5. 故选：C.点睛：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.9．复数12ii -+（i 是虚数单位）的虚部是（） A.13B.13i C.－15D.－15i【答案】C 【解析】试题分析：()()()12221121212555i i i i i i i i -----===--++-，虚部为15-。

2019-2020学年下海市嘉定区数学高二第二学期期末统考试题含解析

2019-2020学年下海市嘉定区数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．282()x x+的展开式中4x 的系数是（） A ．16 B ．70 C ．560 D ．1120【答案】D 【解析】【分析】【详解】设含4x 的为第2816316621,()()2rrr r r r r r T C x C x x--++==，1634r -= 所以4r =，故系数为：44821120C =，选D ．2．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A ．25B ．12C ．35D ．45【答案】C 【解析】【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可. 【详解】由题意可得：x =甲888785929395906+++++=，设被污损的数字为x ，则：x =乙8586868890998966x x++++++=+，满足题意时，x x >甲乙，即：908966xx >+⇒<，即x 可能的取值为0,1,2,3,4,5x =,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：63105p ==. 故选C.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知函数()2ln xz e f x k x kx x=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】解：∵函数f x （）的定义域是0（，）+∞ ∴()()()233222'x x e kx x e x k f x k x x x---=+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点 ∴2x =是导函数'0f x =（）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点，即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2xe g x x=，因为()32'x e x g x x（）-=，所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增所以g x （）的最小值为224e g =（），所以必须24e k ≤，故选：A ．【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论． 4．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

2020年下海市嘉定区数学高二下期末检测试题含解析

2020年下海市嘉定区数学高二(下)期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（）A ．23B ．2C ．4D ．6 3．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A ．169πB ．16393π+C ．8393π+D ．16233π+ 4． “1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知x ，y 取值如下表：x0 1 4 5 6 8y1.3 1.8 5.66.17.4 9.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则a 等于（） A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.806．已定义在R 上的函数()f x 无极值点，且对任意x ∈R 都有()()32ff x x -=，若函数()()g x f x kx =-在[]1,2-上与()f x 具有相同的单调性，则实数k 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．(],12-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞ 7．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线1A D 所成角的大小不变 ②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变 ③点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变 ④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变其中的真命题是（） A ．①③B ．③④C ．①②④D ．①③④8．已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设为取得红球的次数，则A ．B ．C ．D ．9．目前，国内很多评价机构经过反复调研论证，研制出“增值评价”方式。

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上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二下学期期末数学试
题
一、填空题
(★) 1. 抛物线的焦点坐标是______．
(★) 2. 平面直角坐标系中点（1,2）到直线的距离为_________
(★★) 3. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是______.
(★) 4. 世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有______种不同的组合. (★) 5. 侧棱长为3，底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为______.
(★★) 6. 双曲线的两条渐近线的夹角大小为______.
(★) 7. 底面半径和高均为3的圆柱的表面积为______.
(★★) 8. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则______.
(★★) 9. 已知空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面和
的一个法向量分别为，，则______（结果用反三角函数值表示）. (★) 10. 二项式的展开式中各项系数的和是______.
(★) 11. 有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为
________厘米
(★★) 12. 已知定点，点在抛物线上运动，若复数、在复平面内分别对应点、的位置，且，则的最小值为 ______ .
二、单选题
(★★) 13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）
A．B．C．D．
(★★) 14. 是“直线与直线相互垂直”的（）.
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(★★★) 15. 曲线的图像（）
A．关于轴对称
B．关于原点对称,但不关于直线对称
C．关于轴对称
D．关于直线对称，关于直线对称
(★★★) 16. 下列命题中,正确的命题是（）
A．若，则
B．若，则不成立
C．，则或
D．，则且
三、解答题
(★★★) 17. 已知复数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.
(★★★) 18. 如图，设长方体中，，直线与平面 ABCD所成角为．
求三棱锥的体积；
求异面直线与所成角的大小．
(★★) 19. 已知的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.
(★★★) 20. 已知椭圆的左右顶点分别是，，点
在椭圆上，过该椭圆上任意一点 P作轴，垂足为 Q，点 C在的延长线上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点 C的轨迹 E的方程；
（3）设直线（ C点不同 A、 B）与直线交于 R， D为线段的中点，证明：直线与曲线 E相切；
(★★★) 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于A、B不同的两点，求的值；
（3）若曲线上不同的两点、满足，求的取值范围．。