(通用)2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形42同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理!

§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲展示►1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．考点1 三角函数的诱导公式诱导公式续表(1)[教材习题改编]已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－4cos 2x ＋3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值为( )A ．0B ．1C ．－5D ．－9 答案：C(2)[教材习题改编]已知cos α＝－35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 答案：－35解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35.诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了． sin(－2 010°)的值是________． 答案：12解析：sin(－2 010°)＝－sin 2 010°＝－sin(5³360°＋210°)＝－sin 210°＝－sin(180°＋30°)＝sin 30°＝12.[典题1] (1)[2017²浙江台州中学高三月考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.23 2 B ．－23 2 C.13 D ．－13[答案] D[解析] 根据诱导公式可知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－13，故选D.(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________. [答案] 1[解析] 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°² sin 1 050°＝－sin(3³360°＋120°)cos(3³360°＋210°)－cos(2³360°＋300°)sin(2³360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)²sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32³32＋12³12＝1. (3)设f (α)＝2sin π＋α cos π－α －cos π＋α 1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，其中1＋2sin α≠0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.[答案]3[解析] ∵f (α)＝ －2sin α －cos α ＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α ＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α 1＋2sin α sin α 1＋2sin α ＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tanπ6＝ 3.[点石成金] 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系sin 2α＋cos 2α＝________； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.答案：(1)1(1)[教材习题改编]已知cos α＝1213，且α是第四象限角，则sin α的值为________．答案：－513解析：由于α是第四象限角， 故sin α＝－1－cos 2α＝－513.(2)[教材习题改编]已知tan α＝－2，则3sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________. 答案：－21.基本关系式的误区：公式形式误区；角的范围误区． 下列命题正确的有________．(填序号) ①若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1； ②若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立；③sin 2α＋cos 2α＝sin 2θ＋cos 2θ. 答案：③解析：①只有当α＝β时，才有sin 2α＋cos 2β＝1； ②因为cos α≠0，则α≠π2＋k π，k ∈Z ； ③根据平方关系式，可得③正确．2．诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名． (1)若sin(3π＋θ)＝13，则sin θ＝________.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝m ，则sin α＝________.答案：(1)－13(2)－m解析：(1)先应用诱导公式一，得sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)； 再应用公式二，得sin(π＋θ)＝－sin θ， 故sin θ＝－13.(2)因为π2＋α可看作是第二象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，故sin α＝－m .有关结论．(1)11＋tan 2α＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .答案：cos 2α解析：由sin 2α＋cos 2α＝1和sin αcos α＝tan α，得tan 2αcos 2α＋cos 2α＝1，故11＋tan 2α＝cos 2α.(2)1－sin 2α＝________. 答案：|sin α－cos α|解析：因为1－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，所以1－sin 2α＝|sin α－cos α|.[典题2] (1)[2017²甘肃兰州诊断]已知sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255 B.255 C ．±255 D.52[答案] B[解析] sin(π－α)＝sin α＝log 8 14＝－23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53， 所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.(2)已知sin α＋cos α＝15，且0＜α＜π，则tan α＝________.[答案] －43[解析] 解法一：联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，①sin 2α＋cos 2α＝1，②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.解法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152， 即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＞0.∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.[题点发散1] 保持本例(2)中条件不变， 求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由母题，可知 tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45³⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825. [题点发散2] 若本例(2)中条件变为“sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5”，求tan α的值．解：解法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.解法二：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.[题点发散3] 若本例(2)中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，求 sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，∴cos2α＝910，易知cos α＜0，∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105.[点石成金] 同角三角函数基本关系式的应用技巧1.若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋2sin αcos α的值为( )A.103B.53C.23D．－2答案：A解析：3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0 ⇒tan α＝－13，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 2．[2017²四川雅安模拟]已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ 的值为( )A.23 B.13 C ．－23 D ．－13答案：C解析：由题意，知(sin θ＋cos θ)2＝169，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23. 又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23. 考点3 巧用相关角的关系解题[典题3] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．[答案] 0[解析] 由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.[答案] 12[解析] ∵⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.[点石成金] 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________.答案：－23解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23.2．若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.答案：12解析：因为tan(π＋α)＝tan α＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12.[方法技巧] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数．诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．2．三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…[易错防范] 1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．真题演练集训1．[2016²新课标全国卷Ⅲ]若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625答案：A解析：解法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎨⎧sin α＝35， cos α＝45或⎩⎨⎧sin α＝－35， cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.解法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 2．[2014²大纲全国卷]设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案：C解析：∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1， ∴c >b >a .3．[2015²四川卷]已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案：－1解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 课外拓展阅读分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用[典例] (1)已知A ＝sin k π＋α sin α＋cos k π＋α cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________.[思路分析] (1)角中有整数k ，应对k 是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．[解析] (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.所以A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)由已知，得{ sin A ＝2sin B ，① 3cos A ＝2cos B ，② ①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22， 当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝7π12.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上，C ＝7π12.[答案] (1)C (2)7π12温馨提示(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．。