【章节训练】第2章+基本初等函数(ⅰ)-1
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)222对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质限时规范训练新人教
第1课时 对数函数的图象及性质【基础练习】1．给出下列函数：①y ＝log 23x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．2.在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13 x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【答案】B【解析】∵y ＝log 13 x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象关于x 轴对称.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－127【答案】B【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝log 22－3＝－3，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127.y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12xC ．log 12xD ．2x －2【答案】A【解析】函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以af (x )＝log 2x .f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________.【答案】－32【解析】设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.y ＝|log 12x |的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，值域为[0,1]，则m 的取值范围为________.【答案】[1,2]【解析】作出y ＝|log 12x |的图象(如图)，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝1，由题意结合图象知1≤m ≤2.7.求下列函数的定义域. (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).【解析】(1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.故函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. 故函数的定义域为(－1,0)∪(0,4).f (x )＝lg1＋x 1－x ，x ∈(－1,1)，若f (a )＝12，求f (－a ). 【解析】方法一：∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.方法二∶f (a )＝lg 1＋a 1－a ，f (－a )＝lg 1－a 1＋a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1＋a 1－a ＝－12.【能力提升】9.若|log a 14|＝log a 14且|log b a |＝－log b a ，则a ，b 满足的关系式是( )A ．a >1，b >1B ．a >1,0<b <1C ．b >1,0<a <1D ．0<a <1,0<b <1【答案】C【解析】由|log a 14|＝log a 14，知log a 14>0，∴0<a <1；由|log b a |＝－log b a ，知log b a <0，∴b >1.故选C ．f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )【答案】D【解析】由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数.所以0＜a ＜1,0＜bg (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B ．由g (x )的值域为(b ，＋∞).所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C ．f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2016)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 016)的值等于________.【答案】16【解析】∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 016)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22016＝log a (x 1x 2x 3…x 2 016)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2016)＝2f (x 1x 2x 3…x 2 016)，∴原式＝2×8＝16.f (x )＝(log x )2－log x 2＋5在x ∈[2,4]上的最值.【解析】设t ＝log x ，y ＝f (x ). 由x ∈[2,4]，得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.又y ＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上单调递减，所以当t ＝－1，即x ＝4时，y 有最大值8；1 2，即x＝2时，y有最小值254.当t＝－。
03--必修①第二章 基本初等函数(Ⅰ)
¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈. n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：()n n a a =；,||,n n a n a a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2. 规定正数的分数指数幂：mn m na a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 11m nm nmna aa-==.¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1）3n nπ-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）；当n 为偶数时，3|3|3n nπππ-=-=-（）.（2）2()||x y x y -=-.当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-.【例2】已知221na =+，求33n n n na a a a --++的值.解：332222()(1)1121122121n n n n n n n nnn n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322114423()a b ab b a b a⋅（a ＞0，b ＞0）； （3）243819⨯.解：（1）原式=2111150326236[2(6)(3)]44a bab a +-+-⨯-÷-==.（2）原式=1312322123[()](/)a b ab ab b a ⋅⋅=1136322733a b a b a b⋅=104632733a b a b=a b. （3）原式=2212124444244332323[(3)]3333⨯⨯⨯=⨯=⨯221111446336444(33)(3)(3)3333=⨯=⨯=⨯=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1）642642++-； （2）11111335572121n n +++⋅⋅⋅++++-++. 解：（1）原式=22222222(2)2222(2)+⨯⨯++-⨯⨯+=22(22)(22)++- =2222++-=4.（2）原式=3153752121315375(21)(21)n n n n ---+--+++⋅⋅⋅+---+-- =1(3153752121)2n n -+-+-+⋅⋅⋅++--=1(211)2n +-.点评：形如A B ±的双重根式，当2A B -是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.※基础达标1．化简1327()125-的结果是（ ）. A. 35 B. 53C. 3D.52．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ）.A. 12()(0)x x x -=-> B.1263(0)y y y =< C.33441()(0)xx x-=> D.133(0)x x x -=-≠3．下列各式正确的是（ ）. A. 35351a a-= B.3322x x = C. 111111()824824a a aa-⨯⨯-⋅⋅= D. 112333142(2)12xx x x---=- 4．计算1()02(4)12(15)221--++---，结果是（ ）.A.1B. 22C. 2D. 122-5．化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++，结果是（ ）.A. 11321(12)2---B. 1132(12)---C. 13212--D. 1321(12)2-- 6．化简36639494()()a a 的结果是 .7．计算2110332464()( 5.6)()0.125927--+--+= .※能力提高8．化简求值：（1）211132221566()(3)13a b a b a b - ； （2）34a a a .9．已知1122x x -+=3，求下列各式的值：（1）1x x -+；（2）33222223x x x x --++++.※探究创新10．已知函数11331()()5f x x x -=-，11331()()5g x x x -=+.（1）判断()f x 、()g x 的奇偶性；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -，并概括出涉及函数()f x 和()g x 对所有不为0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.¤知识要点：1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .2. 以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）132xy -=； （2）51()3xy -=； （3）1010010100x x y +=-.解：（1）要使132xy -=有意义，其中自变量x 需满足30x -≠，即3x ≠. ∴ 其定义域为{|3}x x ≠.（2）要使51()3xy -=有意义，其中自变量x 需满足50x -≥，即5x ≤. ∴ 其定义域为{|5}x x ≤. （3）要使1010010100x x y +=-有意义，其中自变量x 需满足101000x -≠，即2x ≠. ∴其定义域为{|2}x x ≠.【例2】求下列函数的值域：（1）2311()3x y -=； （2）421x x y =++解：（1）观察易知2031x ≠-， 则有203111()()133x y -=≠=. ∴ 原函数的值域为{|0,1}y y y >≠且. （2）2421(2)21x x x x y =++=++. 令2x t =，易知0t >. 则22131()24y t t t =++=++.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213()24y t =++在0t >上为增函数，所以221313()(0)12424y t =++>++=. ∴ 原函数的值域为{|1}y y >.【例3】（05年福建卷.理5文6）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）.A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<解：从曲线的变化趋势，可以得到函数()f x 为减函数，从而0<a <1；从曲线位置看，是由函数(01)x y a a =<<的图象向左平移|-b |个单位而得，所以-b >0，即b <0. 所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b 的范围. 也可以取x =1时的特殊点，得到01b a a -<=，从而b <0.【例4】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解：（1）当230x -=，即23x =时，2301x a a -==. 所以，该函数的图象恒过定点2(,1)3.（2）∵ 23u x =-是减函数，∴ 当01a <<时，()f x 在R 上是增函数；当1a >时，()f x 在R 上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.40.60.50.5>C. 0.10.10.750.75-<D. 1.6 1.4(3)(3)> 2．已知0c <，在下列不等式中成立的是（ ）.A. 21c >B. 1()2c c > C. 12()2c c < D. 12()2c c > 3．函数y =a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（ ）. A.（0，1） B. （1，0） C.（2，1） D.（0，2） 4．设,a b 满足01a b <<<，下列不等式中正确的是（ ）.A. a b a a <B. a b b b <C. a a a b <D. b b b a <5．世界人口已超过56亿，若千分之一的年增长率，则两年增长的人口可相当于一个（ ）. A. 新加坡(270万) B. 香港(560万) C. 瑞士(700万) D. 上海(1200万) 6．某地现有绿地100平方公里，计划每年按10%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为_____平方公里.7．函数21232x x y --=的定义域为 ；函数2231()2xx y -+=的值域为 .※能力提高8．已知,a b 为不相等的正数，试比较a b a b 与b a a b 的大小.9．若已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且，()x g x a =. （1）求函数()f x 的图象恒过的定点坐标；（2）求证：1212()()()22x x g x g x g ++≤.※探究创新 10．讨论函数21(01)x y a a a +=>≠，且的值域.¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，得出这以下结论： （1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大. ¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：23，20.3，22，20.2.解：构造四个指数函数，分别为3xy =，0.3xy =，2xy =，0.2xy =，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是0.2x y =，0.3x y =，2x y =，3x y =. 如右图所示.由于20x =>，所以从小到大依次排列是：20.2，20.3，22，23.点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例2】已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.解：（1）()f x 的定义域为R .∵ 21(21)21221()()21(21)21221x x x x x xx x x x f x f x ---------====-=-++++ . ∴ ()f x 为奇函数.（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++.由于12x x <，从而1222x x <，即12220x x -<.∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <. ∴ ()f x 为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例3】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）10.21xy =-. 解：（1）设2,23u y a u x x ==+-.由2223(1)4u x x x =+-=+-知，u 在(,1]-∞-上为减函数，在[1,)-+∞上为增函数. 根据u y a =的单调性，当1a >时，y 关于u 为增函数；当01a <<时，y 关于u 为减函数. ∴ 当1a >时，原函数的增区间为[1,)-+∞，减区间为(,1]-∞-； 当01a <<时，原函数的增区间为(,1]-∞-，减区间为[1,)-+∞. （2）函数的定义域为{|0}x x ≠. 设1,0.21x y u u ==-. 易知0.2x u =为减函数. 而根据11y u =-的图象可以得到，在区间(,1)-∞与(1,)+∞上，y 关于u 均为减函数. ∴在(,0)-∞上，原函数为增函数；在(0,)+∞上，原函数也为增函数.点评：研究形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数的单调性，可以有如下结论：当1a >时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相同；当01a <<时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相反. 而对于形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数单调性的研究，也需结合x a 的单调性及()t ϕ的单调性进行研究.复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出()y f u =与()u x ϕ=两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”？我们可以抓住 “x 的变化→()u x ϕ=的变化→()y f u =的变化”这样一条思路进行分析.※基础达标1．如果指数函数y =(2)x a -在x ∈R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）. A ．a ＞2 B ．a ＜3 C ．2＜a ＜3 D ．a ＞32．使不等式31220x -->成立的x 的取值范围是（ ）. A. 3(,)2+∞ B. 2(,)3+∞ C. 1(,)3+∞ D.1(,)3-+∞3．某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（ ）. A. mB.12mC. 121m - D.111m -4．函数2651()()3xx f x -+=的单调递减区间为（ ）.A. (,)-∞+∞B. [3,3]-C. (,3]-∞D. [3,)+∞5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述:① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是（ ）.A. ①②③B. ①②③④C. ②③④D. ①②6．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为 .7．定义运算()() ,.a ab a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则函数()12x f x =*的值域为 .※能力提高 8．已知(21)1()(21)1x x f x --=-+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.9．求函数2233x x y -++=的定义域、值域并指出单调区间．※探究创新10．函数23()2xax f x --=是偶函数. （1）试确定a 的值及此时的函数解析式；（2）证明函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数；（3）当[2,0]x ∈-时，求函数23()2xax f x --=的值域.2 1 0 y/m 2 t/月2 3814¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点： 1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.解：（1）21log 7128=-； （2）3log 27a =； （3）lg 0.11=-； （4）51()322-=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =. 【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）ln e .解：（1）设lg 0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg0.0013=-.（2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=. （3）设ln e x =，则xe e =，即12x e e =，解得12x =. 所以，1ln 2e =.【例3】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=.证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =.所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =.因为p p q q M a a N a-==，则log log log aa a M p q M N N =-=-. 所以，log log log a a a MM N N-=.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =， 则m c b =，n c a =，p a b =. 从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=. 所以，log log log c a c bb a=. 点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13 B. 123 C. 122D. 133 6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：3log 81= ； 6l g 0.1= . ※能力提高8．求下列各式的值：（1）22log8； （2）9log 3.9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+ ，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）221(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212++-+ ；（2）2log (4747)++-. 解：（1）原式=2211(lg2)lg2lg5(lg 21)22++- =211lg 2lg2lg5(lg 21)42+--=2111lg 2lg2lg5lg21422+-+ =1lg2(lg22lg52)14+-+=1lg2(lg1002)10114-+=+=.（2）原式=1222log (4747)⨯++-=221log (4747)2++-=221log (4747247)2++-+-=21log 142.【例2】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）解：由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 解：（1）由lg lg(3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=， 即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=.解得x =－5或x =2. ∵ x ＞0， ∴ x =2.（2）设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==. 由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+=== ，得到1210b x x = .点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值. 解：（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=.（2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=, ∴ 422log 4log 2m ==， 解得16m =.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.※基础达标 1．1logn n++（1n n ＋－）等于（ ）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log ()(5)a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3lg 2lg 5log 1++的结果是（ ）.A.12B. 1C. 2D.10 4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）.A. 1B. 2C. 8D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ . ※能力提高 8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)v m s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 的关系是2000ln(1)Mv m=+. 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10/km s ？※探究创新 10．（1）设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.（2）若a 、b 、c 都是正数，且至少有一个不为1，1x y z y z x z x y a b c a b c a b c ===，讨论x 、y 、z 所满足的关系式.飞翔梦想 温暖大地31¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3. 解：（1）∵ 0.9log y x =在(0,)+∞上是减函数，且0.90.80.7>>， ∴ 0.90.91log 0.8log 0.7<<.又 0.80.8log 0.9log 0.81<=， 所以0.80.90.9log 0.9log 0.8log 0.7<<. （2）由 333log 1log 2log 3<<，得30log 21<<. 又22log 3log 21>=，441log log 103<=， 所以4321log log 2log 33<<. 【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-. 解：（1）由22log (35)0log 1x -≥=，得351x -≥，解得2x ≥. 所以原函数的定义域为[2,)+∞.（2）由0.5log (4)30x -≥，即30.50.5log (4)3log 0.5x ≥=，所以3040.5x <≤，解得1032x <≤. 所以，原函数的定义域为1(0,]32. 【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围. 解：∵ [2,1]x ∈--， ∴ 132x ≤+≤当1a >时，log 1log (3)log 2a a a x ≤+≤，即0()log 2a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{1log 22a a ><， 解得2a >.当01a <<时，log 2log (3)log 1a a a x ≤+≤，即log 2()0a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{01log 22a a <<>-， 解得202a <<.综上可得，实数a 的取值范围是2(0,)(2,)2+∞ . 点评：先对底数a 分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a 的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.解：当1a >时，原不等式化为2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+>-⎪⎩，解得144x <<.当01a <<时，原不等式化为 2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+<-⎪⎩，解得4x >.所以，当1a >时，x 的取值范围为1(,4)4；当01a <<时，x 的取值范围为(4,)+∞.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求. 当底数a 不确定时，需要对底数a 分两种情况进行讨论.32※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.A B C D 3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.log (0,1)a xy a a a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y =2x4．函数12log (1)y x =-的定义域是（ ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2]5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<< 6．函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln 7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()34log 11xf x x x -=++-； （2）21log (45)y x =--.9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.※探究创新10．若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log a b 、1log b b.xy1 1oxy o 1 1oy x11 oy x1 1飞翔梦想 温暖大地33¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数. （a > 0, a ≠1）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.解：先求定义域，由320x ->, 解得32x <. 设332,(,)2t x x =-∈-∞，易知为减函数. 又∵ 函数0.3log y t =是减函数，故函数0.3log (32)y x =-在3(,)2-∞上单调递增.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<解：在同一坐标系中分别画出40.4,3,log x x y y y x ===的图象，分别作出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？ 解：在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =. 由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称. 点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：[ln()ln(2)]4ln 2(0)y k m x m k =+-+≠其中. 当燃料重量为(1)e m -吨（e 为自然对数的底数， 2.72e ≈）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.（1）求火箭的最大速度(/)y km s 与燃料重量x 吨之间的函数关系式()y f x =；（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？解：（1）依题意把(1),4x e m y =-=代入函数关系式[ln()ln(2)]4ln 2y k m x m =+-+，解得8k =. 所以所求的函数关系式为8[ln()ln(2)]4ln 2,y m x m =+-+ 整理得8ln().m x y m+= （2）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，544,8m x y =-= 代入函数关系式8544ln(),ln 1,344().544m x y x m x+===-得解得吨 所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数. 一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题. 代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.34※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）.A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高 8．已知6()log ,(0,1)af x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.9．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系. 声音的强度I 用瓦/平方米 （2/W m ）表示. 但在实际测量中，常用声音的强度水平1L 表示，它们满足以下公式：1010lg IL I = （单位为分贝），10L ≥，其中120110I -=⨯，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端. 回答以下问题：（1）树叶沙沙声的强度是122110/W m -⨯，耳语的强度是102110/W m -⨯，恬静的无限电广播的强度为82110/W m -⨯. 试分别求出它们的强度水平. （2）在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？※探究创新 10． 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.0 x C 1C 2C 4C 3 1y飞翔梦想 温暖大地35¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=， 所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<< C ．10,1n m -<<> D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？（3）若通过技术创新，至少保留24am 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n=，解得n =5. 所以，到今年为止，该工程已经进行了5年. （3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.36※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x =B. 4y x =C. 2y x -=D.13y x = 6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 . 7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新10．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =. 函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号42-251c 4c 3c 2c 1飞翔梦想 温暖大地37第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a ++++-=-12121222()022x x x x x x a a a a a a +--==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x xx x x x e a e a a e a e a e a e a a---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a -=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问38题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标 1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N = （ ）. A. ∅ B. {}|03x x << C. {}|13x x << D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）. A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4．（06年广东卷）函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是（ ）.A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取11,1,,22-四个值，则相应图象依次为 .※能力提高8．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9．已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4).（1）求输入x =234时对应的y 值； （2）令2log t x =，求y关于t的函数关系式及t 的范围.※探究创新10．设121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 值，不等式()f x >1()2x m +恒成立，求实数m 的取值范围．。
必修1第二章_基本初等函数(分节练习)
高一数学必修1导学案第二章基本初等函数(Ⅰ)§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）1.）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 625的4次方根是（）.A. 5B. －5C. ±5D. 253. 化简2是（）.A. b-B.bC. b±D.1b4.= .5. 计算：3=；1. 计算：（1（2）2. 计算34a a-⨯和3(8)a+-，它们之间有什么关系？你能得到什么结论？3. 对比()n n nab a b=与()nnna ab b=，你能把后者归入前者吗？§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1. 若0a>，且,m n为整数，则下列各式中正确的是（）.A.mm n na a a÷= B. m n mna a a⋅=C. ()n m m na a+= D. 01n na a-÷=2. 化简3225的结果是（）.A. 5B. 15C. 25D. 1253. 计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（）.A B．D．4. 化简2327-=.5. 若102,104m n==，则3210m n-= .1. 化简下列各式：（1）3236()49；（2.2. 1⎛-⎝.§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）1. 的值为（）.A. C. 3 D. 7292.3(a>0)的值是（）.A. 1B. aC.15a D.1710a3. 下列各式中成立的是（）.A．1777()nn mm=B．C34()x y+D．4. 化简3225()4-= .5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b-÷= .1. 已知32x a b--=+, .2. 2n a=时, 实数a和整数n所应满足的条件.§2.1.2 指数函数及其性质（1）1. 函数2(33)xy a a a=-+是指数函数，则a的值为（）.A. 1B. 2C. 1或2D. 任意值2. 函数f(x)=21xa-+(a>0,a≠1)的图象恒过定点（）.A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)3. 指数函数①()xf x m=，②()xg x n=满足不等式01m n<<<，则它们的图象是（）.4. 比较大小：23( 2.5)-45( 2.5)-.5. 函数y=的定义域为.1. 求函数y=1151xx--的定义域.2. 探究：在[m，n]上，()(01)xf x a a a=>≠且值域？§2.1.2 指数函数及其性质（2）1. 如果函数y=a x (a>0,a≠1)的图象与函数y=b x (b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有（）.A. a>bB. a<bC. ab=1D. a与b无确定关系第 2 页 共 4 页22. 函数f (x )=3－x －1的定义域、值域分别是（ ）. A. R ， R B. R ， (0,)+∞ C. R ，(1,)-+∞ D.以上都不对3. 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）.A. y =a x 的图象与y =a －x 的图象关于y 轴对称B. 函数f (x )=a 1－x (a >1)在R 上递减C. 若1，则a >1D. 若2x>1，则1x >4. 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（；0.76 0.75-（. 5. 在同一坐标系下，函数y =a x , y =b x , y =c x , y =d x 的图象如右图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是 .1. 已知函数f (x )=a －221x+(a ∈R )，求证：对任何a R ∈， f (x )为增函数.2. 求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.§2.2.1 对数与对数运算（1）1. 若2log 3x =，则x =（ ）. A. 4 B. 6 C. 8D. 92. log = （ ）.A. 1B. －1C. 2D. －2 3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）. A ．(,5)-∞ B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)4.计算：1(3+= .5. 若log 1)1x =-，则x =________，若y =，则y =___________.1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）53243=； （2）51232-=； （3）430a =（4）1() 1.032m =； （5）12log 164=-；（6）2log 1287=； （7）3log 27a =.2. 计算：（1）9log 27； （2）3log 243； （3）； （3）(2log (2； （4）. §§2.2.1 对数与对数运算（2）1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）.A ．x =a +3b －cB ．35abx c=C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）. A ．y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．4y x =4. 计算：（1）99log 3log 27+= ；（2）2121log log 22+= .5. 计算：15lg 23= .1. 计算：（1；（2）2lg 2lg2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证： 1112c a b-=. §2.2.1 对数与对数运算（3）1.25()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A ．－a B ．a 2 C ．｜a ｜ D ．a2. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）. A. 3B.C.D.3. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）.A ．15B C． D ．2254. 若3a＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 . 5. 已知lg 20.3010=，lg1.07180.0301=，则lg 2.5=；1102=．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；高一数学必修1导学案 第二章 基本初等函数(Ⅰ)3（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5. 2. 若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求xy的值． §2.2.2 对数函数及其性质（1）1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（ ）. A. (2,)+∞ B. (0,2)B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24. 比大小：（1）log 67 log 7 6 ； （2）log 31.5 log 2 0.8. 5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 .1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：（1）3log m ＜3log n ； （2）0.3log m ＞0.3log n ；（3）log a m ＞log a n (a ＞1)2. 求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =§2.2.2 对数函数及其性质（2）1. 函数0.5log y x =的反函数是（ ）. A. 0.5log y x =- B. 2log y x =C. 2x y =D. 1()2x y =2. 函数2x y =的反函数的单调性是（ ）. A. 在R 上单调递增 B. 在R 上单调递减C. 在(0,)+∞上单调递增D. 在(0,)+∞上单调递减3. 函数2(0)y x x =<的反函数是（ ）.A. (0)y x =>B. (0)y x >C. (0)y x =>D. y =4. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .5. 右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x =， 4log a y x =的图象，则底数之间的关系为 .1. 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.2. 探究：求(0)ax by ac cx d+=≠+的反函数，并求出两个函数的定义域与值域，通过对定义域与值域的比较，你能得出一些什么结论？§2.2 对数函数（练习）1. 下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（）A. yB. 2x y x=C. log (01)a xy a a a =>≠且 D. log x a y a =2. 函数y ）.A. [1,)+∞B. 2(,)3+∞C. 2[,1]3D. 2(,1]33. 若(ln )34f x x =+，则()f x 的表达式为（ ） A. 3ln x B. 3ln 4x + C. 3x e D. 34x e +4.函数2()lg(8)f x x =+的定义域为 ，值域为 ．5. 将20.3，2log 0.5，0.5log 1.5由小到大排列的顺序是 .1. 若定义在区间(1,0)-内的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则实数a 的取值范围.2. 已知函数211()log 1xf x x x+=--，求函数()f x 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．§2.3 幂函数1. 若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）. A ．α>0 B ．α<0 C ．α=0 D ．不能确定2. 函数43y x =的图象是（）.第 4 页 共 4 页4A. B. C. D.3. 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）. A ．a <l<b B ．1<a <b C ．b <l<a D ．1<b <a 4. 比大小：（1）11221.3_____1.5； （2）225.1______5.09--. 5. 已知幂函数()y f x =的图象过点，则它的解析式为 .1. 已知幂函数f （x ）＝13222p p x -++（p ∈Z ）在(0,)+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）.2. 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比． （1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400cm 3/s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率．第二章 基本初等函数Ⅰ（复习）1. 函数2322x x y --+=的单调递增区间为（ ）.A. 3(,)2-∞ B. 3(,)2+∞C. 3(,)2-∞-D. 3(,)2-+∞2. 设2(log )2(0)x f x x =>，则(3)f 的值是（ ）. A. 128 B. 256 C. 512D. 83. 函数2log (y x =的奇偶性为（ ）. A ．奇函数而非偶函数 B ．偶函数而非奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇且偶函数4. 函数2y x -=在区间1[,2]2上的最大值是 .5. 若函数12(l o g )xy a =为减函数，则a 的取值范围是 .1. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？2. 某公司经过市场调查，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去. 为了追求最大的利润，该公司计划从当月开始，每月让产品生产量递增，且10个月后设法将该商品的生产量翻两番，求平均每月生产量的增长率.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)单元复习课件 新人教A版必修1
非奇非偶
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
函数值的
y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞
y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)
变化情况
0)
a 变化对
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠
y 轴；
近 y 轴；
图象的影
响
越靠近 y 轴
y轴
10、反函数
（1）反函数概念
函数 y=ax（x∈R）与对数函数 y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.即同底的指数函数与对 数函数互为反函数。
（2）反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称。
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9
1111.、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．
loga
b
；
完整版ppt
6
8、指数函数的性质
函数名称 定义
指数函数
函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a 1
0 a 1
y y ax
y ax
y
图象
定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性
y1
(0,1)
1
O
0x
y1
(0,1)
1
O
0x
R
（0,+∞）
图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当 0 a 1时， a x N x log a N （符号功能）——熟练转化
常用对数：以 10 为底 log10 N 写成 lg N ；
第二章___基本初等函数
第二章 基本初等函数（I ）一、选择题1、 函数1log (54)x x y +=-的定义域是（ ）。
A 、 (1,0)-B 、 4(0,log 5)C 、 4(1,log 5)-D 、 4(1,0)(0,log 5)- 2、 函数log (2)1a y x =++的图象过定点（ ）。
A 、（1，2） B 、（2，1）C 、（-2，1）D 、（-1，1）3、 设2(log )2(0)x f x x =>，则(3)f 的值为（ ）。
A 、 128 B 、 256C 、 512D 、 84、25log ()5a -化简的结果是（ ）。
A 、-a B 、 2aC 、 |a |D 、 a5、 函数0.21x y -=+的反函数是（ ）。
A 、 5log 1y x =+B 、 5log (1)y x =-C 、 log 51x y =+D 、 5log 1y x =-6、 若231log a y x -=在（0，+∞）内为减函数，且x y a -=为增函数，则a 的取值范围是（ ）。
A 、 3(,1)3B 、 1(0,)3C 、 3(0,)3D 、 36(,)337、 设0,1,,0x x x a b a b ><<>且，则a 、b 的大小关系是（ ）。
A 、b ＜a ＜1B 、 a ＜b ＜1C 、 1＜b ＜aD 、 1＜a ＜b8、 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）。
A 、 12xy =B 、 112xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C 、 1()12x y =-D 、 12x y =-9、 设偶函数()f x 在[0，π]上递减，下列三个数a =12(lg ),(),()10023f b f c f ππ==-的关系为（ )。
A 、 a ＞b ＞cB 、 b ＞a ＞cC 、 b ＞c ＞aD 、 c ＞a ＞b10、 已知0＜a ＜1，b ＞1，且ab ＞1，则下列不等式中成立的是（ ）。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.1对数练习(含解析)新人教A版必修1
课时21 对数对数的意义①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①与② B ．②与④ C ．② D ．①②③④ 答案 C解析 对于①，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 无意义，因此①不正确；对于②，对数值相等，底数相同，因此，真数相等，所以②正确；对于③，有M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但不一定有M ＝N ，③错误；对于④，当M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2无意义，所以④错误，由以上可知，只有②正确．2．求下列各式中x 的取值范围： (1)lg (x －10)； (2)log (x －1)(x ＋2)； (3)log (x ＋1)(x －1)2.解 (1)由题意有x －10>0，即x >10，即为所求； (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2；(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.3答案507解析 因为m ＝log 37，所以3m ＝7，则3m ＋3－m ＝7＋7－1＝507.4．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式： (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)13－4＝81；(4)27＝128.对数性质的应用(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 3(2x ＋2)＝1.解 (1)由log 8x ＝－23，得x ＝8－23＝(23)－23＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2－2＝14；(2)由log x 27＝34，得x 34＝27.∴x ＝2743＝(33)43＝34＝81；(3)由log 3(2x ＋2)＝1，得2x ＋2＝3， 所以x ＝12.对数恒等式的应用(2)计算23＋log23＋35－log39.解(1)令t＝10x，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3；(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋353log39＝23×3＋359＝24＋27＝51.一、选择题1．下列四个命题，其中正确的是( )①对数的真数是非负数；②若a>0且a≠1，则log a1＝0；③若a>0且a≠1，则log a a＝1；④若a>0且a≠1，则a log a2＝2.A．①②③ B．②③④C．①③ D．①②③④答案 B解析①对数的真数为正数，①错误；②∵a0＝1，∴log a1＝0，②正确；③∵a1＝a，∴log a a＝1，③正确；④由对数恒等式a log a N＝N，得a log a2＝2，④正确．2．2x＝3化为对数式是( )A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝log x3答案 B解析由2x＝3得x＝log23，选B.3．化简：0.7log 0.78等于( ) A ．2 2 B ．8 C.18 D ．2答案 B解析 由对数恒等式a log aN ＝N ，得0.7log 0.78＝8.∴选B. 4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C．9 D ．2 答案 A解析 ∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，即x 2＝9， 又∵x >0，∴x ＝3.5．若log a 3＝m ，log a 2＝n ，则a m ＋2n的值是( )A ．15B ．75C ．12D ．18 答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 2＝n ，得a n＝2， ∴am ＋2n＝a m ·(a n )2＝3×22＝12.二、填空题6．已知log 2x ＝2，则x －12＝________.答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝22＝4， 4－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.7．若lg (ln x )＝0，则x ＝________. 答案 e解析 ∵lg (ln x )＝0，∴ln x ＝1，∴x ＝e.8．若集合{x ，xy ，lg xy }＝{0，|x |，y }，则log 8(x 2＋y 2)＝________. 答案 13解析 ∵x ≠0，y ≠0，∴lg xy ＝0，∴xy ＝1， 则{x,1,0}＝{0，|x |，y }，∴x ＝y ＝－1， log 8 (x 2＋y 2)＝log 82＝log 8813＝13.三、解答题9．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b的值；(2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．解 (1)18a ＝9,18b＝54，182a －b＝a218b＝9254＝8154＝32； (2)∵log x 27＝31×3log 32＝31×2＝6， ∴x 6＝27，∴x ＝2716＝(33)16＝ 3.10．求下列各式中x 的值：(1)log 4(log 3x )＝0；(2)lg (log 2x )＝1； (3)log 2[log 12(log 2x )]＝0.解 (1)∵log 4(log 3x )＝0，∴log 3x ＝40＝1， ∴x ＝31＝3；(2)∵lg (log 2x )＝1，∴log 2x ＝10，∴x ＝210＝1024；(3)由log 2[log 12(log 2x )]＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝ 2.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)单元测试(二)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
word1 / 7第二章 基本初等函数（Ⅰ）注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．()0a a >可以化简为（ ）A ．32aB ．18a C ．34aD ．38a2．三个数21log 5，0.12，0.22的大小关系是（ ）A ．0.10.221log <2<25B ．0.20.121log <225<C ．0.10.2212<2log 5< D ．0.10.2212<log 25< 3．设集合2R {|}x A y y x ∈＝＝，，21{|}0B x x <＝－，则A B ＝（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1-∞，+D ．(0)∞，+4．已知23xy＝，则xy=（ ）A ．lg 2lg 3B ．lg 3lg 2C ．2lg 3D ．3lg 25．函数()ln f x x x ＝的图象大致是（ ）6．若函数()33x x f x －＝＋与()33x x g x －＝－的定义域均为R ，则（ ） A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 7．函数121(22)m y m m x -=+-是幂函数，则m ＝（ ）A ．1B ．3-C ．3-或1D ．28．下列各函数中，值域为(0)∞，+的是（ ） A ．22x y -=B ．12y x =-C ．21y x x =++D ．113x y +=9．已知函数：①2xy ＝；②2log y x ＝；③1y x －＝；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数()()211log 2121x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()22log ()12f f -＋＝（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数()22()1122xa xx f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有word2 / 7()()1212f x f x x x -<0-成立，则实数a 的取值X 围为（ ）A ．()2-∞，B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(2]-∞，-D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点()1,1M ，()1,2N ，()2,1P ，()2,2Q ，1G 2,2⎛⎫⎪⎝⎭中，可以是“好点”的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知124(0)9a a =>，则23log a =________．14．已知函数2log 0()30xxx f x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．若函数212log (35)y x ax =-+在[)1-∞，+上是减函数，则实数a 的取值X 围是________．16．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数22logy x =，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2， 则点D 的坐标为________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)()31320.5log 511lg3lg91lg 812730.25-⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭．18．(12分)已知函数1()=2axf x ⎛⎫⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-．（1）求a 的值；（2）若()42x g x -－＝，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．word3 / 719．(12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1)． （1）设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； （2）求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值X 围．20．(12分)求使不等式2821x x a a --⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1)．word4 / 721．(12分)已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， （1）求g (x )的解析式及定义域； （2）求函数g (x )的最大值和最小值．22．(12分)若函数f (x )满足21(log )1a a f x x x a ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭ (其中a ＞0且a ≠1)．（1）求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值X 围．word1 / 72018-2019学年必修一第二章训练卷基本初等函数（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】因为0a >，所以B ．2．【答案】A【解析】∵21log <05，0.10.2022<<，∴0.10.221log <2<25，故选A ．3．【答案】C【解析】{}2R {|}0|x A y y x y y ∈>＝＝，＝．2{|}{1011|}B x x x x <<<＝－＝－， ∴{}0111|{|}{|}AB x x x x x x ><<>＝－＝－，故选C ．4．【答案】B【解析】由23x y ＝得lg 2lg3x y ＝，∴lg2lg3x y ＝，∴lg3lg 2x y =，故选B ． 5．【答案】A【解析】由()ln l ()n ||f x x x x x f x --＝-＝-＝-知，函数()f x 是奇函数，故排除C ，D ，又110f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，从而排除B ，故选A ．6．【答案】D【解析】因为()()33x x f x f x --＝＋＝，()()33x x g x g x ---＝＝-，所以()f x 是偶函数， ()g x 为奇函数，故选D ．7．【答案】B【解析】因为函数121(22)m y m m x -=+-是幂函数，所以2221m m -+＝且1m ≠，解得3m ＝-．故选B ．8．【答案】A 【解析】A，22xy x -==⎝⎭的值域为(0)∞，+． B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y =(0],-∞， 所以021x <≤，所以0121x ≤-<，所以y =[)0,1． C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ，因为()()1,00,1x ∈-∞+∞+，所以113x y +=的值域是()0,11()∞，+．故选A ．9．【答案】D【解析】根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D ． 10．【答案】C【解析】221log ()(())223f -+--=＝，()221216log log 2log 12226f －＝＝＝， ∴()22log (19)2f f -＋＝，故选C ．11．【答案】B【解析】由题意知函数()f x 是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩由此解得138a ≤，即实数a 的取值X 围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，选B ．12．【答案】C【解析】设指数函数为()01x y a a a >≠＝，，显然不过点M 、P ，若设对数函数为()log 01b y x b b >≠＝，，显然不过N 点，故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）word2 / 713．【答案】4【解析】∵124(0)9a a =>，∴2221223a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴422332log log 4.3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．【答案】19【解析】∵14>0，∴211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴211349f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．【答案】(]86-，-【解析】令()235g x x ax ＝－＋，其对称轴为直线6a x =，依题意，有()1610ag ⎧≤-⎪⎨⎪->⎩，即68a a ≤-⎧⎨>-⎩，∴86(]a ∈-，-． 16．【答案】11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由图象可知，点(),2A A x在函数y x =的图象上，所以2A x =，212A x ==⎝⎭， 点(),2B B x 在函数12y x =的图象上，所以122B x =，4B x ＝． 点()4C C y ，在函数xy =⎝⎭的图象上，所以414C y ==⎝⎭． 又12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】见解析． 【解析】原式3310.5log 5253log 1431(3)231lg3lg3lg3(3()03).5---++＝＋＋－＋＋325log 6362531＝＋＝＋＝．18．【答案】（1）1；（2）－1． 【解析】（1）由已知得122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得a ＝1．（2）由（1）知1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又g (x )＝f (x )，则1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112=42xx⎛⎫⎛⎫--0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得x ＝－1．19．【答案】（1）最小值为2，最大值为6；（2）见解析．【解析】（1）当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2．当x ＝63时f (x )最大值为6． （2）f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x )当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )，满足111010x xx x +>-⎧⎪+>⎨⎪->⎩∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )，满足111010x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1}，0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}． 20．【答案】见解析． 【解析】∵22881x x a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴原不等式化为282x x a a -->，当a >1时，函数y ＝a x是增函数，∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4； 当0<a <1时，函数y ＝a x是减函数，∴8－x 2<－2x ，解得x <－2或x >4．故当a >1时，x 的集合是{x |－2<x <4}；当0<a <1时，x 的集合是{x |x <－2或x >4}．word3 / 721．【答案】（1）g (x )＝2222x x -＋，{x |0≤x ≤1}（2）－3，－4． 【解析】（1）∵f (x )＝2x，∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝2222x x -＋．因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3，0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1． 于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}． （2）设g (x )＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4．∵x ∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，∴当2x＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4； 当2x＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3． 22．【答案】（1）2()()1x x a f x a a a -=-- (x ∈R )，见解析；（2）)(21,23⎡+⎣．【解析】（1）令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t，∴2()()1t ta f t a a a -=--． ∴2()()1x xa f x a a a -=-- (x ∈R )． ∵()22()()()11x xx x a a f x a a a a f x a a ---=-=--=---，∴f (x )为奇函数． 当a ＞1时，y ＝a x为增函数，x y a -=-为增函数，且201aa >-，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x为减函数x y a -=-为减函数，且201aa <-， ∴f (x )为增函数．∴f (x )在R 上为增函数．（2）∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数． 由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数， 只需f (2)－4≤0，即2224()1a a a a --≤-，∴422141a a a a ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a＋1≤0，∴22a ≤≤a ≠1， ∴a的取值X 围为)(21,23⎡+⎣．。
基本初等函数练习题与答案
5.
1
3x 3x 3x 3x 3, x 1 1 3x
6.
x
|
x
1
,y
|
y
0,
且y
1
2x
1
0,
x
1
；
y
1
8 2 x 1
0, 且y
1
2
2
7. 奇函数 f (x) x2 lg(x x2 1) x2 lg(x x2 1) f (x)
84 411
212 222
212 (1 210 )
3. 2 原式 log2 5 2 log2 51 log2 5 2 log2 5 2
4. 0 (x 2)2 ( y 1)2 0, x 2且y 1， logx ( yx ) log2 (12 ) 0
4．若函数
f
(x)
1
m ax 1
是奇函数，则 m
为__________。
5．求值：
2
27 3
2log2 3
log2
1 8
2 lg(
3
5
3
5 ) __________。
三、解答题
1．解方程：（1） log4 (3 x) log0.25 (3 x) log4 (1 x) log0.25 (2x 1)
log a
(1
1 a
)
②
log a
(1
a)
log a
(1
1 a
)
③ a1a
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质
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(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这 一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要 有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
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解析：选 B.法一：由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底
数必小于 1.
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点的纵坐
标即各指数函数的底数，则 1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知 a，b，
c，d 与 1 的大小关系为 b＜a＜1＜d＜c.
法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再Байду номын сангаас③④比较 c，d 的
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求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
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1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx 满足不等式 0<m<n<1，则 它们的图象是( )
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2．已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图象必定不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 A.函数恒过点(0，1＋b)，因为 b＜－1，所以点(0，1 ＋b)在 y 轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
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高一数学练习册答案第二章基本初等函数
高一数学练习册答案：第二章基本初等函数中国教育在线讯下面是高中新课程作业本数学练习册答案与提示，仅供参考！第二章基本初等函数(I )2.1指数函数2 1 1指数与指数幕的运算(一)I. B.2.A.3.B.4.y=2x(x € N).5.(1)2.(2)5.6.8a7.7. 原式=|x-2|-|x-3|=-1(x<2),2x-5(2 < x< 3),1(x>3).8.0.9.2011.10.原式=2yx-y=2.II. 当n为偶数,且a》0时，等式成立；当n为奇数时，对任意实数a,等式成立.2 1 1指数与指数幕的运算(二)I. B.2.B.3.A494.5.164655.7. (1)- s,32.(2)x€ R|x 工0且x=52.8.原式=52-1+116+18+110=14380.9. -9a.10.原式=(a-1+b-1) a-1b-1a-1+b-仁1ab.II. 原式=1-2-181+2-181+2-141+2-121-2-18=12-827.2 1 1指数与指数幕的运算(三)I. D.2.C3C436.55.5.1-2a.6.225.7.2.8. 由8a=23a=14=2-2,得a=-23,所以f(27)=27-23=19.9.4 7288,0 0885.10. 提示：先由已知求出x-y=-(x-y)2=-(x+y)2-4xy=-63,所以原式=x-2xy+yx-y=-33.II. 23.2 1 2指数函数及其性质(一)1.D.2.C.3.B.4.A B.5.(1,0).6.a>0.7.125.8. (1)图略.(2)图象关于y轴对称.9. (1)a=3,b=-3.(2)当x=2 时,y 有最小值0;当x=4 时,y 有最大值6.10.a=1.11. 当a>1 时，x2-2x+1>x2-3x+5，解得{x|x>4};当02 1 2指数函数及其性质(二)1.A.2. A.3.D.4.(1)v.(2)v.(3)>.(4)>.5. {x|x 工0},{y|y>,0 或y<-1}.6.x<0.7.56- 0.12>1= n 0>0.90.98.8. (1)a=0.5 .(2)-4x4>x3>x1.10. (1)f(x)=1(x > 0),2x(x<0).(2)略.11.am+a-m>an+a-n.2 1 2指数函数及其性质(三)I. B.2.D.3.C.4.-1.5.向右平移12 个单位.6.(-s,0).7. 由已知得0.3(1-0.5)x <0.08由于0.51.91=0.2667,所以x> 1.91 所以2h 后才可驾驶.8. (1-a)a>(1-a)b>(1-b)b .9.815 x (1+2%)3~ 865人).10. 指数函数y=ax满足f(x) f(y)=f(x+y);正比例函数y=kx(k工0满足f(x)+f(y)=f(x+y).II. 34,57.2.2对数函数221对数与对数运算(一)I. C.2.D3C40;0;0;0.5.(1)2.(2)-52.6.2.7. (1)-3 .(2)-6.(3)6 4.⑷-28(1)343.(2)-12.(3)16.⑷2.9. (1)x=z2y,所以x=(z2y)2=z4y(z>0,且z半 1).(2由x+3>0,2-x<0，且2-x^ 1, 得-310. 由条件得lga=0,lgb=-1，所以a=1,b=110,贝U a-b=910.II. 左边分子、分母同乘以ex，去分母解得e2x=3,则x=12ln3.221对数与对数运算(二)1.C.2.A.3.A.4.0 3980.5.2logay-logax-3logaz.6.4.7. 原式=log2748 X12-142=log212=-12.8. 由已知得(x-2y)2=xy，再由x>0,y>0,x>2y,可求得xy=4.9.略.10.4.11. 由已知得(log2m)2-8log2m=0,解得m=1 或16.2 2 1对数与对数运算(三)1.A.2.D.3.D.4.43.5.24.6.a+2b2a.7. 提示：注意到1-log63=log62以及log618=1+log63,可得答案为1.8. 由条件得3lg3lg3+2lg2=a,则去分母移项，可得(3-a)lg3=2alg2,所以lg2lg3=3-a2a.9.2 5.10.a=log34+log37=log328 € (3，4).11.1.2 2 2对数函数及其性质(一)1.D.2.C.3.C.4.144 分钟.5.①②③.6.-1.7.-2< x< 2.8提示：注意对称关系.9. 对loga(x+a)<1进行讨论：①当a>1时,0a,得x>0.10. C1 : a=32，C2:a=3 ，C3:a=110 ，C4:a=25.11. 由f(-1)=-2,得lgb=lga-1 ①,方程f(x)=2x 即x2+lga x+lgb=0 有两个相等的实数根，可得Ig2a-4lgb=0,将①式代入，得a=100,继而b=10.2 2 2对数函数及其性质(二)1.A.2.D.3.C.4.22,2.5.(- ,1).6.log20 47.logbab0 得x>0.(2)x>lg3lg2.9. 图略，y=log12(x+2)的图象可以由y=log12x的图象向左平移2个单位得到.10. 根据图象，可得02 2 2对数函数及其性质(三)I. C.2.D.3.B.4.0，12.5.11.6.1,53.7. (1)f35=2,f-35=-2.(2)奇函数，理由略.8.{-1，0，1，2，3，4，5，6}.9. (1)0.(2)如log2x.10. 可以用求反函数的方法得到，与函数y=loga(x+1)关于直线y=x对称的函数应该是y=ax-1,和y=logax+1关于直线y=x对称的函数应该是y=ax-1.II. (1)f(-2)+f(1)=0.(2)f(-2)+f-32+f12+f(1)=0.猜想:f(-x)+f(-1+x)=0,证明略.2 3幕函数1.D.2.C.3.C.4.①④.5.6.2518<0.5-12<0.16-14.6. (-x-1)U 23,32.7.p=1,f(x)=x2.8. 图象略，由图象可得f(x) w的解集x € [-1,1].9.图象略,关于y=x对称.10.x € 0,3+52.11.定义域为(-%,0)U (0, 值域为(0, ®),是偶函数，图象略.单元练习1.D.2.D3C4B.5.C6D.7.D.8.A.9.D.10.B.11.1.12.x>1.13.④.14.25 8.提示：先求出h=10.15. (1)-1.(2)1.16. x € R，y=12x=1+lga1-lga>0,讨论分子、分母得-117. (1)a=2.(2)设g(x)=log12(10-2x)-12x, J则g(x)在［3,4］上为增函数,g(x)>m 对x€ ［3,4］恒成立，m18. (1)函数y=x+ax(a>0),在(0,a］上是减函数,［a,+ °上是增函数，证明略.⑵由⑴知函数y=x+cx(c>0)在［1,2］上是减函数，所以当x=1时,y有最大值1+c;当x=2时,y有最小值2+c2.19. y=(ax+1)2- 2< 14,当a>1时，函数在［-1 , 1］上为增函数，ymax=(a+1)2-2=14，此时a=3;当020. (1)F(x)=lg1-xx+1+1x+2,定义域为(-1,1).(2)提示:假设在函数F(x)的图象上存在两个不同的点A,B，使直线AB恰好与y 轴垂直，则设A(x1,y),B(x2,y)(x1 工x则,f(x1)-f(x2)=0,而f(x1)-f(x2)=lg1-x1x1+1+1x1+2-lg1-x2x2+1-1x2+2=lg(1-x1)(x2+1)(x1+1)(1-x2)+x2-x1(x1+2)(x2+2)=①+②,可证①，②同正或同负或同为零，因此只有当x仁x2 时,f(x1)-f(x2)=0,这与假设矛盾，所以这样的两点不存在.(或用定义证明此函数在定义域内单调递减)。
2022版数学人教A版必修1基础训练：第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习提升含解析
第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章复习提升易混易错练易错点1 利用指数、对数运算性质进行运算时忽视公式中的限定条件导致错误 1.()下列结论中正确的个数为( )①当a <0时,(a2)32=a3;②√a n n=|a |(n >0);③函数y =(x-2)12-(3x -7)0的定义域是(2,+∞);④若100a =5,10b =2,则2a +b =1. A.0 B.1 C.2 D.3 2.()计算:(1)5log 25(1-√3)2+3log 9(1+√3)2;(2)√(-8)33+√(√3-2)44-√(2-√3)33.易错点2 研究指数、对数函数时忽视对底数分0<a <1和a >1两种情况讨论导致错误 3.(2019湖北武昌实验中学高一上期中,)若log a 12<2,则a 的取值范围是( )A.(√22,+∞)B.(0,√22) C.(√22,1) D.(0,√22)∪(1,+∞)4.()若函数f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为 . 5.()已知log a (2a +1)<log a (3a -1),其中a >0且a ≠1,求实数a 的取值范围.6.()已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,且a ≠1).(1)若f (x )<2,求实数x 的取值范围;(2)若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,求实数a 的取值范围.易错点3 研究指数、对数函数时忽视定义域与值域导致错误 7.()已知f (x )是定义在R 上的奇函数,若f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (13)=0,则不等式f (lo g 18x )<0的解集为 ( ) A.(0,12)B.(12,+∞) C.(12,1)∪(2,+∞) D.(0,12)∪(2,+∞) 8.()若函数f (x )=log a (6-ax )在[0,2]上为减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,3)C.(1,+∞)D.[3,+∞) 9.()若函数f (x )=lo g 12(x 2-ax +3a )在区间(2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A.(-∞,4]B.(-4,4]C.[-4,4)D.[-4,4]10.(2020山东枣庄高一上期末,)已知f (x )={3x -4,x >1,3x ,x ≤1,若a <b ,f (a )=f (b ),则a +3b 的取值范围是 .思想方法练一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用1.(2019湖北黄冈高一上期末,)已知函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为[a2,b 2 ],那么就称函数f(x)为“减半函数”.若函数f(x)=log c(2c x+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1]C.(-∞,18) D.(0,18)2.(2020江苏镇江高一期中,)已知函数y=f(x)是二次函数,且满足f(0)=3,f(1)=f(3)=0.(1)求y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(log2x),x∈[2,8]的最小值;(3)若x∈[1,t](t>1),试将y=f(x)的最小值表示成关于t的函数g(t).二、数形结合思想在解决函数问题中的应用3.()如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}4.()若实数a,b满足a+lg a=8,b+10b=8,则a+b=.5.()已知函数f (x )={|log 2x |,0<x ≤8,x 2-20x +99,x >8,若a ,b ,c ,d 互不相同,且a <b <c <d ,f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),则abcd 的取值范围是 .三、分类与整合思想在解决函数问题中的应用 6.()已知函数f (x )={(a -2)x -1,x ≤1,log a x ,x >1,若f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3]D.(2,+∞)7.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)设函数f (x )=e |ln x |(e 为自然对数的底数),若x 1≠x 2且f (x 1)=f (x 2),则下列结论一定不成立的是 ( ) A.x 2 f (x 1)>1 B.x 2 f (x 1)<1C.x 2 f (x 1)=1D.x 2 f (x 1)<x 1 f (x 2)8.()设函数f (x )={21-x ,x ≤1,1-log 2x ,x >1,则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 .四、转化与化归思想在解决函数问题中的应用 9.(2019吉林省实验中学高一上期中,)定义域为R 的函数f (x ),对任意实数x 均有f (-x )=-f (x ),f (2-x )=f (2+x )成立,若当2<x <4时,f (x )=2x -3+log 2(x -1),则f (-1)= .10.(2020山东菏泽高一上期末联考,)设函数f (x )=1ex +a e x (a 为常数),若对任意x ∈R ,f (x )≥3恒成立,则实数a 的取值范围是 . 11.()若3x =4y =36,则2x +1y= .五、特殊与一般思想在解决函数问题中的应用 12.()设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ≥0时, f (x )=2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)= ( ) A.1 B.-1 C.-3 D.313. ()已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +b2x+1+a是奇函数,求a ,b 的值.答案全解全析第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章复习提升易混易错练1.B 3.D 7.C 8.B9.D1.B ①中,当a <0时,(a 2)32=[(a 2)12]3=(-a )3=-a 3,∴①不正确;②中,若a =-2,n =3,则√(-2)33=-2≠|-2|,∴②不正确;③中,由{x -2≥0,3x -7≠0,得x ≥2且x ≠73,故其定义域为[2,73)∪(73,+∞),∴③不正确;④中,∵100a=5,即102a =5,10b =2,∴102a ×10b =102a +b =10,∴2a +b =1,∴④正确. 2.解析 (1)原式=25log 25(√3-1)+9log 9(1+√3)=√3-1+1+√3=2√3. (2)原式=-8+|√3-2|-(2-√3)=-8+2-√3-2+√3=-8.3.D 当a >1时,由log a 12<2,得log a 12<log a a 2,因此a 2>12,解得a >√22或a <-√22,又a >1,所以a >1;当0<a <1时,由log a 12<2,得log a 12<log a a 2,因此0<a 2<12,解得-√22<a <√22,且a ≠0,又0<a <1,所以0<a <√22.综上,a 的取值范围是0,√22∪(1,+∞).故选D . 易错警示由于对数函数的图象、单调性等受底数a 的影响,所以在底数未知的情况下应先讨论底数与1的大小关系,一般分0<a <1,a >1两种情况. 4.答案12解析 当a >1时,y =a x 与y =log a (x +1)在[0,1]上都是增函数,因此f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上是增函数,∴f (x )max =f (1)=a +log a 2,f (x )min =f (0)=a 0+log a 1=1,∴a +log a 2+1=a ,∴log a 2=-1=log a 1a ,解得a =12(舍去); 当0<a <1时,y =a x 与y =log a (x +1)在[0,1]上都是减函数,因此f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上是减函数,∴f (x )max =f (0)=a 0+log a (0+1)=1, f (x )min =f (1)=a +log a 2,∴a +log a 2+1=a ,∴log a 2=-1=log a 1a ,解得a =12. 综上所述,a =12. 易错警示解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数自身(如真数、底数的取值)要满足的条件,特别是在研究复合函数的单调性时,除了按照“同增异减”的规律讨论之外,还要特别注意真数大于零. 5.解析 当a >1时,原不等式等价于{2a +1<3a -1,2a +1>0,3a -1>0,所以a >2;当0<a <1时,原不等式等价于{2a +1>3a -1,3a -1>0,2a +1>0,所以13<a <1. 综上所述,a 的取值范围是13,1∪(2,+∞). 6.解析 (1)当a >1时,由f (x )<2,即log a (8-ax )<log a a 2,得0<8-ax <a 2,所以8a -a <x <8a; 当0<a <1时,由f (x )<2=log a a 2,得8-ax >a 2,所以x <8a-a. 因此当a >1时,x 的取值范围是{x|8a -a <x <8a}; 当0<a <1时,x 的取值范围是{x|x <8a-a}. (2)当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min =log a (8-2a )>1,且在x ∈[1,2]上8-ax >0,即log a (8-2a )>log a a ,且8-2a >0,解得1<a <83. 当0<a <1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是增函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min =log a (8-a )>1,且在x ∈[1,2]上8-ax >0,即log a (8-a )>log a a ,且8-2a >0,所以a >4,且a <4,故a 不存在. 综上可知,实数a 的取值范围是1,83.7.C ∵f (x )是定义在R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f (13)=0,∴f (x )在(-∞,0)上也为增函数,f (-13)=0.画出f (x )的大致图象如图所示.结合图象,由f (lo g 18x )<0,可得0<lo g 18x <13或lo g 18x <-13,解得12<x <1或x >2,即不等式f (lo g 18x )<0的解集为(12,1)∪(2,+∞).8.B 设u =6-ax ,则函数f (x )由y =log a u ,u =6-ax 复合而成.因为a >0,所以u =6-ax 是减函数,那么函数y =log a u 就是增函数,所以a >1.因为[0,2]为定义域的子集,且u =6-ax 是减函数,所以当x =2时,u =6-ax 取得最小值,所以6-2a >0,解得a <3. 综上,得1<a <3,故选B . 9.D 设u =x 2-ax +3a ,则函数f (x )由y =lo g 12u ,u =x 2-ax +3a 复合而成.因为y =lo g 12u 是减函数,所以u =x 2-ax +3a 在(2,+∞)上单调递增, 从而a 2≤2,解得a ≤4. 又当x ∈(2,+∞)时,u =x 2-ax +3a >0, 所以当x =2时,u =4-2a +3a ≥0, 解得a ≥-4.所以-4≤a ≤4.故选D . 易错警示f (x )在(2,+∞)上为减函数,既要考虑单调性,又要考虑f (x )在(2,+∞)上有意义,解题时注意对数的真数大于0. 10.答案 (-∞,8]解析 依题意,得a ≤1<b ,由f (a )=f (b ),得3a =3b -4,即3b =3a +4. 设S =a +3b =a +3a +4.∵函数S =a +3a +4在(-∞,1]上单调递增, ∴S ≤1+31+4=8,∴S 的取值范围是(-∞,8].思想方法练1.D 3.C 6.C 7.B 12.C1.D 显然f (x )是定义域上的单调递增函数,因此,若f (x )是“减半函数”,则{f (a )=a2,f (b )=b 2,即f (x )=x2有两个不等实根.故根据函数的性质构建关于a ,b 的方程组. log c (2c x+t )=x2,即2c x+t =c x2.令c x2=u ,则u >0,且2u 2-u +t =0.依题意知方程有两个不等正根,换元后构造关于u 的一元二次方程,根据方程根的情况,应用“三个二次”的关系求解. ∴{Δ=1-4×2×t >0,t 2>0,解得0<t <18,故选D . 2.解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),设出函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),根据题意,用待定系数法求出函数的解析式. 因为f (0)=c =3,所以f (x )=ax 2+bx +3, 又f (1)=f (3)=0,所以{a +b +3=0,9a +3b +3=0,解得{a =1,b =-4.所以f (x )=x 2-4x +3.(2)令t =log 2x ,∵x ∈[2,8],∴t ∈[1,3]. 则y =t 2-4t +3=(t -2)2-1,t ∈[1,3],用换元法,令t =log 2x ,构造二次函数求最值. 所以当t =2,即x =4时,y min =-1.所以函数y =f (log 2x ),x ∈[2,8]的最小值为-1. (3)f (x )=x 2-4x +3,x ∈[1,t ](t >1),定轴动区间问题,讨论区间端点t 与对称轴的相对位置. ①当1<t ≤2时,f (x )在[1,t ]上单调递减, 所以当x =t 时,f (x )有最小值t 2-4t +3;②当t >2时,f (x )在[1,2]上单调递减,在[2,t ]上单调递增, 所以当x =2时,f (x )有最小值-1,即此时g (t )=-1.综上,g (t )={t 2-4t +3,1<t ≤2,-1,t >2.3.C 作出函数y =log 2(x +1)的图象,如图所示.借助函数的图象求解不等式.在已有折线图中画出函数y =log 2(x +1)的图象,求出交点,以交点为分界点分析不等式的解集.结合图象得,BC 所在直线的解析式为y =-x +2,由{y =-x +2,y =log2(x +1),得{x =1,y =1, ∴不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1}.4.答案 8解析 依题意得lg a =8-a ,10b =8-b ,在同一平面直角坐标系内作出函数y =lg x ,y =10x ,y =8-x ,y =x 的图象,如图所示.由图可知,A ,B 的横坐标即为a ,b.由y =lg x 与y =10x 互为反函数知,交点A ,B 关于直线y =x 对称,故a +b =8.作出函数图象,把满足等式的a ,b 转化为函数图象交点的横坐标,结合互为反函数的图象的对称性分析坐标之间的关系. 5.答案 (96,99)解析 画出函数y =f (x )和y =t 的图象,如图所示.设a ,b ,c ,d 分别为y =f (x )的图象与直线y =t 交点的横坐标.画出函数y =f (x )与y =t 的图象,问题转化为有四个交点时,横坐标乘积的范围,结合图象利用函数的性质解决该问题.由图可知,|log 2a |=-log 2a =log 2b ,即a ·b =1,c+d 2=10,且8<c <9,所以abcd =cd =c (20-c ).令g (c )=c (20-c ),8<c <9,因为函数g (c )的图象开口向下,对称轴方程为c =10,所以g (c )在(8,9)上单调递增,g (8)<g (c )<g (9),所以g (c )∈(96,99),即abcd 的取值范围是(96,99). 6.C 因为f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,所以{a -2>0,a >1,a -2-1≤0,故2<a ≤3.所以a 的取值范围为(2,3].根据参数a 的不同,分析各段函数的单调性,根据整个函数的单调性,分析各段函数端点处函数值之间的关系. 7.B 由题知, f (x )=e |ln x |={x ,x ≥1,1x,0<x <1.按照自变量x 的不同取值范围把f (x )化为分段函数.由x ≥1时, f (x )=x 是增函数,0<x <1时,f (x )=1x 是减函数知,0<x 1<1≤x 2或0<x 2<1≤x 1. 分析分段函数的单调性,从而确定x 1,x 2分别在两个区间内. 当0<x 1<1≤x 2时, f (x 1)=1x 1, f (x 2)=x 2, ∴x 1x 2=1,∴x 2·f (x 1)=x 2x 1>1,x 1·f (x 2)=x 1·x 2=1,从而x 2 f (x 1)>x 1 f (x 2).此时A 成立. 当0<x 2<1≤x 1时, f (x 2)=1x 2, f (x 1)=x 1, ∴x 1x 2=1,∴x 2 f (x 1)=x 2·x 1=1,x 1·f (x 2)=x 1x 2>1, 从而x 2 f (x 1)<x 1 f (x 2).此时C 、D 成立. 因此无论何种情况,B 一定不成立,故选B . 8.答案 [0,+∞)解析 当x ≤1时,令f (x )≤2,即21-x ≤2,解得x ≥0,所以0≤x ≤1; 当x >1时,令f (x )≤2,即1-log 2x ≤2,解得x ≥12,所以x >1. 综上,x 的取值范围是[0,+∞). 9.答案 -2解析 由题意得,f (-1)=-f (1)=-f (2-1)=-f (2+1)=-f (3)=-[23-3+log 2(3-1)]=-(20+log 22)=-2.要想利用已知式求值,必须把自变量转化为区间(2,4)内的数. 10.答案94,+∞解析 f (x )≥3⇔1e x +a e x ≥3⇔a ≥3e x -1(e x )2.将含参的恒成立问题通过变形转化为有关参数的不等式问题.令t =1e x ,则t >0,则a ≥3t -t 2,①设g (t )=-t 2+3t =-t -322+94,t >0, 则当t =32时,g (t )max =94. 又不等式①恒成立,∴a ≥94, 把参数满足的不等式转化为函数最值问题.故a 的取值范围是94,+∞. 11.答案 1解析 已知3x =4y =36,取以6为底的对数,将指数式化为对数式,得x log 63=y log 64=2, 应用指数与对数关系将指数式转化为对数式.∴2x =log 63,2y=log 64, 即1y =log 62,故2x +1y=log 63+log 62=1. 12.C 由f (x )是定义在R 上的奇函数知, f (0)=20+0+b =0,解得b =-1, 应用定义在R 上的奇函数的性质:f (0)=0,求b. ∴f (-1)=-f (1)=-(21+2-1)=-3,故选C .13.解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,即-1+b2+a =0,解得b =1,所以f (x )=-2x +12x+1+a .由-f (x )=f (-x ),知--2x +12x+1+a =-2-x+12-x+1+a ,化简,得2x +1+a =2+a ·2x ,即(a -2)(2x -1)=0.由(a -2)(2x -1)=0对任意x ∈R 都成立,得a =2.故a =2,b =1.思维升华在处理函数奇偶性问题时,遇到定义域为R 的奇函数,应用性质f (0)=0,可以快速找到解决问题的突破口,使复杂的问题简单化.。
第2章函数与基本初等函数练习(苏教版必修1)
第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示基础自测1.与函数f(x)=|x|是相同函数的有 （写出一个你认为正确的即可）. 答案2x y =2.设M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .(填序号).答案 ②③3.若对应关系f:A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法正确的是 （填序号）. ①A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素②A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同③B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同④B 中的元素在A 中可能没有对应元素答案 ①③④4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x,y 的对应关系，则能表示y 是x 的函数的图象是 （填序号）.答案 ②③ 5.已知f （x 1）=x 2+5x,则f(x)= .答案 251xx +(x ≠0)例1给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x ;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2. ∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3.例2（1）求函数f(x)=229)2(1xx x g --的定义域；（2）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3<x <0或2<x <3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2.∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例3（14分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x ) (万元)， 销售量为1 000×(1+0.6x )(辆).故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x ), 5分 整理得y =-60x 2+20x +200 (0<x <1). 7分（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则y -(1.2-1)×1 000>0, 10分即-60x 2+20x +200-200>0,即3x 2-x <0. 12分解得0<x <31，适合0<x <1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0<x <31. 13分答 （1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0<x <1). （2）投入成本增加的比例x 的范围是(0,31). 14分例4 已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1),f(-1),f ［f(-1)］的值.解 （1）分别作出f (x )在x >0,x =0, x <0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lgx ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞).（2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17，∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7.（3）2f （x ）+f （x 1）=3x ， ① 把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1.2. 求下列函数的定义域： （1）y=2)3(log 2+-x x +(2x-3)0;(2)y=log (2x+1)(32-4x).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-021,251120120432x ，x x ，x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD=2a ，BC=a ，∠BAD=45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM=x,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解 作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH =2a ，AG =23a .（1） 当M 位于点H 的左侧时, N ∈AB ，由于AM =x ，∠BAD =45°. ∴MN =x . ∴y =S △AMN =21x 2（0≤x ≤2a ）.（2）当M 位于HG 之间时，由于AM =x ，∴MN =2a ，BN =x -2a.∴y =S 直角梯形AMNB=2·21a ［x +（x -2a ）］=21ax -).232(82a x a a ≤<（3）当M 位于点G 的右侧时，由于AM =x ，MN =MD =2a -x .∴y =S 梯形ABCD -S △MDN=).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+ 综上：y =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x=t(0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象（如下图所示）大致是 (填序号).答案④一、填空题1.设函数f 1(x)=x 21,f 2(x)=x -1,f 3(x)=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案007212.（2008·安徽文，13）函数f(x)=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案[)+∞,33.若f(x)=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f(-1)的值为 .答案 34.已知f(2211)11x x x x +-=+-，则f(x)的解析式为 .答案 f(x)=212x x +5.函数f(x)=xx -132 +lg(3x+1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R ),f(1)=2,则f(-3)= . 答案 67.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出x 1 2 3 f(x) 131则f ［g(1)］的值为 ，满足f ［g(x)］>g ［f(x)］的x 的值是 . 答案 1 2x1 2 3 g(x)3218.已知函数ϕ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数，且ϕ（31）=16, ϕ (1)=8,则 ϕ(x)= .答案 3x+x5二、解答题 9.求函数f(x)=21)|lg(|xx x --的定义域.解 由,110010||2⎩⎨⎧<<-<⎩⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1<x <0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a 、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x); （2）函数f(x) (x ∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 解 （1）依题意令a =b =x ,则f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ① 又2f (x )-f (-x )=lg(1+x ) ②两式联立消去f (-x )得3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ), ∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1<x <1).11.如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域.解 AB =2R ，C 、D 在⊙O 的半圆周上，设腰长AD =BC =x ，作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD ，那么∠ADB 是直角， 由此Rt △ADE ∽Rt △ABD.∴AD 2=AE ×AB ，即AE =Rx 22，∴CD =AB -2AE =2R -R x 2，所以y =2R +2x +（2R -Rx 2）,即y =-Rx 2+2x +4R.再由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->>0202022R x R R x x ,解得0<x <2R .所以y =-Rx 2+2x +4R ,定义域为（0，2R ）.12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=（100-500003)150)(500003----x x x ×50. 整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050.所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.§2.2函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则下列对f(x)=0的根说法不正确的是 （填序号）. ①有且只有一个 ②有2个 ③至多有一个 ④没有根答案 ①②2.已知f （x ）是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R 上的 函数（用“增”、“减”填空）. 答案 减3.若函数f(x)=x 2+(a 2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 .答案 ［1，3］4.（2009·徐州六县一区联考）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0，y>0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集为 . 答案 （0，2）5.已知函数f(x)=x 2-2x+3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 . 答案 ［1，2］例1 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a>1). 证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明 方法一 任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,12x x a ->1且a1x >0,∴a,0)1(12112>-=--x x x x x a a a 又∵x 1+1>0,x 2+1>0,∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0,于是f (x 2)-f (x 1)=a12x x a -+12121122+--+-x x x x >0,故函数f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f (x )=a x+1-13+x (a >1),求导数得f ′(x )=a xln a +2)1(3+x ,∵a >1,∴当x >-1时，a xln a >0,2)1(3+x >0,f ′(x )>0在（-1，+∞）上恒成立，则f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法三 ∵a >1,∴y =a x为增函数，又y =13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数.∴y =a x+12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数.例2 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.解 函数的定义域为{x |x ≤-1或x ≥1}, 则f (x )=12-x ,可分解成两个简单函数. f (x )=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u (x )为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x )为减函数，)(x u 为减函数，∴f (x )=12-x 在（-∞,-1］上为减函数.例3 求下列函数的最值与值域：（1）y=4-223x x -+;(2)y=2x-x 21-;(3)y=x+x4;(4)y=4)2(122+-++x x .解 （1）由3+2x -x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t =3+2x -x 2=4-(x -1)2.∴t ∈［0，4］，t∈［0，2］，从而，当x =1时，y min =2，当x =-1或x =3时，y max =4.故值域为［2，4］.（2） 方法一 令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∴y =1-t 2-t =-（t +)212+45.∵二次函数对称轴为t =-21,∴在［0，+∞）上y =-(t +)212+45是减函数， 故y max =-(0+)212+45=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二 ∵y =2x 与y=-x 21-均为定义域上的增函数，∴y =2x -x 21-是定义域为{x |x ≤21}上的增函数， 故y max =2×212121⨯--=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.(3)方法一 函数y =x +x4是定义域为{x |x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x >0时,即可知x <0时的最值.∴当x >0时,y =x +x4≥2x x 4⋅=4，等号当且仅当x =2时取得.当x <0时，y ≤-4,等号当且仅当x =-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二 任取x 1,x 2,且x 1<x 2, 因为f (x 1)-f (x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x --所以当x ≤-2或x ≥2时，f (x )递增,当-2<x <0或0<x <2时，f (x )递减. 故x =-2时，f (x )最大值=f (-2)=-4,x =2时，f (x )最小值=f (2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （4）将函数式变形为y =2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x ,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点. y min =|AB |=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min=13.显然无最大值.故值域为［13，+∞）.例4 (14分)函数f(x)对任意的a 、b ∈R ,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)<3. 解 （1）设x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2, 则x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)>1. 2分 f(x 2)-f(x 1)=f ((x 2-x 1)+x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1>0. 5分∴f （x 2）>f(x 1).即f (x )是R 上的增函数. 7分 （2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3， 10分∴原不等式可化为f(3m 2-m-2)<f(2),∵f(x)是R 上的增函数，∴3m 2-m-2<2, 12分 解得-1<m<34,故解集为（-1, 34）. 14分1.讨论函数f （x ）=x+xa（a>0）的单调性.解 方法一 显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x 1>x 2>0,则f (x 1)-f (x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)·（1-21x x a）.∴当0<x 2<x 1≤a 时，21x x a >1,则f （x 1）-f （x 2）<0，即f (x 1)<f (x 2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数.当x 1>x 2≥a 时，0<21x x a <1，则f （x 1）-f （x 2）>0,即f (x 1)>f (x 2),故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+∞）上为增函数；f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数.方法二 由f ′(x )=1-2x a =0可得x =±a当x >a 时或x <-a 时，f ′(x )>0，∴f （x ）分别在［a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数.同理0<x <a 或-a <x <0时，f ′(x )<0即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数.2.求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.解 由4x -x 2>0，得函数的定义域是（0，4）.令t =4x -x 2，则y = 21log t .∵t =4x -x 2=-（x -2）2+4，∴t =4x -x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y =21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y =21log （4x -x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).3.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x>0）台的收入函数为R （x ）=3 000x-20x 2(单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？解 （1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=（3 000x -20x 2）-（500x +4 000） =-20x 2+2 500x -4 000（x ∈［1，100］且x ∈N ）.MP （x ）=P （x +1）-P （x ）=-20（x +1）2+2 500（x +1）-4 000-（-20x 2+2 500x -4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）. （2）P （x ）=-20(x -)21252+74 125，当x =62或63时，P (x )max =74 120（元）.因为MP （x ）=2 480-40x 是减函数，所以当x =1时，MP (x )max =2 440(元）. 因此，利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）不具有相同的最大值. 4.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x>1时，f(x)<0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. 解 （1）令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1>x 2,则21x x >1,由于当x >1时，f (x )<0, 所以f )(21x x <0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f (21x x )=f (x 1)-f (x 2)得f ()39=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2.由于函数f (x )在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9),得|x |>9,∴x >9或x <-9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <-9}.一、填空题1.函数f(x)=ln(4+3x-x 2)的单调递减区间是 .答案 ［23，4） 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则下列对方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上根的分布情况的判断有误的是 （填序号）.①至少有一实根 ②至多有一实根 ③没有实根 ④必有惟一的实根 答案 ①②③3.函数y=lg(x 2+2x+m)的值域是R ,则m 的取值范围是 . 答案 m ≤14.函数f(x)(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g(x)=f(log a x) (0<a<1)的单调减区间是 . 答案 ［a ,1］5.已知f(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x x x ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 .答案 ［71，31） 6.若函数f (x )=(m -1)x 2+mx +3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 . 答案 ［0，+∞）7.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则m 的取值范围是 . 答案 (-)32,21 8.已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)为增函数，则函数g(x)=)(1x f 在其定义域内为减函数；③若f(x)与g(x)均为(a,b)上的增函数，则f(x)·g(x)也是区间（a,b ）上的增函数；④若f(x)与g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则)()(x g x f 在（a,b)上是递增函数.其中命题正确的是 （填序号） 答案 ① 二、解答题9.已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 解 根据题意，由f (3)=1,得f (9)=f (3)+f (3)=2. 又f (x )+f (x -8)=f ［x (x -8)］,故f ［x (x -8)］≤f (9).∵f （x ）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，解得8＜x ≤9.10.函数f(x)对任意的实数m 、n 有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时有f(x)>0. （1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f(1)=1,解不等式f ［log 2(x 2-x-2)］<2. （1）证明 设x 2>x 1,则x 2-x 1>0.∵f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)>0, ∴f (x 2)>f (x 1),f (x )在（-∞,+∞)上为增函数. （2）解 ∵f (1)=1,∴2=1+1=f (1)+f (1)=f (2). 又f ［log 2(x 2-x -2)］<2,∴f ［log 2(x 2-x -2)］<f (2).∴log 2(x 2-x -2)<2,于是⎪⎩⎪⎨⎧<-->--.060222x x x x ，∴⎩⎨⎧<<->-<,32,21x x x 或即-2<x <-1或2<x <3.∴原不等式的解集为{x |-2<x <-1或2<x <3}. 11.已知f(x)=ax x-(x ≠a).（1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增； （2）若a>0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a 的取值范围.（1）证明 任设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f(x 2)=.)2)(2()(22221212211++-=+-+x x x x x x x x∵(x 1+2）(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,∴f(x 1)<f(x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. （2）解 任设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=.))(()(21122211a x a x x x a a x x a x x ---=---∵a >0,x 2-x 1>0,∴要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立， ∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.12.已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-32.(1)判断并证明f(x)在R 上的单调性； （2）求f(x)在［-3，3］上的最值. 解 （1）f (x )在R 上是单调递减函数证明如下：令x =y =0,f (0)=0,令x =-y 可得：f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1<x 2,则x 2-x 1>0, ∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1).又∵x >0时，f (x )<0,∴f (x 2-x 1)<0,即f (x 2)<f (x 1).由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数. （2）∵f (x )在R 上是减函数， ∴f （x ）在［-3，3］上也是减函数.∴f （-3）最大，f (3)最小.f (3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1)=3×（-)32=-2.∴f (-3)=-f (3)=2.即f (x )在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.§2.3 函数的奇偶性基础自测1.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 .答案02.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为 . 答案03.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞,0）上单调递增，则f (a +1) f (b +2)(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空).答案＞4.已知f （x ）=122)12(+-+xx a 是奇函数，则实数a 的值为 . 答案15.函数f (x ),g (x )在区间［-a ，a ］ (a >0）上都是奇函数，则下列结论：①f (x )-g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；②f (x )+g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；③f (x )·g (x )在［-a ,a ］上是偶函数；④f (0)+ g (0)=0,则其中正确结论的个数是 . 答案 4例1判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=2211x x -⋅-;(2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R );(3)f(x)=lg|x-2|.解 （1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x =±1,即f (x )的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f (-1)=0,∴f (1)=f (-1),f (-1)=-f (1), 故f (x )既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f (x )的定义域为R ， 又∵f (-x )=log 2［-x +1)(2+-x ］=log2112++x x =-log 2(x +12+x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.方法二 易知f (x )的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x +1)(2+-x ］+log 2(x +12+x )=log 21=0,即f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数. （3）由|x -2|>0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x |x ≠2}关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数.例2已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数；（2）如果x ∈R +，f （x ）<0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），令y =-x,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0, ∴f (0)=f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.（2）解 方法一 设x ,y ∈R +，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （x +y ）-f （x ）=f （y ）.∵x ∈R +，f （x ）<0, ∴f (x +y )-f (x )<0,∴f (x +y )<f (x ).∵x +y >x ,∴f (x )在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0，∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f (6)为最小值. ∵f (1)=-21,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1, f(6)=2f (3)=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f (x )在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x 1<x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0.∴f (x 2)-f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21，∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f(x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 例3（16分）已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明 ∵f （x +2）=-f （x ），∴f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2分 ∴f （x ）是以4为周期的周期函数， 4分（2）解 当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x .∵f (x )是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x . 7分 故f (x )=21x (-1≤x ≤1) 8分又设1<x <3,则-1<x -2<1, ∴f (x -2)=21(x -2), 10分 又∵f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x ），∴-f （x ）=21（x -2）， ∴f （x ）=-21（x -2）（1<x <3）. 11分∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x 12分由f (x )=-21,解得x =-1.∵f （x ）是以4为周期的周期函数.∴f (x )=-21的所有x =4n -1 (n ∈Z ). 14分令0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）, ∴在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 16分1.判断下列各函数的奇偶性：（1）f （x ）=（x-2）xx -+22；（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ；（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x解 （1）由xx-+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-->-.02|2|0122x x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(x x x x --=----.∵f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f xx x x =--=---∴f （x ）为偶函数.（3）x <-1时，f （x ）=x +2，-x >1, ∴f （-x ）=-（-x ）+2=x +2=f （x ）. x >1时，f （x ）=-x +2，-x <-1，f (-x )=x +2=f (x ).-1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1， f （-x ）=0=f （x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）. 因此f （x ）是偶函数.2.已知函数y=f(x)的定义域为R ，且对任意a,b ∈R ,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，f(3)=-3. (1)证明：函数y=f(x)是R 上的减函数； （2）证明：函数y=f(x)是奇函数；（3）试求函数y=f(x)在［m,n ］（m,n ∈Z ）上的值域.（1）证明 设∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2,f (x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］=f (x 1)+f (x 2-x 1). ∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0.∴f (x 2)=f (x 1)+f (x 2-x 1)<f (x 1). 故f (x )是R 上的减函数.（2）证明 ∵f （a +b ）=f （a ）+f （b ）恒成立，∴可令a =-b =x ,则有f （x ）+f （-x ）=f （0），又令a =b =0,则有f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0.从而∀x ∈R ，f （x ）+f （-x ）=0，∴f （-x ）=-f （x ）.故y =f (x )是奇函数. （3）解 由于y =f (x )是R 上的单调递减函数，∴y =f （x ）在［m ，n ］上也是减函数，故f (x )在［m ，n ］上的最大值f (x )max =f (m ),最小值f (x )min =f (n ). 由于f (n )=f (1+(n -1))=f (1)+f (n -1)=…=nf (1),同理f (m )=mf (1). 又f (3)=3f (1)=-3,∴f (1)=-1,∴f (m )=-m ,f (n )=-n . ∴函数y =f (x )在［m ,n ］上的值域为［-n ,-m ］.3.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］都有f （x 1+x 2） =f （x 1）·f （x 2），且f(1)=a>0. （1）求f(21)及f(41) （2）证明：f （x ）是周期函数；（3）记a n =f(2n+)21n，求a n.（1）解 ∵对x 1、x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0， 都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2），∴f （x ）=f ()2()2()22xf x f x x ⋅=+≥0，x ∈［0，1］.∴f （1）=f (,)21()21()21()21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+f f ff (2)41()41()41()4141()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+=f f f f .∵f (1)=a ＞0, ∴f (.)41(,)214121a f a ==（2）证明 ∵y =f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴f （x ）=f （1+1-x ），即f （x ）=f （2-x ），x ∈R .又由f （x ）是偶函数知，f （-x ）=f （x ），x ∈R ，∴f （-x ）=f （2-x ），x ∈R .将上式中-x 用x 代换，得f （x ）=f （x +2），x ∈R . 这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （3）解 由（1）知f （x ）≥0，x ∈［0，1］. ∵f (⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⋅=n n nf nn f 21)1(21)21()21=f (=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅n n f n 21)1()21…=f (⋅⋅)21()21n f n …·f (.)21()21nn f n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=又f (.2121)21(,)21n a n f a =∴=∵f （x ）的一个周期是2，∴a n=f (2n +n 21)=f (n21),∴a n=a n 21.一、填空题1.f(x),g(x)是定义在R 上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的 条件.答案 充分不必要2.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a= . 答案 -13.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x-1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为 .答案 24.已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）. ①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x. 答案 ②④5.(2009·徐州六县一区联考)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-3，则f(-2)= .答案 -16.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则在R 上f(x)的表达式为 .答案 f(x)=x(|x|-2)7.已知函数f(x)=g(x)+2,x ∈［-3，3］，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M 、N ，则M+N= . 答案 48.f(x)、g(x)都是定义在R 上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)= . 答案 -b+4二、解答题9.已知f(x)是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证：f(x)是周期函数. (2)已知f(3)=2，求f(2 004).（1）证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x+2)=f []).1()()1()()()1(1)1(--=---=-+=++x f x f x f x f x f x f x∴f(x+3)=f [][]).(1)1(2)1(x f x f x -=-+-=++ ∴f(x+6)=f[]).()3(3)3(x f x f x =+-=++∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期. (2)解 f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.10.已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解 ∵f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x >0时，-x <0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f （x ）=x lg （2+x ）， 即f （x ）=-x lg （2+x ）（x >0）.∴f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f (x )=-x lg(2+|x |) (x ∈R ). 11.已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R . (1)试判断f(x)的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值. 解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1, f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数. （2）当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43, ∵a ≤21,故函数f (x )在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f (x )在（-∞，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43,∵a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+∞)上的最小值为f (a )=a 2+1.综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1.12.设函数f(x)在（-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0. （1）试判断函数y=f （x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论. 解 （1）由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(+=⇒-=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f从而知函数y =f (x )的周期为T =10.又f (3)=f (1)=0,而f (7)≠0,故f (-3)≠0. 故函数y =f （x )是非奇非偶函数. （2）由（1）知y =f (x )的周期为10.又f （3）=f (1)=0,f (11)=f (13)=f (-7)=f (-9)=0,故f (x )在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y =f (x )在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005， 0］上有400个解，所以函数y =f (x )在［-2 005，2 005］上有802个解.§2.4指数与指数函数基础自测 1.已知a<41,则化简42)14(-a 的结果是 .答案a 41-2.设指数函数f(x)=a x(a>0且a ≠1)，则下列等式正确的有 （填序号）. ①f(x+y)=f(x)·f(y) ②f((xy)n)=f n(x)·f n(y) ③f(x-y)=)()(y f x f ④f(nx)=f n(x) 答案 ①③④3.函数f(x)=a x-b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论不正确的有 （填序号）. ①a>1,b<0 ②a>1,b>0 ③0<a<1,b>0 ④0<a<1,b<0 答案①②③4.关于函数f(x)=2x-2-x(x ∈R )，有下列三个结论：①f(x)的值域为R ； ②f(x)是R 上的增函数；③对任意x ∈R ,有f(-x)+f(x)=0成立. 其中正确结论的序号是 .答案 ①②③ 5.已知集合M={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=-+Z x x N x ,4221|,1,11，则M N = . 答案 {}1-例1已知a=91,b=9.求： （1）;315383327a a a a⋅÷--（2）111)(---+ab b a .数学试卷及试题71 31(8 )1151解 （1）原式= a 2 3 . a 2 3 ÷［a 3 2 · a 3 2 ］7 1 (4 5 ) 1= a 6 2 3 2 =a 2 .1∵a= ，∴原式=3.9（2）方法一 化去负指数后解.a 1 b1 (ab) 11 a 11 babab 1a b. ∵a=1 ,b 9 9, ∴a+b= 82 . 9ab ab方法二 利用运算性质解.a 1 b1 (ab) 1a 1 a 1b1b 1 a 1b11 b 11 a 1 b a.∵a= 1 ,b 9, ∴a+b= 82 .99例 2 函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx)答案 ≤例 3 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：f(cx).(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空)（1）f(x)= 3 x2 5x 4 ;(2)g(x)=-( 1 ) x 4( 1 ) x 5 .42解 （1）依题意 x2-5x+4≥0,解得 x≥4 或 x≤1,∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令 u= x 2 5x 4 (x 5 )2 9 , ∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞）， 24∴u≥0，即 x2 5x 4 ≥0，而 f(x)= 3 x2 5x 4 ≥30=1,∴函数 f(x)的值域是［1，+∞）.∵u= (x 5 )2 9 ,∴当 x∈（-∞，1］时，u 是减函数， 24当 x∈［4，+∞）时，u 是增函数.而 3>1,∴由复合函数的单调性可知，f（x）= 3 x2 5x 4 在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.故 f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.（2）由 g(x)=-( 1)x 4(1)x 5 (1)2x 4(1)x 5,4222∴函数的定义域为 R，令 t=( 1 ) x (t>0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9, 2数学试卷及试题21数学试卷及试题∵t>0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立条件是 t=2,即 g(x)≤9,等号成立条件是( 1 ) x =2，即 x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］. 2由 g(t)=-(t-2)2+9 (t>0),而 t=( 1 ) x 是减函数，∴要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间， 2求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间.∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，由 0<t=( 1 ) x ≤2,可得 x≥-1, 由 t=( 1 ) x ≥2,可得 x≤-1.22∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，故 g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.ex例 4（14 分）设 a>0,f(x)=aa ex是 R 上的偶函数.（1）求 a 的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.（1）解 ∵f（x）是 R 上的偶函数，∴f（-x）=f（x），2分e x∴aa exex aa ex,∴（a-1 )(ex a1 ex)=0对一切x均成立，∴a- 1 =0，而 a>0,∴a=1. a（2）证明 在（0，+∞)上任取 x1、x2，且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= e x11+e x1- e x2-1 e x2= (ex2 e x1 )1(e x1 x2 1).e ∵x1<x2,∴ x1 e x2 , 有 ex2 ex1 0.4分 6分 8分10 分∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ e x1x2 >1,12 分1 e x1x2 -1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在（0,+∞）上是增函数.14 分1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）2(a 3b1)1 21a21b3;6 a b5数学试卷及试题22（2）51a3 b 2(3a1 2b1)2(4a 31 b3 ) 2.6解1 1 1 1a 3b2 a2b3（1）原式=15111 115 a 3 2 6 b2 3 6 a0 b0 1.a6b6（2）原式=-5a1 6b32 (4a 31 b3 ) 25a1 6b31 3 (a3b 2 )2451a23b 25441 ab35 ab 4ab2.2.已知实数 a、b 满足等式 ( 1 )a (1)b ，下列五个关系式： 23①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的有（填序号）.答案 ③④3.求下列函数的单调递增区间：（1）y=( 1 )6x2 x2 ;(2)y=2 x2 x6 . 2解 （1）函数的定义域为 R.令 u=6+x-2x2,则 y=( 1 )u . 2∵二次函数 u=6+x-2x2 的对称轴为 x= 1 , 4在区间［ 1 ，+∞）上，u=6+x-2x2 是减函数， 4又函数 y=( 1 ) u 是减函数， 2∴函数 y=( 1 )6x2x2 在［ 1 ，+∞）上是增函数.24故 y=( 1 )6x2x2 的单调递增区间为［ 1 ，+∞）.24（2）令 u=x2-x-6,则 y=2u,∵二次函数 u=x2-x-6 的对称轴是 x= 1 , 2在区间［ 1 ，+∞）上 u=x2-x-6 是增函数. 2又函数 y=2u 为增函数，∴函数 y=2 x2 x6 在区间［ 1 ，+∞）上是增函数. 2故函数 y=2 x2 x6 的单调递增区间是［ 1 ，+∞）. 2数学试卷及试题23数学试卷及试题数学试卷及试题2x4.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2，且当 x∈(0,1)时，f(x)=.4x 1（1）求 f（x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. （1）解 当 x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-2x 4x 12x 4x . 1由 f(0)=f(-0)=-f(0)，且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2) =-f(1),得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有 2x 4x1f（x）= 2x 4x 10x (0,1)x (1,0)x 1,0,1(2)证明当x∈(0,1)时，f(x)=42x x. 1设 0<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=2 x1 4x1 12 x2 4x2 1(2x2 (4 x12x1 )(2 x1x2 1) 1)(4x2 1),2 2 ∵0<x1<x2<1,∴2 x2 - x1 >0， x1x2 -1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),故 f(x)在（0，1）上单调递减.一、填空题1.21 2,(2)1,31 3的大小顺序为.3答案21 2313(2) 132.若 a<0,则 2a, ( 1 )a , (0.2)a 的大小顺序为.2答案 (0.2)a> ( 1 )a >2a 23.若函数 y=4x-3·2x+3 的定义域为集合 A，值域为［1，7］，集合 B=（-∞，0］∪［1，2］，则集合 A 与集合 B 的关系为.答案 A=B数学试卷及试题24数学试卷及试题4.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1-x 在区间［1，2］上都是减函数，则 a 的取值范围是.答案 （0，1］5.(2009·常州二中期中)当函数 f(x)=2-|x-1|-m 的图象与 x 轴有公共点时，实数 m 的取值范围是.答案 （0，1］6.当 x>0 时，函数 f(x)=(a2-1)x 的值总大于 1，则实数 a 的取值范围是.答案 a> 2 或 a<- 27.若函数 f(x)=ax-1 (a>0,a≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数 a 等于.答案 38.函数 y=ax（a>0,且 a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大 a ，则 a 的值是.213答案 或22二、解答题9.要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈（-∞，1］上 y>0 恒成立，求 a 的取值范围.1 2x解 由题意得 1+2x+4xa>0 在 x∈（-∞,1］上恒成立，即 a>-在 x∈（-∞，1］上恒成立.4x1 2x又∵-4x=-(1)2x 2(1)x 2(1 2)x12 2 1 4,∵x,1,∴(1)x 21 2, .令t=(1)x 2,则f(t)(t1)2 21 4,t1 2,. 1则 f(t)在［ ,+∞）上为减函数，2 f(t)≤f( 1 ) =-( 1 1 )2 1 3 ,2 22 4 4即f(t)∈ ,3 4 .3∵a>f(t),∴a∈（- ，+∞）.411310.已知函数 f(x)=( )x .2x 1 2（1）求 f(x)的定义域；（2）判断 f(x)的奇偶性；（3）证明：f(x)>0.（1）解 由 2x-1≠0 x≠0,∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).（2）解f(x)=(1 2x 11)x3 2可化为 f(x)= 2 x 1 x3 , 2 (2x 1)数学试卷及试题25。
数学1(必修)第二章 基本初等函数(1) [基础训练A组]
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数学1（必修）第二章 基本初等函数（1） [基础训练A 组] 一、选择题1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2x y = B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a ay xa 且 D ．x a a y log =2．下列函数中是奇函数的有几个（ ）①11x x a y a +=- ②2l g (1)33x y x -=+- ③x y x = ④1l o g 1ax y x +=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y x = D ．原点中心对称4．已知13x x-+=，则3322x x -+值为（ ）A .B .C .D . -5．函数y =的定义域是（ ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]36．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A . 60.70.70.7log 66<<B . 60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<<D . 60.70.7log 60.76<< 7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3xe D ．34xe +二、填空题1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
2．化简11410104848++的值等于__________。
3．计算：(log )log log 2222545415-++= 。
4．已知x y x y 224250+--+=，则log ()x xy 的值是_____________。
5．方程33131=++-xx的解是_____________。
6．函数1218x y -=的定义域是______；值域是______.7．判断函数2lg(y x x =的奇偶性 。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修1 第二章 基本初等函数(1)一、选择题:1.3334)21()21()2()2(---+-+----的值 （ ）A 437B 8C －24D －8 2.函数x y 24-=的定义域为 （ ） A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,13.下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是 （ ） A ||x y = B x y 2log = C 31x y = D xy 5.0=4.函数x x f 4log )(=与xx f 4)(=的图象 （ ）A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x y =对称5.已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 （ ）A 2-aB 25-aC 2)(3a a a +-D 132--a a6.已知10<<a ，0log log <<n m a a ，则 （ ）A m n <<1B n m <<1C 1<<n mD 1<<m n7.已知函数f (x )=2x ,则f (1—x )的图象为 （ ）A B C D8.有以下四个结论 ① l g(l g10)=0 ② l g(l n e )=0 ③若10=l g x ,则x=10 ④ 若e =ln x,则x =e 2, 其中正确的是 （ ） A. ① ③ B.② ④ C. ① ② D. ③ ④ 9.若y=log 56·log 67·log 78·log 89·log 910,则有 （ ）A. y ∈(0 , 1) B . y ∈(1 , 2 ) C. y ∈(2 , 3 ) D. y =1x y O x y O x y O x y O10.已知f (x )=|lgx |,则f (41)、f (31)、f (2) 大小关系为 （ ）A. f (2)> f (31)>f (41)B. f (41)>f (31)>f (2)C. f (2)> f (41)>f (31) D. f (31)>f (41)>f (2) 11.若f (x )是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且f （lg x ）>f (1),则x 的取值范围是（ ）A. (110，1) B. (0，110)(1，+∞) C. (110，10) D. (0，1)(10，+∞) 12.若a 、b 是任意实数，且a >b ,则 （ ）A. a 2>b 2B. a b <1C. ()lg a b - >0D.12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<12b⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题:13. 当x ∈[-1,1]时，函数f (x )=3x -2的值域为14.已知函数⎩⎨⎧<+≥=-),3)(1(),3(2)(x x f x x f x 则=)3(log 2f _________.15.已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是_________ 16．若定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞）上是增函数，且f （21）＝0，则不等式 f （l og 4x ）＞0的解集是______________．三、解答题:17.已知函数xy 2=（1）作出其图象；（2）由图象指出单调区间；（3）由图象指出当x 取何值时函数有最小值，最小值为多少？18. 已知f (x )=log a11x x+- (a >0, 且a ≠1） （1）求f (x )的定义域（2）求使 f (x )>0的x 的取值范围.19. 已知函数()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最大值比最小值大12，求a 的值。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.1第二课时对数的运算练习新人教A版必修1(2
2018-2019学年度高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.1 第二课时对数的运算练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年度高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.1 第二课时对数的运算练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二课时对数的运算【选题明细表】知识点、方法题号对数的运算性质1，6，8，10,11，13换底公式2,7附加条件的对数式求值3,4,5，9与对数有关的方程问题121.下列等式成立的是( C ）（A)log2(8—4）=log28-log24（B）=log2（C)log28=3log22(D）log2（8+4)=log28+log24解析：由对数的运算性质易知C正确。
2。
计算（log54）·(log1625)等于( B )(A)2 （B）1 (C)(D)解析:(log54）·(log1625)=×=×=1.故选B。
3。
设lg 2=a,lg 3=b,则log125等于（ A )（A）（B)（C)（D）解析：因为lg 2=a，lg 3=b,则log125==.故选A. 4。
如果lg 2=m,lg 3=n，则等于（ C )（A）（B)（C） (D)解析：因为lg 2=m，lg 3=n，所以===.故选C。
5。
若lg x=m,lg y=n,则lg -lg（)2的值为( D )（A)m-2n—2 （B)m-2n—1(C）m-2n+1 (D）m—2n+2解析：因为lg x=m，lg y=n，所以lg -lg(）2=lg x—2lg y+2=m-2n+2.故选D。
近年高考数学总复习第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第一课时)练习新人教A版必修
2019高考数学总复习第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2 对数函数及其性质（第一课时）同步练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学总复习第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2 对数函数及其性质（第一课时）同步练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
2。
2 对数函数及其性质（第一课时）一、选择题1．给出下列函数：①y ＝log x 2;②y ＝log 3(x －1）；③y ＝log (x ＋1）x ；④y ＝log πx . 其中是对数函数的有( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 A解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．2．已知函数f (x )＝1－x 1的定义域为M ，g (x ）＝ln （1＋x ）的定义域为N ,则M ∩N 等于（ ）A ．{x |x >－1｝B ．{x |x 〈1}C ．{x |－1〈x 〈1}D ．∅ 答案 C3．已知a 〉0,且a ≠1,函数y ＝a x与y ＝log a (－x ）的图象只能是下图中的（ ）答案 B解析 y ＝a x与y ＝log a (－x ）的单调性相反，排除A ，D.y ＝log a （－x ）的定义域为(－∞，0），排除C ，故选B 。
4．已知函数f （x )＝log a (x ＋2)，若图象过点（6，3),则f (2)的值为( ） A ．－2 B ．2 C.21D ．－21答案 B解析 代入 （6，3)，3＝log a （6＋2）＝log a 8，即a 3＝8,∴a ＝2。
学业水平考试复习系列(02)——必修1第2章《基本初等函数(Ⅰ)》
1 f
x
lg x ，求常数 a, b 的值。
20.( 本题满分 10 分)
已知 a 0, a 1 ，设
P ：函数 y log a x 1 在 x 0, 内单调递减； Q ：抛物线 y x2 2a 3 x 1与 x 轴交于不同的两点。
( Ⅰ) 如果 P 与 Q都正确，求 a 的取值范围； ( Ⅱ) 如果 P 与 Q有且只有一个正确，求 a 的取值范围。
1 2 的定义域为集合 N 。求： x1
17.( 本小题满分 8 分 )
计算：
①
②3 1 9
3
2 32 3
9
4
4
3
2。
0
32
18.( 本题满分 8 分)
求函数 f x ln ex 1
x
的定义域，并判断
2
f x 的奇偶性。
19.( 本题满分 8 分)
已知 f x
lg 2x ， f 1 0，且当 x 0 时，恒有 f x a bx
(3) 用定义判断函数 f x 的单调性。
考点 6 指数函数、对数函数、幂函数的图象及应用
指数函数和对数函数的图象，同学们还比较熟悉，而幂函数
y x 的图象情形复杂，随
求掌握 例6
1 1,2,3, , 1 这几种情形。
2
已知 a 0, a 1 ，则函数 y
a x 与 y log a
x 的图象有可能是 ( )
答： log a b
log c b logc a
n R。
a 0,且a 1; c 0且c 1; b 0 。
7. 无论 a 怎样变化，对数函数 y log a x 的图象都通过哪个定点？
答： 1,0 。
8. 无论 怎样变化，幂函数 y x 的图象都经过一个确定的点，请写出这个点的坐标。 答： 1,1
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【章节训练】第2章基本初等函数（Ⅰ）-1
一、选择题（共15小题）
1．（2014•浙江模拟）设x1，x2是函数f（x）=a x（a＞1）定义域内的两个变量，且x1＜x2，设．那
3.3 1.1
3．（2014•泸州二模）已知在同一坐标系下，指函数y=a x和y=b x的图象如图，则下列关系中正确的是（）
4．（2014•新疆一模）已知函数f（x）=4a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0上，m n
2
x﹣1
7．（2014•海口二模）已知命题p：函数y=a x+1的图象恒过定点（0，1）；命题q：若函数y=f（x）为偶函数，则函
x
9．（2014•芜湖模拟）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则“”是
x
10．（2014•张掖一模）设，则（）
11．（2014•莆田模拟）函数
y=的图象大致形状是（）
．C D．
12．（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）
．C
13．（2014•山东）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
C．15．（2014•信阳一模）函数y=的图象关于x轴对称的图象大致是（）
．
C D ．
二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值） 16．（2014•龙泉驿区模拟）计算：= _________ ．
17．（2014•广安一模）log 23•log 98= _________ ．
18．（2014•上海模拟）不等式1≤2x
≤8的解是 _________ ． 19．（2014•遂宁一模）lg2﹣lg +lg5﹣lg = _________ ．
20．（2014•衡阳模拟）函数y=（）x ，x ∈[0，1]的值域是 _________ ．
21．（2014•浙江模拟）已知函数f （x ）=2x ，则f （log 3）= _________ ．
22．（2014•上海二模）方程log 2x+
=1的解是 _________ ．
23．（2014•嘉定区三模）方程lg （x ﹣3）+lgx=1的解x= _________ ．
24．（
2014•嘉兴模拟）已知函数f （x ）=log 2，f （a ）=3，则a= _________ ．
25．（2014•温州一模）已知函数f （x ）=log 3x ，则= _________ ．
26．（2014•蚌埠三模）= _________ ．
27．（2014•泸州二模）函数y=的定义域为 _________ ．
28．（2014•安徽）（）
+log 3+log 3= _________ ．
29．（2014•蚌埠一模）若log a 2=m ，log a 3=n ，a 2m+n
= _________ ．
30．（2014•江苏模拟）若x
+x =3，则= _________ ．
【章节训练】第2章基本初等函数（Ⅰ）-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．（2014•浙江模拟）设x1，x2是函数f（x）=a x（a＞1）定义域内的两个变量，且x1＜x2，设．那
=
3.3 1.1
3．（2014•泸州二模）已知在同一坐标系下，指函数y=a x和y=b x的图象如图，则下列关系中正确的是（）
4．（2014•新疆一模）已知函数f（x）=4a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0上，m n
2
x﹣1
7．（2014•海口二模）已知命题p：函数y=a x+1的图象恒过定点（0，1）；命题q：若函数y=f（x）为偶函数，则函数y=f（x+1）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）
x
9．（2014•芜湖模拟）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则“”是
x
即
10．（2014•张掖一模）设，则（）
11．（2014•莆田模拟）函数y=的图象大致形状是（）
．C D．
，
12．（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）
．C
=
13．（2014•山东）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
C ．
两个选项，两式底数满足
15．（2014•信阳一模）函数y=的图象关于x 轴对称的图象大致是（ ）
．
C
D ．
=二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值） 16．（2014•龙泉驿区模拟）计算：
= ﹣45 ．
17．（2014•广安一模）log23•log98=．
=
故答案为：
18．（2014•上海模拟）不等式1≤2x≤8的解是[0，3]．
19．（2014•遂宁一模）lg2﹣lg+lg5﹣lg=0．
20．（2014•衡阳模拟）函数y=（）x，x∈[0，1]的值域是[，1]．
）
）
时，函数有最大值，最小值；
[，
[
21．（2014•浙江模拟）已知函数f（x）=2x，则f（log3）=．
log
log3=
log（
故答案为：
22．（2014•上海二模）方程log2x+=1的解是1．
23．（2014•嘉定区三模）方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=5．
，即
24．（2014•嘉兴模拟）已知函数f（x）=log2，f（a）=3，则a=﹣．
2，
2=8
，
故答案为
25．（2014•温州一模）已知函数f（x）=log3x，则=．
=．
故答案为：
26．（2014•蚌埠三模）=0．
﹣
=|1|×=
27．（2014•泸州二模）函数y=的定义域为（﹣∞，0]．
28．（2014•安徽）（）+log3+log3=．
）+log33
故答案为：
29．（2014•蚌埠一模）若log a2=m，log a3=n，a2m+n=12．
30．（2014•江苏模拟）若x+x=3，则=18．
x表示出来即可求值．
x+x+x x+x。