高考一轮复习_直线与圆的方程

第七章直线与圆的方程 §7.1 直线的方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则（ ）A .0°≤α＜180°B .0°≤α＜135°C . 0°＜α≤135°D . 0°＜α＜135°答案 D2.（2008²全国Ⅰ文）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A .30°B .45°C .60°D .120° 答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A .1B .4C .1或3D .1或4 答案 A4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为（ ）A .2x +y =0B .x -2y +5=0C .x -2y =0D .x +2y -5=0答案 A5.(2009²株州模拟)一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .答案 x +2y -2=0或2x +y+2=0例1 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.证明 方法一 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =k BC ， ∴A 、B 、C 三点共线.方法二 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴|AB |=25，|BC |=5，|AC |=35， ∴|AB |+|BC |=|AC |，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴AB =（2，4），BC =（1，2），∴AB =2BC . 又∵AB 与BC 有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线. 例2已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1).基础自测试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为34.例3 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+bya x ， ∵l 过点（3，2），∴123=+aa ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k2=2-3k ，解得k =-1或k =32,∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=32(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43. 又直线经过点A （-1，-3）， 因此所求直线方程为y +3=-43(x +1), 即3x +4y +15=0.例4 （12分）过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：（1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |²|PB |最小时l 的方程.解 方法一 设直线的方程为1=+b ya x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112=+ba .2分（1）∵2b a 12∙≤b a 12+=1，∴ab ≥8. ∴S △AOB =21ab ≥4.4分当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x +2y -4=0. 6分（2）由a 2+b1=1,得ab -a -2b =0,变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |²|PB |=22)01()2(-+-a ²22)1()02(b -+- =]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a .10分当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |²|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.12分方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫⎝⎛-k 12（1-2k ） =21³⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0.6分（2）|PA |²|PB |=22441)1(k k ++=84422++k k≥4, 当且仅当24k=4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.12分²1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a +b +c =0. 证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ，∴c a c a b a b a --=--3333，化简得a 2+ab +b 2=a 2+ac +c 2， ∴b 2-c 2+ab -ac =0，（b -c ）（a +b +c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b -c ≠0，∴a +b +c =0.2.（2009²宜昌调研）若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ）A .21B .33 C .23D .3答案 D3.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程.解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-52，此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-21， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=43. 于是tan2α=ααsin cos 1-=3153541=-, tan2α=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=31(x -8), 即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724(x -8), 即24x -7y -150=0.4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24b a ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1, 即2x +3y -12=0.方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3). 即2x +3y-12=0.一、选择题1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是（ ） A .[)π，0B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 答案 D2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则（ ）A .α一定是直线l 的倾斜角B .α一定不是直线l 的倾斜角C .α不一定是直线l 的倾斜角D .180°-α一定是直线l 的倾斜角 答案 C3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A .[)π，0B .⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，D .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ，22,4 答案 B4.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ） A .1B .2C .3D .4答案 B5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ） A .x +2y -6=0 B .2x +y -6=0 C .x -2y +7=0D .x -2y -7=0答案 B6.若点A （2，-3）是直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是 （ ）A .2x -3y +1=0B .3x -2y +1=0C .2x -3y -1=0D .3x -2y -1=0答案 A 二、填空题7.（2008²浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+28.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m . 由已知-1≤-37+m m≤2, 解得-32≤m ≤21. 10.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4，由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ²b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0. 11.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围.解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-，∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33，∴α∈⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ . 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上， 由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B By y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3), 则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k k y k k x A A ,由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k k y k k x B B .∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0， ∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32312≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.§7.2两直线的位置关系1.如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行，那么实数a 等于（ ） A .-3B .-6C .-23D .32 答案 B2.已知直线2x +y -2=0和mx -y +1=0的夹角为4π,那么m 的值为 （ ）A .-31或-3 B .31 C .-31或3D .31或-3 答案 C3.已知过点A （-2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x +y =1平行，则m 的值为（ ） A .0B .-8C .2D .10答案 B4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为 （ ）A .21B .-21 C .-2 D .2答案 C基础自测5.（2009²岳阳模拟）若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -32例1 已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a =-1,综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1³2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1³6≠0,∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1,故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. （2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立.当a ≠1时，l 1:y =-2ax -3, l 2:y =x a-11-(a +1),由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ²a-11=-1⇒a =32.方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a +2(a -1)=0⇒a =32.例2 求过两直线l 1:x +y +1=0,l 2:5x -y -1=0的交点，且与直线3x +2y +1=0的夹角为4π的直线方程.解 设所求直线方程为x +y +1+λ(5x -y -1)=0, 即(1+5λ)x +(1-λ)y +1-λ=0. 因为所求直线与直线3x +2y +1=0的夹角为4π, 所以tan 4π=.123·115123115=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫⎝⎛---+λλλλ 解得λ=-132. ∴所求直线方程为x +5y +5=0.又直线l 2:5x -y -1=0与直线3x +2y +1=0的夹角θ满足tan θ=.12351235=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴θ=4π，故直线l 2也是符合条件的一解. 综上所述，所求直线方程为 x +5y +5=0或5x -y -1=0.例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l 的斜率存在时， 则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1. 10分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.12分方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0, 两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ①6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25②联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.12分例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=∙--122110000x x y y x x yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x ,代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2³(y -1)+3, 整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y=0.1.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 当m=-5时，显然，l 1与l 2相交； 当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m+52，它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m+58. （1）由k 1≠k 2,得-43m +≠-m+52，m ≠-7且m ≠-1.∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交. （2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠-+-=+-m m mm584355243，m =-7.∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +²⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-313时，l 1与l 2垂直. 2.某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC =80（米），塔所在的山高OB =220（米），OA =200（米），图中所示的山坡可视为直线l ，且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α,tan α=21.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）？解 如图所示，建立平面直角坐标系，则A （200，0），B （0，220），C （0，300）. 直线l 的方程为y =(x -200)tan α,则y =2200-x . 设点P 的坐标为（x ,y ），则P （x , 2200-x ）(x ＞200). 由经过两点的直线的斜率公式 k PC =x x x x 28003002200-=--,k PB =xx x x 26402202200-=--.由直线PC 到直线PB 的角的公式得tan ∠BPC =xx x x x k k k k P CP B P CP B 2640·280012160·1--+=+-=2886401606464016028864-⨯+=⨯+-2xx x x x (x ＞200).要使tan ∠BPC 达到最大，只需x +x640160⨯-288达到最小，由均值不等式 x +x640160⨯-288≥2640160⨯-288, 当且仅当x =x640160⨯时上式取得等号. 故当x =320时，tan ∠BPC 最大. 这时，点P 的纵坐标y 为y =2200320-=60. 由此实际问题知0＜∠BPC ＜2π,所以tan ∠BPC 最大时，∠BPC 最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大.3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -21=0, ∴l 1与l 2的距离d =1057)1(2)21(22=-+--a , ∴521+a =1057,∴21+a =27, ∵a ＞0,∴a =3.(2)假设存在这样的P 点.设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，且53-C =52121+C ，即C =213或C =611，∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53200+-y x =52³2100-+y x ，即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意.联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-042021320000y x y x ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,300y x (舍去).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,042,061120000y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==18379100y x ∴假设成立，点P ⎪⎭⎫⎝⎛1837,91即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由⎩⎨⎧=+-=+-.0723,052y x y x得⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴反射点M 的坐标为（-1,2）.又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点）,（00y x P '，由P P '⊥l 可知, k PP ′=-32=500+x y . 而PP ′的中点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2500y x ,Q 点在l 上，∴3²250-x -2²20y+7=0. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.1332,131700y x 根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ), 则3200-=--x x y y , 又PP ′的中点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在l 上，∴3³20x x +-2³2y y ++7=0, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⨯-=--07)(23320000y y x x x x yy 可得P 点的坐标为x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ，代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、 选择题1.（2008²全国Ⅱ文）原点到直线x +2y -5=0的距离为（ ）A .1B .3C .2D .5答案 D2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（ ）A .2x -y -1=0B .x +y -5=0C .2x +y -7=0D .2y -x -4=0答案 B3.已知直线l 1的方向向量a =(1,3),直线l 2的方向向量b =(-1,k ),若直线l 2经过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为 （ ）A .x +3y -5=0B .x +3y -15=0C .x -3y +5=0D .x -3y +15=0答案 B4.已知三条直线l 1:y =3x -1,l 2:y =1,l 3:x +y +1=0,l 1与l 2的夹角为α,l 2与l 3的夹角为β，则α+β的值为（ ） A .75° B .105° C .165°D .195° 答案 B5.曲线f （x ，y ）=0关于直线x -y -2=0对称的曲线方程是（ ）A .f (y +2,x )=0B .f (x -2,y )=0C .f (y +2,x -2)=0D .f (y -2,x +2)=0答案 C6.设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B ，∠C 的平分线方程分别为x =0，y =x ，则直线BC 的方程是（ ）A .y =2x +5B .y =2x +3C .y =3x +5D .y =-21x +25答案 A 二、填空题7.设直线l 经过点A （-1，1），则当点B （2，-1）与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为 . 答案 3x -2y +5=08.直线2x +3y -6=0关于点M （1，-1）对称的直线方程是 . 答案 2x +3y +8=0 三、解答题9.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得： （1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合.解（1）由已知1³3≠m (m -2), 即m 2-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当1²（m -2）+m ²3=0， 即m =21时，l 1⊥l 2. （3）当21-m =3m ≠m 26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当21-m =3m =m26， 即m =3时，l 1与l 2重合.10.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0， ∴k AB ²k BC =0≠-1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴xy 3-=0，即y =3. 此时AB 与CD 不平行. 故所求点D 的坐标为（3，3）. （2）若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x y 3-，k CD =3-x y. 由于AD ⊥AB ，∴xy 3-²3=-1. 又AB ∥CD ，∴3-x y=3. 解上述两式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,59,518y x此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛59,518,综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭⎫⎝⎛59,518.11.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度.解 （1）设点),(y x Q '''为Q 关于直线l 的对称点且Q Q '交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴Q Q '所在直线方程为y -1=1²（x -1） 即x -y =0.由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--21,21.又∵M 为QQ ′的中点， 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+21212121''yx .解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.2,2''y x ∴Q '（-2，-2）.设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q '共线. 则P （2，3），Q '（-2，-2），得入射线方程为222232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |=||'NQ . ∴|PN |+|NQ |=|PN |+|NQ ′|=||'PQ =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.12.已知直线l 经过两条直线l 1:x +2y =0与l 2:3x -4y -10=0的交点，且与直线l 3:5x -2y +3=0的夹角为4π,求直线l 的方程.解 由,0104302⎩⎨⎧=--=+y x y x解得l 1和l 2的交点坐标为（2，-1）. 设所求直线l 的方程为y +1=k (x -2). 又253=l k ,由l 与l 3的夹角为4π 得tan4π=,·133ll k k k k +-, 即1=371255225125-=⇒±=+-⇒+-k k k k k 或k =73. 故所求的直线l 的方程为 y +1=-37(x -2)或y +1=73(x -2),即7x +3y -11=0或3x -7y-13=0.§7.3 简单的线性规划基础自测1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x y x2.（2008²天津理，2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-，y x ，y x ，y x 1210则目标函数z =5x +y 的最大值为（ ）A .2B .3C .4D .5答案 D3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x +y +m =0的两侧，则m 的取值范围是（ ）A .m <-5或m ＞10B .m =-5或m =10C .-5＜m ＜10D .-5≤m ≤10答案 C4.（2008²北京理，5）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则z =3x +2y的最小值是（ ）A .0B .1C .3D .9答案 B5.（2008²福建理，8）若实数x 、y 满足,001⎩⎨⎧>≤+-x y x 则x y的取值范围是（ ）A .（0，1）B .（0，1］C .（1，+∞）D .［1，+∞）答案 C例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x ,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合.x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合, x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.所以,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x .表示的平面区域如图所示. 结合图中可行域得x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈325，,y ∈［-3,8］.(2)由图形及不等式组知 ⎩⎨⎧∈≤≤-+≤≤-Z,325x x x y x 且 当x =3时,-3≤y ≤8,有12个整点; 当x =2时,-2≤y ≤7,有10个整点; 当x =1时,-1≤y ≤6,有8个整点; 当x =0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x =-1时,1≤y ≤4,有4个整点; 当x =-2时,2≤y ≤3,有2个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).例2 （2008²湖南理，3）已知变量x 、y 满足条件,09201⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥y x y x x 则x +y 的最大值是（ ）A .2B .5C .6D .8答案 C例3 （12分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品 1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元， 1分则线性约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+1515,3001032005430049y x y x y x y x4分目标函数为z =7x +12y , 6分 作出可行域如图，8分作出一组平行直线7x +12y =t ,当直线经过直线4x +5y =200和直线3x +10y =300的交点A （20，24）时，利润最大.10分 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max =7³20+12³24=428（万元）. 答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.12分1.（2008²浙江理，17）若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,00y x y x 时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于 . 答案 12.（2008²全国Ⅰ理，13）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30,030x y x y x 则z =2x -y 的最大值为 .答案 93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？ 解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p =15x +20y .其中x ,y 满足限制条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≤+≤+**N ,0N ,030012000884y y x x y x y x . 即点（x ,y ）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x +8y =8 000 (即AB )，2x +y =1 300(即BC )，x =0(即OA )和y =0(即OC ）.对于某一个确定的p =0p 满足0p =15x +20y ,且点（x ,y )属于 解x ,y 就是一个能获得0p 元利润的生产方案. 对于不同的p ,p =15x +20y 表示一组斜率为-43的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p 的最大值，需把直线p =15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+30012000884y x y x ,得B （200，900）， 当x =200,y =900时，p 取最大值， 即p max =15³200+20³900=21 000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.一、选择题1.（2008²全国Ⅱ理，5）设变量x ,y 满足约束条件:,222⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥x y x x y 则z =x -3y 的最小值为（ ）A .-2B .-4C .-6D .-8答案 D2.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A .a ≥34 B .0＜a ≤1C .1≤a ≤34 D .0＜a ≤1或a ≥34 答案 D3.已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z =x +my 取得最小值，则m 等于（ ）A .-2B .-1C .1D .4答案 C4.（2008²山东理，12）设二元一次不等式组,0142080192⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+y x y x y x 所表示的平面区域为M ,使函数y =a x（a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A .［1,3］B .［2,10］C .［2,9］D .［10,9］答案 C5.（2009²武汉模拟）如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-1,02553034x y x y x 目标函数z =kx +y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为 （ ）A .2B .-2C .51D .不存在答案 A6.（2007²江苏，10）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={(x ,y )|x +y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ={(x +y ,x -y )|(x ,y )∈A }的面积为 （ ）A .2B .1C .21D .41 答案 B 二、填空题7.（2008²安徽理，15）若A 为不等式组,200⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤x y y x ，表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为 . 答案47 8.设集合A ={(x ,y )|y ≥|x -2|,x ≥0},B ={(x ,y )|y ≤-x +b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是 ；（2）若(x ,y )∈A ∩B ,且x +2y 的最大值为9,则b 的值是 . 答案 （1）［2,+∞) （2）29三、解答题9.已知实数x 、y 满足,033042022⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+y x y x y x ，试求z =11++x y 的最大值和最小值.解 由于z =11++x y =)1()1(----x y ， 所以z 的几何意义是点（x ,y ）与点M （-1，-1）连线的斜率，因此11++x y 的最值就是点（x ，y ）与点 M （-1，-1）连线的斜率的最值，结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max =k MB =3，此时x =0，y =2； z min =k MC =21，此时x =1，y =0.10.已知变量x ,y 满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01.033032y y x y x 若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a 的取值范围.解 依据约束条件，画出可行域. ∵直线x +2y -3=0的斜率k 1=-21,目标函数z =ax +y (a ＞0)对应直线的斜率k 2=-a ,若符合题意，则须k 1＞k 2,即-21＞-a ,得a ＞21. 11.两种大小不同的钢板可按下表截成A ,B ,C 三种规格成品:某建筑工地需A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张，z =x +y , 约束条件为：.Z,0Z ,027*******⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+y y x x y x y x y x作出可行域如图所示：令z =0，作出基准直线l :y =-x ,平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x +3y =27和直线2x +y =15的交点A ⎪⎭⎫⎝⎛539518，可使z 取最小，由于539518，都不是整数，而最优解（x ,y ）中，x ,y 必须都是整数，可行域内点A ⎪⎭⎫⎝⎛539518，不是最优解； 通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A ⎪⎭⎫⎝⎛539518，点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C （4，8），它们都是最优解.答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种： 第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张； 两种方法都最少要截两种钢板共12张. 12.在R 上可导的函数f (x )=31x 3+21ax 2+2bx +c ,当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取得极小值,求点(a ,b )对应的区域的面积以及12--a b 的取值范围. 解 函数f (x )的导数为f ′(x )=x 2+ax +2b ,当x ∈(0,1)时,f (x )取得极大值,当x ∈(1,2)时,f (x )取得极小值,则方程x 2+ax +2b =0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f ′(x )=x 2+ax +2b 的图象与方程x 2+ax +2b =0根的分布之间的关系可以得到⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>'<'>'02,01200)2(0)1(0)0(b a b a b f f f在aOb 平面内作出满足约束条件的点(a ,b )对应的区域为△ABD (不包括边界), 如图阴影部分,其中点A (-3,1),B (-1,0),D (-2,0), △ABD 的面积为 S △ABD =21|BD |³h =21(h 为点A 到a 轴的距离). 点C (1,2)与点(a ,b )连线的斜率为12--a b ,显然12--a b ∈(k CA ,k CB ), 即12--a b .1,41⎪⎭⎫⎝⎛∈ §7.4 曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程F (x ，y )=0的点都在曲线C 上，那么（ ）A .曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0B .凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在C 上C .不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0D .不在C 上的点的坐标必不适合F （x ，y ）=0 答案 D2.到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ）A .椭圆B .AB 所在的直线C .线段ABD .无轨迹答案 C3.动点P 到两坐标轴的距离之和等于2，则点P 的轨迹所围成的图形面积是（ ） A .2B .4C .8D .不存在答案 C4.（2008²北京理，4）若点P 到直线x =-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A .圆 B .椭圆 C .双曲线D .抛物线答案 D5.已知直线l 的方程是f （x ，y ）=0，点M （x 0，y 0）不在l 上，则方程f （x ，y ）-f （x 0，y 0）=0表示的曲线是（ ）A .直线lB .与l 垂直的一条直线C .与l 平行的一条直线D .与l 平行的两条直线答案 C例1 如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程.解 设点M 的坐标为（x ,y ）,∵M 是线段AB 的中点，∴A 点的坐标为（2x ,0），B 点的坐标为（0，2y ）. ∴PA =（2x -2，-4），PB =（-2，2y -4）. 由已知²PB =0，∴-2（2x -2）-4（2y -4）=0，即x +2y -5=0.∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x +2y -5=0.例2（5分）在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a ,C ⎪⎭⎫⎝⎛0,2a 且满足条件sin C -sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程是 （ ）A .2222151616a y a x -=1 (y ≠0)B .222231616a x a y -=1 (x ≠0)C .2222151616a y a x -=1（y ≠0）的左支D .222231616a y a x -=1（y ≠0)的右支 答案 D例3 如图所示，已知P （4，0）是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点， 且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解 设AB 的中点为R ，坐标为（x 1，y 1），Q 点坐标为（x ，y ）， 则在Rt △ABP 中， |AR |=|PR |，又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理有 Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-（2121y x +）. 又|AR |=|PR |=2121)4(y x +-， 所以有（x 1-4）2+21y =36-（2121y x +）. 即2121y x +-4x 1-10=0. 因为R 为PQ 的中点， 所以x 1=24+x ，y 1=2+y . 代入方程2121y x +-4x 1-10=0，得 422422-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ²24+x -10=0. 整理得x 2+y 2=56. 这就是Q 点的轨迹方程.1.已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|||MP |+ ²NP =0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程.解 由题意：=（4，0），MP =（x +2,y ）, NP =（x -2,y ）,∵|MN ||MP |+MN ²NP =0，∴2204+²22)2(y x +++（x -2）²4+y ²0=0， 两边平方，化简得y 2=-8x .2.已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：（x -3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得 |MC 1|-|AC 1|=|MA |， |MC 2|-|BC 2|=|MB |. 因为|MA |=|MB |，所以|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小），这里a =1,c =3,则b 2=8,设点M 的坐标为（x ,y ）,其轨迹方程为x 2-82y =1 (x ≤-1). 3.（2009²宜昌模拟）设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且=2MP ，PM ⊥PF ，当点P在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解 设M （x 0，0），P （0，y 0），N （x ，y ）， 由=2MP 得（x -x 0，y ）=2（-x 0，y 0）， ∴,22000⎩⎨⎧=-=-y y x x x 即.2100⎪⎩⎪⎨⎧=-=y y xx∵PM ⊥PF ,PM =(x 0,-y 0), PF =(1,-y 0), ∴(x 0,-y 0)²（1，-y 0）=0,∴x 0+20y =0.∴-x +42y =0,即y 2=4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2=4x .一、选择题1.方程x 2+y 2=1 (xy ＜0)的曲线形状是（ ）答案 C2.已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA |=2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A .πB .4πC .8πD .9π答案 B3.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC =2CB ，则点C 的轨迹是（ ） A .线段B .圆C .椭圆D .双曲线答案 C4.平面直角坐标系中，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OC =λ1+λ2（O 为原点），其中λ1，λ2∈R ，且λ1+λ2=1，则点C 的轨迹是 （ ） A .直线B .椭圆C .圆D .双曲线答案 A5.（2008²成都质检）F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从任一焦点向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹为 （ ）A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线答案 A6.（2008²潍坊模拟）一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把 纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨 迹为（ ） A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .圆答案 A 二、填空题7.已知△ABC 的顶点B （0，0），C （5，0），AB 边上的中线长|CD |=3，则顶点A 的轨迹方程为 . 答案 (x -10)2+y 2=36 (y ≠0) 8.平面上有三点A （-2，y ），B （0，2y），C （x ，y ），若⊥，则动点C 的轨迹方程为 . 答案 y 2=8x 三、解答题9.如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的 直线CB 与y 轴交于点B .设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程. 解 方法一（参数法）：设M 的坐标为（x ,y ）. 若直线CA 与x 轴垂直，则可得到M 的坐标为（1，1）.若直线CA 不与x 轴垂直，设直线CA 的斜率为k ，则直线CB 的斜率为-k1，故直线CA 方程为：y =k (x -2)+2, 令y =0得x =2-k 2,则A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22k .CB 的方程为：y =-k 1(x -2)+2,令x =0,得y =2+k2， 则B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+k 22,0，由中点坐标公式得M 点的坐标为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=-=+-=k k y kk x 112022112022 ① 消去参数k 得到x +y -2=0 (x ≠1), 点M （1，1）在直线x +y -2=0上， 综上所述，所求轨迹方程为x +y -2=0.方法二 （直接法）设M （x ，y ），依题意A 点坐标为（2x ,0）,B 点坐标为（0，2y ）. ∵|MA |=|MC |，∴,)2()2(）2（2222-+-=+-y x y x x 化简得x +y -2=0. 方法三 （定义法）依题意|MA |=|MC |=|MO |,即:|MC |=|MO |,所以动点M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到：x +y -2=0.10.如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB |=2a （a ＞0）,|CD |=2b (b ＞0)，动点P 满足|PA |²|PB |=|PC |²|PD |.求动点P 的轨迹方程.解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系， 则A （-a ，0），B （a ，0），C （0，-b ），D （0，b ）, 设P （x ，y ），由题意知|PA |²|PB |=|PC |²|PD |，∴22）（y a x ++²22）（y a x +- =22）（b y x ++²22）（b y x -+, 化简得x 2-y 2=222b a -.故动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222b a -.11.已知两条直线l 1:2x -3y +2=0和l 2:3x -2y +3=0，有一动圆（圆心和半径都动）与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程.解 设动圆的圆心为M (x ,y ),半径为r ,点M 到直线l 1,l 2的距离分别为d 1和d 2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-,242,262222212d r d r 即⎩⎨⎧=-=-,144,169222212d r d r 消去r 得动点M 满足的几何关系为2122d d -=25, 即13)232(13)323(22+--+-y x y x =25. 化简得（x +1）2-y 2=65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程.12.已知椭圆9222y x +=1上任意一点P ，由P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在线段PQ 上，且PM =2，点M 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）若过定点F （0，2）的直线l 交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点F ，H 之间），且满足=2，求直线l 的方程.解 （1）设M （x ,y ）,P (x 0,y 0),∵=2，∴,300⎩⎨⎧==y y xx将其代入椭圆方程得922020y x +=1 得曲线E 的方程为：22x +y 2=1.(2)设G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2）， ∵FH =2FG ，∴x 2=2x 1①依题意，当直线l 斜率不存在时，G （0，1），H （0，-1），不满足FH =2.故设直线l :y =kx +2,代入曲线E 的方程并整理得（1+2k 2）x 2+8kx +6=0,（*）。