人教B版高中数学必修五课件3.2均值不等式练习题(一)

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人教B版高中数学必修五课件3.2均值不等式练习题(一)

（A）10
（B）6 3
（C）4 6 （D）18 3
10．已知x>1，y>1，且lgx+lgy=4，那么
lgx·lgy的最大值是（ D ）
（A）2 （C）1
4
（B） 1 2
（D）4
11．已知函数y=2+3x2+27 ，当x=时 ,函3 数
x2
有最值是。小
20
12．若x>3，函数y x 1 ，当x=时4 ,函数
（A）x，y均为正数，则 x y ≥ 2
yx
（B）a为正数，则 (a 2)(a 1)≥ 4
2a a
（C）lgx+logx10≥2，其中x>1 （D） x2 2 ≥ 2
x2 1
3．若a>b>0，则下列不等式正确的是（ C ）
（A） 2ab a b ab
ab 2
（B） a b 2ab ab
x3
有最值是. 小
5
13．若x>0，y>0，且x+y=1，当x=, y12=时，
xy的最12 大值是。
1 4
14．求证： 4 a ≥ 7 .(a>3)
a3
4 a 4 +(a 3) 3≥ 4 3 7 a3 a3
15．已知函数的解析式 y 4 9x （1）若x>0，当x=时23，函数有x 最值为小；
5．设a，b，c是区间(0，1)内三个互不相等
的实数，且满足 p

logc
a
2
logc
b，q

logc
a
2
b,
，r 则12 lopg，c aq2，b r的大小关系是（）

人教新课标版数学高二-人教B版必修5练习 3.2 均值不等式(一)

§3.2 均值不等式(一)一、基础过关1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．52．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2ab D.b a ＋ab ≥23．已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是() A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n4．设0<a <125．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是 () A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2ab D.2aba ＋b >ab6．若a <1，则a ＋1a －1有最______(填“大”或“小”)值，为________．7．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．8．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋cab ＋abc ≥a ＋b ＋c .二、能力提升9．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为() A ．2 B.32 C ．1 D.1210．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.12．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .三、探究与拓展13．已知a>b>0，求证：a2＋16b(a－b)≥16.答案1．C 2.D 3.A 4.C 5．D6．大－1 7.28．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 9．C 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞11．证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y＝(x －y )2＋2x －y＝(x －y )＋2x －y ≥2(x －y )·2x －y＝2 2. 当且仅当⎩⎨⎧ x －y ＝2x －y xy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋22y ＝6－22时取等号． 12．证明 ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc＝2a ，1c ＋1a ≥21ac ＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 13．证明 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴a 2＋16b (a －b )＝2＋16b (a －b )≥2＋16b (a －b )＝4(a －b )b ＋16b (a －b )≥4×2(a －b )b ×4b (a －b )＝16. 取“＝”时当且仅当：a －b ＝b >0且(a －b )b ＝4b (a －b )>0，即当a ＝22且b ＝2时“＝”成立．。

高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式同步练习新人教B版必修5

3.2 均值不等式1．若a>b>0，则下列不等式成立的是( ) A ．a>b>a ＋b 2>ab B ．a>a ＋b2>ab>bC ．a>a ＋b 2>b>abD ．a>ab>a ＋b2>b2．函数y ＝x(1－3x)(0<x<13)的最大值是( )A.4243 B.112 C.164 D.1723．已知x 、y∈R＋，且x ＋4y ＝1，则x·y 的最大值为__________． 4．求证：24m ＋6m ≥24(m>0)．答案：1．B2．B ∵0<x<13，∴0<1－3x<1.∴y ＝x(1－3x)＝13×3x(1－3x)≤13·(3x ＋1－3x 2)2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时取等号．3.116 因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12时取等号．所以x ·y 的最大值为116.4．证明：∵m>0，由基本不等式，得24m ＋6m≥224m ·6m＝2144＝24，当且仅当24m ＝6m ，即m ＝12时取等号．课堂巩固1．已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3 D ．2432．某工厂产品第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x≤a ＋b 2C ．x>a ＋b 2D ．x≥a ＋b 23．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________． (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．4．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________． 5．已知x>2，求y ＝x ＋1x －2的最小值．6．已知a>0，b>0，求证：(a ＋1a )(b ＋1b)≥4.答案：1．B ∵a ＋b ＝2，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 2．B 设平均增长率为x ，则第三年产量为A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，即(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．又(1＋a)(1＋b)≤(1＋a ＋1＋b2)2，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2，即x ≤a ＋b2.3.(1)215 (2)2254 (1)x ＋y ≥2xy ＝215；(2)xy ≤(x ＋y 2)2＝2254.4．[9，＋∞) ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9.5．解：∵x>2，∴x －2>0. y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4.6．证明：因为a>0，b>0，由基本不等式，可知 a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号；b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取等号．因为上述两个不等式的两边均为正数，由不等式的性质，得(a ＋1a )(b ＋1b )≥4.1．已知x 、y>0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 1．答案：C 原式＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y ＝3＋y x ＋xy≥3＋2＝5.2．(天津高考，理6)设a>0，b>0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.142．答案：B 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a>0，b>0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.3．点P(x ，y)是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )A ．最大值8B ．最小值8C ．最小值6D ．最大值6 3．答案：C ∵点P(x ，y)在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥23x ·33y ＝23x ＋3y ＝232＝6. ∴代数式3x ＋27y 有最小值6.4．若直线ax ＋by ＋1＝0(a ，b>0)过圆x2＋y2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b 的最小值为( )A ．8B ．12C ．16D ．20 4．答案：C ∵圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1. ∴1a ＋4b ＝4a ＋b a ＋4(4a ＋b)b ＝8＋b a ＋16a b ≥8＋2b a ×16ab＝16. (当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝16a b，4a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝12时“＝”成立)5．设点(m ，n)在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m ＋log2n 的最大值是________．5．答案：－2 由题意可知m>0，n>0，m ＋n ＝1， ∴log2m ＋log2n ＝log2mn ≤log2(m ＋n2)2＝log214＝－2，当且仅当m ＝n ＝12时取“＝”．6．设x>0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是________．6．答案：3－2 3 ∵x>0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23(当且仅当x ＝33时，等号成立)．∴－(3x ＋1x )≤－2 3.∴3－3x －1x ≤3－23，即函数y ＝3－3x －1x的最大值是3－2 3.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处． 7．答案：5 由已知得y1＝20x，y2＝0.8x(x 为仓库与车站的距离)，费用之和y ＝y1＋y2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8，当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时“＝”成立．8.求f(x)＝2＋log2x ＋5log2x 的最值(0<x<1)．8．答案：解：∵0<x<1，∴log2x<0. ∴(－log2x)＋(－5log2x)≥2·(－log2x)·(－5log2x)＝2 5.∴f(x)＝2－[(－log2x)＋(－5log2x )]≤2－25，当且仅当－log2x ＝－5log2x ，即log2x ＝－5时，等号成立．∴f(x)max ＝2－25，不存在最小值．9．求函数f(x)＝－2x2＋x －3x (x>0)的最大值，及此时x 的值．9．答案：解：f(x)＝1－(2x ＋3x )．因为x>0，所以2x ＋3x ≥26，即－(2x ＋3x )≤－2 6.因此f(x)≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x2＝32时，式中等号成立．由于x>0，因此x ＝62时，式中等号成立．因此f(x)max ＝1－26，此时x ＝62.10．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元(50≤x≤80)时，每天销售的件数为p ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？10．答案：解法一：利润＝销售件数×(销售价格－进货价格)．如何把目标函数整理成能使用基本不等式的形式是正确解题的关键．由题意，知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2＝(x －50)·105(x －50)2＋20(x －50)＋100＝105(x －50)＋100(x －50)＋20.∵x －50≥0，∴(x －50)＋100(x －50)≥20.∴S ≤10520＋20＝2 500，当且仅当(x －50)＝100(x －50)，即x ＝60或x ＝40(不合题意，舍去)时取等号．解法二：在基本不等式a ＋b 2≥ab 中，若a 、b 的形式比较复杂，也可采用换元法求最值．由题意知利润S ＝(x －50)·105(x －40)2.令x －50＝t ，x ＝t ＋50(t ≥0)，则S ＝105t (t ＋10)2＝105tt2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500，当且仅当t ＝100t ，即t ＝10时取等号，此时x ＝60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多．。

人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式

3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为；几何平均数为．2.均值不等式是。

其中前者是，后者是．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （）（2）2b a （）（3）a b ＋ba （）（4）ab≤ （）（5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。

问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（）（2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（）（4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为；此时x 的值是。

新人教b版高中数学必修五3.2《均值不等式》练习课件最新

1: 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
a b 2ab(a, b R)
2 2
ab ab ( a, b R ) 2
P71 练习A组；P72练习B
基本不等式的几何解释：
D
A
a
C
b
B
E
半弦CD不大于半径
定理：（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：
一时， x 的最小值为 x 1 时x= 。
2、(04重庆）已知 2 x 3 y 2( x 0, y 则x y 的最大值是
1 6
0)
。
思考：当x<0时表达式又有何最值呢？
3.2基本不等式
：
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
（ 2）
ab
ab 2
称为正数a、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？结论1：两个正数积为定值，则和有最小值

人教新课标版数学高二-B版必修5课下作业 3.2 均值不等式

第3章 3.2节(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每题5分，共20分)1．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.120B.15C.12D ．2【解析】由已知得lg(xy )＝2，∴xy ＝100，且x >0，y >0， ∴1x ＋1y≥21xy ＝15，当且仅当x ＝y ＝10时取等号．【答案】 B2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1【解析】 ∵y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．【答案】 C3．已知5x ＋3y ＝1(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值是( )A ．15B ．6C ．60D ．1【解析】 5x ＋3y ＝1≥215xy，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时等号成立，故选C. 【答案】 C4．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( ) A.23 B ．2 2 C ．3D ．6 【解析】 z ＝3x ＋33y ≥23x ·32y＝23x ＋3y ＝232＝6；当且仅当3x ＝33y 即x ＝3y ；亦即x ＝1，y ＝13时等号成立．∴z 的最小值是6. 【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．正数a 、b 满足a ＋b ＋1＝ab ，则3a ＋2b 的最小值是________．【解析】 ∵a ＋b ＋1＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝2， ∴3a ＋2b ＝5＋3(a －1)＋2(b －1) ≥5＋23×2(a －1)(b －1)＝5＋4 3.【答案】 5＋4 36．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝x (43－3x )⎝⎛⎭⎫0<x <433，则M ，N 的大小关系为________．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥4；当且仅当a －2＝1即a ＝3时取等号．∴M >4.又N ＝13·3x (43－3x )≤13·⎝⎛⎭⎫4322＝4，当且仅当x ＝233时取等号，∴N ＝4，∴M >N【答案】 M >N三、解答题(每题10分，共20分)7．对正数x ，y 有x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝1＋2y x ＋x y ＋2＝2y x ＋x y ＋3.≥22y x ·xy＋3＝22＋3. 当且仅当2y x ＝xy 且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号．8．某种汽车，购车费用为10万元，每年所花的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】设汽车使用x 年时，年平均费用最少，由题意知汽车的年维修费构成首项为0.2万元，0.2万元为公差的等差数列，∴使用x 年后的总维修费用为0.2＋0.2x2·x 万元，∴汽车的年平均费用y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3(万元)．当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 最小．即汽车使用10年平均费用最少．9．(10分)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，每1 m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1 m 长造价45元，顶部每1 m 2造价20元，计算：(1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？【解析】 (1)设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，应用基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0， ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，即S ≤100.故S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100. (2)由(1)求得x ＝15，即正面的铁栅长应设计为15 m ．。

人教B版数学必修五：3.2均值不等式学案含答案解析

§3.2均值不等式13材拓展1. 一个常用的均值不等式链设a>0, b>0,则有：2a + bmin{ a , b} < 1<abw —< max{a ,b},(1) a , b € R ，都有ab w ©严w 色严成立.(2) a 2 + b 2> 2ab 可以加强为a 2 + b 2> 2|a| |b|,当且仅当|a|=|b|时取等号. (3) a , b , c € R ，都有 a 2 + b 2 + c 2> ab + bc + ca 成立.a b⑷若ab>0，则^ + a 》2.3. 利用均值不等式求最值的法则d _ a + b 均值不等式，ab w数)常用于证明不等式或求代数式的最值.(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 ab w 号 2,当且仅当a = b 时, 等号成立.(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a +b >2 ab ，当且仅当a = b 时,等号成立.注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件： ①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立.概括为“一正、二定(值)、三相等”.k4. 函数f(x)= x + x (k>0)的单调性在求最值中的应用有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)k=x + x (k>0)的单调性加以解决.利用函数单调性的定义可以证明函数f(x) = x + - (k>0)在(0, ■. k ］上单调递减，在［.k , +x8)上单调递增.因为函数f(x)= x + x (k>0)是奇函数，所以f(x)= x + x (k>0)在(一8, — . k ］上为增函数，在［—k , 0)上为减函数.k函数f(x) = x + - (k>0)在定义域上的单调性如右图所示.x5当且仅当a = b 时，所有等号成立. 若a>b>0，则有：2.均值不等式的拓展x€ (0, n的最小值. 例如：求函数f(x)= sin2x + -,sin x.25解令 t = sin x , x € (0, n, g(t) = t + -.t € (0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数, 所以当 t = 1 时，g (t) min = 6.即 sin x = 1 , X =n 时，f(x)min = 6.一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”.不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察.解设 t = "J x + 2,从而 x = t 2- 2(t >0)，则 y =当 t = 0 时，y = 0;当 t>0当且仅当2t = 1，即t =¥时等号成立. 即当x = — 3时,y max =于. 二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题.a>f(x)恒成立? a>[f(X )]max , a<f(x)恒成立? a<[f(x)]min .【例2】已知f(x)= 32x — (k + 1)3x + 2,当x € R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( )A .(―汽一1)B . (— a, 2 ,2— 1)C . ( — 1,2 .2 — 1)D . (— 2 2 — 1,2 2 — 1)解析由 f(x)>0 得 32x — (k + 1) 3x + 2>0 , 解得 k + 1<3x + 令，而 3x + 3x > 2 .2, ••• k + 1<2 2, k<2 2 — 1. 答案 B三、利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性.【例 3】已知 a>2，求证:log a (a — 1) log a (a +1)<1. 证明因为 a>2，所以 log a (a — 1)>0, log a (a + 1)>0. 又 log a (a — 1)丰 log a (a +1), log a a — 1 + log a a + 1/ /1 ”丿、¥ ・2匕乙\5] J^^ya's I ] JF 212 12=2〔og a (a — “Vqlog a a = 1.所以 log a (a — 1)log a (a + 1)<1.即 sin x = 1, x = 【例1】求函数y = 乂+ 2的最大值.2x + 52 /2t + 1四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围.例4 某公司计划用一块土地建造一幢总面积为 A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的 2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2,以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2,试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用. (总费用=建筑费用+征地费用)解设建造这幢办公楼的楼层数为n,总费用为y元，当n = 1 时，y= 2.5 A 2 388 + 445A = 6 415A(元),A当n = 2 时，y= 2.5 刁 2 388 + 445A = 3 430A(元),A 2A A A当n>3 时，y= 2.5 下 2 388 + 445 〒 + (445 + 30) + (445 + 60) +…+ ［445 + 30(n-A A ------------2)］ n = 6 000 n + 15nA + 400A > 2A 6 000 X 15 + 400A=1 000A(元)(当且仅当n = 20时取等号).即n = 20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元.区突破1.忽略应用均值不等式的前提条件而致错5【例1】求f(x)= 2 + log2x+iogn0<x<1)的最值.5［错解］f(x)= 2+ Iog2x+ —> 2+2 :log2x lot 2+2 5…f(x)min = 2+ 2 , 5.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来.5［点拨］•/ 0VXV1 , •••Iog2xv0, ］og z x<0，不能直接运用公式.［正解］••• 0VXV1 ,•••( - log2X)>0, >0.X- log2x) + -点》2 log2x -急=2 5.•••log z x+T"^w-2 5.log2x• f(x) = 2 + log2x+l og5"x< 2 - 2 .5.当且仅当log2X=jo5x时，即x = 2 .5时取等号.• f(x)［正解］利用三角代换可避免上述问题.m = v a COS a-m+ n = a, •••设(a€ ［0,2 力),n=/a sin ax=/b cos 3 ••• x2+ y2= b, •••设$ (3€ ［0,2 n)y = {5 sin 3• mx+ ny= abcos a cos 3+ . absin osin 3=^/ab(cos acos 3+ sin a sin 3 = ^/abcos( a— 3 w ^ab--(mx+ ny)max= \：ab,1 1【例3】已知x>0 , y>0，且x+ 2y= 1,求-+丄的最小值.x y［错解］因为x>0, y>0,且x+ 2y= 1,x+〉G+ 1：(x+ 2y)》2昭X 2何=4返1 1所以- + -的最小值为4 2.x y［点拨］上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式解题忽视了等号成立的一致性.［正解］因为x>0, y>0，且x+ 2y= 1,所以1+1=注 + _= 1+ 2 + x y x y=3+ 2 2.当且仅当牛鸽x + 2y=1,即x = 2—1, y= 1 —宁时，取得等号所以：+1的最小值为3+2逅2.忽略等号成立的条件而致错【例2】已知m2+ n2= a, x2+ y2= b (a、b为大于0的常数且2 2 2 2m + x n + y［错解］T mx w —2，ny w -,b),求mx+ ny的最大值.m2+ x2 n2+ y2 m2+ n2+ x2+ y2 a+ b /• mx+ny w —2— +当且仅当m = x, n = y时取“=”［点拨］如果m = x, n=y,则会有m2+ n2= x2+ y2= a= b，这与条件b”矛盾，如果m = x, n = y中有一个不成立，则=”取不到，则不满足使用均值不等式的条件.□题多解例若正数a, b满足ab= a + b+ 3,求ab的取值范围解方法一把代数式ab转化为a(或b)的函数.a+ 3ab = a + b+ 3, b = b>0, a>1.a- 12 2 2a + 3a (a—1 )+ 5a-1 (a—1 )+ 5(a—1 + 4--ab = = =a-1 a -1 a-14=(a —1) + + 5a- 1a>1 ,二a —1>0,二(a —1) + 》2叫/(a—1 •= 4.a- 1 弋a —1••• ab>9，当且仅当a- 1 ==，即a = 3, b= 3 时，取“=”.a - 1方法二利用均值不等式a + b > 2可，把a + b转化为ab,再求ab的范围.a+ b》2、.;ab, •- ab = a + b + 3》2 ab + 3.• ab-2 ab - 3》0, •• C ab-3)( ab+ 1)》0.•ab》3, • ab》9,从以上过程可以看出：当且仅当 a = b= 3时，取“=”.方法三把a, b视为一元二次方程x2+ (3- ab)x + ab= 0的两个根，那么该方程应有两个正根.X1 X2= ab>0所以有：X1+ X2= ab- 3>02I △= (3 —ab J —4ab》0其中由△= (3 —ab)2—4ab= a2b2—10ab + 9=(ab—9)(ab—1)》0，解得ab》9 或ab< 1.-X1 + X2 = ab —3>0, ab》9.又ab= a + b + 3, a+ b= 6,•当且仅当a= b = 3时取“=”.题赏析1 41.已知a>, b>o,a+ b=2，则y=1+4的最小值是(B. 4C.|D. 51 4 a + b 5 2a b 5 2a b 9(2 +b)(〒)=2 +(7 +刃》2+ 2行•aP解析•/ a + b = 2, a+ b 2（当且仅当2a=》，即b = 2a时，“=”成立），故y = ~+ f的最小值为9b 2a a b 2答案Ca b 112.（2009天津）设a>0, b>0,若.3是3与3b的等比中项，贝V匚+匚的最小值为（）a b1A . 8 B. 4 C. 1 D.T4解析由题意知3a 3b= 3,即卩3a+ b= 3,所以a+ b= 1.因为a>0, b>0，所以1+ b = £ @+ b）= 2+ £+ >2+ 2 b a= 4，当且仅当 a = b时，等号成立. '答案B赏析本题考查了等比中项的概念、均值不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到.。

高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。

理解均值不等式的内容及证明。

2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。

3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。

如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。

其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。

知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。

反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。

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3.2 均值不等式（数学人教B版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1. 已知f(x)＝x+ -2(x＜0),则f(x)的（）A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-42.函数f（x）=sin54cosxx（0≤x≤2π）的值域是（）A.[-14，14]B. [-13，13]C. [-12，12]D. [-23，23]3. 设a＞1，b＞1且ab-（a+b）=1，那么（）A.a+b有最小值2（2+1）B.a+b有最大值（2+1）2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值2（2+1）4. 下列函数中，最小值为4的函数是（）A.y=x+B.y=sin x+(0＜x＜π)C.y=D.y=+二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知关于x的不等式在x∈(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为____________.6.某商场中秋节前30天月饼销售总量f(t)（单位：盒）与时间t(0＜t≤30，单位：天)的关系大致满足，则该商场前t天的平均销售量(如前10天的平均销售量为盒)最少为______________.三、解答题(共70分)7．（15分）已知a，b，c∈（0，+∞），求证：2ab+2bc+2ca≥a+b+c.8. (15分)已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.9．（20分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x).(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.10. （20分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅栏，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅栏应设计为多长？3.2 均值不等式（数学人教B版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.2 均值不等式（数学人教B 版必修5）参考答案一、选择题1. C 解析：∵ x ＜0，∴ -x ＞0，∴ x + -2=-[(-x )+ ]-2≤-2· -2=-4，等号成立的条件是-x = ，即x =-1满足定义域.2.C 解析：f （x ）=221cos (0π),54cos 1cos (π2π).54cos xx xxx x⎧-≤≤⎪+⎪⎨-⎪-≤≤⎪+⎩当x ∈［0，π］时，令t =c os x ∈［-1，1］，构造函数g （t ）=2154t t-+，通过整理此解析式得g （t ）=-[14(54+t )+ 964×154t+]+ 58≤-38+58=14，所以f （x ）=g （t ）∈[0，12]. 同理，当x ∈（π，2π］时，f （x ）=-()g t ∈[-12，0]. 综上所述，f （x ）=sin 54cos xx+（0≤x ≤2π）的值域是[-12，12].3. A 解析：∵ ab-（a+b ）=1，ab ≤（2a b +）2， ∴ （2a b +）2-（a+b ）≥1，它是关于a+b 的一元二次不等式，将a+b 作为一个整体，解得a+b ≥2（2+1）或a+b ≤2（1-2）（舍去）. ∴ a+b 有最小值2（2+1）. 又∵ ab-（a+b ）=1，a+b ≥2ab ，∴ ab-2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式，将ab 作为一个整体，解得ab ≥2+1，或ab ≤1-2（舍去）.∴ ab ≥3+22，即ab 有最小值3+22，故选A.4.C 解析：A 选项，y =x + ≥4或x + ≤-4，∴ A 不正确；B 选项等号不能取到；D 选项，与A 选项相同，所以只有C 选项正确.二、填空题5. 解析：因为x ＞a ，所以2x + =2(x -a )+ +2a ≥2 +2a =2a +4，即2a +4≥7，所以a ≥ ，即a 的最小值为 .6.18 解析：平均销售量y = =t + +10≥18，当且仅当t = ，即t =4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18. 三、解答题7. 解：证明：∵ a ，b ∈（0，+∞），∴ 2a b +b ≥22a =2a ，同理2b c +c ≥22b =2b ，2c a+a ≥22c =2c ，当且仅当a =b =c 时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2a b +b +2b c +c +2c a +a ≥2a +2b +2c ，即2a b +2b c +2c a≥a +b +c .8．解：因为x ＞0，y ＞0，且x+2y =1，所以1x +1y =2x y x ++2x y y +=1+2+2y x +x y ≥3+22y x x y∙ =3+22.当且仅当2y x =x y且x+2y =1，即x =2-1，y =1-22时，等号成立. 所以1x +1y的最小值为3+22. 9.解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分批，每批价值为20x元，由题意得f (x )= ·4+k ·20x .由x =4时，f (x )=52，得k = = . ∴ f (x )= +4x (0＜x ≤36，x ∈).(2)由(1)知f (x )= +4x (0＜x ≤36，x ∈)，∴ f (x )≥2 =48(元). 当且仅当 =4x ，即x =6时，上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.10. 解：设铁栅栏长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S =xy . 由题意得40x+2×45y+20xy =3 200.由基本不等式得3 200≥24090x y ∙+20xy =120xy +20xy =120S +20S ， ∴ S+6S ≤160，即（S +16）（S -10）≤0.∵S+16＞0，∴S-10≤0，从而S≤100.因此S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15，即铁栅栏的长应是15米.。

人教新课标版数学高二B版必修5规范训练 3.2 均值不等式

双基达标 (限时20分钟)1．设0<a 2ab ，且 a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12 ∴b －(a 2＋b 2)＝b －b 2－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )0<a 0即b >a 2＋b 2答案 B2．下列各式中最小值是2的是( )． A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan x ＋cot x D ．2x ＋2－x解析 A 中当x ，y 同号且非零时，最小值为2，x ，y 异号时，x y ＋y x <0，B 中x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，但x 2＋4＝1x 2＋4无解，故取不到最小值2.C 中当tan x <0时不成立．答案 D3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有 ( )．A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1 解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．答案 D4．已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为 .解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0，∴(ab ＋1)(ab －3)≥0，∵ab ＋1>0，∴ab ≥3.即ab ≥9.答案 2，＋∞)上也是增函数． ∴当x 2＋4＝2即x ＝0时，y min ＝52. 答案 B9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为 . 解析函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，代入直线方程mx ＋ny ＋1＝0，得(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，又mn >0，所以m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当n m ＝4m n，且2m ＋n ＝1，即n ＝12，m ＝14时，等号成立．答案 810．已知a 、b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1.那么下列不等式：①ab ≤14；②ab ＋1ab ≥174；③a ＋b ≤2；④1a ＋12b≥2 2.其中正确的序号是 . 解析 1＝a ＋b ≥2ab ；∴ab ≤14，①对．设ab ＝t ，则0<t ≤14. 由y ＝t ＋1t 在(0,1)上是减函数知当0<t ≤14时， y ≥14＋114＝174，②对． ∵(a ＋b )2－(2)2＝a ＋b ＋2ab －2＝2ab －1≤2·14－1＝0. ∴a ＋b ≤2，③对．∵a ＋b ＝1，∴1a ＋12b ＝(1a ＋12b )(a ＋b )＝1＋b a ＋a 2b ＋12≥32＋2b a ＋a 2b ＝32＋2≠22，故④错．答案 ①②③11．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x. 即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由均值不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．12．(创新拓展)a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值．解法一 ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －c )2(a －b )(b －c )， ∵对a 、b 、c 上式都成立，∴n ≤(a －c )2(a －b )(b －c )min， (a －c )2(a －b )(b －c )≥(a －c )2[(a －b )＋(b －c )2]2＝4. ∴n ≤4，∴n 的最大值为4.法二 ∵a >b >c ，∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c，而a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥4. ∴n ≤4.即n 的最大值为4.。

高三数学必修5(B版)_《均值不等式》基础练习1

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3.2均值不等式
1.若实数b a ,满足1=+b a ，则b a 33+的最小值是【】
A ．18
B ．32
C ．6
D ．36
2.已知3
10<<x ，则)31(x x -取最大值时x 的值是【】 A ．31 B ．61 C ．43 D ．3
2 3．若x >0，y >0，且182=+
y x ，则xy 有【】 A ．最大值64 B ．最小值641 C ．最小值21
D ．最小值64
4.若x>0，y>0，x ＋4y ＝20, 则xy 有最______值为______.
5.当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________.
6．x <0，当x =___________时，y = 4－2x －x
3的最小值_______________. 7．0<x <41，当x =_______________时，y =)41(x x -的最大值_____________.
8．某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用_________年后报废最合算.（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可用：年数最后一年费用第一年费用⨯+2.
参考答案
1. B
2. B
3.D
4.大25
5. 1或-1 大 1
6.
4+
7.1
8
1
4
8. 10
2 / 2。

人教版数学高二B版必修5例题与探究3.2均值不等式

典题精讲例1 已知a 、b 、c 是正实数，求证：cabb ac a bc ++≥a+b+c. 思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：∵a 、b 、c 是正实数， ∴b ac a bc b ac a bc •≥+2=2c （当且仅当bac a bc =，即a=b 时，取等号）， a c ab b ac c ab b ac 22=•≥+（当且仅当c ab b ac =，即b=c 时，取等号）， a bc c ab a bc c ab •≥+2=2b （当且仅当cab a bc =，即a=c 时，取等号）. 上面3个不等式相加,得c abb ac a bc •+•+•222≥2a+2b+2c （当且仅当a=b=c 时，取等号）. ∴c ab b ac a bc ++≥a+b+c. 绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是A ⇒B 1⇒B 2⇒B 3⇒…⇒B n-1⇒B n ⇒B. （条件）−−−−−−−−→−必要条件逐步探求不等式成立的（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”. 变式训练已知a,b,c 都是正实数，且a+b+c=1. 求证：33232323≤+++++c b a .思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.证明:23)23(3)23(++≤•+a a ,同理,23)23(3)23(++≤•+b b ,23)23(3)23(++≤•+c c , 三个不等式相加，得3)23(3)23(3)23(•++•++•+b b a ≤296)(3++++c b a .整理，得33232323≤+++++c b a （当且仅当a=b=c=31时,等号成立）.例2 x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0，∴x x x x 2382232238223-•-≥-+-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时,取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t ，则t ＞0，把y 转化为关于t 的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1 已知x ＞0，y ＞0且5x+7y=20，求xy 的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.解：xy=351·5x·7y≤720)275(3512=+•y x . 当且仅当5x=7y ，即x=2，y=710时取等号.∴xy 的最大值为720.变式训练2 若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_____________.思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一：由ab=a+b+3≥ab 2+3（等号成立条件为a=b ），整理,得ab-ab 2-3≥0，（ab -3）（ab +1）≥0.∴ab ≥3，∴ab≥9. 方法二：由ab=a+b+3，可得b=13-+a a （a ＞0，b ＞0），∴a ＞1，又ab=a·13-+a a =［（a-1）+1］13-+a a =（a+3）+13-+a a =a-1+4+9514)1(2514)1(141=+--≥+-+-=-+-a a a a a a ,等号成立条件为a-1=14-a ，即a=3. 答案：［9，+∞) 例3 求y=xx sin 22sin +（0＜x ＜π）的最小值. 思路分析：在运用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值. 解：∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.设t=2sin x ，t ∈（0，21］，则sinx=2t ， ∴y=t+t 1（0＜t≤21）.可证明函数y=t+t 1,当t ∈（0，21］时为减函数.∴当t=21，即2sin x =21，sinx=1，x=2π时，y 有最小值2+21=25.∴y min =25.黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.∴y=xx x x sin 22sin 2sin 22sin •≥+=2.∴y min =2. 变式训练已知函数f （x ）=xax x ++22，x ∈［1，+∞).（1）当a=21时，求函数f （x ）的最小值；（2）若对任意x ∈［1，+∞)，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.（1）解：当a=21时，f （x ）=221++xx ， ∵f （x ）在区间［1，+∞）上为增函数， ∴f （x ）在区间［1，+∞）上的最小值为f （1）=27. （2）解法一：在区间［1，+∞）上，f （x ）=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立.设y=x 2+2x+a ，则y=x 2+2x+a=（x+1）2+a-1在x ∈［1，+∞）上递增， ∴当x=1时，y min =3+a.于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）恒成立，故a ＞-3. 解法二：f （x ）=2++xax ，x ∈［1，+∞），当a≥0时，函数f （x ）的值恒为正，当a ＜0时，函数f （x ）递增，故当x=1时，f （x ）min =3+a ，于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞-3.解法三：在区间［1，+∞)上,f （x ）=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立⇒a ＞-x 2-2x恒成立.又∵x ∈［1，+∞),∴a 应大于u=-x 2-2x ，x ∈［1，+∞)的最大值, ∴a ＞-（x+1）2+1，x=1时u 取得最大值-3， ∴a ＞-3.例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解：设水池底面一边的长度为x m ，另一边的长度为d m ，则d=x34800. 又设水池总造价为y 元.根据题意，得y=150×34800+120（2×3x+2×3×x 34800） =240 000+720（x+x 1600）≥240 000+720×2x·x1600=297 600，当且仅当x=x1600，即x=40时，y 取得最小值297 600.答:水池底面一边长40 m 时,总造价最低为297 600元.绿色通道：实际应用问题的求解方法：①建立目标函数；②求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.变式训练设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［32,43］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4 840,设纸张面积为S cm 2,则S=(x+16)(λx+10)=λx 2+(16λ+10)x+160,将x=λ1022代入上式,得S=5000+)58(1044λλ+,当λλ58=,即λ=85(85＜1)时,S 取得最小值.此时高x=λ4840=88 cm,宽λx=85×88=55 cm. 如果λ∈［32,43］,可设32≤λ1＜λ2≤43,则由S 的表达式,得 S(λ1)-S(λ2)=)58)((1044)5858(104421212211λλλλλλλλ--=--+.又853221>≥λλ,故2158λλ-＞0. ∴S(λ1)-S(λ2)＜0.∴S(λ)在区间［32,43］内单调递增. 从而对于λ∈［32,43］,当λ=32时，S(λ)取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［32,43］,当λ=32时，所用纸张面积最小.问题探究问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第n 层楼时，环境不满意程度为n8.则此人应选第几层楼？导思：解本题的关键是基本不等式的应用. 探究：设不满意程度为y.由题意知，y=n+n8. ∵n+24828=⨯≥nn n . 当且仅当n=n8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N +，∴n≈2×1.414=2.828≈3. 答：此人应选3楼，不满意度最低.。

人教新课标版数学高二B必修5学案 3.2 均值不等式(一)

明目标、知重点 1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a ，b 的等差中项和等比中项分别为a ＋b2、ab ，那么这两个中项有什么大小关系呢？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．探究点一重要不等式a 2＋b 2≥2ab 思考如何证明不等式a 2＋b 2≥2ab? 答证明：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．小结一般地，对于任意实数a 、b ，我们有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．通常我们称a 2＋b 2≥2ab 为重要不等式．探究点二基本不等式 ab ≤a ＋b2思考1 如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b 会得到怎样的不等式？答得到a ＋b ≥2ab . 思考2 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)? 答证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2. 思考3 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？答两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．小结 (1)如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，称为均值不等式，也称它为基本不等式．(2)均值不等式用语言表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．思考4 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？答两个正数的等比中项不大于它们的等差中项．思考5 不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？答不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．例1 已知ab >0，求证：b a ＋ab ≥2，并推导出式中等号成立的条件．证明因为ab >0，所以b a >0，ab>0，根据均值不等式，得b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，即b a ＋a b≥2. 当且仅当b a ＝ab时，即a 2＝b 2时式中等号成立，因为ab >0，即a ，b 同号，所以式中等号成立的条件是a ＝b .反思与感悟证明中把b a ，ab ，分别看作均值不等式中的a ，b 从而能够应用均值不等式；在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： 1a ＋1b ＋1c≥9. 证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．探究点三均值不等式的应用例2 已知函数y ＝x ＋16x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．解因为x >－2，所以x ＋2>0，由均值不等式，得x ＋16x ＋2＝(x ＋2)＋16x ＋2－2 ≥2(x ＋2)16x ＋2－2＝6，当且仅当x ＋2＝16x ＋2即x ＝2时，取“＝”．因此，当x ＝2时，函数有最小值6.反思与感悟应用均值不等式求函数的最值应满足的条件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)；(4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到．跟踪训练3 已知函数y ＝x ＋1x ，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．解因为x <0，所以1x <0，则－x >0，1(－x )>0，x ＋1x ＝－(由均值不等式得) ≤－2(－x )1(－x )＝－2，当且仅当－x ＝1(－x )即x ＝－1时，取“＝”．因此当x ＝－1时，函数有最大值－2.1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 答案 C2．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 答案 B解析 ∵a ＋b ＝3， ∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.4．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2ab D.12答案 A解析由a ＋b ＝1，b >a >0，得1>b >12，0<a <12，∵b －(a 2＋b 2)＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0， ∴b >a 2＋b 2≥2ab ，即b 最大． 5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．1．均值不等式a ＋b 2≥ab 与不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件不同；前者是a >0，b >0，而后者是a 、b ∈R ，两个不等式中都有等号，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．由a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )与均值不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)可得到以下几种常见变形及结论：(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )(3)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )；(4)b a ＋ab≥2(ab >0) (5)a ＋ka ≥2k (a >0，k >0)；(6)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)或ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a 、b ∈R )．一、基础过关1．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2答案 D解析由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝24－23＝2(3－1)．∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 3．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 答案 B解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14答案 B解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为__________．答案大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1恒成立 ⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1恒成立． ∵x ∈(0,1hslx3y3h ，x ＋1x≥2，∴a ≤2.7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥22 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b >ab 答案 D 解析 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，B 成立；a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，C 成立；a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b ≤ab .9．设0<a <12答案 C解析 ∵0<a <10，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. 三、探究与拓展13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．。

人教B版高中数学高一必修5练习3.2均值不等式(一)

§3.2 均值不等式(一)一、基础过关1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．52．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2ab D.b a ＋ab ≥23．已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是() A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n4．设0<a <125．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是 () A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2ab D.2aba ＋b >ab6．若a <1，则a ＋1a －1有最______(填“大”或“小”)值，为________．7．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．8．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋cab ＋abc ≥a ＋b ＋c .二、能力提升9．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为() A ．2 B.32 C ．1 D.1210．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.12．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .三、探究与拓展13．已知a>b>0，求证：a2＋16b(a－b)≥16.答案1．C 2.D 3.A 4.C 5．D6．大－1 7.28．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 9．C 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞11．证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y＝(x －y )2＋2x －y＝(x －y )＋2x －y ≥2(x －y )·2x －y＝2 2. 当且仅当⎩⎨⎧ x －y ＝2x －y xy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋22y ＝6－22时取等号． 12．证明 ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc＝2a ，1c ＋1a ≥21ac ＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 13．证明 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴a 2＋16b (a －b )＝[(a －b )＋b ]2＋16b (a －b )≥[2(a －b )b ]2＋16b (a －b )＝4(a －b )b ＋16b (a －b )≥4×2(a －b )b ×4b (a －b )＝16. 取“＝”时当且仅当：a －b ＝b >0且(a －b )b ＝4b (a －b )>0，即当a ＝22且b ＝2时“＝”成立．。

人教新课标版数学高二-高中数学(人教B版)必修5训练 3.2.1均值不等式

第三章 3.2 第1课时一、选择题1．若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2ab D ．b a ＋ab ≥2D∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2ba ·ab ＝2.2．设0<a 0，即ab >a ，故选B ．3．设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( )A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3Dx ＋y ＝5,3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝18 3.4．已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为() A ．100 B ．75C ．50D ．25D∵a 5>0，a 16>0，a 5＋a 16＝10，∴a 5·a 16≤(a 5＋a 162)2＝(102)2＝25，当且仅当a 5＝a 16＝5时，等号成立．5．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1D ．14B根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B ． 6．若0<a <1,02ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2，∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D ．解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．二、填空题7．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小，结果为________________． 12log a t ≤log a t ＋12∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋128．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． 98∵0≤x ≤1，∴3－2x ＞0，∴y ＝122x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )2解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析解析解析∪1＋26，＋∞)．。

人教B版高中数学必修五第三章均植不等式(一).docx

§3.2 均值不等式(一)课时目标 1.理解均值不等式的内容及其证明.2.能利用均值不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中______称为a ，b 的算术平均值，____称为a ，b 的几何平均值．3．均值不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤______.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b2 B.ab C.a 2＋b 22 D.2aba ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝2212x ⎛⎫⎪⎝⎭－2212x ⎛⎫⎪⎝⎭－(x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <14．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 26．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3二、填空题7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b 中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a＝b 时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .§3.2 均值不等式(一)答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝均值 a ＋b2ab 3.(2)2 －2(3)2 －2 (4)≥作业设计1．D [方法一特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b2＝3，ab ＝8，a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2aba ＋b 最小．方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22，可知2aba ＋b最小．] 2．A [∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .]3．B [∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，又∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0，∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 22.] 4．D [因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2，∴b 最大．]6．B [x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax ≥－x 2－a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2.] 7．大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．9．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴x x 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x >0，x ＋1x＋3≥2x ·1x ＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋abc ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. ∵1a －b ＋1b －c ≥na －c ，∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c. ∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ，∴n ≤b －ca －b＋a －bb －c＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c ≥2 b －c a －b a －bb －c＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.13．C [只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.] 14．证明 ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ，1b ＋1c≥2 1bc ＝2a ，1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋c .∵a ，b ，c 为不等正实数， ∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。

20192019学年高中数学人教B版必修5第三章32均值不等式一课件

课时栏目开
C．b>a＋2 b> ab>a
D．b>a>a＋2 b> ab
解析 ∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>a＋2 b.
关
∵b>a>0，∴ab>a2，∴ ab>a.
故b>a＋2 b> ab>a.
( C)
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§3.2（一）
2．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( B ) A．6 B．4 2 C．2 6 D．8
开关
成立仅当a·xy＝yx即可，所以( a)2＋2 a＋1≥9，
即( a)2＋2 a－8≥0求得 a≥2或 a≤－4(舍去)，
所以a≥4，即a的最小值为4.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§3.2（一）
1．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是
本
A．a>a＋2 b> ab>b
B．b>
a＋b ab> 2 >a
同理，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2.
∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥6.
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（一）
小结在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理
本地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于
课时
利用均值不等式．
栏
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（一）
时
栏
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（一）
跟踪训练3 已知不等式(x＋y)

【高中数学新人教B版必修5】3.2《均值不等式》测试(1)

【高中数学新人教B 版必修5】3.2《均值不等式》测试一．选择题：1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（）Ａ．a 2+b 2Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（） A ．x 2+1≥x B ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（） A ．13- B ．13+ C ．223+ D ．223- 二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为；此时x 的值是。

9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为；此时x 的值是。

10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为；此时x=_________．11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是；此时的x 值为_______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求nm 11+的最小值为。

人教新课标版数学高二B版必修5 3.2 均值不等式第一课时训练

1．不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )A ．a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝12D ．a ＝0 解析：选B.a ＋1≥2a 可变形为a ·1≤a ＋12等号成立的条件为a ＝1. 2．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x(x >0)的最小值为2－4 3 D ．函数y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值为2－4 3 解析：选D.对于A ，当x <0时，不成立；对于B ，若设x 2＋3x 2＋2＝2，则无解；对于C 、D ，y ＝2－3x －4x ≤2－43(x >0)，当且仅当3x ＝4x时，等号成立，所以答案选D. 3．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＞b ＞0时，显然能推出a 2＋b 2＞2ab .即ab ＜a 2＋b 22，但由ab ＜a 2＋b 22，不一定能推出a ＞b ＞0，因为a ，b 可异号．4．下面四个命题：①若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2；②若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2；③若a ，b ∈R ＋，则lg a ＋lg b ≥2·lg a ·lg b ；④若x ∈R ，则|x ＋4x|≥4，其中正确命题的序号是________．解析：①只有在ab >0时成立；②∵x ∈(0，π)，∴sin x ∈(0,19．已知均值不等式：a ＋b 2≥ab (a ，b 都是正实数，当且仅当a ＝b 时等号成立)可以推广到n 个正实数的情况，即：对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时，取等号)．同理，当a ，b 都是正实数时，(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21a ·1b＝4，可以推导出结论：对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 有(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥________；(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4)≥________；(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥________；如果对于n 个实数同号a 1，a 2，a 3，…，a n (同正或者同负)，那么，根据上述结论，(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)的取值范围是________．解析：根据所给结论及类比的方法可得：(a 1＋a 2＋a 3)·(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥33a 1a 2a 3·331a 1a 2a 3＝9，同理，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4)≥16；(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥n 2，当实数a 1，a 2，a 3，…，a n 都是负数时，(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )·(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥n 2. 答案：9 16 n 2f (x 1)＋f (x 2)f (x 1)＋f (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 22)． 12．若a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 证明：∵a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 均为正数，∴(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.(当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”)。

人教B版高中数学必修五 3.2 第1课时均值不等式

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）3.2 第1课时均值不等式基础巩固一、选择题1．若x ∈R ，则下列不等式成立的是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg2x B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1<1 D ．2x ≤(x ＋1)22[答案] D[解析] A 中，x ≤0时，不等式不成立；B 中x ＝1时，不等式不成立；C 中x ＝0时，不等式不成立，故选D.2．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10[答案] C[解析] A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可以的，排除．故选C.3．(2011·陕西文)设0<a 0，即ab >a ，故选B. 4．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3[答案] D[解析] x ＋y ＝5,3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝18 3. 5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D ．1 [答案] B[解析] 本题考查均值不等式求最值，注意均值不等式求最值时必须具备的三个条件：一正、二定、三相等．∵函数f (x )的定义域为[0，＋∞)， ∴当x ＝0时，f (0)＝0. 当x >0时，f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时f (x )取最大值12.6．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最在值－6B ．有最小值6C ．有最大值－2D ．有最小值2[答案] B[解析] ∵x >4，∴x －4>0，∴y ＝x －4＋1x －4＋4≥2(x －4)·1x －4＋4＝6.当且仅当x －4＝1x －4，即x －4＝1，x ＝5时，取等号．二、填空题7．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小，结果为________________．[答案] 12log a t ≤log a t ＋12[解析] ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ，∴12log a t ≤log a t ＋128．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． [答案] 98[解析] ∵0≤x ≤1 ∴3－2x ＞0 ∴y ＝122x ·(3－2x )≤12[2x ＋(3－2x )2]2＝98，当且仅当2x ＝3－2x 即x ＝34时，取“＝”号．三、解答题9．已知：a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．[解析] ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc . ①式两边分别加入a 2＋b 2＋c 2得：3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1， ∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上知，a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .10．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．[解析] ∵x >1，∴x ＋1>0..∵y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·1x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.能力提升一、选择题1．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( ) A.23 B ．22 C ．3 D ．6 [答案] D[解析] ∵x ＋3y ＝2，∴x ＝2－3y . ∴z ＝3x＋27y＝32－3y＋27y ＝927y ＋27y ≥2927y ·27y ＝6，当且仅当927y ＝27y ，即27y＝3，∴33y＝3，∴3y ＝1，∴y ＝13.即x ＝1，y ＝13时，x ＝3x ＋27y 取最小值6.2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R 0，b >0，a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的最小值为________．[答案] 6[解析] ∵a >b ，b >0，a ＋b ＋3＝ab ， ∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0， ∴a ＋b ≥6.4．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．[答案] 4[解析] 函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1.又mn >0，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·(m ＋n )＝2＋(n m ＋mn )≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立．三、解答题5．已知a <0，b <0，c <0，且a ＋b ＋c ＝－1，求1a ＋1b ＋1c 的最大值．[解析] ∵a <0，b <0，c <0且a ＋b ＋c ＝－1，∴1a ＋1b ＋1c ＝－(a ＋b ＋c )a ＋－(a ＋b ＋c )b ＋－(a ＋b ＋c )c ＝－3－(b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋bc )≤－3－(2＋2＋2)＝－9.当且仅当a ＝b ＝c ＝－13时，等号成立．6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b22＝1，求a 1＋b 2的最大值．[解析] ∵a 2＋b 22＝1，∴a 2＋1＋b 22＝32，a 1＋b 2＝2·a ·1＋b 22≤2·a 2＋1＋b 222＝2·322＝324.∴当a 2＋b 22＝1且a ＝1＋b 22，即a ＝22，b ＝63时，a 1＋b 2的最大值为324. 7．甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片．甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪一家公司平均成本低？请给出证明．[解析] 设第一、二次购芯片的价格分别是每片a 元和b 元，那么甲公司两次购芯片的平均价格为10000(a ＋b )20000＝a ＋b2，乙公司两次购芯片的平均价格为 2000010000a ＋10000b ＝21a ＋1b .∵a >0，b >0，a ≠b ， ∴a ＋b 2>ab .又1a ＋1b >21ab ＝2ab，∴21 a＋1b<ab.∴a＋b2>21a＋1b.∴乙公司的平均成本低．。

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a 2 1 （B）a为正数，则 ( )(a ) ≥ 4 2 a a
x y ≥2 y x
（C）lgx+logx10≥2，其中x>1 （ D）
x 2
2
x 1
2
≥2
•
3．若a>b>0，则下列不等式正确的是（ C ）
2ab a b ab （A） ab 2 a b 2ab （ B） ab 2 ab
3.2均值不等式练习题
中国人民大学附属中学
•
1 1 1．已知 0 ，则下列结论不正确的 a b
是（ D ）
（A）a2<b2（B）ab<b2 （C）
b a （ 2 D）|a|+|b|>|a+b| a b
•
2．下列结论中，错用算术平均值与几何
平均值不等式作依据的是（ B ）（A）x，y均为正数，则
2
合 N ( ab , a)，其中a>b>0，则 M 为（ A ）
ðU N
ab （A）(b, ab ] （B）( ab , ) 2 ab ab (, ) (a, ) D） (b, ) （C）（ 2 2
•
7．在下列函数中，最小值是2的函数为（ C ）
x 5 （A） y , ( x R, 且x 0) 5 x 1 （B） y lg x (1 x 10) lg x
•
5．设a，b，c是区间(0，1)内三个互不相等
ab log a log b c c 的实数，且满足 p ，q log c , 2 2
1 p， aq ， b r的大小关系是（，则 r log c 2 2
）
C
（A）q>p>r（B）q<p<r （C）r<q<p（D）q<r1，y>1，且lgx+lgy=4，那么 lgx· lgy的最大值是（ D ）（A）2
1 （C） 4
1 （B） 2
（ D） 4
•
27 2 11．已知函数y=2+3x + x
2
,函数 3 ，当x=时
有最值是。小
20 4 ,函数，当x=时
1 12．若x>3，函数 y x
x 3
有最值是. 小
5
•
13．若x>0，y>0，且x+y=1，当x=,
1 xy的最大值是。 2
1 y 2=时，
1 4
4 a≥7 14．求证： a 3
.(a>3)
4 4 a +(a 3) 3 ≥ 4 3 7 a 3 a 3
•
4 15．已知函数的解析式 y 9 x x 2 小（1）若x>0，当x=时，函数有最值为； 3
12
2 （2）若x∈ (0, ] ，函数在这个区间上单调； 5 2
当x =时，函数有最值为；递减
68 5
5
小
•
（3）若x∈[4，+∞)，函数在这个区间上递增单调；当 x=时，函数有最值为C） y 3x 3 x ( x R)
1 （D） y sin x sin x (0 x 2 )
•
8．已知0<x<1，则x(1－3x)取最大值时x
的值是（ B ）
1 （A） 3 1 （B） 6
3 （C） 4
2 （ D） 3
•
9．设x，y∈R，且x+y=5，则3x+3y的最小值是（ D ）（A）10 （B）6 3
（C） 2ab ab a b
ab
（ D）
2 2ab a b ab ab 2
•
4．若a，b∈R，且a≠b，在下列式子中，
恒成立的个数是（
） D
a b 2 b a
① a2+3ab>2b2；② a5+b5>a3b2+a2b3； ③ a2+b2≥2(a－b－1)；④
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

人教B版高中数学必修五课件3.2均值不等式练习题(一)