2019年人大附中新高一分班考试数学试题-真题2019.8

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2019年重点高中高一新生分班考试数学卷含答案(汇编)

2019年重点高中高一新生分班考试数学卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（）A．3 B． C．3或﹣3 D．或﹣2．如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°3．的值是（）A．±16 B．±4 C．16 D．−164．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．65°5．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（）A．B． C．D．6．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm7．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（）A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y8．函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），则a2+b2的值为（）A．1 B．11 C．25 D．无法求解9．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．10 B．20 C．10π D．20π10．如图，在菱形纸片ABCD中，，P为AB中点折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为DE，则的大小为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知是整数，则n是自然数的值是_____．12．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设_____．13．如果不等式组有解，那么m的范围是______．14．已知点，轴，且，则点N的坐标为______．15．如图，矩形的顶点在坐标原点，，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，当此矩形绕点旋转到如图位置时的坐标为________．16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（本题8分）解方程组和分式方程：（1）解方程组（2）解分式方程．18．（本题8分）平面上有3个点的坐标：，，在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线上又在抛物线上上的概率是多少？从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线上的概率．19．（本题10分）某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？20．（本题8分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处点A与大树及其影子在同一平面内，此时太阳光与地面夹角为，在A处测得树顶D的仰角为如图所示，已知背水坡AB的坡度：3，AB的长为10米，请你帮助小亮算一算这颗大树的高度结果精确到米，参考数据：，注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比21．（本题10分）据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1 000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．22．（本题10分）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B、C的坐标．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题12分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE．（1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，写出BE长度的取值范围．答案分析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

2019年人大附中新初一入学分班考试数学试题-真题-2019.8

2019年人大附中新初一入学分班考试数学试题-真题2019.8姓名学校成绩一、选择题（本大题共13小题，共52分）1.判断下列各式的值，何者最大？（）A．25×132－152B．16×172－182C．9×212－132D．4×312－1222.表是A、B、C、D四组数据．判断哪一组数据的平均数（算术平均数）最小（）3.如图为某餐厅的价目表，今日每份餐点价格均为价目表价格的九折．若恂恂今日在此餐厅点了橙汁鸡丁饭后想再点第二份餐点，且两份餐点的总花费不超过200元，则她的第二份餐点最多有几种选择？（）A．5B．7C．9D．114.已知甲、乙为两把不同刻度的直尺，且同一把直尺上的刻度之间距离相等，耀轩将此两把直尺紧贴，并将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48，如图1所示．若今将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0会对准乙尺的刻度4，如图2所示，则此时甲尺的刻度21会对准乙尺的哪一个刻度？（）A．24B．28C．31D．325.已知A 地在B 地的西方，且有一以A 、B 两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里．今在此道路上距离A 地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A 地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A 地多少公里？（）A ． 309B ． 316C ． 336D ．3396.已知果农贩卖的西红柿，其重量与价钱成线型函数关系，今小华向果农买一竹篮的西红柿，含竹篮秤得总重量为15公斤，付西红柿的钱250元．若他再加买0.5公斤的西红柿，需多付10元，则空竹篮的重量为多少公斤？( )A ．1.5B ．2C ．2.5D ．37.桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？( )A ．5.4B ．5.7C ．7.2D ．7.5第7题图第8题图8.图为歌神KTV 的两种计费方案说明．若晓莉和朋友们打算在此KTV 的一间包厢里连续欢唱6小时，经服务生试算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人在同一间包厢里欢唱？( )A ．6B ．7C ．8D ．99.阿伟的游戏机充满电后，可用来连续播放音乐36个小时或连续玩游戏6个小时．若游戏机在早上7点充满电后，阿伟马上使用游戏机播放音乐直到下午3点，并从下午3点继续使用游戏机玩游戏直到它没电，则他的游戏机何时没电？（） A ．晚上7点20分 B ．晚上7点40分 C ．晚上8点20分 D ．晚上8点40分10.某天，5个同学去打羽球，从上午8：55一直到上午11：15.若这段时间内，他们一直玩双打(即须4人同时上场)，则平均一个人的上场时间为几分钟？（）A ． 112B ． 136C ． 140D ． 17511.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？（）A ． 5B ． 6C ． 7D ． 10第12题图12.如图，一圆桌周围有20个箱子，依顺时针方向编号1～20.小明在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆桌依顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球：1. 若前一个箱子丢红球，经过的箱子就丢绿球.2. 若前一个箱子丢绿球，经过的箱子就丢白球.3. 若前一个箱子丢白球，经过的箱子就丢红球.已知他沿着圆桌走了100圈，求4号箱内有几颗红球？（） A ． 33B ． 34C ． 99D ． 1003 24 6第11题图13.将图(1)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另一条对角线对折，如图(2)所示.最后将图(2)的色纸剪下一纸片，如图(3)所示.若下列有一图形为图(3)的展开图，则此图为何？（）二、填空题（本大题共8小题，共24分）14.计算48÷(158＋3524)= . 15.若a ：b =3：2，b ：c =5：4，则a ：b ：c = .16.若A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，则A ﹣B= .17.以下表示小勋到商店购买2个单价相同的布丁和10根单价相同的棒棒糖的经过．根据上文，判断布丁和棒棒糖的单价相差元.18.有30张分别标示1～30号的纸牌．先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉，然后从剩下的纸牌中，拿掉号码数为2的倍数的纸牌．若将最后剩下的纸牌，依号码数由小到大排列，则第5张纸牌的号码为 .19.某段隧道全长9公里，有一辆汽车以每小时60公里到80公里之间的速率通过该隧道.下列何者可能是该车通过隧道所用的时间为分钟.图(1) 图(2) 图(3)(A) (B) (C) (D)20.图（①）的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图（②）所示．求被移动石头的重量为克.21.图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②）所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为8：3，图（②）纸片的面积为33，则图（①）纸片的面积为.三、解答题（本大题共2小题，共24分）22.图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）．步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）．步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）．若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）相同，请写出一个洗牌次数可能的值，并得到洗牌次数的规律.23.大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．。

2019年重点高中高一新生分班考试数学卷含答案

2019年重点高中高一新生分班考试数学试题卷考生须知：1．全卷满分120分，考试时间120分钟，试题卷共6页，有三大题，共24小题．2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效．卷 Ⅰ一．选择题（本题10小题，共30分．选出各题中唯一正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．﹣8的绝对值等于（）A ．B ．﹣8C ．8D ． 2．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（）A ．3.386×108B ．0.3386×109C ．33.86×107D ．3.386×1093．下面图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（）5．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A ．B ．C ．D ． 6．如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（）A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．9.抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，已知∠AOB=30°，以O为圆心、a为半径画弧交OA、OB于A1、B1，再分别以A1、B1为圆心、a为半径画弧交于点C1，以上称为一次操作．再以C1为圆心a为半径重新操作，得到C2．重复以上步骤操作，记最后一个两弧的交点（离点O最远）为C K，则点C K到射线OB的距离为（）A． B．C．a D．卷Ⅱ二．填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11．数据1，2，3，5，5的众数是，平均数是．12．因式分解：4m3﹣m = ．13．如图所示：用一个半径为60cm，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为 cm．14．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=度．15．书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元以上一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是元．16．如图在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，到达点A如果点A n与原点的距离不小于50，那么n的最小值是,n取最小值时A n表示的数是三．解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）（1）计算：（2）解方程：18．（6分）为了解七年级学生上学期参加社会实践活动的情况，随机抽查A市七年级部分学生参加社会实践活动天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的频数分布表和条形统计图．七年级参加社会实践活动天数的频数分布表七年级参加社会实践活动天数的条形统计图根据以上信息，解答下列问题；（1）求出频数分布表中a的值，并补全条形统计图．（2）A市有七年级学生20000人，请估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数．19．（6分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．20.(8分)如图，矩形纸片ABCD中，AD=5，S ABCD=15，在边BC上取一点F，使BF=4，剪下△ABF，将它平移至△DCE的位置，拼成四边形AFED．①求证四边形AFED是菱形；②求四边形AFED两条对角线的长．21.（8分）某市需要新建一批公交车候车亭，设计师设计了如图1所示产品．产品示意图的侧面如图2，其中支柱长DC 为2.1m ，且支柱DC 垂直于地面DG ，顶棚横梁AE 为长1.5m ，BC 为镶接柱，点B 是顶棚的镶接点，镶接柱与支柱的夹角∠BCD=150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC=135°，要求使得横梁一端点E 在支柱DC 的延长线上，此时经测量得镶接点B与点E 的距离为0.35m ．（，，精确到0.01m ．）（1）求E 到BC 的距离和EC 长度；（2）求点A 到地面的距离．22.（10分）如图,已知反比例函数（x ＞0，k 是常数）的图象经过点A （1，4），点 B （m ，n ），其中m ＞1，AM⊥x 轴，垂足为M ，BN⊥y 轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C ．（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM；（3）若△ACB 与△NOM 的相似比为2，求出B 点的坐标．23.（10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，则a= ．【操作】将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，如图②．直接写出图象G 对应的函数解析式．【探究】图②中过点B （0，1）作直线l 平行x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为点C ，D ，E ，F ，如图③．求图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时x 的取值范围．【应用】P 是图③中图象G 上一点，其横坐标为m ，连接PD ，PE ．直接写出△PDE 的面积不小于1时m 的取值范围．24.（12分）如图，在每一个四边形ABCD 中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．G（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，P在四边形ABCD的边AD上运动，作出使∠BPC最大的点P,说明此时∠BPC最大的理由;并求出cos∠BPC的值；。

2019年重点高中高一新生分班考试数学卷含答案

2019年重点高中高一新生分班考试数学卷班级：姓名：成绩：一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 16的算术平方根是( )A. ±4B.4C.-4D.±22. 2018年广东省经济保持平稳健康发展,国家统计局核定,其实现地区生产总值(CDP)973000000元将数据973000000000用科学记数法表示为( ) A.9.73×1011 B.97.3×1011 C.9.73×1012 D.0.973×1033. 下列所给的汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A. B C D 4. 下列计算中,正确的是( )A. 0(5)0-=B. 347x x x +=C. 23246()a b a b -=- D. 1222a a a -∙=5. 若一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数为( ) A.6 B.7 C.8 D.106. 在一个不透明的口袋中装有6个红球,2个绿球,这些球除颜色外无其他差别,从这个袋子中随机摸出一个球摸到绿球的概率为( )A.1B. 14C. 12D. 347. 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边AB,AC 上,下列条件中不能判断△ABC △AED 的是（）A ．∠AED=∠B B ．∠ADE=∠C C ．D ．8. 下列一元二次方程中,没有实数根的是( ）A.x 2-2x=0B.x 2+4x-1=0C.2x 2-4x+3=0D.3x 2=5x-2 9. 等腰三角形的周长为11cm,一边长为3cm,则另两边长为( )A. 3cm,5cmB. 4cm,4cmC.3cm,5cm 或4cm,4cmD.以上都不对 10.如图,过点A(4、5)分别作x 轴、y 轴的平行线,交直线y=-x+6于B,C 两点,若函数(0)ky x x=>的图象与△ABC 的边有公共点,则A 的取值范围是( ) A. 5≤k ≤20 B. 8≤k ≤20 C. 5≤k ≤8 D. 9≤k ≤20二．填空题（本大題6小题，每小题4分，共24分）11.一组数据-3、2、2、0、2、1的众数是。

2019-2020学年北京市人大附中高三(上)开学数学试卷(8月份)

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）开学数学试卷（8月份）试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设i为虚数单位.则复数z=1-i的模|z|=（）A.1B. $\sqrt{2}$C.2D. $2\sqrt{2}$2.（单选题.3分）已知全集U=R.若集合A={x|x2-x＜0}.则∁U A=（）A.{x|x≤0.或x≥1}B.{x|x＜0.或x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x≥1}3.（单选题.3分）命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是（）A.∃x0≤0. ${e^{x_0}}≤1$B.∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$C.∀x＞0.e x≤1D.∀x≤0.e x≤14.（单选题.3分）若 $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ 是两个非零的平面向量.则“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.3分）已知a=ln $\frac{1}{2}$ .b=sin $\frac{1}{2}$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ .则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a6.（单选题.3分）一个四棱锥的三视图如图所示.那么对于这个四棱锥.下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为 $\sqrt{6}$B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形7.（单选题.3分）已知函数f（x）=|lnx|-1.g（x）=-x2+2x+3.用min{m.n}表示m.n中的最小值.设函数h（x）=min{f（x）.g（x）}.则函数h（x）的零点个数为（）A.1B.2C.3D.48.（单选题.3分）已知抛物线C：y2=4x.点P（m.0）.O为坐标原点.若在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.则实数m的取值范围是（）A.（4.8）B.（4.+∞）C.（0.4）D.（8.+∞）9.（填空题.3分）双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的离心率是___ ；渐近线方程是___ ．10.（填空题.3分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5.且公比q=2.则a3+a5=___ ．11.（填空题.3分）在△ABC中.a=3. $b=\sqrt{13}$ .B=60°.则c=___ ；△ABC的面积为___ ．12.（填空题.3分）已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上.若圆C与两个坐标轴都相切.则圆C的标准方程为___ ．13.（填空题.3分）已知函数 $f(x)=asinx-2\sqrt{3}cosx$ 的一条对称轴为 $x=-\frac{π}{6}.f({x_1})+f({x_2})=0$ .且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.则|x1+x2|的最小值为___ ．14.（填空题.3分）函数f（x）=ae x+be-x（a∈R+.b∈R+）.已知f（x）的最小值为4.则点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离的最小值为___ ．15.（问答题.0分）设函数$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$ 的图象上相邻最高点与最低点的距离为$\sqrt{{π^2}+16}$．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16.（问答题.0分）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.该班共有三个课程组合：理化生.理化历.史地政．其中.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．（Ⅰ）应从这三个组合中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.求随机变量X的分布列和数学期望．17.（问答题.0分）在四棱锥P-ABCD中.平面ABCD⊥平面PCD.底面ABCD为梯形.AB ||CD.AD⊥PC.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于$N.DC=2\sqrt{3}.DA=PD=2.AB=1.∠PDC={120°}$ .（Ⅰ）求证：N为PC中点；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）T为PB中点.求二面角T-AC-B的大小．18.（问答题.0分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+a|x|-1$ ．（Ⅰ）当a=6时.求函数f（x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时.函数f（x）既有极大值又有极小值．19.（问答题.0分）已知椭圆C $：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a＞b＞0})$ 的左右顶点分别为A.B.左焦点为F.O为原点.点P为椭圆C上不同于A.B的任一点.若直线PA与PB的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$ .且椭圆C经过点 $({1.\frac{3}{2}})$（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P点不在坐标轴上.直线PA.PB交y轴与M.N两点；若直线OT与过点MN为直径的圆相切.切点为T.问切线长|OT|是否为定值.若是.求出定值；若不是.请说明理由．20.（问答题.0分）定义：给定整数i.如果非空集合A满足如下3个条件：① A⊆N*；② A≠{1}；③ ∀x.y∈N*.若x+y∈A.则xy-i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P={1.2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在.求出所有的“减1集”；如果不存在.请说明理由．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设i为虚数单位.则复数z=1-i的模|z|=（）A.1B. $\sqrt{2}$C.2D. $2\sqrt{2}$【正确答案】：B【解析】：若复数z=a+bi.则|z|= $\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$ .直接代入求出即可．【解答】：解：|z|= $\sqrt{{1}^{2}{+(-1)}^{2}}$ = $\sqrt{2}$ .故选：B．【点评】：本题考查了求复数的模问题.是一道基础题．2.（单选题.3分）已知全集U=R.若集合A={x|x2-x＜0}.则∁U A=（）A.{x|x≤0.或x≥1}B.{x|x＜0.或x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x≥1}【正确答案】：A【解析】：求出A中不等式的解集确定出A.根据全集U=R.求出A的补集即可．【解答】：解：由A中不等式变形得：x（x-1）＜0.解得：0＜x＜1.即A={x|0＜x＜1}.∵U=R.∴∁U A={x|x≤0.或x≥1}.故选：A．【点评】：此题考查了补集及其运算.熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3.（单选题.3分）命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是（）A.∃x0≤0. ${e^{x_0}}≤1$B.∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$C.∀x＞0.e x≤1D.∀x≤0.e x≤1【正确答案】：B【解析】：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】：解：因为全称命题的否定是特称命题.所以命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$．故选：B．【点评】：本题考查特称命题与全称命题的否定关系.基本知识的考查．4.（单选题.3分）若 $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ 是两个非零的平面向量.则“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：若“（ $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0.则 $\overrightarrow{a}$2-$\overrightarrow{b}$2=0.即 $\overrightarrow{a}$2= $\overrightarrow{b}$2.则|$\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |.反之亦然.充分性成立.故“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的充要条件. 故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据向量数量积的公式是解决本题的关键．5.（单选题.3分）已知a=ln $\frac{1}{2}$ .b=sin $\frac{1}{2}$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ .则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a【正确答案】：A【解析】：判断a.b.c的值的范围.即可判断三个数的大小．【解答】：解：因为a=ln $\frac{1}{2}$ ＜0.b=sin $\frac{1}{2}$ $∈(0.\frac{1}{2})$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ＞ $\frac{1}{2}$ .所以a＜b＜c.故选：A．【点评】：本题考查大小比较.估计表达式的值的范围是解题的关键．6.（单选题.3分）一个四棱锥的三视图如图所示.那么对于这个四棱锥.下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为 $\sqrt{6}$B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形【正确答案】：D【解析】：由三视图可知：该几何体如图所示.PA⊥底面ABCD.PA=2.底面是一个直角梯形.其中BC || AD.AB⊥AD.BC=AB=1.AD=2．可得△PAD.△PAB.△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．【解答】：解：由三视图可知：该几何体如图所示.PA⊥底面ABCD.PA=2.底面是一个直角梯形.其中BC || AD.AB⊥AD.BC=AB=1.AD=2．可得△PAD.△PAB.△PBC是直角三角形．取AD的中点O.连接OC.AC．可得四边形ABCO是平行四边形.∴OC=OD=OA=1.∴CD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD.∴CD⊥PC.因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．【点评】：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.3分）已知函数f（x）=|lnx|-1.g（x）=-x2+2x+3.用min{m.n}表示m.n中的最小值.设函数h（x）=min{f（x）.g（x）}.则函数h（x）的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：根据min{m.n}的定义.作出两个函数的图象.利用数形结合进行求解即可．【解答】：解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图.两个图象的下面部分图象.由g（x）=-x2+2x+3=0.得x=-1.或x=3.由f（x）=|lnx|-1=0.得x=e或x= $\frac{1}{e}$ .∵g（e）＞0.∴当x＞0时.函数h（x）的零点个数为3个.故选：C．【点评】：本题主要考查函数零点个数的判断.利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用．8.（单选题.3分）已知抛物线C：y2=4x.点P（m.0）.O为坐标原点.若在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.则实数m的取值范围是（）A.（4.8）B.（4.+∞）C.（0.4）D.（8.+∞）【正确答案】：B【解析】：求出以OP为直径的圆的方程.y2=4x代入整理.利用在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：以OP为直径的圆的方程为（x- $\frac{m}{2}$ ）2+y2= $\frac{{m}^{2}}{4}$ . y2=4x代入整理可得x2+（4-m）x=0.∴x=0或x=m-4.∵在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.∴m-4＞0.∴m＞4.故选：B．【点评】：本题考查抛物线、圆的方程.考查学生的计算能力.比较基础．9.（填空题.3分）双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的离心率是___ ；渐近线方程是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ; [2]y= $±\frac{1}{2}$ x【解析】：求出双曲线的a.b.c.运用渐近线方程和离心率公式即可得到．【解答】：解：双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的a=2.b=1.c= $\sqrt{4+1}$ = $\sqrt{5}$ .则e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .渐近线方程为y= $±\frac{1}{2}$ x．故答案为： $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .y= $±\frac{1}{2}$ x．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.考查渐近线方程和离心率的求法.考查运算能力.属于基础题．10.（填空题.3分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5.且公比q=2.则a3+a5=___ ．【正确答案】：[1]20【解析】：利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】：解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20.故答案为：20．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.3分）在△ABC中.a=3. $b=\sqrt{13}$ .B=60°.则c=___ ；△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1]4; [2]3 $\sqrt{3}$【解析】：根据已知和余弦定理可求c的值.从而有三角形的面积公式解得所求．【解答】：解：由余弦定理可得：cosB= $\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$ .代入已知可得： $\frac{1}{2}$ = $\frac{9{+c}^{2}-13}{6c}$ .解得c=4.c=-1（舍去）.∴S△ABC= $\frac{1}{2}$ acsinB=3 $\sqrt{3}$ .故答案为：4.3 $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题主要考查了余弦定理.三角形面积公式的应用.属于基本知识的考查．12.（填空题.3分）已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上.若圆C与两个坐标轴都相切.则圆C的标准方程为___ ．【正确答案】：[1] ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$【解析】：由已知得x=y或x=-y.圆心在y=2x+1上.又圆心位于第二象限.从而得到圆心坐标为：（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.再由半径就是圆心到切线距离.能求出圆的标准方程．【解答】：解：∵与坐标轴相切.∴圆心到两个坐标轴距离相等.∴x=y或x=-y.又圆心在y=2x+1上.若x=y.则x=y=-1；若x=-y.则x=- $\frac{1}{3}$ .y= $\frac{1}{3}$ .所以圆心是（-1.-1）或（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.∵圆心位于第二象限.∴圆心坐标为：（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.∵半径就是圆心到切线距离.即到坐标轴距离．∴r= $\frac{1}{3}$ .∴所求圆的标准方程为： ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$ ．故答案为： ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$ ．【点评】：本题考查圆的标准方程的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用．13.（填空题.3分）已知函数 $f(x)=asinx-2\sqrt{3}cosx$ 的一条对称轴为 $x=-\frac{π}{6}.f({x_1})+f({x_2})=0$ .且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.则|x1+x2|的最小值为___ ．【正确答案】：[1] $\frac{2π}{3}$【解析】：利用辅助角公式化简.对称为x=- $\frac{π}{6}$ .f（x1）+f（x2）=0.且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.可得对称中心.即可求出最小值．【解答】：解：函数f（x）=asinx-2 $\sqrt{3}$ cosx= $\sqrt{{a}^{2}+12}sin(x+θ).\;\;\;其中tanθ=-\frac{2\sqrt{3}}{a}$ .函数f（x）的一条对称轴为x=- $\frac{π}{6}$ .可得 $f(-\frac{π}{6})=-\frac{1}{2}\;a-2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=±\sqrt{{a}^{2}+12}$ .解得a=2．∴ $θ=-\frac{π}{3}$；对称中心横坐标由x- $\frac{π}{3}=kπ(k∈z).\;可得x=kπ+\frac{π}{3}(k∈z)$；又f（x1）+f（x2）=0.且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.∴ $|\;{x}_{1}+{x}_{2}|=2|k+\frac{π}{3}|$ .当k=0时.可得 $|{x}_{1}+{x}_{2}|=\frac{2π}{3}$．故答案为： $\frac{2π}{3}$．【点评】：本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用.属于中档题．14.（填空题.3分）函数f（x）=ae x+be-x（a∈R+.b∈R+）.已知f（x）的最小值为4.则点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离的最小值为___ ．【正确答案】：[1] $\frac{3\sqrt{10}}{5}$【解析】：利用基本不等式可得f（x）≥ $2\sqrt{ab}$ =4.然后用点到直线的距离公式求出点（a.b）到直线2x+y- $\sqrt{2}$ =0距离.计算其最小值即可．【解答】：解：∵a∈R+.b∈R+.∴f（x）=ae x+be-x≥ $2\sqrt{ae^x\bulletbe^{-x}}$ = $2\sqrt{ab}$ . 当且仅当ae x=be-x.即ae2x=b时取等号.∴ $f(x)_{min}=2\sqrt{ab}=4$ .∴ab=4.∴点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离.d= $\frac{|2a+b-\sqrt{2}|}{\sqrt{2^2+1^2}}$ ≥ $\frac{|2\sqrt{2ab}-\sqrt{2}|}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ .∴ $d_{min}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$ ．故答案为： $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ ．【点评】：本题考查了基本不等式的应用和点到直线的距离公式.考查了转化思想.属中档题．15.（问答题.0分）设函数$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$ 的图象上相邻最高点与最低点的距离为$\sqrt{{π^2}+16}$．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简.结合条件求出ω的值即可．（Ⅱ）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$=sin2ωx- $\sqrt{3}$ cos2ωx=2sin（2ωx- $\frac{π}{3}$）.则函数的周期T= $\frac{2π}{2ω}$ = $\frac{π}{ω}$ .振幅A=2.∵图象上相邻最高点与最低点的距离为 $\sqrt{{π^2}+16}$．∴A2+（ $\frac{T}{4}$ ）2=（ $\frac{\sqrt{{π}^{2}+16}}{2}$）2.即4+（ $\frac{T}{4}$ ）2= $\frac{{π}^{2}+16}{4}$ = $\frac{{π}^{2}}{4}$ +4.即（ $\frac{T}{4}$ ）2= $\frac{{π}^{2}}{4}$ .即 $\frac{T}{4}$ = $\frac{π}{2}$ .得T=2π= $\frac{π}{ω}$ .得ω= $\frac{1}{2}$ ．故函数f（x）的周期为2π.ω= $\frac{1}{2}$ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（x- $\frac{π}{3}$）.由2kπ- $\frac{π}{2}$≤x- $\frac{π}{3}$≤2kπ+ $\frac{π}{2}$ .k∈Z.得2kπ- $\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+ $\frac{5π}{6}$ .k∈Z.即函数的单调递增区间为[2kπ- $\frac{π}{6}$ .2kπ+ $\frac{5π}{6}$ ].k∈Z．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.结合辅助角公式进行化简求出ω的值是解决本题的关键．16.（问答题.0分）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.该班共有三个课程组合：理化生.理化历.史地政．其中.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．（Ⅰ）应从这三个组合中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.求随机变量X的分布列和数学期望．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用分层抽样的性质直接求解．（Ⅱ）X的可能取值为1.2.3.分别求出相应的概率.由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】：解：（Ⅰ）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．应从选择理化生的组合中抽取：6× $\frac{24}{48}$ =3人.从选择理化历的组合中抽取：6× $\frac{16}{48}$ =2人.从选择史地政的组合中抽取：6× $\frac{48-24-16}{48}$ =1人．（Ⅱ）抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.则X的可能取值为1.2.3.P（X=1）= $\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{1}{5}$ .P（X=2）= $\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{3}{5}$ .P（X=3）= $\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{1}{5}$ .∴随机变量X的分布列为：【点评】：本题考查分层抽样的求法.考查离散型随机变量的分布列的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．17.（问答题.0分）在四棱锥P-ABCD中.平面ABCD⊥平面PCD.底面ABCD为梯形.AB ||CD.AD⊥PC.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于$N.DC=2\sqrt{3}.DA=PD=2.AB=1.∠PDC={120°}$ .（Ⅰ）求证：N为PC中点；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）T为PB中点.求二面角T-AC-B的大小．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）推导出AB || 平面PCD.从而MN || AB.MN || CD.再由M为PD中点.能证明N 为PC中点．（Ⅱ）在平面PCD中过点D作DH⊥DC.交PC于H.证明DH⊥平面ABCD.推出DH⊥AD.然后证明AD⊥平面PCD．（Ⅲ）推导出AD⊥CD.DH⊥CD.DH⊥AD.以D为原点.DA.DC.DH所在直线分别为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角T-AC-B的大小．【解答】：解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为梯形.AB || CD.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于N.∴平面ABNM∩平面PCD=MN.∵AB || CD.AB⊄平面PCD.CD⊂平面PCD.∴AB || 平面PCD.∵MN⊂平面PCD.且MN⊂平面ABNM.∴MN || AB.∴MN || CD.∵M为PD中点.∴N为PC中点．（Ⅱ）证明：在平面PCD中过点D作DH⊥DC.交PC于H.∵平面ABCD⊥平面PCD.DH⊂平面PCD.平面ABCD∩平面PCD=CD.∴DH⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD.∴DH⊥AD.又AD⊥PC.且PC∩DH=H.∴AD⊥平面PCD．（Ⅲ）解：∵AD⊥平面PCD.∴AD⊥CD.又DH⊥CD.DH⊥AD.以D为原点.DA.DC.DH所在直线分别为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.∴D（0.0.0）.A（2.0.0）.C（0.2 $\sqrt{3}$ .0）.B（2.1.0）.P（0.-1. $\sqrt{3}$ ）.∵T为PB中点.∴T（1.0. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）.$\overrightarrow{AC}$ =（-2.2 $\sqrt{3}$ .0）. $\overrightarrow{AT}$ =（-1.0.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）.设平面ACT的法向量 $\overrightarrow{n}$ =（x.y.z）.则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{AC}=-2x+2\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{AT}=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$ .取x= $\sqrt{3}$ .得 $\overrightarrow{n}$ =（ $\sqrt{3}$ .1.2）.平面ABC的法向量 $\overrightarrow{m}$ =（0.0.1）.设二面角T-AC-B的大小为θ.则cosθ= $\frac{|\overrightarrow{m}\bullet\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|\bullet |\overrightarrow{n}|}$ =$\frac{2}{\sqrt{8}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．∴θ=45°．∴二面角T-AC-B的大小为45°．【点评】：本题考查点是线段中点的证明.考查线面垂直的证明.考查二面角的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+a|x|-1$ ．（Ⅰ）当a=6时.求函数f（x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时.函数f（x）既有极大值又有极小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求a=6且x＞0时f（x）的导数.利用导数判断f（x）的单调性.从而求得f （x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）由a＜0时.讨论x＜0和x＞0时.利用导数研究函数f（x）的单调性.从而判断函数f（x）是否存在极大与极小值．【解答】：解：（Ⅰ）当a=6.且x＞0时. $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+6x-1$ .所以f'（x）=x2-5x+6=（x-2）（x-3）.令f'（x）=0.得x=2.或x=3；当x变化时.f'（x）.f（x）的变化情况如下表：（Ⅱ）当a＜0时.若x＜0.则 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}-ax-1$ .所以f'（x）=x2-5x-a=x（x-5）-a；因为x＜0.a＜0.所以f'（x）＞0；若x＞0.则 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+ax-1$ .所以f'（x）=x2-5x+a；令f'（x）=0.△=25-4a＞0.所以有两个不相等的实根x1.x2.且x1x2＜0；不妨设x2＞0.所以当x变化时.f'（x）.f（x）的变化情况如下表：所以当a＜0时.f（x）即存在极大值又有极小值．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题.也考查了分类讨论思想与方程根的应用问题.是中档题．19.（问答题.0分）已知椭圆C $：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a＞b＞0})$ 的左右顶点分别为A.B.左焦点为F.O为原点.点P为椭圆C上不同于A.B的任一点.若直线PA与PB的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$ .且椭圆C经过点 $({1.\frac{3}{2}})$（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P点不在坐标轴上.直线PA.PB交y轴与M.N两点；若直线OT与过点MN为直径的圆相切.切点为T.问切线长|OT|是否为定值.若是.求出定值；若不是.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由斜率之积的a.b的关系.又过一点又得a.b的关系.解出a.b的值.求出椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A.B的坐标.设P的坐标.满足椭圆的方程.得直线AP.BP.求出M.N的坐标.再用圆中切割线定理得切线长的值．【解答】：解：（Ⅰ）设P（x.y）.由题意得A（-a.0）.B（a.0）.∴k AP•k BP=$\frac{y}{x+a}$ $\bullet \frac{y}{x-a}$ = $\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$ .∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$ =- $\frac{3}{4}$ 而$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ $+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1得：b2= $\frac{3}{4}$ a2① .又过（1. $\frac{3}{2}$ ）∴ $\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$ =1 ② .所以由① ② 得：a2=4.b2=3；所以椭圆C的方程： $\frac{{x}^{2}}{4}$ + $\frac{{y}^{2}}{3}$ =1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A（-2.0）.B（2.0）设P（m.n）.$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$ .则直线的方程PA：y= $\frac{n}{m+2}$ （x+2）.令x=0.则y= $\frac{2n}{m+2}$ .所以M的坐标（0. $\frac{2n}{2+m}$ ）.直线PB的方程：y= $\frac{n}{m-2}$ （x-2）.令x=0.y= $\frac{-n}{m-2}$ .所以坐标N（0. $\frac{-2n}{m-2}$ ）.∵△OTN∽△OMT∴ $\frac{OT}{OM}=\frac{ON}{OT}$ .∴OT2=|ON|•|OM|=|$\frac{4{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$ |=3|所以切线长|OT|2= $\sqrt{3}$ ．【点评】：考查直线与椭圆的综合.属于中难题．20.（问答题.0分）定义：给定整数i.如果非空集合A满足如下3个条件：① A⊆N*；② A≠{1}；③ ∀x.y∈N*.若x+y∈A.则xy-i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P={1.2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在.求出所有的“减1集”；如果不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-0∈P.即可得出P是“减0集”.同理可得P不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A是“减2集”.则若x+y∈A.那么xy-2∈A.当x+y=xy-2时.有（x-1）（y-1）=3.对x.y分类讨论即可得出矛盾．当x+y≠xy-2时.则x+y=xy-1或者x+y=xy-m（m＞2）.同样得出矛盾．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．假设1∈A.则A中除了元素1以外.必然还含有其它元素．假设2∈A.1+1∈A.而1×1-1∉A.因此2∉A．假设3∈A.1+2∈A.而1×2-1∈A.因此3∈A．因此可以有A={1.3}．假设4∈A.1+3∈A.而1×3-1∉A.因此4∉A．假设5∈A.1+4∈A.1×4-1∈A.2+3=5.2×3-1∈A.因此5∈A．因此可以有A={1.3.5}．以此类推可得所有的A．【解答】：解：（Ⅰ）∵P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-0∈P.∴P是“减0集”同理.∵P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-1∉P.∴P不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A是“减2集”.则若x+y∈A.那么xy-2∈A. ① 当x+y=xy-2时.有（x-1）（y-1）=3.则x.y一个为2.一个为4.所以集合A中有元素6.但是3+3∈A.3×3-2∉A.与A是“减2集”.矛盾；② 当x+y≠xy-2时.则x+y=xy-1或者x+y=xy-m（m＞2）.若x+y=xy-1.m=1时M为除1以外的最小元素.则x=M-1.y=1时.xy-2=M-3小于M.如果要符合题意必须M=4.此时取x=2.y=2.xy-2=2不属于A.故不符合题意．m＞2时.（x-1）（y-1）=m+1.同样得出矛盾．综上可得：不存在A是“减2集”．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．① 假设1∈A.则A中除了元素1以外.必然还含有其它元素．假设2∈A.1+1∈A.而1×1-1∉A.因此2∉A．假设3∈A.1+2∈A.而1×2-1∈A.因此3∈A．因此可以有A={1.3}．假设4∈A.1+3∈A.而1×3-1∉A.因此4∉A．假设5∈A.1+4∈A.1×4-1∈A.2+3=5.2×3-1∈A.因此5∈A．因此可以有A={1.3.5}．以此类推可得：A={1.3.5.…….2n-1.……}.（n∈N*）.以及A的满足以下条件的非空子集：{1.3}.{1.3.5}.{1.3.5.7}.……．【点评】：本题考查了新定义、元素与集合之间的关系、逻辑推理.考查了推理能力与计算能力.属于难题．。

北京市人民大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)

人大附中2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷2019年11月说明：本试卷分I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分；II 卷7道题，共50分；I 卷、II 卷共24题，合计150分，作为期中成绩。

考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上.I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.） 1．设集合{}{}=32,=13X x Z x Y y Z y ∈-<<∈-≤≤，则X Y ⋂=（）A. {}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-2．下列各组函数是同一函数的是（）A.xy x=与1y = B.()21y x =-与1y x =-C.2x y x =与y x =D.321x x y x +=+与y x =3．下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（）A.1y x =-+B.245y x x =-+C.y x =D.1y x= 4．命题“∀x R ∈，都有20x ≥”的否定为（）A. ∀x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，使得20x <C. ∃0x R ∈，使得200x ≥ D. ∃0x R ∈，使得200x < 5．己知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则13f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（）A.13-B.13C.23-D.236．已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（）8．已知集合{}523M x R x =∈--为正整数，则M 的所有非空真子集的个数是（） A. 30 B.31 C. 510 D. 511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）9．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为______________.10．已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________.11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值__________. 12．若函数f(x)=x 2-2(a-1)x+2在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是__________.13．几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论： ①函数()f x 的值域为()1,1-； ②若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠； ③()f x 在()0,+∞是增函数；④若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为_______________.14．函数()()2241,2f x x x g x x a =-+=+，若存在121,,12x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是______________.三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）15．设全集是实数集{}{}22,2730,0R A x x x B x x a =-+≤=+<.（1）当4a =-时，求A B ⋂和A B ⋃；（2）若()R C A B B ⋂=，求实数a 的取值范围.16．已知二次函数()()22,f x x bx c b c R =++∈.（1）已知()0f x ≤的解集为{}11x x -≤≤，求实数,b c 的值；（2）已知223c b b =++，设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根，且()()12118x x ++=，求实数b 的值；（3）已知()f x 满足()10f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两实数根分别在区间()()3,2,0,1--内，求实数b 的取值范围.17．已知函数()4f x x x=+，（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数()()(),05,0,0f x x g x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[5,)+∞，求实数t 取值范围.(只需写出答案)II 卷（共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）18．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程()1g f x x =+⎡⎤⎣⎦的解集为（）A.{}1B.{}2C.{}1,2D.{}1,2,319．已知()f x 是定义在()4,4-上的偶函数，且在()4,0-上是增函数，()()3f a f <，则实a （）A.()3,3-B.()(),33,-∞-⋃+∞C.()4,3--D.()()4,33,4--⋃ 20．已知函数()225f x x ax =-+在[]1,3x ∈上有零点，则正数a 的所有可取的值的集合为（）A.7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.)+∞C. ⎤⎦D.五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）21．已知函数()f x =则函数()f x 的最大值为_______,函数()f x 的最小值为________.22．关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记()f t . （1）若()1g x x =+，则()f t =____________；（2）若()()2,0,2,0,x x g x a R x ax a x ≤⎧=∈⎨-++>⎩，存在t 使得()()2f t f t +>成立，则a 的取值范围是_____.23．对于区间[](),a b a b <，若函数()y f x =同时满足： ①()f x 在[],a b 上是单调函数；②函数()[],,y f x x a b =∈的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值，区间.（1）写出函数2y x =的一个“保值”区间为_____________；（2）若函数()()20f x x m m =+≠存在“保值区间，则实数m 的取值范围为_____________.六、解答题（本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）24．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）若函数()[]f x x =，求f(1.2),f(-1.2)的值；（2）若函数()()122x x f x x R +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求()f x 的值域；（3）若存在m R ∈且m Z ∉，使得()[]()f m fm =，则称函数()f x 是Ω函数，若函数()af x x x=+是Ω函数，求a 的取值范围.参考答案与解析I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）1．答案：B解析：因为X={-2，-1，0，1}，Y={-1，0，1，2，3}所以X ∩Y={-1，0，1}，即选B 。

北京市人大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题含解析

人大附中2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）1.设集合{}{}=32,=13X x Z x Y y Z y ∈-<<∈-≤≤，则X Y ⋂=（） A. {}0,1B. {}1,0,1-C. {}0,1,2D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】根据表示元素的范围以及表示元素是整数先分别用列举法写出集合,X Y ，然后再计算X Y ⋂的结果.【详解】因为{}2,1,0,1X =--，{}1,0,1,2,3Y =-，所以{}1,0,1X Y ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题考查集合集合的表示方法以及集合的交集运算，难度较易. 2.下列各组函数是同一函数的是（）A. x y x=与1y =B. y =1y x =-C. 2x y x=与y x = D. 321x x y x +=+与y x=【答案】D 【解析】【分析】选项A 、C 中分析每组函数的定义域是否相同；选项B 中分析分析函数的值域；选项D 中分析函数的定义域和值域. 【详解】x y x=的定义域为{x|x≠0}，1y =的定义域为R ，故A 选项错误；y =值域为[)0,+∞，1y x =-值域为R ，故B 选项错误；2x y x=与的定义域为{x|x≠0}，y x =定义域为R ，故C 选项错误； 321x x y x +=+与y x=的定义域和值域均为R ，故D 选项正确. 故选：D .【点睛】判断两个函数是否为同一函数可以先从定义域进行分析，定义域不同，则不是同一函数；定义域相同则再分析对应关系，若对应关系也相同则为同一函数，若对应关系不相同则不是同一函数.3.下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（） A. 1y x =-+ B. 245y x x =-+C. y =D. 1y x=【答案】C 【解析】【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间()0,2上的单调性即可得到结果. 【详解】1y x =-+、245y x x =-+、1y x=在区间()0,2是减函数， y =()0,2是增函数.故选：C.【点睛】一次函数的单调性判断：()0y kx b k =+≠，当0k >时在R 上递增，当k 0<时在R 上递减；二次函数的单调性判断：()20y ax bx c a =++≠，当0a >时在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当0a <时在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减. 4.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（） A. 对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B. 不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C. 存在x 0∈R ，使得x 02≥0D. 存在x 0∈R ，使得x 02＜0【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0．故选D ．【此处有视频，请去附件查看】5.已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（）A. 13- B.13C. 23-D.23【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象先用分段函数的形式写出()f x 的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出13f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由图象可知：()()()1,0,10,01,1,0x x f x x x x ⎧-∈⎪==⎨⎪+∈-⎩，所以112113333f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.6.已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】考虑“0a b >>且0c d <<”与“a bd c<”互相推出的成立情况，判断出是何种条件. 【详解】根据不等式的性质可知：由“0a b >>且0c d <<”可以推出“a bd c<”，但由“a bd c<”不能推出“0a b >>且0c d <<”，例如：1,2,3,4a d c b =-===，此时推不出“0a b >>且0c d <<”，所以是充分不必要条件. 故选：A.【点睛】对于充分、必要条件的判断要分两步考虑：判断充分性是否满足、判断必要性是否满足，再根据判断的结果得到是属于四种条件中的何种条件.7.如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，所以A 、B 、C 三个选项均不符合，只有D 选项符合题意. 故选：D .【点睛】本题考查实际问题中对应的函数图象问题，难度较易.8.已知集合{|523M x R x =∈--为正整数}，则M 的所有非空真子集的个数是（） A. 30 B. 31C. 510D. 511【答案】C 【解析】【分析】根据523x --为正整数可计算出集合M 中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式22n -（n 是元素个数）计算出结果.【详解】因为523x --为正整数，所以M ={−12，0， 12，1，32，2，52，3，72}，所以集合M 中共有9个元素，所以M 的非空真子集个数为29-2=510，故选：C.【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有n 个元素则：集合的子集个数为：2n ；真子集、非空子集个数为：21n -；非空真子集个数为：22n -.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）9.方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为______________.【答案】(){}3,7-【解析】【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）. 【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以37x y =⎧⎨=-⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7-.故答案为：(){}3,7-.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y .10.已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________.【答案】{}1,1- 【解析】【分析】分别考虑0,0x x ≤>时()2f x x =的解，求出解时注意判断是否满足定义域的要求.【详解】当0x ≤时，22x x =+，所以1x =-或2x =（舍）；当0x >时，22x x =-+，所以1x =或2x =-（舍）；所以解集为：{}1,1-. 故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查函数与方程的简单应用，难度较易.已知()f x 是分段函数，求解方程()()f x g x =的解时，可以根据()f x 的定义域分段考虑，求出每一段符合要求的解，最后写出解集.11.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．【答案】30 【解析】【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．12.若函数()()2212f x x a x =--+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是__________. 【答案】（2，5）【解析】【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间()1,4内，由此计算出a 的取值范围.【详解】因为函数f(x)=x 2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数，所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a ＜5. 故答案为：()2,5.【点睛】判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减. 13.几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论：①函数()f x 的值域为()1,1-；②若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；③()f x 在()0,∞+是增函数；④若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③④ 【解析】【分析】考虑0,0,0x x x ><=时对应函数的值域、单调性、奇偶性即可判断出①②③是否正确，利用归纳推理的思想判断()1n xf x n x=+是否正确.【详解】()f x 的定义域为R ，当0x >时()()110,111x f x x x ==-∈++且()f x 是单调递增的，当0x <时()()111,011x f x x x==-+∈---且()f x 是单调递增的，当0x =时()00f =，又因为()()1xf x f x x--==-+-，所以()f x 是奇函数，由此可判断出①②③正确，因为()()()2112x f x f f x x ==+，()()()3213xf x f f x x ==+，......，由归纳推理可得：()1n xf x n x=+，所以④正确.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用，难度较难. （1）分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；（2）分段函数在判断单调性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大小关系.14.函数()()2241,2f x x x g x x a =-+=+，若存在121,,12x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是___________. 【答案】33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先根据1x 的范围计算出()1f x 的值域，然后分析()2f x 的值域，考虑当两个值域的交集不为空集时对应a 的取值范围即可.【详解】因为()2241f x x x =-+，所以当11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()111,2f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，因为()2g x x a =+，所以当21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()[]21,2g x a a ∈++，由题意可知[]11,1,22a a ⎡⎤--++≠∅⎢⎥⎣⎦I ，当[]11,1,22a a ⎡⎤--++=∅⎢⎥⎣⎦I 时，112a +>-或21a +<-，所以32a >-或3a <-，综上可知：33,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据函数值域的关系求解参数范围，难度一般. 当两个函数的值域的交集不为空集时，若从正面分析参数的范围较复杂时，可考虑交集为空集时对应的参数范围，再求其补集即可求得结果.三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）15.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<. （1）当4a =-时，求A B I 和A B U ；（2）若()R C A B B =I ，求实数a 的取值范围．【答案】⑴1[,2)2A B ⋂=，(2,3]A B ⋃=-.⑵1[,)4a ∈-+∞. 【解析】本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用。

2019年重点高中高一新生分班考试数学卷含答案

2019年重点高中高一新生分班考试数学卷含答案(共23页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2019年重点高中高一新生分班考试数学卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（）A．3 B． C．3或﹣3 D．或﹣2．如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°3．的值是（）A．±16 B．±4 C．16 D．−164．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．65°5．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（）A．B．C．D．6．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 7．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（）A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y8．函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），则a2+b2的值为（）A．1 B．11 C．25 D．无法求解9．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．10 B．20 C．10π D．20π10．如图，在菱形纸片ABCD中，，P为AB中点折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为DE，则的大小为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知是整数，则n是自然数的值是_____．12．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设_____．13．如果不等式组有解，那么m的范围是______．14．已知点，轴，且，则点N的坐标为______．15．如图，矩形的顶点在坐标原点，，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，当此矩形绕点旋转到如图位置时的坐标为________．16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（本题8分）解方程组和分式方程：（1）解方程组（2）解分式方程．18．（本题8分）平面上有3个点的坐标：，，在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线上又在抛物线上上的概率是多少？从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线上的概率．19．（本题10分）某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？20．（本题8分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处点A与大树及其影子在同一平面内，此时太阳光与地面夹角为，在A处测得树顶D的仰角为如图所示，已知背水坡AB的坡度：3，AB的长为10米，请你帮助小亮算一算这颗大树的高度结果精确到米，参考数据：，注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比21．（本题10分）据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1 000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．22．（本题10分）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B、C的坐标．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题12分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE．（1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，写出BE长度的取值范围．答案分析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

2019年人大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析2019.8

(xb)|xc|图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的2019年人大附中新高一分班考试数学试题-真题2019.8一、选择题（本大题共17小题，共34分）1.小雨利用几何画板探究函数y=a函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足()A.a>0，b>0，c=0B.a<0，b>0，c=0C.a>0，b=0，c=0D.a<0，b=0，c>0第1题图第3题图2.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是()A.9B.10C.11D.123.如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：(1)分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；(2)分别以A，C为圆心，大于1AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；2(3)连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC//OD；③CE=OE；④AD2=OD⋅CE；所有正确结论的序号是()A.①②B.①④C.②③D.①②④4.图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟後，9号车厢才会运行到最高点？()A.10B.20C.15D.245 25.某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用．已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？()参观方式去程及回程均搭乘缆车单程搭乘缆车，单程步行缆车费用300元200元A.16B.19C.22D.256.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(−3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()A.(0,9)B.(0,27)C.(0,9)D.(0,19)22第6题图第7题图第8题图7.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？()A.40°B.45°C.50°D.60°8.如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为()A.4B.5C.6D.7C. D.B. C. D.9.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？()A.80B.110C.140D.22010.如图，坐标平面上，二次函数y=−x2+4x−k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k>0.△若ABC△与ABD的面积比为1：4，则k值为何？()A.1B.144235第10题图第11题图11.如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？()A.43812325712.图(一)、图(二)分别为甲、乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图．若甲、乙两班学生的投进球数的众数分别为a、b；中位数分别为c、d，则下列关于a、b、c、d的大小关系，何者正确？()A.a>b，c>dB.a>b，c<dC.a<b，c>dD.a<b，c<d16. 如图的矩形 ABCD 中，E 为AB 的中点，有一圆过 C 、D 、E 三点，且此圆分别与AD 、BC 相交于 P 、Q (甲) 作∠DEC 的角平分线 L ，作DE 的中垂线，交 L 于 O 点，则 O 即为所求； (乙) 连接PC 、QD，两线段交于一点 O ，则 O 即为所求13. 如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为 2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )A. 1B. 235C. 2 − √3D. 4 − 2√3第 13 题图第 14 题图14. 如图的矩形 ABCD 中，E 点在 CD 上，且AE < AC.若 P 、Q 两点分别在 AD 、AE 上，AP ：PD = 4：1，AQ ：QE = 4：1，直线 PQ 交 AC 于 R 点，且 Q 、R 两点到 CD 的距离分别为 q 、r ，则下列关系何者正确？( )A. q < r ，QE = RCC. q = r ，QE = RCB. q < r ，QE < RCD. q = r ，QE < RC15. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支 MA T 手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为 x 元，x 为 400 到 600 之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？()号码的月租费(元)MA T 手机价格(元)甲方案40015000乙方案60013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600. . .两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心 O ，其作法如下：.. .对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？()A. 两人皆正确C. 甲正确，乙错误B. 两人皆错误D. 甲错误，乙正确O 1317.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()A.1B.2C.2√3−2D.4−2√3二、填空题（本大题共3小题，共9分）18.如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE.下列结论：①AQ⊥DP②OA2=OE⋅OP③S△AOD =S四边形ECF④当BP=1时，tan∠OAE=16其中正确结论的序号是______．19.在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点(不与端点重合)，对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是______．20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，记x=AC，y=BC−AC，在平面直角坐标系xOy中，定义(x,y)为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点(x,y)对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点(x,y)对应的直角三角形均满足AB=√2BC；②在函数y=2019(x>0)的图象上存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；x③对于函y=(x−2020)2−1(x>0)的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y=−2x+2020(x>0)的图象上存在无数对点P，Q(P与Q不重合)，使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共 9 小题，第 21-26 题每题 6 分，第 27-29 题，每题 7 分，共 57 分）21. 如图，AM △是 ABC 的中线，D 是线段 AM 上一点(不与点 A 重合). DE//AB 交 AC 于点 F ，CE//AM ，连结 AE ．(1)如图 1，当点 D 与 M 重合时，求证：四边形 ABDE 是平行四边形；(2)如图 2，当点 D 不与 M 重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)如图 3，延长 BD 交 AC 于点 H ，若BH ⊥ AC ，且BH = AM ．①求∠CAM 的度数；②当FH = √3，DM = 4时，求 DH 的长．22. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙ M ，给出如下定义：若⊙ M 上存在两个点 A ，B ，使AB =2PM ，则称点 P 为⊙ M 的“美好点”．(1)当⊙ M 半径为 2，点 M 和点 O 重合时．①点P 1(−2,0)，P 2(1,1)，P 3(2,2)中，⊙ O 的“美好点”是______；②若直线y = 2x + b 上存在点 P 为⊙ O 的“美好点”，求 b 的取值范围；(2)点 M 为直线y = 4上一动点，以 2 为半径作⊙ M ，点 P 为直线y = x 上一动点，点 P 为⊙ M 的“美好点”，求点 M 的横坐标 m 的取值范围．23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过⊙ T 外一点 P 引它的两条切线，切点分别为 M ，N ，若60° ≤∠MPN < 180°，则称 P 为⊙ T 的环绕点．(1)当⊙ O 半径为 1 时，①在P 1(1,0)，P 2(1,1)，P 3(0,2)中，⊙ O 的环绕点是______；②直线y = 2x + b 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，若线段 AB 上存在⊙ O 的环绕点，求 b 的取值范围；(2) ⊙ T 的半径为 1，圆心为(0, t )，以(m, √3 m)(m > 0)为圆心，√3 m 为半径的所有圆构成图形 H ，若33在图形 H 上存在⊙ T 的环绕点，直接写出 t 的取值范围．24. 在平面直角坐标系 xOy 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点A(p, q)、B(m, n)(m ≤ n)满足关于 x 的多项式x 2 + px + q 能够因式分解为(x + m)(x + n)，则称点 B 是 A 的分解点．例如A(3,2)、B(1,2)满足x 2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)，所以 B 是 A 的分解点．(1)在点A 1(5,6)、A 2(0,3)、A 3(−2,0)中，请找出不存在分解点的点：______；(2)点 P 、Q 在纵轴上(P 在 Q 的上方)，点 R 在横轴上，且点 P 、Q 、R 都存在分解点，若△ PQR 面积为 6，请直接写出满足条件的△ PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；(3)已知点 D 在第一象限内，D 是 C 的分解点，请探究△ OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点 D 的坐标；若不可能，请说明理由．25.已知关于x的一元二次方程1x2+bx+c=04(1)c=2b−1时，求证：方程一定有两个实数根．(2)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程1x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率．426.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1(k≠0)与函数y=m(x>0)的图象交于点xA(3,2)．(1)求k，m的值；(2)将直线l沿y轴向上平移t(t>0)个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，Q，与函数y=m(x>0)的图象交于点C．x①当t=2时，求线段QC的长．②若2<QC<3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．PQ27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2ax+a2−a+4的顶点为A，点B，C为直线y=3上的两个动点(点B在点C的左侧)，且BC=3．(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)；(2)若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；(3)过点A作x轴的垂线，交直线y=3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC=3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．28.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE//AC交直线AD于点E．(1)依题意补全图形；(2)找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；(3)延长BD交直线AC于点F，过点F作FH//AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．29.新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．(1)已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y=2x+2；②直线y=−x+3；③双曲线y=2，是⊙O的关联图形的是______(请直接写出正x确的序号)．(2)如图1，⊙T的圆心为T(1,0)，半径为1，直线l：y=−x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B(0,2)，C(2,0)，D(0,−2)，⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ 在直线x=6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．由图中可知，当x<m时，y>0，|x−c|>0，所以当x>m时，y<0，|x−c|>0，所以(x−b)>0；(x−b)<0，2019年人大附中新高一分班考试数学试题真题答案和解析1.【答案】B【解析】解：设虚线为x=m(显然，m>0)，aa可得(x−b)在m的左右两侧时，符号是不同的，即b=m>0当x<b时，x−b<0，而y>0，所以a<0显然另外一条分割线为x=0=c；故选：B．从函数整体图象，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴右侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大．2.【答案】B【解析】【分析】本题题是数字规律应用的考查，重点考查分析问题和解决问题以及计算方面的能力，确定每一个“拆分数”中第一个数构成的数列的规律是关键．观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数103的是从3开始的第52个数，然后确定出52所在的范围即可得解．【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3有m个奇数，∵2n+1=103，n=51，∴奇数103是从3开始的第52个奇数，∵(9−1)(9+2)=44，(10+2)(10−1)=54，22∴第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，⏜ ⏜即m = 10．故选：B ．3.【答案】D【解析】解：由作图可知，OP 垂直平分线段 AB ，OQ 平分∠AOC ，故①正确，∴ OP ⊥ AB ，∴ ∠AOC = ∠BOC = 90°，∴ ∠AOD = 1 ∠AOC = 45°，2∵ OB = OC ，∴ ∠OBC = 45°，∴ ∠AOD = ∠OBC = 45°，∴ OD//BC ，故②正确，∴ OD = OE < 1，BCEC∴ OE < EC ，故③错误，连接 CD ．∵ ∠DCE = ∠DCO ，∠CDE = ∠COD = 45°，∴△ DCE∽△ OCD ，∴ CD = CE ，OCCD∴ CD 2 = OD ⋅ CE ，∵ ∠AOD = ∠DOC ，∴ AD = CD ，∴ AD = CD ，∴ AD 2 = OD ⋅ CE ，故④正确，故选：D ．由作图可知，OP 垂直平分线段 AB ，OQ 平分∠AOC ，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．36×30=20(分钟)．4.【答案】B【解析】解：36219所以经过20分钟後，9号车厢才会运行到最高点．故选：B．先求出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键．5.【答案】A【解析】解：设此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，根据题意得，200x300y=4100(15y)(10y)=x，x=7解得，y=9，则总人数为79=16(人)故选：A．设此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，根据题意列出二元一次方程，求出其解．本题是二元一次方程组的应用，主要考查了列二元一次方程组解应用题，关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．6.【答案】B【解析】解：设B(3m,2)，C(3m,2)，(m>0)∵A点坐标为(3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√3 32∴C(3√3,2)3设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√3+3)2=2，3∴a=3，2∴y=3(x+3)2，2当x=0时，y=27；2故选：B．设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)，可知BC=2m，再由等边三角形的性质可知C(−3+2√3,2)，3设抛物线解析式y=a(x+3)2，将点C代入解析式即可求a，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM=360°−220°=140°．∵∠BOD+∠BOM=180°，∴∠BOD=180°−∠BOM=180°−140°=40°．故选：A．在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM=140°，再根据邻补角互补即可得出结论．本题考查了多边形的内角与外角以及邻补角，解题的关键是根据多边形的外角和为360°找出∠BOM= 140°．8.【答案】C【解析】解：连接OE，∵⊙O与AB相切于E，∴∠AEO=90°，∵AO=5，OE=3，∴AE=√AO2−OE2=4，∵AB=10，∴BE=6，∵BG与⊙O相切于G，∴BG=BE=6，故选C．连接OE，由⊙O与AB相切于E，得到∠AEO=90°，根据勾股定理得到AE=√AO2−OE2=4，根据切线长定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原有水c毫升，a+c−40=2a{a+b+c+180=3b ①②②−①，得b−a=110，故选B．根据题意可以分别设出甲、乙、丙三个杯子内原有水的体积，然后根据题意可以列出方程组，然后作差即可得到原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升，本题得以解决．本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是明确题目中的等量关系，列出相应的方程组，巧妙变形，得到所求问题的答案．10.【答案】D【解析】解：∵y=−x2+4x−k=−(x−2)2+4−k，∴顶点D(2,4−k)，C(0,−k)，∴OC=k，∵△ABC的面积=1AB⋅OC=1AB⋅k△，ABD的面积=1AB(4−k)△，ABC△与ABD的面积比为1：4，222∴k=1(4−k)，4解得：k=4．5故选：D．求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．BN②，将AE=4代入②，得：31=4BN，将AE的长代入可求得BN．2×a2，11.【答案】D【解析】解：∵四边形DEFG是正方形，∴DE//BC，GF//BN，且DE=GF=EF=1，∴△ADE∽△ACB△，AGF∽△ANB，∴AE=DE①，AEEF=AB BC ABGF由①可得，AE=1，解得：AE=4，4333解得：BN=12，7故选：D．41BN，由DE//BC可得AE=DE求出AE的长，由GF//BN可得AEEF=AB BC ABGF本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出A E的长是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：由图(三)、图(四)可知a=8，b=6⇒a>b，甲班共有5152015=55(人)，乙班共有2551510=55(人)，则甲、乙两班的中位数均为第28人，得c=8，d=7⇒c>d．故选A．根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，确定众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；依此即可求解．此题考查了众数与中位数的知识．解题的关键是熟记众数与中位数的定义．13.【答案】D【解析】解：设丁的一股长为a，且a<2，∵甲面积乙面积=丙面积丁面积，∴2a2a=1×2221∴4a=21a22，2 = 8±4√3 =4 ± 2√3，根据矩形的性质得到AB//CD ，根据已知条件得到∴ a = 8±√(8)24×1×42 ∵ 4 + 2√3 > 2，不合题意舍，42√3 < 2，合题意，∴ a = 4 2√3．故选 D ．设出丁的一股为 a ，表示出其它，再用面积建立方程即可．此题是一元二次方程的应用题，主要考查了一元二次方程的解，解本题的关键是列出一元二次方程．14.【答案】D【解析】解：∵在矩形 ABCD 中，AB//CD ，∵ AP ：PD = 4：1，AQ ：QE = 4：1，∴ AP = AQ ，PDQE∴ PQ//CD ，∴ AR = AQ = 4，RCQE∵平行线间的距离相等，∴ q = r ，∵ AR = AQ = 4，RCQE∴ QE = CR = 1，AEAR 5∵ AE < AC ，∴ QE < CR ．故选：D ．AP PD= AQ ，根据平行线分线段成比例定理得到PQ//CD ，QEAR RC= AQ = 4，根据平行线间的距离相等，得到q = r ，证得QE = CR = 1，于是得到结论．QE AE AR 5本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．15.【答案】C【解析】解：∵ x 为 400 到 600 之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，解：甲，∵ ED = EC ， ∴ L 为CD 之中垂线， ∴ PC 、QD 为此圆直径，∴ PC 与QD 的交点 O 为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．由已知得：24x + 15000 > 27400，解得：x > 516 2，即 x 至少为 517．3故选 C ．由 x 的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于 x 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．【解答】. .∴△ DEC 为等腰三角形，.∴ O 为两中垂线之交点，即 O △为 CDE 的外心，∴ O 为此圆圆心．乙，∵ ∠ADC = 90°，∠DCB = 90°，. .. .故选 A ．17.【答案】C= 1 3 + √3 = √3 − 11 1 【解析】解：如图，连接 PF ，QF ，PC ，QC ，∵ P 、Q 两点分别为△ ACF △、 CEF 的内心，∴ PF 是∠AFC 的角平分线，FQ 是∠CFE 的角平分线，∴ ∠PFC = 1 ∠AFC = 30°，∠QFC = 1 ∠CFE = 30°，22∴ ∠PFC = ∠QFC = 30°，同理，∠PCF = ∠QCF∴ PQ ⊥ CF ，∴△ PQF 是等边三角形，∴ PQ = 2PG ；△易得 ACF≌△ ECF ，且内角是30°，60°，90°的三角形，∴ AC = 2√3，AF = 2，CF = 2AF = 4，∴ △?? ACF = 2 AF × AC = 2 × 2× 2√3 = 2√3，过点 P 作PM ⊥ AF ，PN ⊥ AC ，PQ 交 CF 于 G ，∵点 P △是 ACF 的内心，∴ PM = PN = PG ，∴ △?? ACF = △?? PAF + △?? PAC + △?? PCF1 1 1= AF × PM + AC × PN + CF × PG2 2 2 1 1 × 2 × PG + × 2√3 × PG + ×4 × PG2 2 2= (1 + √3 + 2)PG= (3 + √3)PG= 2√3，∴ PG =2√3∴ PQ = 2PG = 2(√3 − 1)=2√3−2．故选：C．先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．18.【答案】①③④【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP△与ABQ中，AD=AB∠DAP=∠ABQ，AP=BQ∴△DAP≌△ABQ(SAS)，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴AO=OP，OD OA∴AO2=OD⋅OP，∵AE>AB，∴AE>AD，∴OD≠OE，在△ CQF △与BPE 中∠FCQ = ∠EBP ∠Q = ∠P ，CQ = BP∴△ CQF≌△ BPE(AAS)，∴ CF = BE ，∴ DF = CE ，在△ ADF △与DCE 中，AD = CD∠ADC = ∠DCE ， DF = CE∴△ ADF≌△ DCE(SAS)，∴ △?? ADF − △?? DFO = △?? DCE − △?? DOF ，即△?? AOD = S 四边形OECF ；故③正确；∵ BP = 1，AB = 3，∴ AP = 4，∵△ PBE∽△ PAD ，∴ PB = PA = 4，EBDA 3∴ BE = 3，4∴ QE = 13，4∵△ QOE∽△ PAD ，∴ QO= OE = QE = PA AD PD1345，∴ QO = 13，OE = 39，520∴ AO = 5 − QO = 12，5∴ tan∠OAE = OE=OA39 20 12 5= 13，故④正确，16故答案为①③④．由四边形 ABCD 是正方形，得到AD = BC ，∠DAB = ∠ABC = 90°，根据全等三角形的性质得到∠P =∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥ DP ；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO 2 = OD ⋅ OP ，由OD ≠OE ，得到OA 2 ≠ OE ⋅ OP ；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF = BE ，DF = CE ，于是得到△?? ADF − △?? DFO = △?? DCE − △?? DOF ，即△?? AOD = S 四边形OECF ；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE =3，求得QE=13，QO=13，OE=39，由三角函数的定义即可得到结论．44520本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．19.【答案】①②③【解析】解：如图1中，满足AM=BN=PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM=NP，∠MNP=90°△时，MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值．故答案为①②③．利用图象法，画出图形判定即可解决问题．本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】①③④【解析】解：①∵在x轴正半轴上的任意点(x,y)，∴y=0，∴AC=BC，②设P({x 1,2019)，Q(x , 2019)， x 1x 2+2019x +20192 (x 1−2020)2−1 = 若两个三角形相似，则有 (x 2−2020)2−1，②设P({x 1, 2019)，Q(x, 2019)，则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，x 1 + 2019；x x 1x 2 x 1=x 2+2019，可得x 22 = x 12，当x > 0时x 1 = x − 2020)2 − 1)，则对应的直角三角形的直角边分别为x +− 2020)2 − 1，若两个三角形相似，则有(x 2−2020)2−1，(x 1− x 22∴ AB = √2BC ；2则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，x 1 +2019 x 1；x2，x2+ 2019，x 2若两个三角形相似，则有x∴ x 2 = x 1 ，∵ x > 0， x 1= x 2x 1 x 2 ，∴ x 1 = x2，∴不存在两点边 P ，Q ，使得它们对应的直角三角形相似；③设P(x 1, (x 1 − 2020)2 − 1)，Q(x− 2020)2 − 1)，, (x22则对应的直角三角形的直角边分别为x 1 + (x 1 − 2020)2 − 1，x 1；x 2 ，x 2+ (x 2− 2020)2 − 1，x 1x 2∴ (x 1 − x2)(x 1x2+ 1 − 20202) = 0，∵ x > 0，∴ x 1x2+ 1 = 20202， ∴图象上的任意一点 P ，都存在该函数图象上的另一点 Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似； ④设P(x 1, −2x 1 + 2020)，Q(x2, −2x2+ 2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，−x 1 + 2020；x 2，−x2+ 2020，若两个三角形全等，则有x 1 = −x+ x 1 = 2020，∴ x22+ 2020，x2= −x 1 + 2020，∵ x > 0，∴图象上存在无数对点 P ，Q ，使得它们对应的直角三角形全等；故答案为①③④．①在 x 轴正半轴上的任意点(x, y)，则y = 0，所以AC = BC ，由勾股定理可得AB = √2BC ；2若两个三角形相似，则有xx 1 x 2x 1 x 22 ； 2 ，x 2 + 2019， x 2③设P(x 1, (x 1 − 2020)2 − 1)，Q(x 2 , (x21(x 1 − 2020)2 − 1，x 1；x2，x2+ (x2x 1(x 1−2020)2−1=x 22第23页，共39页+2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x，−x+2④设P(x1,−2x1+2020)，Q(x2,−2x2112020；x2，−x2+2020，若两个三角形全等，则有x1=−x+2020，可得x2+x1=2020．本题考查函数的性质，新定义，三角形性质；能够理解题意，将问题转化为直角三角形相似与全等，利用相似与全等的关系结合直角三角形的性列出正确的等式，再能正确求解方程是解题的关键．21.【答案】(1)证明：如图1中，点D与M重合，∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABD，∵CE//AM，∴∠ECD=∠ADB，∵AM△是ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC(ASA)，∴AB=ED，∵AB//ED，∴四边形ABDE是平行四边形．(2)结论：成立．理由如下：如图2中，过点M作MG//DE交CE于G．∵CE//AM，√3x =∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，∴AB//DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形．(3)①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，∵BM=MC，∴MI△是BHC的中位线，∴MI//BH，MI=1BH，2∵BH⊥AC，且BH=AM．∴MI=1AM，MI⊥AC，2∴∠CAM=30°．②设DH=x，则AH=√3x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x，∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF//AB，∴HF=HD，HA HB∴√3x4+2x，解得x=1+√5或1−√5(舍弃)，∴DH=1+√5．【解析】(1)只要证明AB=ED，AB//ED即可解决问题；(2)成立．如图2中，过点M作MG//DE交CE于G.由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，可知AB//DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；(3)①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=1AM，MI⊥AC，即可解决问题；2②设DH=x，则AH=√3x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF//AB，推出HF=HD，可得√3=HA HB√3xx4+2x，解方程即可；本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．22.【答案】P1和P2【解析】解：(1)①如图1中，∵OP1=2=r，OP2=√2<r，OP3=2√2<r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2．②当直线y=2x+b与⊙O相切时，设切点为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．由题意E(0,b)，K(−b,0)，2∴OE=b，OK=b，EK=√5b，22∵sin∠TKO=TO=OE，OK EK，∴2b2=b√5b2∴b=2√5，根据对称性可知：当直线与⊙O在下方相切时，OF=OE=2√5，∴b=−2√5，∴b的取值范围为：−2√5≤b≤2√5．(2)如图2中，当直线y=4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM=E′M′=2，∴M′(2,2)，m(6,6)，∴满足条件的m的取值范围为2≤m≤6．(1)①根据⊙M的“美好点”即可判断．②求出直线y=2x+b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；(2)当直线y=4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；本题属于圆综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】P2，P3【解析】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN = 60°时，∵ PT 平分∠MPN ，∵ ∠TPM = ∠TPN = 30°，∵ TM ⊥ PM ，TN ⊥ PN ，∴ ∠PMT = ∠PNT = 90°，∴ TP = 2TM ，以 T 为圆心，TP 为半径作⊙ T ，观察图象可知：当60° ≤ ∠MPN < 180°时，⊙ T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆设的点不包括小圆上的点)．如图 1 中，以 O 为圆心 2 为半径作⊙ O ，观察图象可知，P 2，P 3是⊙ O 的环绕点，故答案为P 1，P 2．②如图 2 中，设小圆交 y 轴的正半轴与于 E ．当直线y = 2x + b 经过点 E 时，b = 2．当直线y=2x+b与大圆相切于K(在第二象限)时，连接OK，由题意B(0,b)，A(−b,0)，2∴OB=b，OA=b，AB=√OA2+OB2=√(b)2+b2=√5b，222∵OK=2，1⋅AB⋅OK=1⋅OA⋅OB，22∴1⋅√5b×2=1⋅b⋅b，2222解得b=2√5，观察图象可知，当2<b≤2√5时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当−2√5≤b<−2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的值为2<b≤2√5或−2√5≤b<−2．(2)如图3中，不妨设E(m,√3m)，则点E在直线y=√3x时，33∵m>0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E(m,√3m)，3∴OM=m，EM=√3，3∴以E(m,√3m)(m>0)为圆心，√3m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，33观察图象可知，以E(m,√3m)(m>0)为圆心，√3m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内33部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM=EM=√3，OM3∴∠EOM=30°，。

北京市人大附中2019届高三8月摸底考试数学(文)试题(解析版)

北京市人大附中2019届高三8月摸底考试数学（文）试
题（解析版）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知若命题p：，则，那么￢为
A. 若则且，
B. 若则或
C. 若则且
D. 若则或
3.下列函数中为偶函数的是
A. B. C. D.
4.已知向量，，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
5.函数的图象记为曲线则“”是“曲线C关于直线
对称”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.若变量x，y满足约束条件，且的最小值为，则
A. B. C. D.
7.已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. 2 D.
8.袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球教师
把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号．
甲说：“我无法确定”
乙说：“我也无法确定”
甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了”
根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中
A. 一定有3号球
B. 一定没有3号球
C. 可能有5号球
D. 可能有6号球
第1页，共1页。

北大附属学校2019届高一实验班选拔考试(数学)

3
3
叠三角形覆盖的图形面积为 2 − 4 × 1 × 1 × 2 = 2 ． 3 233 9
（6 分）
（2）
S1
=
1 2
S2
.
（8 分）
19.（本小题 10 分）
数学试卷第10页（共八页）
解：（1） y = 1 (x > 0) 不是有界函数； x
CQ
A
PB
O
x
M
D
数学试卷第 4 页（共八页）
数学答题卷
一、选择题（每小题 3 分，共 8 题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题（每小题 4 分，共 6 小题）
9．
；10．
；11．
；
12．
；13．
；14．
；
三、解答题（共 6 小题，共 52 分）
15．（本小题 6 分）
E
D
C
所以 AC 是圆 O 的切线；（4 分）
（2）过点 O 作 OF ⊥ BC 于点 F ，则 BF = EF ， ∠OFC = 900 ,又 ∠C = ∠ODC = 900 ，
所以四边形 CDOF 是矩形， OF = CD = 4 ,在 RtΔBOF 中， BF = OB2 −OF2 = 3,
所以 BE = 2BF = 6 .（8 分）
CQ
A
PB
O
x
M
D
数学试卷第 8 页（共八页）
2019 届数学参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 8 题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A. 200tan70°米B. 200tan70∘米 C. 200sin 70°米 D. 200sin70∘米2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A. abc>0B. 4ac−b2<0C. 3a+c>0D. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()A. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO的长为()A. √5B. 3√5 C. 2√5 D. 4√526.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()D. y=x+2A. y=xB. y=x+1C. y=x+128.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2D. 若y1=y2，则x1=x2二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．②分别以点D、E为圆心，大于12③作射线BF交AC于点G．如果AB=8，BC=12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为______．10.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为______．得DF=1411.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1<y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是______．第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=⏜的长为π，则图中阴影部分的面积为______．120°，AB+AC=16，MN14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共12小题，共46分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足3x −y =5①，2x +3y =7②，求x −4y 和7x +5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x −4y =−2，由①+②×2可得7x +5y =19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：(1)已知二元一次方程组{2x +y =7,x +2y =8,则x −y =______，x +y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？(3)对于实数x 、y ，定义新运算：x ∗y =ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG =ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2−1012…y…m0−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．27.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．28.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQPT，∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，即河宽200tan70∘米，故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∵b=2a，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=ABBE =612=12，∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，在Rt△ABC中，AC=√42+82=4√5，∴OA =OC =2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF =FC =AE =5，由勾股定理求出AB ，AC ，进而求出OA 即可．本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提． 6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y =x 2−2x −3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，令y =0，解得x =−1或3，令x =0，求得y =−3，∴A(3,0)，B(0,−3)，∵抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =−−22×1=1，∴A′的横坐标为1，设A′(1,n)，则B′(4,n +3)，∵点B′落在抛物线上，∴n +3=16−8−3，解得n =2，∴A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y =kx +b ，∴{k +b =24k +b =5，解得{k =1b =1∴直线A′B′的表达式为y =x +1，故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴GM=9，2∴△CBG的面积为：12×BC×GN=12×12×92=27．故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO =DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DEEF =45，∴EDGC =45，∴EOGO =45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】14t2−14t+1【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，∴tan∠ADM=AMAD =t2=FG1，∴FG=t2，∵CG=DE=t24+1，∴CF=t24−t2+1，∴S四边形CDEF =12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．故答案为：14t2−14t+1．连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN⏜的长为π，∴60πr180=π，∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，∴S阴影=S△OBM+S△OCN−(S扇形MOE+S扇形NOF)=12×3×(BM+CN)−(120π×32360)=32(16−2√3)−3π=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN⏜的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√33厘米或4√3厘米或8−4√3【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√33；②当∠AEB=30°时，AE=ABtan30∘=4√33=4√3；③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=xsin60∘=2√3x3，∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√33，∴x+2√3x3=4√33，∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH−OH=4−3=1，∴E(0,1)，D(2,0)，∴该抛物线的函数表达式y=kx2+1，把点D(2,0)代入，得k=−14，∴该抛物线的函数表达式为：y=−14x2+1；(2)∵GM=2，∴OM=OG=1，∴当x=1时，y=34，∴N(1,34)，∴MN=34，∴S矩形MNFG =MN⋅GM=34×2=32，∴每个B型活动板房的成本是：425+32×50=500(元)．答：每个B型活动板房的成本是500元；(3)根据题意，得w=(n−500)[100+20(650−n)10]=−2(n−600)2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+20(650−n)10≤160，解得n≥620，∵−2<0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n=620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n(元)定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是19200元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y=kx2+m，即可求解；(2)根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；(3)根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，依题意，得：7200(1+50%)x −3200x=40，解得：x =40，经检验，x =40是原方程的解，且符合题意，∴(1+50%)x =60，3200x =80，7200(1+50%)x =120．答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x 元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x 元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出x 的值，再将其分别代入(1+50%)x ，3200x ，7200(1+50%)x 中即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−1 5 −11【解析】解：(1){2x +y =7 ①x +2y =8 ②．由①−②可得：x −y =−1，由13(①+②)可得：x +y =5．故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，依题意，得：{20m +3n +2p =32 ①39m +5n +3p =58 ②，由2×①−②可得m +n +p =6，∴5m +5n +5p =5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a +5b +c =15 ①4a +7b +c =28 ②，由3×①−2×②可得：a +b +c =−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x −y 的值，利用13(①+②)可得出x +y 的值；(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m ，n ，p 的三元一次方程组，由2×①−②可得除m +n +p 的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a +b +c 的值，即1∗1的值．。

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

t a n70∘米si n70∘米2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A.200tan70°米B.200C.200sin70°米D.2002.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A.abc>0B.4ac−b2<0C.3a+c>0D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK△和GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()B. 若|x − 1| > |x − 1|，则y < yD. 若y = y ，则x = xA. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF ，EF 与 AC 交于点O.若AE = 5，BF = 3，则 AO的长为( )A. √5B. 3 √52C. 2√5D. 4√56.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象大致为图中的()A.B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，连接 AB ，将Rt △ OAB 向右上方平移，得到Rt △ O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()A. y = xB. y = x + 1C. y = x + 1D. y = x + 228.已知P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)是抛物线y = ax 2 − 2ax 上的点，下列命题正确的是()A. 若|x 1 − 1| > |x 2 − 1|，则y 1 > y 2 C. 若|x 1 − 1| = |x 2 − 1|，则y 1 = y 21 2 1 21 2 1 2⏜二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）9.如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB 、BC 于点 D 、E ．②分别以点 D 、E 为圆心，大于1 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F ．2③作射线 BF 交 AC 于点 G ．如果AB = 8，BC = 12△，ABG 的面积为 18△，则 CBG 的面积为______．10. 如图，在▱ABCD 中，∠B = 60°，AB = 10，BC = 8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F ，使得DF = 1 DE ，以 EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接 EG ，则 EG 的最小值为______．411. 抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 为常数，a < 0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根为x 1 = 2，x 2 = −4； ②若点C(−5, y 1)，D(π, y 2)在该抛物线上，则y 1 < y 2；③对于任意实数 t ，总有a t 2 + bt ≤ a − b ；④对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程ax 2 + bx + c = p(p 为常数，p > 0)的根为整数，则 p 的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12. 如图，折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 AB 边的点 M 处，EF 为折痕，AB = 1，AD = 2.设 AM 的长为 t ，用含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是______．第 12 题图第 13 题图13. 如图，在△ ABC 中，O 为 BC 边上的一点，以 O 为圆心的半圆分别与 AB ，AC 相切于点 M ，N.已知∠BAC =120°，AB + AC = 16，MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为______．14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？(1)已知二元一次方程组{四、解答题（本大题共 12 小题，共 46 分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品甲乙进价(元/件) 数量(件) 总金额(元)72003200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件．请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数 x 、y 满足3x − y = 5①，2x + 3y = 7②，求x − 4y 和7x + 5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① − ②可得x − 4y = −2，由① + ② × 2可得7x + 5y = 19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：2x + y = 7,x + 2y = 8,则x − y =______，x + y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、5 块橡皮、3本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元？(3)对于实数 x 、y ，定义新运算：x ∗ y = ax + by + c ，其中 a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3 ∗ 5 = 15，4 ∗ 7 = 28，那么1 ∗ 1 =______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点x P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE=AB=2，AE=4，AB=8，将矩形AEFGAG AD3绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数2个整数之和1，231，342，35如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数2个整数之和1，231，341，452，352，463，47如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26. 已知抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 是常数，a ≠ 0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：x …−2−1 01 2… y… m−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及 m ，n 的值；(3)请在图 1 中画出所求的抛物线．设点 P 为抛物线上的动点，OP 的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y = m(m > −2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A 1，A 2，A 3，A 4，请根据图象直接写出线段A 1A 2，A 3A 4之间的数量关系______．27. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S 1，S 2，S 3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图 2，在Rt △ ABC 中，BC 为斜边，分别以 AB ，AC ，BC 为斜边向外侧作Rt △ ABD ，Rt △ ACE ，Rt △BCF ，若∠1 = ∠2 = ∠3，则面积S 1，S 2，S 3之间的关系式为______；推广验证(2)如图 3，在Rt △ ABC 中，BC 为斜边，分别以 AB ，AC ，BC 为边向外侧作任意△ ABD △， ACE △， BCF ，满足∠1 = ∠2 = ∠3，∠D = ∠E = ∠F ，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图 4，在五边形 ABCDE 中，∠A = ∠E = ∠C = 105°，∠ABC = 90°，AB = 2√3，DE = 2，点 P 在 AE上，∠ABP = 30°，PE = √2，求五边形 ABCDE 的面积．28. 已知直线l 1：y = −2x + 10交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B ，二次函数的图象过 A ，B 两点，交 x 轴于另一点 C ，BC = 4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1(x 1, y 1 )，P 2(x 2, y 2 )，当x 1 > x 2 ≥ 5时，总有y 1 > y 2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l 2：y = mx + n(n ≠ 10)，求证：当m = −2时，l 2//l 1；(3)E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y = −2x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F △，求ABE △与 CEF 面积之和的最小值．t a n70∘=t a n70∘，即河宽t a n70∘米，2a =−1，答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQ，PT∴PT=PQ200200故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，12=1，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=AB=BE 62∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK△和GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK△和GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，2×1 = 1，解得{ ∴ OA = OC = 2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF = FC = AE = 5，由勾股定理求出 AB ，AC ，进而求出 OA 即可．本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于 0，则可以判断 A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间 h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随 t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度 h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，令y = 0，解得x = −1或 3，令x = 0，求得y = −3，∴ A(3,0)，B(0, −3)，∵抛物线y = x 2 − 2x − 3的对称轴为直线x = −∴ A′的横坐标为 1，设A ′(1, n)，则B′(4, n + 3)，∵点B′落在抛物线上，∴ n + 3 = 16 − 8 − 3，解得n = 2，∴ A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y = kx + b ，∴{ k + b = 2 ， 4k + b = 5k = 1−2故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴△CBG的面积为：1×BC×GN=1×12×9=27．222故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EO=DO=ED，GO OC GC∵DF=1DE，4∴DE=4，EF5∴ED=4，GC5∴EO=4，GO5∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有a t2+b t+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+b t≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】1t2−1t+144【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t 2+1，4∴DE=t2+1，4∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，211⏜∴FG=t，2∵CG=DE=t2+1，4∴CF=t2−t+1，42∴S四边形CDEF=1(CF+DE)×1=4t2−4t+1．故答案为：1t2−1t+1．44连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN的长为π，∴60πr=π，180∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，⏜②当∠AEB=30°时，AE=t a n30∘=si n60∘=2√3x，1120π×32=×3×(BM+CN)−()23603=(16−2√3)−3π2=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√3；3AB4√3=4√3；3③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=x3∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√3，3∴x+2√3x=4√3，33∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√3厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．3根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(62)⋅180°=120°，6所以∠ABC=120°90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH OH=43=1，∴E(0,1)，D(2,0)，32依题意，得：∴该抛物线的函数表达式y = kx 2 + 1，把点D(2,0)代入，得k = − 1，4∴该抛物线的函数表达式为：y = − 1 x 2 + 1；4(2) ∵ GM = 2，∴ OM = OG = 1，∴当x = 1时，y = 3，4∴ N(1, 3)，4∴ MN = 3，4矩形MNFG = MN ⋅ GM = 4 × 2 = 3，∴ S∴每个 B 型活动板房的成本是：425 + 3 × 50 = 500(元)．2答：每个 B 型活动板房的成本是 500 元；(3)根据题意，得w = (n − 500)[100 +20(650 − n)10]= −2(n − 600)2 + 20000，∵每月最多能生产 160 个 B 型活动板房，∴ 100 + 20(650−n) ≤ 160，10解得n ≥ 620，∵ −2 < 0，∴ n ≥ 620时，w 随 n 的增大而减小，∴当n = 620时，w 有增大值为 19200 元．答：公司将销售单价n(元)定为 620 元时，每月销售 B 型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是 19200 元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点 D 和点 E 的坐标，代入y = kx 2 + m ，即可求解；(2)根据 M 和 N 的横坐标相等，求出 N 点坐标，再求出矩形 FGMN 的面积，即可求解；(3)根据题意得到 w 关于 n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为 x 元/件，则甲商品的进价为(1 + 50%)x 元/件，7200(1+50%)x− 3200 = 40，x第23页，共36页∴(1+50%)x=60，3200=80，(1+50%)x=120．x ，(1+50%)x中即可得出结论．解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，7200x答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入(1+50%)x，32007200本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−15−112x+y=7 ①【解析】解：(1){．x+2y=8 ②由①−②可得：x−y=−1，由1(①+②)可得：x+y=5．3故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：{20m+3n+2p=32 ①，39m+5n+3p=58 ②由2×①−②可得m+n+p=6，∴5m+5n+5p=5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a+5b+c=15 ①，4a+7b+c=28 ②由3×①−2×②可得：a+b+c=−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x−y的值，利用1(①+②)可得出x+y的值；3(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①−②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a+b+c的值，即1∗1的值．。

人大附中分班考试题及答案(一)

人大附中新初一分班考试真题2.在下图的方格中填入合适的数，使每一行都为完全平方数，则最后结果为〔〕。

3.在下图所示的写有数字1的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，只有"仁"与"人" 代表的数字相同，那么"仁华学校"代表的四位数字最小可能是（）.4.请你从1~100中选出12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公约数或最小公倍数。

5.找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。

7.小红、小明二人在讨论年龄，小红说："我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数。

"小明说："当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数。

"小红说："我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方。

"那么小明今年〔〕岁。

（小明今年年龄小于3 1岁，且年龄均为整数岁）8.用A、B、C、D、E、F六种燃料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有〔〕种不同的染色方案（旋转算不同方法〕。

9.在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱（如图〕，那么表面积减少〔〕。

10.—次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做1 5道题，但做3道错一道，而且他做2 分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了〔〕道题。

11.妈妈买来一箱桔子，若每天比计划多吃一个，则比计划少吃2天；若每天比计划少吃一个，则计划的时间过去后，还剩1 2个，那么这一箱桔子共〔〕个？12.学校组织老师进行智力竞赛，共2 0道题，答对一题得5分，不答不给分，答错扣2 分，已知所有老师的总分为6 0 0分，且男老师总分为女老师总分的2倍多1分，答对总题数为答错总题数的3倍少1题。

又知每人恰好有1道或2道题未答。