2018年北京人大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
北京市中国人民大学附属中学2018年春季普通高中毕业会考数学试题
（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）
（Ⅱ）已知
，若使得函数
是区间 上的“封闭函数”的 a值恰好有
2个，试求 k的所有可能取值．
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分别表示两组教师比赛成绩的平均值；
分别
表示两组教师比赛成绩的标准差，那么正确的结论是
A．
；
B．
；
C．
；
D．
；
甲
乙
9 79 2 85 4 91
16．已知圆 ： A．内含
17．函数 A．
，圆 ： B．相交
，那么这两个圆的位置关系是
C．相切
D．外离
的零点所在的区间为
B．
C．
D．
18．已知实数 满足条件
，那么目标函数
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A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
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北京市中国人民大学附属中学 2018年春季普通高中毕业会考
数学试卷
第二部分 非选择题（每小题 5分，共 25分）
30．（本小题满分 5分）
解：（Ⅰ）②③……………………………………………………………………………2分
（Ⅱ）因为 x∈ ，所以
，由题意，得：
，即
最新人大附中分班考试试题及解答1-4
第一讲计算与几何✧分班讲义由各校分班考试题及点招题汇总而来；✧例题平均难度比各分班考试题要大；✧本讲义不设课后练习，但例题较多，老师可以选择讲授，将剩余题目作为课后练习；1.计算：12744 76511 1.857979⎛⎫⎛⎫++÷++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】42.(1)解方程组：99910022991______ 10019973011______ x y xx y y-==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩，【答案】5,2(2)已知x、y满足方程组76()130,72()10x x yy x y+-=⎧⎨--=⎩则x-y的值是（）.【答案】83.一个分数的分子与分母之和为25，将它化为小数后形如0.38…，则这个分数的分母是（）.【答案】184.下面几个分数中不能化成有限小数的是（）A．512B．1325C．1435D．5265【答案】A5.1232433213331 123123332333333333333333333⎛⎫⎛⎫÷++++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】原式12143332331 11(()() 332333333333333333333 =÷+-+-++-166332111332166551 333333333333333333111=++++=+=个计算教师必读6.已知11111611616A B C C -=+++++其中A 、B 、C 都是大于0且互不相同的自然数，则（A +B ）÷C =___.【分析】根据题意，容易解出1191112286166-=++，所以137111911A B C C+=+++，而11B C C ++大于1，所以1A =，同理可知，5,6B C ==，则()1A B C +÷=7.计算：121231234122001223234232001+++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【分析】先进行通项归纳：(1)12(1)12(2)(1)23(2)(1)122n n n n n n n n n n n n n n ++++++===⨯+-++++--+ ，所以，原式2334452001200214253620002003⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2342001345200212320004562003⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 36003200120032003=⨯=8.计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】经还原整理得：原式=6213789126207⨯=.9.计算：35737123234345181920++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ .【分析】原式=1223341819123234345181920+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111123341920132417191820111111122021192201131760⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10.如图，P 为平行四边形ABCD 外一点，已知三角形PAB 和三角形PCD 的面积分别为7平方厘米和3平方厘米，平行四边形ABCD 的面积为平方厘米．PD CBA NMPDCBA 【分析】设P 到AB 的距离为1h ，P 到CD 的距离为2h ，则平行四边形高12h h h =-再设AB=CD=a ，则有1117142ah ah =⇒=；211362ah ah =⇒=则ABCD 的面积=1212()1468ah a h h ah ah =-=-=-=11.如图，在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AB 上一点，且13BE AB =．已知四边形BDME 的面积为35，那么三角形ABC 的面积为______．【分析】做辅助线如右图构造燕尾模型；根据两个线比标分数如图所示，则有4335530150a a a a +=⇒=⇒=12.如图，两个长方形大小相同，长和宽分别为12和8，求阴影部分的面积．812812【分析】如右图所示，连接AC ．871DC =-=；根据勾股定理：22222AC AD DC AB BC =+=+，所以2222121881BC =+-=⇒9BC =．几何则四边形ABCD 的面积等于11121894222⨯⨯+⨯⨯=，阴影部分的面积为1284254⨯-=．13.如图所示，AC 和DF 平行，在AC 和DF 上各取点B 和点E .设AE 和BD 的交点为G ，CE 和BF的交点为H ，如果HC 的长度是EH 的1.5倍，三角形ADG 的面积是210cm ，三角形CEF 的面积是220cm ，四边形BGEH 的面积2cm .G HD E FA B C【分析】连接BE ，则有10BGE AGD S S ∆∆==，而BHF CHBS S ∆∆=:3:2CH EH =320125CHB S ∆=⨯=12BHF S ∆∴=101222BGEH S ∴=+=四边形 A B CD E FG H14.如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE的面积．【分析】如图，设上底为2a ，下底为3a ，三角形ABE 与三角形ABF 的高相差为h ．由于20146ABF ABE BMF AME S S S S ∆∆∆∆-=-=-=，所以1262ah ⨯=．即6ah =．又11336922CDE CDF DEN CFN S S S S ah ∆∆∆∆-=-=⨯=⨯⨯=，所以12921DEN S ∆=+=．15.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 与CD 上，且2CE BE =，2CF DF =，连接BF ，DF ，相交于点G ，过G 作MN ，PQ 得到两个正方形MGQA 和正方形PCNG ，设正方形MGQA 的面积为1S ，正方形PCNG 的面积为2S ，则12:S S =________．QPN MABC D E FGQPNMABCD E FG【分析】做辅助线如右图根据“金字塔”相似易得:2:3EF BD =；再根据“沙漏”相似易得:2:3EG DG =;再根据另一“沙漏”易得:2:3PG QG =，即正方形的边长之比为2:3，则面积之比应为4:916.长方形ABCD 被分成四块甲、乙、丙、丁.其面积关系如下:甲+乙=162平方厘米；乙+丙=208平方厘米；丙+丁=126平方厘米；已知c 与a 的长度之差为4厘米，请问d 与b 的长度之差是多少？dc ba丁丙乙A 甲DCB【分析】根据题意，可得甲+乙+丙+丁=162+126=288.由于乙+丙=208，则甲+丁=288-208=80;在CD 上取点E ，使CE=AH=a ，过E 作平行线EF.则阴影部分EFGH=208-80=128平方厘米.因为c-a=4.所以AD=128÷4=32.对应的长方形的宽AB 为288÷32=9.同理，在BM 上取一点Q ，使得BQ=ND ，这样QM 即为d 与b 的差.而甲+乙的面积较丙+丁的面积大162-126=36平方厘米.即阴影部分PNQM 的面积为36平方厘米.而AB=9.所以QM=36÷9=4.即d 与b 的差为4厘米.H G Q P N MFE a 4BCD 甲A乙丙丁a b d17.在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱（如图），那么表面积减少（）.【答案】2834818.在图中，红色部分的面积________阴影部分的面积．(填“>”、“<”或“=”)【分析】因为，大圆半径R 等于小圆半径r 的2倍，即2R r =，所以，大圆面积22π4πR r ==，小圆面积2πr =，所以，大圆面积4=个小圆面积．因为4S S S S =-⨯+大圆小圆阴影部分红色部分，4S S =⨯大圆小圆，所以S S =阴影部分红色部分．19.已知三角形ABC 是直角三角形，4AC =厘米，2BC =厘米，求阴影部分的面积．CBA【分析】ABCS S S S ∆=+-阴影大半圆小半圆2214121ππ24 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(平方厘米)．第二讲数论与数字谜1.小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数，”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数.”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方.”那么小明今年（）岁.（小明今年年龄小于31岁，年龄均为整数岁）【答案】162.将小于36的11个质数分别填入下列的方格内，使得A 是质数.A 最小是几？A +++++=+□□□+□□□□+□+□□□【分析】根据题意，设yA x=，得Ax y =，因()1160A x x y +=+=，显然A+1是160的约数，若A=3，则16040112931x ===++，12023571317192331y ==++++++++3.对四位数abcd ，若存在质数p 和正整数k ，使k a b c d p ⨯⨯⨯=，且5p a b c d p +++=-，求这样的四位数的最小值，并说明理由.【分析】因为2250-<，33522-=，555-太大，所以3p =.3k a b c d ⨯⨯⨯=，显然,,,a b c d 中不含3以外的质因子，只能为1，3，9.观察可知恰有139922+++=，所以最小的这样的四位数是1399.4.一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有（）个约数.【分析】3次方数质因数的指数都是3倍数，则指数加1后除以3余1100=1003993334x a x a ⇒=⇒=⇒个100=4×25332482918x a b x ab ⇒=⇒=⇒⨯=个100=10×10399334416x a b x a b ⇒=⇒=⇒⨯=个5.一个自然数，加上4后就可表示3个连续的3的倍数的和，加上3后就可表示成4个连续的4的倍数之和，那么它最小需要加（）后才能表示成6个连续的6的倍数之和.【分析】3个连续3倍数和应为9倍；4个连续4倍数和应为8倍；6个连续6倍数和应为18倍；则这个自然数除以9余5，除以8余5，则该数为725a +；其除以18也余5，则最小需要加13才行6.已知a,b,c 是三个自然数,且a 与b 的最小公倍数是60,a 与c 的最小公倍数是270.求b 与c 的最小公倍数.数论【分析】显然|(60,270)=30=235a ⨯⨯，而222333602352|23|[,]2702353|b b c c⎧=⨯⨯⇒⎪⇒⨯⎨=⨯⨯⇒⎪⎩则有23[,]23108b c =⨯=或23[,]235540b c =⨯⨯=7.一棵树木，2009年树龄是59岁，如果将这棵树木的树龄作为分子，当年的公元纪元年号作为分母写成分数，如2005年这棵树木的树龄是55岁，写成分数是552005，那么，这棵树木树龄从1岁至59岁，可以写出59个分数，其中最简分数有多少个？【分析】由题意可知，分子与分母差总为1950；设树龄为a ，则要求1950aa +中()(),19501,19501a a a +=⇒=，因为2195023513=⨯⨯⨯所以a 不是2，3，5，13的倍数.共14个数符合条件：1,7,11,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,538.已知238=1444，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”.（1）请再找出一个“好数”.（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”.【分析】（1）210381077444=（2）平方数的个位只能是0,1,4,5,6,9考虑个位为1，则末两位11除以4余3，不能成为平方数；考虑个位为5，则末两位55除以4余3，不能成为平方数；考虑个位为6，则末三位666除以8余2，不能成为平方数；考虑个位为9，则末两位99除以4余3，不能成为平方数；可见，好数的个位只能是4；（3）末四位4444除以16余12，不能成为平方数因此不存在超好数9.一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5，在五进制表示当中的各位数字之和是4，那么这个自然数除以3的余数是（），满足要求的最小自然数是（十进制表示）（）.【分析】四进制数码和为5，则除以3的余数等价于数码和5除以3的余数，也就是2；同理，五进制数码和为4，则除以4的余数等价于数码和4除以4的余数，也就是0；验证符合条件的最小的数8：48(20)=，舍去；验证8+12=20：420(110)=，舍去；验证20+12=32：432(200)=，舍去；验证32+12=44：4544(230)(134)==，舍去；验证44+12=56：4556(320)(211)==，符合要求.10.在下图的方格中填入合适的数，使每一行都为完全平方数，则最后结果为（）【答案】1649784⨯=11.在下图所示的写有数字1的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，只有“仁”与“人”代表的数字相同，那么“仁华学校”代表的四位数字最小可能是（）.【分析】“人”只能为1，进而推知“大”只能为0，则“仁华学校”理论最小值为1234，经验证成立.12.已知123(2)n n ++++> 的和的个位数为3,十位数为0,则n 的最小值是【分析】(1)1232n n n +++++=的个位为3，则(1)n n +的个位为6，则n 的个位只能为2或71213,1718,2223,2727,3233,3738......⨯⨯⨯⨯⨯⨯经试，当37n =时符合条件.3738123377032⨯++++== .13.将数字1至9分别填入图中所示竖式的方格内使竖式成立（每个数字恰好使用一次），那么加数的四位数最小是.【分析】加数的数字和为46，而和数的数字和为10，说明运算中共4个进位．因为百位向千位数字谜进了1位，个位只能进1位()7892428++=<，所以十位向百位进了2位.因此三个个位数字之和为18，三个十位数字之和为19，三个百位数字之和为8.不难构造得出四位数最小为1125．14.下表中，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、M 各代表一个互不相同的非零数字，其中A +B =14，M ÷G =M -F =H -C ，D ⨯F =24，B +E =16，那么H 代表_________；A B C D E F GHM【分析】根据A+B=14，B+E=16，得到B=9，A=5，E=7，向下分析即可如图填写：59187324615.将0～9这十个数字分别填入下面算式的□内，每个数字只能用一次；那么满足条件的正确填法共有种.□＋□□＋□□□＝□□□□【分析】设这个算式为A BC DEF GHIJ ++=，易见1G =，9D =，0H =．910AB C E F IJ+根据弃九法，易得加数数字和为36，和的数字和为9，则I+J=8=2+6=3+5=5+3=6+2⑴2I =且6J =时，113847B E +==+=+，对应的457358A C F ++=++=++．2类．⑵3I =且5J =时，81248B +==+，对应的267A C F ++=++．1类．⑶5I =且3J =时，1468B E +==+，对应的247A C F ++=++．1类．⑷6I =且2J =时，1578B E +==+，对应的345A C F ++=++．1类．对于以上每类，B ，E 可以调换，A ，C ，F 可以调换；所以，正确的填法共有：52!3!60⨯⨯=种．第三讲应用题（含行程）1.妈妈买来一箱桔子，若每天比计划多吃一个，则比计划少吃2天；若每天比计划少吃一个，则计划的时间过去后，还剩12个，那么这一箱桔子共（）个？【答案】602.有一个分数，如果分子减1，那么这个分数就变为13，如果分母减1，那么这个分数就变为12，那么这个分数是______.【分析】分子减1与分母减1之后，约分之前，分子分母的和是不变的，因此13=39，14=28，说明之前的分数是49.3.有两块重量相同的铜锌合金.第一块合金中铜与锌质量比为2:5，第二块合金中铜与锌的重量比是1:3.现在把这两块合金铸成一块大的.求合铸所成的合金中铜与锌的重量之比.【分析】设每块合金的重量为“28”，则第一块合金中有铜“8”，有锌“20”；第二块合金中有铜“7”，有锌“21”.两块合金熔在一起后铜与锌的重量比为(87):(2021)15:41++=4.某俱乐部男、女会员的人数比是3︰2，分为甲、乙、丙三组.已知甲、乙、丙三组的人数比是10︰8︰7，甲组中男、女会员的人数比是3︰1，乙组中男、女会员的人数比是5︰3.求丙组中男、女会员的人数比.【分析】设共有男会员30份，女会员20份.则甲组有20份，男会员15份，女会员5份；乙组有人16份，男会员10份，女会员6份.所以丙组有30-15-10=5份男会员；20-5-6=9份女会员.男女会员人数比为5:9.5.民航规定：乘坐飞机普通舱的旅客每人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票.小芳的父亲出差带了40千克重的行李乘飞机，机票和行李费共付了1404元.请问：小芳的父亲购买的普通舱机票的票价是多少？【分析】设机票票价是x 元，则有()4020 1.5%1404x x +-⨯=解得1080x =应用题6.某小学租了汽车旅游，出租汽车公司规定：一辆车满30人，往返车费为500元，每多出1人，增加车费10元.（1）照这样计算，他们平均每人的车费15元.问有多少人乘坐这辆车？（2）为保障安全，如果限定超出人数不超过5人，那么平均每人的车费最少要多少元？（精确到0.01元）【分析】（1）设多出30人的人数为x 人，则可列方程()153050010x x +=+⇒10x =，所以乘车人数有301040+=人（2）()500503515.72+÷≈（元）7.学校组织老师进行智力竞赛，共20道题，答对一题得5分，不答不给分，答错扣2分，已知所有老师的总分为600多分，且男老师总分为女老师总分的2倍多1分，答对总题数为答错总数的3倍少1题.又知每人恰好有1道或2道题未答.求男老师的总分为多少？【分析】设女老师得分为a ，则男老师得分为21a +，则有60031700200232a a <+<⇒≤≤设男老师做错b 题，则做对31b -题，则有：13215(31)232ba b b a +=--⇒=-当b=32时，a=205，2a+1=411，此时男老师对错共127道，7人有20712713⨯-=题未答；当b=34时，a=218，2a+1=417，此时男老师对错共135道，7人有2071355⨯-=题未答；当b=36时，a=231，2a+1=463，此时男老师对错共143道，8人有20814317⨯-=题未答；根据每人恰好有1道或2道未答可知，男老师总分411分符合要求.8.康师傅加工一批零件，加工720个之后，他的工作效率提高了20%，结果提前4天完成任务；如果康师傅从一开始就把工作效率提高12.5%，那么也可以提前4天完成任务.这批零件共有多少个？【分析】若一开始就将工作效率提高12.5%，相当于效率89→，则所需时间98→可见原计划工作时间为9436⨯=天，加工720个零件后：工作效率56→，则所需时间65→，可见原计划这部分工作量所需时间为：6424⨯=天，这说明先加工的720个零件需362412-=天完成这批零件共有72036216012⨯=个9.甲、乙、丙三队要完成A ，B 两项工程，B 工程的工作量比A 工程的工作量要大14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A 工程，乙队做B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B 工程若干天，然后再与甲队合做A 工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【分析】设A 的工作量为[20,24,30]120=，则B 的工作量为112011504⨯=则甲效：120620=；乙效：120524=；丙效：120430=三队完成两项工程所需天数：12015018654+=++天；那么丙队帮乙队做的天数为：150518154-⨯=天．10.某天甲、乙两人完成一件工作，计划两人都从早上7:00开始工作，他们将在上午11:00完成；如果甲比原计划晚1小时开始工作，乙比甲再晚半小时开始，那么他们将比原计划晚1小时20分钟完成；如果乙比原计划提前半小时开始工作，甲比乙晚1小时开始，那么他们完成工作的时刻是______点______分．【分析】设甲的效率为a ，乙的速度是b ；则有154()43236a b a b b a +=+⇒=；设12a b =⎧⎨=⎩，则总工作量为：4(12)12⨯+=；设甲工作了t 小时，则乙工作了1t +小时，则12(1)1233t t t ++=⇒=；则最后完成的时刻为17:30310:503h +=；11.某商店花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果．已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9.60元，16元和18元．如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价应为多少元？【分析】甲、乙、丙三种糖果的单价之比为9.6:16:1824:40:45=，由于购买这三种糖果所花的钱同样多，所以这三种糖果的量的比为111::15:9:8244045=．假设甲、乙、丙三种糖果分别有15千克、9千克和8千克，则购买这三种糖果的总成本为9.6153432⨯⨯=元．把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，每千克什锦糖的价格为432(120%)(1598)16.2⨯+÷++=元．12.有大、小两瓶酒精溶液，重量比为3：2，其中大瓶中溶液的浓度为8%.现在把这两瓶溶液混合起来，得到的酒精溶液浓度恰好是原来小瓶酒精溶液浓度的2倍.那么原来小瓶酒精溶液的浓度是（）【分析】设原来小瓶溶液的浓度为%a ，则混合溶液的浓度为2%a ，则有：3233%282a a a a-=⇒=⇒-13.某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知每生产一件A 产品需甲原料9千克和乙原料3千克；每生产一件B 产品需甲原料4千克和乙原料10千克．现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产A 、B 两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案．【分析】设生产A 产品a 件，则生产B 产品b 件．则有：943605160321850a b a a b a b +≤⎧⇒≤⇒≤⇒≥⎨+=⎩并有：3102907140203050a b b b a a b +≤⎧⇒≤⇒≤⇒≤⎨+=⎩可见30321820a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，符合要求的生产方案为：3020a b =⎧⎨=⎩，3119a b =⎧⎨=⎩，3218a b =⎧⎨=⎩.14.甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，他们计划在距A 地35处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为（）米/秒.【分析】设甲速为3v ，则乙速为2v ，设AB 两地距离为5a ；则有：2363361523623a a v v v v+--=⇒=⇒=15.一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30分钟赶到.问：这支解放军部队一共需要行多少千米？【分析】将车速提高五分之一，即车速56→，则所需时间65→，可见剩下的路程按原速需620120⨯=分钟=2小时，全程按原速走需1+2=3小时；行驶72千米后，将车速提高三分之一，即车速34→，则所需时间43→；可见剩下的路程按原速需430120⨯=分钟=2小时，可见前72千米用时1小时；即车速为72千米/小时，全程为72×3=216千米.16.一艘船从甲港顺水而下到乙港，到达后马上又从乙港逆水返回甲港，共用了12小时.已知顺水每小时比逆水每小时多行16千米，又知前6小时比后6小时多行80千米.那么，甲、乙两港相距______千米.【分析】设逆水速度为v ，则顺水速度为v+16，设顺水用了a 小时，逆水用了b 小时，则有[]12580(16)(6)67a b a a v a v v b +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=++--=⎪⎩⎩则有5(16)740280S v v v S =+=⇒=⇒=.17.甲、乙两人分别骑车从A 地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车.12分钟后丙也骑车从A 地出发去追甲.丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙.已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍.那么甲的速度是多少？行程【分析】上图描绘了两个状态，丙出发时和丙追上甲时；丙出发时，落后乙127.5 1.560⨯=千米，丙追上甲时领先乙3 1.5 4.5+=千米；可见历时1.5 4.54157.55+=-小时；设甲的速度为a ，则根据丙追甲的过程有：124(15)12605a a a =-⇒=18.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快．两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰．那么甲从出发到回到出发点共用了多少小时？【分析】设山顶到山脚的距离为S ，甲的上山速度为a ，乙的上山速度为b ；根据乙到达山顶甲下到半山腰有：124233S S abS +⨯==（将下山的路程折算成原速度的路程）根据甲乙在距山顶600米处相遇有：26004336006003S a S bS +⨯==⇒=-则乙速为3600-600=3000米/小时=3千米/小时；对应甲速应为4千米/小时，其下山速度为6千米/小时甲往返需时：3.6 3.61.546+=小时.第四讲组合数学1.初一4班第一组有6个座位和6名同学，如果他们每天安排一次座位，那么安排完所有不同的方法大约需要______年（得数只保留整数）【分析】安排完所有的方法大致需要有：6×5×4×3×2×1÷365≈1.9726≈2年，2.用1～9可以组成（）个不含重复数字的三位数；如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成（）个满足要求的三位数.【分析】39504A =；两个数字差1的情况有：12,23,34,45,56,67,78,89；对应33(65555556)252A +++++++⨯=种；三个数字差1的情况有：123,234,345,456,567,678,789；对应33742A ⨯=种则不出现相邻数字的三位数有50425242210--=3.在下面的□中填入数字，使等式成立(注：每个□内只允许填0，1，2，……，9中的一个数字，允许重复)101⨯+=□□□□那么满足以上要求的等式可以填出______个．【分析】设101ab c d ⨯+=，1d =时，100502254205ab c ⨯==⨯=⨯=⨯，3种2d =时，99991333119ab c ⨯==⨯=⨯=⨯，3种3d =时，98981492147ab c ⨯==⨯=⨯=⨯，3种4d =时，97971ab c ⨯==⨯，1种5d =时，96961482323244166128ab c ⨯==⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，6种6d =时，95951195ab c ⨯==⨯=⨯，2种7d =时，94941472ab c ⨯==⨯=⨯，2种8d =时，93931313ab c ⨯==⨯=⨯，2种9d =时，92921462234ab c ⨯==⨯=⨯=⨯，3种共有33316222325++++++++=种填法．4.用数字1，2组成一个8位数，其中至少有连续4位都是数字1的有多少个？【分析】连续8个1：1种连续7个1：2种连续6个1：1111112211111122111111，共2125++=种连续5个1：11111221111122111112211111，共22222212+++=种连续4个1：1111221111221111221111221111，共322232222228++++=种共有125122848++++=个．5.如果一个时刻的时、分、秒3个数构成递增的等差数列，则称这个时刻为幸运时刻（采用24小时制），例如00点02分04秒和17点20分23秒都是幸运时刻，那在一天中与（）个幸运时刻.【分析】00开头：00:01:02，00:02:04，...，00:29:58，共29个；01开头：01:02:03，01:03:05，...，01:29:59，共29个；02开头：02:03:04，02:04:06，...，02:30:58，共28个；03开头：03:04:05，03:05:07，...，03:31:59，共28个；......共()292827182564++++⨯= 个6.在一个圆周上有1个红点和49个蓝点，所有顶点都是蓝点的凸多边形的个数，与有一个顶点是红点的凸多边形的个数，相差.【分析】所有顶点均为蓝点的凸多边形有：34484949494949C C C C ++++ ;有一个顶点为红点的凸多边形共有：23448494949494949C C C C C +++++ .两者相差：2491176C =.7.有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？【分析】若设n 枚棋子的拿法为()f n ，则必有()(2)(3)f n f n f n =-+-已知(1)0f =，(2)1,(3)1,(4)1f f f ===，可生成如下数列：0,1,1,1,2,2,3,4,5,7,......可见(10)7f =8.（第八届走美杯六年级初赛）50个互不相同的正整数，总和是2010.这些数里至多有个偶数.【分析】最小的45个正偶数之和为:2469020702010+++=> 说明偶数数量应小于45，且因为2010是偶数，则50个数中奇数数量为偶数个最小的44个正偶数之和为246881980+++= ,这要求其余6个奇数和为30，无解；最小的42个正偶数之和为246841806+++= ，这要求其余8个奇数和为204；有解.这50个数中最多有42个偶数.9.（第八届走美杯六年级初赛）两个自然数，差为11，每一个的数字和都能被11整除.满足要求的最小一对自然数中较小的那个为.【分析】设11a b +=，设a 的数字和为11x ，b 的数字和为11y ；根据弃九法必有：1111911x k y ++-=，其中k 为进位次数；简化得：11()9211|9210min x y k k k -=-⇒-⇒=；此时891199min x y x x -=⇒=⇒=，即a 的数字和最小为99，此时a 最小是18999999999910.在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成______段．【分析】设木棍长为[10,12,15]60=厘米则应在60610=倍、60512=倍和60415=倍处做标记；则标记的数量有：606060606060602865430122060⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭个这28个标记包含末端60厘米处，说明只需要据27次；但依然形成28段.11.从写有1～9的九张卡片中抽出一张，其余的八张平分成四组，使第一组两张卡片上的两数之和等于7，第二组两张卡片上的两数之积等于6，第三组两张卡片上的两数之差等于4，第四组两张卡片上的两数之商等于3．则抽出的卡片上的数是______．【分析】设7;6;4;3a b c d e f g h +=⨯=-=÷=623c d ⨯==⨯时，没有符合条件的3g h ÷=616c d ⨯==⨯时，393g h ÷==÷，则725a b +==+，则484e f -==-成立可见抽出的卡片是7.12.有人问赵、钱、孙三人的年龄．赵说：“我22岁，比钱小2岁，比孙大1岁”．钱说：“我不是年龄最小的，孙和我差3岁，孙25岁．”孙说：“我比赵年岁小，赵23岁，钱比赵大3岁．”以上每人所说的三句话中，都有一句是故意说错的，那么，孙的真实年龄是岁．【分析】重新梳理每人的说辞：赵：赵22岁；钱24岁；孙21岁；钱：孙25岁；钱22岁或28岁；钱不是最小的；孙：赵23岁；钱26岁；孙小于23岁显然“赵22岁”和“赵23岁”矛盾，只能对一个假设“赵22岁”是对的，则“赵23岁”就是错的；孙的三句话依次为：×√√；依此推理钱的三句话：√×√；再依次推理赵的三句话：√√×；而“钱24岁”和“钱26岁”矛盾；因此“赵22岁”是错的，推知孙21岁.13.4道选择题，每题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中每题只有一个选项是正确的，有800名学生做这四道题，至少有______人的答题结果是完全一样的．【分析】4道选择题有44256=种不同的选法，而800256332÷= ;根据抽屉原理，至少有314+=个人的答题结果是完全一样的．14.从1～12中选出7个自然数，要求选出的数中不存在某个自然数是另一个自然数的2倍，那么一共有（）种选法.【分析】{1,2,4,8}中至多取2个；{3,6,12}中至多取2个；{5,10}中至多取1个；{7,9,11}可任取则最多可取2+2+1+3=8个；若{1,2,4,8}少取1个：41218⨯⨯⨯=种取法若{3,6,12}少取1个：332118⨯⨯⨯=种取法若{5,10}少取1个：31113⨯⨯⨯=种取法若{7,9,11}少取1个：312318⨯⨯⨯=种取法共81831847+++=种取法15.（15届华杯决赛）足球队A ,B ,C ,D ,E 进行单循环赛（每两队赛一场）,每场比赛胜队得3分,负队得0分,平局两队各得1分.若A ,B ,C ,D 队总分分别是1,4,7,8,请问：E 队至多得几分?至少得几分?【分析】1分：1平3负；4分：1胜1平2负或4平；7分：2胜1平1负；8分：2胜2平；若B 队1胜1平2负，则四队合计5胜6负5平，此时E 队可能为2胜1负1平（7分），也可能为1胜3平（6分）；若B 队4平，则四队合计4胜4负8平，此时E 队可能是1胜1负2平（5分），也可能是2胜2负（6分），可见E 队至多得7分，至少得5分.16.一个班有五十多名同学，上体育课时大家排成一行，先从左至右1234，1234报数，再从右至左123、123报数，后来统计了一下，两次报到同一个数的同学有15名，那么这个班一共有（）名同学.【分析】以左起前12个人为研究对象：123412341234321321321321⎧⎨⎩，其中报同一个数的有3个，要保证15人报同一个数，至少要有125357⨯-=人（保证最右边的人从1起报）；123412341234213213213213⎧⎨⎩，其中报同一个数的有3个，要保证15人报同一个数，至少要有125159⨯-=人；123412341234132132132132⎧⎨⎩，其中报同一个数的有3个，要保证15人报同一个数，至少要有125161⨯+=人，舍去17.圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，6，7．小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，……，放置了第1k -枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了1k -个盒子，并将第k 枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子．随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子．请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？【分析】根据编号规则，1号、8号、15号、...等形如71k +的号码都是1号；同理，2号、9号、16号、...等形如72k +的号码都是2号；......6号、13号、20号、...等形如76k +的号码都是6号；7号、14号、21号、...等形如77k +的号码都是7号；白棋子依次放入1,3,6,3,1,7,7,1,3,6,3,1,7,7,......;200个白棋子进行分组：200=7×28组+4个;对应红棋子依次放入1,6,3,6,1,2,2,1,6,3,6,1,2,2......;300个红棋子进行分组：300=7×42组+6个;列表统计如下：盒子编号1234567白子57058002956红子86854300860棋子总数1438510111556。
2018年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2018年北大附中新高一分班考试数学试题-真题2018.8一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 32.候选人甲乙丙丁测试成绩(百分制)面试86929083笔试90838392如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为()A. 12x(x+1)=28 B. 12x(x−1)=28 C. x(x+1)=28 D. x(x−1)=284.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是()A. ∠DAB′=∠CAB′B. ∠ACD=∠B′CDC. AD=AED. AE=CE5.若点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y3<y2B. y1<y2<y3C. y3<y2<y1D. y2<y1<y36.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A. BCB. CEC. ADD. AC6题图 7题图 8题图7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是()A. AC=DEB. BC=EFC. ∠AEF=∠DD. AB⊥DF8.如图，是一种古代计时器--“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响)()A. B. C. D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2−4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0其中，正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是()A. 154B. 92C. 132D. 15211.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−112.二次函数y=ax2x…−2−1012…y…t m−2−2n…=ax2+bx+c且当x=−1时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：2①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0<m+n<20．3其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共9小题，共27分）13.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为______(度)．13题图 14题图 15题图14.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于______．15.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AG的值为______．AF16.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为____(度)．16题图 17题图17.如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有______个．18.有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE、C′F重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE、C′F均落在DG上，点A、C′落在点A′处，点E、F落在点E′处，得折痕MN、QP．这样，就可以折出一个五边形DMNPQ．(1)请写出图①中一组相等的线段______写出一组即可；(2)若这样折出的五边形DMNPQ，如图③，恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：①a2−b2=2abtan18°；②m=√a2+b2⋅tan18°；③b=m+atan18°；④b=32m+mtan18°．其中，正确结论的序号是______把你认为正确结论的序号都填上．19.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG的值等于______．19题图 20题图 21题图20.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．21.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共47分）22.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．(1)如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长(结果保留根号)；(2)如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．23.在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，点B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE=∠OBA．(Ⅰ)如图①，求点E的坐标；(Ⅱ)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可)．24.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．(1)用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为______；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为______；(2)根据题意，列出相应方程______；(3)解这个方程，得______；(4)检验：______；(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______%.25.某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受调查的跳水运动员人数为______，图①中m的值为______；(2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．26.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长(结果取整数)．(参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，√2取1.414)．27.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M.若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式；(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P(x,y2).(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)当x12tx…−103…y1=ax2+bx+c (09)40…28.在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A(2,0)，点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．(Ⅰ)若点M的坐标为(1,−1)，①当点F的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P(x,y)，求y关于x的函数解析式．(Ⅱ)若点M(1,m)，点F(1,t)，其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．29.已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)．(Ⅰ)当b=2，c=−3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(Ⅲ)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，故①与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为：1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，故②符合函数图象；③如图所示：当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，故③符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．故选：C．①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，图象纵坐标不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度．2.【答案】B【解析】解：甲的平均成绩为：(86×6+90×4)÷10=87.6(分)，乙的平均成绩为：(92×6+83×4)÷10=88.4(分)，丙的平均成绩为：(90×6+83×4)÷10=87.2(分)，丁的平均成绩为：(83×6+92×4)÷10=86.6(分)，因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．故选：B．根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．此题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按6和4的权进行计算．3.【答案】B【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，x(x−1)=4×7．所以可列方程为：12故选：B．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，∴∠BAC=∠CAB′，∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠ACD=∠CAB′，∴AE=CE，所以，结论正确的是D选项．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数的增减性是解题关键．直接利用反比例函数图象上点的坐标特点，结合增减性得出答案．【解答】的图象上，解：∵点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，在每个象限y随x的增大而减小，∴y3一定最大，y1>y2，∴y2<y1<y3．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．【解答】解：如图连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．7.【答案】D【解析】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，∴AC=DC，故A选项错误，BC=EC，故B选项错误，∠AEF=∠DEC=∠B，故C选项错误，∠A=∠D，又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠D+∠B=90°，∴∠BFD=90°，即DF⊥AB，故D选项正确，故选：D．依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．8.【答案】B【解析】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；所以B选项正确．故选：B．由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9.【答案】D【解析】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2−4ac>0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a>0；=1，b=−2a，故b<0；抛物线的对称轴为x=−b2a抛物线交y轴于负半轴，得：c<0；所以abc>0；故②正确；③根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2−2ax+c(a≠0)；由函数的图象知：当x=−2时，y>0；即4a−(−4a)+c=8a+c>0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：(−1,0)关于对称轴的对称点是(3,0)；当x=−1时，y<0，所以当x=3时，也有y<0，即9a+3b+c<0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10.【答案】D【解析】【分析】令y=0，则−16x2+32x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．【解答】解：令y=0，则−16x2+32x+6=0，解得：x1=12，x2=−3∴A、B两点坐标分别为(12,0)(−3,0)∵D为AB的中点，∴D(4.5,0)，∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD=√4．52+62=152．故选：D．11.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【解答】解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M 点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上， ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y =(x +1)2=x 2+2x +1．故选：A ．12.【答案】C【解析】【分析】①当x =0时，c =−2，当x =1时，a +b =0，abc >0，①正确；②x =12是对称轴，x =−2时y =t ，则x =3时，y =t ，②正确； ③m +n =4a −4；当x =−12时，y >0，a >83，m +n >203，③错误；本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．【解答】解：当x =0时，c =−2，当x =1时，a +b −2=−2，∴a +b =0，∴y =ax 2−ax −2，∴abc >0，①正确；x =12是对称轴， x =−2时y =t ，则x =3时，y =t ，∴−2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c =t 的两个根；②正确；m =a +a −2，n =4a −2a −2，∴m =n =2a −2，∴m +n =4a −4，∵当x =−12时，y >0，∴a >83，∴m +n >203，③错误；故选：C ．13.【答案】55【解析】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°−∠PAO−∠P−∠PBO=360°−90°−70°−90°=110°，∴∠C=12∠AOB=55°．故答案为：55．首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】2√5【解析】解：根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC−DE=2，CE′=BC+ BE′=4．根据勾股定理得到：EE′=√EC2+CE′2=√20=2√5．根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解．本题主要运用了勾股定理，能根据旋转的性质得到BE′的长度，是解决本题的关键．15.【答案】√32【解析】解：在△CAD与△ABE中，AC=AB，∠CAD=∠ABE=60°，AD=BE，∴△CAD≌△ABE．∴∠ACD=∠BAE．∵∠BAE+∠CAE=60°，∴∠ACD+∠CAE=60°．∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°．在直角△AFG中，∵sin∠AFG=AGAF，∴AGAF =√32．首先证明△CAD≌△ABE，得出∠ACD=∠BAE，证明∠AFG=60°．本题主要考查了全等三角形的判定、性质，等边三角形、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义．综合性强，有一定难度．16.【答案】45【解析】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−x−y+x=90°−y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+(90°−y)+(x+y)=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为：45．设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−y.然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+(90°−y)+(x+y)=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．17.【答案】8【解析】【分析】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．故答案是：8．18.【答案】(1)AD=C′D(答案不惟一，也可以是AE=C′F等)；(2)①②③【解析】解：(1)由题意知，C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；故答案为：AD=C′D．(2)由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，由于五边形DMNPQ，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，∴∠DBM=∠ABM=18°，∴∠DBA=36°．∵DE=BE，∠EDB=∠DBA=36°，∴∠ADE=∠MDB−∠EDB=54°−36°=18°．在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD2+AE2=DE2=BE2，即b2+AE2=(a−AE)2，解得AE=a2−b22a．∵tan∠ADE=tan18°=AEAD =AEb=a2−b22ab，∴a2−b2=2abtan18°，即①正确；∵PN=DM，∴PG=NG=12PN=12DM=12m，∵BG=12DB=12√a2+b2，NG=12DM=12m，NG⊥BD，∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=12m：12√a2+b2．∴m=√a2+b2⋅tan18°，即②正确．∵AM=AD−DM=b−m，AB=a，∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=(b−m)：a，∴b=m+atan18°，即③正确，同时④错误．故答案为：①②③．【分析】(1)由翻折的性质知：C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；(2)由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，可得∠DBM=∠ABM=∠ADE=18°，然后分析四个结论．本题考查了翻折的性质：对应角相等，对应边相等及正五边形的性质、勾股定理．19.【答案】89【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，属于较难题．由∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=12AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，则可得MN=13BD=√23AB，即可计算答案．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=12AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，∴MN=13BD=√23AB，∴S正方形MNPQS正方形AEFG=(√23AB)2(12AB)2=89，故答案为：89．20.【答案】√5【解析】解：如图1，延长DA，GP相交于H，∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴EG//BC//AD，∴∠H=∠PGE，∠HAP=∠GEP，∵点P是AE的中点，∴AP=EP，∴△AHP≌△EGP，∴AH=EG=1，PG=PH=12HG，∴DH=AD+AH=4，DG=CD−CG=2，根据勾股定理得，HG=√DH2+DG2=2√5，∴PG=√5，故答案为√5．延长DA，GP相交于H，先证明△AHP≌△EGP，进而求出DH，DG，最后用勾股定理即可得出结论．本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．21.【答案】4913【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，△ABH≌△GBH，则BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【解答】解：设折痕BF与AE交于点H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，由折叠及轴对称的性质可知，AB=BG，∠ABH=∠GBH，BH=BH∴△ABH≌△GBH(SAS)，∴AH=GH，且∠AHB=∠GHB=90°，∴BF垂直平分线段AG，即BF⊥AE，∴∠FAH+∠AFH=90°，又∵∠FAH+∠AED=90°，∴∠AFH=∠AED，又∠FAB=∠D=90°，AD=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AF=DE=5，在Rt△ABF中，BF=√AB2+AF2=√122+52=13，S△ABF=12AB⋅AF=12BF⋅AH，∴12×5=13×AH，∴AH=6013，∴AG=2AH=12013，∵AE=BF=13，∴GE=AE−AG=13−12013=4913，故答案为：4913．22.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，∴BP=2AB=2×2=4．由勾股定理，得AP=√BP2−AB2=√42−22=2√3.(2)如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°−∠BCA=90°．在Rt△APC中，D为AP的中点，∴CD=12AP=AD．∴∠4=∠3．又∵OC=OA，∴∠1=∠2．∵∠2+∠4=∠PAB=90°，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．即OC⊥CD．∴直线CD是⊙O的切线．【解析】(1)易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；(2)本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．此题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识点，难度适中．23.【答案】方法一：解：(Ⅰ)如图①，∵点A(−2,0)，点B(0,4)，∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠OBA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴OAOB =OEOA，即24=OE2，解得OE=1，∴点E的坐标为(0,1)；(Ⅱ)①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m(0<m<2)，则A′O=2−m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2−m)2+42=m2−4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′//AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又∵BE=OB−OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2−4m+29=2(m−1)2+ 27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是(1,1)．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE= 3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴AA′A′O =AB′OB=34，∴AA′AO =37，AO=2，∴AA′=37×2=67，∴EE′=AA′=67，∴点E′的坐标是(67,1)．方法二：(1)同上．(2)由AA′=m⇒A′(m−2,0)，E′(m,1)，B(0,4)，A′B2+BE′2=(m−2)2+(0−4)2+(0−m)2+(4−1)2，A′B2+BE2=2m2−4m+29，∴当m=1时，A′B2+BE2有最小值，最小值为27．(3)A′(m−2,0)，E(m,1)，B(0,4)，过B作平行于x轴的直线l，∴E′关于l的对称点为E″(m,7)，A′，B，E″三点共线时，A′B+BE′有最小值，根据黄金法则一：K A′B=K BE″时，A′，B，E″三点共线，(理由K1−K2，l1//l2，又l1，l2共线，即A′，B，E′三点共线)∴0−4m−2=7−4m−0，∴m=67，∴点E′的坐标是(67,1)．【解析】方法一：(Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到OAOB =OEOA，则易求OE=1，所以E(0,1)；(Ⅱ)如图②，连接EE′.在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=(2−m)2+42=m2−4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则A′B2+BE′2=2m2−4m+29=2(m−1)2+27.所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是(1,1)时，A′B2+BE′2取得最小值．方法二：(1)利用相似求出E点坐标．(2)①分别求出A′，B，E三点坐标，利用两点间距离公式求出最小值．②当A′B+BE′取得最小值时，由于公共点为点B，过点B作x轴平行线L，作A’或E’关于L的对称点，利用直线A′B与BE′′的斜率相等，得出A′，B，E′′三点共线，并得出A′B+BE′取得最小值．本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．24.【答案】(1)①8000(1+x)；②8000(1+x)2；(2)8000(1+x)2=9680；(3)x1=0.1，x2=−2.1；(4)x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；(5)10．【解析】解：(1)①8000(1+x)；②8000(1+x)(1+x)=8000(1+x)2；(2)8000(1+x)2=9680；(3)x1=0.1，x2=−2.1；(4)x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；(5)10．解此类题时，先将所求问题设为x，根据增长后的产值=增长前的产值(1+增长率)，即可用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．解此类题时，先将所求问题设为x，然后用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)4÷10%=40(人)，m=100−27.5−25−7.5−10=30；故答案为40人，30．(2)平均数=(13×4+14×10+15×11+16×12+17×3)÷40=15(岁)，16岁出现12次，次数最多，众数为16岁；按大小顺序排列，中间两个数都为15岁，中位数为15岁【解析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．(1)频数÷所占百分比=样本容量，m=100−27.5−25−7.5−10=30；(2)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．26.【答案】解：如图作PC⊥AB于C．由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，在Rt△APC中，sinA=PCPA ，cosA=ACPA，∴PC=PA⋅sinA=120⋅sin64°，AC=PA⋅cosA=120⋅cos64°，在Rt△PCB中，∵∠B=45°，∴PC=BC，∴PB=PCsin45∘=120×0.90√22≈153．∴AB=AC+BC=120⋅cos64°+120⋅sin64°≈120×0.90+120×0.44≈161．答：BP的长约为153海里和BA的长约为161海里．【解析】作PC⊥AB于C，分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用--方位角问题，结合航海中的实际问题，解直角三角形即可，体现了数学应用于实际生活的思想．27.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0,94)，∴c=94．∴y1=ax2+bx+94，∵点(−1,0)、(3,0)在抛物线y1=ax2+bx+94上，∴{a−b+94=09a+3b+94=0，解得{a=−34b=32，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=−34x2+32x+94；(II)∵y1=−34x2+32x+94，∴y1=−34(x−1)2+3，∴直线l为x=1，顶点M(1,3)．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C(1,t)，当点A与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ABMP为菱形，∴PA//l，又∵点P(x,y2)，∴点A(x,t)(x≠1)，∴PM=PA=|y2−t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q(1,y2)，∴QM=|y2−3|，PQ=AC=|x−1|，在Rt△PQM中，∵PM2=QM2+PQ2，即(y2−t)2=(y2−3)2+(x−1)2，整理得，y2=16−2t (x−1)2+t+32，即y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2t，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P(1,t+32)，∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2t(t≠3)；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6−2t>0，即t<3时，抛物线y1的顶点M(1,3)，抛物线y2的顶点(1,t+32)，∵3>t+32，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6−2t<0，即t>3时，y1−y2=−3(x−1)2+3−[1(x−1)2+t+3]=3t−114(3−t)(x−1)2+3−t2，若3t−11≠0，要使y1<y2恒成立，只要抛物线y=3t−114(3−t)(x−1)2+3−t2开口方向向下，且顶点(1,3−t2)在x轴下方，∵3−t<0，只要3t−11>0，解得t>113，符合题意；若3t−11=0，y1−y2=−13<0，即t=113也符合题意．综上，可以使y1<y2恒成立的t的取值范围是t≥113．或这样考虑：y1与y2对称轴相同，当y2开口向下时可得到y2最值大于y21最值3，所以只要保证y2的开口大于y1的开口即可，根据二次函数性质，抛物线开口由a的绝对值决定，所以只要计算|16−2t |<34的绝对值即可．【解析】【分析】(I)先根据物线经过点(0,94)得出c的值，再把点(−1,0)、(3,0)代入抛物线y1的解析式即可得出y1与x之间的函数关系式；(II)先根据(I)中y 1与x 之间的函数关系式得出顶点M 的坐标．①记直线l 与直线l′交于点C(1,t)，当点A′与点C 不重合时，由已知得，AM 与BP 互相垂直平分，故可得出四边形ANMP 为菱形，所以PA//l ，再由点P(x,y 2)可知点A(x,t)(x ≠1)，所以PM =PA =|y 2−t|，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q(1,y 2)，故QM =|y 2−3|，PQ =AC =|x −1|，在Rt △PQM 中，根据勾股定理即可得出y 2与x 之间的函数关系式，再由当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合可得出P 点坐标，故可得出y 2与x 之间的函数关系式；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y 2开口方向向上时，可知6−2t >0，即t <3时，抛物线y 1的顶点M(1,3)，抛物线y 2的顶点(1,t+32)，由于3>t+32，所以不合题意，当抛物线y 2开口方向向下时，6−2t <0，即t >3时，求出y 1−y 2的值；若3t −11≠0，要使y 1<y 2恒成立，只要抛物线方向及顶点(1,3−t 2)在x 轴下方，因为3−t <0，只要3t −11>0，解得t >113，符合题意；若3t −11=0，y 1−y 2=−13<0，即t =113也符合题意．本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用． 28.【答案】解：(Ⅰ)①∵点O(0,0)，F(1,1)， ∴直线OF 的解析式为y =x ．设直线EA 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)、 ∵点E 和点F 关于点M(1,−1)对称， ∴E(1,−3)．又∵A(2,0)，点E 在直线EA 上， ∴{0=2k +b−3=k +b，解得{k =3b =−6，∴直线EA 的解析式为：y =3x −6．∵点P 是直线OF 与直线EA 的交点，则{y =xy =3x −6， 解得{x =3y =3，∴点P 的坐标是(3,3)．②由已知可设点F 的坐标是(1,t)． ∴直线OF 的解析式为y =tx ．设直线EA 的解析式为y =cx +d(c 、d 是常数，且c ≠0)． 由点E 和点F 关于点M(1,−1)对称，得点E(1,−2−t)． 又点A 、E 在直线EA 上， ∴{0=2c +d−2−t =c +d，解得{c =2+t d =−2(2+t)，∴直线EA 的解析式为：y =(2+t)x −2(2+t)． ∵点P 为直线OF 与直线EA 的交点，。
中国人民大学附属中学2018-2019学年上学期高一期末测试
2018~2019学年北京海淀区中国人民大学附属中学高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共27小题，每小题3分，共81分）1.A.B.C.D.已知集合，，那么（ ）．2. A.B.C.﹒D.过点和点的直线的斜率为（ ）．3. A.B.C.D.已知角的终边经过点，那么（ ）．4. A.B.C.D.已知向量，，，那么的值为（ ）．5. A.B.C.D.函数的最小正周期是（ ）．6. A.B.C.D.已知直线与直线垂直，那么的值为（ ）．7. A.B.C.D.某学校为调查中学生对北京世园会的了解情况，计划从初一名学生和高一名学生中抽取名学生进行问卷调查，如果用分层抽样的方法抽取样本，那么高一应抽取的人数为（ ）．8. A. B.C.D.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）．9. A.B.C.D.直线与直线的距离为（ ）．10.A.B.C.D.计算：的结果为（ ）．11.A.B.C.D.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）．主视图侧视图俯视图12.A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）．13.A.B.C.D.在中，，，，则（ ）．14.A.B.C.D.盒子里装有标着数字，，，的大小、材质完全相同的张卡片，从盒子里随机抽取张卡片，抽到的卡片上数字之积为奇数的概率是（ ）．15.A.B.C.D.若向量，满足，且，，则（ ）．16.A.B.C.D.函数的零点所在的区间是（ ）．17.A.B.C.D.函数在区间上的最大值为，那么等于（ ）．18.甲乙A.B.C.D.某品牌服装店周一至周五这天甲、乙两款服装的销售量（单位：件）用茎叶图表示如图所示．如果用，分别表示两款服装销售量的平均数，，分别表示两款服装销售量的标准差，那么（ ）．，，，，甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙19.A.B.C.D.某社区共有户住户，五月份用水量的频率分布直方图如图所示，则五月份用水量不超过的住户数为（ ）．立方米用水量频率组距20.A.B.C.D.任取，满足的概率为（ ）．21.A. B.C.D.过点且与直线平行的直线方程为（ ）．22.A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形在中，已知，那么这个三角形是（ ）．23.A.B.C.D.已知幂函数的定义域为，则的值可能为（ ）．24.A.①B.②C.③D.④设是直线，，是两个不同的平面，在下列四个命题中：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的命题是（ ）．25.A.B.C.D.假设某种设备使用的年限（年）与所支出的维修费用（万元）有以下关系：使用年限维修费用如果对的线性回归方程，那么（ ）．该种设备使用年限为年时，维修费用为万元该种设备使用年限为年时，维修费用为万元该种设备使用年限每增加一年，维修费用平均增加万元该种设备使用年限每增加一年，维修费用平均增加万元26.A.外离B.外切C.内含D.内切已知，，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．27.A. B.C.D.已知函数若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）．二、解答题（本大题共4题，共19分）28.（1）（2）已知函数的一条对称轴方程为．．求的单调递减区间．29.（1）（2）如图，在三棱锥中，，．求证：．若点、分别是棱、上的点，且，求证：．30.（1）（2）（3）已知⊙，直线经过点．若直线与⊙相离，则实数的取值范围是 ．若直线与⊙相切，则切点的坐标为 ．设直线与⊙相交于、两点，为坐标原点，求证：．31.（1）（2）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，若某地上班族中的成员仅以自驾、公交、自行车三种方式通勤．研究数据表明：当中有的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间（单位：分钟）为，而公交、自行车群体的人均通勤时间不受的影响，恒为分钟．当时，自驾群体比公交、自行车群体的人均通勤少．求该地上班族的人均通勤时间的表达式；分析的单调性及其实际意义．三、不定项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）32.A.B.C. D.将一组数据在平面直角坐标系中画成散点图，则图中直线最有可能是这组数据的回归直线的是（）．33.A.B.C.D.已知实数，满足，则当时，的可能取值是（ ）．34.A.B.C.D.如图，一张矩形纸张长，宽，，，，分别是其四边的中点，现将其沿途图中虚线折起，使得，，，四点重合为一点，得到一个多面体，下列关于该多面体的说法中，正确的有（ ）．面数小于体积小于外接球的半径为四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）35.（1）（2）各个面为全等的正多边形的多面体称为正多面体，以正多面体的每个面的中心为顶点的多面体称为的“伴生多面体”．若正多面体的“伴生多面体”为正四面体，则的棱数为 ．棱长为的正方体的“伴生多面体”的体积是 ．36.（1）（2）已知直线，，可以围成一个三角形，则：实数的取值范围是 ．所围成的三角形面积的最小值为 ．37.（1）（2）在一副没有大小王的扑克牌中，把看成，看成，看成，看成．对于其中五张扑克牌：如果它们的花色都相同，则称这种组合为“同花”；如果它们是连续的，如，，，，，则称这种组合为“顺子”小波先从这副扑克牌中抽取了三张牌，牌面如下：他再从剩下的牌中抽取两张（不考虑抽取顺序），构成一个五张牌的组合．该组合为“同花”的情形共有种 ．该组合为“顺子”的概率是 ．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）38.12（1）（2）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点为棱的中点．记过点且与垂直的平面为，过点且与垂直的平面为．设平面与正方体的表面相交形成的图形为．请在图中直接画出图形．图形的周长为 ．设，证明：．39.（1）（2）在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，圆与轴相切，且与轴的正半轴交于、两点，在的上方，且．求圆的标准方程．设点是以原点为圆心、为半径的圆上一动点，且点不在轴上，直线与圆相交于另一点，判断是否存在，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知命题：“”，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题是，故选D. 【考点】命题的否定.2．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】，；．故选：D．【点睛】本题考查交集的运算，描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法是基础题3．下列图形是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可．【详解】A当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数B．满足函数的定义，则图象是函数图象C．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数D．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数故满足条件的图象是B，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．函数的定义域为，则函数定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据的定义域即可得出需满足：，从而得出的定义域．【详解】的定义域为；满足；；的定义域为．故选：B．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，已知的定义域求定义域的方法，是基础题5．“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用指数函数的单调性，结合充要条件推出结果即可．【详解】指数函数，是增函数，所以“”“”，“”“”，可得“”是“”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用，是基础题．6．已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合代表不等式的解集，可求，再根据得到关于的不等式，即可得到的范围．【详解】因为集合，所以，又因为，故．故选：B．【点睛】本题考查集合的基本关系，解题时，要注意端点的取舍，本题属基础题．7．已知函数，函数在下列区间一定存在零点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知函数解析式分别求得，，，，的值，再由函数零点的判定得答案．【详解】，，，，，，，由函数零点判定定理可知，在上一定存在零点．故选：A．【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，熟记零点存在基本定理是关键，是基础题．8．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断．【详解】由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故不适合．故选：D．【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档题．二、填空题9．比较大小：__________.【答案】【解析】根据指数函数的单调性即可比较出与的大小．【详解】是上的减函数；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据函数单调性比较大小的方法，是基础题10．函数的值域为____________．【答案】【解析】利用指数函数的性质求解【详解】由指数函数的性质可知，，所以，故函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查指数型函数的值域求法，熟记函数基本性质是关键，考查计算能力，属于基础题．11．函数的定义域为_______________．【答案】或【解析】可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】要使有意义，则：；，或；的定义域为，或．故答案为：或．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，分式不等式的解法，考查计算能力，是基础题12．已知，（1）____________；（2）若函数有两个零点，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】（1）直接由分段函数解析式求解的值（2）画出函数的图象，数形结合得答案．（1）由已知可得，；（2）作出函数的图象如图，由图可知，要使函数有两个零点，则实数的取值范围为．故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数值的求法，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．已知，则____________；的解析式为____________．【答案】【解析】，由此利用，能求出；设，则，从而，由此能求出的解析式．【详解】，，设，则，，的解析式为．故答案为：，．【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，14．对于函数，下列说法正确的是____________．①函数的定义域为；②函数为奇函数；③函数的值域为；④函数在定义域上为增函数；⑤对于，均有．【答案】①②④⑤【解析】①函数的分母恒成立，定义域为；②根据奇偶性的定义判断为定义域上的奇函数；③根据指数函数的图象与性质，求出函数的值域即可；④根据指数函数的性质，判断在定义域上为增函数；⑤根据为上的增函数，判断．【详解】对于①，函数，分母，定义域为，①正确；对于②，任意，有，函数为定义域上的奇函数，②正确；对于③，函数，，，，，的值域为，③错误；对于④，是增函数，是减函数，是增函数，函数在定义域上为增函数，④正确；对于⑤，对于，都有，且为上的增函数，所以，⑤正确．综上所述，正确的命题序号是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题主要考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数函数的性质与应用问题，是中档题．三、解答题15．（1）已知，求的值．（2）求值：．【答案】（1）6（2）1【解析】（1）将平方求解即可；（2）由对数运算性质求解即可【详解】（1），．（2）原式．【点睛】本题考查指数运算，对数运算，熟记运算法则及性质是关键，是基础题16．判别并证明函数的奇偶性．【答案】【解析】由奇函数定义判断即可【详解】是奇函数，证明如下：的定义域为，且；；是奇函数．【点睛】本题考查奇函数的定义及判断，熟记定义，及判断方法是关键，是基础题17．已知命题：方程有实根：命题：方程有两个不相等的实根，若“且”为真，求实数的取值范围．【答案】【解析】先求解p,q命题为真命题时m的范围，再利用命题真假求解即可【详解】方程有实根，则判别式，得或，方程有两个不相等的实根，则满足，得，即或，若“且”为真，则，同时为真命题，则得，即实数的取值范围是．【点睛】本题考查命题真假，二次方程根的情况，解决p,q命题为真命题时m的范围是关键，考查计算能力，是中档题18．已知函数是定义域为的奇函数，在上是减函数，且．（1）求与的值；（2）判别并证明函数在上的单调性；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）0，0（2）在上是减函数（3）或【解析】（1）直接代入求值即可；（2）利用定义判断即可；（3）由奇函数与单调性转化求解即可【详解】（1）是上的奇函数；，且；；（2）在上是减函数，证明如下：设，则：；在上是减函数；；；；在上是减函数；（3）①，即时，满足；②，即时，由得：；；；；③，即时，由得：；；；综上得，实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数单调性判断，利用奇偶性解不等式，熟记基本性质是关键，考查计算能力，是中档题19．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）时，，令可得，即．的零点是．（2）令，显然，则．有两个零点，且为单调函数，方程在上有两解，，解得：．的取值范围是．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20．已知函数，表示函数的次迭代函数，，．（1）若，求，，，；（2）若存在正整数，使得对于任意的正整数，均有成立，则称函数是次迭代周期函数，正整数为函数的选代周期．①若，求的选代周期；②若，判别是否为选代周期函数．若是，求出选代周期：若不是，请说明理由．【答案】（1），，，（2）①3；②不是【解析】（1）利用先求，，即可得（2）①由成立，计算求解即可的选代周期②反正法证明即可【详解】（1），，则，，，……于是．（2）①，，则，，，故的选代周期为，②，，则．第 11 页共 12 页，……，若为次迭代周期函数，则，，与矛盾．不是迭代周期函数．【点睛】本题考查函数的综合应用，注意新定义的理解运用，考查推理计算能力，是难题第 12 页共 12 页。
北京市人大附中2018-2019年高三(上)月考数学试卷(理科)(一)(解析版)
北京市人大附中2018-2019学年高三（上）月考数学试卷（理科）（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1，3，√m }，B ={1，m }，A ∪B =A ，则m 的值为（ ）A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或3 2. 下列函数中，定义域为[0，+∞）的函数是（ ）A. y =√xB. y =−2x 2C. y =3x +1D. y =(x −1)2 3. 下列命题中的假命题是（ ）A. ∀x ∈R ，2x−1>0B. ∀x ∈N ∗，(x −1)2>0C. ∃x 0∈R ，lgx 0<1D. ∃x 0∈R ，tanx 0=2 4. 设a =（12）12，b =1og 213，c =log 23，则（ ）A. a >b >cB. c >b >aC. a >c >bD. c >a >b5. 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）=x 3+x 2+1，则f （1）+g （1）=（ ） A. −3 B. −1 C. 1 D. 3 6. 若函数f(x)=(1−2a)x2(x 2+a)的图象如图所示，则a 的取值范围是（ ） A. (1,+∞) B. (0,1)C. (0,12) D. (−∞,12)7. 对于函数f （x ）=x 3+bx 2+cx -1，“c ≥0”是“f （x ）在（-∞，+∞）上单调递增”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 如图，过函数f （x ）=1x （x ＞0）图象上两点P （a ，1a ），Q （b ，1b ）（a ＜b ）分别作y =f （x ）的切线11，l 2，l 1，l 2交于M ，并且分别与坐标轴交于A ，B ，C ，D ，则（ ）A. 三角形MBD 与三角形MAC 面积之和为定值B. 三角形MBD 与三角形MAC 面积之差为定值C. 三角形MBD 的面积一定大于三角形MAC 面积D. 三角形MBD 的面积一定小于三角形MAC 面积二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知幂函数y =f （x ）的图象过（-8，-2），则f （x ）=______．10. 当函数f （x ）=x 2与函数g （x ）=x 2+ax +b 图象关于直线x =1对称时，则a =______，b =______． 11. 若存在x ∈R ，使得不等式12x +1≥a 成立，则实数a 的取值范围是______．12. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为C =20tt 2+4，则经过______h 后池水中药品的浓度达到最大．13. “定义在R 上的函数f （x ），若对任意的x 1，x 2，当x 1≠x 2都有f （x 1）≠f （x 2），则f （x ）为单调函数”．能够说明上述命题是错误的一个函数是______． 14. 为了得到函数f （x ）=log 2（2x−14）的图象，只需将函数f （x ）=log 2x 的图象①先将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，再向右移动12个单位即可 ②先右移14个单位，再将每一点的横坐标扩大为原来的2倍即可．③先将每一点横坐标缩为原来的12，再向右移动12个单位，再向下移动2个单位即可 ④先向右移12个单位，再向下移1个单位即可正确的说法有______三、解答题（本大题共3小题，共30.0分）15. 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1）（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若f （m ）＜-2，求实数m 的取值范围． 16. 设函数f(x)=(x −1)e x −k2x 2（其中k ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当k ≤0时，讨论函数f （x ）的零点个数．17.对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n={x|x=a∈E n，b∈E n}．若b集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．}．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，如当n=2时，E2={1，2}，P2={1，222使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B，求n的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．2.【答案】A【解析】解：选项A，y=的定义域为[0，+∞）选项B，y=-2x2定义域为R选项C，y=3x+1定义域为R选项D，y=（x-1）2定义域为R故选：A．选项根据偶次根式下大于等于0可得定义域，选项B、D都是二次函数，定义域为R，选项C是一次函数，定义域为R，可得正确选项．本题主要考查了幂函数、二次函数和一次函数的定义域，属于容易题．3.【答案】B【解析】解：对于A，∀x∈R，2x-1＞0，正确，对于B，当x=1时，（x-1）2=0，此时∀x∈N+，（x-1）2＞0错误，对于C，当0＜x＜10时，lgx＜1，则∃x0∈R，lgx0＜1正确，对于D，tanx的值域为R，∴∃x0∈R，tanx0=2正确，故选：B．根据含有量词的命题的真假判断方法进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的真假判断，比较基础．4.【答案】D【解析】解：∵0＜a=（）＜（）0=1，b=1og2＜log21=0，c=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由f（x）-g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成-x，得f（-x）-g（-x）=-x3+x2+1，根据f（x）=f（-x），g（-x）=-g（x），得f（x）+g（x）=-x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．将原代数式中的x替换成-x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于-1也可以得到计算结果．6.【答案】C【解析】解：∵函数，∴f′（x）=，令f′（x）=0得：x2=a由图可知，函数f（x）有两个极值点，故方程：x2=a有实数解，∴a＞0．又从图象中得出，当x＞0时，y＞0，∴1-2a＞0，∴a＜故a∈（0，）．故选：C．结合函数的图象并利用导函数的性质得a＞0，再结合图象在第一象限内的性质得出1-2a＞0，即可解答．本题考查了函数的图象、函数的极值与导数的联系，函数值与对应自变量取值范围的关系，解答关键是需要形数结合解题．7.【答案】B【解析】解：函数的导数为f′（x）=3x2+2bx+c，若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则f′（x）=3x2+2bx+c≥0恒成立，即判别式△=4b2-12c≤0，即c≥b2≥0，即必要性成立，当c≥0时，△=4b2-12c≤0不一定成立，即f′（x）≥0不一定成立，即充分性不成立，则“c≥0”是“f（x）在（-∞，+∞）上单调递增”的必要不充分条件，故选：B．求函数的导数，结合函数单调性与导数之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性与导数之间的关系求出c的范围是解：8.【答案】B【解析】解：函数的导数f′（x）=-，则f′（a）=-，f′（b）=-，则11：y-=-（x-a），即y=-x+，①l2：y-=-（x-b）=x+，②由①②得x=，y=，即M（，），分别令x=0，y=0得坐标轴上点的坐标为B（0，），D（0，），C（2b，0），A（2a，0），∵a＜b，∴BD=-=，AC=2b-2a，则三角形MBD的面积S△MBD=BDx M=××=，三角形MAC的面积S△MAC=ACy M=×（2b-2a）×=，则S△MBD=S△MAC，即S△MBD-S△MAC=0，即三角形MBD与三角形MAC面积之差为定值，故选：B．求函数的导数，结合导数的几何意义求出切线斜率和方程，求出交点坐标，结合三角形的面积公式进行计算，进行判断即可．本题主要考查三角形面积的计算，结合导数的几何意义求出切线斜率和方程，求出交点坐标，结合三角形的面积公式进行判断是解决本题的关键．9.【答案】x13【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，其图象过（-8，-2），∴（-8）α=-2，解得α=，∴f（x）=．故答案为：．利用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．10.【答案】-4 4【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2与函数g（x）=x2+ax+b图象关于直线x=1对称，则g（x）=f（2-x）=（2-x）2=x2-4x+4，则a=-4，b=4；故答案为：-4，4根据题意，分析可得g（x）=f（2-x）=（2-x）2=x2-4x+4，分析可得答案．本题考查函数解析式的求法，关键是掌握函数关于直线对称的性质．11.【答案】a＜1【解析】解：存在x∈R，使得不等式≥a成立，即a＜，f（x）=，x∈R，f（x）＜=1，∴实数a的取值范围是a＜1．故答案为：a＜1．由题意问题转化为a＜，构造函数求出最值即可得出结论．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了转化思想，是基础题．12.【答案】2【解析】解：C===5，当且仅当t=2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13.【答案】f（x）={0，x=0 1x，x≠0【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f（x），若对任意的x1，x2，当x1≠x2都有f（x1）≠f（x2），即函数值与自变量是一一对应的关系，且表示单调函数，可以考虑分段函数，则f（x）=，故答案为：f（x）=，（答案不唯一）根据题意，由函数单调性的定义，结合分段函数的性质分析可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及性质，注意掌握函数的单调性的定义，属于基础题．14.【答案】①②③④【解析】解：将函数f（x）=log2x的图象对于①，先将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y=log2（x）的图象，再向右移动个单位可得y=log2（x-）的图象，故①正确；对于②，先右移个单位，可得y=log2（x-）的图象，再将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y=log2（x-）的图象，故②正确；对于③，先将每一点横坐标缩为原来的，可得y=log2（2x）的图象，再向右移动个单位，可得y=log2（2x-1）的图象，再向下移动2个单位，可得y=log2（2x-1）-2=log2的图象，故③正确；对于④，先向右移个单位，可得y=log2（x-）的图象，再向下移1个单位可得y=log 2（x-）-1=log 2（x-）的图象，故④正确． 故答案为：①②③④．运用对数函数的图象变换，主要是伸缩变换和平移变换，即可判断正确结论． 本题考查对数函数的图象变换，考查伸缩变换和平移变换规律，考查转换能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1），∴当x ＜0时，-x ＞0， ∴f （-x ）=log 2（-x +1），∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （-x ）=-f （x ），∴-f （x ）=log 2（-x +1），即f （x ）=-log 2（1-x ），又f （0）=0，∴f （x ）={log 2(x +1)(x ＞0)0(x =0)−log 2(1−x)(x ＜0)…6分（Ⅱ）∵x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1）＞0，f （0）=0， ∴f （m ）＜-2⇔到-log 2（1-m ）＜-2， ∴log 2（1-m ）＞2， ∴1-m ＞4， ∴m ＜-3…12分 【解析】（Ⅰ）根据题意可求得当x ＜0时的解析式，结合f （0）=0即可得到函数f （x ）定义在R 上的解析式；（Ⅱ）由函数f （x ）的解析式即可得到log 2（1-m ）＞2，从而可求得实数m 的取值范围．本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查函数的奇偶性，求得x ＜0时的解析式是关键，属于中档题．16.【答案】解：（1）函数f （x ）的定义域为（-∞，+∞），f '（x ）=e x +（x -1）e x -kx =xe x -kx =x （e x -k ），①当k ≤0时，令f '（x ）＞0，解得x ＞0，所以f （x ）的单调递减区间是（-∞，0），单调递增区间是[0，+∞），②当0＜k ＜1时，令f '（x ）＞0，解得x ＜ln k 或x ＞0，所以f （x ）在（-∞，ln k ）和（0，+∞）上单调递增，在[ln k ，0]上单调递减， ③当k =1时，f '（x ）≥0，f （x ）在（-∞，∞）上单调递增，④当k ＞1时，令f '（x ）＞0，解得x ＜0或x ＞ln k ，所以f （x ）在（-∞，0）和（ln k ，+∞）上单调递增，在[0，ln k ]上单调递减；（2）f（0）=-1，①当k＜0时，f(1)=−k2＞0，又f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在[0，+∞）上只有一个零点，在区间（-∞，0）中，因为f(x)=(x−1)e x−k2x2＞x−1−k2x2，取x=2k −1，于是f(2k−1)＞(2k−1)−1−k2(2k−1)2=−k2＞0，又f（x）在（-∞，0）上单调递减，故f（x）在（-∞，0）上也只有一个零点，所以，函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有两个零点；②当k=0时，f（x）=（x-1）e x在单调递增区间[0，+∞）内，只有f（1）=0．而在区间（-∞，0）内f（x）＜0，即f（x）在此区间内无零点．所以，函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上只有唯一的零点．【解析】（1）求出函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），导函数f'（x），通过①当k≤0时，②当0＜k＜1时，③当k=1时，④当k＞1时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．（2）f（0）=-1，①当k＜0时，判断f（x）在[0，+∞）上单调递增，说明零点个数，f （x）在（-∞，0）上也只有一个零点，推出函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有两个零点；②当k=0时，判断零点个数即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，导函数的符号，以及函数的最值，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．17.【答案】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n={x|x=√ba∈E n，b∈E n}．∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，∵集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，∴P3不具有性质Ω．…..（6分）证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..（10分）解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆P n，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B．若n=14，当b=1时，{x|x=√1a∈E14}=E14，取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1．当b=4时，集合{x|x=√4a∈E14}中除整数外，其余的数组成集合为{12，32，52，…，132 }，令A2={12，52，92，112}，B2={32，72，132}，则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使{12，32，52，…，132}=A2∪B2．当b=9时，集{x|x=9a∈E14}中除整数外，其余的数组成集合{13，23，43，53，73，8 3，103，113，133，143}，令A3={13，43，53，103，133}，B3={23，73，83，113，143}．则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使{13，23，43，53，73，83，103，113，133，143}=A3∪B3．集合C={x|x=√ba∈E14，b∈E14，b≠1，4，9}中的数均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．…..（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件能求出集合P3，P5中的元素个数，并判断出P3不具有性质Ω．（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}，从而1∈A∪B，由此推导出与A具有性质Ω矛盾．从而假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）当n≥15时，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B．n=14，根据b=1、b=4、b=9分类讨论，能求出n的最大值为14．本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。
北京市人大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
① 映射������的值域是[0, 3]； ② 映射������不是一个函数； ③ 映射������是函数，且是偶函数； ④ 映射������是函数，且单增区间为[6������,6������ + 3](������ ∈ ������)， 其中正确说法的序号是___________. 说明：“正三角形 ABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动．沿 x 轴正方向滚动指的是 先以顶点 B 为中心顺时针旋转，当顶点 C 落在 x 轴上时，再以顶点 C 为中心顺时针旋转，如此继
A．
B．
C．
D．
6．设 a＝������������������25，b＝������������������35，c＝������������������32，则 a，b，c 的大小关系为（）
A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． b＞a＞c D． c＞a＞b 7．已知������ ∈ [1,2]，������2 ‒ ������������ > 0恒成立，则实数 a 的取值范围是（） A． [1, + ∞) B． (1, + ∞) C． ( ‒ ∞,1] D． ( ‒ ∞,1) 8．设函数������(������) = 1 + [������] ‒ ������，其中[������]表示不超过 x 的最大整数，若函数������ = ������������������������������的图象与函数������(������)的 图象恰有 3 个交点，则实数 a 的取值范围是（）
故选：D．
【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．A
【解析】
【分析】
2017-2018学年北京市人大附中高一下学期第一次月考数学卷
2017-2018学年北京市人大附中高一下学期第一次月考数学卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·滁州期末]高二（2）班男生36人，女生18人，现用分层抽样方法从中抽出人，若抽出的男生人数为12，则等于（）A．16 B．18 C．20 D．222．[2018·滨州期末]某校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算采用系统抽样方法从高一年级800名学生中抽取40名进行调查．现将800名学生从1到800进行编号，在1-20中随机抽取一个号码，如果抽到的是7号，则从41-60这20个数中应抽取的号码是（）A．45 B．46 C．47 D．483．[2018·邢台期末]已知，是两个变量，下列四个散点图中，，呈负相关趋势的是（）A． B．C．D．4．[2018·清远期末]“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第3个红色球的编号为（）A．21 B．32 C．09 D．205．[2018·马鞍山质检]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A．30 B．31 C．32 D．336．[2018·滨州期末]执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（）A．2 B．3 C．4 D．57．[2018·成都期末]容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（）A．样本数据分布在的频率为0.32B．样本数据分布在的频数为40C．样本数据分布在的频数为40D．估计总体数据大约有10%分布在8．[2018·汉阳一中]若将两个数，交换，使，，下面语句正确的一组是（）A．B．C．D．9．[2018·西安期末]执行如图所示的程序框图，如果运行结果为，那么判断框中应填入（）A．B．C．D．10．[2018·宁德期末]某产品的广告支出（单位：万元）与销售收入（单位：万元）之间有下表所对应的数据：已知对的回归直线方程是，则的值是（）A．15 B．16 C．17 D．1811．[2018·福州期末]如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如．执行该程序框图，则输出的等于（）A．23 B．38 C．44 D．5812．[2018·南阳一中]样本的平均数为，样本的平均数为，若样本的平均数，，则的大小关系为（）A．B．C．D．不能确定第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·黄冈中学]某企业有员工人，其中男员工有人，为作某项调査，拟采用分层抽样法抽取容量为的样本，则女员工应抽取的人数是________．14．[2018·承德期末]某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据，绘制了下面的折线图．根据图表对比，可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差__________（填甲或乙）更大．15．[2018·南康中学]根据如下样本数据：得到的回归方程为，则＝____．16．[2018·铜山中学执行如图所示的算法流程图，则输出的值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·滨州期末]联合国教科文组织规定，每年的4月23日是“世界读书日”．某校研究生学习小组为了解本校学生的阅读情况，随机调查了本校400名学生在这一天的阅读时间（单位：分钟），将时间数据分成5组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图．（1）求的值；（2）试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间；（3）若用分层抽样的方法从这400名学生中抽取50人参加交流会，则在阅读时间为，的两组中分别抽取多少人？18．[2018·梅河口五中]已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．（单位：百万元）相关公式：，．19．[2018·成都调研]阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：（1）求输入的的值分别为，时，输出的的值；（2）根据程序框图，写出函数（）的解析式；并求当关于的方程有三个互不相等的实数解时，实数的取值范围．20．[2018·福州质检]随着“互联+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92．（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（精确到）参考数据：．21．[2018·宣城中学]在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树绿化活动中去．林业管理部门在植树前，为了保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下（单位：厘米）：甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46．（1）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；（2）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为，将这10株树苗的高度依次输入，按程序框（如图）进行运算，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．22．[2018·陆川县中学]某县政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（图1）（图2）（Ⅰ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的平均数和中位数（精确到0.01）；（Ⅱ）求用户用水费用（元）关于月用水量（吨）的函数关系式；（Ⅲ）如图2是该县居民李某2017年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】因为高二（2）班男生人，女生人，现用分层抽样方法从中抽出人，所以，故选B．2．【答案】C【解析】样本间隔为，在中随机抽取的是号，从这个数中应抽取的号码为，故选C．3．【答案】C【解析】由图可知C选项中的散点图描述了随着的增加而减小的变化趋势，故选：C．4．【答案】C【解析】根据随机数表法的应用得到数据分别为：21，32，09…．．故第三个数据为09．故答案为：C．5．【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：，结合题意可知：甲组的中位数为33，即，则甲组数据的平均数为：．本题选择B选项．6．【答案】B【解析】由题意得，执行程序框图可知，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断框的条件，输出的值，此时，故选B．7．【答案】D【解析】总体数据分布在的概率为，故选D．8．【答案】C【解析】本题主要考查利用程序语句变换两个数．易知，C正确．9．【答案】B【解析】由题意可知输出结果为S=5040，通过第一次循环得到S=1×2=2，k=3，通过第二次循环得到S=1×2×3=6，k=4，通过第三次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5，通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6，通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7，通过第六次循环得到S=1×2×3×4×5×6×7=5040，k=8，此时执行输出S=5040，结束循环，所以判断框中的条件为k＞7？．故选：B．10．【答案】D【解析】由表格数据解得，因为回归方程过，所以，所以，18．故选D．11．【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选A．12．【答案】A【解析】依题意得x1＋x2＋…＋x n＝n，y1＋y2＋…＋y m＝m，x1＋x2＋…＋x n＋y1＋y2＋…＋y m＝（m＋n）＝（m＋n）a+（m＋n）（1－a），所以n+m=（m＋n）a+（m＋n）（1－a），所以，于是有n－m＝（m＋n）[a－（1－a）]＝（m＋n）（2a－1）．因为0＜a＜，所以2a－1＜0．所以n－m＜0，即n＜m．故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】女员工应抽取的人数是．14．【答案】乙【解析】由图可知，乙的数据波动更大，所以方差更大的是乙．15．【答案】【解析】，，把代入回归直线方程得：，故答案为：2.6．16．【答案】4【解析】由流程图得函数，；；；；．结束循环，输出4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）43.6；（3）阅读时间在分钟的应抽取（人），阅读时间在分钟的应抽取（人）．【解析】（1）由已知，得，解得；············3分（2）由样本的频率分布直方图，估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间为：（分钟）．···········6分（3）阅读时间在分钟的人数为，··········7分阅读时间在分钟的人数为，··········8分所以阅读时间在分钟的应抽取（人），··········9分阅读时间在分钟的应抽取（人）．···········10分18．【答案】（1）5月和6月平均利润最高（2）这3年的前7个月的总利润呈上升趋势（3）估计8月份的利润为940万元【解析】（1）由折线图可知5月和6月平均利润最高．···········2分（2）第1年前7个月的总利润为（百万元），···········3分第2年前7个月的总利润为（百万元），···········4分第3年前7个月的总利润为（百万元），···········5分∴这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．···········7分（3）∵，，，，∴，···········9分∴，···········10分∴，···········11分当时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．··········12分19．【答案】（1）见解析（2）．【解析】（1）当输入的的值为时，输出的；···········2分当输入的的值为2时，输出的···········4分（2）根据程序框图，可得···········7分当时，，此时单调递增，且；当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，且．结合图象，知当关于的方程有三个互不相等的实数解时，实数的取值范围为．···········12分20．【答案】（1）样本的评分数据为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．（2），=33（3）【解析】（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4，8，12，16，20，24，28，32，36，40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．···········3分（2）由（1）中的样本评分数据可得，···········6分则有···········9分（3）由题意知评分在之间，即之间，由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为．···········12分另解：由题意知评分在，即之间，从调+查的40名用户评分数据中在共有21人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为．···········12分21．【答案】（1）详见解析（2），S越小表越整齐，相反参差不齐【解析】（1）茎叶图；···········3分统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得整齐；③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布比较分散．···········7分（每条2分）（2），···········9分·········11分S表示10株甲种树苗高度的方差．是描述树苗高度离散程度的量，S越小表越整齐，相反参差不齐．···········12分22．【答案】（Ⅰ）平均数7.96，中位数8.15；（Ⅱ）；（Ⅲ）13．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可得该市居民每月的用水量的平均数为．···········2分设中位数为，则，解得．···········4分（Ⅱ）设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则由题意得即···········7分（Ⅲ）设李某2017年1～6月份月用水费（元）与月份的对应点为，它们的平均值分别为，，则，，又点在直线上，所以，···········9分因此，所以7月份的水费为元．···········10分由（2）知，当时，，所以李某7月份的用水吨数约为13吨．···········12分。
北大附属学校2018届高一实验班选拔考试(数学)
；
三、解答题（共 6 小题，共 52 分）
( ) 15．(1)（本小题 4 分）计算：
⎛ ⎜⎝
1 3
⎞−2 ⎟⎠
−
|
−5
|
−2
sin
60o
−
2
1− 2 +
1
3− 2
(2)
（本小题
4
分）先化简，再求值：
a
2
+ b2
ab
⋅
a2 a2
− −
ab b2
；
其中| a − tan 60o
|+
b+3 =0
数学试卷 第 5 页（共八页）
该函数的图象叫做整点抛物线（例如： y = x2 + 2x + 2 ）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线的解析式．（不必证明）
（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线？若存在，请写出其中一 2
条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
数学试卷 第 6 页（共八页）
（1）求抛物线和直线 AB 的解析式； （2）点 P 是抛物线(在第三象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，
求△CAB 的铅垂高 CD 及 S ΔCAB ；
（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P（不与 C 点重合），使 S△PAB=S△CAB，若存在，求出
P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
B
那么 tan A =
．
第 11 题图
12．如图，在直角坐标系中，已知点 A(−3, 0), B(0, 4) ，对 ΔOAB 连续作旋转变换，依次得到三
角形①、②、③、④、…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为
2018年重点高中高一分班考试数学试卷及答案
2018年重点高中高一分班考试数学试卷及答案一元二次方程x^2 + bx + 1 = 0的两个根的和为3，则b的值为（▲）A．-4B．-3C．2D．32018年重点高中高一分班数学试题卷本次考试不允许使用计算器，也没有近似计算要求，需要保留准确值。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一个选项是正确的，不选、多选或错选均不得分）1.在日常生活中，“红灯停，绿灯行”是必须遵守的交通规则。
XXX每天从家骑自行车上学都要经过两个路口，每个路口只有红灯和绿灯。
如果每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么XXX从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是（▲）A。
1/1B。
1/2C。
1/3D。
2/32.若关于x的一元一次不等式组{1<x≤2}有解，则m的取值范围为（▲）x>mA。
m<2B。
m≤2C。
m<1D。
1≤m<23.点M（-2，b），N（-4，a）是所给函数图像上的点，则能使a>b成立的函数是（▲）A。
y=-2x+3B。
y=-2(x+3)+4C。
y=3(x-2)-1D。
y=-2x^24.据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫XXX。
这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫XXX。
那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（▲）A。
64B。
71C。
82D。
1045.十进制数2378，记作2378（10），其实2378（10）=2×10^3+3×10^2+7×10^1+8×10^0，二进制数1001（2）=1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0.有一个（<k≤10为整数）进制数321(k)，把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数561(k)是原数的3倍，则k=（▲）A。
2018北京人大附春季高中合格性考试模拟试卷数学含答案
2018北京中国人民大学附属中学高一合格性模拟考试数学考生须知1.本试卷共4页，分为两个部分：第一部分为选择题，20个小题（共80分）；第二部分为非选择题，三道大题（共20分）2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色签字笔作答。
第Ⅰ卷（机读卷共80分）一．选择题（共20个小题，每小题4分，共80分）在每道小题给出的四个备选答案中吗，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1-20题的相应位置上。
1．设集合M={1，2，3，4，5}，集合N={2，4，6}，集合T={4，5，6}，则（M∩T）∪N是（）A．{2，4，5，6} B．{4，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．{2，4，6}2.不等式（x-1）(2x-1)<0的解集是A.{x∣1<X<2}B.{ x∣x<1,或x>2}C.{ x∣x<1/2,或想}1}D.{ x∣1/2<x<1}3已知向量=(2,1),=(m,2)且·=1，那么实数m等于（）A.-B.C.-1D.14．在函数y=cosx，y=x3，y=e x，y=lnx中，奇函数是（）A．y=cosx B．y=x3C．y=e x D．y=lnx5．给出下列四个命题：①在空间中，垂直于同一直线的两条直线平行；②在空间中，垂直于同一直线的两个平面平行；③在空间中，垂直于同一平面的两条直线平行；④在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．若角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P（﹣4，3）为其终边上一点，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．±7．某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（）A．50 B．100 C．150 D．208．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=09．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上最大值是2，那么a等于（）A．B．C．2 D．410．设a,b,c分别为△ABC中角A、B、C的对边，且满足b2+c2+bc=a²则cosA的值为（）A. B.- C. D.-11．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．12.如图所示的正方形网格中，点A,B,C,D,的位置如图，那么（）A.=2+2B.=+2C.=2+D.=+13．在△ABC中，∠A=60°AC=2,BC=3√2,则角B等于（）（）A．45° B．30°60° C．135° D.45°或135°14．函数y=sinωx的图象可以看做是把函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍而得到，那么ω的值为（）A．4 B．2 C．D．315.计算-×log2×+lg4+lg25的值为A.2B.5C.10D.2016．直线y=﹣（x﹣2）截圆x2+y2=4所得的劣弧所对的圆心角为（）A．B．C．D．17．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C.2 D.118．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是（）A．B．C．D．19.已知点P（2,0）到直线L测距离为2，则以下四种说法中，正确的个数是（）①存在一个圆，与所有的直线L均相交；②存在一个圆，与所有的直线L均相切；③存在一个圆，与所有的直线L均相离；④存在一个点，所有的直线L均不经过该点A.1B.2C.3D.420．某百货大楼在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下的规定获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[200，400）[400，500）[500，700）[700，900）…获得奖券金额/元30 60 100 130 …根据上述促销的方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，设购买商品得到的优惠率=，试问：对于标价在[625，800]之内的商品，顾客要得到不小于的优惠率，应购买商品的标价范围是（）A．[525，600] B．[625，750] C．[650，760] D．[700，800]第Ⅱ卷（非机读卷共20分）注意事项：将答案答在答题卡对应题号的规定区域内。
人大附中分班考试班部分答案
人大附中分班考试班第四讲部分答案第四讲计数问题一. 加法原理与乘法原理例1.满足下面性质的数称为好数，它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且相邻两位数字差不超过2．例如1346为好数，3579为好数，但1456就不是好数．那么有四位好数．答案：36 ．例2.用3种颜色把一个3´3的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有________种不同的染色法例3.□□□+□□=□□+□□，把数字1~9填入上面的方框中，使等式成立．每个数字只能填1次，一共有多少种不同的填法？例4.如图，把A、B、C、D、E这5个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。
那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？解析：4×3×2×2×2＝96。
例5.有一种四位数，它与它的逆序四位数和为9999．例如7812+2187=9999，3636+6363=9999等．那么这样的四位数一共有多少个？二. 排列组合例6.3个男生，3个女生排成一排，要求男生不能相邻，求一共有多少种排法？如果女生也不能相邻，求一共有多少种排法？解析：72。
只可能是“男女男女男女”和“女男女男女男”。
例7.从10个人中挑出5人，求满足下列条件的选法有多少种。
(1)A，B必须入选；(2)A，B 至少有一个人入选；(3)A，B，C中恰好有一个人入选；(4)A，B，C不能同时入选。
例8.用数字1，2组成一个8位数，其中至少有连续4位都是数字1的有多少个？例9.从1、2、3、…、9中选取若干互不相同的数字（至少一个），使得其和是3的倍数，共有多少种选法？解析：按取出数的个数分类，总共有175种取法。
例10.老师要将20个相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分得3个苹果，那么共有_____种分配方法.三. 计数综合例11.各位数字之和为33，而且能够被33整除的五位数有多少个？解析：288个。
2018-2019学年度北京市中国人民大学附属中学高一上学期数学期中考试试卷(图片版)
，，
若 ，， 若 ，， 错误， 综上，填①②。 故答案为：①②。
，则零点在 ，则零点在
内， 内，故③、④
19解析： 【答案】 ①②④ 【解析】
由题设有
，故
或，
故函数的定义域为
，故①正确。
当
，
，
此时
，为
上的奇函数，
故其图像关于原点对称，故④正确。
又
，
当
时，
；
当
时，
，
故 的值域为 Leabharlann 故②正确。由可得 不是定义域上增函数，故③错。
______。
① 有且只一个零点；
② 的零点在 内；
③ 的零点在 内；
④ 的零点在
内。
19. 关于函数
的性质描述，正确的是______。
① 的定义域为
② 的值域为
③ 在定义域上是增函数
④ 的图象关于原点对称
20. 在同一直角坐标系下，函数 与
（，
）的大致图象如图所示，则实数a的可能值为
______。
若 ，则 ，故
，
又或
，
所以 （舍）或 或 ，
此时
，
若 ，则 ，此时 ，
故 ，此时
，
若 ，则 ，此时 ，
故 ，此时
，
综上，
或
。
故答案为： 或 。
23解析： 【答案】 只需满足 或 即可 【解析】
的反函数为 ，故 与 的图像恰有一个 公共点，当 时，直线 满足要求，当 时，若
与 的图像恰有一个公共点，则 （因为题设 要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即 可， 符合，待同学们学习了导数的相关知识后可 求）。 故答案为：只需满足 或 即可。