浙江省高考数学样卷

2011年浙江省数学测试卷理 科本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2 )2211(31S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知函数f (x )＝267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋f (-1)＝(A) 9 (B)7110(C) 3 (D)1110(2) “cos x ＝1”是“sin x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(3) 一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，无放回地随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是 (A)51 (B)52 (C)53 (D) 54(4) 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为(A)3(B)2(C)3 (D)13(5) 设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x ya b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 (A)2(C)2(6) 下列函数中，在(0，2π)上有零点的函数是 (A) f (x )＝sin x －x (B) f (x )＝sin x －2πx(C) f (x )＝sin 2x －x (D) f (x )＝sin 2x －2πx(7) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 (A) 1 (B)12(C)14(D)18(8) 设111122101111....)313()212(x a x a x a a x x ++++=+-+，则k a （110≤≤k ）的最小值为 (A)11113121-(B) 11113121+(C) 10103121- (D)10103121+(9) 若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有 x ＋2y －3≤ax ＋by ＋c ≤x ＋2y ＋3，则a ＋2b －3c 的最小值为(A) －6 (B) －4 (C) －2 (D) 0(10) 设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X *Y(X ∩Y)．对于任意集合X ，Y ，Z ，则( X *Y)＝(A) (X ∪Y )∩ Z (B) (X ∩Y )∪ Z (C) ( X ∪ Y )∩Z (D) ( X ∩ Y )∪Z(第7题)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题： 本大题共7小题，每小题4分，共28分。

(11) 已知i 为虚数单位，复数2i 1iz +=-，则 | z | ＝_______．(12) 已知直线x －2ay －3＝0为圆x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0的一条对称轴，则实数a ＝_______．(13) 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是________cm 3．(14) 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)⋅(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为__________．(15)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )．若当0≤x ＜1时，f (x )＝2x ，则f (log 26)＝________．(16) 某射手射击所得环数X 的分布列如下：已知X 的期望E (X )=8.9，则b －a 的值为 ．(17) 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，∠ABE ＝20°，∠CDF ＝30°．将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为_________．(第13题)正视图俯视图侧视图B(第17题)三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(18) (本题满分14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin2C＝4．(Ⅰ) 求cos C 的值； (Ⅱ) 若△ABC的面积为4，且sin 2 A ＋sin 2B ＝1316sin 2 C ，求a ，b 及c 的值．(19) (本题满分14分) 设首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 7＝－2，S 5＝30． (Ⅰ) 求a 1及d ； (Ⅱ) 若数列{b n }满足a n ＝12323nb b b nb n++++L (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．(20) (本题满分15分) 如图，已知△AOB ，∠AOB ＝2π， ∠BAO ＝6π，AB ＝4，D 为线段AB 的中点．若△AOC 是△AOB 绕直线AO 旋转而成的．记二面角B －AO －C 的大小为θ．(Ⅰ) 当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值；(Ⅱ) 当θ∈[2π,23π]时，求二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围．(21) (本题满分15分) 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2的椭圆过点，2)．(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．AOBCD(第20题) (第21题)(22) (本题满分14分) 已知实数a 满足0＜a ≤2，a ≠1，设函数f (x )＝13x 3－12a +x 2＋ax ．(Ⅰ) 当a ＝2时，求f (x )的极小值；(Ⅱ) 若函数g (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋4)x ＋ln x (b ∈R )的极小值点与f (x )的极小值点相同．求证：g (x )的极大值小于等于54．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

(1) C (2) A (3) B (4) A (5) D (6) D (7) C (8) A (9) B (10) B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

(11) 2(12) 1 (13)2123π (14)13(15)23(16) 0.2 (17) 70°三、解答题：本大题共5小题，共72分。

(18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

(Ⅰ) 解：因为sin2C ，所以cos C ＝1－ 2sin 22C ＝14-． -------------------------------5分 (Ⅱ) 解：因为sin 2 A ＋sin 2B ＝1316sin 2 C ，由正弦定理得a 2＋b 2＝1316c 2．---------------------------------------------------①由余弦定理得a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，将cos C ＝14-代入，得ab ＝38c 2．----------------------------------------------------------②由S △ABC 4及sin C 4ab ＝6．----------------------------------------------------------③由①,②,③得2,3,4a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,2,4.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩经检验,满足题意.所以 2,3,4a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,2,4.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩--------------------------------------------------- 14分(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n 项和与通项的关系等基础知识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力。

满分14分。

(Ⅰ) 解：由题意可知1154530,262,a d a d ⨯+=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 得 110,2.a d ==-⎧⎨⎩………………………………………6分(Ⅱ) 解：由(Ⅰ)得 a n ＝10＋(n －1)(－2)＝12－2n ，所以 b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝na n ＝n (12－2n )， 当n ＝1时，b 1＝10，当n ≥2时，b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋(n －1)b n －1＝(n －1)[12－2(n －1)]， 所以nb n ＝ n (12－2n )－(n －1)[12－2(n －1)]＝14－4n ， 故b n ＝14n－4．当n ＝1时也成立．所以b n ＝14n －4 (n ∈N *)． ……………………………14分(20) 本题主要考查空间面面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

解法一：(Ⅰ) 如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB的直线为x 轴，OB ，OA 所在的直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ， 则A (0，0，)，B (0，2，0)，D (0，1，C (2sin θ，2cos θ，0)． 设1n u r＝(x ，y ，z )为平面COD 的一个法向量，由110,0,n OD n OC ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u r u u u ru r u u u r得sin cos 0,0,x y y z θθ+==⎧⎪⎨⎪⎩ 取z ＝sin θ，则1n u r＝cos θsin θ，sin θ)．因为平面AOB 的一个法向量为2n u u r＝(1，0，0)，由平面COD ⊥平面AOB 得1n u r ⋅2n u u r＝0，所以cos θ＝0，即θ＝2π．………………………7分 (Ⅱ) 设二面角C －OD －B 的大小为α,由(Ⅰ)得当θ＝2π时， cos α＝0； 当θ∈(2π,23π]时，tan θcos α= 1212||||n n n n ⋅u r u u r u r u u r，故－5≤cos α＜0．综上,二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围为[5，0]．…………15分解法二：(Ⅰ) 解：在平面AOB 内过B 作OD 的垂线，垂足为E ，因为平面AOB ⊥平面COD ， 平面AOB ∩平面COD ＝OD ， 所以BE ⊥平面COD ， 故BE ⊥CO ． 又因为OC ⊥AO ， 所以OC ⊥平面AOB ， 故OC ⊥OB ．又因为OB ⊥OA ，OC ⊥OA ，(第20题)F CAOB D (第20题) GE所以二面角B －AO －C 的平面角为∠COB ，即θ＝2π．………………………………………7分 (Ⅱ) 解：当θ＝2π时，二面角C －OD －B 的余弦值为0；当θ∈(2π,23π]时，过C 作OB 的垂线，垂足为F ，过F 作OD 的垂线，垂足为G ，连结CG ， 则∠CGF 的补角为二面角C －OD －B 的平面角． 在Rt △OCF 中，CF ＝2 sin θ，OF ＝－2cos θ， 在Rt △CGF 中，GF ＝OF sin3πθ，CG， 所以cos ∠CGF ＝FG CG．因为θ∈(2π,23π]，tan θ故0＜cos ∠C GF≤5．所以二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围为 [5，0]． ……………15分(21) 本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。