04线性方程组(工程数学)

9
2. 列主元消元法
列主元消元法的计算步骤： 在进行第 k ( k = 1, 2,
, n - 1) 步消元时， 首先在第 k 列下
面 的 n - k +1 个 元 素 中 选 取 绝 对 值 最 大 的 元 素
k k ( 然后将列主元所 a (pk−1) , 即 a (pk−1) = max aikk −1) 作为列主元素， k≤i
⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ ⎢ an1 ⎣
a12 a22 an 2
a1n ⎤ ⎡1 ⎢l a2 n ⎥ 1 21 ⎥，L= ⎢ ⎢ ⎥ ann ⎥ ⎢ln1 ln 2 ⎣ ⎦
⎤ ⎡u11 u12 ⎥ ⎢ u22 ⎥ ，U = ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎦ ⎣
u1n ⎤ u2 n ⎥ ⎥. ⎥ unn ⎥ ⎦
【思路】可以利用消去法对矩阵 A 进行三角分解；也可以利用紧凑格 直接完成 式的计算公式按顺序计算出单位下三角阵 L 和上三角阵 U ， 求 A = LU 的三角分解.再分别代入两个三角方程 Ly = b 和 Ux = y 中， 出方程的解 x ．
有两个乘数2和-4，每个乘数正好可以产生一个零，用来记-乘数，
⎡ 1 −1 2 −2 ⎤ ⎡ 1 −1 2 −2 ⎤ ⎡ 1 −1 2 −2 ⎤ [ A b] = ⎢−2 1 −1 2 ⎥ → ⎢ −2 −1 3 −2⎥ → ⎢ −2 −1 3 −2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 −1 2 1 ⎦ ⎣ 4 3 −6 7 ⎦ ⎣ 4 −3 3 1 ⎦ ⎣
17
定理 1 矩阵 A 可以三角分解的条件如下：
1. 若矩阵 A 的所有顺序主子式不等于零; 2. 若矩阵 A 对称正定; 3. 若矩阵 A 严格对角占优，即：
akk > ∑ akj , k = 1, 2,
j≠k
n。
18
⎡2 2 1 ⎤ ⎢ ⎥ 例 3 已知矩阵 A = 4 5 4 ，检验 A 是否满足三角分解的条件， ⎢ ⎥ ⎢ 2 4 3⎥ ⎣ ⎦
−1 2 −1 ⎤ ⎡4 → ⎢ −0.75 1.5 −1.75⎥ ⎢ ⎥ 1 13 ⎦ ⎣
11
注：最后一个矩阵对应的方程就是上三角方程组 ：
x2 + 2 x3 = −1 ⎧ 4 x1 − ⎪ ⎨ − 0.75 x2 + 1.5 x3 = −1.75 ⎪ x3 = 1 3 ⎩ 回代过程：
．
1 x3 = 3 −175−15x3 . . x2 = =3 −075 . −1+ x2 −2x3 1 x1 = = 4 3
k =1 1
1
,n
ai1 = ∑ lik uk 1 = li1u11 ，
k =1
即： li1 = ai1 u11 i = 2, 3,
,n.
这是 U 的第一行和 L 的第一列。
22
设： U 的前 m − 1 行和 L 前 m − 1 列均已算出，那么：
amj = ∑ lmk ukj = ∑ lmk ukj + lmm umj ,
{
}
在方程与第 k 个方程交换位置，再按照高斯消元法进行消 元，回代计算没有区别。
10
⎧ x1 − x 2 + 2 x3 = −2 ⎪ ⎪ 例 2 用列主元消元法解线性方程组： ⎨− 2 x1 + x 2 − x3 = 2 。 ⎪ ⎪4 x1 − x 2 + 2 x3 = −1 ⎩ 消去过程 ⎡ 1 −1 2 −2 ⎤ ⎡ 4 −1 2 −1⎤
利用增广矩阵的初等行变换法表示为：
⎡ 1 −1 2 − 2 ⎤ ⎡ 1 − 1 2 − 2 ⎤ ⎡ 1 − 1 2 − 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ A b ] = ⎢ −2 1 − 1 2 ⎥ → ⎢ − 1 3 − 2 ⎥ → ⎢ − 1 3 − 2 ⎥ 3 −6 7 ⎦ ⎣ 3 1⎦ ⎣ 4 −1 2 1 ⎦ ⎣
⎡ a11 ⎢a [ A b] = ⎢ 21 ⎢ ⎢ a n1 ⎣
(n ⎡a11 ) ⎢ ⎢ →⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
a12 a22 an 2
( a1k )
n
a1n a2 n ann
b1 ⎤ b2 ⎥ ⎥→ ⎥ bn ⎥ ⎦
n (n a1n) b1( ) ⎤ ⎥ ⎥ n) n) ( ( akn bk ⎥ ⎥ ⎥ ( n) ( n) ann bn ⎥ ⎦
第一个方程乘以 2 加于第二个方程， 第一个方程乘以-4 加于第三个方程，得：
⎧ x1 − x2 + 2 x3 = −2 ⎪ ⎨ − x2 + 3 x3 = −2 ⎪ ⎩ 3 x2 − 6 x3 = 7
4
第二个方程乘以 3 加于第三个方程：
⎧ x1 − x2 + 2 x3 = −2 ⎪ ⎨ − x2 + 3 x3 = −2 ⎪ 3 x3 = 1 ⎩
⎡1 ⎤ ⎡2 2 1 ⎤ 于是有： A = LU = ⎢ 2 1 ⎥ ⎢ 1 2 ⎥ 。 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 2 1⎦ ⎣ −2 ⎦ ⎣
20
3. 紧凑格式
紧凑格式是利用矩阵乘法和矩阵相等的法则， 对矩阵 A 直接进行 三角分解的一种有一定规律的、便于编程序利用计算机计算的分解 方法。
设： A = LU ，其中：
阵的方程组
Ly = b 和 Ux = y 。
其中消元法的消元过程就是分解系数矩阵为 A = LU ，并解线性方 程组 Ly = b ，回代过程则是解方程组 Ux = y 。
15
解方程组 Ly = b 的计算公式为：
⎧ y1 = b1 ⎪ k −1 ⎨ y = b − l y , k = 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅, n ∑1 km m k ⎪ k m= ⎩
这一过程称为消去过程。
5
1 x3 = 3 1 ， x2 = 2 + 3 × = 3 3 1 1 x1 = −2 + 3 − 2 × = 3 3
⎛1⎞ ⎜3⎟ 方程组的解为： x = ⎜ 3 ⎟ 。 ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
称为 b ，利用增广矩阵的初等行变换法表示为：
第4章
线性方程组的解法
1
n 阶线性方程组 A x =b 。 方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n xn = b1 ⎪ ⎪ a21 x1 + a22 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 n xn = b2 ⎨ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⎪⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪ an1 x1 + an 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ann xn = bn ⎩
用待定系数法
21
注意到由 A = LU 可得：
aij = ∑ lik ukj ，以及： lik = 0 k < i 和 ukj = 0 k < j ，
k =1
n
{
1 k =i
所以： lik ukj = 0 k > min ( i , j ) 。
于是：
a1 j = ∑ l1k ukj = l11u1 j = u1 j ，即： u1 j = a1 j j = 1, 2,
13
只关心系数矩阵的话，就是：
⎡ 1 −1 2 ⎤ ⎡ 1 −1 2 ⎤ ⎡ 1 −1 2⎤ A = ⎢ −2 1 −1⎥ → ⎢ −2 −1 3 ⎥ → ⎢ −2 −1 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 −1 2 ⎦ ⎣ 4 3 −6 ⎦ ⎣ 4 −3 3 ⎦ ⎣
⎡1 −1 2 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎥ ， U = ⎢ −1 3 ⎥ ， 如果令： L = ⎢ −2 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3⎦ ⎣ 4 −3 1⎦ ⎣
（1）
2
一、消元法(高斯消元法、列主元消元法)
1. 高斯消元法 高斯消元法的基本思想是通过对线性方程组
Ax=b
的进行同解消元变换（也可以用矩阵的初等行变换法 进行线性方程组的消元变换），将线性方程组化为上 三角形方程组，然后用回代法求出此线性方程组的。
3
⎧ x1 − x2 + 2 x3 = −2 例 1、解线性方程组： ⎪−2 x1 + x2 − x3 = 2 ⎨ ⎪ ⎩ 4 x1 − x2 + 2 x3 = −1
(k ⎡ a11 ) ⎢ ⎢ →⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
( a1k )
k
( akk )
k
( ank )
k
k (k a1n ) b1( ) ⎤ ⎥ ⎥ (k) (k) ⎥ akn bk ⎥ ⎥ (k) (k) ann bn ⎥ ⎦
→
( akk )
n
7
消元公式：
(0) ⎧ aij = aij , bi(0) = bi , ( i , j = 1, 2, ..., n) ⎪ 2, ..., ⎪ For( kk = 1,( k −1) n − 1k −1) ⎪ ) ( ⎨ aij = aij − lik akj ⎪ b( k ) = b( k −1) − l b( k −1) i i ik k ⎪ ( k − 1) ( k − 1) akk ; i , j = k + 1, ..., n ⎪ l ik = aik ⎩
1⎞ ⎛1 所以，解为： x = ⎜ 3 ⎟ 。 3⎠ ⎝3
12
T
二 、矩阵的三角分解
1. 再论消去法
在例1中，第一步消去
⎡ 1 −1 2 −2 ⎤ ⎡1 −1 2 −2 ⎤ [ A b] = ⎢−2 1 −1 2 ⎥ → ⎢0 −1 3 −2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 −1 2 1 ⎦ ⎣0 3 −6 7 ⎦ ⎣ 红字即是LU分解中L中的相应元素
若满足条件，则进行 A = LU 分解。
解： 因为顺序主子式
2 2 1 2 2 = 2 ≠ 0 ， A3 = 4 5 4 = −4 ≠ 0 ， A1 = 2 ≠ 0 ， A2 = 4 5 2 4 3 所以 A 满足三角分解条件。